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当n=3时,(1)式就是几何空间中向量的内积在直角坐标 系中的坐标表达式.
例2 设A = ( a ij )是一个 n级正定矩阵 , 在R n中定义内积 (α , β )为 (α , β ) = αAβ ′ ( 2)
α = (a1 , a2 ,L , an ), β = (b1 , b2 ,L , bn )
b b
1 2
1 2
著名的不等式
定义 设α , β是欧氏空间 V中两个向量 ,α与β的距离
d (α , β )定义为
d (α , β ) = α β
欧氏空间中向量间的距离也具有通常几何空间中向量间 距离的性质.
设 α , β , γ 是欧氏空间 V 中的 3个向量 , 则 (1) d (α , β ) = d ( β ,α ); ( 2 ) d (α , β ) ≥ 0 , 当且仅当 α = β 时等号成立 ; ( 3) d (α , γ ) ≤ d (α , β ) + d ( β , γ ).
那么α,β称为正交或垂直, 记作
α ⊥ β.
这里正交的定义与解析几何中正交的定义是一致的. (1) (2) 零向量与任何向量都正交. 零向量是唯一的与它自己正交的向量.
( 3) 如果α , β都是非零向量 , 那么,当且仅当 < α , β >= 时,α与β正交.
π
2
向量的长度有下列关系:
(1) α + β ≤ α + β
பைடு நூலகம்
( 3′) (α , β + γ ) = (α , β ) + (α , γ ). 由条件(4), 有(α ,α ) ≥ 0,
所以对任意向量 α , (α , α )是有意义的 . 在几何空间中,向量α的长度为 (α ,α ) .
类似地,在一般的欧几里得空间中引进长度的概念.
定义 2 设 α是欧几里得空间中的一 个向量 .非负实数 (α , α )称为向量 α的 长度, 记作 α .
a12
L a1n L a2 n M L ann
ε 1 , ε 2 ,L , ε n的 度量矩阵.
(ε i, ε j ) = (ε j, ε i ) i , j = 1,2,L , n aij = a ji
度量矩阵是实对称矩阵. 知道了一组基的度量矩阵,任意两个向量的内积就可以通 过坐标,根据 (α , β ) = X ′AY 计算. 度量矩阵完全确定了内积.
§１ 定义与基本性质 定义１ 设Ｖ是实 数域Ｒ上的一个线性空 间，在Ｖ上
定义了一个二元实函数 ，称为 内积， 记作 (α，β )， 它具有
以下性质： (1) (α , β ) = ( β ,α ); ( 2) ( kα , β ) = k (α , β ); ( 3) (α + β , γ ) = (α , γ ) + ( β , γ );
可以证明Rn对内积(2)构成一个欧几里得空间. 每一个实线性空间都可以有许多方法定义内积,需要 注意的是,由不同内积构成的欧几里得空间是不同的. 例3 在闭区间[a , b]上的所有实连续函数所 成的空间
C (a , b )中, 对于函数 f ( x ), g ( x ), 定义内积 ( f , g ) = ∫ f ( x ) g ( x )dx
α = x1ε 1 + x2ε 2 + L + xnε n
xi = (ε i ,α )
i = 1,2,L , n
在标准正交基下,向量的坐标可以通过内积表示.
α = x1ε 1 + x2ε 2 + L + xnε n β = y1ε 1 + y2ε 2 + L + ynε n (α , β ) = X ′Y = x y + x y + L + x y 1 1 2 2 n n
(ε 1 , ε 1 ) (ε 1 , ε 2 ) L (ε 1 , ε n ) a22 (ε 2 , ε 1 ) (ε 2 , ε 2 ) L (ε 2 , ε n ) = M M M M an 2 (ε , ε ) (ε , ε ) L (ε , ε ) n 1 n 2 n n 定义 设ε 1 , ε 2 ,L , ε n是欧氏空间的一组基 , 矩阵A称为基
cos < α , β >= (α , β )
α β
< α , β >= arccos
(α , β )
(α , β )
α β
α β
≤1
定理
(柯西 布涅可夫斯基不等式)
对于欧几里得空间
V中任意两个向量 α , β , 都有 (α , β ) ≤ α β 当且仅当α , β 线性相关时等号成立.
定义 3 非零向量 α , β的夹角 < α , β > 规定为 (α , β ) < α , β >= arccos , 0 ≤< α , β >≤ π .
0 2 3 0
2 3 0 2 5
度量矩阵是正定的. 证 设V是一个 n维欧氏空间, ε 1 , ε 2 ,L , ε n是V的一组基 ,
A为这组基的度量矩阵 . A是一个实对称矩阵 . 对于任一非零向量 α , 有
(α ,α ) > 0
x1 x2 X = ≠0 M x n
X ′AX > 0
§2 标准正交基 欧氏空间与线性空间的主要差别是 在欧氏空间中有度量性质. 度量性质是通过内积表示的, 内积可以通过度量矩阵来表示. 度量矩阵是正定矩阵, 两组基的矩阵是合同的. 正定矩阵与单位矩阵是合同的. 结论:V是一个n维欧氏空间,则任一正定矩阵D都可看成V的某 一组基的度量矩阵. 一定可以找到一组基,使这组基的度量矩阵是单位矩阵E.
例1 在线性空间 R n中, 定义向量
α = (a1 , a2 ,L , an ), β = (b1 , b2 ,L , bn )
的内积为 (α , β ) = a1b1 + a 2 b2 + L + a n bn
显然,内积(1)满足定义1中的条件,
(1)
n 定义了内积以后, R
R n 表示这个欧几里得空间. 就成为一个欧几里得空间. 仍用
b a
( 3)
由定积分的性质可以证 明, 对于内积( 3), C (a , b )构成一个 欧几里得空间. 线性空间 R[ x ], R[ x ]n 对于内积( 3)也构成欧几里得空间 .
定义1中性质(1)说明内积是对称的,因此,与性质(2),(3)相 应的有 ( 2′) (α , kβ ) = k (α , β );
如果基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 的度量矩阵是 E
1 (ε i , ε j ) = 0
当i = j 当i ≠ j
定义5 欧氏空间V中一组非零向量,如果它们两两正交, 就称为一个正交向量组. 有一个非零向量组成的向量组也是正交向量组. 正交向量组是线性无关的. 在n维欧氏空间中,最多有n个两两正交的非零向量. 在n维欧氏空间中,任意n个正交的非零向量组成一组基. 定义6 在n维欧氏空间中,由n个正交向量组成的基称为 正交基, 由单位向量组成的正交基称为标准正交基. 对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基.
通过内积定义了其他度量概念,使得欧氏空间中的向量有 长度、夹角、距离等度量关系.而且这些度量概念具有三维几 何空间中向量的度量关系的一些重要性质.
设V是一个 n维欧氏空间, ε 1 , ε 2 ,L , ε n是V的一组基 , 对V中任意两个向量 α = x1ε 1 + x2ε 2 + L + xnε n , β = y1ε 1 + y2ε 2 + L + ynε n (α , β ) = ( x1ε 1 + x2ε 2 + L + xnε n , y1ε 1 + y2ε 2 + L + ynε n )
(三角不等式)
2 2 2
( 2) 当且仅当 α与β正交时, α + β = α + β
(勾股定理)
(1) α 1 + α 2 + L + α n ≤ α 1 + α 2 + L + α n ( 2) 当α 1 ,α 2 ,L ,α n两两正交时 ,
α1 + α 2 + L + α n = α1 + α 2 + L + α n
如果基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 的度量矩阵是 E
1 (ε i , ε j ) = 0
i= j i≠ j
ε 1 , ε 2 , L , ε n是
标准正交基
定理 n维欧氏空间的一组基是标准正交基的充分必要条件 是:它的度量矩阵为单位矩阵. 标准正交基的存在与求法.
设 ε 1 , ε 2 , L , ε n 是一组标准正交基 用 ε i 与等式两边作内积
例1 欧氏空间 R n中, n 个基本向量
ε 1 = (1,0,L ,0), ε 2 = (0,1,L ,0),L , ε n = (0,0,L ,1)
组成一组基. 度量矩阵为单位矩阵.
例2 在欧氏空间 R 3中, 求下列基的度量矩阵 :
α 1 = (1,1,1),α 2 = (1,0,2),α 3 = (1,1,2).
(α , β ) = X ′AY
这个表达式是几何向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的 推广.
= ∑ ( xi ε i , y1ε 1 + y2ε 2 + L + ynε n ) = ∑ ∑ ( xi ε i , y jε j )
i =1
i = 1 j =1 n n
n
n
n
记 aij = (ε i , ε j )
