高等代数习题-欧式空间
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第九章 欧式空间习题1.(填空)设n εεε,,,21 为n 维欧氏空间V 中的基,在此基下向量βα,坐标分别为),,,(21n a a a 与 ),,,(21n b b b ,则内积∑==ni i i b a 1),(βα的充分必要条件是 。
(n εεε,,,21 是V 的标准正交基)2.(填空)21,V V 是有限维欧氏空间的子空间,存在0,2≠∈ααV ,使得1V ⊥α的充分条件是子空间的维数之间满足 。
()维()维(21V V <3.对角矩阵为正交矩阵的充分必要条件是 (对角线上的元素为±1)。
4.(证明)设A 与B 是欧氏空间V 的两个线性变换,并且对任意V ∈α有))(),(())(),((ααααB B A A =,证明A V 与BV 作为欧氏空间是同构的。
证明:A V 与BV 均是欧氏空间V 的子空间,因而对于V 的内积来说作成欧氏空间。
令V B A f ∈∀→ααα),()(:,则f 是一个映射;因为任取V ∈βα,, 若),()(βαA A = 得 ,0)(=-βαA ))(),((0))(),((βαβαβαβα--==--∴B B A A ,从而有,0)(=-βαB 即),()(βαB B =可证f 是单射,又是满射,现证f 是线性的; R k V A A A ∈∀∈∀),()(),(βα,有)()(())()((βαβαβα+=+=+B A f A A f ))(())(()()(βαβαA f A f B B +=+=)()()()(())((αααααkf kB k B k A f kA f ====,再证f 保持内积不变;V ∈∀βα,,有))(),(())(),((2))(),(())(),(βββαααβαβαA A a A A A A A ++=++ ))(),(())(),((2))(),(())(),(βββαααβαβαB B B B B B B B ++=++= 所以))(),(())(),((βαβαB B A A =即))(),(())((),(((βαβαB B A f A f =))(),((βαA A =,从而f 是同构映射,A V 与BV 作为欧氏空间是同构的。
第九章-欧几里得空间复习题一、判断题1、欧氏空间中两两正交的向量组是线性无关的.2、欧氏空间中保持向量夹角不变的线性变换一定是正交变换.3、两个正交矩阵的乘积一定是正交矩阵.4、n 维欧氏空间n R 的恒等变换,既是正交变换,也是对称变换.5、有限维欧氏空间不同的基的度量矩阵是合同的.6、欧氏空间中保持向量长度不变的变换必是正交变换.7、任意一个(1)n n ≥维欧氏空间都存在标准正交基.8、n 维欧氏空间V 的正交变换在V 的任一组基下的矩阵必是正交矩阵.9、设V 为欧氏空间,βαβα⊥∈,,V ,则222βαβα+=+.10、设V 为有限维欧氏空间,是V 上对称线性变换,1V 为的不变子空间,则⊥1V 也为的不变子空间.11、设1V ,2V 是欧氏空间V 的两个正交子空间,则{}021=V V .12、实对称矩阵A 的任意两个特征向量都正交.13.欧氏空间是定义了内积的线性空间.14.若实对称矩阵A 的特征值全不等于零,则A 必正定.15.若A 是实对称矩阵,则必存在正交矩阵P ,使B =P -1AP =P T AP 为以A 的特征值为对角元的对角矩阵.16.n 阶矩阵A 是正交矩阵的充要条件是||=1A .17.欧氏空间中的正交变换是保持向量内积不变的线性变换.18.与任意向量都正交的向量不一定是零向量.19.同构的两个欧氏空间具有相同的维数.20.对n 维欧氏空间V 中任意两个向量α,β,必有|(α,β)|≤|α|⋅|β|.21.任一n 维欧氏空间V 与R n 同构.22.n 维欧氏空间V 中一定存在某组基的度量矩阵是非正定的.23.设n 维欧氏空间V 的一组基的度量矩阵为A,则在这组基下向量的内积由A 完全确定.24.同一个线性空间对于不同内积构成不同欧氏空间.25.n 维欧氏空间V 中向量α与β正交当且仅当α与β的夹角为π/2.26.设V 为有限维欧氏空间,则V 中任意两个向量在标准正交基下的内积等于它们的对应分量的乘积之和.27.欧氏空间V 的正交变换是V 到自身的同构映射.28.对称变换在标准正交基下的矩阵一定是实对称矩阵.29.实对称矩阵A 的正、负惯性指数分别为正、负特征值的个数.30.任意n 元实二次型都可经过正交线性替换化为标准形.二、选择题1、设21,V V 是欧氏空间V 的两个子空间,则下列推断正确的是.A 、11)(V V =⊥⊥;B 、⊥⊥⊥=)(2121V V V V ;C 、121)(V V V =+⊥⊥⊥+2V ;D 、若21V V ⊂,则⊥⊥⊂21V V .2、设A 是一个n 级实对称矩阵,则下列结论正确的有.A 、A 的特征根都大于零;B 、A 的特征向量都正交;C 、A 一定有n 个不同的特征值;D 、一定存在正交矩阵T ,使AT T '为对角矩阵.3、设A 是n 级实对称矩阵,则下列结论正确是.A 、A 的特征值都是实数;B 、A 的特征向量都正交;C 、A 必有n 个不同的特征值;D 、A 的特征值必不为0.4、设{}R b a b a V ∈=,),(,V b b a a ∈==),(),,(2121βα,则下列定义的内积中使V 为欧氏空间.A 、1221),(b a b a +=βα;B 、1),(2211++=b a b a βα;C 、2211),(b a b a -=βα;D 、221153),(b a b a +=βα.5、设是n 维欧氏空间V 的一个线性变换,则是正交变换的充分必要条件是.A 、在任一组基下的矩阵是正交矩阵;B 、保持V 中元素的正交关系,即⇒⊥∈∀βαβα,,V ⊥αβ;C 、保持V 中的非零元素的夹角不变,即>=<<∈∀βαβα,,,V ,α>β;D 、如果n εεε,,,21 是标准正交基,那么,1ε,,2 εn ε也是标准正交基.6、)1(≥n n 维欧氏空间的标准正交基.A 、不存在;B 、存在不唯一;C 、存在且唯一;D 、不一定存在.7.设V 是n 维欧氏空间,则对V 的同一内积而言,不同基的度量矩阵之间的关系是.A 、等价;B 、相似;C 、合同;D 、以上说法都不对.8.以下关于正交变换说法错误的是.A 、正交变换保持n 维欧氏空间中的标准正交基不变;B 、正交变换保持向量间的距离不变;C 、正交变换在标准正交基下的矩阵为正交矩阵;D 、正交变换的逆变换不一定是正交变换.9.下列关于欧氏空间同构的说法正确的是.A 、设V ,V′都是n 维欧氏空间,则V 与V′同构;B 、数乘变换是欧氏空间V 到自身的同构映射;C 、若是线性空间V 到V′的同构映射,则也是欧氏空间V 到V′的同构映射;D 、若是欧氏空间V 到V′的一个映射,且保持线性运算,则是V 到V′的同构映射.10.设V 是n 维欧氏空间,则下列关于V 的标准正交基的说法错误的是.A 、标准正交基的度量矩阵是单位矩阵;B 、任意两组标准正交基之间的过渡矩阵是单位矩阵;C 、若ε1,ε2,…,εn 是V 的一组标准正交基,A 是正交矩阵,若(η1,η2,…,ηn)=(ε1,ε2,…εn)A ,则η1,η2,…,ηn 也是V 的一组标准正交基;D 、V 的标准正交基与它的任意一组基等价.11.设V 是n 维欧氏空间,α1,α2,…,αm 是V 中的正交向量组,则m 和n 满足.A 、m<n ;B 、m=n ;C 、m ≥n ;D 、m ≤n.12.若A,B 是正交矩阵,下列说法中错误的是.A.T A A =-1; B.11或-=A ;C.AB 不是正交阵; D.A 的列向量都是单位向量,且两两正交.13.设A 是n 阶正交阵,①1-A 也是正交阵;②1-=A ;③A 的列向量都是单位向量且两两正交;④A 的行向量组都是单位向量且两两正交.则以上说法正确的有.A .1个;B .2个;C .3个;D .4个.三、综合题1.在R 4中求一单位向量与()()()3,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1---正交。
欧式空间练习题欧式空间(Euclidean space)是指以欧几里德几何学为基础的一种空间,其中包含了平面和三维空间。
在欧式空间中,我们可以进行各种几何运算和推理,探索数学中的各种定理和性质。
为了加深对欧式空间的理解和应用,以下将给出一些欧式空间的练习题,并解答相关问题。
题目一:平面上两点坐标求距离已知平面上两点坐标分别为A(2,3)和B(-1,5),求AB两点之间的距离。
解答一:根据两点之间的距离公式,我们可以得出AB两点之间的距离为:d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)其中,(x₁, y₁)表示A点坐标,(x₂, y₂)表示B点坐标。
代入A(2,3)和B(-1,5)的坐标,计算得:d = √((-1-2)² + (5-3)²)= √((-3)² + 2²)= √(9 + 4)= √13所以,AB两点之间的距离为√13。
题目二:三维空间两点坐标求距离已知三维空间中,点A坐标为(1,2,3),点B坐标为(4,5,6),求AB两点之间的距离。
解答二:同样利用两点之间的距离公式,在三维空间中计算AB两点之间的距离:d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²)代入A(1,2,3)和B(4,5,6)的坐标,得:d = √((4-1)² + (5-2)² + (6-3)²)= √(3² + 3² + 3²)= √(9 + 9 + 9)= √27= 3√3所以,AB两点之间的距离为3√3。
题目三:欧式空间的垂直关系判断已知平面上的三个点A(1,2),B(-2,4),C(3,6),判断AB和AC两条线段是否垂直。
解答三:两条线段AB和AC垂直的条件是它们的斜率互为负倒数,即斜率乘积为-1。
我们可以分别计算AB和AC的斜率,然后判断其乘积是否为-1。
第九章 欧式空间习题1.(填空)设n εεε,,,21 为n 维欧氏空间V 中的基,在此基下向量βα,坐标分别为),,,(21n a a a 与 ),,,(21n b b b ,则内积∑==ni i i b a 1),(βα的充分必要条件是 。
(n εεε,,,21 是V 的标准正交基)2.(填空)21,V V 是有限维欧氏空间的子空间,存在0,2≠∈ααV ,使得1V ⊥α的充分条件是子空间的维数之间满足 。
()维()维(21V V <3.对角矩阵为正交矩阵的充分必要条件是 (对角线上的元素为±1)。
4.(证明)设A 与B 是欧氏空间V 的两个线性变换,并且对任意V ∈α有))(),(())(),((ααααB B A A =,证明A V 与BV 作为欧氏空间是同构的。
证明:A V 与BV 均是欧氏空间V 的子空间,因而对于V 的内积来说作成欧氏空间。
令V B A f ∈∀→ααα),()(:,则f 是一个映射;因为任取V ∈βα,, 若),()(βαA A = 得 ,0)(=-βαA ))(),((0))(),((βαβαβαβα--==--∴B B A A ,从而有,0)(=-βαB 即),()(βαB B =可证f 是单射,又是满射,现证f 是线性的; R k V A A A ∈∀∈∀),()(),(βα,有)()(())()((βαβαβα+=+=+B A f A A f ))(())(()()(βαβαA f A f B B +=+=)()()()(())((αααααkf kB k B k A f kA f ====,再证f 保持内积不变;V ∈∀βα,,有))(),(())(),((2))(),(())(),(βββαααβαβαA A a A A A A A ++=++ ))(),(())(),((2))(),(())(),(βββαααβαβαB B B B B B B B ++=++= 所以))(),(())(),((βαβαB B A A =即))(),(())((),(((βαβαB B A f A f =))(),((βαA A =,从而f 是同构映射,A V 与BV 作为欧氏空间是同构的。
高等代数课后思考题第八章 欧氏空间思考题1、设V 是实数域R 上的n 维向量空间,试问:对V 是否总可以定义内积,使V 对此内积构成欧氏空间?2、如果向量空间V 是一欧氏空间,那么它的任一子空间也是欧氏空间吗?为什么?3、用,ξη表示n 维欧氏空间V 中向量的内积,下面的等式中哪些成立?(1)12121122,,,;ξξηηηξη-=--(2);a a ξξ=(3)1;ξξ= (4),,;a b abξηξη= (5)2,,,.ηξηη=4、已知向量空间R 3关于内积112233,x y x y x y ξη=++是欧式空间,也对内积112233,23x y x y x y ξη=++是欧氏空间,其中123123(,,),(,,)x x x y y y ξη==.问:向量组123(0,1,0),ααα===对此两种内积来说是否能分别构成正交向量组?5、设{}12,,,n ααα 是n 维欧氏空间V 的一个基,问如何规定V 的内积,使V 对此内积是欧氏空间,且{}12,,,n ααα 是它的一个标准正交基?6、设W 是欧氏空间V 的有限维子空间,则W 的正交补W ⊥存在。
问:(1)W 的正交补W ⊥唯一吗?(2)给出两种求W ⊥的方法。
7、在n 维欧氏空间中,是否存在n+1个两两正交的非零向量?为什么?8、欧氏空间V 的一个正交变换是否保持任意两个向量的夹角?9、欧氏空间V 的保持任意两个向量夹角不变的线性变换是否是正交变换?10、欧氏空间V 的保持任意向量长度不变的线性变换是否是正交变换?11、欧氏空间V 的保持任意两个向量长度距离不变的线性变换是否是正交变换?12、欧氏空间V 的保持任意两个向量内积不变的线性变换是否是正交变换?13、举例说明,两个对称变换的积不一定是对称变换。
找出两个对称变换的积是对称变换的充要条件。
14、若n 维欧氏空间V 的一个线性变换σ的属于不同特征根的特征向量彼此正交,那么σ一定是对称变换吗?举例说明之。
第八章 欧氏空间练习题一、填空题1.设V 是一个欧氏空间, V ξ∈,若对任意V η∈都有(,)0ξη=,则ξ=_________.2.在欧氏空间3R 中,向量(1,0,1)α=-,(0,1,0)β=,那么(,)αβ=____ _____, α=_________.3.在n 维欧氏空间V 中,向量ξ在标准正交基12,,,n ηηη 下的坐标是12(,,,)n x x x ,那么(,)i ξη=_________,ξ=_________.4.已知A 是一个正交矩阵,那么1A -=_________,2A =_________. 5.σ为欧氏空间V 的线性变换,则σ为正交变换当且仅当 ;σ为对称变换当且仅当 . 二、判断题1.在实线性空间2R 中,对于向量1212(,),(,)x x y y αβ==,定义1122(,)(1)x y x y αβ=++,那么2R 构成欧氏空间。
( )2.在n 维实线性空间nR 中,对于向量1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b αβ== ,定义11(,)a b αβ=,则n R 构成欧氏空间。
( )3.12,,,n εεε 是n 维欧氏空间V 的一组基,1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y 与分别是V 中的向量,αβ在这组基下的坐标,则1122(,)n n x y x y x y αβ=+++ 。
( )4.设V 是一个欧氏空间,,V αβ∈,并且αβ=,则αβ+与αβ-正交。
( )5.设V 是一个欧氏空间,,V αβ∈,并且(,)0αβ=,则,αβ线性无关。
( )6.若,στ都是欧氏空间V 的对称变换,则στ也是对称变换。
( )7.正交向量组必线性无关.8.实数与对称变换之积必是对称变换.三、证明题1.设A ,B 为同级正交矩阵,且A B =-,证明:0A B +=.2.奇数维欧式空间中的旋转变换必有特征值13.第二类正交变换一定有特征值-1四.计算题1、对于齐次线性方程组12341234123412340205033250x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪+++=⎩ (1) 求该齐次线性方程组解空间W 的一个标准正交基。
欧几里得空间练习题一、填空题1. 与任何向量都正交。
2. 设A 、B 均为正交矩阵,则1AB -= 。
3. 若1234,,,εεεε为欧氏空间V 的一组标准正交基,且1234236αεεεε=+++,则α= 。
4. 设A 、B 均为3阶正交矩阵,则12AB -= 。
5. 若1234,,,εεεε为欧氏空间V 的一组标准正交基,且123423αεεεε=+++,则α= 。
6. 若1234,,,εεεε为欧氏空间V 的一组标准正交基,且1234234αεεεε=+++,则α= 。
7. 设欧氏空间的正交变换σ在一组标准正交基下的矩阵是U ,则U = 。
8. 两个欧氏空间同构的充要条件是它们有 。
1. 设,στ是欧氏空间V 的两个正交变换,则( ) 。
A.στ+ 也是正交变换B.στ也是正交变换C.任意,k R k σ∈也是正交变换D.στ-也是正交变换2. 设V 是n 维欧氏空间 ,那么V 中的元素具有如下性质( )。
A .若()()γβγαβα=⇒=,,B .若βαβα=⇒=C .若()11,=⇒=ααα D. 若()βα,>βα=⇒0 3. 关于欧氏空间与线性空间的关系,下列说法错误的是( )。
A . 欧氏空间是特殊的线性空间B .如果一个空间是线性空间则它一定是欧氏空间C . 如果一个空间是欧氏空间则它一定是线性空间D . 线性空间比欧氏空间范围大4. 设V 是n 维欧氏空间,W 是V 的子空间,则W 的正交补的维数等于( )。
A . dim WB . n -dim WC . n -2dim WD . 不确定5. 设u 是正交矩阵,则( )。
A . u 的行列式等于 1B . u 的行列式等于-1C . u 的行列式等于± 1D . u 的行列式等于06. n 维欧氏空间V 上的线性变换ϕ为正交变换的充要条件是( )。
A .ϕ在V 的任一组基下的矩阵都是正交矩阵B .ϕ在V 的任一组正交基下的矩阵都是正交矩阵C .ϕ在V 的任一组标准正交基下的矩阵都是正交矩阵D .ϕ在V 的任一组基下的矩阵都是实对称矩阵7. 设δ是n 维(n >0)线性空间V 的一个对称变换,则下列说法错误的是( )。
高等代数 第八章检测题一、填空题:(1)在欧氏空间4R 中,()()1,5,1,3,,3,2,2,1==βα 则βα,的夹角为 。
(2)在线性空间R 3中 ,()()321321,,,,,y y y x x x ==βα定义()33221132,y x y x y x ++=βα,在这种内积下向量()3,2,1=α的长度为|α|= 。
(3)按通常向积定义的R 2中,基(),1,11=α()1,12-=α的度量矩阵为 。
(4)[]{}R a a x a a x R ∈+=10102,中定义内积为()()()()()⎰-=dx x g x f x g x f 11,,该欧氏空间的一组标准正交基为 。
(5)若A 为正交阵,E 为单位矩阵,且|A |=-1,则|A+E |= 。
二、判断题(1)正交变换关于任意基的矩阵为正交矩阵。
( )(2)设欧氏空间中某基n αα,,1 的度量矩阵为A ,那么A 的特征值必大于0。
( )(3)正交变换的属于不同特征值的特征向量必正交。
( )(4)在3R 中,()()321321,,,,,y y y x x x ==βα 定义由积为()33221132,y x y x y x ++=βα,那么(),0,0,11=ε()()1,0,0,0,1,032==εε必为3R 的标准正交基。
( )(5)设W 1,W 2是欧氏空间V 的子空间,如果,21w w ⊥那么{}021=⋂w w 。
( )三、求齐次线性方程组⎩⎨⎧=---=+++0043214321x x x x x x x x 的解空间W 的一组标准正交基。
四、已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x A 10100001与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=10000001y B 相似。
(1)求y x ,的值。
(2)求正交阵T ,使1-T AT =B五 已知()21232221321422,,x x x x x x x x f ---=323184x x x x ++用正交线性替换化f 为标准形,并判别该二次型是否正定。
欧氏空间练习题与测试题第九章欧氏空间练习题与测试题一、填空题1.设V 是一个欧氏空间,V ξ∈,若对任意V η∈都有(,)0ξη=,则ξ=_________.2.在欧氏空间3R 中,向量(1,0,1)α=-,(0,1,0)β=,那么(,)αβ=____ _____,α=_________.3.在n 维欧氏空间V 中,向量ξ在标准正交基12,,,n ηηη下的坐标是12(,,,)n x x x ,那么(,)i ξη=_________,ξ=_________.4.两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________.5.已知A 是一个正交矩阵,那么1A -=_________,2A =_________.二、判断题1.在实线性空间2R 中,对于向量1212(,),(,)x x y y αβ==,定义1122(,)(1)x y x y αβ=++,那么2R 构成欧氏空间。
( )2.在n 维实线性空间n R 中,对于向量1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b αβ==,定义11(,)a b αβ=,则n R 构成欧氏空间。
( )3.12,,,n εεε是n 维欧氏空间V 的一组基,1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y 与分别是V 中的向量,αβ在这组基下的坐标,则1122(,)n n x y x y x y αβ=+++。
( ) 4.对于欧氏空间V 中任意向量η,1η是V 中一个单位向量。
( )5.12,,,n εεε是n 维欧氏空间的一组基,矩阵()ij n n A a ?=,其中(,)ij i j a εε=,则A 是正定矩阵。
( )6.设V 是一个欧氏空间,,V αβ∈,并且αβ=,则αβ+与αβ-正交。
( )7.设V 是一个欧氏空间,,V αβ∈,并且(,)0αβ=,则,αβ线性无关。
( )8.若,στ都是欧氏空间V 的对称变换,则στ也是对称变换。
第九章欧氏空间习题答案一、填空题1、 0;2、 ,;3、 ;4、 ;5、 ;6、 ;7、 ,;8、 ;9、 ;10、 线性变换在某基下得矩阵;11、 0,;12、 它们得维数相同;13、 ,1;14、 ;15、 正交;16、 ;17、 正定得。
二、判断题15 ××√√√ 610 √×√√√ 1115 √√√×√ 1620 √√×√×三、选择题15 CDBCC 610 CACB(BD) 1115 BDAAA 1618 ABB四、计算题1. 由,故特征值为。
当时,有,则基础解系为,单位化为;当时,有,则基础解系为,单位化为;当时,有,则基础解系为,单位化为。
则令,为正交阵,有。
2. (1),由于二次型正定,则,即。
(2)当时,则。
由,特征值为。
故标准形为。
3. 二次型矩阵为。
由于正交变换得到得标准形为,则得特征值为,故,可得。
当时,有,则基础解系为,单位化为;当时,有,则基础解系为,单位化为;当时,有,则基础解系为,单位化为。
则令,为正交阵,有。
4. 设属于特征值得特征向量为,则,即,基础解系为,。
把,单位化为,。
单位化为。
令,为正交阵,有。
进一步得到。
5. 当时,则22200011(cos ,cos )cos cos cos()cos()02()2()||jx kx jx kxdx j k x j k x j k j k πππ==+--=+-⎰22200011(sin ,sin )sin sin cos()cos()02()2()||jx kx jx kxdx j k x j k x j k j k πππ==-++-=+-⎰22200011(sin ,cos )sin cos sin()()02()2()||jx kx jx kxdx j k x sin j k x j k j k πππ==-++-=+-⎰故对于任何整数,该集合均为正交向量组。
第八章 欧氏空间8.1 向量的内积1. 证明,在一个欧氏空间里,对于任意向量,ξη,以下不等式成立: (1) | ξ +η |2+|ξ -η |2=2| ξ |2+2| η |2;(2)2211,44ξηξηξη=+--.在解析几何里,等式(1)的几何意义是什么?证:(1) | ξ +η |2+| ξ -η |2=<ξ +η,ξ +η>+<ξ -η,ξ -η> =< ξ,ξ > + 2<ξ,η> + <η,η> + < ξ,ξ >-2<ξ,η>+ <η,η> =2| ξ |2+2| η |2;几何意义:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.(2)221144ξηξη+--11,,4411(,2,,)(,2,,)44,ξηξηξηξηξξξηηηξξξηηηξη=++---=++--+=1. 在欧氏空间R n里,求向量(1,1,,1)α= 与每一向量()(0,,0,1,0,,0)i i ε= ,1,2,,i n = 的夹角.解:,cos i iαεθαε==2. 在欧氏空间4R 里找出两个单位向量,使它们同时与向量(2,1,4,0),(1,1,2,αβγ=-=--=中每一个正交.解:只需求下面线性方程组的两个单位解向量1231234123424022032540x x x x x x x x x x x +-=⎧⎪--++=⎨⎪+++=⎩,其解向量为:±.3. 利用内积的性质证明,一个三角形如果有一边是它的直径,那么这个三角形一定是直角三角形.证:设圆的内接三角形为ABC ,AB 为直径,O 为圆心.则向量OA =-OB ,AC=OC -OA ,CB=OB -OC ,且OA ,OB 和OC 的长度相等,,,0AC C B O C O A O B O C O C O A O A O CO A O A O C O C =--=---=---=所以AC 与CB 正交,三角形为直角三角形. 4. 设,ξη是一个欧氏空间里彼此正交的向量,证明:|ξ +η|2=|ξ|2+|η|2 (勾股定理)证:| ξ +η |2=<ξ +η,ξ +η>=< ξ,ξ > + 2<ξ,η> + <η,η> (ξ与η正交)=|ξ|2+|η|2;5. 设α1, α2, ⋯ , αn , β都是一个欧氏空间的向量,且β是α1, α2, ⋯, αn 的线性组合.证明,如果β与每一个αi 正交,1,2,,i n = ,那么0β=.证:令1122n n a a a βααα=+++ 则,ββ=1122,n n a a a βααα+++ =1,niii aβα=∑=0.所以0β=.6. 设12,,,n ααα 是欧氏空间的n 个向量.行列式11121212221212,,,,,,(,,,),,,n nn n n n nG ααααααααααααααααααα=叫做12,,,n ααα 的格兰姆(Gram )行列式.证明,12(,,,)0n G ααα= 必要且只要12,,,nααα 线性相关.证:必要性 由12(,,,)0n G ααα= 知齐次线性方程组11112122122212,,,0,,,0,,,0n nn n n n nx x xαααααααααααααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭必有非零解,设()12,,,n a a a 为其一组非零解,则有1,0,1,2,,ni j jj a i nαα===∑令1njjj a βα==∑,则β与12,,,n ααα 中每一个都正交,知β与12,,,n ααα 每一个线性组合都正交,所以与β也正交,即,0ββ=,得0β=.又12,,,n a a a 不全为零,所以12,,,n ααα 线性相关.充分性 由12,,,n ααα 线性相关知存在不全为零的数12,,,n a a a ,使1niii a α==∑.因而1,0nj i i i a αα==∑,即1,0nij i i aαα==∑, 1,2,,j n = .从而可知()12,,,n a a a 是上面方程组的一个解向量且不全为零.所以12(,,,)0n G ααα=7. 设,αβ是欧氏空间的两个线性无关的向量,满足以下条件:2,,αβαα和2,,αβββ都是≤的整数.证明,α与β的夹角只可能是23,,234πππ或56π.证明概要:由与线性无关,证明24,04,,αβααββ≤<,从而,αβαβ只可能取0,1,222---.得证.8. 证明,对于任意实数12,,,n a a a ,1ni i a =≤∑证明概要:取12(,,,)n a a a α= ,(1,1,,1)β= .利用柯西-施瓦兹不等式即可证明.8.2 正交基1. 已知α1=(0,2,1,0); α2=(1,-1,0,0); α3=(1,2,0,-1); α4=(1,0,0,1)是4R 的一个基.对这个基施行正交化方法,求出4R 的一个规范正交基. 解:结果为10)γ=;20)γ=;3γ=;4γ=-.2. 在欧氏空间[1,1]C -里,对于线性无关的向量组23{1,,,}x x x 施行正交化方法,求出一个规范正交组.解:结果为1γ=22γ=;2344x γ=-;3444γ=-.3. 令{}12,,,n ααα 是欧氏空间的一组线性无关的向量,{}12,,,n βββ 是由这组向量通过正交化方法所得的正交组.证明,这两个向量组的格莱姆行列式相等,即12121122(,,,)(,,,),,,n n n n G G αααβββββββββ==证:由施密特正交化方法可知,存在可逆矩阵1**01*01P ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭使1212(,,,)(,,,)n n P αααβββ= ,显然1P =.又设基{}12,,,n ααα 的度量矩阵为:()()11,,,ijn nnA αααααα⎛⎫ ⎪==<> ⎪ ⎪⎝⎭基{}12,,,n βββ 的度量矩阵为:()()11,,,i jn nnB ββββββ⎛⎫ ⎪==<> ⎪ ⎪⎝⎭,则 ()()1111,,',,n n n n A P P αβααββαβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=<>=<> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11',,'n nP P P BP ββββ⎛⎫⎪=<>= ⎪ ⎪⎝⎭又,0,()i j i jββ=≠12121122(,,,)'(,,,),,,n n n nG A P BP P B P BG αααβββββββββ======4. 令12,,,n γγγ 是n 维欧氏空间V 的一个规范正交基,又令1{,01,1,2,,}niii i K V x x i n ξξγ==∈=≤≤=∑K叫做一个n -方体.如果每一i x 都等于0或1,ξ就叫做K 的一个顶点.K 的顶点间一切可能的距离是多少?1,2,,i n =5. 设12{,,,}m ααα 是欧氏空间V 的一个规范正交组.证明,对于任意V ξ∈,以下不等式成立:221,nii ξαξ=≤∑.证明概要:令12(,,,)m W L ααα= ,则V W W ⊥=⊕.此不等式左边是ξ在W 上的正射影的长度,右边是ξ的长度,因此不等式成立.6. 设V 是一个n 维欧氏空间.证明:(i) 如果W 是V 的子空间,那么()W W ⊥⊥=.(ii) 如果12,W W 都是V 的子空间,且12W W ⊆,那么21W W ⊥⊥⊆(iii) 如果12,W W 都是V 的子空间,那么1212()W W W W ⊥⊥⊥+= .证明:(i) 对于任意W ξ∈,有,0Wξ⊥=,所以()W ξ⊥⊥∈,即()W W ⊥⊥⊆,同样可以证明()W W ⊥⊥⊆,即得()W W ⊥⊥=.(ii)因为12,W V W V ⊆⊆,且12W W ⊆.所以取112(,,,)r W L ααα= ,1121(,,,,,)r r s W L ααααα+= .这里121{,,,,,}r r s ααααα+ 是的一个规范正交组.对每一个2W ξ⊥∈,有2,0W ξ=,于是,0i ξα=,1,2,,i s = ,故有1,0W =.即1W ξ⊥∈,从而21W W ⊥⊥⊆(iii) 设12W W ξ⊥⊥∈ ,则12,,0W W ξ==,于是,1212,,,0W W W W ξξξ+=+=,即12()W W ξ⊥∈+,所以,1212()W W W W ⊥⊥⊥⊆+ .反之,因为112W W W ⊆+,212W W W ⊆+.由(ii)知 121122(),()W W W W W W ⊥⊥⊥⊥+⊆+⊆所以 1212()W W W W ⊥⊥⊥+⊆ 所以 1212()W W W W ⊥⊥⊥+= .7. 证明,3R 中向量000(,,)x y z 到平面3{(,,)0}W x y z Rax by cz =∈++=的最短距离等于证明概要:000(,,)x y z α=到W 的最短距离等于它到W ⊥的正射影,容易看出W ⊥的规范正交基是γ=,所以,此最短距离等于,αγ=8. 证明,实系数线性方程组1,1,2,,njij i j ax b i n===∑有解的充要条件是向量12(,,,)nn b b b R β=∈ 与齐次线性方程组10,1,2,,njij j ax i n===∑的解空间正交. 证明:设()ij A a =,令i α是A 的第i 行,1,2,,i n = .12(,,,)n W L ααα= 是nR 的一个子空间.设0AX =的解空间的基是12,,,r ηηη ,则,0i j αη=,1,2,,i n = ,1,2,,j r= .因而1212(,,,)(,,,)r n L L Wηηηααα⊥⊥==于是n R W W ⊥=⊕.故AX β=有解的充要条件是W β∈,而W β∈的充要条件是,0Wβ⊥=.9. 令α是n维欧氏空间的一个非零向量.令{,0}P Vαξξα=∈=P α称为垂直于α的超平面,它是V的一个n-1维子空间.V 中两个向量ξ,η说是位于P α的同侧,如果,ξα与,ηα同时为正或同时为负.证明,V中一组位于超平面P α同侧,且两两夹角都大于2π的非零向量一定线性无关.证明:设12{,,,}r βββ 是满足题设的一组向量,则,0i j ββ≤,()i j ≠,且可以设,0i βα>,(1)i r ≤≤,下证12{,,,}r βββ 线性无关.如果1riii c β==∑,则可设11nriij ji j s c c ββ==+=-∑∑,其中12,,0s c c c ≥ ,1,,0s r c s +≤ .令1siii c γβ==∑.考虑1111,,,srsriij ji j i ji j s i j s c c c c γγββββ==+==+=-=-∑∑∑∑可以推出,0γγ≤,又,0γγ≥.故,0γγ=,即0γ=.所以11,,,0srii j j i j s cc γαβαβα==+==-=∑∑由,0i βα>知若i c ,()1i s ≤≤,j c ,(1)s j r +≤≤不全为零,则必有1,0si i i c βα=>∑,1,0rj j j s c βα=+->∑,因而i c ,1i s ≤≤,j c,1s j r +≤≤全为零,因而12{,,,}r βββ 线性无关.10.设U 是一个正交矩阵.证明: (i )U的行列式等于1或-1; (ii )U 的特征根的模等于1;(iii )如果λ是U 的一个特征根,那么1λ也是U 的一个特征根; (iv )U 的伴随矩阵*U 也是正交矩阵. 证明:(i )给等式'U U I =两边取行列式得证.(ii )因为,UX X UX X λ==,所以X X λ=,所以,1λ=.(iii )因为U X X λ=,11U X X λ--=,1'U X X λ-=,又U 和U’有相同的特征根,得证.(iv )因为*1*'U U UUU-===±,所以**''U U U U I ==,故 V β∈是正交矩阵.11.设cos2θ≠,且100cos sin 0sin cos U θθθθ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,证明,I U +可逆,并且100()()tan012010I U I U θ-⎛⎫ ⎪-+= ⎪ ⎪-⎝⎭.证明:U 是正交矩阵,2001cos sin 0sin 1cos I U θθθθ⎛⎫⎪+=+- ⎪ ⎪+⎝⎭2210020cos sin cos2220sincoscos 222θθθθθθ⎛⎫⎪ ⎪⎪=- ⎪⎪⎪⎝⎭所以计算得22cos2I U θ+=≠,则I U +可逆.又求得()12cos 00210cossin 222cos 20sincos22IUθθθθθθ-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+= ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭所以1()()I U I U --+cos 00000212sin 0sin cos 0cos sin 222222cos20cossin0sincos2222θθθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭000tan0012010θ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭12.证明:如果一个上三角形矩阵11121312223233300000n nn nn a a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是正交矩阵,那么A 一定是对角形矩阵,且主对角线上元素a ii 是1或-1.证明:由A 是正交矩阵,得'AA I =.于是2111a =,1110i a a =,1,2,,i n = ,因此111a =±,10i a =,1,2,,i n= .同样可证1ii a =±,0ij a =,,1,2,,i j n = ()i j ≠.8.3 正交变换1. 证明:n 欧氏空间的两个正交变换的乘积是一个正交变换;一个正交变换的逆变换还是正交变换.证明概要:首先正交变换的乘积还是线性变换,其次保持向量的长度不变的变换的乘积还保持长度不变;逆变换可用类似的方法证明.2. 设σ是n 为欧氏空间V 的一个正交变换.证明:如果V 的一个子空间W 在σ之下不变,那么W 的正交补W ⊥也在σ之下不变.证明:取W 和W ⊥规范正交基{}12,,,s ααα 和{}1,,s n αα+ ,则{}11,,,,s s n αααα+ 是V的一个规范正交基.且{}11(),,(),(),,()s s n σασασασα+也是V 的规范正交基.由W 在σ之下不变知,{}1(),,()s σασα 是W 的规范正交基.再由(),()0i j σασα=,1,,i s n=+ ,1,,j s = 知,对一切的W ξ∈,设1()siii a ξσα==∑,有(),(),()0,1,,j ij i aj s nσαξσασα===+∑所以()j Wσα⊥∈.从而证明了,对一切的W α⊥∈,有()W σα⊥∈.3. 设V 是一个欧氏空间,V α∈是一个非零向量.对于V ξ∈规定2,(),ξατξξααα=-证明:τ是V 的一个正交变换,且2τι=,ι是单位变换.线性变换τ叫做由向量α所决定的一个镜面反射.当V 是一个n 为欧氏空间时,证明,存在V 的一个规范正交基,使τ关于这个基的矩阵有形状100001000010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭在三维欧氏空间里说明线性变换τ的几何意义. 证明:设,V ξη∈,则()()2,2,,,,,,ξηηατξτηξαηαξηαααα=--=所以τ是正交变换,且对于V β∈有()()()22,,βατβττβτβααα⎛⎫==-⎪⎪⎝⎭2,2,,2,,,βαβααααβαβααβαααα-=--=故2τι=,ι是V 的单位变换.设V 是n 为欧氏空间,则V 一定存在规范正交基.又α是V 的非零向量,则可以得到V的一个规范正交基:2,,,n αααα⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 由定义,()2,,,1,2,,,i i i nαααααατατααααααα⎛⎫=-=-==⎪⎪⎝⎭于是τ关于这个基的矩阵是100001000010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭在三维几何空间中,τ是关于XOY 平面的镜面反射.4. 设σ是欧氏空间V 到自身的一个映射,对,ξη有()(),,σξσηη=.证明:σ是V的一个线性变换,因而是一个正交变换. 证明概要:先证()()()()()(),0σαβσασβσαβσασβ+--+--=得()()()σαβσασβ+=+. 再证()()()()()(),0k k k k σασασασα--=,得()()k k σασα= 即可证明.5. 设U 是一个三阶正交矩阵,且det 1U =,证明: (i )U 有一个特征根等于1;(ii )U 的特征多项式具有形状()321f x x tx tx =-+-,这里13t -≤≤.证明:(i )由U 的特征根的模都是1,且三个特征根的乘积等于1,得U 必有一个特征根是1.(ii )设三个特征根为,,1αα,由根与系数的关系,()1tαα-++=-为x 2的系数.111a a a a a t ααααα+⋅+⋅=++=++=为x 的系数.常数项为11a α-⋅=-,而22αα≥+≥-,即311αα≥++≥-,31t ≥≥-.6. 设{}12,,,n ααα 和{}12,,,n βββ 是n 维欧氏空间V 的两个规范正交基. (i )证明:存在V 的一个正交变换σ,使()i i σαβ=,1,2,,i n = ;(ii )如果V 的一个正交变换τ使得()11ταβ=,那么2(),,()n τατα 所生成的子空间与由2,,n ββ 所生成的子空间重合.证明:(i )显然成立;(ii )设2((),())n L ξτατα∈ ,则22()()nniii i i i a a ξτατα====∑∑有由V ξ∈知,ξ可以由12{,,,}n βββ 线性表出.令1,,,1,2,,niii i i b b i nξβξβ====∑ 且,又τ是正交变换,而11()ταβ=,所以111122,(),(),0n ni i iii i b a a ξβτατααα======∑∑所以 22(,,)niini b L ξβββ==∈∑ .因而22((),.())(,,)n n L L ταταββ⊆另一方面,若2(,,)n L ηββ∈ ,则2niii c ηβ==∑.因为τ是正交变换,所以1{(),,()}n τατα 是V 的一个规范正交基,不妨令11()(),,(),1,2,,n n i i d d d i n ηταταητα=++==由于11()ταβ=,所以1112,(),0niii d c ηταββ====∑,得 222()()((),,())n n nd d L ητατατατα=++∈ .因而 22(,,)((),.())n n L L ββτατα⊆ .得证.7. 令V 是一个n 维欧氏空间.证明:(i ) 对V 中任意两个不同的单位向量,αβ,存在一个镜面反射τ,使得()ταβ=. (ii )V 中每一个正交变换σ都可以表示成若干个镜面反射的乘积.证明:(i )因为,αβ是两个不同的单位向量,所以,,1,0ααββαβ==-≠,从而||αβηαβ-=-是一个单位向量.令()2,τξξξηη=-,则τ是一个镜面反射,且()2,2,||||αβαβταααηαααβαβ--=-=---22,()||αααβαβαβ=----2[,,),2,,ααααβαβαααβββ=----+1[1,]()1,αβαβαβ=----β=(ii )设τ是V 的任意一个正交变换,取V 的规范正交基12{,,,}n ααα ,则1122(),(),,()n n βταβταβτα=== 也是V 的一个规范正交基.如果11,,n n βαβα== ,则τ是单位变换,作镜面反射: 111()2,τξξξαα=-则有1111(),(),2,,j j j nτααταα=-== ,这时显然有11τττ=.如果12,,,n ααα 与12,,,n βββ 不全相同,设11αβ≠,则由于11,αβ是两个不同的单位向量,由(i )知,存在镜面反射1τ,使11()ταβ=.令1(),2,,jj j nταγ== .如果,2,,j j j nγβ== ,则1ττ=,结论成立.否则可设22γβ≠,再作镜面反射2τ:2()2,τξξξββ=-,2222||γββγβ-=-,于是222()τγβ=,且可验算有211()τββ=.如此下去,设123121212312,,,,,,,,,,,,,rn n nnτττταααβγγββγγβββ−−→−−→−−→−−→则有121r r τττττ-= .其中i τ都是镜面反射,即τ可以表示为镜面反射的乘积.8. 证明:每一个n 阶非奇异实矩阵A 都可以唯一的表示成A U T = 的形式,这里U 是一个正交矩阵,T 是一个上三角形实矩阵,且主对角线上的元素都是正数.证明:存在性 由于A 为n 阶非奇异实矩阵,因此12(,,,)n A ααα= 的列向量12,,,n ααα 线性无关,从而为nR 的一个基.施行正交化单位化,令1111t βα=2121222t t βαα=+………………………1122n n n nn n t t t βααα=+++其中0,1,2,,ii t i n >= .即有11212(,,,)(,,,)n n a a a T βββ-= .其中12,,,n βββ 是nR 的规范正交基,而11121222100n nnn t t t t t Tt -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭从而T 也是对角线上全为正实数的上三角矩阵.由12,,,n βββ 是规范正交基,所以以它为列所得的n 阶矩阵12(,,,)n U βββ= 是一正交矩阵,于是可知A U T =.唯一性 设另有11A U T =,其中U 1为正交矩阵,T 1为对角线上全为正实数的上三角矩阵,则111111UT U T TT U U --==或,所以上式既是上三角矩阵(对角线上元素全为正),又是正交矩阵.可以证明11TT I -=,即11,T T U U ==.8.4 对称变换和对称矩阵1. 设σ是n 维欧氏空间V 的一个线性变换.证明,如果σ满足下列三个条件中的任意两个,那么它必然满足第三个:(i )σ是正交变换;(ii )σ是对称变换;(ii )2σι=是单位变换.证明:σ是正交变换的充要条件是A 是正交矩阵;σ是对称变换的充要条件是A 是对称矩阵;2σι=的充要条件是2A I =.(i),(ii)⇒(iii):因为A 是正交矩阵又是对称矩阵,所以2'A A A I ==,因而2σι=;(i),(iii)⇒(ii):因为A 是正交矩阵,且2A I =,则可逆,所以1121''A A AAIAA AA---====,因而σ是对称变换;(ii),(iii)⇒(i):因为A 是对称矩阵,且2A I =,所以2'A A A I ==,因而σ是正交变换.2. 设σ是n 维欧氏空间V 的一个对称变换,且2σσ=.证明,存在V 的一个规范正交基,使得σ关于这个基的矩阵有形状10100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.证明:设A 为σ关于V 的一个规范正交基12{,,,}n ααα 的矩阵,则A 是n 阶实对称矩阵,且2A A =.设ξ是属于特征根λ的特征向量,则22,()A A A ξλξξλξλξ===.因为2A A =,所以2()0λλξ-=,又因为0ξ≠,所以20λλ-=,即01λ=或.因此存在正交矩阵U ,使1101'000U AU U AU -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.3. 证明:两个对称变换的和还是一个对称变换.两个对称变换的乘积还是不是对称变换?找出两个对称变换的乘积还是对称变换的一个充要条件.证明:设,στ是两个对称变换,它们关于同一个规范正交基的矩阵分别为A 和B ,则A ,B 是对称矩阵.因为()'A B +''A B A B =+=+,所以A B +是对称矩阵,因此στ+是对称变换.因为()'''AB B A BA ==,所以()'AB AB BA AB =⇔=.所以两个对称变换的乘积不一定是对称变换.两个对称变换的乘积是对称变换的充要条件是这两个对称变换相乘是可以交换的.4. n 维欧氏空间V 的一个线性变换σ说是反对称的,如果对于任意向量,V αβ∈,(),,()σαβασβ=-.证明:(i) 反对称变换关于V 的任意规范正交基的矩阵都是反对称的(满足条件'A A =-的矩阵叫反对称矩阵); (ii) 反之,如果线性变换σ关于V 的某一规范正交基的矩阵是反对称的,那么σ一定是反对称线性变换;(iii) 反对称矩阵的特征根或者是零,或者是纯虚数.证明:(i) 设σ是反对称的,12{,,,}n εεε 是一个规范正交基.令 11(),1,2,,i i in n k k i n σεεε=++= (1)则(),,(),i j ij j i jik k σεεσεε==.由反对称性知,ij jik k =-.从而ij jii j k k i j=⎧⎪=⎨-≠⎪⎩ ,1,2,,i j n = .那么12((),(),,())n σεσεσε121122121200(,,,)0n nn nnk k k k k k εεε⎛⎫⎪-⎪= ⎪⎪--⎝⎭(2)(ii) 设σ在规范正交基12{,,,}n εεε 下的矩阵(2)给出,即(),(),i j i jσεεσεε=-对于,V αβ∈,可以证明(),,()σαβασβ=-.因而σ是反对称的.(iii) 设λ是反对称矩阵A 的一个非零特征根.ξ是属于λ的特征向量,即A ξλξ=.那么''(')''()'()'A A A A A ξξξξξξξξξξ=-=-=-=-所以''λξξλξξ=-,故λλ=-.令a bi λ=+,a a =-即0a =,所以bi λ=.5. 令A 是一个反对称实矩阵.证明,I+A 可逆,并且1()()U I A I A -=-+是一个正交矩阵.证明:由上一题知,A 的特征根只能是零或纯虚数,1±不是A 的特征根,因此0I A ±≠,所以I A +,I A -都可逆.11111111'[()()][()()]'()()()()()[()()]()()[()()]()()()()()U U I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I--------=-+-+=-+-+=--++=-+-+=--++=又因为U 是实矩阵,所以是正交矩阵.6. 对于下列实对称矩阵A ,各求出一个正交矩阵U ,使得'U AU 是对角形式:(i) 112822108105A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭; (ii) 178481744411A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭.解:(i) 特征多项式为 (9)(9)(18)I A λλλλ-=+--;解三个齐次线性方程组,得属于特征根-9,9,18的特征向量分别为123(1,2,2),(2,2,1),(2,1,2)ξξξ=-==-;单位化得(此题不需要正交化)123111(1,2,2),(2,2,1),(2,1,2)333ηηη=-==-;则所求矩阵为12212213212U ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭;(ii) 所求矩阵为313104U ⎛⎫=--⎪-⎝⎭。
第九章 欧氏空间一、判断题1、12,,,n εεε是n 维欧氏空间的一组基,矩阵()ij n n A a ⨯=,其中(,)ij i j a εε=,则A 是正定矩阵。
( )2、设V 是一个欧氏空间,,V αβ∈,并且αβ=,则αβ+与αβ-正交。
( )3、设V 是一个欧氏空间,,V αβ∈,并且(,)0αβ=,则,αβ线性无关。
( )4、n 维Euclid 空间中任意一个正交向量组都能扩充成一组正交基 ( )5、若T 是正交变换,则T 保持向量的内积不变 ( )6、度量矩阵是正定的 ( )7、正交矩阵的行列式等于1 ( )8、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。
( )9、设A 与B 都是n 阶正交矩阵,则AB 也是正交矩阵。
10、在欧氏空间V 中,若向量α与自身正交,则0=α.( )11、两两正交的向量构成的向量组叫正交向量组.( )12、若矩阵A 为正交矩阵,则1-='A A .( )13、设A 是n 维欧氏空间V 的正交变换,则A 在V 的任意基下的矩阵是正交矩阵.( )14、设21,V V 是n 维欧氏空间V 的两个正交子空间,且21V V V +=,则21V V V ⊕=。
( )15、对称矩阵A 的任意两个特征向量都正交。
( )二、填空题1、在欧氏空间3R 中,向量(1,0,1)α=-,(0,1,0)β=,那么(,)αβ=_________, α=_________.2、两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________.3、已知A 是一个正交矩阵,那么1A -=_________,2A =_________. 4、已知三维欧式空间V 中有一组基123,,ααα,其度量矩阵为110120003A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,则向量12323βααα=+-的长度为 。
5、已知A 为n 阶正交阵,且|A|<0,则|A|= .6、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为 。
第九章 欧氏空间一、判断题1、12,,,n εεε是n 维欧氏空间的一组基,矩阵()ij n n A a ⨯=,其中(,)ij i j a εε=,则A 是正定矩阵。
( ) 2、设V 是一个欧氏空间,,V αβ∈,并且αβ=,则αβ+与αβ-正交。
( )3、设V 是一个欧氏空间,,V αβ∈,并且(,)0αβ=,则,αβ线性无关。
( )4、n 维Euclid 空间中任意一个正交向量组都能扩充成一组正交基 ( )5、若T 是正交变换,则T 保持向量的内积不变 ( )6、度量矩阵是正定的 ( )7、正交矩阵的行列式等于1 ( )8、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。
( )9、设A 与B 都是n 阶正交矩阵,则AB 也是正交矩阵。
10、在欧氏空间V 中,若向量α与自身正交,则0=α。
( )11、两两正交的向量构成的向量组叫正交向量组.( )12、若矩阵A 为正交矩阵,则1-='A A .( )13、设A 是n 维欧氏空间V 的正交变换,则A 在V 的任意基下的矩阵是正交矩阵。
( )14、设21,V V 是n 维欧氏空间V 的两个正交子空间,且21V V V +=,则21V V V ⊕=.( )15、对称矩阵A 的任意两个特征向量都正交.( )二、填空题1、在欧氏空间3R 中,向量(1,0,1)α=-,(0,1,0)β=,那么(,)αβ=_________,α=_________.2、两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________.3、已知A 是一个正交矩阵,那么1A -=_________,2A =_________. 4、已知三维欧式空间V 中有一组基123,,ααα,其度量矩阵为110120003A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,则向量12323βααα=+-的长度为 。
5、已知A 为n 阶正交阵,且|A |〈0,则|A |= 。