相似三角形难题

一、相似三角形中的动点问题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B 作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．2.如图，在△ABC 中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．3.如图1，在Rt△ABC 中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE 平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P 沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q 沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t ＜6）。

一、相似三角形中的动点问题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．2.如图，在△ABC 中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．3.如图1，在Rt△ABC 中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE 平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。

学习-----好资料一、相似三角形中的动点问题1.如图，在 Rt △ABC 中，/ ACB=90 , AC=3 BC=4 过点 B 作射线 BB1 // AC 动点D 从点A 出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的 P 点到达B 点时，Q 点随之停止运动.设运动的时间 为x .(1) 当x 为何值时，PQ// BC ? (2) ^ APQ M^ CQB 能否相似？若能，求出 AP 的长; 若不能说明理由.速度运动，同时动点E 从点C 沿射线AC 方向以每秒3个 单位的速度运动.过点 D 作DH L AB 于H,过点E 作EF 丄 AC 交射线BB1于F , G 是EF 中点，连接 DG 设点D 运动 的时间为t 秒.(1)当t 为何值时，AD=AB 并求出此时 DE 的长度;2. 如图，在△ ABC 中，/ ABC= 90°, AB=6m BC=8m 动 点P 以2m/s 的速度从A 点出发，沿 AC 向点C 移动.同 时，动点Q 以1m/s 的速度从C 点出发，沿 CB 向点B 移 动•当其中有一点到达终点时，它们都停止移动•设移 动的时间为t 秒.(1) ①当t=2.5s 时，求△ CPQ 勺面积；②求△ CPQ 的面积S (平方米)关于时间 t (秒)的函数 解析式；(2) 在P , Q 移动的过程中，当△ CPQ 为等腰三角形时， 求出t 的值.沿AB 边从A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动；点 Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动.如 果P 、Q 同时出发，用t (s )表示移动的时间(0v t v 6)。

(1) 当t 为何值时，△ QAP 为等腰直角三角形？(2) 当t 为何值时，以点 Q A 、P 为顶点的三角形 与厶ABC 相似？二、构造相似辅助线一一双垂直模型6.在平面直角坐标系 xOy 中，点A 的坐标为(2 , 1), 正比例函数y=kx 的图象与线段 OA 的夹角是45°，求 这个正比例函数的表达式.3. 如图 1，在 Rt △ ABC 中，—ACB= 90°, AC = 6, BC = 8, 点D 在边AB 上运动，DE 平分—CDB 交边BC 于点E , EM 丄BD,垂足为M , EN L CD 垂足为N. (1) 当 AD= CD 时，求证：DE// AC;(2) 探究：AD 为何值时，△ BME W^ CNE 相似？4. 如图所示，在△ ABC 中，BA= BC= 20cm, AC = 30cm,点 P 从 A点出发，沿着 AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点 Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A点运动，当(2)当厶DEG 与厶ACB 相似时, 求t 的值.7.在厶 ABC 中, AB= ■ ,AC=4, BC=2以AB 为边在C 点的异侧 作厶ABD 使厶ABD 为等腰直角 三角形，求线段 CD 的长.12.四边形ABCD中, AC为AB AD的比例中项，且AC 平分/ DAB8.在厶ABC中，AC=BC /ACB=90，点M 是AC 上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB 上的P点.求证：MC NC=AP PB.求证:BE _ BC2ci-CD513.在梯形ABCD中, AB// CD AB= b, CD= a, E为AD 边上的任意一点，EF/ AB,且EF交BC于点F,某同学在研究这一问题时,空=1（1）当― 时，发现如下事实:a+b厂EF=9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO勺边OA在x轴上,边OC在y轴上，点B的坐标为（1, 3）,将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E.那么D 点的坐标为（）EF= _ ；⑶当一站DEEF= .当一一时，参照上述研究结论，请你猜想用一般结论，并给出证明.B. D.2色汀丿3 12^10..已知，如图，直线y= - 2x + 2与坐标轴交于A、B两点.以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD使得矩形的两边之比为1 : 2。

一、相似三角形中的动点问题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH ⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．2.如图，在△ABC 中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B 移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．3.如图1，在Rt△ABC 中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE 平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。

一、相似三角形中的动点问题4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，动．设运动的时间为x．过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设（1）当x为何值时，PQ∥BC？点D运动的时间为t秒．（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；若不能说明理由．（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P 2.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q 时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜ t 动的时间为t秒．＜6）。

（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形析式；与△ABC相似？（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．二、构造相似辅助线——双垂直模型3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， 6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，正比例函数y=kx的图象与线段EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．OA的夹角是45°，求这个正比（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；例函数的表达式．（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？5.在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点三、构造相似辅助线——A、X字型4.如图：△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的中线AE交CD于F。

一、相似三角形中的动点问题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB 于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．2.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．3.如图1，在Rt△ABC 中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE 平分CDB交边BC于点E，EM ⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t ＜6）。

相似三角形难题精选模块一：相似三角形中的动点问题如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C 沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A 点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE 平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB 以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s 的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q 同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。

，ABC2m/s的速度从A点出移动．同时，动点Q以1m/s的速度从中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝平分CDB开始向点A以1cm/s的速度同时出发，用t（s）表示移动的时——双垂直模型，点A的坐标为(2，的图象与线段OA的夹角是45AB=，，∠ACB=90°，点M是AC上的一轴于点E．那么D点的坐标为A. B.C. D.——A、X字型AE交CD于F求证：平分∠DAB。

求证：某同学在研究这一问题时，发现如下事实：(1)当时EF=；当时；(3)当时．当时，参照上述研究结论，请你猜想用a、b和k表示EF的）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的．）角平分线定理：三角形一个角的于点E、F．求证：．O，过O作EF//AB求证：．求证：．已知，在△ABC中作内接菱形CDEF，设菱形的边．求证：．，点在平行四边形ABCD的对角线上，一直线过点P分别交，BC的延长线于点，交于点．求证：，当点在平行四边形ABCD的对角线或的延长线上时，是否长线分别相交于点E、求证：中，AD⊥BC于D，H为；在AD上有一点P，斜边AB上的高，E为的中点，ED的延长线交CA求证：的延长线交于点E.））求证：.CG,AE与CG相交于点．ABC的两边上的高，过DBA的延长线于F、H。

，△DEF的顶点E位于交于点M，EF与AC交于点三角形并证明你的结论．）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除ABC中，AD⊥DE=3+3-5=1。

求证：）≦时相似，有两种情况：①△DEG∽△ACB，此时，即：，求得：t=；②△DEG∽△BCA，此时，即：，求得：t=；t>时，相似，有两种情况：③△DEG∽△ACB，此时，即：，求得：t=；④△DEG∽△BCA，此时，即：，求得：t=．的值为或或或．∠ACD平分CDB∴△BME∽△CNE，如图∵∠NCE=∠MBEAD=BD=AB中，ACB ∴△BME∽△ENC，如图∵∠NCE=∠MEB中，ACB ∴△ACD∽△ABC∴∴或时，△∥BC时，，即：解得：AP=cm AP=20cm①△APQ∽，解得：或（舍）AP=cm②△APQ∽，解得：（符合题意）此时：AP=cmAP=cm①当△，，解得：（符合题意）②当△，，解得：（符合题意）当或时，以点过点A作AB⊥OA，交待求直线于点y轴的直线交x轴于点C，过点B作则由上可知：＝由双垂直模型知：△OCA∴，＝第二种情况，图象经过第二、四象限过点A作AB⊥OA，交待求直线于点轴的直线交y轴于点C，过点B作则由上可知：＝由双垂直模型知：△OCA∴，＝＝x 答案：解：情形一：情形二：情形三：8.答案：证明：方法一：连接PC，过点P作PD⊥AC于D，则PD//BC 根据折叠可知MN⊥CPPB方法二：如图，由双垂直模型，知，解题思路：如图∴△DMC∽△AND，∴CM=x，则＝＋＝∴x＝∴，则。

一、相似三角形中的动点问题1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B 作射线BB1∥AC ．动点D 从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E 从点C 沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D 作DH ⊥AB 于H ，过点E 作EF ⊥AC 交射线BB1于F ，G 是EF 中点，连接DG ．设点D 运动的时间为t 秒．（1）当t 为何值时，AD=AB ，并求出此时DE 的长度；（2）当△DEG 与△ACB 相似时，求t 的值．2.如图，在△ABC 中，ABC ＝90°，AB=6m ，BC=8m ，动点P 以2m/s 的速度从A 点出发，沿AC 向点C 移动．同时，动点Q 以1m/s 的速度从C 点出发，沿CB 向点B 移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t 秒．（1）①当t=2.5s 时，求△CPQ 的面积；②求△CPQ 的面积S （平方米）关于时间t （秒）的函数解析式；（2）在P ，Q 移动的过程中，当△CPQ 为等腰三角形时，求出t 的值．3.如图1，在Rt △ABC 中，ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 在边AB 上运动，DE 平分CDB 交边BC 于点E ，EM ⊥BD ，垂足为M ，EN ⊥CD ，垂足为N ．（1）当AD ＝CD 时，求证：DE ∥AC ；（2）探究：AD 为何值时，△BME 与△CNE 相似？4.如图所示，在△ABC 中，BA ＝BC ＝20cm ，AC ＝30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，当P 点到达B 点时，Q 点随之停止运动．设运动的时间为x ．（1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？（2）△APQ 与△CQB 能否相似？若能，求出AP 的长；若不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB 边从A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t （s ）表示移动的时间（0＜t ＜6）。