一、相似三角形中的动点问题
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．
2.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．
（1）①当t=时，求△CPQ的面积；
②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；
（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．
3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．
（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；
（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A 点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．
（1）当x为何值时，PQ∥BC？
（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．
5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
二、构造相似辅助线——双垂直模型
6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式．
7.在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段
8.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB．
9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么D点的坐标为（）
A. B.
C. D.
10..已知，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。
求C、D两点的坐标。
三、构造相似辅助线——A、X字型
11.如图：△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。
求证：12.四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC 平分∠DAB。
求证：
13.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝b，CD＝a，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交BC于点F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：
(1)当时，EF=；(2)当时，EF=；
(3)当时，EF=．当时，参照上述研究结论，请你猜想用
a、b和k表示EF的一般结论，并给出证明．
14.已知：如图，在△ABC中，M是AC的中点，E、F 是BC上的两点，且BE＝EF＝FC。
求BN：NQ：QM．
15.证明：（1）重心定理：三角形顶点到重心的距离
平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例．
四、相似类定值问题
16.如图，在等边△ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD、CD的延长线分别交AC、AB 于点E、F．
求证：．
17.已知：如图，梯形ABCD中，AB图，在△ABC中，已知CD为边AB上的高，正方形EFGH的四个顶点分别在△ABC上。
求证：．
19.已知，在△ABC中作内接菱形CDEF，设菱形的边长为a．求证：．
五、相似之共线线段的比例问题
20.（1）如图1，点在平行四边形ABCD的对角线BD 上，一直线过点P分别交BA，BC的延长线于点Q，S，交于点．求证：
（2）如图2，图3，当点在平行四边形ABCD的对角线或的延长线上时，是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明）；
21.已知：如图，△AB C中，AB＝AC，AD是中线，P是AD 上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP2＝PE·PF．
22.如图，已知ΔABC中，AD，BF分别为BC，AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G，交AC 延长线于H。求证：DE2=EG?EH
23.已知如图，P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H.
求证：
24.已知，如图，锐角△ABC中，AD⊥BC于D，H为垂心（三角形三条高线的交点）；在AD上有一点P，且∠BPC 为直角．求证：PD2＝AD·DH。
六、相似之等积式类型综合
25.已知如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC 的中点，ED的延长线交CA于F。
求证：
26如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M 在CD上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E.
求证：（1）△AED∽△CBM；（2）
27.如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB 于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.
（1）求证：.
（2）若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由.
28.如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE 与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．求证：．
29.如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H。
求证：（1）DG2＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH
七、相似基本模型应用
30.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；
（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．31.如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；（2）求BP：PQ：QR．
32.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC 于F。求证：
答案：1.答案：解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4
∴AB=5
又∵AD=AB，AD=5t
∴t=1，此时CE=3，
∴DE=3+3-5=1
（2）
如图当点D在点E左侧，即：0≦t≦时，DE=3t+3-5t=3-2t．若△DEG与△ACB相似，有两种情况：
①△DEG∽△ACB，此时，
即：，求得：t=；
②△DEG∽△BCA，此时，
即：，求得：t=；
如图，当点D在点E右侧，即：t>时，DE=5t-(3t+3)=2t-3．若△DEG与△ACB相似，有两种情况：
③△DEG∽△ACB，此时，
即：，求得：t=；
④△DEG∽△BCA，此时，
即：，求得：t=．
综上，t的值为或或或．
3.答案：解：（1）证明：∵AD=CD ∴∠CDE=∠BDE
∵∠CDB为△CDB的一个外角
∴∠CDB=∠A+∠ACD=2∠ACD
∵∠CDB=∠CDE+∠BDE=2∠CDE
∴∠ACD=∠CDE
∴DE∥AC
（2）①∠NCE=∠MBE
∵EM⊥BD，EN⊥CD，
∴△BME∽△CNE，如图
∵∠NCE=∠MBE
∴BD=CD
又∵∠NCE+∠ACD=∠MBE+∠A=90°
∴∠ACD=∠A
∴AD=CD
∴AD=BD=AB
∵在Rt△AB C中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8
∴AB=10
∴AD=5
②∠NCE=∠MEB
∵EM⊥BD，EN⊥CD，
∴△BME∽△ENC，如图
∵∠NCE=∠MEB
∴EM∥CD
∴CD⊥AB
∵在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8
∴AB=10
∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB
∴△ACD∽△ABC
∴
∴
综上：AD=5或时，△BME与△CNE相似．
4.答案：解（1）由题意：AP=4x，CQ=3x，AQ=30-3x，当PQ∥BC时，，即：
解得：
（2）能，AP=cm或AP=20cm
①△APQ∽△CBQ，则，即
解得：或（舍）
此时：AP=cm
②△APQ∽△CQB，则，即
解得：（符合题意）
此时：AP=cm
故AP=cm或20cm时，△APQ与△CQB能相似．
5.答案：解：设运动时间为t，则DQ=t，AQ=6-t，AP=2t，BP=12-2t．
（1）若△QAP为等腰直角三角形，则AQ=AP，即：6-t=2t，t=2（符合题意）
①当△QAP∽△ABC时，，即：，
解得：（符合题意）；
②当△PAQ∽△ABC时，，即：，
解得：（符合题意）．
∴ 当或时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．6.答案：解：分两种情况
第一种情况，图象经过第一、三象限
过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于y 轴的直线交x轴于点C，过点B作BD⊥AC
则由上可知：＝90°
由双垂直模型知：△OCA∽△ADB
∴
∵A（2，1），＝45°
∴OC＝2，AC＝1，AO＝AB
∴AD＝OC＝2，BD＝AC＝1
∴D点坐标为（2，3）
∴B点坐标为（1，3）
∴此时正比例函数表达式为：y＝3x
第二种情况，图象经过第二、四象限
过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于x 轴的直线交y轴于点C，过点B作BD⊥AC
则由上可知：＝90°
由双垂直模型知：△OCA∽△ADB
∴
∵A（2，1），＝45°
∴OC＝1，AC＝2，AO＝AB
∴AD＝OC＝1，BD＝AC＝2
∴D点坐标为（3，1）
∴B点坐标为（3，﹣1）
∴此时正比例函数表达式为：y＝x
7.答案：解：情形一：
情形二：
情形三：
8.答案：证明：方法一：
连接PC，过点P作PD⊥AC于D，则PD//BC
根据折叠可知MN⊥CP
∵∠2+∠PCN=90°，∠PCN+∠CNM=90°
∴∠2=∠CNM
∵∠CDP=∠NCM=90°
∴△PDC∽MCN
∴MC：CN=PD：DC
∵PD=DA ∴DA：DC=PA：PB
∴MC：CN=PA：PB
方法二：如图，
过M作MD⊥AB于D，过N作NE⊥AB于E
由双垂直模型，可以推知△PMD∽NPE，则，
根据等比性质可知，而MD=DA，NE=EB，PM=CM，PN=CN，∴MC：CN=PA：PB
9.答案：A
解题思路：如图
过点D作AB的平行线交BC的延长线于点M，交x轴于点N，则∠M=∠DNA=90°，
由于折叠，可以得到△ABC≌△ADC，
又由B（1，3）
∴BC=DC=1，AB=AD=MN=3，∠CDA=∠B=90°
∴ ∠1+∠2=90°
∵ ∠DNA=90°
∴ ∠3+∠2=90°
∴ ∠1=∠3
∴ △DMC∽△AND，
∴
设CM=x，则DN=3x，AN=1＋x，DM＝
∴3x＋＝3
∴x＝
∴，则。答案为A
10.答案：解：
过点C作x轴的平行线交y轴于G，过点D作y轴的平行线交x轴于F，交GC的延长线于E。
∵直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点
∴A（1,0），B（0,2）
∴OA=1，OB=2，AB=
∵AB：BC=1:2
∴BC=AD=
∵∠ABO+∠CBG=90°，∠ABO+∠BAO=90°
∴∠CBG=∠BAO
又∵∠CGB=∠BOA=90°
∴△OAB∽△GBC
∴
∴GB=2，GC=4
∴GO=4
∴C（4,4）
同理可得△ADF∽△BAO，得
∴DF=2，AF=4∴OF=5∴D（5,2）
11.答案：证明：（方法一）如图
延长AE到M使得EM=AE，连接CM
∵BE=CE，∠AEB=∠MEC
∴ △BEA≌△CEM
∴CM=AB，∠1=∠B
∴△MCF∽△ADF
∴
∵CM=AB，AD=AC
∴
（方法二）
过D作DG∥BC交AE于G
则△ABE∽△ADG，△CEF∽△DGF
∴，
∵AD=AC，BE=CE
∴
12.答案：证明：
过点D作DF∥AB交AC的延长线于点F，则∠2=∠3
∵AC平分∠DAB
∴∠1=∠2
∴∠1=∠3
∴AD=DF
∵∠DEF=∠BEA，∠2=∠3
∴△BEA∽△DEF
∴
∵AD=DF
∴
∵AC为AB、AD的比例中项
∴
即
又∵∠1=∠2
∴△ACD∽△ABC
∴
∴
∴
13.答案：解：
证明：
过点E作PQ∥BC分别交BA延长线和DC于点P和点Q
∵AB∥CD，PQ∥BC
∴四边形PQCB和四边形EQCF是平行四边形
∴PB＝EF＝CQ，
又∵A B＝b，CD＝a
∴AP＝PB-AB＝EF-b，DQ＝DC-QC＝a-EF
∴
∴
14.答案：解：
连接MF
∵M是AC的中点，EF＝FC
∴MF∥AE且MF＝AE∴△BEN∽△BFM∴BN：BM＝BE：BF＝NE：MF∵BE＝EF∴BN：BM＝NE：MF＝1:2∴BN：NM＝1:1设NE＝x，则MF＝2x，AE＝4x∴AN＝3x∵MF∥AE∴△NAQ∽△MFQ∴NQ：QM＝AN：MF＝3:2∵BN：NM＝1:1，NQ：QM＝3:2∴BN：NQ：QM＝5:3:2
15.答案：证明：（1）∵CF∥BE且E为AC中点
∴∠AEO＝∠ACF，∠OBD＝∠FCD，AC＝2AE
∵∠EAO＝∠CAF
∴△AEO∽△ACF
∴
∵D为BC的中点，∠ODB＝∠FDC
∴△BOD≌△CFD
∴BO＝CF
∴
∴
同理，可证另外两条中线
∴三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的
（2）
如图2，AD为△ABC的角平分线
过点C作AB的平行线CE交AD的延长线于E
则∠BAD=∠E
∵AD为△ABC的角平分线
∴∠BAD=∠CAD
∴∠E=∠CAD
∴AC＝CE
∵CE∥AB
∴△BAD∽△CED
∴
∴
16.答案：证明：
如图，作DP∥AB，DQ∥AC
则四边形MDPB和四边形NDQC均为平行四边形且△DPQ是等边三角形
∴BP+CQ＝MN，DP＝DQ＝PQ
∵M、N分别是边AB，AC的中点
∴MN＝BC＝PQ
∵DP∥AB，DQ∥AC
∴△CDP∽△CFB，△BDQ∽△BEC
∴，
∴
∵DP＝DQ＝PQ＝BC＝AB
∴AB（）＝
∴
17.答案：证明：∵EF//AB，AB//DC
∴EF//DC
∴△AOE∽△ACD，△DOE∽△DBA
∴，
∴
∴
18.答案：证明：∵EF∥CD，EH∥AB
∴，
∴，
∵EF＝EH
∴
∴
19.答案：证明：∵EF∥AC，DE∥BC
∴，
∵，
∴△BFE∽△BCA，△AED∽△ABC
∴，
∴
∵EF＝DE＝a
∴
20.答案：（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠DRP=∠S，∠RDB=∠DBS
∴△DRP∽△BSP
∴
同理由AB∥CD可证△PTD∽△PQB
∴
∴
∴
（2）证明：成立，理由如下：
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠PRD=∠S，∠RDP=∠DBS
∴△DRP∽△BSP
∴
同理由AB∥CD可证△PTD∽△PQB
∴
∴
∴
21.答案：证明:
∵AB＝AC，AD是中线，
∴AD⊥BC,BP=CP
∴∠1=∠2
又∵∠ABC=∠ACB
∴∠3=∠4
∵CF∥AB
∴∠3=∠F,∠4=∠F
又∵∠EPC=∠CPF
∴△EPC∽△CPF
∴∴BP2＝PE·PF即证所求
22.答案：证明：∵DE⊥AB
∴＝90°
∵＝90°
∴
∵
∴△ADE∽△DBE
∴∴＝90°
∵＝90°且
∴
∵
∴△BEG∽△HEA
∴
∴＝∴DE2=EG•EH
23.答案：证明：
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB∥CD，AD∥BC
∴∠1=∠2，∠G=∠H，∠5=∠6
∴△PAH∽△PCG
∴
又∵∠3=∠4
∴△APE∽△CPF
∴
∴
24.答案：证明：如图，连接BH交AC于点E，
∵H为垂心
∴BE⊥AC
∴∠EBC+∠BCA=90°
∵AD⊥BC于D
∴∠DAC+∠BCA=90°
∴∠EBC=∠DAC
又∠BDH=∠ADC=90°
∴△BDH∽△ADC
∴，即∵∠BPC为直角，AD⊥BC∴PD2＝BD·DC∴PD2＝AD·DH
25.答案：证明：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E 为BC的中点
∴CE=EB=DE
∴∠B=∠BDE=∠FDA
∵∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90°
∴∠B=∠ACD
∴∠FDA=∠ACD
∵∠F=∠F
∴△FDA∽△FCD
∴
∵∠ADC=∠CDB=90°，∠B=∠ACD
∴△ACD∽△CBD
∴
∴
即
26.答案：证明：（1）∵∠ACB＝∠ADC＝90°
∴∠A＋∠ACD＝90°
∠BCM＋∠ACD＝90°
∴∠A＝∠BCM
∠ADE＝∠ADC＋∠MDH＝90°＋∠MDH
∴∠ADE＝∠CMB
∴△AED∽△CBM
（2）由上问可知：，即
故只需证明即可
∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠ABC
∴△ACD∽△ABC
∴，即
∴
27.答案：（1）将结论写成比例的形式，，可以考虑证明△FDB∽△FCD（已经有一个公共角∠F）
Rt△ACD中，E是AC的中点
∴DE=AE
∴∠A=∠ADE
∵∠ADE=∠FDB
∴∠A=∠FDB
而∠A+∠ACD=90°
∠FCD+∠ACD=90°
∴∠A=∠FCD
∴∠FCD=∠FDB
而∠F=∠F
∴△FBD∽△FDC
∴
∴（2）判断：GD与EF垂直Rt△CDB中，G是BC的中点，∴GD＝GB∴∠GDB=∠GBD而∠GBD+∠FCD=90°又∵∠FCD=∠FDB（1的结论）∴∠GDB+∠FDB=90°∴GD⊥EF 28.答案：证明：由四边形ABCD、DEFG都是正方形可知，∠ADC=∠GDE=90°，则∠CDG=∠ADE=∠ADG+90°
在和中
∴≌
则∠DAM=∠DCN
又∵∠ANM=∠CND
∴△ANM∽△CND
则
∴
29.答案：证明：找模型。
（1）△BCD、△BDG，△CDG构成母子型相似。∴△BDG∽△DCG
∴
∴DG2＝BG·CG
（2）分析：将等积式转化为比例式。
BG·CG＝GF·GH
∵∠GFC=∠EFH，而∠EFH+∠H=90°，∠GFC+∠FCG=90°∴∠H=∠FCG
而∠HGB=∠CGF=90°
∴△HBG∽△CFG
∴∴BG·CG＝GF·GH．∵∠B=∠C∴△BEM∽△CNE（2）△COE∽△EON证明：∵∠OEN=∠C＝45°，∠COE＝∠EON∴△COE∽△EON 31.
答案：解：（1）△BCP∽△BER，△CQP∽△DQR，
△ABP∽△CQP，△DQR∽△ABP
（2）∵AC∥DE
∴△BCP∽△BER
∴
∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形
∴AD=BC，AD=CE
∴BC=CE，即点C为BE的中点
∴
又∵AC∥DE
∴△CQP∽△D QR
∴
∵点R为DE的中点
∴DR=RE
∴综上：BP：PQ：QR＝3：1：2
32.答案：证明：∵AD⊥BC，DE⊥AB
∴△ADB∽△AED
∴
∴AD2＝AEAB
同理可证：AD2＝AFAC
∴AEAB＝AFAC
1、（2011?宁波）正方形的A 1
B 1
P 1
P 2
顶点P 1
、P 2
在反比例
函数y=x
2
（x ＞0）的图象上，顶点A 1
、B 1
分别在x 轴、
y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2
P 3
A 2
B 2
，顶点
P 3
在反比例函数y=
x
2
（x ＞0）的图象上，顶点A 2
在x 轴的正半轴上，则P 2
点的坐标为___________，则点P 3
的坐标为__________。
答案：P 2（2，1） P 2（3+1，3-1）
2、已知关于x 的方程x 2
+3x+a=0的两个实数根的倒数
和等于3，且关于x 的方程（k-1）x 2
+3x-2a=0有实根，且k 为正整数，正方形ABP 1P 2的顶点P 1、P 2在反比例函数y=
x
1
k +（x ＞0）图象上，顶点A 、B 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，求点P 2的坐标． 答案：（2，1）或（6，
2
6） 3、如图，正方形OABC 和正方形AEDF 各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形OABC 的边长为2． （1）求反比例函数的解析式；（2）求点D 的坐标．
答案：（
1） y=
4
(2) (15+,1-5) 4、两个反比例函数
如图所示，点P 1、P 2在反比例函数图象上，过点P 1作
x 轴的平行线与过点P 2作y 轴的平行线相交于点N ，若点N （m ，n ）恰好在NP 1与NP 2的乘积是______。 答案：3
答案：3
5、（2007?泰安）已知三点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），P 3（1，-2）都在反比例函数y=
x
k
的图象上，若x 1＜0，
2点分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，使四边形OAPB 为正方形，又在反比例函数图象上有点P 1，过点P 1分别作BP 和y 轴的垂线，垂足分别为A 1、B 1，使四边形BA 1P 1B 1为正方形，则点P 1的坐标是________。
答案：???
?
??+21-5215，
7、在反比例函数
x ＞0）的图象上，有一系列点P 1、P 2、P 3、…、Pn ，若P 1的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2．现分别过点P 1、P 2、P 3、…、Pn 作x 轴与y 轴的垂线段，构成若干个长方形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为S 1、S 2、S 3、…、Sn ，则S 1+S 2+S 3+…+S 2010=________。 答案：1
8、如图，四边形ABCD 为正方形，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，且OA=2，OB=4，反比例函数
一象限的图象经过正方形的顶点D ． （1）求反比例函数的关系式；
（2）将正方形ABCD 沿x 轴向左平移_____个单位长度时，点C 恰好落在反比例函数的图象上． 答案：（1）x
12
y =
（2）2 9、如图，已知△OP 1
A 1
、△A 1
P 2
A 、△A 2
P 3
A 3
、…均为等腰直角三角形，直角顶点P 1
、P 2
、x ＞0）图象上，点A 1
、A 2
、A 3
、…在x 轴的正半轴上，则点P
2010
的横坐标为________________。
答案：2011220102+
10、两个反比例函数y=-x
8的图象在第一象限，
第二象限如图，点P 1、P 2、P 3…P 2010在的横坐标分别是有这样规律的一行数列1，3，5，7，9，11，…，过点P 1、P 2、P 3、…、P 2010分别作x 轴的平行线，与y=-
x
8
的图象交点依次是Q 1、Q 2、Q 3、…、Q 2010，则点Q 2010的横坐标是______________。 答案：-8038
11、如图所示，正方形OABC ，ADEF 的顶点A ，D ，C 在坐标轴上；点FAB 上，点B ，E 在反比例函数y=
x
1
（x ＞0）的图象上．
（1）正方形MNPB 中心为原点O ，且NP∥BM，求正方形MNPB 面积．
（2）求点E 的坐标． 答案：（1）正方形MNPB 面积=4×正方形OABC 的面积
=4×1×1=4 （2）???
?
??+21-521
5，
12、(2011十堰）如图，平行四边形AOBC 中，对角线交于点E ，双曲线k ＞0）经过A ，E 两点，若平行四边形AOBC 的面积为24，则k=________。 答案：
8
13、如图，梯形AOBC 中，对角线交于点E ，双曲线（k ＞0）经过A 、E 两点，若AC ：OB=1：3，梯形AOBC 面积为24，则k=（ ） A 、
7108 B 、235 C 、465 D 、2
27
答案A
14、如图，已知点A 的坐标为（3，3），AB 丄x 轴，
垂足为B ，连接OA ，反比例函数y=
x
k
（k ＞0）的图象与线段OA 、AB 分别交于点C 、D ．若AB=3BD ，以点C 为圆心，CA 的
4
5
倍的长为半径作圆，则该圆与x 轴的位置关系是________。（填”相离”，“相切”或“相交“）． 答案：相交
14、(2011?武汉)如图，?ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别是A （-1，0），B （0，-2），顶点C 、D 在双曲线y=
x
k
上，边AD 交y 轴于点E ，且四边形BCDE 的面积是△ABE
面积的5倍，则k=_______。 答案：12
解：如图，过C 、D 两点作x 轴的垂线，垂足为F 、G ，DG 交BC 于M 点，过C 点作CH⊥DG，垂足为H ， ∵ABCD 是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，
∵BO∥DG ，∴∠OBC=∠GDE ，∴∠HDC=∠ABO ，∴△CDH≌△ABO （ASA ）， ∴CH=AO=1，DH=OB=2，设C （m+1，n ），D （m ，n+2），则（m+1）n=m （n+2）=k ，解得n=2m ，则D 的坐标是（m ，2m+2），
设直线AD 解析式为y=ax+b ，将A 、D 两点坐标代入得
{
,①
0a 2②
2m b ma =+-+=+b
由①得：a=b ，代入②得：mb+b=2m+2，即b （m+1）=2（m+1），解得b=2，∴a=b=2 ∴y=2x+2，E （0，2），BE=4，∴S △ABE
=
2
1
×BE×AO=2， ∵S
四边形BCDE
=5S △ABE
=5×
2
1
×4×1=10，∴S △ABE
+S 四边形BEDM
=10，
相似三角形经典大题解析 1.如图，已知一个三角形纸片ABC ，B C 边的长为8，B C 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为A B 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作M N B C ∥，交A C 于点N ，在A M N △中，设M N 的长为x ，M N 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ． （2）将AMN △沿M N 折叠，使A M N △落在四边形B C N M 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A M N △与四边形B C N M 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？ 【答案】解：（1）M N B C ∥ A M N A B C ∴△∽△ 68 h x ∴= 34 x h ∴= （2）1AM N A M N △≌△ 1A M N ∴△的边M N 上的高为h ， ①当点1A 落在四边形B C N M 内或B C 边上时， 1A M N y S =△= 2 11332 2 4 8 M N h x x x = = ·· （04x <≤） ②当1A 落在四边形B C N M 外时，如下图(48)x <<， 设1A EF △的边E F 上的高为1h ， 则132662h h x =-= - 11EF M N A EF A M N ∴ ∥△∽△ 11A M N ABC A EF ABC ∴ △∽△△∽△
12 16A EF S h S ??= ??? △△ABC 168242 A B C S = ??= △ 2 2 3632241224 62EF x S x x ?? - ?∴==?=-+ ? ??? 1△A 112 223 3912241224828A M N A EF y S S x x x x x ??=-= --+=-+- ??? △△ 所以 2 91224 (48)8 y x x x =- +-<< 综上所述：当04x <≤时，2 38 y x =，取4x =，6y =最大 当48x <<时，2 912248 y x x =-+-， 取163 x = ，8y =最大 86> ∴当163 x = 时，y 最大，8y =最大 M N C B E F A A 1
相似三角形难题精选 模块一：相似三角形中的动点问题 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C 沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度； （2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值． 如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A 点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积； ②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式； （2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时， 求出t的值．
如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE 平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N． （1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC； （2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？ 如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB 以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？ （2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由.
相似三角形压轴经典大题解析 1.如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ． （2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ， 1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？ 【答案】解：（1） MN BC ∥ AMN ABC ∴△∽△ 68 h x ∴= 34 x h ∴= （2）1AMN A MN △≌△ 1A MN ∴△的边MN 上的高为h ， ①当点1A 落在四边形BCNM 内或BC 边上时， 1A MN y S =△=211332248MN h x x x ==··（04x <≤） ②当1A 落在四边形BCNM 外时，如下图(48)x <<， 设1A EF △的边EF 上的高为1h ， 则13 2662 h h x =-= - 11EF MN A EF A MN ∴∥△∽△ 11A MN ABC A EF ABC ∴△∽△△∽△
12 16A EF S h S ??= ??? △△ABC 1 68242 ABC S =??=△ 2 2 363224122 462EF x S x x ??- ?∴==?=-+ ? ? ?? 1△A 1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ?? =-= --+=-+- ??? △△ 所以 2 91224(48)8 y x x x =- +-<< 综上所述：当04x <≤时，2 38 y x =，取4x =，6y =最大 当48x <<时，2 912248 y x x =-+-， 取16 3x = ，8y =最大 86> ∴当16 3 x =时，y 最大，8y =最大 2．如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点． （1）求出抛物线的解析式； （2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由； M N C B E F A A 1
一、相似三角形中的动点问题 1.如图，在Rt△ ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过 点B作射线BB1∥AC．动点D 从点A 出发沿射线AC方向 以每秒5 个单位的速度运动，同时动点E 从点C沿射线 AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB 于H，过点E作EF⊥ AC交射线BB1于F，G是EF中点， 连接DG．设点D 运动的时间为t 秒． （1）当t 为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度； （2）当△DEG与△ACB 相似时，求t 的值． 点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运 动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm 的速度向A 点运动，当P点到达B点时，Q 点随之停止运动．设运动 的时间为x． （1）当x 为何值时，PQ∥ BC？ （2）△APQ 与△CQB能否相似？若能，求出AP的长； 若不能说明理由． 2.如图，在△ ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m， 动点P 以2m/s 的速度从A 点出发，沿AC 向点C 移 动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向 点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移 动．设移动的时间为t 秒． （1）① 当t=2.5s 时，求△ CPQ的面积； ② 求△ CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数 解析式； （2）在P，Q 移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形 时，求出t 的值． 5.如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点P 沿 AB 边从A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动；点Q 沿DA 边从点D开始向点A以1cm/s 的速度移动．如果P、Q 同 时出发，用t（s）表示移动的时间（0< t <6）。 （1）当t 为何值时，△ QAP为等腰直角三角形？（2） 当t 为何值时，以点Q、A、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？ 3.如图1，在Rt△ ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， 点D 在边AB 上运动，DE 平分CDB交边BC 于点E， EM⊥ BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N． （1）当AD＝CD 时，求证：DE∥AC； （2）探究：AD 为何值时，△BME与△CNE相似？ 二、构造相似辅助线——双垂直模型 6.在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（2，1）， 正比例函数y=kx 的图象与线段OA 的夹角是45°，求这个 正比例函数的表达式． 7.在△ABC中，AB= ，AC=4， BC=2，以AB 为边在 C点的异侧作△ABD，使△ABD 为等腰直角三角形， 4.如图所示，在△ ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm ，
相似三角形 一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，求证：△ADE ∽△EFC ． 2．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点F 在BC 上，连DF 与AB 的延长线交于点G ． （1）求证：△CDF ∽△BGF ； （2）当点F 是BC 的中点时，过F 作EF ∥CD 交AD 于点E ，若AB=6cm ，EF=4cm ，求CD 的长． 3．如图，点D ，E 在BC 上，且FD ∥AB ，FE ∥AC ． 求证：△ABC ∽△FDE ． 4．如图，已知E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF ⊥AE 于F ，试说明：△ABF ∽△EAD ． 5．已知：如图①所示，在△ABC 和△ADE 中，AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE ，且点B ，A ，D 在一条直线上，连接BE ，CD ，M ，N 分别为BE ，CD 的中点． （1）求证：①BE=CD ；②△AMN 是等腰三角形； （2）在图①的基础上，将△ADE 绕点A 按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED 交线段BC 于点P ．求证：△PBD ∽△AMN ． 6．如图，E 是?ABCD 的边BA 延长线上一点，连接EC ，交AD 于点F ．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明． 7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ； （2）判断△ABC 与△DEC 是否相似，并证明你的结论． 8．如图，已知矩形ABCD 的边长AB=3cm ，BC=6cm ． 某一时刻，动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向B 点匀速运动；同时，动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm/s 的速度向A 点匀速运动，问： （1）经过多少时间，△AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的？ （2）是否存在时刻t ，使以A ，M ，N 为顶点的三角形与△ACD 相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由． 9．如图，在梯形ABCD 中，若AB ∥DC ，AD=BC ，对角线BD 、AC 把梯形分成了四个小三角形． （1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例） （2）请你任选一组相似三角形，并给出证明． 10．如图△ABC 中，D 为AC 上一点，CD=2DA ，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE ⊥BD 于E ，连接AE ． （1）写出图中所有相等的线段，并加以证明； （2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对； 若没有，请说明理由； （3）求△BEC 与△BEA 的面积之比．
相似三角形练习题 1．如图所示，给出下列条件： ①B ACD ∠=∠；②ADC ACB ∠=∠；③ AC AB CD BC = ；④2 AC AD AB =g ． 其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2.如图，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（ ） A ． AD BC DF CE = B ．BC DF CE AD = C ．CD BC EF BE = D ． CD AD EF AF = 3. 如图，已知等边三角形ABC 的边长为2，DE 是它的中位线，则下面四个结论： （1）DE=1，（2）△CDE ∽△CAB ，（3）△CDE 的面积与△CAB 的面积之比为 1： 4.其中正确的有：（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 4.若△ABC ∽△DEF, △ABC 与△DEF 的相似比为１∶2，则△ABC 与△DEF 的周长比为（ ） A ．1∶4 B ．1∶2 C ．2∶1 D ．１∶2 5.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值（ ） A ．只有1个 B ．可以有2个 C ．有2个以上但有限 D ．有无数个 6.如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连 接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ ） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形 B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形 C ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形 D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形 7.如图，在55?方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图② 中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平 移方法中，正确的是（ ） A ．先向下平移3格，再向右平移1格 B ．先向下平移2格，再向 右平移1格 C ．先向下平移2格，再向右平移2格 D ．先向下平移3格，再向右平移2格 8.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为20cm ，则它的宽约为（ ） A ．12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm 9.小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B 时，要使眼睛O 、准星A 、目标B 在同一条直线上，如图4所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A 偏离到A ′，若OA=0.2米，OB=40米，AA ′=0.0015米， D B C A N M O
相似三角形练习题 一、填空题： 1、若b m m a 2,3==，则_____:=b a 。 2、已知 6 53z y x ==，且623+=z y ，则__________,==y x 。 3、在Rt △ABC 中，斜边长为c ，斜边上的中线长为m ，则______:=c m 。 4、反向延长线段AB 至C ，使AC ＝2 1 AB ，那么BC ：AB ＝ 。 5、如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为3：2，若它们的周长的差为40厘米，则 △A ′B ′C ′的周长为 厘米。 6、如图，△AED ∽△ABC ，其中∠1＝∠B ，则()()() AB BC AD _________==。 第6题图 第7题图 7、如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若∠A ＝30°，则BD ：BC ＝ 。 若BC ＝6，AB ＝10，则BD ＝ ，CD ＝ 。 8、如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，DC ＝2cm ，AB ＝3.5cm ，且MN ∥PQ ∥AB ， DM ＝MP ＝PA ，则MN ＝ ，PQ ＝ 。 第8题图 第9题图 9、如图，四边形ADEF 为菱形，且AB ＝14厘米，BC ＝12厘米，AC ＝10厘米，那BE ＝ 厘米。 10、梯形的上底长1.2厘米，下底长1.8厘米，高1厘米，延长两腰后与下底所成的三角形的高为 厘米。 二、选择题： 11、下面四组线段中，不能成比例的是（ ） A 、4,2,6,3====d c b a B 、3,6,2,1=== =d c b a C 、10,5,6,4====d c b a D 、32,15,5,2====d c b a E A D C 1 C B D A D C M P N Q A B
相似三角形经典题集锦 姓名 1、（开放题）如图l －4－31，已知Rt △ABC 与Rt △ DEF 不相似，其中∠C 、∠F 为直角，能否分别将这两个三角形各分割成两个三角形，使AABC 分成的两个三角形与ADEF 所分成的两个三角形分别对应相似？如果能，请你计设出一种分割方案． 2、(探究题）如图l －4－32，在△ABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发，沿AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动，同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3㎝的速度向A 点运动，设运动的时间为x. ⑴当x 为何值时，PQ ∥BC ？ ⑵当P 13BCQ B Q AB C ABC S S S S ????=时，求的值。 ⑶ΔAPQ 能否与ΔCQB 相似？若能，求出AP 的长，若不能，请说明理由． 3、如图，在yABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ， 垂足为E ，连结AE ，F 为AE 上一点，且 ∠BFE ＝∠C ．⑴ 求证：△ABF ∽△EAD ； ⑵ 若AB=4，∠BA=30°，求AE 的长； ⑶ 在⑴、⑵的条件下，若AD=3，求BF 的长. 4、如图，Rt 三角形ABC 中，∠BAC=90度，AB=AC=2，点D 在BC 上运动（不能经过B 、C ）， 过D 作∠ADE=45度，DE 交AC 于E 。 （1）图中有无与三角形ABD 一定相似的三角形，若有，请指出来并加以说明 （2）设BD=x,AE=y,求y 与x 的函数关系，并写出其定义域； （3）若三角形ADE 恰为等腰三角形，求AE 的长
5、已知：∠A=90°，矩形DGFE 的D 、E 分别在AB 、AC 上，G 、F 在BC 上 （1）如果DGFE 为正方形，BG=22，FC=2，求正方形DGFE 的边长； （2）若AB=12cm,AC=5cm ，DGFE 的面积为 y 平方厘米,写出y 关于x 的函数解析式，并求由矩形面积为10平方厘米时, 求AD 的长 6、如图，矩形EFGD 的边EF 在ABC ?的BC 边上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上． 已知5AB AC ==，6BC =，设BE x =，EFGD S y =矩形． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围； （2）联结EG ，当GEC ?为等腰三角形时，求y 的值． 7、在Rt ABC ?中, ∠ACB =90°, CD AB ⊥,垂足为D . E 、F 分别是AC 、BC 边上一点, 且CE =1 3AC ,BF =1 3BC . (1 )求证∶AC BC =CD BD . (2 )求EDF ∠的度数. F E D C B A A D G B E F C
第四章相似图形1 1.等边三角形的一边与这边上的高的比是___________ 2.已知a 、b 、c 为△ABC 的三条边，且a ：b ：c=2：3：4，则△ABC?各边上的高之比为______． 3.在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm,而两地的实际距离为1500 m ，那么这张地图的比例尺为________. 4.已知四条线段a 、b 、c 、d 成比例，若a=2,b=3,c=33,则 d=________. 5.已知线段a 、b 、c 、d 满足ab=cd ，把它改写成比例式，错误的是( ) A.a ∶d=c ∶b B.a ∶b=c ∶d C.d ∶a=b ∶c D.a ∶c=d ∶b 6.如果b a =43,那么b b a 2+=____;b b a 2-=____; a b a 3-=____;a b b a 3-2+=____ 7.如果53=-b b a ,那么b a =________b b a 2+=____;b b a 2-=____;a b b a 3-2+=____ 8.若d c b a ==3（b+d ≠0），则d b c a ++=_______,d b c a 3-23-2=_______ 9.若3x －4y = 0，则y y x +的值是____________ 10.若8 75c b a ==,且3a －2b+c=3,则2a+4b －3c 的值是____________ 11.若6 54 3 2+==+c b a ,且2a －b+3c=21. ,则2a+4b －3c 的值是___________ 12.x ：y ：z=3：5：7，3x ＋2y －4z ＝9则x ＋y ＋z 的值为___________ 13.如果 k c b a d d b a c d c a b d c b a =++=++=++=++，则k 的值是___________。 14.在长度为10的线段上找到两个黄金分割点Ｐ、Ｑ.则ＰＱ=_________ 15.当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女士身高165cm ，下半身 长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为 cm 16.顶角为360 的等腰三角形称为黄金三角形.如右图，△ABC, △BDC, △DEC 都是黄金三角形.若AB=1则DE=＿ 17.如图以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF=PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上， （1）求AM 、DM 的长. （2）求证：AM 2 =AD ·DM. （3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？ 18.以下五个命题：①所有的正方形都相似 ②所有的矩形都相似 ③所有的三角形都相似 ④所有的等腰直角三角形都相似 ⑤所有的正五边形⑥所有的菱形⑦所有的平行四边形都相似.,其中正确的命题有_______ 19.下列判断中，正确的是（ ） （A ）各有一个角是67°的两个等腰三角形相似（B ）邻边之比都为2：1的两个等腰三角形相似 （C ）各有一个角是45°的两个等腰三角形相似（D ）邻边之比都为2：3的两个等腰三角形相似 20.如图在一矩形ABCD 的花坛四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等。花坛AB ＝20米，AD ＝30米，试问小路的宽x 与y 的比值为________时，能使小路四周所围成的矩形A`B`C`D`能与矩形ABCD 相似？请说明理由。 21.把矩形对折后，和原来的矩形相似，那么这个矩形的长、宽之比为______ 22.如图所示相片框（长和宽不等，阴影宽度相等），内外两个矩形是否相似？ 23.把一个矩形剪去一个正方形，若剩余的矩形和原矩形相似，则原矩形的宽与长的比为______． 17题 20题 22题 24题 25题 24.如图已知DE ∥BC ，△ADE ∽△ABC ，则 AB AD =________=________.
实用标准文案 精彩文档 相似三角形知识点与经典题型 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念 （1）如果选用同一单位量得两条线段 b a,的长度分别为n m,，那么就说这两条线段的比是 n m b a ， 或写成n m b a ::．注：在求线段比时，线段单位要统一。 （2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段． 注：①比例线段是有顺序的，如果说 a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为： a d c b ． ②()a c a b c d b d 在比例式 ：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、 d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即a b b d ：：那么b 叫做a 、d 的比例中项，此时 有2 b ad 。 （3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC ，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2 AC AB BC ，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 2 1 5≈0.618AB ．即 512 AC BC AB AC 简记为： 51 2 长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为 0） （1）基本性质： ①bc ad d c b a ::；②2 ::a b b c b a c ． 注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad ，除 了可化为d c b a ::，还可化为d b c a ::，b a d c ::，c a d b ::，c d a b ::，b d a c ::，a b c d ::，a c b d ::． （2）更比性质(交换比例的内项或外项)：()() ()a b c d a c d c b d b a d b c a ，交换内项，交换外项．同时交换内外项（3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c ．
相似三角形的动点问题 一、动点型 例1、如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由； （2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由； （3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由． 例2、如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2） （1）当t=1秒时，S的值是多少？ （2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围 （3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F 为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．
迁移应用 1、如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q 到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s）， （1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由； （2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式； （3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？ 2、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC 上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0 中考相似三角形经典综合题 1、如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，A点的坐标为(3，0)，以0A为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从0点出发沿0C 向C点运动，动点Q从B点出发沿BA向A点运动，P,Q两点同时出发，速度均为1个单位／秒。设运动时间为t秒． (1)求线段BC的长； (2)连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F。设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围： (3)在(2)的条件下，将△BEF绕点B逆时针旋转得到△BE1F1,使点E的对应点E1落在线 段AB上，点F的对应点是F1，E1F1交x轴于点G，连接PF、QG，当t为何值时，2BQ-PF= 3 3 QG? 2、在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），点B（0，4），点E在OB上，且∠OAE=∠0BA． （Ⅰ）如图①，求点E的坐标； （Ⅱ）如图②，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′． ①设AA′=m，其中0＜m＜2，试用含m的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标； ②当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）． 3、如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位沿C→A→B方向的运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为ι秒．（1）当ι=7时，点P与点Q相遇； （2）在点P从点B到点C的运动过程中，当ι为何值时，△PCQ为等腰三角形？ （3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，设△PCQ的面积为s平方单位． ①求s与ι之间的函数关系式； ②当s最大时，过点P作直线交AB于点D，将△ABC中沿直线PD折叠，使点A落在直 线PC上，求折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积． 4、如图，点A是△ABC和△ADE的公共顶点，∠BAC＋∠DAE＝180°，AB＝k·AE，AC＝k·AD，点M是DE的中点，直线AM交直线BC于点N． （1）探究∠ANB与∠BAE的关系，并加以证明． （2）若△ADE绕点A旋转，其他条件不变，则在旋转的过程中（1）的结论是否发生变化？如果没有发生变化，请写出一个可以推广的命题；如果有变化，请画出变化后的一个图形，并证明变化后∠ANB与∠BAE的关系． 5.如图，已知一个三角形纸片ABC，BC边的长为8，BC边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M为AB一动点（点M与点A B 、不重合），过点M作MN BC ∥，交AC于点N，在AMN △中，设MN的长为x，MN上的高为h． （1）请你用含x的代数式表示h． （2）将AMN △沿MN折叠，使AMN △落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平面 A B C E M D N 2013初中相似三角形难题易错题 一．填空题（共2小题） 1．如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF． 2．如图，?ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F．若AB=a，AD=c，BE=b，则BF=_________． 二．解答题（共17小题） 3．如图所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：． 4．如图所示，?ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求 证：． 5．一条直线截△ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F．求证：． 6．如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d． 7．如图所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF． 8．已知：P为?ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：． 9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN与对角线BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN． 10．P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA（如图所示）． 求证：． 11．如图所示．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC：AB． 12．已知P为△ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F． 求证：（1）（2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2． 13．如图所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB． 相似三角形 1.如图，在△中，∠90°，3，4，过点B作射线1∥．动点D从点A出发沿射线方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线方向以每秒3 个单位的速度运动．过点D作⊥于H，过点E作⊥交射线1于F，G 是中点，连接．设点D运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，，并求出此时的长度；（2）当△与△相似时， 求t的值． 2.如图，在△中，＝90°，6m，8m，动点P以2的速度从A点出 发，沿向点C移动．同时，动点Q以1的速度从C点出发，沿向点 B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒． （1）①当2.5s时，求△的面积；②求△的面积S（平方米）关于时 间t（秒）的函数解析式； （2）在P，Q移动的过程中，当△为等腰三角形时，求出t的值． 3.如图1，在△中，＝90°，＝6，＝8，点D在边上运动，平分 交边于点E，⊥，垂足为M，⊥，垂足为N． （1）当＝时，求证：∥；（2）探究：为何值时，△与△相似？ 4.如图所示，在△中，＝＝20，＝30，点P从A点出发，沿着以每秒4的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿以每秒3的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x． （1）当x为何值时，∥？ （2）△与△能否相似？若能，求出的长；若不能说明理由． 5.如图，在矩形中，12，6，点P沿边从A开始向点B以2的速度移动；点Q沿边从点D 开始向点A以1的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。 （1）当t为何值时，△为等腰直角三角形？ （2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△相似？ 6.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数的图 象与线段的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式． 7.在△中，，4，2，以为边在C点的异侧作△，使△为等腰直角 三角形，求线段的长． 8.在△中，，∠90°，点M是上的一点，点N是上的一点，沿着直 线折叠，使得点C恰好落在边上的P点．求证：：：． 9.如图，在直角坐标系中，矩形的边在x轴上，边在y轴上，点B 的坐标为（1，3），将矩形沿对角线翻折B点落在D点的位置，且交 y轴于点E．那么D点的坐标为（） A. B. C. D. 10..已知，如图，直线﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以为短边在第一象限做一个矩形，使得矩形的两边之比为1﹕2。 求C、D两点的坐标。 实用标准文案 相似三角形 一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC． 2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF； （2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长． 3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC． 求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD． 5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形； （2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN． 6．如图，E是?ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明． 7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ； （2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论． 8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm． 某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问： （1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？ （2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD 、AC 把梯形分成了四个小三角形． （1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例） （2）请你任选一组相似三角形，并给出证明． 10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE． （1）写出图中所有相等的线段，并加以证明； （2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对； 若没有，请说明理由； （3）求△BEC与△BEA的面积之比． 相似三角形难题易错题一．填空题（共 2小题） 1．如图所示，已知AB ∥EF∥CD ，若AB=6 厘米，CD=9 厘米．求EF． 2．如图，?ABCD 的对角线相交于点O，在AB 的延长线上任取一点E，连接OE 交BC 于点F．若AB=a ，AD=c ，BE=b，则BF= _________ ． 二．解答题（共17小题） 3．如图所示．在△ABC 中，∠BAC=120 °，AD 平分∠BAC 交BC 于D．求证：． 4．如图所示，?ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，E 为AD 延长线上一点，OE 交CD 于F，EO 延长线交AB 于G．求证：． 5．一条直线截△ABC 的边BC、CA 、AB（或它们的延长线）于点D、E、F．求证：． 6．如图所示．P为△ABC 内一点，过P 点作线段DE，FG，HI 分别平行于AB ，BC 和CA ，且DE=FG=HI=d ，AB=510 ，BC=450，CA=425 ．求d． 7．如图所示．梯形ABCD 中，AD ∥BC，BD ，AC 交于O 点，过O 的直线分别交AB ，CD 于E，F，且EF∥BC．AD=12 厘米，BC=20 厘米．求EF． 2 WORD格式 8．已知：P 为?ABCD 边BC 上任意一点，DP 交AB 的延长线于Q 点，求证：． 9．如图所示，梯形ABCD 中，AD∥BC，MN ∥BC，且MN 与对角线BD 交于O．若AD=DO=a ，BC=BO=b ，求MN ． 10．P 为△ABC 内一点，过P 点作DE，FG，IH 分别平行于AB ，BC，CA（如图所示）．求证：． 相似三角形经典习题 例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形． 例2 已知：如图， ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ?与CDF ?的周长的比，如果2 cm 6=?AEF S ，求CDF S ?． 例3 如图，已知ABD ?∽ACE ?，求证：ABC ?∽ADE ?． 例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？ （1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似． （3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似． 例5 如图，D 点是ABC ?的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ?的边上，并且点D 、点E 和ABC ?的一个顶点组成的小三角形与ABC ?相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法． 例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高． 例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）． 例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由． 例9 根据下列各组条件，判定ABC ?和C B A '''?是否相似，并说明理由： （1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ． （2）?='∠?='∠?=∠?=∠35,44,104,35A C B A ． （3）?='∠=''=''?=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ． 例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据． 例11 已知：如图，在ABC ?中，BD A AC AB ,36,?=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ?=2 ． 相似三角形难题易错题 一．填空题（共2小题） 1．如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF． 2．如图，?ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F．若AB=a，AD=c，BE=b，则BF=_________． 二．解答题（共17小题） 3．如图所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：． 4．如图所示，?ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F， EO延长线交AB于G．求证：． 5．一条直线截△ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F．求证：． 6．如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d． 7．如图所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD 于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF． 8．已知：P为?ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：． 9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN与对角线BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN． 10．P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA（如图所示）． 求证：． 11．如图所示．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC 延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC：AB． 12．已知P为△ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F． 求证：（1）（2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2． 13．如图所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB．中考相似三角形经典综合题
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