相似三角形难题精选模块一：相似三角形中的动点问题如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C 沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A 点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE 平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB 以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s 的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q 同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？模块二：构造辅助线——双垂直模型在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△ABD，使△ABD 为等腰直角三角形，求线段CD的长．在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB．如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B 的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么D点的坐标为（）已知，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。
求C、D两点的坐标。
模块三：构造辅助线——A型与X型如图：△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。
求证：=四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC平分∠DAB. 求证：在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝b，CD＝a，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交BC于点F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：(1)当=1时，EF=；(2)当=2时，EF=；(3)当=3时，EF=.当=k时，参照上述研究结论，请你猜想用a、b和k表示EF的一般结论，并给出证明已知：如图，在△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上两点，且BE＝EF＝FC. 求BN：NQ：QM．证明：（1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的.（注：重心是三角形三条中线的交点）（2）角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例.模块四：相似中的定值问题如图，在等边△ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD、CD的延长线分别交AC、AB于点E、F．求证.已知：如图，梯形ABCD中，AB//DC，对角线AC、BD交于O，过O作EF//AB分别交AD、BC于E、F。
求证：.如图，在△ABC中，已知CD为边AB上的高，正方形EFGH的四个顶点分别在△ABC上。
求证:已知，在△ABC中作内接菱形CDEF，设菱形的边长为a．求证：.模块五：相似中的共线线段成比例问题(1)如图1，点P在平行四边形ABCD的对角线BD上，一直线过点P分别交BA，BC的延长线于点Q，S，交AD，CD于R，T. 求证：PQ·PR=PS·PT.(2)如图2，图3，当点P在平行四边形ABCD的对角线BD或DB的延长线上时，PQ·PR=PS·PT是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明）；已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP²＝PE·PF ．如图，已知△ABC中，AD，BF分别为BC，AC边上的高，过D作AB的垂线交AB 于E，交BF于G，交AC延长线于H。
求证： DE²=EG•EH.已知如图，P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H. 求证：已知，如图，锐角△ABC中，AD⊥BC于D，H为垂心（三角形三条高线的交点）；在AD上有一点P，且∠BPC为直角．求证：PD²＝AD·DH模块六：相似中的积式问题综合已知如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA 于F。
求证：AC·CF=BC·DF.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM且与AC 的延长线交于点E. 求证：（1）△AED∽△CBM；（2）AE·CM=AC·CD如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.（1）求证：FD²=FB·FC（2）若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG 与AD相交于点N．求证：AN·DN=CN·MN如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H。
求证：（1）DG²＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH模块七：相似基本模型运用△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC 交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；（2）求BP：PQ：QR．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
求证：模块八：相似里的垂直模型在△ABC中, ∠A=900,AD⊥BC,DE⊥AB.求证:D CB已知:Rt △ABC中, ∠ACB=900,CD⊥AB于D,DE⊥AC于E,DF⊥BC于F. 求证:CD3=AB·AE·BFD BAAEBE ACAB22正方形ABCD 中,AE= AD,AO=BO,OF ⊥ CE 于F. 求证:OF 2=CF·EFE OCBA已知: △ABC 中,AB=AC,D 是BC 的中点,DE ⊥AC 于E,H 是DE 中点,连结AH,BE. 求证:AH ⊥BEDCB41△ABC 中,AB=AC,BD ⊥AC 于D. 求证:BC 2=2CD·ACC△ABC 中,∠ACB=900,CD ⊥AB 于D,E 是BC 的中点,DE 和AC 的延长线交于F. 求证: 1)FD 2=FC·FA; 2） FAFDFA BC AC已知,Rt △ABC 中, ∠ABC=900,D 是BC 上一点,BE ⊥AC 于E,BF ⊥AD 于F. 求证:△AEF ∽△ADCBCAD已知:Rt △ABC 中,∠ACB=900,AD 平分∠CAB 交BC 于D,CE ⊥AB 于E,DF ⊥AB 于F 点. 求证:AF 2=AB·AECABD已知: △ABC中,AB=AC,D 是BC的中点,DE⊥AC于E,H是DE中点,连结AH,BE. 求证:AH⊥BED CB模块九：相似综合（一）在△ABC中,D,E分别是AB,BC边上的点,连结DE并延长交AC的延长线于F.若BD:DE=AB:AC. 求证:△EFC是等腰三角形FB一直线分别交△ABC 的BC 延长线于D,交AC,AB 于E,F,且∠AEF= ∠ AFE. 求证:BD:CD=BF:CED（需要写出多种解法）梅涅劳斯定理：直线分别交△ABC 的BC 延长线于D,交AC 、AB 于E 、F, 求证:D1=⋅⋅FBAFEA CE DC BD已知:E是梯形ABCD对角线的交点,AD//BC,BF//CD交CA的延长线于F. 求证:EF·AD=EC·BCF设G 为△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、BC 分别交于点E 和F.求证：模块十：相似综合（二）在△ABC 中，D 是BC 上一点，E 是AD 上一点，且 ，∠BAD ＝∠ACE ．（1）求证：AC ²＝BC ·CD ； （2）若E 是△ABC 的重心，求1=+BFFCEB AE已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D在BC边上移动，连接AD，将△ADC 沿直线AD翻折，点C的对应点为C1．（1）当AC1⊥BC时，CD的长是多少？（2）设CD＝x，△AC1D与△ABC重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，（3）在点D移动的过程中，是否存在△BC1D为直角三角形的情形？若存在，直接写出CD的长；若不存在，请说明理由．△ABC中，AB＝AC＝6，FC:EC=1：3 ，点D在AB边上（点D与点A、B不重合），过点D作DE∥AC，交BC边于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F，连接DF．（1）设AD＝x，CF＝y，求y关于x的函数关系式，（2）若△DEF和△CEF相似，求AD长（3）是否存在点D，使△ADF为等腰三角形？若存在，直接写出AD的长；若不存在，请说明理由．如图，等边△ABC中，D、F分别是边BC、AB上的点，且CD＝BF，以AD为边向左作等边△ADE，连接CF、EF，设 =k（1）求证；四边形CDEF是平行四边形；（2）当∠DEF＝30°时，求k的值；（3）是否存在实数k，使S□CDEF ＝S△ABC？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，点P在射线AC上，点Q在CB的延长线上，且AP＝BQ，连接PQ交直线AB于D，过P作PE⊥AB于E．（1）求证：DP＝DQ；（2）设AP＝x，BD＝y，求y与x之间的函数关系式；（3）当△DEP∽△QCP时，求AP的长．如图1，在平面直角坐标系中，△ABC和△DEF都是等边三角形，顶点B、D与原点O重合，边BC在x轴的正半轴上，边AB与DE在一条直线上．已知AB＝6，DE＝2．（1）将△DEF绕点O逆时针方向旋转90°（如图2），连接CE、CF．试判断四边形DECF的形状，并说明理由；（2）将△DEF绕点O旋转，连接AF．在旋转过程中，当△ABF是直角三角形时，求点F的坐标；（3）将△DEF沿直线AB上下平移，连接AF、BF．在平移过程中，△ABF能否成为等腰三角形？如果能，直接写出点D的坐标；如果不能，请说明理由．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边中点，∠EDF＝∠B，DE与射线BA相交于点E，DF与边AC相交于点F，连接EF．（1）求证：△BDE∽△CFD；（2）若DF＝EF，求证：DF∥AB（3）在（2）的条件下，当DE⊥AC时，求∠BAC的度数；（4）若AB＝AC＝5，BC=8 .设BE＝x，△DEF的面积为y．①求y关于x的函数关系式，②当△AEF是等腰三角形时，直接写出x的值．。
