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考研数学三题型
一、高等数学
1. 函数、极限、连续
求函数极限，会求分段函数和反常积分，并会判断其收敛性，掌握基本定理和性质。
2. 一元函数微分学
掌握导数的计算，掌握微分中值定理，会利用导数研究函数的单调性、极值等性质。
3. 一元函数积分学
掌握定积分的计算，掌握积分的基本性质，会利用定积分计算面积、体积等，掌握反常积分的基本知识。
二、线性代数
1. 行列式与矩阵
掌握行列式的计算，掌握矩阵的初等变换，理解矩阵的秩的概念，掌握矩阵的求解方法。
2. 向量与线性方程组
理解向量的基本概念，掌握向量的运算，会解线性方程组。
3. 特征值与特征向量
理解特征值与特征向量的概念，掌握特征值的计算方法，会求特征向量。
三、概率统计
1. 概率论初步
理解概率的基本概念，掌握概率的计算方法，会求概率分布和概率密度函数。
2. 数理统计基础
理解统计的基本概念，掌握数据的处理方法，会进行基本的统计分析。
考研数学高数：常考十大题型全解析2023年考研数学高数：常考十大题型全解析2023年考研数学高数备考已经开始，掌握常考的十大题型是非常重要的。
这些题型涵盖了整个高数课程，并突出了重要的概念、公式和技巧。
下面是我们整理的常考十大题型解析，希望能帮助大家顺利备考。
1. 极限计算型题目极限计算型题目是高数考试的基本题型，不仅在高数课堂上经常出现，而且在高数考试中的分值通常较高。
这种题型一般需要理解极限的定义、性质和计算方法，同时需要掌握重要的变换和技巧，如代数运算、分式分解、换元等。
2. 连续定义型题目连续定义型题目常出于微积分的章节中，主要考查学生是否掌握连续函数的定义和性质，以及相关的推论和定理。
需要特别注意的是，有许多连续定义型题目需要结合导数的概念来解决。
3. 导数计算型题目导数计算型题目需要掌握导函数、导数的四则运算法则、高阶导数、隐函数公式、参数方程求导等基本知识，同时需要注意不同类型的函数的特殊性质和特殊的导数计算方法。
4. 函数图像分析型题目函数图像分析型题目经常出现在很多高数课程的章节中，需要掌握函数的基本性质、图像特征、渐进线和极限，以及掌握函数变换的方法和图像的作法。
同时，还需要了解如何应用导数分析函数图像的特征。
5. 平面解析几何型题目平面解析几何型题目主要考查平面向量、点线面的基本概念和性质，以及各种向量的计算、几何关系的判断和使用解析几何方法去解决实际问题。
6. 空间解析几何型题目空间解析几何型题目常出现在立体几何、空间向量以及曲面理论等章节中。
需要熟悉三维坐标系、点、向量、直线和平面的表示方法和相互关系，以及空间几何的基本概念和性质。
7. 微分方程型题目微分方程型题目主要考查一阶微分方程、二阶微分方程和常微分方程的求解方法和特殊类型的微分方程，如齐次方程、变量分离方程、一阶非齐次方程等。
8. 重积分型题目重积分型题目主要考查重积分的定义、性质、计算方法和应用，需要掌握极坐标、球坐标和柱坐标下的重积分计算。
高数必考六大证明题型
一、数列极限的证明
数列极限的证明是数一、二的重点，特别是数二最近几年考的非常频繁，已经考过好几次大的证明题，一般大题中涉及到数列极限的证明，用到的方法是单调有界准则。
二、微分中值定理的相关证明
微分中值定理的证明题历来是考研的重难点，其考试特点是综合性强，涉及到知识面广，涉及到中值的等式主要是三类定理：
1. 零点定理和介质定理;
2. 微分中值定理;
包括罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理，其中泰勒定理是用来处理高阶导数的相关问题，考查频率底，所以以前两个定理为主。
3. 微分中值定理
积分中值定理的作用是为了去掉积分符号。
在考查的时候，一般会把三类定理两两结合起来进行考查，所以要总结到现在为止，所考查的题型。
三、方程根的问题
包括方程根唯一和方程根的个数的讨论。
四、不等式的证明
五、定积分等式和不等式的证明
主要涉及的方法有微分学的方法：常数变异法
积分学的方法：换元法和分布积分法。
六、积分与路径无关的五个等价条件
这一部分是数一的考试重点，最近几年没设计到，所以要重点关注。
高数历年考研真题在考研数学科目中，高等数学（简称高数）一直是考生们的重点备考内容之一。
为了更好地应对考试，熟悉历年的高数考研真题是非常必要的。
下面将通过对历年考研高数真题的回顾，来了解考点、题型以及备考建议。
一、选择题高数选择题是考研中的常见题型，涵盖了高数知识的各个方面。
通过解析历年的选择题，可以了解到哪些知识点是经常被考察的，以及解题的一些技巧。
下面以几个典型的选择题为例进行说明。
1. 2018 年高数考研选择题：选择题题目：已知函数 f(x)=sinx，g(x)=cosx，h(x)=tanx，则下列等式成立的是？A. f(x)+g(x)=1B. f(x)-g(x)=1C. f(x)+h(x)=1D. f(x)-h(x)=1解析：要解决这类选择题，首先要熟悉各种函数的性质和定义。
根据三角函数的性质可知，sinx+cosx=1。
因此，选项 A 正确。
2. 2017 年高数考研选择题：选择题题目：设 A 为非空集合，P(A)为 A 的所有子集的集合。
下列等式成立的是？A. P(A)∩A=∅B. P(A)∩A=P(A)C. P(A)∪A=P(A)D. P(A)∪A=A解析：对于这类选择题，涉及到集合和子集的性质。
根据集合的基本性质可知，对于任意集合 A，A∪∅=A。
因此，选项 D 正确。
通过对历年高数选择题的回顾，我们可以发现，选择题考察的重点是考生对基本概念、公式和定理的掌握程度。
在备考过程中，要注重对知识点的整理和巩固，掌握解题的一些基本技巧。
同时，要注重题目的逻辑思维和推理能力的培养，提高解答问题的准确性和速度。
二、计算题高数计算题是考研中的另一种常见题型，要求考生对数学知识点的掌握程度和运算能力的实际应用。
下面以几个典型的计算题为例进行说明。
1. 2016 年高数考研计算题：计算题题目：设 A 是 n 阶方阵，I 是单位矩阵，若 A^2=A+I，则 A^{-1} 的一个特征值是？解析：这类计算题考察的是对矩阵的理解和运算能力。
考研数学解析高等数学中的微积分与线性代数的典型题型考研数学是很多考生必考科目之一，其中涉及的高等数学包括微积分和线性代数两个部分。
微积分和线性代数都是数学的基础学科，对于考研数学的学习和理解至关重要。
本文将解析高等数学中微积分与线性代数的典型题型，帮助考生更好地掌握和应对考试。
一、微积分的典型题型解析1. 导数与微分在微积分中，导数和微分是非常重要的概念。
导数描述了函数在某一点上的变化率，而微分则是导数的计算结果。
考生需要掌握导数和微分的定义、计算方法和性质，并能够灵活运用。
典型题型1：计算函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1在x = 2处的导数和微分。
解析：首先求导数，根据导数的定义，我们有f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。
然后计算微分，根据微分的定义，我们有df(x) = f'(x)dx = (6x^2 - 6x + 4)dx。
代入x = 2，得到f'(2) = 20和df(2) = 20dx。
2. 极限极限是微积分中另一个重要的概念，描述了函数在某一点或无穷远处的趋势。
考生需要掌握极限的定义、计算方法和性质，并能够正确判断函数的极限存在与否。
典型题型2：判断函数f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)的极限是否存在，并计算存在时的极限值。
解析：观察这个函数，我们可以看到当x趋近于1时，分母趋于0，因此需要进一步化简。
将分子进行因式分解得f(x) = x + 1，此时可以看出函数在x = 1处没有定义，因此极限不存在。
3. 不定积分不定积分是微积分中的重要概念，也是求解函数的积分的方法。
考生需要掌握不定积分的定义、计算方法和性质，并能够灵活运用。
典型题型3：求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的不定积分。
解析：根据不定积分的性质，我们可以逐项积分得到F(x) = x^3 - x^2 + x + C，其中C为常数项。
二、线性代数的典型题型解析1. 矩阵运算与线性方程组矩阵运算和线性方程组是线性代数中最基础的内容。
考研数学高数六大必考题型高等数学作为考研数学的一大重点，其紧凑的教学进度和抽象的公式推导常常使得很多人望而却步。
考研高数的题型涉及面广，但是真正重要的题型永远只有那几类。
在考研高数的备考过程中，要针对这些必考题型深入学习掌握，才能取得高分。
本文将介绍考研高数中必考的六大题型。
一、极限极限是高等数学中的基础知识，在高考数学中有一定的考察比例，在考研数学高数中则更是不可或缺的重要考点。
考生需要对极限相关的定义、性质及其计算方法深入掌握和理解。
在考研数学高数中，极限的考查形式有很多种，如判断是否存在、确定极限值、用极限计算等。
所以，一个熟练掌握极限的考生才有可能在考试中稳固切实地应对题目。
二、一元函数微积分高等数学中的一元函数微积分是考研数学高数必考的重点及难点。
主要从导数、微分、微分中值定理、高阶导数等多个方面进行考查，理论和计算性能力都是考生必须掌握的。
在考试中，考生需要熟练掌握一元函数微积分的概念、性质等，以及计算方法，同时需要注意分析函数对应的图像。
只有这样，考生才能够在考试中应对这个重点难点的题型。
三、双重积分双重积分作为高等数学中的重要内容，也是考研数学高数中的重中之重。
其主要考察内容包括二元函数的积分、极坐标系、重积分计算、如何转化、应用等。
在考试中，考生需要充分掌握双重积分的原理和计算方法，掌握积分区域的确定及转换方式的掌握，同时需要注意掌握运用所要求的积分计算柱状体、空间曲面面积、质心的计算等。
只有准确把握这些要点，考生才能在双重积分的考试中稳定答题。
四、曲线积分曲线积分是高等数学中的重点难点，也是考研数学高数中的必考重点之一。
其主要考察内容包括第一型曲线积分和第二型曲线积分的计算及应用等。
在考试中，考生需要充分掌握曲线积分的基本原理和计算方法，学会正确理解题目要求，将曲线积分转换成对应的计算题目，并能正确的运用曲线积分的知识求出相关的问题。
只有这样，考生才能够在曲线积分的考试中稳定答题。
以数学（一）为主总结高等数学各部分常见的题型。
一、函数、极限与连续1．求分段函数的复合函数；2．求极限或已知极限确定原式中的常数；3．讨论函数的连续性，判断间断点的类型；4．无穷小阶的比较；5．讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。
二、一元函数微分学1．求给定函数的导数与微分（包括高阶导数），隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论；2．利用洛比达法则求不定式极限；3．讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式；4．利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，如“证明在开区间内至少存在一点满足……”，此类问题证明经常需要构造辅助函数；5．几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间；6．利用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。
三、一元函数积分学1．计算题：计算不定积分、定积分及广义积分；2．关于变上限积分的题：如求导、求极限等；3．有关积分中值定理和积分性质的证明题；4．定积分应用题：计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，旋转面面积，压力，引力，变力作功等；5．综合性试题。
四、向量代数和空间解析几何1．计算题：求向量的数量积，向量积及混合积；2．求直线方程，平面方程；3．判定平面与直线间平行、垂直的关系，求夹角；4建立旋转面的方程；5．与多元函数微分学在几何上的应用或与线性代数相关联的题目。
五、多元函数的微分学1．判定一个二元函数在一点是否连续，偏导数是否存在、是否可微，偏导数是否连续；2．求多元函数（特别是含有抽象函数）的一阶、二阶偏导数，求隐函数的一阶、二阶偏导数；3．求二元、三元函数的方向导数和梯度；4．求曲面的切平面和法线，求空间曲线的切线与法平面，该类型题是多元函数的微分学与前面向量代数与空间解析几何的综合题，应结合起来复习；5．多元函数的极值或条件极值在几何、物理与经济上的应用题；求一个二元连续函数在一个有界平面区域上的最大值和最小值。
学科数学考研高数真题题型学科数学考研高数真题题型作为考研生，高等数学是我们必须要掌握的一门学科。
高数的考试题型多样，涵盖了数学的各个方面，要想在考试中取得好成绩，我们需要对不同的题型进行充分的了解和准备。
一、选择题选择题是高数考试中常见的题型之一。
在选择题中，考生需要在给出的几个选项中选择一个正确的答案。
这种题型对考生的记忆和理解能力有一定的要求。
在解答选择题时，我们应该先仔细阅读题目，理解题目的意思，然后根据自己的知识来选择正确的答案。
有时候，我们还需要进行一些计算或推理，才能找到正确的答案。
二、填空题填空题是高数考试中另一种常见的题型。
在填空题中，考生需要根据题目给出的条件，填写正确的答案。
填空题对考生的记忆和计算能力有一定的要求。
在解答填空题时，我们应该先仔细阅读题目，理解题目的意思，然后根据给出的条件进行计算，最后填写正确的答案。
有时候，我们还需要根据已知的条件进行推理，才能找到正确的答案。
三、证明题证明题是高数考试中相对较难的题型之一。
在证明题中，考生需要根据给出的条件，通过一系列的推理和演绎，得出结论。
证明题对考生的逻辑思维和推理能力有很高的要求。
在解答证明题时，我们应该先仔细阅读题目，理解题目的意思，然后根据给出的条件进行推理，最后得出结论。
在证明过程中，我们需要运用到一些数学定理和方法，所以我们在平时的学习中要多加强对数学定理和方法的理解和掌握。
四、应用题应用题是高数考试中相对较难的题型之一。
在应用题中，考生需要根据给出的实际问题，应用数学知识进行计算和分析。
应用题对考生的综合能力和应用能力有很高的要求。
在解答应用题时，我们应该先仔细阅读题目，理解题目的意思，然后根据给出的实际问题进行分析和计算，最后得出正确的答案。
在应用题中，我们需要综合运用到多个数学概念和方法，所以我们在平时的学习中要注重对数学知识的整合和应用能力的培养。
总结起来，高数考试题型多样，每一种题型都对考生的不同能力有一定的要求。
考研数学一高数重点及题型考研数学一高数重点及题型考研数学一高等数学重要考点及题型章节知识点题型第一章函数、极限、连续等价无穷小代换、洛必达法那么、泰勒展开式求函数的极限函数连续的概念、函数连续点的类型判断函数连续性与连续点的类型第二章一元函数微分学导数的定义、可导与连续之间的关系按定义求一点处的导数，可导与连续的关系函数的单调性、函数的.极值讨论函数的单调性、极值闭区间上连续函数的性质、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理微分中值定理及其应用第三章一元函数积分学积分上限的函数及其导数变限积分求导问题有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的积分计算被积函数为有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的不定积分和定积分第五章多元函数微分学隐函数、偏导数、全微分的存在性以及它们之间的因果关系函数在一点处极限的存在性，连续性，偏导数的存在性，全微分存在性与偏导数的连续性的讨论与它们之间的因果关系多元复合函数、隐函数的求导法求偏导数，全微分第六章多元函数积分学格林公式、平面曲线积分与途径无关的条件平面第二型曲线积分的计算，平面曲线积分与途径无关条件的应用高斯公式计算第二型曲面积分二重积分的概念、性质及计算二重积分的计算及应用第七章无穷级数级数的根本性质及收敛的必要条件，正项级数的比拟判别法、比值判别法和根式判别法，交织级数的莱布尼茨判别法数项级数敛散性的判别傅里叶级数、正弦级数和余弦级数，狄利克雷定理将函数展开为傅里叶级数、正弦级数和余弦级数，写出傅里叶级数的和函数的表达式第八章常微分方程一阶线性微分方程、齐次方程，微分方程的简单应用用微分方程解决一些应用问题。
考研数学每年必考的简单题型考研数学想要获取高分，了解考试会出的题型很重要。
了解题型，把握知识点，做好复习工作。
下面就是店铺给大家整理的考研数学每年必考的简单题型，希望对你有用!考研数学每年必考的简单题型1.运用洛必达法则和等价无穷小量求极限问题，直接求极限或给出一个分段函数讨论基连续性及间断点问题。
2.运用导数求最值、极值或证明不等式。
3.微积分中值定理的运用。
4.重积分的计算，包括二重积分和三重积分的计算及其应用。
5.曲线积分和曲面积分的计算。
6.幂级数问题，计算幂级数的和函数，将一个已知函数用间接法展开为幂级数。
7.常微分方程问题。
可分离变量方程、一阶线性微分方程、伯努利方程等的通解、特解及幂级数解法。
8.解线性方程组，求线性方程组的待定常数等。
9.矩阵的相似对角化，求矩阵的特征值，特征向量，相似矩阵等。
10.概率论与数理统计。
求概率分布或随机变量的分布密度及一些数字特征，参数的点估计和区间估计。
考研数学主考题型有哪些学习数学，重在做题，熟能生巧。
对于数学的基本概念、公式、结论等也只有在反复练习中才能真正理解与巩固。
数学试题虽然千变万化，其知识结构却基本相同，题型也相对固定，往往存在一定的解题套路，熟练掌握后既能提高正确率，又能提高解题速度。
此外，还要初步进行解答综合题的训练。
数学考研题的重要特征之一就是综合性强、知识覆盖面广，近几年来较为新颖的综合题愈来愈多。
这类试题一般比较灵活，难度也要大一些，应逐步进行训练，积累解题经验。
这也有利于进一步理解并彻底弄清楚知识点的纵向与横向联系，转化为自己真正掌握了的东西，能够在理解的基础上灵活运用、触类旁通。
同时要善于思考，归纳解题思路与方法。
一个题目有条件，有结论，当你看见条件和结论想起了什么?这就是思路。
思路有些许偏差，解题过程便千差万别。
考研数学复习光靠做题也是不够的，更重要的是应该通过做题，归纳总结出一些解题的方法和技巧。
考生要在做题时巩固基础，在更高层次上把握和运用知识点。
高数必考题型之一：求极限无论数学一、数学二还是数学三，求极限是高等数学的基本要求，所以也是每年必考的内容。
区别在于有时以4分小题形式出现，题目简单;有时以大题出现，需要使用的方法综合性强。
比如大题可能需要用到等价无穷小代换、泰勒展开式、洛比达法则、分离因子、重要极限等中的几种方法，有时考生需要选择其中简单易行的组合完成题目。
另外，分段函数个别点处的导数，函数图形的渐近线，以极限形式定义的函数的连续性、可导性的研究等也需要使用极限手段达到目的，须引起重视！下面是求极限的16种方法：1. 等价无穷小的转化：只能在乘除时候使用，但并不是说一定在加减时候不能用,使用前提是必须证明拆分后极限依然存在。
1-xe 或者()()0~11→-+x ax x a等等 这些要全部熟记；还有，x 趋近无穷的时候还原成无穷小；2. 洛必达法则：大题目有时候会有暗示，要你使用这个方法。
首先它的使用有严格的使用前提——必须是X 趋近而不是N 趋近！所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限；当然n 趋近是x 趋近的一种情况，也是必要条件；同时，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷； 必须是函数的导数要存在！假如告诉你g （x ）,但未告诉你是否可导，直接用无疑于找死哦！！ 必须是 0比0 无穷大比无穷大！当然还要分式分母不能为0。
洛必达法则分为三种情况1） 0比0 无穷比无穷时直接用；2） 0乘以无穷，无穷减去无穷，应为无穷大于无穷小成倒数的关系，所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式。
通项之后即变成1中的形式；3）0的0次方, 1的无穷次方,无穷的0次方, 对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（ 这就是为什么只有三种形式的原因。
x ln 两端都趋近于无穷时候它的幂移下来趋近于0，当它的幂移下来趋近于无穷的时候，x ln 趋近于0）；3. 泰勒公式：含有xe 次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特别注意！！x e 展开、sinx 展开、cosx 展开、ln(1+x)展开，对题目简化有很好帮助；4.面对无穷大比上无穷大形式的解决办法：取大头原则，最大项除分子分母！看上去复杂处理很简单 ！5. 无穷小于有界函数的处理办法： 面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要**这个方法。
面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了！6. 夹逼定理：主要对付的是数列极限。
这个主要是看极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大；7. 等比等差数列公式应用：对付数列极限。
q 绝对值符号要小于1；8. 各项的拆分相加： 用来消掉中间的大多数，对付的还是数列极限。
可以使用待定系数法来拆分化简函数；9. 求左右求极限的方式：对付数列极限。
例如知道 n x 与1+n x 的关系，已知n x 的极限存在的情况下，n x 的极限与1+n x 的极限时一样的 ，应为极限去掉有限项目极限值不变化；10. 两个重要极限的应用： ()ex xxxx x =+=→→101lim 1sin lim11. 当趋近于无穷大时候，不同函数趋近于无穷的速度是不一样的：x x a x x a x x ln !>>>>(画图也能看出速率的快)。
当x 趋近无穷的时候，他们的比值极限一眼就能看出来了；12. 换元法：一种技巧，对于某一道题目，不会只需要换元， 但是换元会夹杂其中；13. 四则运算法：假如要算的话，四则运算法则也算一种方法 ，当然也是夹杂其中的；14. 转化为定积分：对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法，走投无路的时候可以考虑转化为定积分。
一般是从0到1的形式 ；15. 单调有界的性质：对付递推数列时候使用，证明单调性； 16. 直接使用求导数的定义来求极限：一般都是x 趋近于0时候，在分子上f （x 加减个值）加减f （x ）的形式。
遇到后要特别注意：当题目中告诉你 F(0)=0 ，0)0(='f 的时候，就是暗示你一定要用导数定义！高数必考题型之二：利用中值定理证明等式或不等式证明题虽不能说每年一定考，但也基本上十年有九年都会涉及。
等式的证明包括使用4个微分中值定理，1个积分中值定理；不等式的证明有时可使用中值定理。
其中，泰勒中值定理的使用是一个难点，但考查的概率不大。
利用中值定理证明等式或不等式：在证明不等式时，出现“”和“”的形式，并且在和上满足拉格朗日中值定理条件，则可以将不等式根据拉格朗日中值定理进行变换在证明；若在不等式的两边出现“f(b)-f(a)”型，另一边出现“b-a ”型，则可将不等式变形为含“”型。
若同时在和上满足拉格朗日中值定理条件，则利用拉格朗日中值定理条件进行证明。
若只出现“”型，则构造“”型。
例1. 证明：当时，.分析：通过观察，不等式中“”为“”型，令，可知在上连续。
当时, 在上连续, 则在区间上满足拉格朗日中值定理。
证明：由于，则有，即.例2.， .分析：通过观察发现此不等式为“”型。
令，则在区间和上满足拉格朗日中值定理的条件。
证明：,由于，则可知即例3. 证明不等式：分析：例题中出现“”是“”型,此时可以考虑,在区间上的情况。
证明：设, 则在区间上连续，在开区间上可导，显然在区间上满足拉格朗日中值定理条件，则有：则不等式右边由于，并且，则，故原不等式成立。
高数必考题型之三：利用函数单调性证明不等式利用函数单调性证明不等式：单调函数是一个重要的函数类, 函数的单调性应用广泛, 可利用它解方程、求最值、证明等式与不等式、求取值范围等, 并且可使许多问题的求解简单明快。
下面主要讨论单调性在不等式中的应用。
定义 设函数的定义域为区间 如果对于区间上任意两点及,当时, 恒有, 则称函数在区间上是单调增加的; 如果对于区间上任意两点及，当时,恒有, 则称函数在区间上是单调减少的。
定理 设函数)(x f y =在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导。
如果在(a,b)内0)(>'x f , 那么函数)(x f y =在[a,b]上单调增加; 如果在(a,b)内0)(<'x f , 那么函数)(x f y =在[a,b]上单调减少。
利用函数的单调性解决不等式证明问题, 在高等数学中是经常使用的方法, 下面通过几个例子来说明。
例１ 当时, 证明:.证明 构造函数, 则因为20π<<x 时,, 即0)(<'x f . 所以由定义知在内为严格单调减函数..而, ,故.例2 当 时, 证明: .证明 构造函数, 则, 当x>0时, 0)(<'x f .所以定义知在内为严格单调减函数.故时, 即.再构造函数, 则.当时, 所以由有限增量公式知g(x)在时为严格单调减函数,故当时,. 即.综上所证, 当 时.高等数学必考题型之四：一元函数求导数求导数问题主要考查基本公式及运算能力，当然也包括对函数关系的处理能力。
一元函数求导可能会以参数方程求导、变限积分求导或应用问题中涉及求导，甚或高阶导数。
下面介绍几种常用的一元函数求导法：一、利用定义求一些基本初等函数的导数公式（幂、指、对、三角、反三角五大类） 步骤为：1）给出自变量增量2）得出函数增量3）作商4）求极限二、反函数求导法则：若函数严格单调且可导，则其反函数的导数存在且)(1)(x x f ϕ'='。
由反函数求导法则结合前面基本导数公式又可得三、复合函数求导法则：若在点可导在相应的点也可导，则其复合函数在点可导且或记为。
关于复合函数求导法则有个推广：如果一个函数有三次复合，且都是可导的,复合函数)))(((x h g f y =的导数为利用数学归纳法可以证明n 次复合的求导原则。
从公式的结构看犹如从外向内一层层地进行其结果也是系链子一样一环扣一环的连乘积，所以常把它称为链锁规则。
四、对数求导法：对于两边取对数（当然取以为底的自然对数计算更方便）。
由对数的运算性质可得再对两边关于求导，左端是复合函数，右端是乘积与复合五、隐函数求导法则：若中存在隐函数，这里仅是说为一个的函数并非说一定被反解出来为显式表达。
即，尽管未反解出来，只要关于的隐函数存在且可导，我们利用复合函数求导法则则仍可以求出其反函数。
六、参数方程求导：若参数表达 为一个关于的函数，即，由函数规律的x ，而这个值的那个要对应唯一的一个值，才能为的函数。
由此可见)(t x ϕ=必存在反函数，于是代入，这便是通过中间变量的关于的函数的抽象表达，（实际中未必能写出关于的反函数式子，也没必要这样做）利用反函数求导法则和复合函数求导法则，可得)()(t t dxdt dt dydx dt dt dy dx dy φϕ''==∙= 这便是参数方程表达的关于的函数的求导公式。
七、变限积分求导：如果函数在区间上连续，则积分上限的函数⎰=Φxadt t f x )()( 在[a,b]上可导，并且它的导数对于变限积分求导法常有一下情形： （1）直接用；（2）被积函数含参变量：通过变量替换，华为参变量只在积分限的情形；参变量可提出积分号外的情形；（3）双层积分号的情形。
高数必考题型之五：多元函数求偏导数多元函数（主要为二元函数）的偏导数基本上每年都会考查，给出的函数可能是多元复合函数，也可能是多元隐函数的求导。
首先看一下多元复合函数求偏导一、全导数（复合函数中间变量是一元情形）若函数在点可导，在点处偏导连续，则复合函数在点可导，且有链式法则自己可以推广一下中间变量是多于二个的情形，例如三元二、二元函数复合函数求偏导（复合函数中间变量均为多元函数的情形）设具有连续偏导数，可偏导，则复合函数可偏导，且有链式法则：类似地，设，，则复合函数的偏导数为另外，二元函数的极值与条件极值与实际问题联系及其紧密，是一个考查重点，极值的充分条件、必要条件均涉及二元函数的偏导数。
函数取得极值的必要条件：设函数在点具有偏导数且取得极值,则它在该点的偏导数必为零,即注：可(偏)导函数的极值点必为驻点,反过来,函数的驻点却不一定是极值点。
函数取得极值的充分条件：设函数在点的某邻域内连续,且有一阶及二阶连续的偏导数,又,记,,则函数在处是否取得极值的条件如下(1)、02>-B AC 时具有极值,且当0<A 时有极大值,当0>A 时有极小值； (2)、02<-B AC 时没有极值；(3)、02=-B AC 时可能有极值,也可能没有极值,需另作判定。
对于二元函数而言，极值也是局部性质。
有些实际问题，要求二元函数在某区域上的最大值和最小值。
