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华中科技大学课件 复变函数与积分变换 泰勒级数

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华中科技大学《复变函数与积分变换》课程PPT——11 复数解读

华中科技大学《复变函数与积分变换》课程PPT——11 复数解读

变函数的积分、解析函数的级数表示、留数及其应用、共形
映射以及解析函数在平面场的应用。 积分变换的内容包括：傅里叶变换和拉普拉斯变换。
其中，带 “*” 号的内容本课堂不需要掌握。
4
第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
第一章 复数与复变函数
复数的产生最早可以追溯到十六世纪中期。但直到十八
世纪末期，经过了卡尔丹、笛卡尔、欧拉以及高斯等许多人 的长期努力，复数的地位才被确立下来。 复变函数理论产生于十八世纪，在十九世纪得到了全面
6
§1.1 复数 第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
§1.1 复数
一、复数及其运算 二、共轭复数
7
§1.1 复数 第 一、复数及其运算 一 1. 复数的基本概念 P1 章 定义 (1) 设 x 和 y 是任意两个实数， 将形如 复 数 z x i y (或者 z x y i ) 与 的数称为复数。其中 i 称为虚数单位，即 i 1 . 复 变 函 (2) x 和 y 分别称为复数 z 的实部与虚部，并分别表示为： 数 x Re z , y Im z . (3) 当 x 0 时，z 0 i y i y 称为纯虚数； 当 y 0 时，z x i 0 x 就是实数。 因此，实数可以看作是复数的特殊情形。 8
12
§1.1 复数 第 二、共轭复数 一 2. 共轭复数的性质 P3 章 性质 (1) z z ; 复 数 (2) z1 z2 z1 z2 , 与 复 , , , ; 其中，“ ”可以是 变 函 (3) z z [Re z ]2 [Im z ]2 x 2 y 2 ; 数
11
§1.1 复数 第 二、共轭复数 一 1. 共轭复数的定义 P2 章 定义 设 z x i y 是一个复数， 复 数 称 z x i y 为 z 的共轭复数， 记作 z 。 与 复 注 共轭复数有许多用途。 变 函 ( x1 i y1 ) ( x2 i y2 ) z1 z2 z1 比如 z 数 ( x 2 i y2 ) ( x 2 i y2 ) z2 z2 z2

《复变函数与积分变换》(华中科技大学第二版)高等教育出版社课件-第一章

《复变函数与积分变换》(华中科技大学第二版)高等教育出版社课件-第一章

2
3、x yi 与 x yi 称为共轭复数， 记为 z 和 z
4、z1 x1 y1i 与 z2 x2 y2i 可以进行 加、减、乘、除等运算
z1 z2 x1 x2 y1 y2 i z1z2 x1 y1i x2 y2i
z1z2 r1ei1r2ei2 r1r2ei12
z1 z2

r1e i1 r2e i2
r1 ei12 r2
于是有：
z1z2 z1
z2
,
z1 z2

z1 z2
Arg z1z2 Arg z1 Arg z2
Arg z1 / z2 Arg z1 Arg z2
一、复数的基本概念
1、z x yi 称为复数，记为 z C 其中 i 称为虚单位满足：i2 1 实数 x 和 y 称为实部和虚部，记为 x Re z, y Im z
2、z1 x1 y1i 与 z2 x2 y2i 相等 当且仅当 x1 x2 , y1 y2
例如：
y x 的复数方程为 z t ti 1 i t y x2 的复数方程为 z t t2i t R
x2 y2 a2 a 0 的复数方程为
z acost iasint aeit t 0,2
或 z a
而圆心在 z0 x0 y0i 的圆复数方程为 z z0 a 或 z aeit z0
例如 w f z z2 x yi 2
x2 y2 2xyi
u x, y x2 y2,v x, y 2xy
w f z ez e x yi e xe yi e x cos y i sin y

华中科技大学复变函数与积分变换洛朗级数

华中科技大学复变函数与积分变换洛朗级数

点z在K1的外部,
z
z0 z0
1.
因此
1
z
z
1 z0
1
1
z0
n1
( z0 )n1
(z z0 )n
n1 (
1 z0
) n1
(z
z0
)
n
,
z z0
1 2πi
f ( ) d K1 z
N 1 1
n1 2 π i
K1 (
f
( )
z0 )n1
d
(z z0 )n
z(z i)
① 展开点为i：f(z)在复平面内有两个奇点: z=0与z=i,
分别在以i为中心的圆周: |z-i|=1与|z-i|=2上. 因此, f (z)在以i为中心的圆环域(包括圆域)内的展开
式有三个: 1)在|z-i|<1中的泰勒展开式;
2)在1<|z-i|<2中的洛朗展开式;
i
3)在2<|z-i|<+中的洛朗展开式;
朗展开式是唯一的)
§ 4.4 洛朗级数
例3
将函数
sin z
z
及
sin z2
z
在z0=0的去心邻域内展成洛朗级数.
解：sin
z
z
1 z
z
1 3!
z3
1 5!
z5
(1)n z2n1 (2n 1)!
1 1 z2 1 z4 (1)n z2n
3! 5!
(2n 1)!
0 z
sin z z2
所以
f
( z)
(1
z
z2
)
121
z 2
z2 4

复变函数与积分变换-李红-华中科技大学-医学演示课件-精选.ppt

复变函数与积分变换-李红-华中科技大学-医学演示课件-精选.ppt

（2）C：左半平面以原点为中心逆时针方向的单位半圆周。
解（1）线段 的参数方程为 z it t :1 1
dz idt , z it t
z dz
1
0
t idt i[ tdt
1
tdt

i( 1

1)

i
C
1
1
0
22
..,
（2）参数方程为 z ei , 3
即在闭区域 D+C上解析, 甚至 f (z)在D内解析, 在闭区域
D+C 上连续, 则 f (z)在边界上的积分仍然有 f (z) d z 0.
C
推论：如果函数 f (z)在单连通域D内处处解析, C属于D，
则 f z dz 与路径无关.., 仅与起点和终点有关。 c
z
于是 C f z dz C f d f d F z Fz f z
c udx vdy ic vdx udy

f xt, y t zt dt
..,
复积分存在的一个充分条件：
设函数f (z) u(x, y) iv(x, y)在逐段光滑
的曲线上 C连续，则c f z dz 必存在.
f (z)连续 u(x, y)，v(x, y)连续
0 2i 2i 0 0 ..,
§ 3.3 柯西积分公式
分析：设 z0 D, 若 f (z) 在D内解析，则
f (z) d z闭路变形原理
f (z) d z C z0
C z z0
zz0 z z0
D
f z f z0 0
1 z

复变函数与积分变换PPT课件

复变函数与积分变换PPT课件
复变函数与积分变换是数学中的重要分支，广泛应用于自然科学和工程技术领域。复变函数是自变量为复数的函数，其基础包括复数的概念、表示及运算。复数形如z=x+iy，其中x和y分别为实部和虚部，i为虚数单位。复数的模定义为|z|=√(x²+y²)，幅角是复数在复平面上与实轴正方向的夹角。复数有代数、三角和指数三种表示方法，且可以进行加、减、乘、除四则运算。复数的加减运算满足平行四边形法则或三角形法则，乘法运算则是模相乘、幅角相加，除法运算为模相除、幅角相减。复变函数的极限与连续性是进一步研究解析函数理论和方法的基础。此外，积分变换包括傅里叶变换、拉普拉斯变换等，是解决微分方程、信号处理等问题的重要工具，其ห้องสมุดไป่ตู้键公式和方法也在文档中进行了详细汇总。

复变函数泰勒定理PPT课件

复变函数泰勒定理PPT课件
a
应用公式(4.10),我们有
1
za n
( ),
1 z a n0 a
a
右端的级数在 上(关于 )是一致收敛的.
现在您正浏览在第4页，共31页。
以在 上的有界函数
f ( ) a 相乘,仍然得到 上的
一致收敛级数 于是(4.11)表示为 上一致收敛级数
f
( )
a
n0
(z
仿照上例 , 可得 sinz 与 cosz 在 z 0的泰勒展开式.
sin z z z3 z5 (1)n z2n1 ,
3! 5!
(2n 1)!
(R )
cos z 1 z2 z4 (1)n z2n ,
2! 4!
(2n)!
(R )
现在您正浏览在第14页，共31页。
内容总结
复变函数泰勒定理。4.3.1.泰勒(Taylor)定理。(|u|<1).。由第三章的柯西不等式 知若f(z)在|z-a|<R内解。则f(z)在收敛圆周C:|z-a|=R上至少有一奇点,即。不可能有 这样的函数F(z)存在,它在|z-a|<R内与。K/:|z-a|<R+ρ内是解析。注 (1)纵使幂级数 在其收敛圆周上处处收敛,其。同时还表明幂级数的理论只有在复数域内才弄的完 全明白.。常用方法: 直接法和间接法.
所以它在 z 1内可以展开成 z 的幂级数.
y
如图,
R1
1 o 1
x
现在您正浏览在第21页，共31页。
解 [ln(1 z)] 1 1 z
1 z z2 (1)n zn (1)n zn ( z 1)
n0
No 设 C 为收敛圆 z 1内从 0 到 z 的曲线,
将展开式两端沿 C 逐项积分, 得

华中科技大学复变函数课件_图文

华中科技大学复变函数课件_图文
则 u+iv = (x+iy)2 = x2-y2+i2xy , 因而函数 w = z2 对应于两个二元函数:
u = x2-y2, v = 2xy
设函数 w = z2 = (x+iy)2 = x2-y2+i2xy ,
有 u = x2-y2, v = 2xy
y
v
z1 z2 z3 O
w2
O
x
w1 w3
随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于 L.Euler 的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的
Euler公式
揭示了复指数函数与三角函数之
间的关系。然而一直到C.Wessel (挪威.1745-1818)和R.Argand
(法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及
这样的球面称作 x1
复球面.
x
x1
x3
除了复数的平
面表示方法外,
N(0,0,2r) 还可以用球面
上的点来表示
x3
复数.
P(x1,x2,x3)
x2
y
o
x2
z(x,y)
扩充复数域---引进一个“新”的数∞: 扩充复平面---引进一个“理想点”: 无穷远点 ∞. 约定:
§1.4 区域
|z-z0|<d 内部的点的集合称为z0的邻域, 而称由不等式 0<|z-z0|<d
z=z1+t(z2-z1). (-<t<+)
由此得知由z1到z2的直线段的参数方程可以写成
z=z1+t(z2-z1). (0t1)
取
得知线段
的中点为
例4 求下列方程所表示的直角坐标系下的曲线:

复变函数：泰勒级数

复变函数：泰勒级数

z z0 z z0 令 q， z z0 r
q与积分变量z无关, 且0q<1.
K
z z z0
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
K含于D, f (z) 在D内解析, 在K上连续, 在K上有界, 因此在K上存在正实数 M 使| f (z) | M.
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
泰勒级数
设函数f ( z )在区域D内解析，而 z z0 r为D内以z0为 中心的任何一个圆周，记作K，圆周及它的内部全含于D， 又设z为K内任一点。
z
z
z0
K
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
.
z
因为ez在复平面内处处解析, 上式在复平面内处处成立, 收敛半径为+. 同样, 可求得sinz与cosz在z=0的泰勒展开式:
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
z3 z5 sin z z 3! 5! z2 z4 cos z 1 2! 4!
z 2 n 1 (1) (2n 1)!
n 2n z (1) n (2n)!
z z
除直接法外, 也可以借助这些已知函数的展开式, 利用 幂级数的运算性质和分析性质, 以唯一性为依据得出函数的 泰勒展开式, 此方法称为间接展开法. 例如sin z在z=0的泰 勒展开式也可以用间接展开法得出:
N 1
由解析函数高阶导数公式,上式可写成

华中科技大学课件 复变函数与积分变换 泰勒级数

华中科技大学课件 复变函数与积分变换 泰勒级数

第四章 解析函数的级数表示
e 例3：求函数 ： 在z=0处的泰勒展开式 处的泰勒展开式 1− z
z2 zn ez = 1+ z + + K + + K n! 2!
z
解： 函数有一个奇点z=1， 收敛半径R=1，在|z|<1内解析 内解析. 函数有一个奇点 ， 收敛半径 ， 内解析
1 2 n = 1+ z + z + K +ζ ) 1 dζ = 2π i ζ −z
n
∫ ∑
Γρ n= 0
∞
f (ζ )( z − z0 )n dζ n +1 (ζ − z0 )
f (ζ )( z − z0 ) M z − z0 ≤ , M = max f (ζ ) n +1 Γρ (ζ − z0 ) ρ ρ n ∞ z − z0 M z − z0 ∑ ρ ρ 收敛 ， Q ρ < 1 n= 0 n ∞ f (ζ )( z − z0 ) ζ 关于 在Γ ρ上一致收敛 ⇒∑ n+1 (ζ − z0 ) n= 0
第四章解析函数的级数表示资料仅供参考lnzkiz总结一些初等函数的泰勒展式第四章解析函数的级数表示资料仅供参考定理柯西积分公式如果fz在区域d内处处解析c为d内的任何一条正向简单闭曲线z为c内的任一点定理设级数的各项在曲线c上连续并且在c上一致收敛于sz则沿c可以逐项积分
第四章 解析函数的级数表示
§4.3 泰勒级数
第四章 解析函数的级数表示
解析函数展开为Taylor级数的方法 2. 解析函数展开为 级数的方法
1 (n) , , ) 直接法:直接计算系数: n 直接法:直接计算系数: c = f (z0) (n=012,L n ! e z 在z = 0处的Ta lor展式。 Taylor展式。 lor展式 例1 ：求

复变函数(4.3.1)--泰勒极数

复变函数(4.3.1)--泰勒极数

dz
� �( z �

z0
)n
￥
ﾥ n0
f
( n) ( z0 n!
)(z

z0
)n
.
定理 4.10 给出了函数在 z0 点的邻域内展开成 Taylor 级数的公式 , 同时给出了展开式的收敛半
径 R=|z0-|, 其中是离 z 最近的 f (z) 的奇点 .
Taylor 展开式的惟一性定理
e , ( 1)ln(1+ z)
f ﾢﾢ(z) ( 1)e( 2)ln(1+z) ,
L LL
f (n) (z) ( 1)L( n + 1)e( n)ln(1+z) ,
L LL 令 z=0, 有
f (0) 1, f ﾢ(0) , f ﾢﾢ(0) ( 1), L,
可展开为幂级
数

f (z) cn (z z0 )n , n0
其中
cn

1 n!
f
(n)(z0 )
D
z z在0 < R 内可
R
z0 .
( n 0, 1, 2,L) . 系数 cn 按上述表示的幂级数称为
f (z)在 z0 点的 Taylor 级数 .
证明 使得 r < R,
对
z
+L
z <1 .
( ) 例 3.4 将 f (z)
1 1+ z2
2 展开为 z 的幂级数 .
根据例 3.3 ，
￥ ( ) 1
(1 + x )2

ﾥ
(1)n(n + 1)x n
n0
x <1 ,

华中科技大学课件 复变函数与积分变换 泰勒级数共21页文档

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39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
谢谢！
、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。

复变函数与积分变换课堂第四章PPT课件

复变函数与积分变换课堂第四章PPT课件
n1
称为无穷级数, 其最前面n项的和
sn12 n
称为级数的部分和。
如果部分和数列{sn}收敛, 则级数 n 称为收敛，且 n 1
极限 lim n
sn
s
称为级数的和。如果数列
{
s
n
}
不收敛，则
级数 n 称为发散。 n 1
定理二 级数 n 收敛的充要条件是级数 a n 和
n 1
n 1
b n 都收敛。
1 n1 2 n
收敛，仍断定原级数发散。
另外, 因为 | n | 的各项都是非负的实数, 所以它的 n 1
收敛也可用正项级数的判定法来判定。
例2 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限。
1)n 11 n ein; 2)nncosin
[解] 1) 因n 11 n ei n 11 n cos nisin n ，故
an2bn2 |an||bn|，因此
， an2bn2 |an| |bn|
n1
n1n1所以当 Nhomakorabeaa n 与
b n 绝对收敛时，
n 也绝对收敛，因此
n 1
n 1
n 1
n 绝对收敛的充要条件是 a n 和 b n 绝对收敛。
n 1
n 1
n 1
例1
考察级数
n 1
(
1 n
i 2n
)
的敛散性。
[解]
因 发散，虽 1 n1 n
n 1
[证] 因 s n 1 2 n ( a 1 a 2 a n )
i(b 1 b 2 b n )n in
其中s n a 1 a 2 a n ,n b 1 b 2 b n 分别为 a n 和 n 1

复变函数中的Taylor 级数

复变函数中的Taylor 级数

将函数
f
(
z
)
(
z
1 2)( z
3)2
在 0 z 2 1 中展开成 Laurent 级数。
解
f
(z)
z
1 2
(z
1 3)2
1 1 z 3 (z 2) 1
1 1 (z 2)
(z 2)n ( z 2 1)
n0
1 (z 3)2
z
1
3
n0
(
z
2)n
n(z 2)n1 ( z 2 1)
的解析函数 f ( ) 。
1
R
则
R 即是 z
cn (z z0 )n
n0
z0
在
z
1
R
z0
1 R
z0 内绝对
收敛，且和函数是
z 的解析函数
f 1 z z0
Laurent 级数：
cn (z z0 )n cn (z z0 )n
n
n0 (1)
cn (z z0 )n
n1 (2)
n0 n!
n0 n!
ez 1 z z2 zn
2!
n!
( z )
例 3.7 cosz eiz eiz 2
1 2
n0
(iz)n n!
n0
(iz)n n!
ห้องสมุดไป่ตู้
iz2n i2n z2n (1)n z2n
iz 2n1 (iz)2n1
cos z (1)n z2n
n0 (2n)!
其中
cn
1
2
i
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
C
例3.17 把函数
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z < +∞
z3 z5 z2n+1 sinz =z− + −L (− )n + 1 +L z <+ ∞ n )! 3! 5! (2 +1 z2 z4 z2n c sz =1− + −L (− )n o + 1 +L 2! 4! (2 )! n z <+ ∞
第四章 解析函数的级数表示
间接法： 间接法：利用函数的各种特殊性以及幂级数的运算 加法，乘法，积分，求导等运算）和分析性质, （加法，乘法，积分，求导等运算）和分析性质, 以 唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式,主要有： 唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式,主要有： (1)利用已知初等函数的级数展开式； (1)利用已知初等函数的级数展开式； 利用已知初等函数的级数展开式 (2)利用几何级数 (2)利用几何级数 (3)逐项求导 逐项积分； 逐项求导、 (3)逐项求导、逐项积分； (4)待定系数法 (4)待定系数法 处的Taylor展开式 例2：求sinz在z=0处的 ： 在 处的 展开式
Γρ
ζ
图4.1
第四章 解析函数的级数表示
f (ζ ) ⋅ ζ − z0 1 f (ζ ) z − z0 = ζ − z0 1− ζ − z0
Γρ
n
z − z0 ∑0 ζ − z n= 0
∞
n
z − z0 <1 Q ζ −z 0
f (z) =
2π i ∫
∞
= ∑ C n ( z − z0 ) ， z − z 0 < ρ
n n= 0
∞
f (ζ ) dζ ( z − z0 )n ∫Cρ ( ζ − z0 )n+1
f ( n ) ( z0 ) 1 f (z) Cn = ∫ C ρ ( z − z0 )n+1 dz = n ! 2π i 与z,ρ无关 无关
由柯西积分公式得: 1 f( ) ζ f (z) = ξ ∫Γp ζ −zd 2 i π f (ζ ) 我们设法将被积式: ζ − z 表示为一个含有z-z0的正幂次级数.为此该写： f (ζ ) f (ζ ) f (ζ ) 1 = = ⋅ ζ − z ζ − z0 − ( z − z0 ) ζ − z 0 1 − z − z0 ζ − z0
5
第四章 解析函数的级数表示 推论1： 推论 ： f ( z )在 z 0 解 析 ⇔ f(z)在z0的某一邻域内可展开为 0的幂级数 在 的某一邻域内可展开为z-z 的幂级数. 推论2： 推论 ： 设函数f ( z )在区域D解析， 解析， z0 ∈ D, R = dist ( z0 , ∂D ) 内可展开为z-z 的幂级数. 则 f ( z ) 在 z − z 0 < R 内可展开为 0的幂级数 上述性质从级数角度深刻地反映了解析函数本质。 上述性质从级数角度深刻地反映了解析函数本质。 推论3： 推论 ：幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有 一个奇点(即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛 一个奇点 即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛 ).
第四章 解析函数的级数表示
对于多值函数，要先求出单值分支（主值），再计算 对于多值函数，要先求出单值分支（主值），再计算 ）， 相应的泰勒展开式。 相应的泰勒展开式。 求对数函数Ln(1+z)在z=0处的幂级数展开式 处的幂级数展开式. 例6 求对数函数 在 处的幂级数展开式 的主枝为ln(1+z)，ln(1+z)在从 向左沿负实 在从-1向左沿负实 解: Ln(1+z)的主枝为 的主枝为 ， 在从 轴剪开的平面内是解析的, 是它的奇点 是它的奇点, 轴剪开的平面内是解析的 -1是它的奇点 所以可在 |z|<1展开为 的幂级数. 展开为z的幂级数 展开为 的幂级数
n= 0
第四章 解析函数的级数表示
1 例4 求 f ( z ) = 在z = a( ≠ ±i )的Taylor展开式 . 2 1+ z 解: R = min ( a − i , a + i ) 1 1 i 1 1 i f (z) = − = 2 z−a+a+i − z−a+a−i 2 z+i z−i
1
f (ζ ) 1 dζ = 2π i ζ −z
n
∫ ∑
Γρ n= 0
∞
f (ζ )( z − z0 )n dζ n +1 (ζ − z0 )
f (ζ )( z − z0 ) M z − z0 ≤ , M = max f (ζ ) n +1 Γρ (ζ − z0 ) ρ ρ n ∞ z − z0 M z − z0 ∑ ρ ρ 收敛 ， Q ρ < 1 n= 0 n ∞ f (ζ )( z − z0 ) ζ 关于 在Γ ρ上一致收敛 ⇒∑ n+1 (ζ − z0 ) n= 0
f (z) =
其中系数
cn ( z − z0 )n ∑
n=0
∞
D
Γρ
f (n)(z0) 1 f (ζ) c = n ∫Γρ (ζ −z0)n+1dζ = n! 2 i π
( Γ ρ :| ξ − z0 |= ρ , 0 < ρ < R; n = 0,1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)
且展式是唯一的. 且展式是唯一的
i 1 1 = − z−a z−a 2 (a + i ) 1 + (a − i ) 1 + a+i a−i n n ∞ ∞ 1 i 1 n z−a n z−a ( −1) = − (a − i ) ∑ ( −1) a − i (a + i ) ∑ 2 a+i n=0 n= 0
z 例如： 例如： f ( z ) = 2 = z +z−6 其收敛半径： 其收敛半径：R = 2 ;
∑C
n=0
∞
n
z ,
n
∞ 1 n f ( z) = 2 = ∑ Cn ( z − i ) , z + z − 6 n= 0
其收敛半径： 其收敛半径： R =
1 可在|z|<1内展开成 的幂级数 内展开成z的幂级数 析, 所以 (1 + z ) 2 可在 内展开成 的幂级数.
1 2 n n = 1 − z + z − L + ( −1) z + L ,| z |< 1. 1+ z
将上式两边求导得 1 2 n−1 n−1 = 1− 2z + 3z −L+ (−1) nz +L,| z |< 1. 2 (1+ z)
第四章 解析函数的级数表示
§4.3 泰勒级数
1、泰勒(Taylor)定理 泰勒(Taylor)定理 (Taylor) 2、一些初等函数的泰勒展式
第四章 解析函数的级数表示 4.3.1、泰勒(Taylor)定理 、泰勒 定理
定理4.6 (泰勒定理 设f(z)在区域 内解析 0∈D,只 泰勒定理) 在区域D内解析 定理 泰勒定理 在区域 内解析,z 只 含于D,则 在 内能展成如下幂级数 要K:|z-z0|<R含于 则f(z)在K内能展成如下幂级数 含于
第四章 解析函数的级数表示
e 例3：求函数 ： 在z=0处的泰勒展开式 处的泰勒展开式 1− z
z2 zn ez = 1+ z + + K + + K n! 2!
z
解： 函数有一个奇点z=1， 收敛半径R=1，在|z|<1内解析 内解析. 函数有一个奇点 ， 收敛半径 ， 内解析
1 2 n = 1+ z + z + K + z + K 1− z
两式相乘得， 两式相乘得，
z <1
ez 1 1 1 1 n = 1 + (1 + ) z + K + (1 + + + K + ) z + K 1− z 1! 1! 2! n!
z <1
第四章 解析函数的级数表示
（方法二 待定系数法） 待定系数法）
∞
∞ ez = ∑ cn z n 那么， 那么， 假设所求的泰勒展开式为 1 − z n= 0
(z0 = 0时称为 时称为Maclaurin级数 )
第四章 解析函数的级数表示
证:关键是利用柯西积分公式及如下熟知的公式: 关键是利用柯西积分公式及如下熟知的公式: 柯西积分公式及如下熟知的公式 ∞
1 = ∑ g ( z ) n (|g(z)|<1). 1 − g( z ) n=0
∀ z ∈ K 总有一个圆周: Γ :|ζ −z0 |=ρ(0<ρ < R ), ρ 使点z含在 Γ ρ的内部(图4.1中虚线表).
=1 = e ,n = 0 ,1 , 2 ,K z=0 z (n) 2 n ( e ) z=0 1 z z z cn = = e = 1 + z + +K+ +K n! n! 2! n!
解： ( e )
z ( n) z
( e z )( n )
类似地， 处的Taylor展开式 类似地，sinz, cosz在z=0处的 在 处的 展开式
第四章 解析函数的级数表示
z − z0 是一致收敛的, 级数∑(ζ − z ) 在 Γ ρ上(关于ζ)是一致收敛的,与 Γ ρ上 n=0 0 相乘, 上的一致收敛级数。 的有界函数 f (ζ )相乘,仍然得到Γ ρ 上的一致收敛级数。 ζ − z0
∞ n
1 逐项积分： 逐项积分： ( z ) = ∑ f n= 0 2π i