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复变函数泰勒级数展开ppt课件

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泰勒展开定理54页PPT

泰勒展开定理54页PPT

f (x0 ) (x 2!
x0 )2


f
(n)( x0 n!
)
(x

x0 )n
Rn(x)
f

(n1)( )
n 1!
(
x

x0
)n1,(在x0与x之间)
注 意 :当 n0时 ,泰 勒 公 式 变 成 拉 格 朗 日 中 值 公 式
f(x)f(x0)f()x (x0) (在 x0与 x之 ) 间
如 果 e p ( p,q Z 且 互 质 ),则 当 n q时 , q
n!
e
e n ! (n ! n ! n 1)
( )
2!
n1
应 该 是 一 个 整 数 ,但 是 0 1, e 3 , n1 n1
所 以 当 n 2时 ( )右 边 就 不 是 整 数 了 ,因 而 矛 盾 .
R n (x )f n (n 1 )1 (!)(xx 0)n 1n M 1 !|xx 0|n 1
Rn(x)
f (n1)( )
n 1! (x

x0 )n1( 在
x 0与
x之
间
)
如 果 f (n1)( x )有 界 ,那 么
Rn(x)
f (n1)( )
如 果 我 们 用 更 高 次 的 M aclau rin
多 项 式 来 逼 近 sin x ,那 就 可 以 使
得变量的取值范围有所扩大.
Taylor公 式 在 近 似 计 算 中 的 应 用 ;
yx ysinx
播放
sin xx3 1 !x 3 1 n 12 x n 2 n 1 1!R 2 nx

复变函数泰勒级数展开

复变函数泰勒级数展开
泰勒级数展开在概率论与数理统计中也有应用，例如在中 心极限定理的证明中就使用了泰勒级数展开的方法。05结论泰勒级数展开的重要性和影响
理论意义
泰勒级数展开是复分析中的重要工具，它为研究函数的性 质提供了理论基础，有助于深入理解函数的性质和行为。
应用价值
泰勒级数展开在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用 ，例如在信号处理、控制系统、量子力学等领域，泰勒级数展 开都发挥了关键作用。
指数函数e^z的泰勒级数展开
总结词
指数函数e^z在复平面上的泰勒级数展开 式为无限和的形式，可以表示为幂级数 的和。
VS
详细描述
e^z = 1 + z + z^2/2! + z^3/3! + ... + z^n/n! + ...，其中z为复数，n!表示n的阶 乘。这个级数是无限和的形式，可以用于 近似计算e^z的值。
对数学发展的推动
泰勒级数展开的发现和证明对数学的发展产生了深远的影响， 它不仅推动了复分析的兴起和发展，还为数学的其他分支提供 了新的思路和方法。
对未来研究的展望
深入研究泰勒级数展开的性质和特性
尽管泰勒级数展开已经得到了广泛的研究和应用，但关于其性质和特性的研究仍有许多值得深入探讨的问题，例如高 阶泰勒级数展开、非标准泰勒级数展开等。
值，并帮助理解函数的性质和行为。
04
泰勒级数展开的应用
在微积分中的应用
函数逼近
泰勒级数展开可以用来逼近复杂的函数，通过将复杂的函 数表示为简单的多项式之和，可以更好地理解和分析函数 的性质。
无穷级数求和
泰勒级数展开可以用来求无穷级数的和，这对于解决一些 数学问题非常有用，例如求定积分等。
数值分析

高等数学下教学new-第六节-taylor级数与函数的幂级数展开课件.ppt

高等数学下教学new-第六节-taylor级数与函数的幂级数展开课件.ppt

二、函数展开为幂级数
1、直接展开法
先求出 f (z) 的各阶导数 f (n)(z)和 f (n)(a)，n 1, 2,
代入
f (z)=
f (n)(a)(z a)n ，再确定收敛半径即可。
n0 n!
例5 设(1 z)a ealn(1z)（, 称为(1 z)a的主值支），求它的 Marclaurin展开式。
电气学院学习部资料库
故f (z)的Marclaurin展式为
f (z) (1 z)a 1 a(a 1) (a n 1) zn, ( z 1)
n1
n!
特别地，当a 1和a 2时，有
1
(z)n ,( z 1)
1 z n0
1
(1)n1 nzn1, ( z 1)
(1 z)2 n1
f (z)在闭圆 z - a r 内解析。
电气学院学习部资料库
现记圆周Kr { : a r}，由Cauchy积分公式，
f (z) = 1 f ( ) d
2 i Kr z
由 z a 1，有
a
1
1
z ( a) (z a)
1 a
1
1 z
a
a
1 a
n0
z
a a
2
n!
电气学院学习部资料库
1 x 1
说明：（7）在 - 1 x 1 恒成立，但当a 取不同值时，
端点 - 1、1处的收敛情况是不同的。
1
(1＋x )2
(1)n (n 1)xn , (1
n0
x
1)
1
(1 x) 2
1
(1)n (2n 1)!! xn, (1 x 1)
n1
(2n)!!

复变函数4 - 1 复数项级数和序列以及泰勒级数幻灯片

复变函数4 - 1 复数项级数和序列以及泰勒级数幻灯片

w0
lim
n
zn
+
wn
z0 + w0
性质2 Cauchy收敛准则 zn z0
任意 0，存在N，使得 当m，
n>N时，| zm
zn |
6/16/2020
5
复数项级数
对于复数列 {z1，z2，…，zn，…}，称
zn z1 z2 zn
n1
为复数项级数。部分和记为
n
Sn zk z1 z2 zn
| zn || |n
可知极限不存在。
6/16/2020
25
例2： 讨论数列{zn}的收敛性，其中
zn n ， 为复数。
注：（3）用到了如下性质
lim zn z0 lim | zn || z0 |
n
n
这是因为
0 || zn | | z0 ||| zn z0 | 0
n 1
n 1
15
例1：判断如下数列的收敛性，若收敛，
求极限。（1）zn
( i )n，（2）zn 2
cos in。
6/16/2020
16
例1：判断如下数列的收敛性，若收敛，
求极限。（1）zn
( i )n，（2）zn 2
cos in。
分析与解：（1）由于 |i/2|<1，猜测{zn}的 极限为0
|
zn
n1
实数项级数 xn， yn 分别收敛于X和Y。
n1
n1
此时，S=X+iY
证明：由于Sn=Xn+iYn，可知 Sn S Xn X，Yn Y。
6/16/2020
10
定理：复数项级数 zn 绝对收敛
n1
实 数 项 级 数 xn ， 都绝对收敛。

复变函数泰勒定理PPT课件

复变函数泰勒定理PPT课件
a
应用公式(4.10),我们有
1
za n
( ),
1 z a n0 a
a
右端的级数在 上(关于 )是一致收敛的.
现在您正浏览在第4页，共31页。
以在 上的有界函数
f ( ) a 相乘,仍然得到 上的
一致收敛级数 于是(4.11)表示为 上一致收敛级数
f
( )
a
n0
(z
仿照上例 , 可得 sinz 与 cosz 在 z 0的泰勒展开式.
sin z z z3 z5 (1)n z2n1 ,
3! 5!
(2n 1)!
(R )
cos z 1 z2 z4 (1)n z2n ,
2! 4!
(2n)!
(R )
现在您正浏览在第14页，共31页。
内容总结
复变函数泰勒定理。4.3.1.泰勒(Taylor)定理。(|u|<1).。由第三章的柯西不等式 知若f(z)在|z-a|<R内解。则f(z)在收敛圆周C:|z-a|=R上至少有一奇点,即。不可能有 这样的函数F(z)存在,它在|z-a|<R内与。K/:|z-a|<R+ρ内是解析。注 (1)纵使幂级数 在其收敛圆周上处处收敛,其。同时还表明幂级数的理论只有在复数域内才弄的完 全明白.。常用方法: 直接法和间接法.
所以它在 z 1内可以展开成 z 的幂级数.
y
如图,
R1
1 o 1
x
现在您正浏览在第21页，共31页。
解 [ln(1 z)] 1 1 z
1 z z2 (1)n zn (1)n zn ( z 1)
n0
No 设 C 为收敛圆 z 1内从 0 到 z 的曲线,
将展开式两端沿 C 逐项积分, 得

复变函数4.3-4.4复变函数的泰勒展开及罗朗展开

复变函数4.3-4.4复变函数的泰勒展开及罗朗展开

(1) 幂级数的收敛域是圆域,且和函数在收敛域
内解析.
(2) 在圆域内的解析函数一定能展开成幂级数. 对于罗朗级数，已经知道：
罗朗级数的收敛域是圆环域，且和函数在圆 环域内解析. 问题: 在圆环域内解析的函数是否可以展开 成罗朗级数?
4.4.2 函数的罗朗级数展开
定理4.12(Laurent展开定理) 设 0 R1 R2 , 函数f (z)在圆环域 R1 z z0 R2 内解析, 则函数f (z) 在此圆环域内可展开为罗朗级数
定理4.9 (Taylor展开定理) 设 f ( z )在区域D
内解析, z0 为D内的一点, R为 z0 到D边界的距离 (D是全平面时, R=+), 则 f ( z ) 在 z z0 R 内可 展开为幂级数

f ( z ) a n ( z z0 ) n
n 0
R
z0
.
1 (n) f ( z0 ) 其中 an n!
解析, 那么根据柯西-古萨定理, an 0 n 1, 2, 所以罗朗级数包含了Taylor级数.
,
罗朗展开式的唯一性 设函数f (z)在圆环域R1<|z-z0|<R2内解析，并且
可以展开成双边幂级数
n


cn ( z z0 ) n
1 则系数为 cn 2 i

C
n 0
4n 0
a z 和 b z 的收敛
n n n
2n z ( 1)n , z . (2n)! 内,


n 0
n
n!
12!
2
n!
并且收敛半径 R . 同理 n
sin z

复变函数 泰勒展式


n0
3z 2
n
n0
3n zn 2n1
,
z 2 3
三、 零点
哈 定义 设函数在z0点的某邻域内解析，
尔 滨
且f (z0 ) 0,那么称z0为f (z)的零点.
工
程 大
若f (z)在 | z z0 | 内的泰勒展开式为
学
复
f (z) cm (z z0 )m cm1(z z0 )m1 L ,
第四章 级 数
哈
尔 滨
§4.2 泰勒级数
工
程
大 学
学习要点
复
变
函
掌握函数的泰勒展式
数
一、泰勒定理
哈 尔
定理1 设 f (z)在圆域D :| z z0 | R内解析，那
滨 工
么f (z)在D内可以唯一地展开成幂级数，
程
大 学
f (z) cn (z z0 )n
n1
复 变 函 数
其中cn
f (n) (z0 ) n!
)n
复
变 函
结论1
如果f (z)有奇点,则使f (z)在z0的泰勒
数
展开式成立的圆域的半径R等于从z0
到距z0最近的f (z)的奇点之间的距离，
即R z0 .
哈
如
f
(z)
z(
1 z
1)
在z0
1处解析，则f
( z )的在
尔
滨 工
z0 1处泰勒展开式的收敛半径为R 1 0 1.
程
大
学 结论2
复
变 函
f (z)在z0解析 f (z)在z0的某邻域内
数
可以展开成幂级数 cn (z z0 )n .

复变函数(4.3.1)--泰勒极数


dz
� �( z �

z0
)n
￥
ﾥ n0
f
( n) ( z0 n!
)(z

z0
)n
.
定理 4.10 给出了函数在 z0 点的邻域内展开成 Taylor 级数的公式 , 同时给出了展开式的收敛半
径 R=|z0-|, 其中是离 z 最近的 f (z) 的奇点 .
Taylor 展开式的惟一性定理
e , ( 1)ln(1+ z)
f ﾢﾢ(z) ( 1)e( 2)ln(1+z) ,
L LL
f (n) (z) ( 1)L( n + 1)e( n)ln(1+z) ,
L LL 令 z=0, 有
f (0) 1, f ﾢ(0) , f ﾢﾢ(0) ( 1), L,
可展开为幂级
数

f (z) cn (z z0 )n , n0
其中
cn

1 n!
f
(n)(z0 )
D
z z在0 < R 内可
R
z0 .
( n 0, 1, 2,L) . 系数 cn 按上述表示的幂级数称为
f (z)在 z0 点的 Taylor 级数 .
证明 使得 r < R,
对
z
+L
z <1 .
( ) 例 3.4 将 f (z)
1 1+ z2
2 展开为 z 的幂级数 .
根据例 3.3 ，
￥ ( ) 1
(1 + x )2

ﾥ
(1)n(n + 1)x n
n0
x <1 ,

复变函数的级数表示PPT课件


的函数项级数称为幂级数.
在(2)中 令z z0 ,(2)变 为 cn n .
第12页/共64页
n0
所 以 ， 不 失 一 般 性 ，后今主 要 讨 论 cnzn . (3) n0
关于幂级数的收敛性问题，我们有著名的阿贝尔定理：
定理1 (----Abel定理）
⑴若级数 cn zn在 z z0 ( 0)收敛 ,则对满足
第34页共64页35定理1taylor定理上各点的最短距离的边界内解析在区域第35页共64页36把上面的式子代入2并把它改写成下面的形式第36页共64页37其中而3又可以写为成立则可以证明lim内成立第37页共64页38上连续因此内解析从而在使得存在于是第38页共64页39lim成立内成立内即可及其内部包含在只要圆可以任意增大的半径为半径为中心的收敛范围是以级数之间的距离的最近的一个奇点等于从展开式的收敛半径在解析点那么有奇点第39页共64页40事实上设fz用另外的方法展开为幂级数
级数前n项的和
n
sn(z) f1(z) f2(z) fn(z) fk (z) k 1
-----级数的部分和；
设z0为D内 一 点 ， 如 果ln i m sn (z0 ) s(z0 )存 在 ， 则 称 级 数(1)在z0处 收 敛 ，s(z0 )称 为 它 的 和.
第11页/共64页
n1 n
nnz n
(3)
.
n1 n!
解 (1)
lim cn1 c n
n
l i m( n ) p 1, n n 1
R 1;
收敛圆| z | 1.
(2) lim cn1 l i m n 1, R 1;
c n n
n n 1
收敛圆| z 1 | 1.

复变函数泰勒级数课件


03
复变函数中的泰勒
级数展开
幂函数展开
幂函数展开
对于形如 (z^n) 的幂函数，泰勒级 数展开为 (z^n = sum_{k=0}^{infty} frac{n!}{(n-k)!} cdot frac{1}{k!} cdot z^k)
举例
(z^2 = z cdot z = z + frac{1}{2}z^2 + frac{1}{24}z^4 + ldots)
在数值分析中的应用
函数的近似计算
对于一些难以解析的函数，可以利用泰勒级数进 行近似计算，得到其数值解。
数值积分与微分
通过泰勒级数，可以对函数进行数值积分或者微 分，从而得到函数的定积分或者导数。
求解微分方程
利用泰勒级数，可以将微分方程转化为代数方程 组，从而方便求解。
05
复变函数泰勒级数
的进一步研究
04
泰勒级数的应用
在信号处理中的应用
信号的近似表示
泰勒级数可以将复杂的信 号表示为简单的多项式之 和，从而方便分析信号的 特性。
信号的滤波
通过泰勒级数，可以设计 出特定的滤波器，用于提 取信号中的特定频率成分 或者抑制噪声。
信号的合成与调制
泰勒级数的展开可以用于 生成新的信号，或者对现 有信号进行调制，实现信 号的频谱搬移。
复变函数泰勒级数课 件
目录
CONTENTS
• 复数与复变函数础 • 泰勒级数展开 • 复变函数中的泰勒级数展开 • 泰勒级数的应用 • 复变函数泰勒级数的进一步研究
01
复数与复变函数基 础
复数的概念与性 质
复数的定义
复数是实数和虚数的和，形式为 $z=a+bi$，其中$a$和$b$是实数， $i$是虚数单位，满足$i^2=-1$。
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i f
(z)
n0
1
2
i
C
f
(
( )d
z0 )n1
(
z
z0
)n
利用解析函数的高阶导数公式，上式即为
其中
f (z) an (z z0 )n n0
(3.3.3)
i an
1 2πi
f ( )d C ( z0 )n1
f (n) (z0 ) n! .
(0,1, 2,L )
(3.3.4)
这样便得到了 f (z) 在圆| z z0 | R 内的幂级数展
z z0 z0
从而 z z 0 1 z0
因为 1 z(z0)1 (zz0) 1z01z1 zz0 0
根据
1
zn,
(| z|1)
1z n0 .
1
z
1 z0
1
z
z0 z0
z
z0 z0
2
n0
(z z0 )n
( z0 )n1
以此代入(3.3.2)，并把它写成
正整数）。
解：先计算展开系数
f(z)(1z)m
f (0) 1m
f'(z)m(1z)m1
f '(0) m1m
f''(z)m (m 1 )(1z)m 2
f''(0)m(m1)1m
f(3 )(z ) m (m 1 )(m 2 )( 1 z )m 3
……
f(3)(0 )m (m 1 )(m 2 )1 m
值互相独立，可以比照单值函数的方法展开，先计算系数
f (z)lnz f(1)ln1n2i
f '( z ) 1 z
f '(1) 1
1! f ''( z) z 2
f ''(z)1!
f (3) (z) 2! z3
……
f (3) (z) 2!
于是可写成 z 0 1
在邻域上的泰勒级数 .
lnzln11(z1)1!(z1)22!(z1)3
开式，但上述展开式是否唯一呢？我们可以证明其唯一 性。
假设 f (z) 在 | z z0 | R 内可展开为另一展开式
f (z) bn (z z0 )n n0
(3.3.5)
两边逐项求导，并令 z z0 可得到系数
bn
f
n (z0 n!
)
an
,
(n 0,1, 2,L )
(3.3.6)
故展开式系数是唯一的。 .
(1z)m 1mm1mzm(m1)1mz2
1!
2!
m(m1)(m2)1mz3 L
3!
.
易求其收敛半径为1，故
( 1 z ) m 1 m { 1 m z m ( m 1 ) z 2 m ( m 1 ) ( m 2 ) z 3 L } , ( z 1 )
1 ! 2 !
3 !
式中 1m(ei2n)mei2nm
在许多的单值分支中，n＝0那一支即 1m 1的那一个叫 作 (1 z )m 的主值。上式也就是指数为非整数的二项式
定理。
.
二、当 f ( z ) 较复杂时，求 f (n) ( z0 ) 比较麻烦。根据泰勒展式
的唯一性，因此通常用间接展开法，即利用基本展开公式及
幂级数的代数运算、代换、逐项求导或逐项积分等将函数展
cosz1z2z4z6L 2! 4! 6!
容易求得上面两个泰勒级数的收敛半径为无限大。 即 Z在全复平面上取值只要有限，上面两个级数 就收敛。
.
例3.3.3 在 z 0 1 的邻域把 f (z)lnz 展开。
解：多值函数 f (z)lnz 的支点在 z0,z
现在展开中心 z 0 1 并非支点，在它的邻域上，各个单
1!
2!
3!
n2i(z1)(z1)2 (z1)3 (z1)4 L
2
3
4
可以求得上式的收敛半径为1。因此
(z 1 )2 (z 1 )3
ln z n 2i (z 1 ) L (z 1 ) 23
上式n＝0的那一个单值分支叫作 l n z 的主值。
.
例3.3.3 在 z 0 0 的邻域把 f(z)(1z)m 展开（m不是
n0 n!
级数。 .
【证明】 设函数 f (z) 在区域 D： z z0 R 内解析，任取一点 D ，以 z0 为
中心， 为半径( R )作圆周 C:
z0 ，如图
gz
z0
C
由柯西积分公式知
R
f
(z)
1 2πi
i
C
f
( )d
z
(3.3.2)
.
其中z在C的内部,，而 在C上取值, C取逆时针正方向. 故
由上可见其四阶导数等于函数本身，因此其高阶导 数是前四阶导数的重复。
且在 z 0 0 有 f1' (0) 1 f1'' (0) 0
f (3)
1
(0)
1
f (4)
1
(0)
0
故有
z z3 z5 z7 sinz L
1! 3!. 5! 7!
同样的方法，可求得 cos z 在 z 0 0 邻域上的泰勒级数
f (z) an (z z0 )n , (| z z0 | R) (3.3.1) n0
i 其中
1
an 2i
f ( )d C ( z0 )n1
f (n) (z0 ) n!
(nபைடு நூலகம் 0,1, 2,L ) ,
且展式是唯一的。
特别地，当 z0 0 时，级数
f (n) (0)zn 称为麦克劳林
开成幂级数，基本展开公式如下：
3.3.2 将函数展开成泰勒级数的方法
泰勒展开定理本身提供了一种展开方
法，即求出 f (n) (z0 ) 代入即可，这种方法称
为直接展开法. 例3.3.1 在 z 0 0 的邻域上把 f (z) ez 展开。 解：函数 f (z) ez 的各阶导数 f (k)(z) ez 而
f(k)(z0)f(k)(0)1 故 f (z) ez 在 z 0 0 领域上的泰勒级数写为
ez 1zz2 z3 L 易求收敛半径无限大 1! 2! 3! .
例3.3.2 在 z 0 0 的邻域把 f1(z)sinz 和 f2(z)cosz
展开。
解： 函数 f1(z)sinz 的前四阶导数分别为 f1'(z) cosz
f1''(z)sinz f1(3)(z)cosz f1(4)(z)sinz
3.3 泰勒级数展开
.
3.3 泰勒级数展开
通过对幂级数的学习，我们已经知道一个 幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解 析函数。现在我们来研究与此相反的问题，就 是：任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？ 这个问题不但有理论意义，而且很有实用价值.
.
3.3.1泰勒级数
泰勒(Taylor)展开定理 设 f (z) 在区域 D：| z z0 | R 内 解析，则在 D 内 f (z) 可展为泰勒级数