1.2二次根式的性质(2)

二次根式知识点总结二次根式是高中数学中重要的知识点之一，它在解决一元二次方程、求解勾股定理以及图形的面积计算等问题中起到了重要的作用。

本文将对二次根式的定义、性质以及相关的数学运算进行总结，并探讨其在实际问题中的应用。

一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的代数式，其中a为非负实数。

它可以表示为一个单独的根号表达式，也可以是两个或多个二次根式之间的运算。

二、二次根式的性质1. 二次根式与有理数的关系：二次根式可以是有理数或无理数。

当根号内的数可以化简为有理数时，二次根式即为有理数；否则，二次根式为无理数。

2. 二次根式的相等性：两个二次根式相等的条件是它们的被开方数相等。

3. 二次根式的大小比较：对于非负实数a和b，若a > b，则有√a >√b。

4. 二次根式的运算性质：对于非负实数a和b，有以下运算性质：- 加法：√a + √b = √(a + b)- 减法：√a - √b = √(a - b)，其中a ≥ b- 乘法：√a * √b = √(a * b)- 除法：√a / √b = √(a / b)，其中b ≠ 0三、二次根式的化简当二次根式存在可以化简的情况时，可以通过以下方法进行化简：1. 提取因子法：将根号内的数分解为两个数的乘积，其中一个数是完全平方数，并提取出完全平方数的根号作为整体。

2. 有理化分母法：对于含有二次根式的分数，可以通过有理化分母的方法化简，即将分母有理化为一个有理数或二次根式。

四、二次根式的应用1. 解一元二次方程：一元二次方程的形如ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0。

通过二次根式的求解方法，可以求得方程的解，并通过图像分析得到方程的根的性质。

2. 求解勾股定理：在平面几何中，勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个其他边的平方之和。

通过二次根式的运算，可以准确计算出直角三角形的边长。

3. 计算图形的面积：在几何问题中，经常需要计算图形的面积，而某些图形的面积计算涉及到二次根式。

初中精品试卷1.2 二次根式的性质（ 2）同步练习课内练习A 组1．下列运算正确的是（ ）A ． 52 42 = 52 - 42 =5-4=1B ． ( 16)( 25) =16 × 25 =-4 ×（-5）=20C ． (5)2(12)2 = 5 +12=17 D ． 42 7= 42×7=4 7131313 13 132．下列化简错误的是（）A ． 5 =5 = 5 B ． 0.010.49 = 0.01 × 0.49 =0.1 ×0.7=0.0799 3C ． 2=2 = 1 14D ． 11=1·1=1×1 =17 7 74949 773． 169 196 =______;4． 423 =_______;5．5=________;36． ( 18)( 24) =_____;7． 0.001 =________;8．1 1=_______．2 39．（1） 5 =________； （2） 103 =_________．810．（ 1） 1( 8) 2 =_______； （2） 8.1 102 =________．17B 组11．计算：211=________;12．化简： 152302 =_______．3413．?已知等腰三角形的底边长为 10cm ，?腰为 13cm ，?则此等腰三角形的面积为________cm 2．0.9 169 14．-=________．3.619615．在△ ABC 中，∠ C=Rt ∠，若 AB=8 ，BC=1，则 AC=_______．16．在直角坐标系中，已知点A （1，-2），B （5，-7），C （ 5， -2）是三角形的三个顶点，求 AB 的长．课外练习A 组1．判断题（对的打 “∨”，错的打 “×”）（ 1） (3.14)2=3.14-（ ）（2） 3252=32×5 5=135 5 （ ）（ 3）1 1 8 8 （ ）（ ）5( 5) 25 （ ）8 888552．化简： 169 121 4 =_________;3．化简： (2.5 103 )(1.6 105 ) =_________．4．化简：16 =________;1255．化简 52结果正确的是（）5A ．110B ． 25 10C ． 2D ． 1056．计算：32 的值为（ ）25A ．32B ．32C ．36D ．8 62887．化简：11=________;808． ( 8 ) 2 ( 2 ) 2=_________;15159．化简：332=________．4 2710．已知△ ABC 中，∠ C=Rt∠，若 AC=5cm，BC=4cm，求 AB 的长．B 组11．化简： 132392 =________;912．化简： 1.6105=________．8.11013．已知等边三角形的边长为4 2 cm，则它的高为______cm．14．在如图的 4×4 方格内画△ ABC ，使它的顶点都在格点上，?三条边长分别为1125 ，4，3222．5参考答案【课内练习】1．D 2．D3．1824．4 35．1156．12 3 37．1108．169．（1）110 （2）10 10 ? 1006410．（ 1）15（2）9 1011．1312．15 5 17313．6014．- 1315．3716．41 28【课外练习】1．（1）× （2）× （3）×（4）∨2．2863．2×1044．455．D 6．B 257．958．2159．1610．41 cm 2015311．131012．40013．26 914．如图所示513。

第1课时二次根式(a)2＝a(a≥0)及a2＝|a|的性质1．下列各式中，正确的是(B)A.（－3）2＝－3B．－32＝－3C.（±3）2＝±3D.32＝±3【解析】A不正确，结果应该为3；B正确；C不正确，结果应该为3；D不正确，结果应该为3.2．计算1916＋42536的值为(B)A．2512B．3512C．4712D．5712【解析】原式＝2516＋16936＝54＋136＝3512，故选B.3．[2012·济宁]如图1－2－1，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(－2，3)，以点O为圆心，以OP为半径画弧，交x轴负半轴于点A，则点A的横坐标介于(A)图1－2－1A．－4和－3之间B．3和4之间C．－5和－4之间D．4和5之间【解析】 ∵点P 的坐标为(－2，3)， ∴OP ＝22＋32＝13.∵点A ，P 均在以点O 为圆心，以OP 为半径的圆上， ∴OA ＝OP ＝13.∵9＜13＜16，∴3＜13＜4. ∵点A 在x 轴的负半轴上，∴点A 的横坐标介于－4和－3之间． 4．填空：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2122＝__212__；(2)(－5)2＝__5__； (3)（－6）2＝__6__； (4)⎝ ⎛⎭⎪⎫－1342＝__134__．5．[2012·宁夏]已知a ，b 为两个连续的整数，且a <11<b ，则a ＋b ＝__7__． 6．实数x 在数轴上的位置如图1－2－2所示：图1－2－2则x 2＝__－x __，（－x ）2＝__－x __．7. [2012·福州]若20n 是整数，则正整数n 的最小值为__5__. 8．若a ＜0，化简|a －3|－a 2＝__3__． 【解析】 ∵a ＜0，∴a －3＜0， ∴原式＝－(a －3)－(－a )＝－a ＋3＋a ＝3. 9．计算：(1)（－7）2－(－5)2； (2)(－3)2－25＋（－3）2； (3)（π－2）2＋（5－π）2. 解：(1)原式＝7－5＝2. (2)原式＝3－5＋3＝1. (3)原式＝π－2＋5－π＝3.10．[2013·益阳]已知：a ＝3，b ＝|－2|，c ＝12.求代数式a 2＋b －4c 的值． 解：当a ＝3，b ＝||－2，c ＝12时，a 2＋b －4c ＝(3)2＋||－2－4×12＝3＋2－2＝3.11．若a ＜1，化简（a －1）2－1＝( D )A ．a －2B ．2－aC ．aD ．－a【解析】 ∵a ＜1，∴a －1＜0，∴（a －1）2－1＝－(a －1)－1＝1－a －1＝－a ，选D.12．[2012·张家界]实数a ，b 在数轴上的位置如图1－2－3所示，且|a |>|b |，则化简a 2－|a ＋b |的结果为( C )图1－2－3A ．2a ＋bB ．－2a ＋bC ．bD ．2a －b13．若整数m 满足条件（m ＋1）2＝m ＋1且m ＜25，则m 的值是__0或－1__. 【解析】 ∵（m ＋1）2＝m ＋1≥0，∴m ≥－1. 又m ＜25且m 为整数，∴m ＝0或－1.14．(1)如果a ＝－3，求（a ＋1）2－（a －1）2的值； (2)化简：（x －1）2－(x ＋1)2(x ＞1)． 解：(1)当a ＝－3时，原式＝（－3＋1）2－（－3－1）2 ＝（3－1）2－（3＋1）2 ＝(3－1)－(3＋1)＝3－1－3－1＝－2.(2)∵x＞1，∴x－1＞0，x＋1＞0，∴原式＝x－1－x－1＝－2.15．如图1－2－4，O为坐标原点，等腰△OPB中，OP＝PB，OB在x轴的正半轴上，且点P的坐标为(x，y)．(1)用二次根式表示等腰△OPB的腰长PB；(2)如果x＝2，y＝3，求PB的长．图1－2－4解：(1)过P作PH⊥OB于H，由勾股定理，得PB＝OP＝x2＋y2.(2)当x＝2，y＝3时，PB＝x2＋y2＝（2）2＋（3）2＝ 5.16．已知18－n是整数，求自然数n的值．解：∵18－n≥0，∴n≤18.又18－n是整数，∴18－n是完全平方数．又18－n≤18，∴18－n＝02，12，22，32，42，∴n＝18，17，14，9，2.17．(1)已知a－3＋|3b－2a|＋(a＋b＋c)2＝0，求a，b，c的值．(2)a，b在数轴上的位置如图1－2－5所示，化简（a＋1）2＋（b－1）2－（a －b ）2.图1－2－5解：(1)依题意，得⎩⎨⎧ a －3＝0，3b －2a ＝0，a ＋b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，c ＝－5.(2)∵a ＜－1，b ＞1，a ＜b ， ∴a ＋1＜0，b －1＞0，a －b ＜0， ∴原式＝－(a ＋1)＋b －1＋(a －b ) ＝－a －1＋b －1＋a －b ＝－2.。

二次根式的性质及其应用资料编号:202208180656一、二次根式的性质二次根式具有三条非常重要的性质:双重非负性、转化性和自身性.（1）双重非负性对于二次根式,：①≥0; ②≥0.a a a （2）转化性.可以理解为:二次根号下面的平方可以转化为底数的绝对值.a a =2（3）自身性（≥0）.()a a =2a 一、二次根式性质的应用双重非负性的应用 二次根式的双重非负性主要用于求参数的值或取值范围.目前,我们在初中阶段先后共学习了三类非负数:绝对值、偶次幂和二次根式（≥a a 0）,它们都具有非负性.如果几个非负数的和等于0,那么这几个非负数分别等于0. 已知二次根式求解参数的值或取值范围时,根据被开方数的非负性列出不等式进行求解.这里要求同学们要熟练掌握不等式或不等式组的解法.我们会遇到一些化简问题,问题中含有二次根式,而化简问题往往需要用到参数的取值范围,这个范围有时就来自于二次根式中被开方数的非负性,学生应充分挖掘这个条件. 例1. 若代数式在实数范围内有意义,则的取值范围是__________.10+x x x 分析 该代数式中含有二次根式,其被开方数为非负数,又考虑到二次根式处于分母的位置,故其被开方数只能大于零,据此列出关于的一个不等式.x 本题中还出现了零指数幂,根据其底数不等于列出关于的另一个不等式.两个不等式x 组成的不等式组的解集即为的取值范围.x 解:由题意可得:,解之得:且 ⎩⎨⎧≠>+001x x 1->x 0≠x∴的取值范围是且.x 1->x 0≠x 例2. 已知都是实数,且满足,则_________.b a ,21221--+-=a a b =b a 分析 根据二次根式被开方数的非负性可以说明这样一个事实:如果二次根式与B A -都有意义,那么.A B -B A =解:由题意可知:,解之得:. ⎩⎨⎧≥-≥-012021a a 21=a ∴2-=b ∴.4212=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-b a 例3. 已知均为实数,且,求的值.c b a ,,()012112=++++-c b a c b a ,,分析 本题考查非负数的性质,二次根式是我们在初中阶段学习的第三类非负数.此类a 问题要注意过程的书写规范.解: ∵ ()012112=++++-c b a ≥0,≥0,≥0 1-a 1+b ()212+c ∴012,01,01=+=+=-c b a ∴.12,1,1-=-==c b a 例4. 已知实数满足,求的值.a a a a =-+-2023202222022-a 分析 本题难度较高,学生不知道该从哪里下手,实际上,根据二次根式的非负性,可以求出的取值范围,由此范围去掉绝对值,并对等式条件进行整理,可以发现解决问题的途径. a 解:由题意可得:≥02023-a 解之得:≥2023a ∴a a a =-+-20232022∴20222023=-a ∴()2220222023=-a∴220222023=-a ∴.202320222=-a 例5. 关于代数式的说法正确的是【 】43+-x （A ）当时有最大值 （B ）当时有最小值0=x 0=x （C ）当时有最大值（D ）当时有最小值 4-=x 4-=x 分析 本题考查二次根式的非负性,可利用不等分析法解决问题.解法一: 显然,二次根式有最小值0,此时,且有最大值,最大值为4+x 4-=x 43+-x 3.∴当时,该代数式有最大值3,选择答案【 C 】.4-=x 解法二: ∵≥0,当时取等号 4+x 4-=x ∴≤0 4+-x ∴≤343+-x ∴当时,该代数式有最大值3.4-=x 转化性的应用二次根式的转化性常用于二次根式的化简.二次根式的转化性告诉我们,二次根号下面的平方可以转化为底数的绝对值,具体如下:. ()()⎩⎨⎧≤-≥==002a a a a a a 在对二次根式进行化简时,先转化为,再根据的符号去掉绝对值,以达到最终2a a a 化简二次根式的目的. 例6. 实数在数轴上的对应点A 、B 的位置如图,化简.b a ,()22b a b b a ---+解:由数轴可知:,且. a b <<00<+b a ∴()22b a b b a ---+()b a b b a ---+-=()()ba ba b b a b a b b a +-=+-+--=------=2例7. 已知,则__________. 01<<-a =-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-414122a a a a 解: ∵01<<-a ∴ a aa a <<+1,01∴ 414122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a aaa a a a a a a a a a a a a a a 1111111122-+--=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=. a2-=点评 两个重要的结论:①当时,;②当时,. 01<<-a 01<<a a 10<<a a a 10<<例8. 已知为任意实数,化简.x 961222++++-x x x x 分析 在利用转化性对二次根式进行化简时,需要用到参数的取值范围,必要时需对参数的取值范围进行分类讨论.解:961222++++-x x x x ()()()31313122--+-=++-=++-=x x x x x x 分为三种情况:①当≤时x 3-原式;()2231--=--+-=x x x②当时13<<-x 原式;()431=--+-=x x ③当≥1时x 原式.()2231+=--+-=x x x 自身性的应用二次根式的自身性常用于二次根式的运算.例9. 计算:()()222121323-++-解:原式121318-++= 43121318=++=例10. 下列结论正确的是【 】（A ） （B ） ()662-=--()932=-（C ） （D ） ()16162±=-251625162=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--解:对于（A ）,,故（A ）正确; ()6662-=--=--对于（B ）,,故（B ）错误; ()332=-对于（C ）,,故（C ）错误;()1616162=-=-对于（D ）,,故（D ）错误. 251625162-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴选择答案【 A 】.。

二次根式的运算二次根式是数学中常见的一种运算形式，它包含了一个根号和一个数的平方。

在进行二次根式的运算时，我们可以使用一些特定的方法和规则，以便简化运算并得到准确的结果。

本文将探讨二次根式的运算方法和应用。

一、二次根式的定义和性质二次根式是指形如√a的运算，其中a代表一个非负实数。

二次根式的运算有一些基本性质，我们来逐一了解。

性质1：非负实数的二次根式仍然是非负实数。

无论a是多少，√a的结果都是非负实数。

这是因为根号运算的结果必须是非负实数，不包括负数。

性质2：二次根式乘法的运算规则。

对于两个非负实数a和b，它们的二次根式的乘法运算规则可以表示为：√a * √b = √(a * b)。

换句话说，两个二次根式相乘，可以将它们内部的数乘起来再开方。

性质3：二次根式的开方法则。

对于一个非负实数a和b，它们的二次根式的开方法则可以表示为：√(a * b) = √a * √b。

这个法则与性质2相反，即将一个二次根式分解为两个二次根式的乘积。

性质4：二次根式的加法和减法运算规则。

对于两个非负实数a和b，它们的二次根式的加法和减法运算规则可以表示为：√a ± √b = √(a ± b)。

这表示二次根式可以与同样含有根号的数进行加减运算。

二、二次根式的运算方法在进行二次根式的运算过程中，我们可以运用以上的性质和规则来简化运算和求解结果。

以下将介绍一些常见的运算方法。

方法1：合并同类项当二次根式中含有多个相同根号内的数时，我们可以合并它们，从而简化运算。

例如，√2 + √2 = 2√2。

方法2：分解二次根式如果二次根式内部含有可以分解的数或者因式，我们可以将其分解为更小的二次根式，从而便于运算。

例如，√12可以分解为√(4 * 3)，再进一步分解为2√3。

方法3：有理化分母当二次根式出现在分母中时，我们可以采取有理化分母的方法，将分母中的根号去除，转化为整数或者带有根号的有理数。

例如，1/√2可以有理化为√2/2。

浙教版数学八年级下册《1.2 二次根式的性质》教学设计1一. 教材分析《二次根式的性质》是浙教版数学八年级下册的教学内容。

这部分内容主要让学生掌握二次根式的性质，包括二次根式的乘除运算、化简、以及最简二次根式的概念。

这些知识点是进一步学习分式、二次函数等数学内容的基础。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了实数、有理数等基础知识，对数学运算有一定的理解。

但二次根式的性质较为抽象，需要学生有较强的逻辑思维能力和抽象思维能力。

此外，学生可能对二次根式的实际应用场景感到困惑，需要教师进行引导。

三. 教学目标1.了解二次根式的性质，能进行二次根式的乘除运算和化简。

2.掌握最简二次根式的概念，能找出一个二次根式的最简形式。

3.培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。

四. 教学重难点1.二次根式的性质的理解和应用。

2.最简二次根式的找出和判断。

五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生通过自主学习、合作学习、探究学习的方式，理解和掌握二次根式的性质。

同时，运用实例解析、练习巩固等方法，帮助学生熟练运用所学知识。

六. 教学准备1.PPT课件：包含二次根式的性质、实例解析、练习等内容。

2.教学素材：包括二次根式的运算题目、化简题目、实际应用题目等。

3.学生活动材料：笔记本、笔等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT课件，展示一些实际问题，如物理中的速度、面积等问题，引导学生思考如何用二次根式表示这些问题。

通过问题驱动，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）通过PPT课件，呈现二次根式的性质，包括乘除运算、化简、最简二次根式的概念。

同时，结合实例进行解析，帮助学生理解和掌握二次根式的性质。

3.操练（10分钟）学生分组进行练习，每组挑选几道题目进行二次根式的运算、化简和最简形式的找出。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）教师选取一些典型题目，进行讲解和分析，帮助学生巩固所学知识。

同时，引导学生总结二次根式的性质，形成自己的知识体系。