二次根式的概念及性质练习题(2)(最新整理)

二次根式的概念和性质练习题1、下列二次根式与不是同类二次根式的是（）A．3 B． C． D．2、下列根式中，与3是同类二次根式的是（）A． B． C． D．3、把化为最简二次根式是（）A． B． C． D．4、已知二次根式中最简二次根式共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5、下列根式，，，，，中，最简二次根式的个数是（）A．2个 B．3个 C．6个 D．5个6、下列各式中的最简二次根式是（）A． B． C． D．7、下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．8、下列二次根式是最简二次根式的是（）A． B． C． D．9、在下列根式、、、中，最简二次根式的个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个10、下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．11、下列二次根式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．12、下列各式中属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．13、下列二次根式是最简二次根式的为（）A． B． C． D．14、下列根式中属最简二次根式的是（）A． B． C． D．15、下列根式中不是最简二次根式的是（）A． B． C． D．16、下列根式中，不是最简二次根式的是（）A． B． C． D．17、下列二次根式是最简二次根式的是（）A． B． C． D．18、下列各式：①，②，③，④中，最简二次根式有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个19、下列二次根式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．20、下列式子中，属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．21、已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为x= ．22、若最简二次根式与可合并为一项，则a= ．23、写出两个与是同类二次根式且被开方数不是3的二次根式．24、若最简二次根式与是同类二次根式，则a= ．25、在下列二次根式①、②、③、④中与是同类二次根式的有．（只填序号）26、若最简根式和是同类根式，则x+y= ．27、如果最简二次根式与是同类二次根式，则x= ．28、已知最简二次根式和的和是一个二次根式，那么b= ，它们的和是．29、在，，，中与是同类二次根式有．30、已知是最简二次根式，它与是同类二次根式，请你求出2012b﹣（2013）a的值．31、是否存在这样的m值，使最简二次根式与同类二次根式？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．32、先阅读下面的解题过程，再回答后面的问题：如果和在二次根式的加减运算中可以合并成一项，求m、n的值．解：因为和可以合并所以即解得问：（1）以上解是否正确？答．（2）若以上解法不正确，请给出正确解法．33、若最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值．34、已知整数m，n满足（2+）2=m﹣n，求（）2及的值．35、是否存在实数m，使最简二次根式与是同类二次根式？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．36、若最简二次根式和是同类二次根式．求x、y的值．37、若最简二次根式与﹣是同类二次根式，求x的值．38、已知二次根式．（1）当x=3时，求的值．（2）若x是正数，是整数，求x的最小值．（3）若和是两个最简二次根式，且被开方数相同，求x的值．39、如果二次根式与能够合并，能否由此确定a=1？若能，请说明理由；不能，请举一个反例说明．40、最简根式与能是同类根式吗？若能，求出x、y的值；若不能，请说明理由．。

二次根式的概念、性质1.二次根式的概念：（1）一般地，把形如式子a（a≥0）的式子叫做二次根式。

“”称为二次根号，二次根号下面的“a”叫做被开方数。

知识拓展：①被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意a≥0是a为二次根式的前提条件。

②二次根式的定义是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，虽然9=3，但是3是9的计算结果，因此9是二次根式。

③“”的根指数是“2”，一般把根指数“2”省略，不要误把“”的根指数当作“0”。

④形如b a（a≥0）的式子也是二次根式，它表示b与a的乘积，注意当b为带分数时，要把b写成假分数的形式。

特别提示：判断一个式子是不是二次根式，看其是否同时具备二次根式的两个特征：（1）带二次根号“”；（2）被开方数是非负数。

二者缺一不可。

（2）二次根式有意义的条件：当a≥0时，a有意义；当a＜0时，a在实数范围内没有意义。

知识拓展：①如果一个式子中有多个二次根式，那么每个二次根式的被开方数都必须为非负数才能保证这个式子有意义。

②在解决关于代数式有意义的问题时，要注意二次根式、分式有意义的条件，即二次根式中被开方数为非负数，分式中分母不能为零。

（3）二次根式的非负性：在二次根式中，被开方数一定是非负数，并且二次根式a≥0，即非负数。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。

二次根式化简一般步骤：①把带分数或小数化成假分数；②把开方数分解成质因数或分解因式；③把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外；④化去根号内的分母，或化去分母中的根号；⑤约分。

二次根式化简的基本技巧和方法：1）根号下是一个正整数：将该数字拆分成一个完全平方数和某个数字的乘积，然后将完全平方数开平方放到根号外面。

2）根号下是一个分数：将该分数拆分成一个分数的平方数和某个数字的乘积，然后将分数开根号到根号外面。

3）根号下有数字和字母：这种情况下，由于不确定字母是正数还是负数，因此开放的时候要带着绝对值开方。

、相关定义1、二次根式的概念：式子ja （a 0）叫做二次根式。

（1）最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因式的二次根式叫最简二次根式。

（2）同类二次根式：化为最简二次根式之后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式。

（3）分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化。

（4）有理化因式：把两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根 式，我们就说这两个代数式互为有理化因式（常用的有理化因式有：0a 与ja ；av'b c<d 与 aUb cUd ） 2、二次根式的性质：(1) .后具有双重非负性：a>0, ^>0. (2) (4a)2a(a 0)；3、积的算术平方根的性质:4、商的算术平方根的性质:a a \b b （a 0，b 0）5、最简二次根式定义：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。

6、同类二次根式二次根式二衩根式后（口二°）是非负数（石 二日 g 之o ）二次根式的化曾与云用二次根式的乘除二代根式的加减(3) \a 2aa (a 0) a (a 0)Vab Va <b (a>0,b>0)；一般地，把几个二次根式化简成最简二次根式后，如果被开放数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。

二、二次根式的运算：1、二次根式的乘法：v；a Jb v ab （a>0, b>0）。

2、二次根式的除法：Ya 但（a 0,b 0）b \ b3、二次根式的加减：将各二次根式化为最简二次根式后，合并同类二次根式。

二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式。

4、分母有理化---把分母中的根号化去5、二次根式的混合运算运算顺序与实数混合运算顺序一样，结果要化为最简二次根式。

真题练习:、选择1.下列二次根式是最简二次根式的是（）A. J8B.C.D.2.如果J12与最简二次根式了，5 a是同类二次根式,则a的值是A. a 7B. a 2C. a 1D. a 13.在下列二次根式中，与a a是同类二次根式的是（▲）A.虎aB. ga2 C . x/a3 D . \/a44.下列根式中，与J8属于同类二次根式的是（）A. <?8B. J；C. 724D. JT25、若m —（ 2）,则有（）2A. 2 m 1B. 1 m 0C. 0 m 1D. 1 m 26.若，x 24x 4 2 x ,则实数x 满足的条件是（12.计算21 J2 , n 1 5/2 ,则代数式4m n 23mn 的值为 14.若 a + b= 3^/2, ab=4,则 a 2+b 2的值为 也―在实数内范围有意义，则 x 的取值范围为2x 316 .若(y 3)2 0西，则 x yA. x 2B. C.x<2 D.7.下列运算正确的是（ A. . 2 +「3 = . 52,J2-j2=/2C• ；( 2) ( 3)=、O) x 尸8.下列计算正确的是（ A.U = ± 4 B. 四C.1)2 D. ■. 32 429.化简7（ 5）2的结果是（10. B.C.D. 25卜列二次根式中属于最简二次根式的是 A. 12下列计算正确的C. D.A. J12 <3 <3 B .贬 J3 3、52. 2 5. 212.己知j a3 J2 b 0,则二工aA. 1B. 2C. 、, 3D.4.3 3二、填空 11.计算<81而的结果是13.己知m15.若代数式(11) (3 亚)(3 亚(1近) (12)2 3 - 1517 .要使式子J 1 2x 有意义，则实数x 的取值范围是 .18 .计算：77 2” 77 242.19 .若/4而 是正整数，则n 可取到的最小正整数为 • 20 .若4=5在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是三、计算(3) 422-3 1- + I 33-2 I (4)( ；3(9)而(1) 12 近 3321、(1) 88 - 6^1 +|1 —啦|(2)2、. 5 3 2 2,5 3 ,2(5) + 而(122- 277 )(6) 1 22 2018718⑺ 2+ 3 2 3 2 8 6(8)33- 22 2 -33 x 122 .(10) - 48（13）（2 小-yf5）（木 +木）23 3（17）；~ /~246 2 '-.2 3 -3三、解答题22.已知a J3 22, b J3 近.⑴求a2 b2的值;(2)求b a的值. a b23.像而2而2 1、Ga a 0、7b 1 7b 1 b 1 b 0两个含有二次根式的代数式相ft,积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式.例如，75与而，跖1与61, 2石3石与2后3石等都是互为有理化因式.进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号.请完成下下列问题⑴化简:(2)计算：1—1—2 3 3 、2(3)比较72018 J2017与闻17 72016的大小，并说明理由24.阅读材料：若a, b都是非负实数，则a b 2<ab .当且仅当a = b时，“二”成立.证明：: (、② Jb)2 0 , .-.a 2Vab b 0.-1• a b 2Jab .当且仅当a = b时，"=”成立.2举例应用：已知X>0,求函数y x —的最小值.Xx - 2Mx - 2V2 .当且仅当x 2 ,即x J2时，“二”成X X x 解：y・♦・当x J2时，函数取得最小值，y最小2< 2 .问题解决:3 x(1)已知x>0,求函数y ———的最小值2x 62(2)求代数式m一组二(m> - 1)的最小值.。

二次根式1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 25.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．a ≥0，b ≥0）；=b ≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．【典型例题】（2）、平方法当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。

例1、比较与的大小。

例2、比较a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；（3）、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。

例3（4）、分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。

例4 （5）、倒数法例5的大小。

（6）、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。

例633的大小。

（7）、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质： ①0a b a b ->⇔>；②0a b a b -<⇔<例7的大小。

（8）、求商比较法它运用如下性质：当a>0，b>0时，则： ①1a a b b>⇔>； ②1a a b b<⇔<例8、比较5与2+二次根式的概念和性质1．判断题（对的打“∨”，错的打“×”）（12=-12 （ ）;（2=-12 （ ）（3）（2=-12 （ ）;（4）（2=2×12=1 （ ） 2．下面的计算中，错误．．的是 （ ）A=±0.03 B=±C．3．下列各式中一定成立的是（ ）AC ．（213=2342=________； 5+（2=________．6．-7．数a│1-a │=_______．8．9-（12）210、35-23|11二次根式的乘除练习题1、填空：（1）二次根式的乘法法则用式子表示为__________（2）二次根式的除法法则用式子表示为__________（3）把分母中的___化去，叫做分母有理化. 将式子22a 分母有理化后等于_________（4）44162+⋅-=-x x x 成立的条件是_________（5）x x -=-2)2(2成立的条件是_________（6）（6）2121+-=+-x x x x 成立的条件是_________（7）化简： =24 =⨯1259 =-222129 =c b a 324=499 =944=224c b a （8）计算： =⋅1510 =⋅x xy 1312 =÷653211．下列运算正确的是（ ）A 2=-5 B．（2=-5 C．=5 D2．下面的计算中，正确的是（ ）A =0.1； B ．=-0.03； C±13； Dπ-4 3．下列命题中，错误．．的是（ ）A，则x=5;B ．若a （a≥0Cπ-3D54）A ．-11B ．11C ．22D ．-225．（2=________； 67-（2=__________．8．比较大小>”，“＝”，“<9．数a 在数轴上的位置如图所示，化简：│-a-1│． 10=________．11+…=______． 12│b-2│=0，求以a 、b 为边长的等腰三角形的周长．1、判断题：下列运算是否正确.（ ）（1）ππ-=-14.3)14.3(2（ ）（2）767372=⨯ （ ）（3）636)9()4(94==-⨯-=--（ ）（4）5125432516925169=⨯=⋅= （ ）（5）5.045.16=（ ）（6）73434342222=+=+=+（ ）（7）228= （ ）（8）32123= 1、运用乘法分配律进行简单的根式运算.例1 计算 （1）)2732(3+ （2）24)654(-(1) )82(2+ (2) a a a 5)5320(+(3) ab abb a a b ab ⋅--+)12(2、比较两个实数的大小.例2 比较下列两个数的大小（1）6与7 （2）23与321、8.2与4322、67与763、65-与56-4、323-与533- 3、二次根式的乘除混合运算.（1）21223222330÷⨯（2）)23(62325b a a b b a ab b -⨯÷（1）21223151437⨯÷- （2）)23()23(3a abab -⨯-÷4、运用分母有理化进行计算.例3 化简100991431321211++++++++分析：当分母里二次根式的被开方数都相差1时，如果分母有理化后则变为1或-1，就可将原式变为不含分母的二次根式.思考题：计算324213-+⋅-二次根式的加减1．若a a=_______，b=_______．2_________．3．4，则它的周长是________． 5．在实数范围内分解因式：a 2-4=_________．6大小关系是_________． 7．下列根式中与其他三个不同类的是（ ）A B D 8．下列各组二次根式中，可以进行加减合并的一组是（ ）A B D ．18 9．下列根式合并过程正确的是（ ）A ．-=2B ．C ．1212．13-14=1121013- ）A B ．．11．若，则y 值为（ ）A ．1 C ．．312．一个等腰三角形的两边分别为，则这个三角形的周长为（ ）A ．．C ．．或 13．计算：（1） （2）（3（4）1414．如果△ABC 的三边P ． 巩固练习1. ）2. 下面说法正确的是（ ）A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式D. 同类二次根式是根指数为2的根式3. ）4. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ）★5. 若12x）A. 21x -B. 21x -+C. 3D. -3★6. 的整数部分为x ，小数部分为y y -的值是（ ）A. 37. 下列式子中正确的是（ ）=a b =-C. (a b =-22==8. 是同类二次根式的是 。

章节复习知识精讲与综合训练专题01 二次根式的概念及性质知识点01 二次根式的概念1（10a ³）叫做二次根式，读作“根号a ”，其中a 是被开方数．（2）二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．即两个特性（双重非负性）⎩⎨⎧³³00a a 【典例分析】1．下列式子一定是二次根式的是（）ABCD2是整数，则a 能取的最小整数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33a 的取值范围为（ ）A ．1a ³-B ．2a ¹C ．1a ³-且2a ¹D ．1a >-4．若2m =+，则m n -=（ ）A ．425B ．254C ．254-D ．425-5=-a 的取值范围是（ ）A ．20a -££B ．0a £C ．a<0D ．2a ³-知识点02 二次根式的性质1、二次根式的性质（1性质1(0)a a³；性质22；性质3=0a ³，0b ³）；知识精讲性质4（0a ³，0b >）．（2与a的关系：(0)0(0)(0)a a a a a >=-<⎩．【典例分析】6．观察下列式子：====…．请你按照规律写出第n （1n ³）个式子是( )A(n =-B=C(n =+D=7．实数a 、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简b ）A ．2a b -+B ．2b a -C ．a D ．B 8．已知xy ＞0，化简二次根式- ）ABC．D．9．实数a 、b的结果是（ ）A ．- 2a B ．2（a +b ）C ．2b D ．- 2b 10．实数a，b）A ．2b -B ．2a -C ．22ba -D ．0123x =+，则x 取值范围为（ ）A ．2233x -££B ．203x -££C ．203x ££D ．23x £-或23x ³2．当1a <- ）A ．1-B ．1C ．21a +D ．12a--3．已知0xy <）．AB．CD ．4．实数a，b ||a b ++化简的结果为（ ）A ．a B ．2a b +C ．2a b -D ．2a b-+5．在下列各式中，计算正确的是（ ）A9=-B ．3=C ．(22=-D1=-6，3，…，3，；L ；若()14，，()23， ）A ．()64，B ．()53，C ．()52，D ．()65，7．若实数a 、b 、cA ．a c -B ．2a b c --+C ．a c --D ．a c -+8．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）综合训练A B C D9．x ）A ．0B ．1-C ．2-D ．3-10．下列各式中，正确的是（）A 5=±B 142=C =D 210-=-二、填空题11．对于任意两个不相等的数a ，b ，定义一种运算※如下：a b =※，例如23==※62=※____________．12．实数a ，b 化简的值是___________．13)12x <<=___________．14a 的取值范围是_____________________．15．已知等腰三角形ABC 0BC =，则此三角形的周长为___________.16．如果2、5、m _____．17＝_____．18．若22m n x y --与423m n x y +是同类项，则3m n -的平方根是____________．19a =，则a =_____________．20．若3y =，则xy =________．三、解答题21．求代数式a 的值，其中2022a =-．如图，小芳和小亮的解题过程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题．(1)___________的解法是错误的；(2)求代数式a+的值，其中4a=22．已知关于x、y的二元一次方程组325342x y ax y a+=⎧⎨+=-⎩①②的解互为相反数．(1)求a的值；(2)若b为3c23．当2022a=时，求a的值．如图是小亮和小芳的解答过程：(1)__________的解法是错误的；(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：____________________；(3)当3a>|1|a-的值．。

第17章:二次根式第一课时:二次根式的概念与性质知识点1:二次根式的定义:（1）(a ≥0)的式子叫做二次根式。

（2）(a ≥0)表示非负数a 的算术平方根 （3） 二次根式的要求① 根指数为2② 被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等，但必须是非负数类型一：二次根式的识别例1：已知式子 其中一定是二次根式的是 ①②④ 。

知识点2:二次根式中字母的取值范围：（1） 二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0。

（2） 二次根式无意义的条件：被开方数小于0 （3） 二次根式做分母时: 被开方数大于0.类型一：求字母的取值范围例1：x 取何值时，下列各式有意义？11(62501 6.6016630122102201122x x x x x x x x x x x x x ----⎧⎨-⎩+-⎧-⎪-⎨⎪-⎩--≥解：（）由题意知解得≥5且≠≠ 所以当≥5且≠有意义≥ （）由题意知＞解得＜x ≤3且x ≠2≠ 所以当＜x ≤3且x ≠2有意义类型二：根据字母隐含的的取值范围，求代数式的值（较难） 例2：x y y =若、为实数，且222224040, 14,20,2,4x x x x x x x y --=+==≥，即≥4, ≥即≤4, 所以又因为≠所以22240404,120,2432x x xx x y--∴=+∴=∴====解:由题意知:≥且≥又≠知识点3：二次根式的性质：（1）双重非负性：①被开方数为非负数，即a≥0；②二次根式的值为非负数，即a≥0（2）两个性质：性质1：（a）2= a（a≥0）语言叙述：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。

或叙述为：一个非负数先开平方再平方等于这个数本身。

性质2(0)(0)a aaa a⎧==⎨-⎩≥＜语言叙述：一个数先平方再开平方等于这个数的绝对值。

22222221==2(0),(0)1a(0)(0)(0)(0)x a x xx ax ax x xa ax x x aa aa aaa a=======⎧===⎨-⎩⎧==⎨-⎩证明：性质：设①则把把性质≥两边平方得：≥由性质得：≥所以＜≥＜类型一：简单的计算与化简例1：计算与化简2222;4=243=12.8881113(0)433(0)x xxx x⨯=⨯=-====-===-⎧-=⎨-⎩（解:(1)（≥（＜类型二：在实数范围内因式分解例2：在实数范围内因式分解。

21．1 二次根式a ≥0）•的式子叫做二次根式，例11x x>0） 1x y+（x ≥0，y •≥0）．例2．当x例3．当x 11x +在实数范围内有意义？例4(1)已知，求x y 的值．(2)，求a 2004+b 2004的值．21.1 二次根式(2)二次根式性质1、 例1 计算1．）2 2．（2 3．2 4．（2）2 例2在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3三、巩固练习计算下列各式的值：2 ）2 ）2 ）2 （）2 22-21.1 二次根式(3)一、填空：； =_________;=_______． 。

一般地：二次根式性质2例1 填空：当a ≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？例2当x>2例题3、如图：，试化简a b-第一课时作业设计一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（）A．B C D．x2．下列式子中，不是二次根式的是（）A B C D．1 x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A．5 B C．15D．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x+x2在实数范围内有意义？3=_______．4.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数5.已知a、b=b+4，求a、b的值．一、选择题1）．A．4 B．3 C．2 D．12．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）．A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0二、填空题1．（2=________．2_______数．三、综合提高题1．计算（1）2 （2）-）2 （3）（12）2 （4）（-）2(5)2=0，求x y 的值．3．在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-2 （2）x 4-9 3x 2-5第三课时作业设计一、选择题1的值是（ ）．A ．0B ．23 C ．423 D ．以上都不对2．a ≥0 ）．AC ． 二、填空题1．=________．2是一个正整数，则正整数m 的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+（1-a ）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a │，求a -19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x ≤2时，试化简│x-2│。

二次根式的概念及性质练习题班级 姓名一．判断题（对的打“∨”，错的打“×”）（1x 的取值范围是x<0 （ ）（2中字母x 的取值范围是x ≤34（ ） （3）当x=-1（ ）（4）当a=-4（ ）（5）2= —12 （ ）;（6—12（ ） （7）2= —12 （ ）;（8）（2=2×12=1 （ ） 二、填空题：1．b ≥3）s ≥0）这种形如a （0≥a ）的代数式，叫做_______．2．当x______时，有意义．3x 的取值范围是_______ ．4．（7）2； （8+（2=________．（10． 5．当x=-2_______． 6．当a 取______7．当x 取______8．当m=-2________．((()(()(()(2231_____,2______,3_____,4_____,5____,6____.======9、若直角三角形的两直角边分别是2cm 和acm ，则直角三角形的斜边长是_______10、若正方形的面积是（b-3）cm 2,则正方形的边长是_________。

三、选择题：1．下列各式中，哪一个是二次根式 （ ）ABCD2．使代数式2x +有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≠-2; B ．x ≤12且x ≠-2; C ．x<12且x ≠-2; D ．x ≥12且x ≠-2 3．下列各式中一定成立的是（ ） ABC ．（2D=1-13=23四、求下列二次根式中字母的取值范围：五、计算：（1-（12）2; （2）（3）4时x 的值．x-4│—│7-x │． ()()()123(4。

专题01 二次根式及其性质【考点剖析】1、二次根式概念：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫二次根式.2、二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数是非负数.（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．3、二次根式的性质与化简（1）二次根式的基本性质：①；②；③（2）与要注意区别与联系：①a的取值范围不同，中a≥0，中为任意值；②a≥0时，；a＜0时，无意义，二次根式的定义【典例】例1．下列式子：，，，，，，中，一定是二次根式的是（ ）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】B【解析】解：在所列式子中，一定是二次根式的是，，，这4个，故选：B．【点睛】根据二次根式的性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，逐一判断．本题考查了二次根式的定义．理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．【巩固练习】1．、、、、中二次根式有（ ）A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】C【解析】解：、、是二次根式，、的被开方数不一定为非负数，故不一定是二次根式．故选：C．2．下列各式中①；②；③；④；⑤；是二次根式的有（ ）个．A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】A【解析】解：①、②的被开方数是负数，不是二次根式；③；④符合二次根式的定义；⑤当﹣1＜x＜1时，被开方数是负数，不是二次根式．综上所述，二次根式的个数是2．故选：A．3．下列各式中：①；②；③；④．其中，二次根式的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】解：①；②；③；④．二次根式的只有①，故选：A．二次根式有意义的条件【典例】例1．式子中x的取值范围是（ ）A．x≥1且x≠2B．x＞1且x≠2C．x≠2D．x＞1【答案】A【解析】解：由题意得：x﹣1≥0且x﹣2≠0，解得：x≥1且x≠2．故选：A．【点睛】根据二次根式有意义的条件可得x﹣1≥0，再根据分式有意义的条件可得x﹣2≠0，再解出x的值．此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．例2．若已知a、b为实数，且2b+4，则a+b＝______．【答案】1【解析】解：由题意得，a﹣5≥0，5﹣a≥0，解得，a＝5，则b＝﹣4，则a+b＝1，故答案为：1．【点睛】根据二次根式中的被开方数必须是非负数解答即可．本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．【巩固练习】1．若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）A．x B．x C．x D．x≤5【答案】B【解析】解：由题意得，5x﹣1≥0，解得，x，故选：B．2．代数式有意义，则x应满足的条件是（ ）A．x≠3B．x C．x且x≠3D．x且x≠3【答案】C【解析】解：由题意得，1+3x≥0，x﹣3≠0，解得，x且x≠3，故选：C．3．如果代数式有意义，那么x的取值范围是（ ）A．x≥0B．x≠1C．x＞1D．x≥0且x≠1【答案】C【解析】解：由题意得，x≥0，x﹣1＞0，解得，x＞1，故选：C．4．如果y3，那么y x的算术平方根是（ ）A．2B．3C．9D．±3【答案】B【解析】解：由题意得，x﹣2≥0，2﹣x≥0，解得，x＝2，∴y＝3，则y x＝9，9的算术平方根是3．故选：B．5．若|2017﹣m|m，则m﹣20172＝____________．【答案】2018【解析】解：∵|2017﹣m|m，∴m﹣2018≥0，m≥2018，由题意，得m﹣2017m．化简，得2017，平方，得m﹣2018＝20172，m﹣20172＝2018．故答案为：20186．已知a满足|2017﹣a|a，则a﹣20172的值是____________．【答案】2018【解析】解：∵|2017﹣a|a，∴a﹣2018≥0，故a≥2018，则原式可变为：a﹣2017a，故a﹣2018＝20172，则a﹣20172＝2018．故答案为：2018．二次根式的性质【典例】例1．下列各式中，一定能成立的是（ ）A．B．（）2C．x﹣1D．•【答案】A【解析】解：A、，所以A选项正确；B、（）2当a为负数是不成立，所以B选项错误；C、x﹣1当x＜1时不成立，所以C选项错误；D、•当x＜3时不成立，所以D选项错误．故选：A．例2．实数a，b在数轴上的位置如图，则化简|a﹣b|的结果为（ ）A．2a B．﹣2a C．2b D．﹣2b 【答案】B【解析】解：由题意得：a＞b，|a|＜|b|，a＞0，b＜0，∴a﹣b＞0，a+b＜0，∴|a﹣b|＝﹣a﹣b﹣a+b＝﹣2a，故选：B．例3．阅读下面的解题过程，判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答．已知m为实数，化简：解：原式．【答案】见解析【解析】解：不正确，根据题意，m成立，则m为负数，＝m＝m＝（m+1）．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质的灵活运用，关键是根据成立，则m为负数，要求熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．【巩固练习】1．下列各式成立的是（ ）A．2B．（）2＝2C．a D．3【答案】D【解析】解：A、2，故此选项错误；B、（）2＝4，故此选项错误；C、|a|，故此选项错误；D、3，正确．故选：D．2．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）A．8B．﹣8C．2a﹣18D．无法确定【答案】A【解析】解：由题意可知6＜a＜12，∴a﹣5＞0、a﹣13＜0．∴|a﹣5|+|a﹣13|＝a﹣5+13﹣a＝8．故选：A．3．如图所示，实数a、b在数轴上的位置化简的结果是（ ）A．﹣2a B．﹣2b C．0D．2a﹣2b 【答案】A【解析】解：由数轴可知：a＜0，b＞0，a﹣b＜0，∴原式＝﹣a﹣b﹣（a﹣b）＝﹣a﹣b﹣a+b＝﹣2a故选：A．4．把x根号外的因数移到根号内，结果是（ ）A．B．C．D．【答案】C。

专题01 二次根式的有关概念和性质（专题强化）一、单选题(共40分)1．(本题4分)（2020·安徽·（3m ³）0x £）中，一定是二次根式的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的定义进行判断．【详解】3m ³）0x £）一定是二次根式，共4个故选：C ．【点睛】a≥0）的式子叫做二次根式是本题的解题关键．2．(本题4分)（2021·广西宁明·的结果为（ ）A B ．±5C ．-5D ．5【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的性质进行化简即可判断．【详解】=5．故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的化简，关键是理解以下几点：①的代数式叫做二次根式．当a＞0a的算术平方根；当a=0=0；当a＜0时，②．3．(本题4分)（2021·全国·七年级专题练习）在平面直角坐标系中，点M（a，b）的坐标满足（a﹣3）2+0，则点M在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】【分析】直接利用偶次方的性质以及二次根式的性质得出a，b的值，进而确定其所在象限．【详解】解：∵（a﹣3）20，∴a＝3，b＝2，∴点M（3，2），故点M在第一象限．故选A．【点睛】此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键．4．(本题4分)（2021·广西·浦北中学八年级阶段练习）已知n n的取值不可能是( )A．20B．5C．2D．45【答案】C【解析】【分析】首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值．【详解】解：==，∴n可以是20，5，45，不能等于2，故选C．【点睛】本题考查了二次根式的意义，关键是正确进行化简．5．(本题4分)（2021·浙江·杭州第十四中学附属学校八年级阶段练习）若x ，y 为实数，且y ＝2+|x +y |的值是（ ）A ．5B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】【分析】根据二次根式的有意义的条件求出x 的值，故可求出y 的值，故可求解．【详解】依题意可得3030x x -³ìí-³î解得x =3∴y =2∴|x +y |=|3+2|=5故选A ．【点睛】此题主要考查二次根式的性质应用，解题的关键是熟知二次根式被开方数为非负数．6．(本题4分)（2021·2-的结果是（ ）A ．21x --B ．21x -C ．1D ．－1【答案】C【解析】【分析】先由20,x -³求解x 的取值范围，再化简二次根式，从而可得答案.【详解】解：由题意得：20,x -³2,30,x x \£->2()2x -- 32x x =--+321x x =--+=故选C【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，二次根式的化简，二次根式的乘方运算，掌握“二次根式有意义的隐含条件”是解题的关键.7．(本题4分)（2021·上海松江·八年级期中）已知0a > ）A ．2B ．C ．D 【答案】C【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件得到40a b -³，而0a >，则0b <，根据二次根式的性质得到原式==．【详解】解：Q 40a b-³，而0a >，0b \<\原式==．故选：C ．【点睛】||a =．8．(本题4分)（2022·北京市第十一中学九年级开学考试）估算2的值应在（ ）A ．7和8之间B ．8和9之间C ．9和10之间D ．10和11之间【答案】A【解析】【分析】将3转入根号内比较相邻的整数；【详解】解：2-2，∴910，∴72-＜8，故答案选：A【点睛】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估值，找出与无理数相近的整数判断其取值范围是关键．9．(本题4分)（2019·全国·八年级单元测试）已知,a b 为有理数，且满足等式a =ab +的值为( ).A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】【分析】1)+，代入等式得出3a +=.【详解】1==1)==+1)=3=3a \+=()(310a b -+-=．∵a ，b 为有理数，\3a =，1b =，即4a b +=．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.10．(本题4分)（2019·重庆巴南·八年级期中）如果关于x 的不等式组0,2223x m x x -ì>ïïí-ï-<-ïî的解集为2x >，且式m 的个数是（ ）．A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C【解析】【分析】先求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集为2x >可得出m≤2|m|=3或2，于是m=-3，3，-2或2，由m≤2，得m=-3，-2或2．【详解】解：解不等式02x m ->得x ＞m ，解不等式223x x --<-得x ＞2，∵不等式组解集为x ＞2，∴m≤2，∵则|m|=3或2，∴m=-3，3，2或-2，由m≤2得，m=-3，-2或2．即符合条件的所有整数m 的个数是3个．故选：C ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及二次根式的性质，熟练运用一元一次不等式组的解法是解题的关键．二、填空题(共20分)11．(本题5分)（2022·全国·八年级课前预习）若式子12x -x 的取值范围是___________．【答案】x ≥0且x ≠2略12．(本题5分)（2020·全国·八年级单元测试）根据下列条件，求字母x＝1﹣x：___．【答案】x≤1．【解析】【分析】根据二次根式本身的非负性，列一元一次不等式即可求解．【详解】解：1﹣x≥0，∴x≤1，故答案为：x≤1．【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式被开方数非负，二次根式本身非负是二次根式的重要性质，也是解本题的关键．13．(本题5分)（2022·重庆南开中学八年级开学考试）若实数x，y满足4y=______．【答案】3【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件得出x-5≥0且5-x≥0，求出x=5，再求出y，最后代入求出即可．【详解】解：要使4y=有意义，必须x-5≥0且5-x≥0，解得：x=5，把x=5代入4y=得：y=4，==，3故答案为：3．本题考查了二次根式有意义的条件和解不等式，能根据二次根式有意义的条件得出x -5≥0和5-x ≥0是解此题的关键．14．(本题5分)（2021·山东·济南市槐荫区西城实验初级中学八年级阶段练习）对任意两实数a 、b ，定义运算“*”如下：a *b ＝()()a a b a b b a a b ì³í+<î．根据这个规则，则方程2*x ＝12的解为_________．【答案】-【解析】【分析】分两种情况讨论：当2x ³时，当2＜x 时，再根据自定义的提示公式列方程，解方程可得答案.【详解】解：当2x ³时，2212,x x *==x \=±但是x =2，不合题意，舍去，x \=-当2＜x 时， 22+212,x x *==210,x \=x \=但是x =2,x \=综上： x =-x故答案为：-【点睛】本题考查的是利用平方根解方程，弄懂自定义的含义，分情况列方程是解题的关键.三、解答题(共90分)15．（2021·福建省漳州第一中学八年级期中）已知数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简：【答案】2b【解析】【分析】从数轴上可得出a ，b 的取值范围，再进行二次根式的化简，最后合并即可得到答案．【详解】解：从数轴可得， -21,12a b <<-<<∴0,10,10a b b a -<->+<=11a b b a -+--+=()()()11a b b a --+-++=+11a b b a -+-++=2b【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a ，b 的符号是解题关键．16．(本题8分)（2019·四川遂宁·中考真题）先化简，再求值：2222222a ab b a ab a b a a b-+-¸--+，其中a ，b满足2(2)0a -=．【答案】1a b-+-1【解析】【分析】根据平方差公式进行变形，再根据分式混合运算法则进行计算，再根据平方差公式的性质和二次根式的性质进行求解，即可得到答案.【详解】解：原式2()2()()()a b a a b a b a a b a b-=-+--+12a b a b=-++1a b =-+，∵a ，b 满足2(2)0a -=，∴20a -=，10b +=，2a =，1b =-，原式1121=-=--．【点睛】本题考查平方差公式和二次根式的性质，解题的关键是掌握平方差公式和二次根式的性质.17．(本题8分)（2021·全国·0=，则b a 的平方根．【答案】12±【解析】【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不为零，根据条件求出,a b 的值．【详解】0=，其中4a ¹-，则160-=，即2160a -==，由2160a -=，解得：4,4a a ==-（舍去）0=，解得：1b =-，14b a \=，b a \的平方根为12±，故答案是：12±．【点睛】本题考查零分式值为零的条件及平方根的性质，解题的关键是：分母不为零的条件不能少．18．(本题8分)（2021·湖南省隆回县第二中学八年级阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题．====1===以上这种化简的步骤叫做分母有理化．（1（2【答案】（2【解析】【分析】（1（2）根据分母有理化的步骤进行化简，即可求解．【详解】（1（2【点睛】本题主要考查了分母有理化，明确题意，理解分母有理化的步骤是解题的关键．19．(本题10分)（2021·河北·保定市第十七中学八年级期中）求代数式a a＝1007，如图是小亮和小芳的解答过程．（1） 的解法是错误的；（2）错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质： ；（3）求代数式a a ＝﹣2022．【答案】（1）小亮；（2()()00a a a a a ì³ï==í-ïî＜；（3）2028【解析】【分析】（1）由1007a =知10a -<|1|1a a =-=-，从而做出判断；（2()()00a a a a a ì³ï==í-ïî＜可得答案；（3）利用二次根式的性质化简、代入求值即可得．【详解】解：（1）∵1007a =，∴10a -<，|1|1a a =-=-，所以小亮的解法是错误的．故答案为小亮；（2()()00a a a aa ì³ï==í-ïî＜．()()00a a a a a ì³ï==í-ïî＜．（3）23a a a a =+=+-+∵2022a =-∴30a -<∴33a a-=-∴原式2(3)66(2022)2028a a a =+-=-=--=【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质．20．(本题10分)（2021·四川省巴中中学八年级期中）先化简，再求值：a +，其中2020a =．如图是小亮和小芳的解答过程．小亮：解：11a a a ==+-=原式小芳：解：1214039a a a a ==+-=-=原式（1）______的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______；（2）先化简，再求值：a +2a =-；（3）有理数a 、b 、c【答案】（12）23a a +-，8；（3）a【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质判断即可；（2）根据二次根式的性质把原式化简，把a =-2代入计算即可．（3）由数轴可得：c ＜b ＜0＜a ，再根据二次根式的化简法则计算即可．【详解】解：（1）小亮的解法是错误的，（2）原式=a +23a a +-，∵a =-2＜3，∴原式=a +2（3-a ）=a +6-2a =6-a =8．（3）由图可知：c ＜b ＜0＜a ，∴a-b＞0，a-c＞0，+---+-=a b c a b a c=a-b+c-（a-b）+a-c=a-b+c-a+b+a-c=a．【点睛】21．(本题12分)（2021·湖南·被开方数a≥00³（10=，求b2﹣2b＋2a的值；（2）若a，b为实数，且24a=+，求a＋b的值；（3）已知实数a，b满足|24||2|42-++=，求a＋b的值．a b a【答案】（1）﹣9；（2）﹣1或3；（3）1【解析】【分析】（1）根据非负数的性质分别求出a、b2-2b，计算即可；（2）根据非负数的性质求出b，进而求出a2，计算即可；（3）根据二次根式有意义的条件求出a的范围，再根据非负数的性质计算，得到答案．【详解】解：（1）由题意得，a+6=0，b2-2b-3=0，解得，a=-6，b2-2b=3，∴b2-2b+2a=3+（-12）=-9；（2）由题意得，b-1≥0，1-b≥0，解得，b=1，∴a2=4，解得，a=±2，∴a＋b=﹣1或3；（3）∵|2a-4|+|ba，∴（a-3）b2≥0，解得，a≥3，原式变形为：2a-4+|b+2|a-4，∴|b，则b+2=0，a-3=0，解得，b=-2，a=3，则a+b=1．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、绝对值的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．22．(本题12分)（2021·河南·郑州外国语中学八年级期中）先阅读，后解答：（13，23，＝13，＝5，0a为任意实数）．（2）利用（1）中的结论，直接写出下列问题的结果：_____；②（x＜2）＝_____．（33，求满足条件的所有整数x的和_____．【答案】（1()(0)00(0)a aaa a>ìï=íï-<î；（2）①π﹣3.14，②2﹣x；（3）26．【解析】【分析】（1）将a分为正数、0、负数三种情况得出结果；（2）①当a=3.14﹣π＜0时，根据（1）中的结论可知，得其相反数﹣a，即得π﹣3.14；②先将被开方数化为完全平方式，再根据公式得结果；（3）根据（158x x+=-+-，然后分三种情况讨论：①当x＜5时，②当5≤x≤8时，③当x＞8时，分别计算，哪一个结果为3，哪一个就是它的取值，根据具体取值，即可求答案．【详解】解：（1()(0)00(0)a aaa a>ìï=íï-<î；（2）π-=π﹣3.14，（x＜2），，=|x﹣2|，∵x＜2，∴x﹣2＜0，=2﹣x；（3）58x x+=-+-，①当x＜5时，x﹣5＜0，x﹣8＜0，所以原式=5﹣x+8﹣x=13﹣2x；②当5≤x≤8时，x﹣5≥0，x﹣8≤0，所以原式=x﹣5+8﹣x=3；③当x＞8时，x﹣5＞0，x﹣8＞0，所以原式=x﹣5+x﹣8=2x﹣13，=3，所以x的取值范围是5≤x≤8，x可取5、6、7、8，满足条件的所有整数x的和5+6+7+8=26．【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，明确二次根式的两个性质：a=（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）；()(0)00(0)a aaa a>ìï=íï-<î；尤其是第2个性质的运用，注意被开方数是完全平方式时，如第（3）小题，要分情况进行讨论．23．(本题14分)（2020·福建翔安·七年级阶段练习）如图，AB //CD ，E 为线段CD 上一点，BAD n Ð=°，6()n x y =+，且y =32x +．（1）求n 的值．（2）过P 点作FG //CD ，若P 点在直线DA 上向左运动，写出APE Ð与PEC Ð之间所有的数量关系，请自行画出相应的图形，并说明理由．（不考虑P 与A 、D 重合的情况）【答案】（1）60n =；（2）当P 在D 点右边时，120PEC APE Ð-Ð=°；当P 在线段AD 上时，240PEC APE Ð+Ð=°；当P 在A 点左边时，60PEC APE Ð-Ð=°．画图见解析，理由见解析．【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求解2,8x y ==，再代入计算可求n 的值．（2）分三种情况：①当P 在D 点右边时；②当P 在线段AD 上时；③当P 在A 点左边时；利用平行线的性质，进行讨论即可求解．【详解】（1）∵32y x =++，∵20x -³，即2x ³，20x -³，即2x £，∴2x =，3228y =´+=，∴2x =，8y =，∴6(28)60n =+=．（2）①当P 在D 点右边时，因为//GF CD ，//AB CD ，∴//AB GF ，设APE x Ð=，则60EPG x Ð=-，//GF CD Q ，∴180PEC EPG Ð+Ð=°，∴180(60)120PEC x x Ð=°--=+，120120PEC APE x x Ð-Ð=+-=°，②当P 在线段AD 上时，//GF CD ，//AB CD ，∴//AB GF ，∴60BAD APG Ð=Ð=°，设APE x Ð=，则60EPG x Ð=-，//GF CD Q ，∴180PEC EPG Ð+Ð=°，∴180(60)240PEC x x Ð=°--=-，240240PEC APE x x Ð+Ð=-+=°；③当P 在A 点左边时，//GF CD Q ，//AB CD ，180BAD BAP Ð+Ð=°，∴18060120BAP Ð=-=°，//AB GF ，设APE x Ð=，则120EPG x Ð=-，//GF CD Q ，∴180PEC EPG Ð+Ð=°，∴180(120)60PEC x x Ð=°--=+，6060PEC APE x x Ð-Ð=+-=°．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，角的和差关系，平行线公理，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，注意分类思想的运用．。