1.2二次根式的性质(积与商的算术平方根)

二次根式知识点总结二次根式是数学中的一种常见的根式表达式，它可以表示为$\sqrt{a}$ 的形式，其中 $a$ 是一个非负实数。

在学习二次根式时，常常会涉及到以下几个方面的知识点。

一、二次根式的性质：1. 非负性：对于任何非负实数 $a$，二次根式 $\sqrt{a}$ 都是非负实数。

2. 平方性：相对应的，对于任何非负实数 $a$，二次根式$\sqrt{a}$ 的平方等于 $a$，即 $(\sqrt{a})^2=a$。

3. 两个二次根式可以相等：如果两个二次根式 $\sqrt{a}$ 和$\sqrt{b}$ 相等，那么 $a$ 和 $b$ 必须相等，即$\sqrt{a}=\sqrt{b}$ 可推出 $a=b$。

二、二次根式的运算：1. 加减运算：两个二次根式可以进行加减运算，只要它们的被开方数相同即可。

即 $\sqrt{a} \pm \sqrt{b}=\sqrt{a \pm b}$。

2. 乘法运算：两个二次根式相乘，可以将它们的被开方数相乘并开方。

即 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}$。

3. 除法运算：两个二次根式相除，可以将它们的被开方数相除并开方。

即 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$。

4. 有理化分母：当二次根式的分母不含二次根式时，可以通过有理化分母的方法将其转化为含有二次根式的形式。

有理化分母的基本方法是将分母有理化，即乘以一个适当的形式为 $\sqrt{x}$ 的分子与分母相等的有理数，从而使得分母成为没有二次根式的有理数。

三、二次根式的化简：1.合并同类项：当二次根式相加或相减时，可以合并同类项，即将其中具有相同被开方数的二次根式相加或相减，并保持其他二次根式不变。

2.分解因式：当一个二次根式的被开方数可以分解成互质因子的乘积时，可以利用分解因式的方法进行化简。

3.化简根式：当二次根式的被开方数可以开方时，可以进行化简，即将其转化为整数、分数或者更简单的二次根式的形式。

二次根式的性质二次根式是数学中的一个重要概念，也是代数学中的一个常见表达式。

它们具有一些特殊的性质，我们来详细探讨一下。

一、定义二次根式是指形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。

这里√称为根号，a称为被开方数。

当然，a可以是一个整数、小数或者分数。

二、性质1. 非负性：二次根式的被开方数a必须是非负实数，即a≥0。

因为√a是要求开方的数是非负的，否则就没有实数解。

2. 唯一性：对于给定的非负实数a，它的二次根式√a是唯一确定的。

这是因为非负实数平方的结果只有一个非负实数。

例如，√9=3，√25=5，√36=6，等等。

3. 运算性质：（1）加法与减法：二次根式可以进行加法和减法运算。

当两个二次根式的被开方数相同时，它们可以相加或相减。

例如，√a + √a = 2√a，√25 - √16 = √9 = 3。

（2）乘法：二次根式可以进行乘法运算。

两个二次根式相乘时，被开方数相乘，根号下的系数可以相乘。

例如，√a × √b = √(ab)，2√3 × 3√5 = 6√15。

（3）除法：二次根式可以进行除法运算。

两个二次根式相除时，被开方数相除，根号下的系数也可以相除。

例如，√a ÷ √b = √(a/b)，6√15 ÷ 3√5 = 2√3。

4. 化简与整理：（1）化简：有时候二次根式可以化简为更简单的形式。

例如，√4 = 2，√9 = 3，等等。

化简的关键是找到被开方数的平方因子，然后将依次提取出来。

（2）整理：有时候需要将二次根式按照一定的规则整理，使得表达式更具可读性。

例如，将√3 × 2√5整理为2√15，将5√a + 3√a整理为8√a，等等。

3. 近似值：对于无理数的二次根式，我们可以用近似值来表示。

这里的近似值可以使用小数形式或者分数形式。

四、应用二次根式是数学中广泛应用的一个概念，它在几何、代数、物理等领域都有重要作用。

1. 几何：二次根式在几何中常常用来表示线段的长度。

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二次根式知识点归纳二次根式是数学中的一个重要概念，也是我们在中学阶段学习的数学知识之一、学好二次根式的知识，不仅可以提高我们的数学实力，还能够帮助我们更好地理解和应用数学。

下面是对二次根式的知识点进行归纳总结。

一、二次根式的定义与性质1.二次根式的定义：如果一个数x的平方等于一个有理数a，那么称x是a的二次根，记作√a=x。

其中，a是被开方数，x是二次根。

2.二次根式的性质：二次根式具有以下基本性质：-非负性：对于所有的a≥0，√a≥0。

-唯一性：对于任意一个正数a，二次根√a是唯一确定的。

-传递性：对于任意的a≥0和b≥0，如果√a=√b，那么a=b。

-加减性：对于任意的a≥0和b≥0，有√a±√b=√(a±b)。

-乘除性：对于任意的a≥0和b≥0，有√(a×b)=√a×√b，√(a/b)=√a/√b（其中，b不为零）。

二、二次根式的化简1.因式分解法：将二次根式的被开方数进行因式分解，然后利用乘除性质化简。

2.合并同类项法：将二次根式中相同的根号项合并，然后根据加减性质化简。

三、二次根式的比较大小1.当被开方数相同时，二次根式相等，即√a=√b，当且仅当a=b。

2.当被开方数不同时，可以通过平方的方式来比较大小。

即对于a≥b≥0，有√a≥√b。

四、二次根式的运算1.加减运算：对于任意的a≥0和b≥0，可以进行二次根式的加减运算。

-加法：√a+√b=√(a+b)。

-减法：√a-√b=√(a-b)（需要满足a≥b）。

2.乘法运算：对于任意的a≥0和b≥0，可以进行二次根式的乘法运算。

-乘法：√a×√b=√(a×b)。

3.除法运算：对于任意的a≥0和b>0，可以进行二次根式的除法运算。

-除法：√a/√b=√(a/b)（需要满足b≠0）。

五、二次根式的应用二次根式在实际问题中的应用非常广泛1.几何问题：二次根式可以用来表示长度、面积、体积等物理量，例如计算一个正方形的对角线长度、一个圆的半径等等。

二次根式是什么有哪些基本性质一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a叫做被开方数。

当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，√a的值为纯虚数（在一元二次方程求根公式中，若根号下为负数，则方程有两个共轭虚根）。

二次根式是什么一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a叫做被开方数。

当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，√a的值为纯虚数（在一元二次方程求根公式中，若根号下为负数，则方程有两个共轭虚根）。

二次根式的基本性质1、任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。

2、零的平方根是零。

3、负数的平方根也有两个，它们是共轭的。

4、如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式，也称互为有理化因式。

5、无理数可用连分数形式表示。

6、逆用可将根号外的非负因式移到括号内。

二次根式的运算1.积的算术平方根的性质：（a≥0，b≥0）积的算术平方根等于每个因式的算术平方根的积。

2.乘法法则：（a≥0，b≥0）二次根式的乘法运算法则：两个二次根式相乘，等于把被开方数相乘，根指数不变。

3、商的算数平方根的性质（a≥0，b>0）4、除法法则（a≥0，b>0）二次根式的除法运算法则：两个二次根式相除，等于把被开方数相除，根指数不变。

5、有理化因式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式。

6、同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。

7、合并同类二次根式:把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。

8、合并同类二次根式方法：二次根式的系数相加减，二次根式的被开放数及指数不变。

9、二次根式加减方法：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。

二次根式的运算和性质二次根式是指具有平方根的数，它是数学中的重要概念，与一次根式不同，二次根式的运算涉及到平方根的加减乘除，以及二次根式的化简和简化等操作。

本文将围绕二次根式的运算和性质展开讨论，帮助读者更好地理解和应用二次根式。

一、二次根式的运算1. 二次根式的加减运算对于同类项，即根号下的数相同的二次根式，可以进行加减运算。

例如：√2 + √2 = 2√2√5 - √2 = √5 - √2 （不可化简）不同类项的二次根式无法进行加减运算，如√2 + √3。

2. 二次根式的乘法二次根式的乘法运算可以通过合并同类项、利用乘法公式等方法进行。

例如：√2 × √3 = √6(√2 + √3) × (√2 - √3) = √2^2 - √2√3 + √2√3 - √3^2 = 2 - 3 = -13. 二次根式的除法二次根式的除法运算可以通过有理化的方法进行。

例如：√2 ÷ √3 = (√2 × √3) ÷ (√3 × √3) = √6 ÷ 3 = √6/3 = √6/3 × √3/√3 =√18/3 = √2/√3二、二次根式的性质1. 二次根式的化简当二次根式中的根号下的数为完全平方数时，可以进行化简。

例如：√4 = 2√9 = 3√16 = 4通过化简可以简化计算过程，使得计算更加方便快捷。

2. 二次根式的大小比较对于两个二次根式的大小比较，可以通过平方的方法进行。

例如：(√2)^2 = 2(√3)^2 = 3(√4)^2 = 4可以通过比较二次根式的平方大小来确定它们的大小关系。

3. 二次根式的应用二次根式在实际应用中有广泛的用途，常见于几何学、物理学等领域的计算中。

例如，在三角形的勾股定理中，就涉及到二次根式的运算。

综上所述，二次根式的运算和性质是数学学习中的重要内容。

掌握二次根式的运算规则，了解二次根式的性质，有助于提高数学计算能力，并能应用于实际问题的解决中。

二次根式知识点归纳一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.；2.；3.；4.积的算术平方根的性质：；5.商的算术平方根的性质：.6.若，则.知识点二、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.步骤：①积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

)0,0(≥≥⋅=b a b a ab②二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

)0,0(≥≥=⋅b a ab b a③商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 。

)0,0(≥≥=b a ba b a ④二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。

)0,0(≥≥=b a b a ba 注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．(2) 注意每一步运算的算理；(3) 乘法公式的推广：2．二次根式的加减运算 先化简，再运算， acad bc ac ad ac bc c d a b +=±=± 3．二次根式的混合运算 (1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；(2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.知识点三、根式比较大小1、根式变形法 当0,0>>b a 时，①如果b a >，则b a >；②如果b a <，则b a <。

2、平方法 当0,0>>b a 时，①如果22b a >，则b a >；②如果22b a <，则b a <。

3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。

一、知识聚焦：1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积.2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根。

3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商,等于这两个数的商的算术平方根。

5．最简二次根式：符合以下两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式,叫做最简二次根式。

6．分母有理化：把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化” 二、经典例题： 例1．化简（0,0≥≥y x ） (5例2．计算（（2）31525⋅ (3（4)32⨯例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正:（1=（2例4．化简:（1)（2) )0,0(≥>b a (3） )0,0(>≥y x （4）)0,0(>≥y x例5．计算:（1（3（例6．下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是?为什么? (1)b a 23 (2)23ab（3）22y x + （4))(b a b a >- (5）5 （6)xy 8例7。

把下列各式化为最简二次根式：（1)12 (2)b a 245 (3)xyx 2例8. 把下列各式分母有理化 （1）4237（2a a b例9。

比较3223和两个实数的大小答案: 例1. （1）12 (2）36 （3)90 (4）3xy (5）例2. （1）303 （3） (4）6例3。

（1)不正确． ×3=6(2) 例4.（1)83 （2）a b 38 （3）y x 83 (4)yx 135 例5.（1）2 （2）23 (3）2 （4）22 例6．（3）,(4)，（5）是,其它不是例7．（1）23， （2) b a 53, (3） xy x 例8. (1）21144-(2） ba ba a ++2 例9。

二次根式的概念和性质是什么一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。

下面是店铺给大家整理的二次根式的概念和性质简介，希望能帮到大家!二次根式的概念和性质定义如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。

a可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式。

即：若，则叫做a的.平方根，记作x= 。

其中a叫被开方数。

其中正的平方根被称为算术平方根。

关于二次根式概念，应注意：被开方数可以是数，也可以是代数式。

被开方数为正或0的，其平方根为实数;被开方数为负的，其平方根为虚数。

最简二次根式最简二次根式条件：1.被开方数的因数是整数或字母，因式是整式;2.被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。

二次根式化简一般步骤：1.把带分数或小数化成假分数;2.把开方数分解成质因数或分解因式;3.把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外;4.化去根号内的分母，或化去分母中的根号;5.约分。

算术平方根非负数的平方根统称为算术平方根，用(a≥0)来表示。

负数没有算术平方根，0的算术平方根为0。

二次根式的性质1. 任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。

如正数a的算术平方根是，则a的另一个平方根为﹣ ;最简形式中被开方数不能有分母存在。

2. 零的平方根是零，即 ;3. 负数的平方根也有两个，它们是共轭的。

如负数a的平方根是。

4. 有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式，也称互为有理化因式。

5. 无理数可用连分数形式表示，如: 。

6. 当a≥0时， ; 与中a取值范围是整个复平面。

7. [任何一个数都可以写成一个数的平方的形式;利用此性质可以进行因式分解。

8. 逆用可将根号外的非负因式移到括号内，如(a>0) ， (a<0)，﹙a≥0﹚， (a<0)。

9.注意：，然后根据绝对值的运算去除绝对值符号。

10.具有双重非负性，即不仅a≥0而且≥0。

二次根式的性质在数学中，二次根式是指具有形如√a的数，其中a是一个非负实数。

二次根式在代数和几何中有着广泛的应用，特别是在求解方程、计算面积和体积等问题中。

一、二次根式的定义二次根式通常表示为√a，其中a≥0。

如果a>0，则√a被称为正根式，如果a=0，则√a=0；如果a<0，则二次根式不存在，因为它不是一个实数。

二、二次根式的性质1. 二次根式的平方二次根式的平方等于它本身，即(√a)^2 = a。

这是因为二次根式表示的是一个数的正平方根，而正平方根的平方等于被开方数本身。

2. 二次根式的加减运算如果两个二次根式的被开方数相同，那么它们可以进行加减运算。

例如，√2 + √2 = 2√2。

当然，如果两个二次根式的被开方数不同，则无法进行加减运算。

3. 二次根式的乘法两个二次根式可以进行乘法运算，即(√a) * (√b) = √(a * b)。

这个性质可以通过平方的方式进行证明。

例如，(√2) * (√3) = (√2^2) * (√3^2) = √(2 * 3) = √6。

4. 二次根式的除法两个非零的二次根式可以进行除法运算，即(√a) / (√b) = √(a / b)。

这个性质也可以通过平方的方式进行证明。

5. 二次根式的化简将一个二次根式化简为最简形式是一种常见的操作。

例如，将√8化简为√(4 * 2)，再进一步化简为2√2。

也可以将√32化简为√(16 * 2)，再化简为4√2。

化简后的二次根式更加简洁明了。

6. 二次根式的大小比较当两个二次根式的被开方数相同时，它们的大小关系取决于它们的系数。

例如，2√3和3√2，由于√3>√2，所以2√3<3√2。

但如果被开方数不同，则无法直接比较大小。

7. 二次根式的乘方一个二次根式可以进行乘方运算，例如(√2)^3 = (√2) * (√2) * (√2) = √(2 * 2 * 2) = 2√2。

这个性质是由乘法的性质推导而来。

专题10 二次根式考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一二次根式的有关概念和性质二次根式概念：一般地，我们把形如（?≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。

【注意】1.二次根式，被开方数a可以是一个具体的数，也可以是代数式。

2.二次根式是一个非负数。

3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（?≥0）就表示a的算术平方根。

二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

二次根式的性质：1．含有两种相同的运算，两者都需要进行平方和开方。

2．结果的取值范围相同，两者的结果都是非负数。

3．当a≧0时，考查题型一利用二次根式非负性解题1．（2013·四川中考真题）已知实数x，y，m满足，且y为负数，则m的取值范围是（）A．m＞6 B．m＜6 C．m＞﹣6 D．m＜﹣6【答案】A【解析】根据算术平方根和绝对值的非负数性质，得：，解得：。

∵y为负数，∴6﹣m＜0，解得：m＞6。

故选A。

2．（2016·四川中考真题）若 +b2﹣4b+4=0，则ab的值等于（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【答案】D【解析】试题分析：由，得：a﹣1=0，b﹣2=0．解得a=1，b=2．ab=2．故选D．3．（2012·湖北中考真题）若与|x﹣y﹣3|互为相反数，则x+y的值为（）A．3 B．9 C．12 D．27【答案】D【解析】依题意得 .∴x＋y＝27.故选D.考查题型二判断二次根式有意义的取值范围1．（2013·四川中考真题）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A． B． C． D．且【答案】D【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须且x≠1。

故选D。

2．（2018·内蒙古中考真题）代数式中x的取值范围在数轴上表示为（）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题意，得：3﹣x≥0且x﹣1≠0，解得：x≤3且x≠1，在数轴上表示如图：．故选A．3．（2018·山东中考真题）若式子有意义，则实数m的取值范围是A． B．且C． D．且【答案】D【详解】由题意可知：∴m≥﹣2且m≠1故选D．考查题型三根据二次根式性质进行化简1．（2012·湖南中考真题）实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（）A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b【答案】C【解析】试题分析：利用数轴得出a+b的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可：∵由数轴可知，b＞0＞a，且 |a|＞|b|，∴ .故选C．2．（2016·山东中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 的结果是( )A．﹣2a-b B．2a﹣b C．﹣b D．b【答案】A【详解】由图可知：，∴ ，∴ .故选A.3．（2011·北京中考真题）如果，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：根据二次根式的性质1可知：，即故答案为B. . 4．（2015·湖北中考真题）当1＜a＜2时，代数式＋|1－a|的值是( ) A．－1 B．1 C．2a－3 D．3－2a【答案】B【解析】试题解析：∵1＜a＜2，∴ =|a-2|=-（a-2），|a-1|=a-1，∴ +|a-1|=-（a-2）+（a-1）=2-1=1．故选A．5．（2011·四川中考真题）已知，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题解析：由，得，解得．2xy=2×2.5×（-3）=-15，故选A．知识点二二次根式的运算二次根式的乘法法则:【注意】1、要注意这个条件，只有a，b都是非负数时法则成立。

初中数学知识点——二次根式：二次根式的运算二次根式的运算
1.积的算术平方根的性质：（a≥0，b≥0）积的算术平方根
等于每个因式的算术平方根的积
2.乘法法例：（a≥0，b≥0）
二次根式的乘法运算法例：两个二次根式相乘，等于把被开
方数相乘，根指数不变。

3、商的算数平方根的性质=（a≥0， b0）
4、除法法例（ a≥0， b0）
二次根式的除法运算法例：两个二次根式相除，等于把被开
方数相除，根指数不变。

5、有理化因式：假如两个含有根式的代数式的积不再含有
根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式。

如：的有理化因式为；的有理化因式也是
的有理化因式为；
6、同类二次根式：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，假如它们的
被开方数同样，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。

7、归并同类二次根式：把几个同类二次根式归并为一个二
次根式就叫做归并同类二次根式。

8、归并同类二次根式方法：二次根式的系数相加减，二次根式的被开放数及指数不变。

二次根式定义及性质教学内容：1.学习目标：理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简．2.重点：；，及其运用．3.难点：利用，，解决具体问题.知识点一：二次根式的概念一般地，我们把形如(a≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．知识点二：二次根式的性质1.；2.；3.；4. 积的算术平方根的性质：；5. 商的算术平方根的性质：.知识点三：代数式形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic expression).经典例题透析类型一：二次根式的概念例1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、(x＞0)、、、、、(x≥0，y≥0)．思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：、(x＞0)、、、(x≥0，y≥0)；不是二次根式的有：、、、．例2、当x是多少时，在实数范围内有意义？思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x≥当x≥时，在实数范围内有意义．总结升华：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．举一反三【变式1】x 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？(1)；(2)；解：(1)由≥0，解得：x取任意实数∴当x取任意实数时，二次根式在实数范围内都有意义.(2)由x-1≥0，且x-1≠0，解得：x＞1∴当x＞1时，二次根式在实数范围内都有意义.【变式2】当x是多少时，+在实数范围内有意义？思路点拨：要使+在实数范围内有意义，必须同时满足中的2x+3≥0和中的x+1≠0．解：依题意，得由①得：x≥-由②得：x≠-1当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内有意义．类型二：二次根式的性质例1、计算：(1)(2)(3)(4)(5)(b≥0)(6)思路点拨：我们可以直接利用(a≥0)的结论解题．解：(1) (2)=；(3)；(4)=；(5)；(6)．举一反三【变式1】计算：(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨：(1)因为x≥0，所以x+1＞0；(2)a2≥0；(3)a2+2a+1=(a+1)2≥0；(4)4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2≥0．所以上面的4题都可以运用的重要结论解题．解：(1)因为x≥0，所以x+1＞0；(2)∵a2≥0，∴；(3)∵a2+2a+1=(a+1)2又∵(a+1)2≥0，∴a2+2a+1≥0，∴=a2+2a+1；(4)∵4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2又∵(2x-3)2≥0∴4x2-12x+9≥0，∴=4x2-12x+9.例2、化简:(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨：因为(1)9=32，(2)(-4)2=42，(3)25=52，(4)(-3)2=32，所以都可运用去化简．解：(1)==3；(2)==4；(3)==5；(4)==3.例3、填空：当a≥0时，=____；当a＜0时，=______，•并根据这一性质回答下列问题．(1)若=a，则a可以是什么数？(2)若=-a，则a可以是什么数？(3)＞a，则a可以是什么数？思路点拨：∵=a(a≥0)，∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“( )2”中的数是正数，因为，当a≤0时，=，那么-a≥0．(1)根据结论求条件；(2)根据第二个填空的分析，逆向思想；(3)根据(1)、(2)可知，而要大于a，只有什么时候才能保证呢？解：(1)因为，所以a≥0；(2)因为，所以a≤0；(3)因为当a≥0时，要使，即使a＞a所以a不存在；当a＜0时，，要使，即使-a＞a，即a＜0；综上，a＜0.类型三：二次根式性质的应用例1、当x=-4时，求二次根式的值.思路点拨：二次根式也是一种代数式，求二次根式的值和求其他代数式的值方法相同.解：将x=-4代入二次根式，得=.例2、(1)已知y=++5，求的值．(2)若+=0，求的值．解：(1)由可得，，(2)例3、在实数范围内分解因式：(1)x2-5；(2)x3-2x；解:(1)原式.(2)原式.学习成果测评基础达标一、选择题1.下列式子中，不是二次根式的是( )A．B．C．D．2.已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是( )A．5 B．C．D．以上皆不对3.(福建省福州市)若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为( )A．x＞0 B．x≥0 C．x ≠0D．x≥0且x ≠ 14．的值是( )A．0 B．C．4D．以上都不对5．a≥0时，、、，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是( ) A．B．C．D．6.(辽宁省大连市) 如图，数轴上点N表示的数可能是()A．B．C．D．二、填空题1.若，则x = ____________.2.若有意义，则的取值范围是____________.3．-=________．4.=____________.5.=____________.6.若，则____________.7.若，则____________；若，则____________.8.化简：=__________.9. 计算：(1)=_______；(2)=________；(3) =________。

二次根式的四则运算知识梳理一、二次根式的乘除（1）积的算术平方根性质： b a b a •=•（a ≥0，b ≥0） （2）二次根式的乘法法则： b a b a •=•（a ≥0，b ≥0） （3）商的算术平方根的性质：bab a =（a ≥0，b ＞0） （4）二次根式的除法法则：b aba = （a ≥0，b ＞0） 二、分母有理化分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 三、同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 四、二次根式的（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式．（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 五、二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．例题讲解例1.计算：（1）52⨯ （2）3221⨯ （3）8326⨯- （4）1052⨯⨯ 例2.化简（1）54⨯ （2）24 （3）()()4936-⨯- （4）()0,0424>>y x y x例3.计算下列各题 （1）312 （2）8123÷ （3）()72214-÷（4）531513÷（5）xyy 24针对练习1.已知()22-=-•a a a a 成立，则a 的取值范围是 .2.能使88-=-x xx x成立，则x 的取值范围是 . 3.化简下列二次根式：=90 =5.2=29 =3127a b ()=-≤++41682a a a 4.计算并化简（1）2863⨯ （2）6331227⨯⨯（3）322214÷- （4）()0113>÷a a bb a b a5.计算（1）6122÷⨯ （2）27121331⨯÷（3）32223513459⨯÷ （4）⎪⎪⎭⎫⎝⎛÷b a b b a 16.若a =5，b =17，则85.0的值用a ，b 可以表示为 . 7．先阅读下列的解答过程，然后作答：形如的化简，只要我们找到两个数a 、b 使a +b ＝m ，ab ＝n ，这样（）2+（）2＝m ，•＝，那么便有＝()2ba ±＝±（a ＞b ）例如：化简解：首先把化为，这里m ＝7，n ＝12； 由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7，•＝，∴＝＝()234+＝2+由上述例题的方法化简： （1）； （2）； （3）．例题讲解例4.计算 （1）2324+ （2）12273+-（3）x x x x 1246932-+ （4）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-6813225.024例5.计算（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--12814482 （2）()6342221⨯-例6.计算 （1）()62322+- （2）()()22322232---针对练习1．若最简二次根式与可以合并，则a＝．2．计算：2+++3﹣+（+5）﹣﹣+（+）（﹣）（）（2﹣3）÷（﹣）（+）+2 （）2﹣（2）（2）（1+）（）﹣（2）2 （）×﹣（）（）3.计算（1）()()322122-+ （2）()()201920182525+•-4.先化简，再求值：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+xy y x x xy y x y x 364363，其中23=x ，27=y .5.已知()3521+=a ，()3521-=b ，求22b ab a ++ .。