第3章静定结构的内力分析

y
FSAE FSEA qL FP1 4kN 12kN 0: FNCD FSCB 0, FNCD 10kN 压 B点：
Fy 0: FNCB 4 0, FNCB 4kN 压
Fx 0: FNBA 10 0, FNBA 10kN 压
FSK FAy cos K FP1 cos K FP 2 cos K FH sin K 0，
o FSK F Ay ( FP1 FP 2 ) cos K FH sin K
FSK F cos K FH sin K
o SK
注意拱截面上 剪力的符号规 定同梁和刚架
3.2.2 内力图的基本特征
内力与荷载间微分关系
q( x)
A
y
q( x) m0
B
FP
FS
x
M dM p( x) FN dFN FS dFS
p( x)
FN
M
dx
dFN dF p x , S q x , dM FS dx dx dx
内力图的基本特征：
dM FS dx
选择隔离体
◆静定结构内力分析的关键点
建立平衡条件
3.2 静定梁和刚架的内力分析 3.2.1 静定梁的内力符合及内力图
FS M FN A FS FN B M
轴力FN，剪力 Fs，弯矩M
材料力学符号规定：FN—拉力为正；FS—使 隔离 体顺时针转动为正；M—使梁的下侧 M+dM 纤维受拉为正。 M
FN FS dx dx FS+dFS FN+dFN
静定拱
超静定拱
3.3.2 三铰拱的受力分析 y 支座 反力 的计 算
F Ax A xD La F Ay
F P1 A F P2 D M F Ay
D
an ai a2 F P2 a1 F P1 yD f D
φ C
bn bi F Pi b1 b2 F Pn
(a)三铰拱
B x Lb F Bx
L
F Pi C M
试作图示悬臂刚架的内力图。
(a)
(b)
弯 矩 图
由 MC 0，得MCB MCD 4kN M
当某个刚节点上无外力偶作用时， 若只有两杆汇交，则结点两侧的弯 矩等值反向，即同侧受拉
(c)
可截取BCD折杆为隔离体，
M BC 10kN 2m (2kN /m 2m 1m) 16kN M
m ax
FB y
B
由 M E 0得，M max 4.56kN M
3.2.4 多跨静定梁
多跨静定梁实例
基本部分--不依赖于其他 部分能独立承受荷载并 维持其几何形状不变的 部分
多跨静定梁简图
附属部分--依赖相邻部分 才能承受荷载并维持其几 何形状不变的部分
层叠图
分析顺序：先附属部分，后基本部分。 荷载仅在基本部分上，只基本部分受力，附属 部分不受力； 荷载在附属部分上，除附属部分受力外，基本 部分也受力。
0 MC f
三铰拱的反力只与荷载及三个铰的位置 有关，与拱轴线形状无关； 荷载与跨度一定时，水平推力与矢高成 反比。
截面内力的计算
（1）弯矩MK
a a
1 2
F P2 F P1
K F SK
M
k
F NK
φK
x'
FH
φK
φK
F P1
y
K
y'
φK
FH A
φK
F P2 F Ay
F Ay x
K
(a) 隔离体
B 5 kN
Fx 0, M A 0, Fy ① 由整体平衡条件：
0

FAx 2 10 20kN ()
FBy 5kN ( ) FAy 5kN ( )
6m
② 取I-I截面的右半部分为隔离体： 由 MC 0 SAB 5kN(拉) yK 102 82 ③ 切开K截面,取右半部分为隔离体：
3 静定结构的内力分析
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 §3.6 概述 静定梁和刚架的内力分析 三铰拱的内力分析 平面桁架的内力分析 组合结构的内力分析 用零载法分析复杂体系的几何构造性质
3.1 概述
◆ 静定结构：无多余约束的几何不变体系， 在任意荷载作用下，所有的反力和内力均 可通过静力平衡方程求得。
FS
M
合力矩
M CB M BC
合力矩
M CB M BC
合力矩
M CB
(a) (b) 杆端弯矩反向且 M BC MCB ,正剪力 FSM l (c) 杆端弯矩反向且 M BC MCB ,负剪力 F M (d) 杆端弯矩同向顺时针产生负剪力 F M M
M S
M S BC
M F 杆端弯矩同向，逆时针产生正剪力 S
弯矩图上某点处切线的斜率 等于该处的剪力，剪力的符 号与弯矩图的倾斜方向有关
x
o
梁
x
y
负斜率
o
柱 正斜率 （对应正剪力） 负斜率 （对应负剪力） 柱 正斜率
y o y x
3.2.3 区段叠加法
q ( x)
A B
C
D
E
F
M
BC
M C
CB
q C 1 2 ql 8
M B
BC
1 2 ql 8
M C
CB
B
B
(b)支座反力 及荷载的分解
MK 0
0 等代梁K截面处的弯矩M K
M K FAy xK FP1 (xK a1 ) FP 2 (xK a2 ) FH yK 0
M K M FH yK
o K
（2）剪力FSK
Fy 0
等代梁K截面处的剪力
o o FSK FAy (FP1 FP2 )
q
F Dy D B C
根据题意：MAD中=MB得
0.086ql
2
ql x ql x x qx2 8 2 2
2
x 0.172 l
B 0.125ql 2 C
0.086ql A
2
0.082ql D B 0.5l
2
0.125ql 2 C A 0.5l 0.5l
0.414l 0.414l 0.172l
0.5l
0.5l
0.5l
3.2.5 静定平面刚架
刚架：具有刚性结点且由多杆构成的结构
悬臂刚架
静 定 平 面 刚 架
简支刚架
三铰刚架
复合刚架
静定平面刚架的内力分析:先由平衡条件 求出支座反力，再用截面法计算主要控制截 面的内力进而分段应用区段叠加法作杆件的 弯矩图。原则上与静定梁相同。 a. 刚架的弯矩图一律画在杆件的受拉一侧， 不标正负号； b. 注意刚架的必要反力和非必要反力。
例：试作图所示多跨静定梁的弯矩和剪力图，并利 用剪力图求所有支座的竖向反力。
10kN 4kN /m 10kN m F 2m 4m G 2m C 2m 2m D 2m H
E
A 2m 4m
B
24 8
8
ql 8 =8 8 18 E A B F 8 G C
2
层叠图
24 16 13
23 20
D
H
M 图 kN M
o FNK FSK sin K FH cos K
o o FSK FAy (FP1 FP2 )
等代梁K截面处
三铰拱内力：
o MK MK FH yK
FSK F cos K FH sin K
o SK
o FNK FSK sin K FH cos K
跨中作用集中荷载：
M BC B C M CB B 1 4 FP L FP C M BC B M CB C
跨中作用集中力偶：
M
BC
M C
CB
m0 m0 2 C m0 L
M B
BC
m0 }2
}
M C
CB
B
B m0 L
剪力图的叠加：
M BC B q C M CB B q C M BC M CB
对应的剪力图：
M BC M CB l M BC M CB
BC
M CB l
l
CB
作图示梁的弯矩和剪力图
直接画 出悬臂 端弯矩， BC跨 应用区 段叠加
如何求中间 跨最大正弯 矩?
考虑最大正弯矩一定发生在剪力为零处：
取AE段作为研究对象
3 kN 8 kN /m F S B A = 3 kN A B FB y 2m 1 .6 2 5 m E F S B C = 1 3 kN M
M BA M BC 16kN M
刚架上三个荷载对A端的合力矩为：
M AB 2 kN m 2m 3m 12kN 1m 10kN 2m 4kN M
整个刚架弯矩如图：
剪力图
对图（b）中的杆CD，由 Fy 0 知： FSCD qL 2 kN m 2m 4kN 对图（c）中的隔离体，由 Fx 0 知： FSBC FSCB 10kN 同理，再将BE、AE间作截面截开杆件，并 取右侧部分为隔离体，由 F 0 知：FSEB FSBE qL 4kN
试作图示三铰刚架的M图。
先整体，对 A取矩
后部分， 对E取矩
qL/4
qL/2
试作图示复合刚架的M图。
qL/2
先分析附 属部分
qL
基本 部分
附 属 部 分
qL/2
将铰B处的力反向 作用于基本部分