2019-2020学年高中数学 第二章 平面向量章末小结导学案新人教A版必修4.doc

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第二章平面向量章末小结【本章知识体系】【题型归纳】专题一、平面向量的概念及运算包含向量的有关概念、加法、减法、数乘。

向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，减法可以转化为加法进行运算。

利用向量证明三点共线时，应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．1、1.错误!＋错误!－错误!＋错误!化简后等于（）A．3AB→ B。

错误!C。

错误! D。

错误!2、在平行四边形ABCD中，错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，错误!＝d,则下列运算正确的是( )A．a＋b＋c＋d＝0B．a－b＋c－d＝0C．a＋b－c－d＝0D．a－b－c＋d＝03、已知圆O的半径为3，直径AB上一点D使错误!＝3错误!，E、F为另一直径的两个端点,则错误!·错误!＝( )A．－3 B．－4C．－8 D．－64、如图，在正方形ABCD中，设错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，则在以a，b为基底时，错误!可表示为________，在以a，c为基底时,错误!可表示为________．5、下列说法正确的是（)A．两个单位向量的数量积为1B．若a·b＝a·c,且a≠0，则b＝cC．错误!＝错误!－错误!D．若b⊥c，则（a＋c）·b＝a·b专题二、平面向量的坐标表示及坐标运算向量的坐标表示及运算强化了向量的代数意义。

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高中数学第二章平面向量本章复习教案______年______月______日____________________部门本章复习知识网络教学分析向量的重要性可与函数相比，函数思想是整个中学数学的最重要的思想之一，它贯穿于整个中学的每一个学习阶段；而向量可作为一种重要的解题方法，渗透于高中数学的许多章节，它与函数、三角、复数、立体几何、解析几何等知识的联系是显而易见的．因此复习时，要特别重视向量概念、向量运算，并善于与物理中、生活中的模型进行模拟和联想，利用直观的教学手段和方法，帮助学生正确理解、掌握向量的有关概念、运算及几何意义．变抽象为形象，变被动接受为主动运用向量的知识分析问题、解决问题，从而提高本章复习的教学质量．数与形的紧密结合是本章的显著特点，向量与几何之间存在着对应关系；向量又有加减、数乘积及数量积等运算，也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能沟通几何与代数，从而给了我们一种新的数学方法——向量法．向量方法宜于把几何从思辩数学化成算法数学，将技巧性解题化成算法解题，因此是一种通法．在教学中引导学生搞清向量是怎样用有向线段表示的，掌握向量运算法则的基本依据，搞清向量运算和实数运算的联系和区别，认识向量平移是平面向量坐标运算的基础．将一个实际问题转化为向量之间的关系问题，用向量建立一个数学模型是一个难点问题．在复习课教学中应注意多举例，引导学生思考并及时总结，逐步培养学生用向量工具解题的思维方向．学习本章应注意类比，如向量的运算法则及运算律可与实数相应的运算法则及运算律进行横向类比．而一维情形下向量的共线条件，到二维情形下的平面向量基本定理，进而今后推广到三维情形下的空间向量基本定理，又可进行纵向类比．向量是数形结合的载体，在本章学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，数形结合地解决数学和物理的有关问题．同时，向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了我们研究问题的范围和手段．充分发挥多媒体的作用，向量是建立在平面上的，平移是向量的常见现象，而给学生直观、动态的演示能使学生理解、掌握问题．在复习完本章内容后，还要引导学生反思，重新概括研究思路，这样可以使学生体会数学中研究问题的思想方法，提升学生的数学思维水平．三维目标1．通过展示本章知识网络结构，列出复习提纲，引导学生补充相关内容，加深理解向量概念，平面向量的基本定理，两向量平行与垂直的条件，平面向量的坐标表示及其坐标运算，向量的数量积及其性质，向量的实际应用等知识．提高分析问题、解决问题的能力．2．通过本节对向量有关内容的复习，使学生进一步认识事物之间的相互转化．培养学生的数学应用意识．深刻领悟数形结合思想，转化与化归思想．3．通过一题多解的活动，培养学生的发散性思维能力，同时通过多种方法间的沟通，让学生体验数学的统一美、内在美，逐渐学会用美的心态来看待数学．重点难点教学重点：向量的运算，向量平行、垂直的条件，平面向量的坐标表示及其运算、数量积的理解运用．教学难点：向量的概念、运算法则的理解和利用向量解决物理问题和几何问题．对于本章内容的学习，要注意体会数形结合的数学思想方法的应用．课时安排2课时第1课时导入新课思路 1.(直接导入)前面一段，我们一起探究学习了向量的有关知识，并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法，提高了我们的思维能力．这一节，我们一起对本章进行小结与复习，进一步巩固本章所学的知识，强化向量的综合应用．思路 2.(问题导入)由于向量具有几何形式和代数形式的双重身份，与代数、几何都有着密切的关系，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点．在中学数学教材中的地位也越来越重要，也成为近几年全国及各省高考命题的重点和热点，根据你所学的本章知识解释一下，它是怎样具有代数、几何双重身份的？向量是怎样进行代数运算的？又是怎样进行几何运算的？你对向量的哪种运算掌握得最好？由此展开全章的复习．推进新课向量的概念、运算及其综合应用．活动：本章概念较多，学生可能不知如何进行复习，从头到尾重新翻看教材，学生兴趣不大，效果也不好．教师要点拨学生不仅要善于学习知识，而且还要善于归纳整理所学的知识．首先教师引导学生回忆从前所学，指导学生归类比较．比较是最好的学习方法，如向量的表示法有：几何表示法为，a(手写时为)，坐标表示法为a＝xi＋yj ＝(x，y)．有哪些特殊的向量：a＝0 |a|＝0.向量a0为单位向量|a0|＝1.相等的向量：大小相等，方向相同．a＝b (x1，y1)＝(x2，y2) 等等．⇔⇔⇔⇔指导学生从代数运算和几何运算两方面展开思考归纳，引导学生把向量的运算类比数的运算．向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量积及其各运算的坐标表示和性质较杂乱，教师可以利用多媒体课件或投影仪打出下表让学生填写相关内容：运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1.平行四边形法则(共起点构造平行四边形)2．三角(多边)形法则(向量首尾相连)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)a＋b＝b＋a(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)AB→＋BC→＝AC→向量的减法三角形法则(共起点指向被减)a－b＝(x1－x2，y1－y2)a－b＝a＋(－b)AB→＝－BA→OB→－OA→＝AB→数乘向量1.λa是一个向量，满足|λa|＝|λ||a|.2．λ>0时，λa与a同向；λ<0时，λa与a异λa＝(λx，λy)λ(μa)＝(λμ)a(λ＋μ)a＝λa＋μaλ(a＋b)＝λa＋λba∥b⇔a＝λb(b≠0)向；λ＝0时，λa＝0向量的数量积a·b是一个实数1．a＝0或b＝0或a⊥b时，a·b＝02．a≠0且b≠0时，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉a·b＝x1x2＋y1y2a·b＝b·a(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)(a＋b)·c＝a·c＋b·ca2＝|a2|，|a|＝x2＋y2|a·b|≤|a||b|本章的重要定理及公式：(1)平面向量基本定理：e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e1＋λ2e2.(2)两个向量平行的条件：a∥b(b≠0) 存在惟一的实数λ使得a ＝λb；⇔若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b x1y2－x2y1＝0(b可以为0)．⇔(3)两个向量垂直的条件当a、b≠0时，a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.⇔⇔讨论结果：①～③略．例1已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，(1)ka＋b与a－3b垂直？(2)ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？活动：向量的垂直、平行关系是向量间最基本、最重要的位置关系，是高考考查的重要内容之一．在解决本题时，教师首先引导学生思考回顾，如何用数量积及有关的定理解决有关长度，角度，垂直的问题；共线的向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础，那么怎样应用向量共线这个条件呢？让学生通过例题仔细体会，进一步熟练、提高．解：(1)ka ＋b ＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．当(ka ＋b)·(a－3b)＝0时，这两个向量垂直． 由(k －3)×10＋(2k ＋2)×(－4)＝0，解得k ＝19， 即当k ＝19时，ka ＋b 与a －3b 垂直．(2)当ka ＋b 与a －3b 平行时，存在惟一实数λ， 使ka ＋b ＝λ(a －3b)．由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)，得⎩⎨⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.这是一个以k 、λ为未知数的二元一次方程组．解这个方程组得k ＝－，λ＝－，即当k ＝－时，ka ＋b 与a －3b 平行，这时ka ＋b ＝－a ＋b.因为λ＝－<0，所以－a ＋b 与a －3b 反向．点评：向量共线的条件有两种不同的表示形式，但其本质是一样的，在运用中各有特点，解题时可灵活选择．在本例中，也可以根据向量平行条件的坐标形式，从(k －3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，先解出k ＝－，然后再求λ.变式训练1．已知向量a 、b 是两非零向量，在下列四个条件中，能使a 、b 共线的条件是( )①2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－3e②存在相异实数λ、μ，使λa ＋μb ＝0 ③x a ＋y b ＝0(其中实数x 、y 满足x ＋y ＝0) ④已知梯形ABCD 中，AB →＝a 、CD →＝bA ．①②B ．①③C ．②D ．③④解析：A 、B 均含有①，而C 、D 均含有④，所以可先判定①或④.若①能使a 、b 共线，则只有从A 、B 中进一步作出选择，若①不能使a 、b 共线，则应从C 、D 中进一步作出选择．首先判定①能否使a 、b 共线．由向量方程组⎩⎨⎧2a －3b ＝4e ，a ＋2b ＝－3e ，可求得a ＝－17e ，b ＝－107e .∴b ＝10a .∴a 、b 共线，因此可排除C 、D.而由②可得λ、μ是相异实数，所以λ、μ不同时为0，不妨设μ≠0，∴b ＝－λμa ，故a 、b 共线，∴排除B ，选择A.答案：A2．设坐标平面上有三点A 、B 、C ，i 、j 分别是坐标平面上x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，那么是否存在实数m ，使A 、B 、C 三点共线？解：方法一：假设满足条件的m 存在，由A 、B 、C 三点共线，即AB →∥BC →， ∴存在实数λ，使AB →＝λBC →，i －2j ＝λ(i ＋m j )，⎩⎨⎧λ＝1，λm ＝－2，∴m＝－2，即当m ＝－2时，A 、B 、C 三点共线．方法二：假设满足条件的m 存在，根据题意可知：i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，∴AB→＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)， BC →＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)． 由A 、B 、C 三点共线，即AB →∥BC →， 故1×m－1×(－2)＝0，解得m ＝－2. ∴当m ＝－2时，A 、B 、C 三点共线.例2如图1，已知在△ABC 中，＝a ，＝b ，＝c.若a ·b ＝b ·c ＝c ·a.求证：△ABC 为正三角形．图1活动：引导学生回顾，向量具有二重性，一方面具有“形”的特点，因此有了几何运算；另一方面又具有一套优良的代数运算性质，因此又有了代数运算．对于这两种运算，前者难度大，灵活多变，对学生来说是个难点，后者学生感到熟悉，易于掌握，但应让学生明了，这两种方法都要掌握好，近几年高考题的解答都是以两种解法给出．本题给出的是三角形，对于某些几何命题的抽象的证明，自然可以转化为向量的几何运算问题来解决，请同学们在探究中要注意仔细体会，领悟其实质．教学中，教师要放手大胆地让学生自己去探究，鼓励学生从不同的角度去观察、去发现．真正做到一题多用，一题多变，串联知识、串联方法，使学生在探究过程中掌握了知识，提高了思维能力和复习效率．证法一：由题意得a ＋b ＋c ＝0，∴c＝－(a ＋b)． 又∵b·c＝c·a，∴c·(a－b)＝0.∴－a2＋b2＝0.∴|a|2＝|b|2，即|a|＝|b|. 同理可得|c|＝|b|，∴|a|＝|b|＝|c|. ∴△ABC 为正三角形．证法二：由题意得a＋b＋c＝0，∴a＝－b－c，b＝－a－c.∴a2＝b2＋c2＋2b·c，b2＝a2＋c2＋2a·c.而b·c＝c·a(已知)，∴a2－b2＝b2－a2.∴a2＝b2.∴|a|2＝|b|2.∴|a|＝|b|.同理可得|c|＝|b|，∴|a|＝|b|＝|c|.∴△ABC为正三角形．证法三：如图2，以AB、BC为邻边作平行四边形ABCD，则＝a，＝－，图2∴＝a－c.又∵a·b＝b·c，∴b·(a－c)＝0.∴b·＝0.∴b⊥.∴平行四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC.同理可得BC＝AC，∴△ABC为正三角形．证法四：取的中点E，连结AE，则→＝(＋)＝(c－b)，AE∴·a＝(c－b)·a＝0.∴⊥a.∴AB＝AC.同理可得BC＝AC，∴△ABC为正三角形．点评：本题给出了四种证法，教师要善于引导学生进行一题多解，这是一种很有效的办法．数学教学中，一题多解训练是培养学生思维灵活的一种良好手段．通过一题多解的训练能沟通知识之间的内在联系，提高学生应用所学的基础知识与基本技能解决实际问题的能力，逐步学会举一反三的本领，在教材安排的例题中，有相当一部分题目存在一题多解的情况．教师要引导学生善于挖掘.变式训练1．若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△AB C 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形答案：A2．在四边形ABCD 中，AB →·BC →＝BC →·CD →＝CD →·DA →＝DA →·AB →，试证明四边形ABCD 是矩形．证明：设AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DA →＝d ，∵a ＋b ＋c ＋d ＝0，∴a ＋b ＝－(c ＋d )．两边平方，得|a|2＋2a·b ＋|b|2＝|c|2＋2c·d ＋|d|2，又a·b ＝c·d ，∴|a|2＋|b|2＝|c|2＋|d |2.①同理|a|2＋|d|2＝|b|2＋|c |2.②由①②得|a|2＝|c|2，|d|2＝|b |2，∴|a|＝|c|，|d|＝|b|，即AB ＝CD ，BC ＝DA.∴四边形ABCD 是平行四边形．于是AB →＝－CD →，即a ＝－c .又a·b ＝b·c ，故a·b ＝b·(－a )，∴a·b ＝0.∴AB →⊥BC →.∴四边形ABCD 为矩形．点评：要证明四边形ABCD 是矩形，可以先证四边形ABCD 为平行四边形，再证明其一组邻边互相垂直．为此我们可以从四边形边的长度和位置两方面的关系来进行思考.例3已知a ＝(，－1)，b ＝(，)，且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋(t2－3)b ，y ＝－ka ＋tb 且x ⊥y.试求的最小值．活动：本例是一道平面向量综合应用的经典例题，具有一定的综合性，但难度不大，可以先让学生自己探究，独立地去完成．对找不到思路的学生，教师要引导学生注意挖掘题目中的隐含条件，然后根据垂直的条件列出方程，得出k与t之间的关系，再利用二次函数的知识来求最值．根据垂直的条件和坐标运算列方程是解决本例的关键．解：由已知，得|a|＝＝2，|b|＝＝1.∵a·b＝×－1×＝0，∴a⊥b.∵x⊥y，∴x·y＝0，即[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0.化简，得k＝，∴＝(t2＋4t－3)＝(t＋2)2－，即t＝－2时，有最小值－.点评：本题主要训练学生综合运用所学向量知识解决问题的能力，训练学生利用转化的思想以及建立函数模型的建模能力.变式训练1.如图3，M是△ABC内一点，且满足条件＋2＋3＝0，延长CM交AB于N，令＝a，试用a表示.图3解：∵＝＋，＝＋，∴由＋2＋3＝0，得(＋)＋2(＋)＋3＝0.∴＋3＋2＋3＝0.又∵A、N、B三点共线，C、M、N三点共线，由平行向量基本定理，设＝λ，＝μ，∴λ＋3＋2＋3μ＝0.∴(λ＋2)＋(3＋3μ)＝0.由于和不共线，∴∴⎩⎨⎧ λ＝－2，μ＝－1.∴＝－＝.∴＝＋＝2＝2a.2．将函数y ＝2x2进行平移，使得到的图形与抛物线y ＝－2x2＋4x ＋2的两个交点关于原点对称，求平移后的函数解析式．解法一：设平移向量a ＝(h ，k)，则将y ＝2x2按a 平移之后得到的图象的解析式为y ＝2(x －h)2＋k.设M(m ，n)和M′(－m ，－n)是y ＝－2x2＋4x ＋2与y ＝2(x －h)2＋k 的两个交点，则解得或⎩⎨⎧ m ＝－1，n ＝－4.∴点(1,4)和点(－1，－4)在函数y ＝2(x －h)2＋k 的图象上． ∴ ⇒⎩⎨⎧ h ＝－1，k ＝－4.故所求解析式为y ＝2(x ＋1)2－4，即y ＝2x2＋4x －2.解法二：将y ＝2x2按向量a ＝(h ，k)平移，设P(x ，y)为y ＝2x2上任一点，按a 平移之后的对应点为P′(x′，y′)，则故⎩⎨⎧ x ＝x′－h ，y ＝y′－k.∴y－k ＝2(x －h)2是平移之后的函数图象解析式．由消去y ，得4x2－4(h ＋1)x ＋2h2＋k －2＝0.又∵两交点关于原点对称，∴x1＋x2＝0，即＝0，h ＝－1.又y1＋y2＝0，∴2x－4hx1＋2h2＋k ＋2x －4hx2＋2h2＋k ＝0.∴2(x＋x)＋4(x1＋x2)＝－4－2k.∴2(x1＋x2)2＋4(x1＋x2)－4x1x2＝－4－2k.∵x1x2＝，x1＋x2＝0，∴－4×＝－4－2k.∴k＝－4.∴y＝2(x＋1)2－4，即y＝2x2＋4x－2.课本复习题1～6.1．先由学生回顾本节都复习了哪些向量知识，用了哪些方法，在原来的基础上你有哪些提高．对本章的知识网络结构了然于胸了吗？2．教师点拨，通过本节复习，要求大家在了解向量知识网络结构的基础上，进一步熟悉基本概念及运算律，并能熟练运用重要定理、公式解决一些综合问题，加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．1．课本复习题7、8、9、10.2．每人搜集一道向量应用的题目或向量创新题．1．本节复习课的设计容量较大，要求应用多媒体课件．教师在引导学生探究的过程中，始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点．让学生在了解向量知识网络结构的基础上，进一步熟悉基本概念及运算律，并能熟练重要定理、公式的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．2．本设计教案中一题多解应用较多．因为在数学知识的学习中，作为扮演教学活动的组织者、引导者和合作者角色的教师，在组织学生学习各数学知识点的同时，如果能善于引导学生沟通各知识点之间的联系，不仅能达到激发学生的发散性思维和多角度的解题思路的目的，而且更重要的是通过注重多种方法间的联系与沟通，学生能深切感受到各种解题方法之间是有联系的，是相通的，而不是孤立的、割裂的，从而体会数学的统一美和简洁美，进一步增强对数学学习的兴趣，这样的美在一题多解中是随处可见的．一、备用习题1．下列四个等式中正确的是( )A.＋＝0B.＝－OB→C．a·b－b·a＝0D．(＋)＋＋＋＝AB→2．若直线y＝2x按向量a平移得到直线y＝2x＋6，那么a( ) A．只能是(－3,0) B．只能是(0,6) C．只能是(－3,0)或(0,6) D．有无数个3．已知向量a＝(3,4)，b＝(－3,1)，a与b的夹角为θ，则tanθ等于( )A. B．－C．－3 D．34．已知三个点M(－1,0)，N(5,6)，P(3,4)在一条直线上，P分的比为λ，则λ的值为( )A. B.C．2 D．35．以A(2,7)，B(－4,2)，C(－1，－3)为顶点的三角形，其内角为钝角的是( )A．∠A B．∠BC．∠C D．不存在6．平面上有三个点C(2,2)、M(1,3)、N(7，k)，若∠MCN＝90°，那么k的值为…()A．6 B．7C．8 D．97．有下列五个命题：①若a≠0，且a·b＝0，则b＝0；②若a≠0，且a·b＝b·c，则a＝c；③若a2＝b2，则a＝b或a＝－b；④(a·b)c＝a(b·c)；⑤若|a·b|＝|a||b|，则a∥b.其中正确命题的序号是________．(请把你认为正确的命题的序号全部填上)8．已知P(1，cosx)，Q(cosx,1)，x∈[－，]．(1)若用f(x)表示向量与的夹角θ的余弦，求f(x)；(2)若t＝cosx，将f(x)表示成t的函数φ(t)，并求φ(t)的定义域．参考答案：1．D 2.D 3.C 4.C 5.B 6.B 7.⑤8．解：(1)∵＝(1，cosx)，＝(cosx,1)，与的夹角为θ，∴f(x)＝cosθ＝＝＝.(2)∵t＝cosx，∴φ(t)＝f(x)＝.∵x∈[－，]，观察余弦曲线y＝cosx在[－，]上的图象可知，t ＝cosx∈[－，1]，∴函数φ(t)的定义域为[－，1]．二、关于一题多解培养学生思维的灵活性是数学教学工作者的一个重要教学环节，它主要表现在使学生能根据事物的变化，运用已有的经验灵活地进行思维，及时地改变原定的方案，不局限于过时或不妥的假设之中．因为客观世界时时处处在发展变化，所以它要求学生用变化、发展的眼光去认识、解决问题．数学教学中，一题多解的训练，是培养学生思维灵活的一种良好手段，通过一题多解的训练能沟通知识之间的内在联系，提高学生应用所学的基础知识与基本技能解决实际问题的能力，逐步学会举一反三的本领，在本节安排的例题中，多数采用了一题多解模式．通过一题多解的教学，不仅能使学生掌握新知识，还能起到复习巩固旧知识的作用，使学生对所学的方法有了更进一步的明确，同时能活跃课堂气氛，使学生对数学学习产生浓厚的兴趣，也培养了学生的一种钻研精神，使学生在思考问题上具有灵活性、多变性，避免了学生在公式、定理的应用中钻死胡同的现象．所以教师在教学过程中，要重视一题多解的教学，特别是在备课中要根据教学内容、学生情况适当地进行教材处理和钻研，要对知识进行横向和纵向联系，这样课堂效果才能做到丰富多彩．一题多解也是灵活应用所学知识、培养发散思维的有效途径和方法．充分运用学过的知识，从不同的角度思考问题，采用多种方法解决问题，这有利于学生加深理解各部分知识间的纵、横方向的内在联系，掌握各部分知识之间的相互转化，所以教师在教学过程中要多挖掘一些行之有效的一题多解的例题和习题，使学生的思维应变能力能得到充分的锻炼和提高．使未来多出现具有高思维层次的国际型人才．第2课时导入新课思路 1.(直接导入)请同学们回忆上一节复习的内容，教师点出，上一节我们一起复习了本章向量的基本概念、运算性质及重要定理、公式，这一节我们将通过例题分析，继续探讨向量的有关应用，重点是复习向量的一些独特方法和应用．思路 2.(投影导入)投影展示上节布置的、同学们搜集到的一道向量应用题或创新题，教师选出最有代表性的、最典型的题目引导学生进行探讨，由此展开新课．推进新课向量的坐标运算及其综合应用．通过幻灯出示题目让学生思考讨论：设向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．解：由题意得e1·e2＝|e1||e2|cos60°＝1，∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te＝2t2＋15t＋7.∵向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，∴2t2＋15t＋7<0，即－7<t<－.活动：引导学生回忆向量的数量积概念，点拨学生结合钝角考虑：向量的数量积是一个数．当两个向量的夹角是锐角时，它们的数量积大于0；当两个向量的夹角是钝角时，它们的数量积小于0；当两个向量的夹角是90°时，它们的数量积等于0.零向量与任何向量的数量积等于0.向量的数量积，可以计算向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角、判断相应的两条直线是否垂直．教师引导学生探究讨论：对于两个非零向量a、b，若a与b的夹角θ为钝角，则a·b<0，反之，却不一定成立．因为当a·b＝|a||b|cosθ<0时，a与b的夹角也可能为π，因此，a与b的夹角为钝角a·b<0且a≠λb(λ<0)，所以，正确的解答应在上述t的范围中去掉夹角为π的情形，即设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ<0)，所以其中λ<0，解得t＝－.故所求实数t的取值范围为(－7，－)∪(－，－)．⇔比较是最好的老师，反例更能澄清概念的本质，使我们深刻理解概念的内涵和外延，教师应引导学生多做这方面的探讨．如由a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，尽管由ab＝0 a＝0或b＝0.又如|a·b|≤|a||b|，尽管|ab|＝|a||b|.再如(a·b)c≠a(b·c)，尽管(ab)c＝a(bc)．因此，学习向量的数量积应与代数中实数间的乘积严加区分，切勿混淆．⇒1已知向量a是以点A(3，－1)为起点，且与向量b＝(－3,4)垂直的单位向量，求a的终点坐标．活动：关于向量的坐标与表示此有向线段的点的坐标，概念虽小学生却极易混淆．教师引导学生回忆思考：一个向量的坐标与表示此向量的有向线段的点的坐标是什么关系？对此题来说，若要利用两向量垂直的条件，则需设a的终点坐标，然后表示a的坐标，再根据两向量垂直的条件建立方程．解：设a的终点坐标为(m，n)，则a＝(m－3，n＋1)，由题意，⎩⎨⎧ －－＋＋＝0，－＋＋＝1， ①②由①得n ＝(3m －13)，代入②得25m2－150m ＋209＝0.解得或∴a 的终点坐标是(，－)或(，－)．点评：通过训练要使学生明了，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标，所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别，二者不能混淆．向量的概念较多，且容易混淆，在复习中教师要引导学生理清主线，分清、理解各概念的本质属性.变式训练1．已知点A(－3，－4)、B(5，－12)，(1)若＝＋，＝－，求及的坐标；(2)求·.解：(1)＝(2，－16)，＝(－8,8)．(2)·＝33.2.如图4所示，＝(6,1)，＝(x ，y)，＝(－2，－3)．图4(1)若∥，求x 与y 间的关系式；(2)若又有⊥，求x 、y 的值及四边形ABCD 的面积.解：(1)∵＝＋＋＝(x ＋4，y －2)，＝－＝(－x －4，2－y)， 又∥且＝(x ，y)，∴x(2－y)－y(－x －4)＝0，即x ＋2y ＝0.①(2)由于＝＋＝(x ＋6，y ＋1)，BD →＝＋＝(x －2，y －3)，又⊥，∴·＝0，即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0.②联立①②化简，得y2－2y －3＝0，∴y＝3或y ＝－1.故当y＝3时，x＝－6，此时＝(0,4)，＝(－8,0)，∴S四边形ABCD＝||||＝16；当y＝－1时，x＝2，此时＝(8,0)，＝(0，－4)，∴S四边形ABCD＝||||＝16.点评：引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化，平面向量的坐标成了数与形结合的载体.例2设向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且a、b满足|ka＋b|＝|a－kb|(k为正实数)．(1)求证：(a＋b)⊥(a－b)；(2)把a与b的数量积表示为关于k的函数f(k)，求f(k)；(3)求函数f(k)的最小值及取得最小值时a与b的夹角．活动：本题是一道向量应用的经典例题，难度不大但综合性较强，体现平面向量与函数、三角函数的交汇，是近几年高考的热点问题．解决这类问题必须熟知平面向量的概念、运算性质、定理、公式等基础知识．教师可以充分让学生自己去探究解决．对有困难的学生教师引导其回忆相关的知识，并适时地点拨学生注意条件地转化及解答的规范．(1)证明：|a|＝＝1，|b|＝＝1，∵(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．(2)解：由|ka＋b|＝|a－kb|，得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，化简，得a·b＝，故f(k)＝(k>0)．(3)解：由y＝(y>0)，得k2－4yk＋1＝0.∵k>0，方程有解，∴Δ＝16y2－4≥0，解得y≥，即k＝1时，f(k)取最小值为.这时，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝，又0≤θ≤π，∴a 与b的夹角为.点评：解决本题，我们首先要根据题意画出图形，借助对图形的观察，实现实际问题向数学问题的转化．转化与化归思想是解决数学问题的一种重要的策略和方法．以向量为工具，通过转化，可以为函数中的许多问题提供新颖、简捷的解法，请同学们注意体会．例3有两根柱子相距20 m，分别位于电车的两侧，在两柱之间连结一条水平的绳子，电车的送电线就悬挂在绳子的中点，如果送电线在这点垂直向下的作用力是17.8 N，则这条成水平的绳子的中点下降0.2 m，求此时绳子所受的张力．活动：教师应引导学生回忆向量的应用举例的处理方法：向量起源于物理，是从物理学中抽象出来的数学概念．物理学中的许多问题，如位移、速度、加速度等都可以利用向量来解决．用数学知识解决物理问题，首先要把物理问题转化为数学问题，即根据题目的条件建立数学模型，再转化为数学中的向量运算来完成．本题仍可由学生自己去探究，点拨学生先画出受力分析图，认真分析题意，创建数学模型，对感到困难的学生教师给予指导，帮助其复习相关的知识，逐步提高分析问题及解决问题的能力．解：如图5所示，设重力作用点为C，绳子AC、BC所承受的力分别记、，重力记为.图5由C为绳子的中点知||＝||.由＋＝，知四边形CFGE为菱形．又∵cos∠FCG＝cos∠DCB＝≈0.02，∴||＝||＝≈＝445，即绳子所受的张力为445 N.点评：本题是向量知识在物理中的应用，培养了学生动手操作绘图能力、分析问题及解决问题的能力．对学生来说这是一个难点，突破这个难点的关键是教师引导学生把物理问题转化为数学问题．课本复习题11、12、13.1．先由学生回顾本节都复习了哪些主要内容，用到了哪些数学思想方法．向量在函数、三角函数中的重要作用，两向量的数量积的应用，向量平行与垂直条件在解题中的重要作用，向量的几何运算在解决平面几何问题和物理问题中的重要作用．2．教师点睛，要注意解题方法的灵活性，尤其是向量的坐标化思路在解题时的应用，将几何与代数知识沟通起来，同时注意向量与其他学科的联系．如图6，已知AC 、BD 是梯形ABCD 的对角线，E 、F 分别为BD 、AC 的中点，求证：EF∥BC.图6证明：设＝a ，＝b ，∵AD∥BC，∴＝λ＝λb ，则＝－＝b －a.∵E 为BD 中点，＝＝(b －a)，F 为AC 中点，BF →＝＋＝＋12CA → ＝＋(－)＝(＋)＝(－)。

2.1 平面向量的实际背景及基本概念1．向量与数量(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量． (2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量． 2．向量的几何表示(1)带有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度．(2)向量可以用有向线段表示．向量AB →的大小，也就是向量 AB →的长度(或称模)，记作|AB →|．向量也可以用字母a ，b ，c ，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如：AB →，CD →.思考：(1)向量可以比较大小吗？ (2)有向线段就是向量吗？[提示] (1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． (2)有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量． 3．向量的有关概念1．正n 边形有n 条边，它们对应的向量依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，则这n 个向量( )A ．都相等B ．都共线C ．都不共线D ．模都相等D [因为多边形为正多边形，所以边长相等，所以各边对应向量的模都相等．] 2．有下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．其中可以看成是向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B [①②③不是向量，④⑤是向量．]3．已知|AB →|＝1，|AC →|＝2，若∠ABC ＝90°，则|BC →|＝ ． 3 [三角形ABC 是以B 为直角的直角三角形，所以|BC →|＝22－12＝ 3.] 4．如图，四边形ABCD 是平行四边形，则图中相等的向量是 (填序号)．(1)AD →与BC →；(2)OB →与OD →； (3)AC →与BD →；(4)AO →与OC →.(1)(4) [由平行四边形的性质和相等向量的定义可知： AD →＝BC →，OB →≠OD →， AC →≠BD →，AO →＝OC →.]【例1】 判断下列命题是否正确，请说明理由： (1)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；(2)若向量|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意向量|a |＝|b |，若a 与b 的方向相同，则a ＝b ； (4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行； (5)向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 方向相同或相反．思路点拨：解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向两个要素． [解] (1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．(2)不正确．由|a |＝|b |只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系． (3)正确．因为|a |＝|b |，且a 与b 同向，由两向量相等的条件，可得a ＝b . (4)不正确．依据规定：0与任意向量平行．(5)不正确．因为向量a 与向量b 若有一个是零向量，则其方向不定．1．理解零向量和单位向量应注意的问题(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等． (2)单位向量不一定相等，易忽略向量的方向． 2．共线向量与平行向量(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别； (2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同； (3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．提醒：解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度．1．给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .②若单位向量的起点相同，则终点相同．③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ④向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是 ． ③ [①错误．若b ＝0，则①不成立；②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同；③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →，CD →必须在同一直线上．]写出 个向量．(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：①OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°； ②AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东； ③BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°.(1)12 [可以写出12个向量，分别是：AB →，AC →，AD →，BC →，BD →，CD →，BA →，CA →，DA →，CB →，DB →，DC →.](2)[解] ①由于点A 在点O 北偏东45°处，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA →|＝42，小方格边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 位置可以确定，画出向量OA →如图所示．②由于点B 在点A 正东方向处，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 位置可以确定，画出向量AB →如图所示．③由于点C 在点B 北偏东30°处，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 位置可以确定，画出向量BC →如图所示．1．向量的两种表示方法(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a ，b ，c 表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如AB →，CD →，EF →等．2．两种向量表示方法的作用(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础．(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算．2．某人从A 点出发向东走了5米到达B 点，然后改变方向按东北方向走了102米到达C 点，到达C 点后又改变方向向西走了10米到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求AD →的模．[解] (1)作出向量AB →，BC →，CD →，如图所示：(2)由题意得，△BCD 是直角三角形，其中∠BDC ＝90°，BC ＝102米，CD ＝10米，所以BD ＝10米．△ABD 是直角三角形，其中∠ABD ＝90°，AB ＝5米，BD ＝10米，所以AD ＝52＋102＝55(米)，所以|AD →|＝55米.1．两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？提示：不一定．因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关．2．若AB →∥CD →，则从直线AB 与直线CD 的关系和AB →与CD →的方向关系两个方面考虑有哪些情况？提示：分四种情况(1)直线AB 和直线CD 重合，AB →与CD →同向； (2)直线AB 和直线CD 重合，AB →与CD →反向；(3)直线AB ∥直线CD ，AB →与CD →同向； (4)直线AB ∥直线CD ，AB →与CD →反向．【例3】 如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .(1)与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与a 共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量．思路点拨：根据相等向量与共线向量的概念寻找所求向量． [解] (1)与a 的长度相等、方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →. (2)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.(3)与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，FA →；与c 相等的向量有FO →，ED →，AB →.1．本例条件不变，写出与向量BC →相等的向量．[解] 相等向量是指长度相等、方向相同的向量，所以图中与BC →相等的向量有AO →，OD →，FE →. 2．本例条件不变，写出与向量BC →长度相等的共线向量．[解] 与BC →长度相等的共线向量有：CB →，OD →，DO →，AO →，OA →，FE →，EF →. 3．在本例中，若|a |＝1，则正六边形的边长如何？[解] 由正六边形中，每边与中心连接成的三角形均为正三角形，∴△FOA 为等边三角形，所以边长AF ＝|a |＝1.相等向量与共线向量的探求方法(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量．1．向量是近代数学重要的和基本的数学概念之一，有深刻的几何和物理背景，它是沟通代数、几何、三角函数的一种工具，注意向量与数量的区别与联系．2．从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的．向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段．3．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．4．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.1．在下列判断中，正确的是( )①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线．A．①②③B．②③④C．①②⑤D．①③⑤D[由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确．显然③⑤正确，④不正确，故选D.]2．汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是( )A．汽车的速度大于摩托车的速度B．汽车的位移大于摩托车的位移C．汽车走的路程大于摩托车走的路程D．以上都不对C[速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比较大小，路程可以比较大小．] 3．在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．正确的命题是．④⑥[由向量的相关概念可知④⑥正确．]4．如图所示菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O 点，∠DAB ＝60°，分别以A ，B ，C ，D ，O 中的不同两点为始点与终点的向量中，(1)写出与DA →平行的向量； (2)写出与DA →模相等的向量．[解] 由题图可知，(1)与DA →平行的向量有：AD →，BC →，CB →；(2)与DA →模相等的向量有： AD →，BC →，CB →，AB →，BA →，DC →，CD →，BD →，DB →.2.2.1 向量加法运算及其几何意义1．向量加法的定义定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 对于零向量与任一向量a ，规定0＋a ＝a ＋0＝a ． 2．向量求和的法则思考：两个向量相加就是两个向量的模相加吗？[提示] 不是，向量的相加满足三角形法则，而模相加是数量的加法．3．向量加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ．(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．1．下列各式不一定成立的是( ) A ．a ＋b ＝b ＋a B ．0＋a ＝aC ．AC →＋CB →＝AB →D ．|a ＋b |＝|a |＋|b | D [A ，B ，C 项满足运算律，而D 项向量和的模不一定与向量模的和相等，满足三角形法则．]2.CB →＋AD →＋BA →等于( ) A ．DB →B ．CA →C ．CD →D ．DC →C [CB →＋AD →＋BA →＝CB →＋BA →＋AD →＝CD →.]3．如图，在平行四边形ABCD 中，DA →＋DC →＝ ．DB →[由平行四边形法则可知DA →＋DC →＝DB →.]4．小船以10 3 km/h 的速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h ，则小船实际航行速度的大小为 km/h.20 [根据平行四边形法则，因为水流方向与船速方向垂直，所以小船实际速度大小为（103）2＋102＝20(km/h)．]1．求作两个向量和的法则有哪些？这些法则的物理模型是什么？ 提示：(1)平行四边形法则，对应的物理模型是力的合成等． (2)三角形法则，对应的物理模型是位移的合成等．2．设A 1，A 2，A 3，…，A n (n ∈N ，且n ≥3)是平面内的点，则一般情况下，A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n →的运算结果是什么？提示：将三角形法则进行推广可知A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n →＝A 1A n →.【例1】 (1)如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，F 为线段DE 延长线上一点，DE ∥BC ，AB ∥CF ，连接CD ，那么(在横线上只填上一个向量)：①AB →＋DF →＝ ； ②AD →＋FC →＝ ； ③AD →＋BC →＋FC →＝ ．(2)①如图甲所示，求作向量和a ＋b ； ②如图乙所示，求作向量和a ＋b ＋c .甲 乙思路点拨：(1)先由平行四边形的性质得到有关的相等向量，并进行代换，然后用三角形法则化简．(2)用三角形法则或平行四边形法则画图．(1)①AC → ②AB → ③AC →[如题图，由已知得四边形DFCB 为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：①AB →＋DF →＝AB →＋BC →＝AC →. ②AD →＋FC →＝AD →＋DB →＝AB →.③AD →＋BC →＋FC →＝AD →＋DF →＋FC →＝AC →.](2)[解] ①首先作向量OA →＝a ，然后作向量AB →＝b ，则向量OB →＝a ＋b .如图所示．②法一(三角形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，再作向量AB →＝b ，则得向量OB →＝a ＋b ，然后作向量BC →＝c ，则向量OC →＝(a ＋b )＋c ＝a ＋b ＋c 即为所求．法二(平行四边形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，以OA ，OB 为邻边作▱OADB ，连接OD ，则OD →＝OA →＋OB →＝a ＋b .再以OD ，OC 为邻边作▱ODEC ，连接OE ，则OE →＝OD →＋OC →＝a ＋b ＋c 即为所求．1．在本例(1)条件下，求CB →＋CF →.[解] 因为BC ∥DF ，BD ∥CF ，所以四边形BCFD 是平行四边形， 所以CB →＋CF →＝CD →.2．在本例(1)图形中求作向量DA →＋DF →＋CF →. [解] 过A 作AG ∥DF 交CF 的延长线于点G ， 则DA →＋DF →＝DG →，作GH →＝CF →，连接DH →， 则DH →＝DA →＋DF →＋CF →，如图所示．1．向量求和的注意点(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用． (2)两个向量的和向量仍是一个向量．(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用．2．利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量．提醒：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．①BC →＋AB →； ②DB →＋CD →＋BC →； ③AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →.(2)如图，E ，F ，G ，H 分别是梯形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，化简下列各式：①DG →＋EA →＋CB →； ②EG →＋CG →＋DA →＋EB →.思路点拨：根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加．[解] (1)①BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →； ②DB →＋CD →＋BC →＝BC →＋CD →＋DB →＝0；③AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋FA →＝0.(2)①DG →＋EA →＋CB →＝GC →＋BE →＋CB →＝GC →＋CB →＋BE →＝GB →＋BE →＝GE →； ②EG →＋CG →＋DA →＋EB →＝EG →＋GD →＋DA →＋AE →＝ED →＋DA →＋AE →＝EA →＋AE →＝0.向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．(2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．1．向量(AB →＋PB →)＋(BO →＋BM →)＋OP →化简后等于( ) A ．BC →B ．AB →C ．AC →D ．AM →D [原式＝(AB →＋BM →)＋(PB →＋BO →＋OP →)＝AM →＋0＝AM →.]＝120°，求A 和B 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．思路点拨：作出对应的几何图形，构造有关向量→利用三角形法则或平行四边形法则运算→回答实际问题[解] 如图所示，设CE →，CF →分别表示A ，B 所受的力，10 N 的重力用CG →表示，则CE →＋CF →＝CG →.易得∠ECG ＝180°－150°＝30°， ∠FCG ＝180°－120°＝60°.∴|CE →|＝|CG →|·cos 30°＝10×32＝53，|CF →|＝|CG →|·cos 60°＝10×12＝5.∴A 处所受的力的大小为5 3 N ，B 处所受的力的大小为5 N.利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤2．在某地抗震救灾中，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．[解] 设AB →，BC →分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km ，从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km ，则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|；两次飞行的位移的和是AB →＋BC →＝AC →.依题意，有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1 600(km)， 又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°，所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝8002＋8002＝8002(km)． 其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1 600 km ，两次飞行的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°.1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时，常选用三角形法则；当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．3．使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.1．下列判断正确的是( )A ．任意两个向量的和仍然是一个向量．B ．两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．C ．任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．D ．|a |＋|b |＞|a ＋b |A [任意两个向量的和仍是一个向量，根据向量加法的几何意义知B ，C ，D 均错误．] 2．对于任意一个四边形ABCD ，下列式子不能化简为BC →的是( ) A ．BA →＋AD →＋DC → B ．BD →＋DA →＋AC → C ．AB →＋BD →＋DC →D ．DC →＋BA →＋AD →C [在A 中，BA →＋AD →＋DC →＝BD →＋DC →＝BC →；在B 中，BD →＋DA →＋AC →＝BA →＋AC →＝BC →；在C 中，AB →＋BD →＋DC →＝AD →＋DC →＝AC →；在D 中，DC →＋BA →＋AD →＝DC →＋BD →＝BD →＋DC →＝BC →.]3．若a 表示“向东走8 km”，b 表示“向北走8 km”，则|a ＋b |＝ ，a ＋b 的方向是 ．8 2 km 东北方向 [如图所示，作OA →＝a ，AB →＝b ，则a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB →. 所以|a ＋b |＝|OB →| ＝82＋82＝82(km)， 因为∠AOB ＝45°，所以a ＋b 的方向是东北方向．]4．如图所示，设O 为正六边形ABCDEF 的中心，求下列向量：(1)OA →＋OC →； (2)BC →＋FE →.[解] (1)由题图可知，四边形OABC 为平行四边形．由向量加法的平行四边形法则，得OA →＋OC →＝OB →.(2)由题图可知，BC →＝FE →＝OD →＝AO →， ∴BC →＋FE →＝AO →＋OD →＝AD →.2.2.2 向量减法运算及其几何意义1．相反向量(1)定义：如果两个向量长度相等，而方向相反，那么称这两个向量是相反向量． (2)性质：①对于相反向量有：a ＋(－a )＝0． ②若a ，b 互为相反向量，则a ＝－b ，a ＋b ＝0． ③零向量的相反向量仍是零向量． 2．向量的减法(1)定义：a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． (2)作法：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝BA →，如图所示．3．|a |、|a ±b |与|b |三者之间的关系 ||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |； ||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |. 思考：在什么条件下，|a －b |＝|a |＋|b |?[提示] 当a ，b 至少有一者为0或a ，b 非零且反向时成立．1．非零向量m 与n 是相反向量，下列不正确的是( ) A ．m ＝n B ．m ＝－n C ．|m |＝|n |D ．方向相反A [由条件可知，当m ≠0且n ≠0时B ，C ，D 项都成立，故选A.] 2．在菱形ABCD 中，下列等式中不成立的是( ) A ．AC →－AB →＝BC → B ．AD →－BD →＝AB → C ．BD →－AC →＝BC → D ．BD →－CD →＝BC →C [如图，根据向量减法的三角形法则知A 、B 、D 均正确，C 中，BD →－AC →＝AD →－AB →－(AB →＋AD →)＝－2AB →≠BC →，故选C.]3．化简OP →－QP →＋PS →＋SP →的结果等于( ) A ．QP →B ．OQ →C ．SP →D ．SQ →B [原式＝(OP →＋PQ →)＋(PS →＋SP →)＝OQ →＋0＝OQ →.]4．如图，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示向量AC →，BD →，则AC →＝ ，BD →＝ ．a ＋b b －a [由向量加法的平行四边形法则，及向量减法的运算法则可知AC →＝a ＋b ，BD→＝b －a .]【例1】 (1)如图所示，四边形ABCD 中，若AB ＝a ，AD ＝b ，BC ＝c ，则DC ＝( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c(2)如图所示，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .思路点拨：(1)利用向量减法和加法的几何意义，将DC →向AB →，BC →，AD →转化； (2)利用几何意义法与定义法求出a ＋b －c 的值． (1)A [DC →＝AC →－AD →＝(AB →＋BC →)－AD →＝a ＋c －b .](2)[解] 法一：(几何意义法)如图①所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，则CB →＝a ＋b －c .法二：(定义法)如图②所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作BC →＝－c ，连接OC ，则OC →＝a ＋b －c .图① 图②求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a －b ，可以先作－b ，然后作a ＋(－b )即可． (2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．1．如图，已知向量a ，b ，c ，求作向量a －b －c .[解] 法一：先作a －b ，再作a －b －c 即可．如图①所示，以A 为起点分别作向量AB →和AC →，使AB →＝a ，AC →＝b .连接CB ，得向量CB →＝a －b ，再以C 为起点作向量CD →，使CD →＝c ，连接DB ，得向量DB →.则向量DB →即为所求作的向量a －b －c .图① 图②法二：先作－b ，－c ，再作a ＋(－b )＋(－c )，如图②. (1)作AB →＝－b 和BC →＝－c ；(2)作OA →＝a ，则OC →＝a －b －c .①用a ，b 表示DB →； ②用b ，c 表示EC →.(2)化简下列各向量的表达式： ①AB →＋BC →－AD →； ②(AB →－CD →)－(AC →－BD →)； ③(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)．思路点拨：按照向量加法和减法的运算法则进行化简，进行减法运算时，必须保证两个向量的起点相同．[解] (1)∵BC →＝a ，CD →＝b ，DE →＝c . ①DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－a －b . ②EC →＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－b －c . (2)①AB →＋BC →－AD →＝AC →－AD →＝DC →.②(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝(AB →＋BD →)－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0. ③(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →) ＝(AC →＋BA →)－(OC →－OB →)＝BC →－BC →＝0. [一题多解](2)②法一：(加法法则) 原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →＋BD →)－(AC →＋CD →) ＝AD →－AD →＝0；法二：减法法则(利用相反向量) 原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →) ＝CB →＋BC →＝0；法三：减法法则(创造同一起点) 原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(OB →－OA →)－(OD →－OC →)－(OC →－OA →)＋(OD →－OB →) ＝OB →－OA →－OD →＋OC →－OC →＋OA →＋OD →－OB →＝0.1．向量减法运算的常用方法2．向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和． (2)起点相同且为差．解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用． 3．与图形相关的向量运算化简首先要利用向量加减的运算法则、运算律，其次要分析图形的性质，通过图形中向量的相等、平行等关系辅助化简运算．2．化简下列向量表达式： (1)OM →－O N →＋MP →－N A →； (2)(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)．[解] (1)OM →－O N →＋MP →－N A →＝N M →＋MP →－N A →＝N P →－N A →＝AP →.(2)(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)＝AD →＋MB →＋BC →＋CM →＝AD →＋(MB →＋BC →＋CM →)＝AD →＋0＝AD →.1．以向量加法的平行四边形法则为基础，能否构造一个图形将a ＋b 和a －b 放在这个图形中？提示：如图所示平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则a ＋b ＝AC →，a －b ＝DB →.2．已知向量a ，b ，那么|a |－|b |与|a ±b |及|a |＋|b |三者具有什么样的大小关系？ 提示：它们之间的关系为||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. (1)当a ，b 有一个为零向量时，不等式显然成立．(2)当a ，b 不共线时，作OA →＝a ，AB →＝b ，则a ＋b ＝OB →，如图①所示，根据三角形的性质，有||a |－|b ||<|a ＋b |<|a |＋|b |.同理可证||a |－|b ||<|a －b |<|a |＋|b |.(3)当a ，b 非零且共线时，①当向量a 与b 同向时，作法同上，如图②所示，此时|a ＋b |＝|a |＋|b |.②当向量a ，b 反向时，不妨设|a |>|b |，作法同上，如图③所示，此时|a ＋b |＝|a |－|b |.综上所述，得不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.【例3】 (1)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，若|AD →－AB →|＝|BC →－BA →|，则四边形ABCD 是( ) A ．菱形 B ．矩形 C ．正方形D ．不确定(2)已知|AB →|＝6，|AD →|＝9，求|AB →－AD →|的取值范围．思路点拨：(1)先由AB →＝DC →判断四边形ABCD 是平行四边形，再由向量减法的几何意义将|AD →－AB →|＝|BC →－BA →|变形，进一步判断此四边形的形状．(2)由||AB →|－|AD →||≤|AB →－AD →|≤|AB →|＋|AD →|求范围． (1)B [∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形，又∵|AD →－AB →|＝|BC →－BA →|，∴|BD →|＝|AC →|. ∴四边形ABCD 为矩形．](2)[解] ∵||AB →|－|AD →||≤|AB →－AD →|≤|AB →|＋|AD →|， 且|AD →|＝9，|AB →|＝6，∴3≤|AB →－AD →|≤15. 当AD →与AB →同向时，|AB →－AD →|＝3； 当AD →与AB →反向时，|AB →－AD →|＝15. ∴|AB →－AD →|的取值范围为[3，15]．1．用向量法解决平面几何问题的步骤 (1)将平面几何问题中的量抽象成向量．(2)化归为向量问题，进行向量运算． (3)将向量问题还原为平面几何问题．2．用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键(1)利用向量证明线段平行且相等，从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可．(2)根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题的关键．1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB →＝BA →就可以把减法转化为加法．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a －b ＝a ＋(－b )．2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．3．以平行四边形ABCD 的两邻边AB ，AD 分别表示向量AB →＝a ，AD →＝b ，则两条对角线表示的向量为AC →＝a ＋b ，BD →＝b －a ，DB →＝a －b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握.1．下列等式：①0－a ＝－a ；②－(－a )＝a ；③a ＋(－a )＝0；④a ＋0＝a ；⑤a －b ＝a ＋(－b )；⑥a ＋(－a )＝0.正确的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6C [由向量减法、相反向量的定义可知①②③④⑤都正确，⑥错误．] 2．化简BA →－CA →＋DB →－DC →＝ ． 0 [BA →－CA →＋DB →－DC →＝(BA →＋AC →)＋(DB →－DC →) ＝BC →＋CB → ＝0.]3．若a ，b 为相反向量，且|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝ ，|a －b |＝ ． 0 2 [因为a ，b 为相反向量，∴a ＋b ＝0， 即|a ＋b |＝0，又a ＝－b ，∴|a －b|＝|2a |＝2.]4．若a ≠0，b ≠0且|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 所在直线的夹角． [解] 如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，则a －b ＝BA →，因为|a |＝|b |＝|a －b |， 所以|OA →|＝|OB →|＝|BA →|， 所以△OAB 是等边三角形， 所以∠BOA ＝60°.因为OC →＝a ＋b ，且在菱形OACB 中， 对角线OC 平分∠BOA .所以a 与a ＋b 所在直线的夹角为30°.2.2.3 向量数乘运算及其几何意义1．向量的数乘运算(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．(2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ(μ a)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μ a；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)；λ(a－b)＝λa－λb．2．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa．思考：定理中把“a≠0”去掉可以吗？[提示]定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa.3．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ＋λμ2b ．1．若|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 方向相同，则下列关系式正确的是( ) A ．b ＝2a B ．b ＝－2a C ．a ＝2bD ．a ＝－2bA [因a ，b 方向相同，故b ＝2a .]2．点C 是线段AB 靠近点B 的三等分点，下列正确的是( ) A ．AB →＝3BC →B ．AC →＝2BC → C ．AC →＝12BC →D ．AC →＝2CB → D [由题意可知：AB →＝－3BC →；AC →＝－2BC →＝2CB →.故只有D 正确．] 3．化简：2(3a ＋4b )－8a ＝ ． －2a ＋8b [原式＝6a ＋8b －8a ＝－2a ＋8b .]4．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝ .2 [由向量加法的平行四边形法则知AB →＋AD →＝AC →. 又∵O 是AC 的中点，∴AC ＝2AO ， ∴AC →＝2AO →，∴AB →＋AD →＝2AO →， ∴λ＝2.]＝ ．(2)化简下列各式：①3(6a ＋b )－9⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋13b ； ②12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（3a ＋2b ）－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋38b ； ③2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a .(1)4b －3a [由已知得3x ＋3a ＋2x －4a －4x ＋4a －4b ＝0，所以x ＋3a －4b ＝0，所以x＝4b －3a .](2)[解] ①原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a . ②原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0.③原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c .向量数乘运算的方法(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．1．(1)化简23⎣⎢⎡⎦⎥⎤（4a －3b ）＋13b －14（6a －7b ）；(2)已知向量为a ，b ，未知向量为x ，y ，向量a ，b ，x ，y 满足关系式3x －2y ＝a ，－4x ＋3y ＝b ，求向量x ，y .[解] (1)原式＝23⎝⎛⎭⎪⎫4a －3b ＋13b －32a ＋74b＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫4－32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋13＋74b ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫52a －1112b ＝53a －1118b . (2)⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝a ①，－4x ＋3y ＝b ②，由①×3＋②×2得，x ＝3a ＋2b ，代入①得3×(3a ＋2b )－2y ＝a ，所以y ＝4a ＋3b .所以x ＝3a ＋2b ，y ＝4a ＋3b .1．如何证明向量a 与b 共线？提示：要证明向量a 与b 共线，只需证明存在实数λ，使得b ＝λa (a ≠0)即可，一般地，把a 和b 用相同的两个向量m ，n 表示出来，观察a 与b 具有倍数关系即可．。

姓名，年级：时间：第六章平面向量及其应用6。

1 平面向量的概念教学设计一、教学目标1.通过对生活中力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景；2.理解向量的意义及几何表示；3.掌握相等向量与共线向量的意义.二、教学重难点1.教学重点掌握向量、相等向量、共线向量的概念及向量的几何表示。

2.教学难点对共线向量的理解及掌握.三、教学过程（一）新课导入师：我们在学习物理时，学过力、位移、速度，它们有什么共同属性呢？生：既有大小,又有方向.师：下面我们来学习这些量。

（二）探索新知1.问:我们对这些既有大小，又有方向的量给出一个定义，叫做向量，并且把只有大小，没有方向的量叫做数量.同学们来举出你知道的向量与数量的例子。

（学生举手回答）如，向量：作用力、反作用力、加速度等;数量：身高、体重、面积、质量等.2.问：数量可以用数轴上的点来表示吗？答：可以，因为数量可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应，所以数量可用数轴上的点表示,而且不同的点表示不同的数量。

问:如何表示向量呢？在表示位移的时候，若小船以A为起点,B为终点，我们可以用连接A，B两点的线段长度代表小船行进的距离，在终点B处加上箭头表示小船行驶的方向。

于是，这条“带有方向的线段"就可以用来表示位移.同样，我们可以用带箭头的线段来表示向量，线段的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向。

在线段AB中,假设A为起点,B为终点,我们就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段。

通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作,线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作。

问:总结有向线段的几个要素。

有向线段的三要素：起点、方向、长度.向量可以用有向线段来表示，我们把这个向量记作向量.有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作。

长度为0的向量叫做零向量,记作.长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.向量也可用字母a b c，，，…表示.例1（课本P3）3.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

第二章 平面向量全章小结（一）学习目标1.进一步理解向量的有关概念;2.掌握向量的线性运算,掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义.3.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示以及相关应用.4.掌握平面向量的数量积,并会应用其判断两个平面向量的垂直关系。

5.能够用向量解决一些具体问题,如平面几何中的一些问题和物理中的一些问题. （二）重点难点1.重点是让学生理解向量的相关概念和向量的运算2. 难点是如何向量方法解决一些问题. （三）教学过程 教学环节 教学内容师生互动 设计意图 全章知识结构介绍让学生根据表根中的各项要,回忆相关的概念让学生从整体上对本章内容有一个宏观的了解复习例1.填空(向量的线性运算) 1.已知平行四边形ABCD,则_______,=+AD AB ._______=-AD AB2. ._______=-++BA CB AC AB3. 已知)(21OB OA OM +=,则点M 是A,B 的_______;若点A()7,1(),,5,2--B , 则 M 的坐 标为_________. 4.已知OB OA OM 31)311(+-=,则._____AB AM =5.已知)2,3(),1,2(--B A , AB AM 32=, 则点M 的坐标为_______.让学生自己先解决问题,让后同学进行回答,教师进行指导 说明:给出这组题的目的是,在复习向量的加减法,坐标运算和其相关的几何表示都要掌握,并且要会结合在一起使用.例2.(向量的数量积)说明:让学生首要注意一些数据表明平面向量、实际背景向量及其基本概念 线性运算 向量的数量积基本定理坐标表示向量的应用(1)已知)1,3(),3,1(-==b a ,求.,|,||,|,,>+<-+><a b a b a b a b a(2)已知在ABC ∆中,有A C O O OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅,问:点O 在ABC ∆的什么位置.的一些几何信息以及向量的代数式也可以告诉我们一些相关的几何信息,从而突出代数和几何关系.例3.(向量基本定理) (1)给定一个基底},{j i 且,312,3,4j i c j b j i a -==+=如果b y a xc +=,求y x ,.(2)已知E,F 分别是∆ABC 边AB,AC 上的点,其EF//BC,AE=AB 31,如果a =AE ,b =AF ,用b a ,表示 .,,,CF EC BF BC会让学生在给出基底的情况下表示其它向量.例4.(向量的应用) (1)已知ABC ∆中,引中线AD,BE,CF,求证: 0=++CF BE AD ;(2)若O 为ABC ∆的重心,求证:0=++OC OB OA .(根据此问让学生思考重心坐标公式) (3)用向量方法证明:平行四边形两条对 角线长度的平方和等于平行四边形四边 长度的平方和. (4)已知向量OCOB OA ,,满足,0=++OC OB OA 1||||||===OC OB OA ,求证:ABC ∆是等边三角形. (5)已知R t c b a ∈==-=),1,3(),1,2(),2,3(.求||b t a -的最小值和相应t 的值;教师要对学生进行适当的提示.这部分问题的对学生的要求较高,让学生会应用向量方法解决相关问题,而这包括用向量和坐标方法.若b ta 与c共线,求t的值.归纳小结本节主要复习向量的概念和相关的运算, 如何用向量来解决问题布置作业课本126页习题. 学生自主完成（四）教学资源建议教材、教参、多媒体或实物投影仪、尺规（五）教学方法与学习指导策略建议向量是沟通代数,几何,三角函数的工具,掌握向量的解题技巧,方法显得非常重要.向量的解题方法有向量法和坐标法.而要熟练应用这些方法,学生应该对相应的基本概念比较清楚,因此教师在复习时,应该在引导学生得到结果基础之上,让同学理解相关的意义和了解其实际背景.应该把几何的直观性和向量的运算有机的结合在一起.运算和运算律是向量的灵魂,是连接数与形的纽带,教师应该突出这一点.因此,教师在讲授时,（1）关注解题方法产生的思维过程引导学生探究如何将把问题转化为向量问题，揭示解题方法产生的的思维过程，让学生体会解题思路的形成过程和数学思想方法的运用，从而提高学生综合运用知识分析和解决问题的能力.（2）强化学生的应用意识一是培养学生利用所学数学知识、用数学的思维与观点去观察和分析现实生活现象的习惯和意识，强化学生的应用意识；二是为学生提供充足的动手操作的机会，一旦形成解决问题的思路，后续的解题过程则放手让学生独立完成，让学生体验问题的解决过程，并在此过程中锻炼与提高数学能力.（3）引导学生探究解题规律指导学生做好解题后的反思，总结解题规律，从而培养学生理性的、条理的思维习惯，形成对通性通法的归纳意识.。

平面向量的运算【第一课时】向量的加法运算【学习重难点】【学习目标】【核心素养】平面向量加法的几何意义理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义数学抽象、直观想象平行四边形法则和三角形法则掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会用它们解决实际问题数学抽象、直观想象平面向量加法的运算律掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算数学抽象、数学运算【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？2．向量加法的运算律有哪两个？二、新知探究探究点1：平面向量的加法及其几何意义例1：如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c．解：法一：可先作a ＋c ，再作（a ＋c ）＋b ，即a ＋b ＋c ．如图，首先在平面内任取一点O ，作向量OA → ＝a ，接着作向量AB →＝c ，则得向量OB → ＝a ＋c ，然后作向量BC →＝b ，则向量OC →＝a ＋b ＋c 为所求．法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图，（1）在平面内任取一点O ，作OA → ＝a ，OB →＝b ；（2）作平行四边形AOBC ，则OC →＝a ＋b ；（3）再作向量OD →＝c ；（4）作平行四边形CODE ，则OE → ＝OC → ＋c ＝a ＋b ＋c ．OE →即为所求．探究点2：平面向量的加法运算例2：化简：（1）BC → ＋AB →；（2）DB → ＋CD → ＋BC →；（3）AB → ＋DF → ＋CD → ＋BC → ＋FA →．解：（1）BC → ＋AB → ＝AB → ＋BC → ＝AC →．（2）DB → ＋CD → ＋BC→ ＝BC → ＋CD → ＋DB→ ＝（BC → ＋CD → ）＋DB→ ＝BD → ＋DB →＝0．（3）AB → ＋DF → ＋CD → ＋BC → ＋FA→ ＝AB → ＋BC → ＋CD → ＋DF → ＋FA → ＝AC → ＋CD → ＋DF → ＋FA→＝AD → ＋DF → ＋FA → ＝AF → ＋FA →＝0．探究点3：向量加法的实际应用例3：某人在静水中游泳，速度为43千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？解：如图，设此人游泳的速度为OB → ，水流的速度为OA → ，以OA → ，OB →为邻边作▱OACB ，则此人的实际速度为OA → ＋OB → ＝OC →．由勾股定理知|OC →|＝8，且在Rt △ACO 中，∠COA ＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时．三、学习小结1．向量加法的定义及运算法则定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法前提已知非零向量a ，b作法在平面内任取一点A ，作AB → ＝a ，BC → ＝b ，再作向量AC→结论向量AC →叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC → ＝AC→法则三角形法则图形前提已知不共线的两个向量a ，b作法在平面内任取一点O ，以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作▱OACB 结论对角线OC →就是a 与b 的和法则平行四边形法则图形规定对于零向量与任一向量a ，我们规定a ＋0＝0＋a ＝a2．|a ＋b |，|a |，|b |之间的关系一般地，|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当a ，b 方向相同时等号成立．3．向量加法的运算律交换律a ＋b ＝b ＋a结合律（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）四、精炼反馈1．化简OP → ＋PQ → ＋PS → ＋SP →的结果等于（ ）A ．QP →B ．OQ→ C ．SP → D ．SQ→解析：选B ．OP → ＋PQ → ＋PS → ＋SP → ＝OQ → ＋0＝OQ →．2．在四边形ABCD 中，AC → ＝AB → ＋AD →，则一定有（ ）A ．四边形ABCD 是矩形B ．四边形ABCD 是菱形C ．四边形ABCD 是正方形D ．四边形ABCD 是平行四边形解析：选D ．由AC → ＝AB → ＋AD → 得AD → ＝BC →，即AD ＝BC ，且AD ∥BC ，所以四边形ABCD的一组对边平行且相等，故为平行四边形．3．已知非零向量a ，b ，|a |＝8，|b |＝5，则|a ＋b |的最大值为______．解析：|a ＋b |≤|a |＋|b |，所以|a ＋b |的最大值为13．答案：134．已知▱ABCD ，O 是两条对角线的交点，E 是CD 的一个三等分点（靠近D 点），求作：（1）AO → ＋AC →；（2）DE → ＋BA →．解：（1）延长AC ，在延长线上截取CF ＝AO ，则向量AF →为所求．（2）在AB 上取点G ，使AG ＝13AB ，则向量BG →为所求．【第二课时】向量的减法运算【学习重难点】【学习目标】【核心素养】相反向量理解相反向量的概念数学抽象向量的减法掌握向量减法的运算法则及其几何意义数学抽象、直观想象【学习过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．a 的相反向量是什么？2．向量减法的几何意义是什么？二、新知探究探究点1：向量的减法运算例1：化简下列各式：（1）（AB → ＋MB → ）＋（－OB → －MO →）；（2）AB → －AD → －DC →．解：（1）法一：原式＝AB → ＋MB → ＋BO → ＋OM → ＝（AB → ＋BO → ）＋（OM → ＋MB → ）＝AO → ＋OB →＝AB →．法二：原式＝AB → ＋MB → ＋BO → ＋OM→＝AB → ＋（MB → ＋BO → ）＋OM → ＝AB → ＋MO → ＋OM → ＝AB → ＋0＝AB →．（2）法一：原式＝DB → －DC → ＝CB →．法二：原式＝AB → －（AD → ＋DC → ）＝AB → －AC → ＝CB →．探究点2：向量的减法及其几何意义例2：如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c ．解：法一：如图①，在平面内任取一点O ，作OA → ＝a ，OB → ＝b ，OC →＝c ，连接BC ，则CB →＝b －c ．过点A 作AD 綊BC ，连接OD ，则AD →＝b －c ，所以OD → ＝OA → ＋AD →＝a ＋b －c ．法二：如图②，在平面内任取一点O ，作OA → ＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB → ＝a ＋b ，再作OC →＝c ，连接CB ，则CB →＝a ＋b －c ．法三：如图③，在平面内任取一点O ，作OA → ＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB → ＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC ，则OC →＝a ＋b －c ．探究点3：用已知向量表示其他向量例3：如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，点B 是该平行四边形外一点，且AB →＝a ，AC → ＝b ，AE → ＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD → ，BC → ，BD →．解：因为四边形ACDE 是平行四边形，所以CD → ＝AE → ＝c ，BC → ＝AC → －AB →＝b －a ，故BD → ＝BC → ＋CD →＝b －a ＋c ．三、学习小结1．相反向量（1）定义：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向差，记作－a ，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量．（2）结论①－（－a ）＝a ，a ＋（－a ）＝（－a ）＋a ＝0；②如果a 与b 互为相反向量，那么a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0．2．向量的减法（1）向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a －b ＝a ＋（－b ）．求两个向量差的运算叫做向量的减法．（2）作法：在平面内任取一点O ，作OA → ＝a ，OB → ＝b ，则向量BA →＝a －b ，如图所示．（3）几何意义：a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量．四、精炼反馈1．在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则AD → －AC →等于（ ）A ．CB → B ．BC→ C ．CD → D ．DC→解析：选C ．在△ABC 中，D 是BC 边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD→－AC → ＝CD →．2．化简：AB → －AC → ＋BD → －CD → ＋AD →＝________．解析：原式＝CB → ＋BD → ＋DC → ＋AD → ＝CD → ＋DC → ＋AD → ＝0＋AD → ＝AD →．答案：AD→3．已知Error!＝10，|AC → |＝7，则|CB →|的取值范围为______．解析：因为CB → ＝AB → －AC →，所以|CB → |＝|AB → －AC →|．又Error!≤|AB → －AC → |≤|AB → |＋|AC →|，3≤|AB → －AC →|≤17，所以3≤|CB →|≤17．答案：[3，17]4．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB → －OC → |＝|OB → －OA → ＋OC → －OA →|，试判断△ABC 的形状．解：因为OB → －OA → ＋OC → －OA → ＝AB → ＋AC → ，OB → －OC → ＝CB → ＝AB → －AC →．又|OB → －OC → |＝|OB → －OA → ＋OC → －OA → |，所以|AB → ＋AC → |＝|AB → －AC →|，所以以AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以该平行四边形为矩形，所以AB ⊥AC ，所以△ABC 是直角三角形．【第三课时】向量的数乘运算【学习重难点】【学习目标】【核心素养】向量数乘运算的定义及运算律理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律数学抽象、直观想象向量共线定理掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线逻辑推理【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？2．向量数乘运算满足哪三条运算律？3．向量共线定理是怎样表述的？4．向量的线性运算是指的哪三种运算？二、新知探究探究1：向量的线性运算例1：（1）计算：①4（a＋b）－3（a－b）－8a；②（5a－4b＋c）－2（3a－2b＋c）；③23[（4a－3b）＋13b－14（6a－7b）]．（2）设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求(13a－b)－(a－23b)＋（2b－a）．解：（1）①原式＝4a ＋4b －3a ＋3b －8a ＝－7a ＋7b ．②原式＝5a －4b ＋c －6a ＋4b －2c ＝－a －c ．③原式＝23(4a －3b ＋13b －32a ＋74b)＝23(52a －1112b)＝53a －1118b ．（2）原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a＝(13－1－1)a ＋(－1＋23＋2)b ＝－53a ＋53b ＝－53（3i ＋2j ）＋53（2i －j ）＝(－5＋103)i ＋(－103－53)j＝－53i －5j ．探究点2：向量共线定理及其应用例2：已知非零向量e 1，e 2不共线．（1）如果AB → ＝e 1＋e 2，BC → ＝2e 1＋8e 2，CD →＝3（e 1－e 2），求证：A 、B 、D 三点共线；（2）欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．解：（1）证明：因为AB → ＝e 1＋e 2，BD → ＝BC → ＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5（e 1＋e 2）＝5AB →．所以AB → ，BD →共线，且有公共点B ，所以A 、B 、D 三点共线．（2）因为k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，所以存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ（e 1＋k e 2），则（k －λ）e 1＝（λk －1）e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有{k －λ＝0，λk －1＝0，所以k ＝±1．探究点3：用已知向量表示其他向量例3：如图，ABCD 是一个梯形，AB → ∥CD → 且|AB → |＝2|CD →|，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB → ＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示下列向量．（1）AC →＝________；（2）MN →＝________．解析：因为AB → ∥CD → ，|AB → |＝2|CD →|，所以AB → ＝2DC → ，DC → ＝12AB →．（1）AC → ＝AD → ＋DC →＝e 2＋12e 1．（2）MN → ＝MD → ＋DA → ＋AN→ ＝－12DC → －AD → ＋12AB→＝－14e 1－e 2＋12e 1＝14e 1－e 2．答案：（1）e 2＋12e 1（2）14e 1－e 2互动探究变条件：在本例中，若条件改为BC → ＝e 1，AD → ＝e 2，试用e 1，e 2表示向量MN →．解：因为MN → ＝MD → ＋DA → ＋AN →，MN → ＝MC → ＋CB → ＋BN →，所以2MN → ＝（MD → ＋MC → ）＋DA → ＋CB → ＋（AN → ＋BN → ）．又因为M ，N 分别是DC ，AB 的中点，所以MD → ＋MC → ＝0，AN → ＋BN →＝0．所以2MN → ＝DA → ＋CB →，所以MN → ＝12（－AD → －BC →）＝－12e 2－12e 1．三、学习小结1．向量的数乘的定义一般地，规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（1）|λa |＝|λ||a |．（2）当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0．2．向量数乘的运算律设λ，μ为实数，那么：（1）λ（μa ）＝（λμ）a ．（2）（λ＋μ）a ＝λa ＋μa ．（3）λ（a ＋b ）＝λa ＋λb ．3．向量的线性运算及向量共线定理（1）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1a ±μ2b ）＝λμ1a ±λμ2b ．（2）向量a （a ≠0）与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa ．四、精炼反馈1．13[12（2a ＋8b ）－（4a －2b ）]等于（ ）A ．2a －b B ．2b －a C ．b －aD ．a －b解析：选B ．原式＝16（2a ＋8b ）－13（4a －2b ）＝13a ＋43b －43a ＋23b ＝－a ＋2b ．2．若点O 为平行四边形ABCD 的中心，AB → ＝2e 1，BC →＝3e 2，则32e 2－e 1＝（ ）A ．BO →B ．AO→ C ．CO → D ．DO→解析：选A ．BD → ＝AD → －AB → ＝BC → －AB → ＝3e 2－2e 1，BO → ＝12BD → ＝32e 2－e 1．3．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，若AB → ＝2e 1－8e 2，CB → ＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，求证A ，B ，D 三点共线．证明：因为CB → ＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，所以BD → ＝CD → －CB →＝e 1－4e 2．又AB → ＝2e 1－8e 2＝2（e 1－4e 2），所以AB → ＝2BD → ，所以AB → 与BD →共线．因为AB 与BD 有交点B ，所以A ，B ，D 三点共线．【第四课时】向量的数量积【学习重难点】【学习目标】【核心素养】向量的夹角理解平面向量夹角的定义，并会求已知两个非零向量的夹角直观想象、数学运算向量数量积的含义理解平面向量数量积的含义并会计算数学抽象、数学运算投影向量理解a 在b 上的投影向量的概念数学抽象向量数量积的性质和运算律掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用数学运算、逻辑推理【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．什么是向量的夹角？2．数量积的定义是什么？3．投影向量的定义是什么？4．向量数量积有哪些性质？5．向量数量积的运算有哪些运算律？二、新知探究探究点1：平面向量的数量积运算例1：（1）已知|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，求（a ＋2b ）·（a ＋3b ）．（2）如图，在▱ABCD 中，|AB → |＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°，求：①AD → ·BC → ；②AB → ·DA →．解：（1）（a ＋2b ）·（a ＋3b ）＝a·a ＋5a·b ＋6b·b ＝|a |2＋5a·b ＋6|b |2＝|a |2＋5|a ||b |cos 60°＋6|b |2＝62＋5×6×4×cos 60°＋6×42＝192．（2）①因为AD → ∥BC →，且方向相同，所以AD → 与BC →的夹角是0°，所以AD → ·BC → ＝|AD → ||BC →|·cos 0°＝3×3×1＝9．②因为AB → 与AD →的夹角为60°，所以AB → 与DA →的夹角为120°，所以AB → ·DA → ＝|AB → ||DA →|·cos 120°＝4×3×(－12)＝－6．互动探究：变问法：若本例（2）的条件不变，求AC → ·BD →．解：因为AC → ＝AB → ＋AD → ，BD → ＝AD → －AB →，所以AC → ·BD → ＝（AB → ＋AD → ）·（AD → －AB → ）＝AD → 2－AB →2＝9－16＝－7．探究点2：向量模的有关计算例2：（1）已知平面向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝（ ）A ．3B ．23C ．4D ．12（2）向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝32，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝（ ）A ．13B ．12C ．15D ．14解析：（1）|a ＋2b |＝（a ＋2b ）2＝a 2＋4a·b ＋4b 2|a |2＋4|a ||b |cos 60°＋4|b |2＝ 4＋4×2×1×12＋4＝23．（2）由题意得|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |·cos 60°＝34，即1＋|b |2－|b |＝34，解得|b |＝12．答案：（1）B （2）B 探究点3：向量的夹角与垂直命题角度一：求两向量的夹角例3：（1）已知|a |＝6，|b |＝4，（a ＋2b ）·（a －3b ）＝－72，则a 与b 的夹角为________；（2）（2019·高考全国卷Ⅰ改编）已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且（a －b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为______．解析：（1）设a 与b 的夹角为θ，（a ＋2b ）·（a －3b ）＝a ·a －3a ·b ＋2b ·a －6b ·b ＝|a |2－a ·b －6|b |2＝|a |2－|a ||b |cos θ－6|b |2＝62－6×4×cos θ－6×42＝－72，所以24cos θ＝36＋72－96＝12，所以cos θ＝12．又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3．（2）设a 与b 的夹角为θ，由（a －b ）⊥b ，得（a －b ）·b ＝0，所以a ·b ＝b 2，所以cos θ＝b 2|a ||b |．又因为|a |＝2|b |，所以cos θ＝|b |22|b |2＝12．又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3．答案：（1）π3（2）π3命题角度二：证明两向量垂直例4：已知a ，b 是非零向量，当a ＋t b （t ∈R ）的模取最小值时，求证：b ⊥（a ＋t b ）．证明：因为|a ＋t b |＝（a ＋t b ）2＝a 2＋t 2b 2＋2t a ·b ＝|b |2t 2＋2a ·b t ＋|a |2，所以当t ＝－2a ·b 2|b |2＝－a·b|b |2时，|a ＋t b |有最小值．此时b ·（a ＋t b ）＝b·a ＋t b 2＝a·b ＋(－a·b |b |2)·|b |2＝a·b －a·b ＝0．所以b ⊥（a ＋t b ）．命题角度三：利用夹角和垂直求参数例5：（1）已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3且向量3a ＋2b 与k a －b 互相垂直，则k 的值为（ ）A ．－32B ．32C ．±32D ．1（2）已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________．解析：（1）因为3a ＋2b 与k a －b 互相垂直，所以（3a ＋2b ）·（k a －b ）＝0，所以3k a 2＋（2k －3）a·b －2b 2＝0．因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，又|a |＝2，|b |＝3，所以12k －18＝0，k ＝32．（2）由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－（3a ＋λb ），即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b ，而a ，b ，c 为单位向量，则a 2＝b 2＝c 2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5．答案：（1）B （2）－8或5三、学习小结1．两向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA → ＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a 与b 的夹角．（2）特例：①当θ＝0时，向量a 与b 同向；②当θ＝π2时，向量a 与b 垂直，记作a ⊥b ；③当θ＝π时，向量a 与b 反向．2．向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，把数量|a ||b |cos__θ叫做向量a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos__θ．规定零向量与任一向量的数量积为0．3．投影向量如图（1），设a ，b 是两个非零向量，AB → ＝a ，CD → ＝b ，我们考虑如下变换：过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD → 所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影（project ），A 1B 1→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．如图（2），在平面内任取一点O ，作OM → ＝a ，ON →＝b ，过点M 作直线ON 的垂线，垂足为M 1，则OM 1→就是向量a 在向量b 上的投影向量．（2）若与b 方向相同的单位向量为e ，a 与b 的夹角为θ，则OM 1→＝|a |cos θ e ．4．向量数量积的性质设a ，b 是非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，则（1）a ·e ＝e ·a ＝|a |cos θ．（2）a ⊥b ⇔a·b ＝0．（3）当a 与b 同向时，a·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a ||b |．特别地，a·a ＝|a |2或|a |＝a·a ．（4）|a·b |≤|a ||b |．5．向量数量积的运算律（1）a·b ＝b·a （交换律）．（2）（λa ）·b ＝λ（a·b ）＝a ·（λb ）（结合律）．（3）（a ＋b ）·c ＝a·c ＋b·c （分配律）．四、精炼反馈1．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角θ为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解析：选C ．由题意，知a·b ＝|a ||b |cos θ＝4cos θ＝2，所以cos θ＝12．又0≤θ≤π，所以θ＝π3．2．已知|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角是90°，c ＝2a ＋3b ，d ＝k a －4b ，c 与d 垂直，则k 的值为（ ）A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：选B ．因为c·d ＝0，所以（2a ＋3b ）·（k a －4b ）＝0，所以2k a 2－8a ·b ＋3k a ·b －12b 2＝0，所以2k ＝12，所以k ＝6．3．已知|a |＝3，|b |＝5，a ·b ＝－12，且e 是与b 方向相同的单位向量，则a 在b 上的投影向量为______．解析：设a 与b 的夹角θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－123×5＝－45，所以a 在b 上的投影向量为|a |cos θ·e ＝3×(－45)e＝－125e ．答案：－125e4．已知|a |＝1，|b |＝2．（1）若a ∥b ，求a ·b ；（2）若a ，b 的夹角为60°，求|a ＋b |；（3）若a －b 与a 垂直，求a 与b 的夹角．解：设向量a 与b 的夹角为θ．（1）当a ，b 同向，即θ＝0°时，a ·b ＝2；当a ，b 反向，即θ＝180°时，a ·b ＝－2．（2）|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3＋2，|a ＋b |＝3＋2．（3）由（a －b ）·a ＝0，得a 2＝a ·b ，cos θ＝a ·b |a ||b |＝22，又θ∈[0，180°]，故θ＝45°．。

平面向量一、平面向量的实际背景与基本概念 1．（ P85例2）如图1，设O 是正六边形的中心，分别写出图中与OA u u u r 、OB u u u r 、OC u u u r相等的向量。

变式1：如图1，设O 是正六边形的中心，分别写出图中与OD u u u r 、DC u u u r共线的向量。

变式2：如图2，设O 是正六边形的中心，分别写出图中与DA u u u r的模相等的向量以及方向相同的向量。

二、平面向量的线性运算 2.（第96页例4）如图，在平行四边形ABCD 中，AB =u u u r a ，AD =u u u rb ，你能用a ，b 表示向量 AC u u u r ，DB u u u r吗？变式1：如图，在五边形ABCDE 中，AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，CD =u u u r c ，EA =u u u rd ， 试用a ，b ， c ， d 表示向量CE u u u r 和DE u u u r. 解：CE BE CB BA AE CB =+=++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r( a + b + d )()DE EA AB BC CD =-+++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r( d + a + b +c )变式2：如图，在平行四边形ABCD 中，若，OA =u u u r a ，OB =u u u rb 则下列各表述是正确的为（ ）A ．OA OB AB +=u u u r u u u r u u u r B ．OC OD AB +=u u u r u u u r u u u r C ．CD =-u u u r a + b D ．BC =-u u u r(a + b )正确答案：选D变式3：已知OA =a ，OB =b, OC =c ,OD =d , 且四边形ABCD 为平行四边形，则（ ）D EC ABC B AC O FD E图1图2A. a +b +c +d =0B. a －b +c －d =0C. a +b －c －d =0D. a －b －c +d =0正确答案：选A变式4：在四边形ABCD 中，若12AB CD =-u u u r u u ur ，则此四边形是( )A ．平行四边形B ．菱形C ．梯形D ．矩形 正确答案：选C变式5：已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a －b )垂直的 （ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件正确答案：选C变式6：在四边形ABCD 中，AB =a +2b ，BC =－4a －b ，CD =－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为（ ）A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形【解析】 ∵AD =CD BC AB ++=－8a －2b =2BC ，∴BC AD //.∴四边形ABCD 为梯形.正确答案：选C变式7：已知菱形ABCD ，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则AP 等于（ ） A.λ(AB +AD ),λ∈(0,1)B.λ(AB +BC ),λ∈(0,22) C.λ(AB －AD ),λ∈(0,1)D.λ(BC AB -),λ∈(0,22)【解析】 由向量的运算法则AC =AB +AD ，而点P 在对角线AC 上，所以AP 与AC 同向，且|AP |＜|AC |,∴AP =λ(AB +AD ),λ∈(0,1).正确答案：选 A变式8：已知D 、E 、F 分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC =a r ，CA =b r，AB =c r ,则下列各式： ①EF =21c r －21b r②BE =a r +21b r ③CF =－21a r +21b r④AD +BE +CF =0r其中正确的等式的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4 正确答案：选B 3．（第98页例6） 如图，已知任意两个非零向量a 、b ，试作OA =u u u r a + b ，OB =u u u ra + 2b ， baOC =u u u ra + 3b ，你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗？为什么？变式1：已知OA =u u u r a + 2b ，OB =u u u r 2a + 4b ，OC =u u u r3a + 6b (其中a 、b 是两个任意非零向量) ，证明：A 、B 、C 三点共线．证明：∵AB OB OA =-=u u u r u u u r u u u r a + 2b ，AC OC OA =-=u u u r u u u r u u u r2a + 4b ，∴ 2AC AB =u u u r u u u r所以，A 、B 、C 三点共线．变式2：已知点A 、B 、C 在同一直线上，并且OA =u u u r a + b ，(2)OB m =-u u u r a + 2b ，(1)OC n =+u u u ra+ 3b (其中a 、b 是两个任意非零向量) ，试求m 、n 之间的关系．解：(3)AB OB OA m =-=-u u u r u u u r u u u ra +b ，AC OC OA n =-=u u u r u u u r u u u r a + 2b 由A 、B 、C 三点在同一直线上可设AB k AC =u u u r u u u r，则 (3)21m kn k -=⎧⎨=⎩ 所以 1(3)2m n -= 即 260m n --=为所求．4．（第102页第13题）已知四边形ABCD ，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：EF HG =u u u r u u u r变式1：已知任意四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ，求证：2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r .证明：如图，连接EB 和EC ， 由EA AB EB +=u u u r u u u r u u u r 和EF FB EB +=u u u r u u u r u u u r 可得，EA AB EF FB +=+u u u r u u u r u u u r u u u r（1）由ED DC EC +=u u u r u u u r u u u r 和EF FC EC +=u u u r u u u r u u u r 可得，ED DC EF FC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r（2） （1）+（2）得， 2EA ED AB DC EF FB FC +++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（3）∵E 、F 分别为AD 和BC 的中点，∴0EA ED +=u u u r u u u r r ，0FB FC +=u u u r u u u r r，代入（3）式得，2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r三、平面向量的基本定理及坐标表示2.（第109页例6）已知a = (4，2)，b = (6，y )，且a // b ，求 y ． 变式1：与向量a = (12，5) 平行的单位向量为（ ）A ．1251313⎛⎫⎪⎝⎭，- B ．1251313⎛⎫- ⎪⎝⎭，-C ．1251313⎛⎫⎪⎝⎭， 或1251313⎛⎫- ⎪⎝⎭，- D ．1251313⎛⎫- ⎪⎝⎭， 或1251313⎛⎫ ⎪⎝⎭，-正确答案：选C变式2：已知a (1,2)=，b (),1x =，当a +2b 与2a －b 共线时，x 值为 （ ）A ．1B ．2C ．13 D ．12正确答案：选D 变式3：已知A (0,3) 、B (2,0) 、C (－1,3) 与AC AB 2+方向相反的单位向量是( )A ．(0,1)B ．(0,－1)C ． (－1,1)D ．(1,－1) 正确答案：选A变式4：已知a = (1，0)，b = (2，1) ．试问：当k 为何实数时， k a －b 与a +3b 平行, 平行时它们是同向还是反向？解：因为 k a －b ()21k =--，，a +3b ()73=，．由已知得，()3270k -+= 解得 13k =-，此时，k a －b 713⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，a +3b ()73=，，二者方向相反． 2.（第110页例8）设点P 是线段12PP 上的一点，1P 、2P 的坐标分别为()11y x ，，()22y x ，． (1) 当点P 是线段12PP 上的中点时，求点P 的坐标； (2) 当点P 是线段12PP 的一个三等分点时，求P 的坐标变式1：已知两点()3,2M ，()5,5N --，12MP MN =u u u r u u u u r，则P 点坐标是 （ ）A ．()8,1-B ．31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()8,1- 正确答案：选B变式2：如图，设点P 、Q 是线段AB 的三等分点，若OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，则OP u u u r ＝ 133+b ，OQ u u u r ＝ 233+b (用a 、b 表示)四、平面向量的数量积5．（第116页例3）已知|a |＝6，|b | ＝4且a 与b 的夹角为60︒，求 (a + 2b)·(a 3-b ) ．变式1：已知()()3,4,223,a b a b a b ==++=r r r r r rg 那么a r 与b r 夹角为A 、60︒B 、90︒C 、120︒D 、150︒ 正确答案：选C变式2：已知向量a 和b 的夹角为60°，| a | ＝ 3，| b | ＝ 4，则（2a – b ）·a 等于 （A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3 正确答案：选B变式3：在△ABC 中，已知|AB |=4，|AC |=1，S △ABC =3，则AB ·AC 等于（ ）A.－2B.2C.±2D.±4 正确答案：选C变式4：设向量2172e e t +与向量21e t e +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围. 解：∵0))(72(2121<++e t e e e t ，故071522<++t t ，解之217-<<-t ． 另有λλt t ==7,2，解之14,214-=-=λt ，∴)21,214()214,7(--⋃--∈t ．2.（第116页例4）已知|a |＝3，|b | ＝4且a 与b 不共线，k 为何实数时，向量a + k b 与a k -b 互相垂直？变式1：已知a ⊥b ，|a |＝2，|b | ＝3，且向量3a + 2b 与k a -b 互相垂直，则k 的值为（ ）A ．32-B ．32C ．32± D ．1正确答案：选B 变式2：已知|a |＝1，|b | ＝2且（a －b ）⊥a ，则a 与b 夹角的大小为 45º ． 2.（第119页 第11题）已知a = (4，2)，求与向量a 垂直的单位向量的坐标． 变式1：若i = (1,0), j =(0,1)，则与2i +3j 垂直的向量是 ( )A ．3i +2jB ．－2i +3jC ．－3i +2jD ．2i －3j 正确答案：选C变式2：已知向量)1,1(=a ，)3,2(-=b ，若b a k 2-与a 垂直，则实数k =（ ）A ．1B ．－1C ．0D ．2 正确答案：选B 变式3：若非零向量b a ,互相垂直，则下列各式中一定成立的是 （ ）A ．b a b a -=+B ．||||b a b a -=+C ．0))((=-+b a b aD ．0)(2=-b a 正确答案：选B变式4：已知向量a ＝（3，－4），b ＝（2，x ）， c ＝（2，y ）且a ∥b ，a ⊥c ．求|b －c |的值．解：∵ a ∥b ，∴ 3x ＋8＝0． ∴x ＝38-． ∴ b ＝（2， 38-） ． ∵ a ⊥c ， ∴ 6－4y ＝0． ∴ y ＝23． ∴ c ＝（2， 23）．而b －c ＝（2，38-）－（2，23）＝（0，－256），∴ |b －c |＝256．（第118页例5）已知A (1，2)，B (2，3)，C (2-，5)，试判断ABC ∆的形状，并给出证明．变式1：O 是ABC ∆所在的平面内的一点，且满足()()0OB OC OC OA -⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABC ∆一定为（ ）A ．正三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．斜三角形 正确答案：选C变式2：已知A 、B 、C 三点不共线，O 是△ABC 内的一点，若OA ＋OB ＋OC ＝0，则O 是△ABC 的（ ） A ． 重心 B ． 垂心C ． 内心D ． 外心正确答案：选A变式3：已知02=+⋅AB BC AB ，则△ABC 一定是 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形 正确答案：选B变式4：四边形ABCD 中，)3,2(),,(),1,6(--===CD y x BC AB （1）若DA BC //，试求x 与y 满足的关系式；（2）满足（1）的同时又有BD AC ⊥，求y x ,的值及四边形ABCD 的面积。

2.1 平面向量的实际背景及基本概念学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.知识点一 向量的概念思考1 在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？ 答案 面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向. 思考2 两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？ 答案 数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小. 梳理 向量与数量(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量. 知识点二 向量的表示方法思考1 向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？ 答案 可以用一条有向线段表示. 思考2 0的模长是多少？0有方向吗？ 答案 0的模长为0，方向任意. 思考3 单位向量的模长是多少？ 答案 单位向量的模长为1个单位长度.梳理 (1)向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示.带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →.(2)向量的字母表示：向量可以用字母a ， b ， c ，…表示(印刷用黑体a ，b ，c ，书写时用a →， b →， c →).(3)向量AB →的大小，也就是向量AB →的长度(或称模)，即有向线段AB →的长度，记作|AB →|.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位的向量，叫做单位向量. 知识点三 相等向量与共线向量思考1 已知A ，B 为平面上不同两点，那么向量AB →和向量BA →相等吗？它们共线吗？ 答案 因为向量AB →和向量BA →方向不同，所以二者不相等.又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线.思考2 向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？答案 不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动.由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合.思考3 若a ∥b ，b ∥c ，那么一定有a ∥c 吗？ 答案 不一定.因为当b ＝0时，a ，c 可以是任意向量.梳理 (1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. (2)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. ①记法：向量a 平行于b ，记作a∥b . ②规定：零向量与任一向量平行.(3)共线向量：由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.类型一 向量的概念例1 下列说法正确的是( ) A.向量AB →与向量BA →的长度相等B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C.零向量没有方向D.任意两个单位向量都相等 答案 A解析 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的方向不确定，并不是没有方向；任意两个单位向量只有长度相等，方向不一定相同，故B ，C ，D 都错误，A 正确.故选A.反思与感悟 解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题. 跟踪训练1 下列说法正确的有 . (1)若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；(2)向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一条直线上；(3)向量AB →与BA →是平行向量. 答案 (3)解析 (1)错误.|a |＝|b |仅说明a 与b 的模相等，不能说明它们方向的关系.(2)错误.共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量AB →、CD →必须在同一直线上，因此点A 、B 、C 、D 不一定在同一条直线上. (3)正确.向量AB →和BA →是长度相等，方向相反的两个向量. 类型二 共线向量与相等向量例2 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点.(1)写出与EF →共线的向量； (2)写出与EF →的模大小相等的向量； (3)写出与EF →相等的向量.解 (1)因为E 、F 分别是AC 、AB 的中点， 所以EF 綊12BC .又因为D 是BC 的中点，所以与EF →共线的向量有FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →. (2)与EF →模相等的向量有FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. (3)与EF →相等的向量有DB →与CD →.反思与感悟 (1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反.(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线.跟踪训练2 如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心.(1)与OA →的模相等的向量有多少个？(2)是否存在与OA →长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (3)与OA →共线的向量有哪些？解 (1)与OA →的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB )，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个.(2)存在.由正六边形的性质可知，BC ∥AO ∥EF ，所以与OA →的长度相等、方向相反的向量有AO →，OD →，FE →，BC →，共4个.(3)由(2)知，BC ∥OA ∥EF ，线段OD ，AD 与OA 在同一条直线上，所以与OA →共线的向量有BC →，CB →，EF →，FE →，AO →，OD →，DO →，AD →，DA →，共9个. 类型三 向量的表示及应用例3 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点. (1)作出向量AB →、BC →、CD →； (2)求|AD →|.解 (1)向量AB →、BC →、CD →如图所示.(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线， ∵|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD ， ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD →＝BC →，∴|AD →|＝|BC →|＝200 km.反思与感悟 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.跟踪训练3 在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1.(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a 平行，且长度相等(作图略).(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c 的终点的轨迹是以A 为圆心，半径为5的圆(作图略).1.下列结论正确的个数是( )①温度含零上和零下温度，所以温度是向量； ②向量的模是一个正实数；③向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量； ④若|a |>|b |，则a >b . A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B解析 ①温度没有方向，所以不是向量，故①错；②向量的模也可以为0，故②错；④向量不可以比较大小，故④错；③若a ，b 中有一个为零向量，则a 与b 必共线，故a 与b 不共线，则应均为非零向量，故③对. 2.下列说法错误的是( ) A.若a ＝0，则|a |＝0 B.零向量是没有方向的 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的 答案 B解析 零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以B 是错误的. 3.如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量AB →与DC →的关系是( )A.AB →＝DC →B.|AB →|＝|DC →|C.AB →>DC →D.AB →<DC →答案 B解析 |AB →|与|DC →|表示等腰梯形两腰的长度，故相等.4.如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中.(1)写出与AF →、AE →相等的向量； (2)写出与AD →模相等的向量.解 (1)AF →＝BE →＝CD →，AE →＝BD →.(2)DA →，CF →，FC →.1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用.2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定要在一条直线上.当然，同一直线上的向量也是平行向量.3.注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.课时作业一、选择题1.下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程.其中是向量的有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 答案 C解析 ②③④⑤是向量.2.下列说法中正确的个数是( )①任一向量与它的相反向量不相等；②一个向量方向不确定当且仅当模为0；③共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；④单位向量的模都相等. A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C3.下列说法正确的是( )A.若a ∥b ，则a 与b 的方向相同或相反B.若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cC.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等D.若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c 答案 D4.如图，在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，则图中相等的向量是( )A.AD →与CB →B.OB →与OD →C.AC →与BD →D.AO →与OC →答案 D解析 ∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AC 、BD 互相平分，∴AO →＝OC →. 5.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，则以下说法错误的是( )A.与AB →相等的向量只有一个(不含AB →)B.与AB →的模相等的向量有9个(不含AB →)C.BD →的模恰为DA →的模的3倍 D.CB →与DA →不共线 答案 D解析 由于AB →＝DC →，因此与AB →相等的向量只有DC →，而与AB →的模相等的向量有DA →，DC →，AC →，CB →，AD →，CD →，CA →，BC →，BA →，因此选项B 正确.而Rt△AOD 中，∵∠ADO ＝30°，∴|DO →|＝32|DA →|，故|DB →|＝3|DA →|，因此选项C 正确.由于CB →＝DA →，因此CB →与DA →是共线的，故选D.6.如图所示，四边形ABCD ，CEFG ，CGHD 是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是( )A.|AB →|＝|EF →|B.AB →与FH →共线 C.BD →与EH →共线 D.CD →＝FG → 答案 C7.以下命题：①|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关；②两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；④单位向量都是共线向量.其中，正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3 答案 C 解析 ②④错误. 二、填空题8.在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|，则四边形的形状为 . 答案 菱形解析 ∵AB →＝DC →，∴AB 綊DC ， ∴四边形ABCD 是平行四边形， ∵|AB →|＝|AD →|，∴四边形ABCD 是菱形. 9.给出以下5个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0；⑤a 与b 都是单位向量.其中能使a ∥b 成立的是 .(填序号) 答案 ①③④解析 相等向量一定是共线向量，故①能使a ∥b ；方向相同或相反的向量一定是共线向量，故③能使a ∥b ；零向量与任一向量平行，故④成立.10.如图，若四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形，则：(1)图中与AB →共线的向量有 ； (2)图中与AB →相等的向量有 ； (3)图中与AB →的模相等的向量有 ； (4)图中与EC →相等的向量有 . 答案 (1)DC →，BE →，BA →，CD →，EB →，AE →，EA →(2)DC →，BE →(3)BA →，BE →，EB →，DC →，CD →，AD →，DA →，BC →，CB → (4)BD → 三、解答题11.一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2千米到D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B 地.(1)画出AD →，DC →，CB →，AB →； (2)求B 地相对于A 地的位置向量. 解 (1)向量AD →，DC →，CB →，AB →如图所示.(2)由题意知AD →＝BC →，∴AD 綊BC ，则四边形ABCD 为平行四边形，∴AB →＝DC →，则B 地相对于A 地的位置向量为“北偏东60°，长度为6千米”. 12.如图，已知AA ′→＝BB ′→＝CC ′→.求证：(1)△ABC ≌△A ′B ′C ′； (2)AB →＝A ′B ′———→，AC →＝A ′C ′———→. 证明 (1)∵AA ′→＝BB ′→， ∴|AA ′→|＝|BB ′→|，且AA ′→∥BB ′→. 又∵点A 不在BB ′→上，∴AA ′∥BB ′， ∴四边形AA ′B ′B 是平行四边形， ∴|AB →|＝|A ′B ′→|.同理|AC →|＝|A ′C ′———→|，|BC →|＝|B ′C ′———→|. ∴△ABC ≌△A ′B ′C ′.(2)∵四边形AA ′B ′B 是平行四边形， ∴AB →∥A ′B ′———→，且|AB →|＝|A ′B ′———→|， ∴AB →＝A ′B ′———→.同理可证AC →＝A ′C ′———→.13.如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A ，B .点C 为小正方形的顶点，且|AC →|＝ 5.(1)画出所有的向量AC →； (2)求|BC →|的最大值与最小值. 解 (1)画出所有的向量AC →，如图所示.(2)由(1)所画的图知， ①当点C 位于点C 1或C 2时， |BC →|取得最小值12＋22＝5； ②当点C 位于点C 5或C 6时， |BC →|取得最大值42＋52＝41. 所以|BC →|的最大值为41，最小值为 5. 四、探究与拓展14.设a 0，b 0是两个单位向量，则下列结论中正确的是 .(填序号) ①a 0＝b 0；②a 0＝－b 0；③|a 0|＋|b 0|＝2；④a 0∥b 0. 答案 ③15.如图，D ，E ，F 分别是正三角形ABC 各边的中点.(1)写出图中所示向量与向量DE →长度相等的向量； (2)写出图中所示向量与向量FD →相等的向量；(3)分别写出图中所示向量与向量DE →，FD →共线的向量.解 (1)与DE →长度相等的向量是EF →，FD →，AF →，FC →，BD →，DA →，CE →，EB →.(2)与FD →相等的向量是CE →，EB →.(3)与DE →共线的向量是AC →，AF →，FC →；与FD →共线的向量是CE →，EB →，CB →.。

第二章平面向量1．平面向量的线性运算及运算律(1)向量加法是由三角形法则定义的，要点是“首尾相连”，即向量加法的平行四边形法则：将两向量移至共起点，分别为邻边作平行四边形，则同起点对角线的向量即为向量的和．加法满足交换律、结合律．(2)向量减法实质是向量加法的逆运算，是相反向量的作用．几何意义有两个：一是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量；二是加法的平行四边形法则的另外一条对角线的向量．注意两向量要移至共起点．(3)数乘运算即通过实数与向量的乘积，实现同向或反向上向量长度的伸缩变换．2．向量共线及平面向量基本定理(1)共线向量定理：向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa .共线向量定理是证明平行的主要依据，也是解决三点共线问题的重要方法． 特别地，平面内一点P 位于直线AB 上的条件是存在实数x ，使，或对直线外任意一点O ，有(2)平面向量基本定理：如果向量e 1，e 2不共线，那么对于平面内的任一向量a ，有且只有一对实数 λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中e 1，e 2是平面的一组基底，e 1，e 2分别称为基向量．由定理可知，平面内任一向量都可以用两个不共线的向量表示出来，而且任意两个不共线的非零向量都可以作为基底．[典例1]如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点M 、N 分别是DA 、BC 的中点，且DC AB＝k ，设＝e 1，＝e 2，以e 1、e 2为基底表示向量、[对点训练](3)确定点P 在边BC 上的位置．所以⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝13μ，12λ＝1－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝n 5－1，m ＝2n 5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝53.即BP PC＝2，P 是边BC 上靠近C 的三等分点.若a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则 ①a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2)； ②a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2)； ③λa ＝(λa 1，λa 2)； ④a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2；⑤a ∥b ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2(λ∈R )，或a 1b 1＝a 2b 2(b 1≠0，b 2≠0)； ⑥a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0； ⑦|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22； ⑧若θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22. [典例2](1)已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与向量同方向的单位向量为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝⎛⎭⎪⎫45，－35 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 (2)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m ，2), 若a ∥b, 则实数m 等于() A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2 D ．0(3)已知点A (－1，1)、B (1，2)、C (－2，－1)、D (3，4)，则向量在方向上的投影为()A.322 B.3152C ．－322D ．－3152解析：(1)由已知，得＝(3，－4)，所以||＝5，因此与同方向的单位向量是15＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.(2)a ∥b 的充要条件的坐标表示为1×2－m 2＝0，∴m ＝±2，选C.(3)＝(2，1)，＝(5，5)，向量＝(2，1)在＝(5，5)上的投影为||cos ，＝||答案：(1)A(2)C(3)A [对点训练]2．(1)若A (3，－6)，B (－5，2)，C (6，y )三点共线，则y ＝() A ．13 B ．－13 C ．9 D ．－9(2)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(c －b )·a ＝152，则a 与c 的夹角为()A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 解析：(1) ＝(－8，8)，＝(3，y ＋6)．∵∥，∴－8(y ＋6)－24＝0.∴y ＝－9.(2)a ·b ＝－10，则(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝c ·a ＋10＝152，所以c ·a ＝－52，设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a |·|c |＝－525×5＝－12，又θ∈[0°，180°]，所以θ＝120°. 答案：(1)D(2)C1．两向量的数量积及其运算律两个向量的数量积是a ·b ＝|a ||b |cos θ，θ为a 与b 的夹角，数量积满足运算律： ①与数乘的结合律，即(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律，即a ·b ＝b ·a ；③分配律，即(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .2．平面向量的数量积是向量的核心内容，向量的平行、垂直是向量中最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、长度是向量的数量特征．3．利用向量的数量积可以证明两向量垂直、平行，求两向量的夹角，计算向量的长度等．[典例3]已知c ＝m a ＋n b ，c ＝(－23，2)，a ⊥c ，b 与c 的夹角为2π3，b·c ＝－4，|a |＝22，求实数m ，n 的值及a 与b 的夹角θ.解：∵c ＝(－23，2)，∴|c |＝4. ∵a ⊥c ，∴a ·c ＝0.∵b·c ＝|b ||c |cos 2π3＝|b |×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4， ∴|b |＝2.∵c ＝m a ＋n b ，∴c 2＝m a ·c ＋n b ·c . ∴16＝n ×(－4)．∴n ＝－4. 在c ＝m a ＋n b 两边同乘以a ， 得0＝8m －4a ·b .①在c ＝m a ＋n b 两边同乘以b ，得m a ·b ＝12.② 由①②，得m ＝± 6.∴a ·b ＝±26.∴cos θ＝±2622×2＝±32.∴θ＝π6或5π6.[对点训练]3.如图，在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，则的最小值是________．答案：－2(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在五边形ABCDE 中(如图)，＝()解析：选B ∵＝＝.2．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a∥b ，则2a ＋3b ＝() A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6) D ．(－2，－4)解析：选B ∵a∥b ，∴－21＝m2，∴m ＝－4，∴b ＝(－2，－4)，∴2a ＋3b ＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．3．已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，若λa ＋b 与a 垂直，则λ的值是() A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2解析：选A 由题意可知(λa ＋b )·a ＝λa 2＋b ·a ＝0. ∵|a |＝10，a ·b ＝1×4＋(－3)×(－2)＝10， ∴10λ＋10＝0，λ＝－1.4．若|a |＝2，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，则a 与b 的夹角是() A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解析：选B 由于(a －b )⊥a ，所以(a －b )·a ＝0，即|a|2－a ·b ＝0，所以a ·b ＝|a|2＝2，所以 cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a||b|＝222＝22，即a 与b 的夹角是π4.A.12 B ．－12 C.32 D ．－326．已知向量满足：|a |＝2，|b |＝3，|a －b |＝4，则|a ＋b |＝() A. 6 B.7 C.10 D.11解析：选C 由题意|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝16， ∴a ·b ＝－32.∴|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝10， ∴|a ＋b |＝10.A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心∴P 是△ABC 的垂心．8．平面向量a ＝(x ，－3)，b ＝(－2，1)，c ＝(1，y )，若a ⊥(b －c )，b ∥(a ＋c )，则b 与c 的夹角为()A ．0 B.π4 C.π2 D.3π4解析：选C 由题意知b －c ＝(－3，1－y )，a ＋c ＝(x ＋1，y －3)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－3x －3（1－y ）＝0，x ＋1＋2（y －3）＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴c ＝(1，2)，而b ·c ＝－2×1＋1×2＝0， ∴b ⊥c .9．已知AD ，BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，设＝a ，＝b ，则等于()A.43a ＋23bB.23a ＋43bC.23a －43b D ．－23a ＋43bA.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6C.⎝⎛⎭⎪⎫π2，2π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，5π611．已知a ＝(－1，3)，＝a －b ，＝a ＋b ，若△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△AOB 的面积是()A. 3 B ．2 C ．2 2 D ．4解析：选D 由题意||＝||且⊥，所以(a －b )2＝(a ＋b )2且(a －b )·(a ＋b )＝0， 所以a ·b ＝0，且a 2＝b 2， 所以|a |＝|b |＝2，所以S △AOB ＝12||·||＝12（a －b ）2（a ＋b ）2＝12（a 2＋b 2）2＝4. 12．已知向量m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，p ＝(x ，y )，定义新运算m ⊗n ＝(ac ＋bd ，ad ＋bc )，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．如果对于任意向量m 都有m ⊗p ＝m 成立，则向量p 为()A ．(1，0)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(0，－1) 解析：选A 因为m ⊗p ＝m ，即(a ，b )⊗(x ，y )＝(ax ＋by ，ay ＋bx )＝(a ，b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝a ，ay ＋bx ＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a （x －1）＋by ＝0，ay ＋b （x －1）＝0.由于对任意m ＝(a ，b )，都有(a ，b )⊗(x ，y )＝(a ，b )成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.所以p ＝(1，0)．故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知向量a ＝(2x ＋3，2－x )，b ＝(－3－x ，2x )(x ∈R )．则|a ＋b |的取值范围为________．解析：因为a ＋b ＝(x ，x ＋2)，所以|a ＋b |＝x 2＋（x ＋2）2＝2x 2＋4x ＋4 ＝2（x ＋1）2＋2≥2， 所以|a ＋b |∈[2，＋∞)． 答案：[2，＋∞)14．设e 1，e 2为两个不共线的向量，若a ＝e 1＋λe 2与b ＝－(2e 1－3e 2)共线，则实数λ等于________．解析：因为a ，b 共线，所以由向量共线定理知，存在实数k ，使得a ＝k b ， 即e 1＋λe 2＝－k (2e 1－3e 2)＝－2k e 1＋3k e 2 又因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝－2k ，λ＝3k ，解得λ＝－32.答案：－3215．在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则＝________．解析：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，过A 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系．则由A (0，0)，B (2，0)，E (2，3)，D (1，3，可得＝1.答案：1答案：[1，4]三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R . (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.解：(1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x ) ＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0.整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. (2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0， 即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1，0)，b ＝(3，0)， ∴a －b ＝(－2，0)，|a －b |＝2；当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1，2)， ∴a －b ＝(2，－4)，∴|a －b |＝4＋16＝2 5. 综上所述，|a －b |为2或2 5.18．(12分)设向量a ＝(cos α，sin α)(0≤α＜2π)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，且a 与b 不共线．(1)求证：(a ＋b )⊥(a －b )；(2)若向量3a ＋b 与a －3b 的模相等，求角α.解：(1)证明：由题意，得a ＋b ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos α－12，sin α＋32，a －b ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos α＋12，sin α－32， 因为(a ＋b )·(a －b )＝cos 2α－14＋sin 2α－34＝1－1＝0，所以(a ＋b )⊥(a －b )．(2)因为向量3a ＋b 与a －3b 的模相等， 所以(3a ＋b )2＝(a －3b )2，所以|a |2－|b |2＋23a ·b ＝0，因为|a |＝1，|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1， 所以|a |2＝|b |2，所以a ·b ＝0， 所以－12cos α＋32sin α＝0，所以tan α＝33，又因为0≤α＜2π， 所以α＝π6或α＝7π6.19．(12分)如图，平行四边形ABCD 中，＝a ，＝b ，H ，M 是AD ，DC 的中点，BF ＝13BC ，(1)以a ，b 为基底表示向量(2)若|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求解：(1)∵M 为DC 的中点，(2)由已知得a ·b ＝3×4×cos 120°＝－6，＝12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－112a ·b －16b 2＝12×32＋1112×(－6)－16×42 ＝－113.20．(12分)在边长为1的正△ABC 中，AD 与BE 相交于点F .解：(1)由题意，D 为BC 边的中点，而△ABC 是正三角形，所以AD ⊥BC ，＝12(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫23b －a ＝13b 2－12a 2－16a ·b ＝13－12－16×1×1×12＝－14.根据平面向量的基本定理有⎩⎪⎨⎪⎧－λ－22（λ＋1）＝－μ，λ2（λ＋1）＝2μ3，解得λ＝4.21．(12分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1，2)，又点A (8，0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.∴t ＝－2k sin θ＋16.∵t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－4k 2＋32k ， ∵k ＞4，∴1＞4k＞0，当sin θ＝4k 时，t sin θ取最大值为32k.由32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，＝(4，8)，∴·＝(8，0)·(4，8)＝32.．(12分)已知e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，且A ，E ，C 三点共线．(1)求实数λ的值；(2)若e 1＝(2，1)，e 2＝(2，－2)，求的坐标；(3)已知D (3，5)，在(2)的条件下，若A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．解：(1)＝(2e 1＋e 2)＋(－e 1＋λe 2)＝e 1＋(1＋λ)e 2.∵A ，E ，C 三点共线，∴存在实数k ，使得，即e 1＋(1＋λ)e 2＝k (－2e 1＋e 2)，得(1＋2k )e 1＝(k－1－λ)e 2.∵e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2k ＝0，λ＝k －1，解得k ＝－12，λ＝－32.(2)＝－3e 1－12e 2＝(－6，－3)＋(－1，1)＝(－7，－2)．(3)∵A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，即点A 的坐标为(10，7)．。

第二章 平面向量学习目标.1.回顾梳理向量的有关概念，进一步体会向量的有关概念的特征.2.系统整理向量线性运算、数量积运算及相应的运算律和运算性质.3.体会应用向量解决问题的基本思想和基本方法.4.进一步理解向量的“工具”性作用.1.向量的运算：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).2.两个定理(1)平面向量基本定理①定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.②基底：把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.(2)向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 3.向量的平行与垂直a ，b 为非零向量，设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，类型一.向量的线性运算例1.如图所示，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________.答案.311解析.设BP →＝λBN →，则BP →＝BA →＋AP →＝－AB →＋mAB →＋211AC →＝(m －1)AB →＋211AC →.BN →＝BA →＋AN →＝－AB →＋14AC →.∵BP →与BN →共线，∴14(m －1)＋211＝0，∴m ＝311.反思与感悟.向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题.跟踪训练1.在△ABC 中，E 为线段AC 的中点，试问在线段AC 上是否存在一点D ，使得BD →＝13BC→＋23BE →，若存在，说明D 点位置；若不存在，说明理由.解.假设存在D 点，使得BD →＝13BC →＋23BE →.BD →＝13BC →＋23BE →⇒BD →＝13BC →＋23(BC →＋CE →)＝BC →＋23CE →⇒BD →－BC →＝23CE →⇒CD →＝23CE →⇒CD →＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫12CA →⇒CD →＝13CA →.所以当点D 为AC 的三等分点⎝⎛⎭⎪⎫CD →＝13CA →时，BD →＝13BC →＋23BE →.类型二.向量的数量积运算例2.已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0). (1)用k 表示数量积a ·b ；(2)求a ·b 的最小值，并求出此时a 与b 的夹角θ的大小. 解.(1)由|k a ＋b |＝3|a －k b |， 得(k a ＋b )2＝3(a －k b )2，∴k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2＝3a 2－6k a ·b ＋3k 2b 2. ∴(k 2－3)a 2＋8k a ·b ＋(1－3k 2)b 2＝0.∵|a |＝cos 2α＋sin 2α＝1，|b |＝cos 2β＋sin 2β＝1， ∴k 2－3＋8k a ·b ＋1－3k 2＝0， ∴a ·b ＝2k 2＋28k ＝k 2＋14k.(2)a ·b ＝k 2＋14k ＝14(k ＋1k).由函数的单调性可知，f (k )＝14(k ＋1k )在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，∴当k ＝1时，f (k )min ＝f (1)＝14×(1＋1)＝12，此时a 与b 的夹角θ的余弦值cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，∴θ＝60°.反思与感悟.数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题： (1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0， a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)求向量的夹角和模的问题 ①设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21. ②两向量夹角的余弦(0≤θ≤π)cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 跟踪训练2.已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－(3＋m )). (1)若点A ，B ，C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值. 解.(1)若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线， ∵OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)， OC →＝(5－m ，－(3＋m ))，∴AB →＝(3，1)，BC →＝(－m －1，－m )， ∵AB →与BC →不平行，∴－3m ≠－m －1，解得m ≠12，∴当实数m ≠12时满足条件.(2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB →⊥AC →，而AB →＝(3，1)，AC →＝(2－m ，1－m )， ∴3(2－m )＋(1－m )＝0，解得m ＝74.类型三.向量坐标法在平面几何中的应用例3.已知在等腰△ABC 中，BB ′，CC ′是两腰上的中线，且BB ′⊥CC ′，求顶角A 的余弦值的大小.解.建立如图所示的平面直角坐标系，设A (0，a )，C (c ，0)，则B (－c ，0)，OA →＝(0，a )，BA →＝(c ，a )，OC →＝(c ，0)，BC →＝(2c ，0).因为BB ′，CC ′为AC ，AB 边上的中线， 所以BB ′—→＝12(BC →＋BA →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2，a 2，同理CC ′—→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3c 2，a 2.因为BB ′—→⊥CC ′—→，所以BB ′—→·CC ′—→＝0， 即－9c 24＋a 24＝0，化简得a 2＝9c 2，又因为cos A ＝AB →·AC→|AB →||AC →|＝a 2－c 2a 2＋c 2＝9c 2－c 29c 2＋c 2＝45.即顶角A 的余弦值为45.反思与感悟.把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这样的解题方法具有普遍性.跟踪训练3.如图，半径为3的扇形AOB 的圆心角为120°，点C 在AB 上，且∠COB ＝30°，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ等于(..)A. 3B.33C.433D.2 3 答案.A解析.由题意，得∠AOC ＝90°，故以O 为坐标原点，OC ，OA 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则O (0，0)，A (0，3)，C (3，0)，B (3×cos 30°，－3×sin 30°)，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以(3，0)＝λ(0，3)＋μ(3×32，－3×12)， 即⎩⎪⎨⎪⎧3＝μ×3×32，0＝3λ－3×12μ，则⎩⎪⎨⎪⎧μ＝233，λ＝33，所以λ＋μ＝ 3.1.在菱形ABCD 中，若AC ＝2，则CA →·AB →等于(..) A.2 B.－2C.|AB →|cos A D.与菱形的边长有关答案.B解析.如图，设对角线AC 与BD 交于点O ，∴AB →＝AO →＋OB →.CA →·AB →＝CA →·(AO →＋OB →) ＝－2＋0＝－2.2.设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4.若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于(..) A.20 B.15 C.9 D.6答案.C解析.▱ABCD 的图象如图所示，由题设知，AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋34AD →，NM →＝13AB →－14AD →，∴AM →·NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋34AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－14AD →＝13|AB →|2－316|AD →|2＋14AB →·AD →－14AB →·AD →＝13×36－316×16＝9. 3.已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为(..) A.12 B.2 C.－12 D.－2 答案.D解析.m a ＋4b ＝(2m －4，3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1). ∵m a ＋4b 与a －2b 共线，∴(2m －4)×(－1)－(3m ＋8)×4＝0，解得m ＝－2.4.若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________. 答案.2 5解析.由题意可知，△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，且腰长|OA →|＝|OB →|＝10，由勾股定理得|AB →|＝20＝2 5.5.平面向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，若存在不同时为0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x⊥y ，试求函数关系式k ＝f (t ). 解.由a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，得a·b ＝0，|a |＝2，|b |＝1，由x ⊥y ，得[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0， －k a 2＋t a·b －k (t 2－3)a·b ＋t (t 2－3)b 2＝0， 即－4k ＋t 3－3t ＝0，所以k ＝14(t 3－3t )，令f (t )＝14(t 3－3t )，所以函数关系式为k ＝f (t )＝14(t 3－3t ).1.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题.2.向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.课时作业一、选择题1.下列命题中正确的是(..) A.OA →－OB →＝AB → B.AB →＋BA →＝0 C.0·AB →＝0 D.AB →＋BC →＋CD →＝AD → 答案.D解析.OA →－OB →＝BA →；AB →，BA 是一对相反向量，它们的和应该为零向量，即AB →＋BA →＝0；0·AB →＝0.2.在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →等于(..) A.5 B.4 C.3 D.2 答案.A解析.∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)，∴AD →·AC →＝2×3＋(－1)×1＝5.3.设向量a ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x 等于(..) A.2 B.3 C.4 D.6 答案.B解析.∵a ∥b ，∴2×6－4x ＝0，∴x ＝3.4.若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝35，则b 等于(..) A.(－3，6) B.(3，－6) C.(6，－3) D.(－6，3)答案.A解析.设b ＝k a ＝(k ，－2k )，k ＜0，而|b |＝35，则5k 2＝35，∴k ＝－3，b ＝(－3，6).5.已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于(..) A.－4 B.－3 C.－2 D.－1 答案.B6.在△ABC 中，若AB →2－AB →·AC →＝BA →·BC →－CA →·BC →，则△ABC 是(..) A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形答案.C解析.由已知，得AB →·(AB →－AC →)－BC →·(BA →－CA →)＝0， ∴AB →·CB →－BC →·BC →＝0，∴BC →·(－AB →－BC →)＝0，即－BC →·AC →＝0，BC →⊥AC →， ∴BC ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形.故选C.7.若a ，b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角θ的大小为(..) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6答案.B解析.∵a 2－2a ·b ＝0，b 2－2a ·b ＝0， ∴a 2＝b 2，|a |＝|b |，又∵cos θ＝a ·b |a ||b |＝12a 2|a |2＝12，θ∈[0，π]，∴θ＝π3.8.如图所示，在△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于点F .设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则(x ，y )为(..)A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，12 答案.C解析.令BF →＝λBE →.由题可知，AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →－AB →＝(1－λ)AB →＋12λAC →.令CF →＝μCD →，则AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋μCD →＝AC →＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－AC →＝12μAB →＋(1－μ)AC →.由⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝12μ，12λ＝1－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23，所以AF →＝13AB →＋13AC →，故选C.二、填空题9.若|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，若(3a ＋5b )⊥(m a －b )，则m 的值为________. 答案.238解析.由题意知(3a ＋5b )·(m a －b )＝3m a 2＋(5m －3)a·b －5b 2＝0，即3m ＋(5m －3)×2×cos 60°－5×4＝0，解得m ＝238.10.已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________. 答案.711.在△ABC 中，点O 在线段BC 的延长线上，且|BO →|＝3|CO →|，当AO →＝xAB →＋yAC →时，x －y ＝________. 答案.－2解析.由|BO →|＝3|CO →|，得BO →＝3CO →， 则BO →＝32BC →，所以AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋32BC →＝AB →＋32(AC →－AB →)＝－12AB →＋32AC →.所以x ＝－12，y ＝32，所以x －y ＝－12－32＝－2.12.已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 方向上的投影是________. 答案.1解析.∵|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，∴b 在a 方向上的投影是|b |cos 60°＝1.13.已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________.答案.712解析.∵AP →⊥BC →，∴AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝－λAB →2＋(λ－1)AB →·AC →＋AC →2＝－9λ＋(λ－1)×3×2×(－12)＋4＝0， ∴λ＝712. 三、解答题14.若OA →＝(sin θ，－1)，OB →＝(2sin θ，2cos θ)，其中θ∈[0，π2]，求|AB →|的最大值. 解.∵AB →＝OB →－OA →＝(sin θ，2cos θ＋1)⇒|AB →|＝sin 2θ＋4cos 2θ＋4cos θ＋1＝3cos 2θ＋4cos θ＋2＝ 3(cos θ＋23)2＋23， ∴当cos θ＝1，即θ＝0时，|AB →|取得最大值3.四、探究与拓展15.已知OA →＝(1，0)，OB →＝(0，1)，OM →＝(t ，t )(t ∈R )，O 是坐标原点.(1)若A ，B ，M 三点共线，求t 的值；(2)当t 取何值时，MA →·MB →取到最小值？并求出最小值.解.(1)AB →＝OB →－OA →＝(－1，1)，AM →＝OM →－OA →＝(t －1，t ).∵A ，B ，M 三点共线，∴AB →与AM →共线， ∴－(t －1)－t ＝0，∴t ＝12. (2)∵MA →＝(1－t ，－t )，MB →＝(－t ，1－t )，∴MA →·MB →＝2t 2－2t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－12，易知当t ＝1 2时，MA→·MB→取得最小值－12.。

2019-2020学年高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理导学案新人教A 版必修【学习目标】1. 了解平面向量基本定理；2. 理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3.能够在具体问题中适当选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.【新知自学】 知识回顾：1、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个 ，记作 ；规定：（1）|λa |=（2）λ>0时，λa 与a 方向 ；λ<0时，λa 与a 方向 ；λ=0时，λa =2．运算定律：结合律：λ(μa )= ；分配律：(λ+μ) a = ，λ(a +b )=3. 向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线，则有且只有一个非零实数λ，使b =λa .新知梳理：1．给定平面内两个向量1e ，2e ，请你作出向量31e +22e ，1e -22e ，1e 2e2.由上，同一平面内的任一向量是否都可以用形如λ11e +λ22e 的向量表示？平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使不共线的向量1e ，2e 叫做这一平面内表示所有向量的一组基底。

思考感悟：基底不惟一，关键是 ；不同基底下，一个向量可有不同形式表示；(2) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数.3. 向量的夹角:平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？已知两个非零向量a 、b ，作OA a =，OB b =，则∠AOB＝θ，叫向量a 、b 的夹角。

当θ= ，a 、b 同向；当θ= ，a 、b 反向；统称为向量平行，记作a b如果θ= ，a 与b 垂直，记作a ⊥b 。

对点练习：1.设1e 、2e 是同一平面内的两个向量，则有( )A. 1e 、2e 一定平行B . 1e 、2e 的模相等C.同一平面内的任一向量a 都有a ＝λ1e +μ2e (λ、μ∈R)D.若1e 、2e 不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λ1e +u 2e (λ、u ∈R)2.已知向量a ＝1e -22e ，b ＝21e +2e ，其中1e 、2e 不共线，则a +b 与c ＝61e -22e 的关系（ ）A.不共线 B .共线C.相等D.无法确定3.已知λ1＞0，λ2＞0，1e 、2e 是一组基底，且a ＝λ11e +λ22e ，则a 与1e ，a 与2e ． (填共线或不共线).【合作探究】 典例精析：例1： 已知向量1e ，2e 求作向量 2.51e +32e2e1e变式1：已知向量1e 、2e (如图),求作向量：（1）1e +22e （2）-1e +32e例2: 如图，OA ，OB 不共线，且 ()AP t AB t R =∈，用OA ，OB 来表示OP变式2：已知G 为△A BC 的重心,设=,=,试用、表示向量.AB PO【课堂小结】知识、方法、思想【当堂达标】1. 设a 是已知的平面向量且≠0a ,关于向量a 的分解,其中所列述命题中的向量b ,c 和a 在同一平面内且两两不共线, 有如下四个命题： ①给定向量b ,总存在向量c ,使=+a b c ; ②给定向量b 和c ,总存在实数λ和μ,使λμ=+a b c ; ③给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c 和实数λ,使λμ=+a b c ;④给定正数λ和μ,总存在单位向量b 和单位向量c ,使λμ=+a b c ;上述命题中的则真命题的个数是( ) （）A ．1B ．2C ．3 D2.如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++= A ．0 B ．BE C ．AD D ．CF3.在ABCD 中，AB a =，AD b =，3AN NC =，M 为BC 的中点，则MN =____________. （用,a b 表示）【课时作业】1、若a 、b 不共线，且λa +μb =0（λ、μ ），则（ ）A ．a =0,b =0B ．λ=0, μ=0C ．λ=0, b =0D ．a =0,μ=02．在△ABC 中，AD →＝14AB →，DE ∥BC ，且DE 与AC 相交于点E ，M 是BC 的中点，AM 与DE 相交于点N ，若AN →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x ＋y 等于( )A ．1 B.12 C.14 D.183．在如图所示的平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN→＝________.(用a ，b 表示)．4. 如图 ABCD 的两条对角线交于点M ，且=a ，=b ，用a ，b 表示，，和5. 设1e 与2e 是两个不共线向量, a =31e +42e ,b =-21e +52e ,若实数λ、μ满足λ+μ=51e -2e ,求λ、μ的值.6如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，求实数m 的值．7. 如图所示，P 是△ABC 内一点，且满足条件AP →＋2BP →＋3CP →＝0，设Q 为CP 延长线与AB 的交点，令CP →＝p ，用p 表示CQ →.【延伸探究】已知ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证：+++=4。