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高中数学 第2章 平面向量章末归纳总结课件 北师大版必修4

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高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量基本定理课件 北师大版必修4

高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量基本定理课件 北师大版必修4


4
5
于是������������ = ������������ + ������������ = ������������ + 1 ������������ = ������������ + 1 (������������ − ������������)=4 ������������ +
5
5
5
1 ������������ = 4a+1b.
A.2e1+e2和e2-e1 B.3e1-2e2和4e2-6e1 C.e1+2e2和e2+2e1 D.e2和e1+e2 解析:B中,3e1-2e2=底.
(124e2-6e1),则3e1-2e2与4e2-6e1共线,不能作为基
答案:B
K12课件
8
探究一
探究二
探究三
一题多解
探究二利用基底表示向量
【例 2】 在△ABC 中,������������=a,������������=b. (1)若 D 是 BC 上一点,且|������������|=2|������������|,试用 a,b 表示������������; (2)若 E 是 BC 上一点,且������������ = 1 ������������,试用 a,b 表示������������.
5
55
K12课件
10
探究一
探究二
探究三
一题多解
K12课件
11
探究一
探究二
变式训练2
探究三
一题多解
如图所示,已知在平行四边形 ABCD 中,E,F 分别是 BC,DC 边上的中
点.若������������=a,������������=b,试以 a,b 为基底表示������������, ������������.
高中数学 第二章 平面向量课件 北师大版必修4(1)

高中数学 第二章 平面向量课件 北师大版必修4(1)


例题解析
巩固练习
课外作业
1.向量的加法运算 三角形法则 AB+BC= AC
A
C
平行四边形法则
B
C
OA+OB= OC
B O A
重要结论：AB+BC+CA= 0
坐标运算: 设 a = (x1, y1), b = (x2, y2) 则a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 )
知识结构
知识要点
知识结构
知识要点
例题解析
巩固练习
课外作业
向 量 几何表示 : 有向线段 的 字母表示 : a 、 AB 等 表 坐标表示 : (x，y) 示
若 A(x1,y1),
则 AB =
B(x2,y2)
(x2 － x1 , y2 － y1)
知识结构
知识要点
例题解析
巩固练习
课外作业
向量的模（长度） 1. 设 a = ( x , y ), 则 a
知识结构
知识要点
例题解析
巩固练习
课外作业
例1 化简（1）（AB + MB）+ BO + OM 分析
（2） AB + DA + BD －BC－CA 利用加法减法运算法则，借助结论 AB=AP+PB；AB=OB－OA；AB+BC+CA=0
进行变形.
解： （1）原式= AB +（BO + OM + MB） = AB + 0 = AB （2）原式= AB + BD + DA －（BC + CA）
x y
2
2
2. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别
高中数学 第二章 平面向量章末整合课件 北师大版必修4

高中数学 第二章 平面向量章末整合课件 北师大版必修4


①求向量 a 与 b 的夹角;
②求|3a+b|的值.
K12课件
9
专题一
专题二
专三题三
(1)解析:方法一:由已知可得 PO=������2������=3,OM=ON=2.
������������ ·������������=(������������ + ������������)·(������������ + ������������)
K12课件
8
专题一
专题二
专三题三
例 (1)如图,AB 是圆 O 的直径,点 P 是圆弧������������上的点,M,N 是直 径 AB 上关于 O 对称的两点,且 AB=6,MN=4,则������������ ·������������等于( )
A.13
B.7
C.5
D.3
(2)设向量 a,b 满足|a|=|b|=1 及|3a-2b|= 7.
∴在△ADN 中,������������ = ������������ − ������������ = 12a-b,
在△DMN 中,������������ = ������������ − ������������ = 1a-b-1a=1a-b,
2 44
在△MNC 中,������������ = ������������ − ������������ = 14a-14a+b=b,
本章整合
K12课件
2
专题一
专题二
专题三
专题一 平面向量的线性运算 1.向量的加法、减法和数乘向量的综合运算通常叫作向量的线性 运算. 2.向量的线性运算的结果仍是一个向量,因此对它们的运算法则、 运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面. 3.理解向量的有关概念(如相等向量与相反向量、平面向量基本定 理等),用基底表示向量,三角形法则、平行四边形法则是向量线性 运算的基础.
【高中课件】高中数学北师大版必修4第2章3.2平面向量基本定理课件ppt.ppt

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解得e1＝13a－23b， e2＝13a＋13b.
∴e1＋e2＝23a－13b．
课堂典例讲练
对基底的理解
如下图，设点O是▱ABCD两对角线交点，下列 向量组：①A→D与A→B；②D→A与B→C；③C→A与D→C；④O→D与O→B.可 作为该平面其他向量基底的是( )
A．①② C．①④
B．①③ D．③④
基底
1．已知向量e1，e2不共线，则下列各对向量可以作为平面 内的一组基底的是( )
A．e1－e2与e2－e1
B．2e1－3e2与e1－32e2
C．－e1－2e2与2e1＋4e2 D．e1－2e2与2e1－e2
[答案] D [解析] 根据基底的定义，只要两向量不共线便可 作为基底，易知选D．
2．若a，b不共线，且λa＋μb＝0(λ，μ∈R)，则 ()
中小学精编教育课件
第二章 平面向量
第二章 §3 从速度的倍数到数乘向量
3.2 平面向量基本定理
课前自主预习
如右图所示，一盏电灯，可以由 电线CO吊在天花板上，也可以由电线 AO和绳子BO拉住，所以拉力F起到的 效一果样应，与 这拉 应力 如何F1和解F释2共呢同？作用的效果
根据物理知识，力F可以分解为力F1和力F2，即F＝F1＋ F2.事实上力的分解与合成就是应用了平行四边形法则，所以其 他向量也可以用平行四边形法则来分解或合成．
平面上不共线的两个向量都可以作为一组基底，
用这个基底的线性运算可以表示ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ面上的任意向量， 这就是本节要学习的平面向量基本定理．
平面向量基本定理 量，定那理么：对如于果这e一1和平e面2是内同的一任平一面向内量的a两，个存不在共唯线一的一向 对ea2＝叫实λ作1数e1表＋λ1λ，示2e2λ这2使一_平__面__内__所__有__向__量__的．一不组共_线__的__向__量_．e1，
高中数学第2章平面向量3.2平面向量基本定理课件北师大版必修4

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图2－3－7
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面向量的一组基底e1，e2中可以有一个向量为零向量．( ) (2)任意两个向量都可以作为基底．( ) (3)平面向量的基底不是唯一的．( ) (4)零向量不可作为基底中的向量．( )
【解析】 (1)×，因为零向量与任何向量均共线． (2)×，两不共线的向量才可作为平面的一组基底． (3)(4)均正确． 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√
阶
阶
段
段
一
三
3.2 平面向量基本定理
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．了解平面向量基本定理及其意义．(重点) 2．能应用平面向量基本定理解决一些实际问题．(难点)
[基础·初探] 教材整理 平面向量基本定理 阅读教材P85～P86“例4”以上部分，完成下列问题． 如果e1，e2(如图2－3－7①)是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一 平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2(如图2－3－7 ②)，其中不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组 基底 ．
[小组合作型] 平面向量基本定理的理解
如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，判断下列 说法是Байду номын сангаас正确，并说明理由．
(1)若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0； (2)对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对； (3)线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量； (4)当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量．
利用基底表示未知向量，实质就是利用向量的加法、减法以及数乘向量进行 线性运算，解决此类问题时，要仔细分析所给图形，借助于平面几何知识的向量 共线定理及平面向量基本定理解决．
高中数学课件-第二章 平面向量 章末归纳总结 课件(北师大版必修4)

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成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修4
设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外，B→C2＝16，
|A→B＋A→C|＝|A→B－A→C|，则|A→M|＝( )
A案] C [解析] ∵|A→B＋A→C|＝|A→B－A→C|，∴△ABC 是以 A 为直角 顶点的三角形，
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②数乘向量的几何意义 数乘向量的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方 向放大或缩小． ③数乘向量运算满足的运算律 设λ，μ为实数，则 (λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(μa)＝(λμ)a； λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)． ④向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫作向量 的线性运算．
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∴(13－3t )a＋tb＝(14－4s)b＋sa. ∴t13＝－143t－＝4ss.， 解得st＝＝112311.， 故有A→P＝131a＋121b.
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[规律总结] 用待定系数法解决问题的关键是构造一个同 一向量的不同表达形式，怎样去构造是难点，这要把握所给图 形加以分析．
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[例 3] 已知四边形 ABCD 中，A→B＝(6,1)，B→C＝(x，y)，C→D ＝(－2，－3)．
(1)若 B→C∥D→A，求 y＝f(x)的解析式； (2)在(1)的条件下，若A→C⊥B→D，求 x，y 的值以及四边形 ABCD 的面积． [思路分析] (1)利用向量平行的坐标表示，整理可得函数 的解析式； (2)根据条件先求出 x，y 的值，然后求出|A→C|、|B→D|，再利 用 S 四边形 ABCD＝12|A→C||B→D|求面积．
高中数学复习课件-高中数学必修4课件 第二章总结平面向量

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专题一 向量的综合运算
向量的运算有:加法、减法、数乘及两个向量的数量积,常见的有两种方法: 定义法和坐标法.特别是利用坐标进行向量的运算时,由于转化为实数的运算, 因此比利用定义运算方便、简捷.
应用 1 若向量 AB =(3,-1),n=(2,1),n· AC =7,则 n· BC 的值为( ).
A.-2
相等向量 : 长度相等且方向相同的两个向量
相反向量 : 长度相等而方向相反的两个向量
表示
几何表示 : 用有向线段表示向量
字母表示
:
用一个小写英文字母或两个大写英文字母表示向量
坐标表示 : 用有序实数对表示向量,等于终点坐标减去起点坐标
线性运算
加法
法则
: 三角形法则和平行四边形法则,结果是向量 运算律 : 交换律、结合律
应用 1 已知向量 a,b 满足|a|=3,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60°,则 a·b= ; 若(a-mb)⊥a,则实数 m= .
解析:a·b=|a||b|cos 60°=3×2×1 =3. 2
∵(a-mb)⊥a,∴(a-mb)·a=0. ∴a2-mb·a=0.∴9-3m=0.∴m θ.因此求向量的夹角应先转化为求向量夹角的余弦值,再
结合夹角的范围确定夹角的大小.
应用 1 已知向量 a=(1,2),b=(-2,-4),|c|= 5 ,若(c- b)·a= 15 ,则 a 与 c 的夹 2
角为( ).
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
解析:a·b=-10,则(c- b)·a=c·a- b·a=c·a+10= 15 ,所以 c·a=- 5 .
B.BE D.CF
解析:在正六边形 ABCDEF 中,由于 CD∥AF,且|CD|=|AF|,故 CD = AF .同理
高中数学 第二章 平面向量章末优化总结课件 北师大版必修4

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16
(2)a·b＝k24＋k 1＝14(k＋1k)． 由函数的单调性，可知 f(k)＝14(k＋1k)在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增， ∴当 k＝1 时，f(k)min＝f(1)＝14×(1＋1)＝12， 此时 a 与 b 的夹角 θ 的余弦值 cos θ＝|aa|·|bb|＝12，θ∈[0，π]， ∴a 与 b 的夹角 θ＝π3.
7
1．梯形 ABCD 中，AB∥CD，M、N 分别是D→A、B→C的中点，且DABC＝k，设A→D＝e1，A→B ＝e2，以 e1、e2 为基底表示向量D→C、B→C、M→N. 解析：如图所示， ∵A→B＝e2，且DABC＝k， ∴D→C＝kA→B＝k e2. ∵A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0.
17
3．已知 a，b，c 是同一平面内的三个向量，其中 a＝(1,2)． (1)若|b|＝2 5，且 a∥b，求 b 的坐标； (2)若|c|＝ 10，且 2a＋c 与 4a－3c 垂直，求 a 与 c 的夹角 θ.
18
解析：(1)设 b＝(x，y)， 因为 a∥b，所以 y＝2x.① 又|b|＝2 5，所以 x2＋y2＝20.② 由①②联立，解得 b＝(2,4)或 b＝(－2，－4)． (2)由(2a＋c)⊥(4a－3c)，得(2a＋c)·(4a－3c)＝8a2－3c2－2a·c＝0，由|a|＝ 5，|c|＝ 10， 解得 a·c＝5， 所以 cos θ＝|aa|·|cc|＝ 22，θ∈[0，π]， 所以 a 与 c 的夹角 θ＝π4.
6
∴D→M＝M→C＝14a. ∴在△ADN 中，D→N＝A→N－A→D＝12a－b， 在△DMN 中，M→N＝D→N－D→M＝12a－b－14a＝14a－b， 在△MNC 中，N→C＝M→C－M→N＝14a－14a＋b＝b， 在△NBC 中，B→C＝N→C－N→B＝b－12a. ∴B→C＝－12a＋b，M→N＝14a－b.
高中数学第二章平面向量24平面向量的坐标课件北师大版必修4

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休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间 休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动 对身体不好哦~
(2)联系 ①向量 a 的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具 体位置没有关系，只与其相对位置有关系； ②把坐标原点作为表示向量 a 的有向线段的始点，这时向量 a 的坐标就由表示向量 a 的有向线段的终点唯一确定，即终点的 坐标就是向量的坐标．
所以向量 2a＋b 在平面直角坐标系中的坐标为(3,4)．
类型二
平面向量的坐标运算
【例 2】 已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且C→M ＝3C→A，C→N＝2C→B，求 M、N 的坐标和M→N的坐标．
【思路探究】 要求 M 点的坐标，可设 M(x，y)，然后利用 C→M＝3C→A求解．
(1)已知向量 a＝(1,1)，b＝(2，x)，若 a＋b 与 4b－2a 平行，
则实数 x 的值是( D )
A．－2
B．0
C．1
D．2
(2)如果向量A→B＝i－2j，B→C＝i＋mj，其中 i，j 分别是 x 轴，
y 轴正方向上的单位向量，则当 A，B，C 三点共线时实数 m 的
值为__－__2__.
－3,3－1)，即x＋1＝12， y＋2＝1，
解得x＝－12， y＝－1，
所以 M(－12，－1)．
(2)在△ABC 中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，G 为△ABC 的重心，求点 G 的坐标．
解：设 D 为 BC 的中点，E 为 AC 的中点，因为 G 为△ABC 的重心，则 AD 与 BE 相交于点 G.
知识点二
向量平行的条件
[填一填] 3．设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，那么当且仅当 __x_1y_2_－__x_2y_1_＝__0__时，向量 a，b(b≠0)共线．由于规定零向量与任
高中数学第二章平面向量本章整合课件北师大版必修4

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第二章 平面向量
本章整合
定义:既有大小,又有方向的量统称为向量 长度(模):向量的大小叫作向量的长度(模) 方向:起点指向终点的方向 零向量:长度为零的向量,记为 0 概念 单位向量:长度为单位 1 的向量 平行向量:如果表示两个向量的有向线段所在的直线 平行或重合,则称这两个向量平行或共线 垂直向量:夹角是直角的两个向量 相等向量:长度相等且方向相同的两个向量 相反向量:长度相等而方向相反的两个向量
专题1
专题2
专题3
应用 1 如图, 四边形 ABCD 是梯形, AB∥DC, 且 AB=2CD, M,N 分 别是 DC 和 AB 的中点. 已知������������=a, ������������=b, 求������������ , ������������ (用 a, b 表示).
提示:本题要求用 a, b 表示������������ 和������������ , 而 a, b 不共线, 由平面向量 基本定理, 知此平面内任何向量都可用 a, b 唯一表示, 因此, 需结合图 形寻找������������ , ������������ 与 a, b 的关系.
射影:|������|cos������叫作向量������在向量������方向上的射影,������是������和������的夹角 定义:|������|| ������|cos������叫作向量������与������的数量积,记为������· ������ 几何意义:������· ������等于|������|与������在向量������方向上的射影|������|cos������的乘积
2 2
∴在△ADN 中,������������ = ������������ − ������������ = 2a-b,
高中数学必修4第二章平面向量小结复习课ppt课件

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(3)证明两直线平行的问题:
A
AB CD AB // CD
B与CD不在同一直线上
直线A
B
//
直线CD 7
平面向量基本定理:
如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线
向量，那么对于这一平面内的任一向
量 a 有且只有一对实数 1、2 ,使
a 1e1 2e2
其中e，e 叫做表示这一平面内 12
第二章 平面向量复习课
1
一.基本概念
1.向量及向量的模、向量的表示方法 B
1)图形表示 A
r uuur有向线段AB
2)字母表示 a AB r uuur
3)坐标表示
r
向量的模
rr
:|
a
||
AB
|
a xi y j (x, y)
r uuur
a OA (x, y) 点A(x, y)
r uuuur
的夹角为钝角(k a 2b)（ 2a 4b） 0且k 1,
即14(k 6) 4(2k 4) 0且k 1k 50 且k 1
3
13
已知a 1,sin ,b 1, cos , R.
1若a b 2,0,求sin 2 2sin cos的值;
2若a b 0, 1 , ,2 ,求sin cos的值
所有向量的一组基底.
8
平面向量数量积
ar
•
r b
ar
•
r b
• cos
B
b
O
a B1 A
作OA a，OB b ，过点B作BB1
垂直于直线OA，垂足为 B1 ，则 OB1 | b | cosθ
| b | cosθ叫向量 b 在 a 方向上的投影．

北师大版高中数学必修四第2章平面向量2.3.2平面向量基本定理课件

3.2
平面向量基本定理
-1-
3.2
平面向量基本定理
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
1.了解平面向量基本定理及其意义,能运用它解决有关问题. 2.理解基底的意义,会用基底表示向量.
-2-
3.2
平面向量基本定理
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
平面向量基本定理 如果e1,e2(如图①)是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这 一平面内的任一向量a,存在唯一一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2(如图 ②),其中不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面内所有向量的一组 基底.
答案:A
������ ������
-9-
3.2
平面向量基本定理
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
题型二
用基底表示向量
【例 2】
如图,在△OAB 中, ������������ =a, ������������ =b,M,N 分别是边 OA,OB 上的 1 1 点,且������������ = 3 ������, ������������ = 2 ������. 设������������与������������相交于点������ , 用向量a,b 表示������������.
反思平面向量基本定理中强调:e1,e2是两个不共线的向量,所以 e1,e2能作为基底就必须满足e1,e2不共线.
-7-
3.2
平面向量典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 已知向量a,b是两个非零向量,给出以下四个条件: ①2a-3b=4e,且a+2b=-3e;②存在不相等的实数λ,μ,使λa+μb=0;③ xa+yb=0(其中x+y=0);④已知梯形ABCD, 其中������������ =a, ������������ =b (AB,CD为腰).其中能判定a,b一定可以作为基底的条件有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》平面向量的坐标运算PPT课件


D B A B A D ( 2 , 1 ) ( 3 ,7 ) A
(5, 6)
O B 1D B 1( 5 , 6 )(5, 3 )
22
2
评述：向量的、加减法，实数与向量的积是向量 的基本运算， 对于用坐标表示的向量需运用向量的
一组基底。
二、新课探析
1、平面向量的坐标表示 Y
4
2
a
j
-5
0i
5
X
-2
axi yj
我们把（x,y)叫做向量 a 的（直角）坐标，记作
a(x, y)
（2）
其中x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的坐标
（2）式叫作向量的坐标表示。
显然，i 1i0j(1,0),
0 (0,0)
Y
4
y
2
v 2 ( 1 , 1 ) ( x , 1 ) ( 2 x , 1 )
( 1 ) u 3 v ( 2 x 1 , 3 ) 3 ( 2 x , 1 )
(2 x 1 ,3 ) (6 3 x ,3 )
2x163x, 解得： x 1
( 2 ) u / / v ( 2 x 1 ) 3 ( 2 x ) 0
x 1
评述：对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等。
例4 平行四边形ABCD的对角线交于点O,且知
A D (3 ,7 ),A B ( 2 ,1 ),求 O B 坐标. 分析：要求得 O B 的坐标，只要求得
D B 的坐标即可.
C D
O
解：由A D (3 ,7 ),A B ( 2 ,1 ),B
二.教学重、难点 重点: 平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示. 难点: 平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示. 三.学法与教法： (1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练 习来检验知识的应用情况。找出未掌握的内容及其存在的差距. 四.教学过程

数学北师大必修四课件：第二章 平面向量 本章整合


专题一 专题二 专题三
知识网 整合构建
小专题 概括总结
【例1】如图,四边形ABCD是梯形,AB∥DC,且AB=2CD,M,N分别 是DC和AB的中点,已知 ������������=a,������������=b,求������������, ������������.
分析:本题要求用 a,b 表示������������和������������,而 a,b 不共线,由平面向量基 本定理,知此平面内任何向量都可用 a,b 唯一表示,因此需结合图形 寻找������������, ������������与 a,b 的关系.
=9+������������·0-2×2=9+0-4=5,故选 C.
(方法二)以O为原点,OB所在直线为x轴,建立坐标系(如图).
则O(0,0),M(-2,0),N(2,0).
圆O的方程为x2+y2=9.
设 P(x,y),则������������=(-2-x,-y),������������=(2-x,-y),
在△NBC 中,������������ = ������������ − ������������=b-12a.
∴������������=-12a+b,������������ = 14a-b.
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变式训练 1 已知 A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),且������������ ·������������=5,������������2=10. (1)求点 D 的坐标;
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【例3】 (1)已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正

2019_2020学年高中数学第2章平面向量章末复习课课件北师大版必修4


(2)法一：因为 b·c＝0， 所以 b·[ta＋(1－t)b]＝0， 即 ta·b＋(1－t)b2＝0. 又因为|a|＝|b|＝1，θ＝60°， 所以12t＋1－t＝0，所以 t＝2. 法二：由 t＋(1－t)＝1 知向量 a，b，c 的终点 A、B、C 共线，在 平面直角坐标系中设 a＝(1,0)，b＝12， 23，则 c＝32，－ 23. 把 a、b、c 的坐标代入 c＝ta＋(1－t)b，得 t＝2.]
1．(1)设向量 a，b 不平行，向量 λa＋b 与 a＋2b 平行，则实数 λ ＝________.
(2)在△ABC 中，点 M，N 满足A→M＝2M→C，B→N＝N→C.若M→N＝xA→B ＋yA→C，则 x＝________；y＝________.
1 (1)2
1 (2)2
－16
[(1)因为 λa＋b 与 a＋2b 平行，
向量数量积的两种运算方法 1当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. 2当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a＝x1，y1， b＝x2，y2，则 a·b＝x1x2＋y1y2. 运用两向量的数量积解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵 活选择相应公式求解.
2．已知两个单位向量 e1，e2 的夹角为3π，若向量 b1＝e1－2e2，b2
＝3e1＋4e2，则 b1·b2＝________.
－6
[b1·b2
＝
(e1
－
2e2)·(3e1
＋
4e2)
＝
3e
2 1
－Hale Waihona Puke 2e1·e2－8e
2 2
＝
3
－
2×1×1×12－8＝－6.]
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1．向量的有关概念
(1)向量
既有大小又有方向的量叫向量，一般用a，b，c，…来表
示，或用有向线段的起点和终点的大写字母表示，如：
→ AB
.向
量的大小，即向量的模(或称长度)，记作|A→B|.
(2)零向量 长度为零的向量，叫作零向量，其方向是任意的．我们规 定：零向量和任意向量平行． (3)单位向量 模为1个单位的向量． (4)相等向量 具有方向的线段，叫作有向线段．同向且等长的有向线段 表示同一向量，或相等的向量．
a·(b＋c)＝a·b＋a·C．
专题研究
向量的有关概念
向量是既有大小又有方向的量，它具有代数和几何的双重 身份，其有关概念，如共线向量、相等向量、方向向量、单位 向量、投影、夹角等都从不同侧面反映向量的本质属性．向量 的有关概念是向量基本运算的基础，所以应对这些相关概念及 表达形式熟练掌握．
[例1] 下列结论正确的是( )
(2)数乘向量 ①数乘向量的一般定义 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且λa的长|λa| ＝|λ||a|. λa(a≠0)的方向当 当λλ><00时 时， ，与 与aa同 反方 方向 向； . 当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0.λa中的实数λ，叫作向量a 的系数．
②数乘向量的几何意义 数乘向量的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方 向放大或缩小． ③数乘向量运算满足的运算律 设λ，μ为实数，则 (λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(μa)＝(λμ)a； λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)．
下列命题是假命题的是( ) A．两个向量的和仍是一个向量 B．当向量a与向量b不共线时，a＋b的方向与a，b的方向 都不相同，且|a＋b|<|a|＋|b| C．当向量a与向量b同向时，a＋b，a，b都同向，并且|a ＋b|＝|a|＋|b| D．如果向量a＝b，那么a与b有相同的起点和终点 [答案] D
成才之路 ·数学
北师大版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
平面向量 第二章
章末归纳总结 第二章
1 知识结构
3 专题探究
2 知识梳理
4 限时巩固
知识结构
知识梳理
本章从位移、速度、力引出了向量的概念，从位移的合
成、速度的倍数引出了向量的加法、减法和数乘，定义了平面
向量的坐标、向量的数量积及运算性质．
A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等，且方向相同或相反
B．若向量
→ AB
，
→ CD
满足|
→ AB
|>|
→ CD
|，且
→ AB
与
→ CD
同向，则
→→ AB>CD
C．若a＝b，则a∥b
D．由于零向量方向不定，故零向量不能与任一a，b的长度相等，但方向之间无 任何关系，A错，
我们把不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量 的一组基底 ，记为{e1，e2}．a1e1＋a2e2叫作向量a关 于基底 {e1，e2}的分解式．
(2)①若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)，a－b＝(a1－b1，a2－b2)， λa＝(λa1，λa2)． ②若A(a1，a2)，B(b1，b2)，则A→B＝(b1－a1，b2－a2)． (3)若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标 成比例，反之也成立．
在a方向上的射影．
(4)已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，我们把|a||b|cosθ 叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.
(5)向量数量积的几何意义：a与b的数量积等于a的长度|a| 与b在a方向上射影|b|cosθ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上 射影|a|cosθ的乘积．
4．向量的数量积 (1)已知两个非零向量a和b，作 O→A ＝a， O→B ＝b，∠AOB＝ θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角． (2)当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；当θ
＝90°时，我们说a与b垂直，记作a⊥B．规定零向量可与任一
向量垂直． (3)已知两向量a和b，它们的夹角为θ，则|b|cosθ叫作向量b
当|A→B|>|C→D|时，只是说明A→B，C→D的模的关系，而向量不 能比较大小，B错；
零向量与任一向量平行，D错，故选C． [规律总结] 理解并掌握向量的基本概念是研究平面向量 的基础，要明确向量是有大小有方向的量，长度可比较大小， 但向量不能比较大小，对零向量、单位向量、平行向量、共面 向量等概念也必须掌握．
④向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫作向量 的线性运算． (3)共线向量 平行向量基本定理 如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存
在唯一一个实数λ，使a＝λb．
3．向量的分解与向量的坐标运算
(1)平面向量基本定理
如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面 内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.
(6)向量数量积的性质： ①若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cosθ；
②若a⊥b，则a·b＝0；反之，若a·b＝0，则a⊥B．通常记
作a⊥b⇔a·b＝0；
③|a|＝ a·a； ④cosθ＝|aa|·|bb|(|a||b|≠0)； ⑤对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时 取等号． (7)向量数量积的运算律： 设向量a，b，c和实数λ，有a·b＝b·a； (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
相等向量经过平移后总可以重合，记为a＝b．
(5)相反向量 与向量a方向相反且等长的向量叫作a的相反向量． (6)向量共线 向量共线也叫向量平行，这里的“平行”与两直线(或线 段)平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线 上，甚至起点都可以相同．
2．向量的运算 (1)向量加法的三角形法则是两向量首尾相接，和向量是以 第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点；向量 减法的三角形法则是将两个向量的起点移到一起，差向量是连 接两向量的终点，箭头指向被减向量的终点． 向量加法的平行四边形法则，是两向量始点重合，在这一 点上与三角形法则是不同，但本质是相同的．