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第2章平面向量向量的线性运算如图所示,在△AＢC中，点Ｍ为AB的中点,且错误!＝错误!错误!，错误!与错误!未定义书签。
相交于点E,设错误!未定义书签。
=a，错误!＝b，试以a,ｂ为基底表示错误!未定义书签。
思路点拨:先由Ｃ，E,M三点共线⇒错误!未定义书签。
＝μ错误!未定义书签。
＋（1-μ）错误!，由B,E,Ｎ三点共线⇒错误!未定义书签。
=λ错误!+（1-λ）错误!，再由错误!，错误!未定义书签。
不共线求λ，μ的值.［解]∵错误!未定义书签。
＝错误!未定义书签。
错误!未定义书签。
＝错误!未定义书签。
b，错误!＝错误!错误!未定义书签。
＝错误!未定义书签。
a，由Ｎ,E，Ｂ三点共线知存在实数λ满足错误!未定义书签。
=λ错误!+（1－λ)错误!＝错误!λb+(1-λ）a。
由C，E,M三点共线知存在实数μ满足错误!未定义书签。
＝μ错误!未定义书签。
＋(1-μ)错误!未定义书签。
＝错误!ａ＋(１-μ)b．∴错误!解得错误!∴错误!=错误!未定义书签。
a＋错误!未定义书签。
ｂ。
向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题.1.经过△OAB重心G的直线与ＯA,ＯB分别交于点P,Ｑ,设错误!未定义书签。
＝ｍ错误!，错误!未定义书签。
=n错误!未定义书签。
,ｍ，n∈R,求错误!+错误!未定义书签。
的值．[解］设错误!＝a，错误!未定义书签。
=b,则错误!未定义书签。
＝错误!（a+b），错误!未定义书签。
=错误!－错误!＝ｎb-m a,错误!＝错误!－错误!未定义书签。
＝错误!未定义书签。
(a＋b）-m a=错误!a+错误!ｂ.由Ｐ，Ｇ,Q共线得,存在实数λ使得错误!未定义书签。
=λ错误!,即n b－ｍa=λ错误!未定义书签。
a＋错误!λｂ,则错误!未定义书签。
消去λ,得错误!未定义书签。
+错误!未定义书签。
＝3。
向量的数量积运算设向量错误!未定义书签。
第二章平面向量1．平面向量的基本概念主要应掌握向量的概念、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念，这些概念是考试的热点，一般都是以填空题出现，尤其是单位向量常与向量的平行与垂直的坐标形式结合考查．2．向量的线性运算主要应掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则，甚至推广到向量加法的多边形法则；掌握向量减法的三角形法则；数乘向量运算的性质和法则及运算律．同时要灵活运用这些知识解决三点共线、两线段相等及两直线平行等问题．3．向量的坐标运算主要应掌握向量坐标运算的法则、公式进行向量加、减与数乘运算；能用向量共线的坐标表示证明两向量平行或证明三点共线；能用平面向量基本定理和基底表示平面内任意一个向量．4．平面向量的数量积平面向量的数量积是向量的核心内容，主要应掌握向量的数量积的定义、法则和公式进行相关运算，特别是向量的模、夹角、平行与垂直等运算；能用向量数量积的坐标形式求向量的模、夹角，证明向量平行或垂直，能解答有关综合问题． 5．平面向量的应用一是要掌握平面几何中的向量方法，能用向量证明一些平面几何问题、能用向量求解一些解析几何问题；二是能用向量解决一些物理问题，如力、位移、速度等问题.题型一 向量的共线问题运用向量平行(共线)证明常用的结论有：(1)向量a 、b (a ≠0)共线⇔存在唯一实数λ，使b ＝λa ；(2)向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0；(3)向量a 与b 共线⇔|a ·b |＝|a ||b |；(4)向量a 与b 共线⇔存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0. 判断两向量所在的直线共线时，除满足定理的要求外，还应说明此两直线有公共点． 例1 设坐标平面上有三点A 、B 、C ，i 、j 分别是坐标平面上x 轴，y 轴正方向的单位向量，若向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，那么是否存在实数m ，使A 、B 、C 三点共线． 解 方法一 假设满足条件的m 存在， 由A 、B 、C 三点共线，即AB →∥BC →，∴存在实数λ，使AB →＝λBC →，∴i －2j ＝λ(i ＋m j )，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λm ＝－2，∴m ＝－2，∴当m ＝－2时，A 、B 、C 三点共线．方法二 假设满足条件的m 存在，根据题意可知i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，∴AB →＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，BC →＝(1,0)＋m (0,1)＝(1，m )，由A 、B 、C 三点共线，即AB →∥BC →， 故1·m －1·(－2)＝0，解得m ＝－2， ∴当m ＝－2时，A 、B 、C 三点共线．跟踪演练1 如图所示，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．答案311解析 设BP →＝λBN →，则BP →＝BA →＋AP →＝－AB →＋mAB →＋211AC →＝(m －1)AB →＋211AC →.BN →＝BA →＋AN →＝－AB →＋14AC →.∵BP →与BN →共线，∴14(m －1)＋211＝0，∴m ＝311.题型二 向量的夹角及垂直问题1．求两个向量的夹角主要利用两个公式：(1)cos θ＝a ·b|a ||b |，求解的前提是：求出这两个向量的数量积和模．(2)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22，求解的前提是：可以求出两个向量的坐标． 2．解决垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积为零，与求夹角一样，若向量能用坐标表示，将它转化为“x 1x 2＋y 1y 2＝0”较为简单．3．用向量方法解决平面几何中的夹角与垂直问题的关键在于选用适当向量为基底，把所要研究的问题转化为两向量的夹角与垂直问题，再利用向量知识求角． 例2 已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标以及矩形ABCD 两对角线所夹锐角的余弦值． (1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)． ∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)解 ∵AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形， ∴AB →＝DC →.设C 点坐标为(x ，y )，则DC →＝(x ＋1，y －4)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝1，y －4＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.∴点C 坐标为(0,5)．从而AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，且|AC →|＝25，|BD →|＝25，AC →·BD →＝8＋8＝16，设AC →与BD →的夹角为θ， 则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45.∴矩形ABCD 的两条对角线所夹锐角的余弦值为45.跟踪演练2 已知向量OB →＝(2,0)，OC →＝(2,2)，CA →＝(2cos α，2sin α)，则OA →与OB →夹角的范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12 解析 建立如图所示的直角坐标系．∵OC →＝(2,2)，OB →＝(2,0)， CA →＝(2cos α，2sin α)，∴点A 的轨迹是以C (2,2)为圆心，2为半径的圆．过原点O 作此圆的切线，切点分别为M ，N ，连结CM 、CN ，如图所示，则向量OA →与OB →的夹角范围是∠MOB ≤〈OA →，OB →〉≤∠NOB . ∵|OC →|＝22，∴|CM →|＝|CN →|＝12|OC →|，知∠COM ＝∠CON ＝π6，又∠COB ＝π4.∴∠MOB ＝π12，∠NOB ＝5π12，故π12≤〈OA →，OB →〉≤5π12. 题型三 向量的长度(模)与距离的问题向量的模不仅是研究向量的一个重要量，而且是利用向量的方法解决几何问题的一个交汇点．一般地，求向量的模主要利用公式|a |2＝a 2，将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和运算性质进行展开、合并，使问题得以解决，或利用公式|a |＝x 2＋y 2，将它转化为实数问题，使问题得以解决．例3 设|a |＝|b |＝1，|3a －2b |＝3，求|3a ＋b |的值． 解 方法一 ∵|3a －2b |＝3，∴9a 2－12a ·b ＋4b 2＝9. 又∵|a |＝|b |＝1， ∴a ·b ＝13.∴|3a ＋b |2＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝9＋6×13＋1＝12.∴|3a ＋b |＝2 3.方法二 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)． ∵|a |＝|b |＝1，∴x 21＋y 21＝x 22＋y 22＝1. ∵3a －2b ＝(3x 1－2x 2,3y 1－2y 2)， ∴|3a －2b |＝3x 1－2x 22＋3y 1－2y 22＝3.∴x 1x 2＋y 1y 2＝13.∴|3a ＋b |＝3x 1＋x 22＋3y 1＋y 22＝9＋1＋6×13＝2 3.跟踪演练3 设0<|a |≤2，f (x )＝cos 2x －|a |sin x －|b |的最大值为0，最小值为－4，且a 与b 的夹角为45°，求|a ＋b |. 解 f (x )＝1－sin 2x －|a |sin x －|b | ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋|a |22＋|a |24－|b |＋1. ∵0<|a|≤2，∴当sin x ＝－|a |2时，|a |24－|b |＋1＝0；当sin x ＝1时，－|a |－|b |＝－4. 由⎩⎪⎨⎪⎧|a |24－|b |＋1＝0，－|a |－|b |＝－4得⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝2，|b |＝2.∴|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝22＋2×2×2cos 45°＋22＝8＋42， ∴|a ＋b |＝8＋42＝22＋ 2.1.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题．2．向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．。
第1课时§2.1 平面向量的实际背景及基本概念1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB ；④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．．向线段的起点无关．．．．．．．．. A(起点)B（终点）aOABaaa bb b7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关）．．．．．. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.第2课时§2.2.1 向量的加法运算及其几何意义二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂ=+=，规定： a + 0-= 0 + a探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； （3）当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||，当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；若||<||，则+的方向与相同，且|+b|=||-||.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到A BCa +ba +baa b b aｂｂ ａan 个向量连加３．例一、已知向量a 、b ，求作向量a +b作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=. ４．加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）２）向量加法的交换律：a +b =b +a ５．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 证：如图：使a AB =， b BC =， c CD =则(a +b ) +c =AD CD AC =+，a + (b +c ) =AD BD AB =+ ∴(a +b ) +c =a + (b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.第3课时§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义1． 用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a ) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = aOabBa ba -b作法：在平面内取一点O ， 作= a ， = b 则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1︒AB 表示a - b .强调：差向量“箭头”指向被减数 2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b ) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.4． 探究：１）如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b - a.２）若a ∥b ， 如何作出a - b ？2.3平面向量的基本定理及坐标表示第4课时§2.3.1 平面向量基本定理复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量a ρ的积是一个向量，记作：λa ρ（1）|λa ρ|=|λ||a ρ|；（2）λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λO ABa B’b-b bBa + (-b )a b a -bA ABBB’Oa -b a a bbO AOBa -ba -b BA O-ba ρ=2．运算定律结合律：λ(μa ρ)=(λμ)a ρ ；分配律：(λ+μ)a ρ=λa ρ+μa ρ， λ(a ρ+b ρ)=λa ρ+λb ρ3. 向量共线定理 向量b ρ与非零向量a ρ共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b ρ=λa ρ.平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ρ=λ11e +λ22e . 探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ρ，1e ，2e 唯一确定的数量第5课时§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ρ=λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ρ，1e ，2e 唯一确定的数量 二、讲解新课： 1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=…………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =…………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x . 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定.设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则ba +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++= 即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --= （2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB =OB -OA =( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=第6课时§2.3.4 平面向量共线的坐标表示一、复习引入： 1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.2．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --= 二、讲解新课：a ρ∥b ρ (b ρ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0设a ρ=(x 1， y 1) ，b ρ=(x 2， y 2) 其中b ρ≠a ρ.由a ρ=λb ρ得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ρ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0（2）充要条件不能写成2211x y x y = ∵x 1， x 2有可能为0 (3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ρ∥b ρ (b ρ≠0)01221=-=⇔y x y x ba λ§2.4平面向量的数量积第7课时一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义一、复习引入：1． 向量共线定理 向量b ρ与非零向量a ρ共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b ρ=λa ρ.2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ρ=λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = 4．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=5．a ρ∥b ρ (b ρ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（λλλλ++++1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比.8. 点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点.②当λ＜０(1-≠λ)时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ， 可得OP =b a b a λλλλλ+++=++1111.10．力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ，θ是F 与s 的夹角. 二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向； （3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. ⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a ⋅b 是两C个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a ≠0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ⋅b =0，不能推出b =0.因为其中cos θ有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c .但是a ⋅b = b ⋅c a = c如右图：a ⋅b = |a ||b |cos β = |b ||OA|，b ⋅c = |b ||c |cos α = |b ||OA|⇒ a ⋅b = b ⋅c 但a ≠ c(5)在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )c ≠ a (b ⋅c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |. 4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积. 5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒ cos θ =||||b a ba ⋅5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |第8课时二、平面向量数量积的运算律一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |.4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒cos θ =||||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | 二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1．交换律：a ⋅ b = b ⋅ a证：设a ，b 夹角为θ，则a ⋅ b = |a ||b |cos θ，b ⋅ a = |b ||a |cos θ∴a ⋅ b = b ⋅ a2．数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )C证：若λ> 0，(λa )⋅b =λ|a ||b |cos θ， λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ，a ⋅(λb ) =λ|a ||b |cos θ，若λ< 0，(λa )⋅b =|λa ||b |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ，λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ， a ⋅(λb ) =|a ||λb |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ.3．分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c在平面内取一点O ，作OA = a ， AB = b ，OC = c ， ∵a + b （即OB ）在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和，即 |a + b | cos θ = |a | cos θ1 + |b | cos θ2∴| c | |a + b | cos θ =|c | |a | cos θ1 + |c | |b | cos θ2， ∴c ⋅(a + b ) = c ⋅a + c ⋅b 即：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２第9课时三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积. 4．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | C5．平面向量数量积的运算律交换律：a ⋅ b = b ⋅ a数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c二、讲解新课：⒈ 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，试用a 和b 的坐标表示b a ⋅. 设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11+=，j y i x b 22+= 所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+= 又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i ，所以b a ⋅2121y y x x += 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式一、 设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)二、 向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x三、 两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=。
第1课时§2。
1 平面向量的实际背景及基本概念1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
2.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用)等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB ;④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB ｜.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别：(1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量; （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0。
0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量。
说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。
5、平行向量定义:①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行。
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义;（2)向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：(1)向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段．．．．．的起点无关．．．．．. 7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．)．。
说明:（1)平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系;（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系。
A(起点)B（终点）aOABaaa bb b第2课时§2。
2.1 向量的加法运算及其几何意义二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
【知识梳理】知识点一：向量的有关概念 1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度). 2.向量的表示方法：(1)字母表示法：如,,,a b c r r rL 等.(2)几何表示法：用一条有向线段表示向量.如AB uuu r ，CD uuu r等.(3)坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA u u u r的起点O 为在坐标原点，终点A 坐标为(),x y ，则(),x y 称为OA u u u r 的坐标，记为OA u u u r=(),x y .3.相等向量：长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移，平移前后的向量相等.两向量a r 与b r相等，记为a b =r r .4.零向量：长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个，其方向是任意的. 5.单位向量：长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量. 6.共线向量：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定：0r与任一向量共线.注：共线向量又称为平行向量. 7.相反向量：长度相等且方向相反的向量. 知识点二、向量的运算 1.运算定义 运 算 图形语言符号语言坐标语言加法与减法OA --→+OB --→=OC --→OB --→OA --→-=AB --→记OA --→=(x 1，y 1)，OB --→=(x 2，y 2)则OA OB +uu u r uuu r=(x 1+x 2，y 1+y 2) OB OA -uuu r uu u r=(x 2-x 1，y 2-y 1)OA --→+AB --→=OB --→实数与向量的乘积AB a λ--→→=R λ∈记a →=(x ，y) 则()a x y λλλ→=，两个向量的数量积cos ,a b a b a b ⋅=⋅r r r r r r记1122(,),(,)a x y b x y ==r r则a b →→⋅=x 1x 2+y 1y 22.运算律坐标语言：设非零向量()()1122,,,a b x y x y ==r r，则⇔⊥→→b a 02121=+y y x x(4)两个向量数量积的重要性质：①22||→→=a a 即 2||→→=a a (求线段的长度)；②(垂直的判断)；③cos a ba bθ⋅=⋅r r r r (求角度).注：1. 向量的线性运算(1)在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明；(2)向量的加法表示两个向量可以合成，利用它可以解决有关平面几何中的问题，减法的三角形法则应记住：连接两端(两向量的终点)，指向被减(箭头指向被减数).记清法则是灵活运用的前提. 2. 共线向量与三点共线问题向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的.通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题. (1)用向量证明几何问题的一般思路：先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向 量的运算来证明. (2)向量在几何中的应用：①证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件)0(//→→→→→→≠=⇔b b a b a λ⇔(x 1，y 1)=λ(x 2，y 2)②证明垂直问题，常用垂直的充要条件⇔02121=+y y x x③求夹角问题，利用cos a ba bθ⋅=⋅r r r r⇔⊥→→b a 0=⋅→→b a ⇔⊥→→b a 0=⋅→→b a 222221212121y x y x y y x x +++=222222222(3)(75)0,(4)(72)0.716150730802,112cos .602a b a b a b a b a a b b a a b b a b b a b b a b a b bθθ+-=--=+-=-+===∴===∴=or r r r r r r rg g r r r r g r r r r g r r r r r g r r r g r r r g 由已知：即两式相减，得代入其中任一式，得，例10.已知向量(cos(),sin()),(cos(),sin())22a b ππθθθθ=--=--r r ，（1）求证：a b ⊥r r ;（2）若存在不等于0的实数k 和t ，使2(3),,x a t b y ka tb =++=-+r r r u r r r 满足x y ⊥r u r 试求此时2k t t+的最小值。
第二章 平面向量复习课（一）一、教学目标1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。
2. 了解平面向量基本定理.3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4. 了解向量形式的三角形不等式：||a |-|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a |2+|b |2)=|a －b |2+|a +b |2.5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：6. 向量的坐标概念和坐标表示法7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）8. 数量积（点乘或内积）的概念，a ·b =|a ||b |cos θ=x 1x 2+y 1y 2注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”二、知识与方法向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直三、教学过程（一）重点知识：1. 实数与向量的积的运算律：b a b a a a a a a λλλμλμλλμμλ+=++=+=)( (3) )( (2) )()( (1)2. 平面向量数量积的运算律:)1(a b b a ⋅=⋅ )()()( )2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅ c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+ )( )3(3. 向量运算及平行与垂直的判定:).0(),,(),,(2211≠==b y x b y x a 设 则),(2121y y x x b a ++=+ ),(2121y y x x b a --=- 2121y y x x b a +=⋅.0//1221=-⇔y x y x b a .02121=+⇔⊥y y x x b a4. 两点间的距离:221221)()(||y y x x AB -+-=5. 夹角公式:222221212121cos y x y x y y x x b a +⋅++==θ6. 求模：= 22y x += 221221)()(y y x x -+-=（二）习题讲解：第二章 复习参考题（三）典型例题例1． 已知O 为△ABC 内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设OA =a ，OB =b ，OC =c ，且|a |=2，|b |=1，| c |=3，用a 与b 表示c解：如图建立平面直角坐标系xoy ，其中i , j 是单位正交基底向量, 则B （0，1），C （-3，0），设A （x ，y ），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A （1，-3），也就是a =i －3j , b =j ， c =-3i 所以-3a =33b +c |即c =3a －33b（四）基础练习：（五）、小结：掌握向量的相关知识。
![高中数学必修四 第2章 平面向量本章知识整合 教案 [苏教版]必修4](https://uimg.taocdn.com/f3f1a318f121dd36a22d8279.webp)
【金版学案】-高中数学 第2章 平面向量本章知识整合 苏教版必修4网络构建平面向量的线性运算e 1，e 2是不共线的向量，已知向量AB →＝2e 1＋ke 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值．分析：因为A 、B 、D 三点共线，所以存在λ∈R，使AB →＝λBD →，可由已知条件表示出BD →，由向量相等得到关于λ、k 的方程组，求得k 值．解析：BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2.∵A 、B 、D 三点共线，故存在λ∈R，使AB →＝λBD →. ∴2e 1＋ke 2＝λ(e 1－4e 2)．解得k ＝－8.◎规律总结：向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算，主要是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共线、两线段平行、线段相等、求点的坐标等问题，利用向量的相等及向量共线的充要条件是将向量问题实数化的根据，是解决问题的关键．变式训练1．设两个非零向量e 1和e 2不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2(e 1＋4e 2)，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线．分析：要证明A ，B ，D 三点共线，只需证AB →∥AD →.证明：∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e 1＋e 2)＋2(e 1＋4e 2)＋3(e 1－e 2)＝6(e 1＋e 2)＝6AB →， ∴AB →，AD →为共线向量．又AB →，AD →有公共点A ，故A ，B ，D 三点共线．2．如图所示，OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线所围成的阴影区域内(不含边界)运动，且OP →＝xOA →＋yOB →，则x 的取值范围是________________，当x ＝－12时，y的取值范围是________．解析：∵OP →＝xOA →＋yOB →，据平面向量基本定理，取OA →的相反向量OA ′→， ∵y 可以变化，∴x 可以取任意负实数，故x ∈(－∞，0)． 当x ＝－12时，OA ′→＝－12OA →.过点A ′作OB →的平行线交OM →于点M ，过M 作OA ′的平行线交OB →于点E ，则OE →＝12OB →.同理，过A ′作OB →的平行线交AB →的延长线于点F .再过F 作OA →的平行线交OB →的延长线于点H ，则OH →＝32OB →，因不包括边界，故y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.答案：(－∞，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32向量的坐标运算已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)及OP →＝OA →＋tAB →. (1)当t 为何值时，P 在x 轴上？在y 轴上？在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．分析：(1)将OP →的坐标用t 表示出来，然后讨论OP →的横、纵坐标．(2)若能成为平行四边形，则有OA →＝PB →，解出t 的值；若t 无解，则不能构成平行四边形．解析：(1)∵OA →＝(1，2)，AB →＝(3，3)， ∴OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t ，2＋3t )． 若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，t ＝－23；若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，t ＝－13；若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0.解得－23＜t ＜－13.(2)∵OA →＝(1，2)，PB →＝PO →＋OB →＝(3－3t ，3－3t )． 若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →.又⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2 无解，故四边形OABP 不能成为平行四边形．◎规律总结：向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示，引入向量的坐标表示，向量的运算完全化为代数运算，达到了数与形的统一，通过向量的坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模，判断共线、平行等问题．变式训练3．已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，求向量MN →的坐标．分析：要求MN →的坐标只要求出M 、N 点的坐标即可．为此须设出M 、N 的坐标，然后用已知条件求出．解析：设M 点坐标为(x ，y )，依题意有 CA →＝(1，8)，CB →＝(6，3)，CM →＝(x ＋3，y ＋4)．∵CM →＝3CA →，∴(x ＋3，y ＋4)＝3(1，8)． 解得x ＝0，y ＝20，即M 的坐标为(0，20)， 同理可得N 的坐标为(9，2)，∴MN →＝(9，－18)．4．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AB 的中点，E 为△ACD 的重心，F 为△ABC 的外心，证明EF ⊥CD .证明：建立如图所示的平面直角坐标系．设A (0，b )，B (－a ，0)，C (a ，0)，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，b 2，CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2， 易知△ABC 的外心F 在y 轴上．可设F (0，y )，由|AF →|＝|CF →|，可得(y －b )2＝a 2＋y 2，所以y ＝b 2－a 22b ，即F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 2－a 22b . 又由重心坐标公式得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6，b 2，则EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6，－a 22b ，所以CD →·EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6＋b 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 22b ＝0.所以CD →⊥EF →，即EF ⊥CD .平面向量的数量积设0＜|a |≤2，且函数f (x )＝cos 2x －|a |sin x －|b |的最大值为0，最小值为－4，且a 与b 的夹角为45°，求|a ＋b |.分析：要求|a ＋b |需知道|a |、|b |，故可利用函数的最值确立|a |、|b |的值． 解析：f (x )＝1－sin 2x －|a |sin x －|b |＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin x ＋|a |22＋|a |24－|b |＋1.∵0＜|a |≤2，∴当sin x ＝－|a |2时，14|a |2－|b |＋1＝0；当sin x ＝1时，－|a |－|b |＝－4. 由⎩⎪⎨⎪⎧14|a |2－|b |＋1＝0，－|a |－|b |＝－4⇒⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝2，|b |＝2.∴|a ＋b |2＝8＋42， 即|a ＋b |＝22＋ 2.◎规律总结：平面向量的数量积是向量的核心内容，通过向量的数量积考查向量的平行、垂直等关系，利用数量积可以计算向量的夹角、长度等．对数量积的正确理解及其性质的灵活应用是解决这类问题的关键．变式训练5．如右图所示，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中：①P 1P 2→·P 1P 3→；②P 1P 2→·P 1P 4→； ③P 1P 2→·P 1P 5→；④P 1P 2→·P 1P 6→，向量的数量积最大的是________(填序号)．解析：设正六边形边长为a ，则P 1P 2→·P 1P 3→＝a ·3a ·cos 30°＝32a 2，P 1P 2→·P 1P 4→＝a ·2a ·cos60°＝a 2，P 1P 2→·P 1P 5→＝a ·3a ·cos 90°＝0，P 1P 2→·P 1P 6→＝a ·a ·cos 120°＝－12a 2，∴数量积最大的是P 1P 2→·P 1P 3→.故填①.答案：①6．如图，在△ABC 中，|AB →|＝3，|AC →|＝1，l 为BC 的垂直平分线且交BC 于点D ，E 为l 上异于点D 的任意一点，F 为线段AD 上的任意一点．(1)求AD →·(AB →－AC →)的值；(2)判断AE →·(AB →－AC →)的值是否为一常数，并说明理由； (3)若AC ⊥BC ，求AF →·(FB →＋FC →)的最大值．解析：(1)AD →·(AB →－AC →)＝12(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝12(|AB →|2－|AC →|2)＝4.(2)AE →·(AB →－AC →)的值为一常数． AE →·(AB →－AC →)＝(AD →＋DE →)·(AB →－AC →)＝AD →·(AB →－AC →)＋DE →·(AB →－AC →)＝AD →·(AB →－AC →)＝4.(3)当AC ⊥BC 时，BC ＝22，AD ＝3，AF →·(FB →＋FC →)＝AF →·2FD →＝2(AF →·FD →)＝2|AF →||FD →|cos 0°＝2|AF →||FD →|.设|AF →|＝x ，则|FD →|＝3－x ， 所以AF →·(FB →＋FC →) ＝2x (3－x ) ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋32.所以当x ＝32时，AF →·(FB →＋FC →)的最大值为32.平面向量的应用如下图所示，以△ABC 的两边AB ，AC 为边向外作正方形ABGF ，ACDE ，M 为BC 的中点，求证：AM ⊥EF .分析：要证AM ⊥EF ，只需证明AM →·EF →＝0，将AM →用AB →、AC →表示，EF →用AE →、AF →表示，然后通过向量运算证明．证明：因为M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)，EF →＝AF →－AE →，所以AM →·EF →＝12(AB →＋AC →)·(AF →－AE →) ＝12(AB →·AF →＋AC →·AF →－AB →·AE →－AC →·AE →) ＝12(0＋AC →·AF →－AB →·AE →－0) ＝12(AC →·AF →－AB →·AE →) ＝12[|AC →||AB →|cos(90°＋∠BAC )－|AB →||AC →|cos(90°＋∠BAC )] ＝0，所以AM →⊥EF →，即AM ⊥EF .◎规律总结：平面向量的应用主要体现在两个方面：一是在平面几何中的应用，向量的加法运算和全等、平行、数乘向量和相似，距离、夹角和向量的数量积之间有密切联系，因此利用向量方法可以解决平面几何中的相关问题．解决问题的关键是恰当地引入向量，通过向量运算，解释几何性质．二是在物理中的应用，主要解决力、位移、速度等问题．解题的关键在于运用向量的观点将物理问题转化为数学问题，并建立相应的数学模型．变式训练7．如右图，O 为△ABC 的外心，E 为三角形内的一点，满足OE →＝OA →＋OB →＋OC →，求证：AE →⊥BC →.证明：∵BC →＝OC →－OB →，AE →＝OE →－OA →＝(OA →＋OB →＋OC →)－OA →＝OB →＋OC →， ∴AE →·BC →＝(OC →＋OB →)·(OC →－OB →) ＝|OC →|2－|OB →|2.∵O 为外心，∴|OC →|＝|OB →|.即AE →·BC →＝0，∴AE →⊥BC →.8．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度．解析：如题图所示，5|x |＝tan 30°， ∴|x |＝53≈8.66 (km/h)． 5|y |＝sin 30°，∴|y |＝10 km/h. 即水速约为8.66 km/h ，船实际速度为10 km/h.向量与其他知识的综合在直角坐标平面中，已知点P 1(1，2)，P 2(2，22)，P 3(3，23)，…，P n (n ，2n)，其中n 是正整数，对平面上任意一点A 0，记A 1为A 0关于点P 1的对称点，A 2为A 1关于点P 2的对称点……A n 为A n －1关于点P n 的对称点．(1)求向量A 0A 2→的坐标；(2)当点A 0在曲线C 上移动时，点A 2的轨迹是函数y ＝f (x )的图象，其中f (x )是以3为周期的周期函数，且当x ∈(0，3]时，f (x )＝lg x ，求以曲线C 为图象的函数在(1，4]上的解析式．分析：(1)求一点关于另一点的对称点，利用中点坐标公式求之； (2)由图象的平移和周期求出函数的解析式． 解析：(1)设点A 0(x ，y )，A 0关于点P 1的对称点A 1的坐标为A 1(2－x ，4－y )， A 1关于点P 2的对称点A 2的坐标为A 2(2＋x ，4＋y )，所以A 0A 2→＝(2，4)．(2)方法一 ∵A 0A 2→＝(2，4)，∴f (x )的图象由曲线C 向右平移2个单位长度，再向上平称4个单位长度得到．因此，曲线C 是函数y ＝g (x )的图象，其中g (x )是以3为周期的周期函数，且当x ∈(－2，1]时，g (x )＝lg(x ＋2)－4.于是，当x ∈(1，4]时，g (x )＝lg(x －1)－4. 方法二 设A 0(x ，y )，A 2(x 2，y 2)，于是⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＝2，y 2－y ＝4.若3＜x 2≤6，则0＜x 2－3≤3， 于是f (x 2)＝f (x 2－3)＝lg(x 2－3)．当1＜x ≤4时，则3＜x 2≤6，y ＋4＝lg(x －1)． ∴当x ∈(1，4]时，g (x )＝lg(x －1)－4.◎规律总结：向量作为一种基本工具，在数学解题中有着重要的地位与作用，它的引入大大拓宽了解题的思路与方法，使它在研究其他许多问题时获得了广泛的应用．利用向量知识和向量方法可以非常简捷、规范地处理代数中的数列、函数、方程、不等式等有关问题．变式训练9．已知点A (2，2)，B (4，1)，O 为坐标原点，P 为x 轴上一动点，当AP →·BP →取最小值时，求向量PA →与PB →的夹角的余弦值．解析：设点P 的坐标为(x ，0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)， ∴AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.∴当x ＝3时，AP →·BP →取最小值1，此时PA →＝(2，2)－(3，0)＝(－1，2)，PB →＝(4，1)－(3，0)＝(1，1)．∴|PA →|＝5，|PB →|＝ 2. ∴cos ∠APB ＝PA →·PB →|PA →||PB →|＝1010.10．如图，在平面斜坐标xOy 中．∠xOy ＝60°，平面上任一点P 关于斜坐标系的坐标是这样定义的：若OP →＝xe 1＋ye 2(其中e 1，e 2分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量)，则点P 的斜坐标为(x ，y )．(1)若点P 的斜坐标为(2，－2)，求点P 到点O 的距离|OP |； (2)求以O 为圆心，以1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程．解析：(1)因点P 的坐标为(2，－2)，故OP →＝2e 1－2e 2，|OP →|＝2，即|OP |＝2. (2)设圆上动点M 的坐标为(x ，y )， 则OM →＝xe 1＋ye 2，又|OM →|＝1，∴(xe 1＋ye 2)2＝1. ∴x 2＋y 2＋2xye 1·e 2＝1， 即x 2＋y 2＋xy ＝1.故所求方程为x 2＋y 2＋xy －1＝0.。
第2章平面向量（数学苏教版必修4）建议用时实际用时满分实际得分120分钟150分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上）1.已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，则向量OD等于.2. 有下列四个关系式：①|a·b|=|a|·|b|;②|a·b|≤|a|·|b|;③|a·b|≥|a|·|b|;④|a·b|≠|a|·|b|.其中正确的关系式是.3.在△ABC中，AB边上的高为CD,若CB=a,CA=b,a·b=0,|a|=1,|b|=2,则AD= .4.已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|= .5.设x，y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|= .6.设a=(13，tan )，b=(cos ，32)，且a∥b，则锐角的值为.7.点P为△ABC所在平面内任一点，且PA+PB+PC=AB，则点P与△ABC的位置关系是.8.对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是.○1若a·b=0，则a=0或b=0;○2若λa=0，λ=0或a=0;○3若a2=b2，则a=b或a=-b;○4若a·b=a·c，则b=c.9. 在△ABC所在平面存在一点O使得OA+ OB + OC= 0，则面积= .10.若将向量a=（1，2）绕原点按逆时针方向旋转π4得到向量b，则b的坐标是.11.已知平面上三点A、B、C满足|AB|=3，|BC|=4，|CA|=5，则AB·BC+BC·CA+CA·AB的值等于.12.已知点A（1，-2），若向量AB与a=（2，3）同向，|AB|=213，则点B的坐标为.13. 设OA=(3，1)，OB=(-1，2)，OC⊥OB, BC ∥OA,又OD+OA=OC，则OD的坐标是.14.若对n个向量a1，a2，…，a n存在n个不全为零的实数k1,k2,…,k n，使得k1a1+k2a2+…+k n a n=0成立，则称向量a1,a2,…,a n为“线性相关”.依此规定，能说明a1=(1,2),a2=(1,-1)，a3=(2,10)“线性相关”的实数k1,k2,k3依次可以取（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）.二、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共80分）15.(15分)设a，b，c，d∈R，求证：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）. 16.（15分）已知实数a，b，c，d，求函数f（x）=2222()()x a b x c d+++-+的最小值.17.（21分）平面内给定三个向量a＝（3，2），b ＝（-1，2），c=（4，1）.（1）求满足a=m b+n c的实数m,n；（2）若（a+k c）∥(2b-a)，求实数k；（3）设d=(x,y)满足（d-c）∥(a+b)，且|d-c|＝1，求向量d. 18.（14分）设平面内两向量a与b互相垂直，且|a|=2，|b|=1，又k与t是两个不同时为零的实数.（1）若x=a+（t-3）b与y=-k a+t b垂直，求k关于t的函数表达式k=f（t）；（2）求函数k=f（t）的最小值.19.（15分）一条河的两岸平行，河的宽度d为500 m，一条船从A处出发航行到河的正对岸B处，船航行的速度|v1|=10 km/h，水流速度|v2|=4 km/h，那么v1与v2的夹角（精确到1°）多大时，船才能垂直到达对岸B处？船行驶多少时间？（精确到0.1 min）第2章平面向量（数学苏教版必修4）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6．7． 8． 9． 10． 11． 12．13． 14．二、解答题15.16. 17. 18. 19.第2章 平面向量（数学苏教版必修4）答案一、填空题1. a +c -b 解析：如图，点O 到平行四边形三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a 、b 、c ， 结合图形有OD =OA +AD =OA +BC =OA +OC -OB =a +c -b .2. ○2 解析：|a ·b |=|a ||b ||cos θ|≤|a |·|b |,其中θ为a 与b 的夹角.3.45a -45b 解析：利用向量的三角形法则求解. 如图，∵ a ·b =0，∴ a ⊥b ，∴ ∠ACB =90°， ∴ AB =22AC BC +=5.又CD ⊥AB ,∴ AC 2=AD ·AB ，∴ AD =455. A DOB CC b aA D B∴ AD =45AB =45（a -b ）=45a -45b . 4.5 解析：｜a +b ｜2=a 2+2a ·b +b 2=|a |2+2a ·b +|b |2=50，即5+2×10+|b |2=50,∴ |b |=5.5. 解析：利用平面向量共线和垂直的条件求解. ∵ a =（x ,1）,b =（1,y ）,c =（2,-4）, 由a ⊥c 得a ·c =0,即2x-4=0,∴ x =2. 由b ∥c ,得1×（-4）-2y =0,∴ y =-2. ∴ a =（2,1）,b =（1,-2）.∴ a +b =（3,-1）,∴ |a +b |=223(1)+-=.6.π6解析：∵ a ∥b ，∴ 13×32-t a n cos =0，即sin =12，∴ =π6.7. P 在AC 边上 解析：∵ PA +PB +PC =AB ，∴ PA +PC =AB +BP =AP ，即PC =2AP . ∴ A 、C 、P 三点共线，即P 在AC 边上. 8.○2 解析：取a =（1，0），b =（0，-1），满足条件a ·b =0，a 2=b 2，但不能推得a =0或b =0，a =b 或a =-b ，故选项○1、○3均假；向量数量积运算不满足消去律，故选项○4假. 9.13解析：∵ OA + OB + OC = 0 ，∴ OB + OC = AO ， 设 OB + OC =OD ， ∴O 是AD 的中点， 要求面积之比的两个三角形是同底的三角形， ∴面积之比等于三角形的高之比，∴比值是13， 10. （22-，322） 解析：设b =（x ，y ），则|b |=|a |=，a ·b =|a ||b |·cos π4=××22=522，即x 2+y 2=5，x+2y =522，解得x =22-，y =322（舍去x =322，y =22）.故b =（22-，322）. 11.-25 解析：∵|AB |2+|BC |2=|CA |2，∴ △ABC 为直角三角形，AB ⊥BC ， cos A =35，cos C =45. ∴原式=3×4×0+4×5×(45-)+5×3×(35-)=25-.12.（5，4） 解析：设AB =（x ，y ），∵ AB 与a 同向， ∴ AB =λa （λ>0），即（x ，y ）=λ（2，3）.∴ 2,3.x y λλ=⎧⎨=⎩又|AB |=2，∴ x 2+y 2=52.∴ 4λ2+9λ2=52，解得λ=2（负值舍去）.∴ 点B 的坐标为（5，4）.13. 1 解析：设OC =(x ,y ),由OC ⊥OB ,得-x+2y =0.① 由BC =OC -OB =(x+1,y-2), BC ∥OA , 得(x+1)-3(y-2)=0.②由①②联立，解得x =14,y =7.故OD =OC -OA =(14，7)-(3，1)=(11，6).14.只要写出-4c ,2c ,c (c ≠0)中一组即可，如-4，2，1等 解析：由k 1a 1+k 2a 2+k 3a 3＝0得12313,12323,20,421002k k k k k k k k k k ++==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩∴ k 1=-4c ,k 2=2c ,k 3=c (c ≠0). 二、解答题15.证明：引入向量a =（a ，b ），b =（c ，d ）. 设向量a 、b 的夹角为，则（ac+bd ）2=（a ·b ）2=（|a ||b |cos ）2≤（|a ||b |）2=（a 2+b 2）（c 2+d 2）. 16.解：引入向量a =（x+a ，b ），b =（c-x ，d ）， 则原函数变为f （x ）=|a |+|b |.∴ f （x ）=|a |+|b |≥|a +b |=22()()x a c x b d ++-++=22()()a c b d +++. ∴ 函数f （x ）的最小值为22()()a c b d +++. 17.解：（1）因为a =m b +n c ,所以（3，2）＝（-m+4n ,2m+n ）,所以5,43,9228.9m m n m n n ⎧=⎪-+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩（2）因为（a +k c ）∥(2b -a ),又a + k c =(3+4k ,2+k ),2b -a =(-5,2), 所以2（3+4k ）+5（2+k ）＝0，即k =-1613. （3）因为d -c =(x-4,y-1),a +b =(2,4), 又（d -c ）∥(a +b ),|d -c |=1，所以22554,4,4(4)2(1)0,55(4)(1)1,25251,155x x x y x y y y ⎧⎧=+=-⎪⎪---=⎧⎪⎪⎨⎨⎨-+-=⎩⎪⎪=+=-⎪⎪⎩⎩解得或.所以d =（5254,155++）,或d =（5254,155--）. 18.解：（1）∵ a ⊥b ，∴ a ·b =0.又x ⊥y ，∴ x ·y =0，即［a +（t-3）b ］·（-k a +t b ）=0，-k a 2-k （t-3）a ·b +t a ·b +t （t-3）b 2=0. 将|a |=2，|b |=1代入上式得-4k+t 2-3t =0， 即k =f （t ）=14（t 2-3t ）. （2）由（1）知k =f （t ）=14（t 2-3t ）=14（t-32）2916-, ∴ 当t =32时，k 最小=916-. 19.解：如图，根据向量的平行四边形法则和解三角形知识可得| v 1|2=| v |2+| v 2|2，得| v |=2212-v v =22104-≈9.2（km/h ）. ∵ cos （π-）=21v v =410=25，∴ π-≈1130π，即≈1930π=114°，时间t =d v ≈0.59.2=592（h ）,即约3.3 min. 答：v 1与v 2的夹角约为114°时船才能垂直到达对岸B 处，大约行驶3.3 min.v 1 vA v 2。
章末复习学习目标 1.回顾梳理向量的有关概念，进一步体会向量的有关概念的特征.2.系统整理向量线性运算、数量积运算及相应的运算律和运算性质.3.体会应用向量解决问题的基本思想和基本方法.4.进一步理解向量的“工具”性作用．1．向量的运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).向量运算法则(或几何意义)坐标运算向量的线性运算加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法a－b＝(x1－x2，y1－y2) 数乘(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λa＝(λx1，λy1)向量的数量积运算a·b＝|a||b|cosθ(θ为a与b的夹角)规定0·a＝0，数量积的几何意义是a的模与b在a方向上的投影的积a·b＝x1x2＋y1y22．两个定理(1)平面向量基本定理①定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.②基底：把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．(2)向量共线定理如果有一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b ＝λa . 3．向量的平行与垂直a ，b 为非零向量，设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ∥b 有唯一实数λ使得b ＝λa (a ≠0) x 1y 2－x 2y 1＝0 a ⊥ba ·b ＝0x 1x 2＋y 1y 2＝01．平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( × ) 提示 平面内不共线的两个向量才可以作为一组基底．2．若向量AB →和向量CD →共线，则A ，B ，C ，D 四点在同一直线上．( × ) 提示 也可能AB ∥CD .3．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0.( × )4．若a·b >0，则a 和b 的夹角为锐角；若a·b <0，则a 和b 的夹角为钝角．( × ) 提示 当a ，b 同向共线时，a·b >0，但a 和b 的夹角为0.当a ，b 反向共线时，a·b <0，但a 和b 的夹角为π.类型一 向量的线性运算例1 如图所示，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．★答案★311解析 设BP →＝λBN →，则BP →＝BA →＋AP →＝－AB →＋mAB →＋211AC →＝(m －1)AB →＋211AC →.BN →＝BA →＋AN →＝－AB →＋14AC →.∵BP →与BN →共线，∴14(m －1)＋211＝0，∴m ＝311.反思与感悟 向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题．跟踪训练1 如图，在△ABC 中，E 为线段AC 的中点，试问在线段AC 上是否存在一点D ，使得BD →＝13BC →＋23BE →，若存在，说明D 点位置；若不存在，说明理由．解 假设存在D 点，使得BD →＝13BC →＋23BE →.BD →＝13BC →＋23BE →⇒BD →＝13BC →＋23(BC →＋CE →)＝BC →＋23CE →⇒BD →－BC →＝23CE →⇒CD →＝23CE →⇒CD →＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫12CA →⇒CD →＝13CA →.所以当点D 为AC 的三等分点⎝⎛⎭⎪⎫CD →＝13CA →时，BD →＝13BC →＋23BE →.类型二 向量的数量积运算例2 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0)． (1)用k 表示数量积a ·b ；(2)求a ·b 的最小值，并求出此时a 与b 的夹角θ的大小． 解 (1)由|k a ＋b |＝3|a －k b |， 得(k a ＋b )2＝3(a －k b )2，∴k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2＝3a 2－6k a ·b ＋3k 2b 2. ∴(k 2－3)a 2＋8k a ·b ＋(1－3k 2)b 2＝0.∵|a |＝cos 2α＋sin 2α＝1，|b |＝cos 2β＋sin 2β＝1， ∴k 2－3＋8k a ·b ＋1－3k 2＝0，∴a ·b ＝2k 2＋28k ＝k 2＋14k.(2)a ·b ＝k 2＋14k ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k .由对勾函数的单调性可知，f (k )＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 在(0，1]上单调减，在[1，＋∞)上单调增，∴当k ＝1时，f (k )min ＝f (1)＝14×(1＋1)＝12，此时a 与b 的夹角θ的余弦值cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝60°.反思与感悟 数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题： (1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0， a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)求向量的夹角和模的问题 ①设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21. ②两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π)cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 跟踪训练2 已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－(3＋m ))． (1)若点A ，B ，C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值． 解 (1)若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线， ∵OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)， OC →＝(5－m ，－(3＋m ))，∴AB →＝(3，1)，BC →＝(－m －1，－m )， ∵AB →与BC →不平行，∴－3m ≠－m －1，解得m ≠12，∴当实数m ≠12时满足条件．(2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB →⊥AC →，而AB →＝(3，1)，AC →＝(2－m ，1－m )， ∴3(2－m )＋(1－m )＝0，解得m ＝74.类型三 向量坐标法在平面几何中的应用例3 已知在等腰△ABC 中，BB ′，CC ′是两腰上的中线，且BB ′⊥CC ′，求顶角A 的余弦值的大小．解 建立如图所示的平面直角坐标系，设A (0，a )，C (c ，0)，其中a >0，c >0，则B (－c ，0)，OA →＝(0，a )，BA →＝(c ，a )，OC →＝(c ，0)，BC →＝(2c ，0)．因为BB ′，CC ′为AC ，AB 边上的中线， 所以BB ′→＝12(BC →＋BA →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2，a 2， 同理CC ′→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3c 2，a 2. 因为BB ′→⊥CC ′→，所以BB ′→·CC ′→＝0， 即－9c 24＋a 24＝0，化简得a 2＝9c 2，又因为cos A ＝AB ，→·AC →|AB →||AC →|＝a 2－c 2a 2＋c 2＝9c 2－c 29c 2＋c 2＝45.即顶角A 的余弦值为45.反思与感悟 把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题．这样的解题方法具有普遍性． 跟踪训练3 如图，半径为3的扇形AOB 的圆心角为120°，点C 在AB 上，且∠COB ＝30°，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝________.★答案★3解析 由题意，得∠AOC ＝90°，故以O 为坐标原点，OC ，OA 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则O (0，0)，A (0，3)，C (3，0)，B (3×co s30°， －3×sin30°)，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32.因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以(3，0)＝λ(0，3)＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝32μ，0＝3λ－32μ，则⎩⎪⎨⎪⎧μ＝233，λ＝33，所以λ＋μ＝ 3.1．在菱形ABCD 中，若AC ＝2，则CA →·AB →＝________. ★答案★ －2解析 如图，设对角线AC 与BD 交于点O ，∴AB →＝AO →＋OB →.CA →·AB →＝CA →·(AO →＋OB →)＝－2＋0＝－2.2．设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4.若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝________. ★答案★ 9解析 ▱ABCD 的图象如图所示，由题设知，AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋34AD →，NM →＝13AB →－14AD →，∴AM →·NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋34AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－14AD →＝13|AB →|2－316|AD →|2＋14AB →·AD →－14AB →·AD →＝13×36－316×16＝9. 3．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为________． ★答案★ －2解析 m a ＋4b ＝(2m －4，3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1)． ∵m a ＋4b 与a －2b 共线，∴(2m －4)×(－1)－(3m ＋8)×4＝0，解得m ＝－2.4．若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________. ★答案★ 2 5解析 由题意可知，△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，且腰长|OA →|＝|OB →|＝10，由勾股定理得|AB →|＝20＝2 5.5．平面向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，若存在不同时为0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求函数关系式k ＝f (t )． 解 由a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，得a·b ＝0，|a |＝2，|b |＝1，由x ⊥y ，得[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0， －k a 2＋t a·b －k (t 2－3)a·b ＋t (t 2－3)b 2＝0， 即－4k ＋t 3－3t ＝0，所以k ＝14(t 3－3t )，令f (t )＝14(t 3－3t )，所以函数关系式为k ＝f (t )＝14(t 3－3t )．1．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题．2．向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．一、填空题 1．设向量a ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x 为__________________________________． ★答案★ 3解析 ∵a ∥b ，∴2×6－4x ＝0，∴x ＝3.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →＝___________________. ★答案★ 5解析 ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)，∴AD →·AC →＝2×3＋(－1)×1＝5.3．若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝35，则b ＝________. ★答案★ (－3，6)解析 设b ＝k a ＝(k ，－2k )，k ＜0，而|b |＝35，则5k 2＝35，∴k ＝－3，b ＝(－3，6)．4．已知a ＝(2，3)，b ＝(－1，4)，c ＝(5，6)，那么(a ·b )·c ＝________. ★答案★ (50，60)解析 因为a ·b ＝(2，3)·(－1，4)＝－2＋12＝10， 所以(a ·b )c ＝10(5，6)＝(50，60)．5．若|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，若(3a ＋5b )⊥(m a －b )，则m 的值为________． ★答案★238解析 由题意知(3a ＋5b )·(m a －b )＝3m a 2＋(5m －3)a·b －5b 2＝0，即3m ＋(5m －3)×2×cos60°－5×4＝0，解得m ＝238.6．若OA →＝(sin θ，－1)，OB →＝(2sin θ，2cos θ)，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则|AB →|的最大值为________． ★答案★ 3解析 ∵AB →＝OB →－OA →＝(sin θ，2cos θ＋1)⇒|AB →|＝sin 2θ＋4cos 2θ＋4cos θ＋1＝3cos 2θ＋4cos θ＋2＝3(cos θ＋23)2＋23，∴当cos θ＝1，即θ＝0时，|AB →|取得最大值3.7．已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________. ★答案★233解析 因为|e 1|＝|e 2|＝1且e 1·e 2＝12.所以e 1与e 2的夹角为60°.又因为b ·e 1＝b ·e 2＝1，所以b ·e 1－b ·e 2＝0，即b ·(e 1－e 2)＝0，所以b ⊥(e 1－e 2)．所以b 与e 1的夹角为30°，所以b ·e 1＝|b |·|e 1|cos30°＝1. ∴|b |＝233.8．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上的两点，且|AB |＝5，则AC →·CB →＝________. ★答案★ －52解析 由弦长|AB |＝5，可知∠ACB ＝60°，AC →·CB →＝－CA →·CB →＝－|CA →||CB →|cos ∠ACB ＝－52. 9．单位圆上三点A ，B ，C 满足OA →＋OB →＋OC →＝0，则向量OA →，OB →的夹角为________． ★答案★ 120°解析 ∵A ，B ，C 为单位圆上三点， ∴|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1， 又∵OA →＋OB →＋OC →＝0. ∴－OC →＝OB →＋OA →.∴OC →2＝(OB →＋OA →)2＝OB →2＋OA →2＋2OB →·OA →， 可得cos 〈OA →，OB →〉＝－12.又∵〈OA →，OB →〉∈[0°，180°]， ∴向量OA →，OB →的夹角为120°.10．在△ABC 中，点O 在线段BC 的延长线上，且|BO →|＝3|CO →|，当AO →＝xAB →＋yAC →时，x －y ＝________. ★答案★ －2解析 由|BO →|＝3|CO →|，得BO →＝3CO →， 则BO →＝32BC →，所以AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋32BC →＝AB →＋32(AC →－AB →)＝－12AB →＋32AC →.所以x ＝－12，y ＝32，所以x －y ＝－12－32＝－2.11．已知向量a ＝(1，1)，b ＝(－1，1)，设向量c 满足(2a －c )·(3b －c )＝0，则|c |的最大值为________． ★答案★26解析 将2a ，3b ，c 的起点都移到坐标原点，如图．∵(2a －c )·(3b －c )＝0， ∴CA →⊥CB →，即AC ⊥BC . 又∵a ⊥b ，∴OA →⊥OB →， 即OA ⊥OB ， ∴O ，A ，C ，B 共圆．∴|c |的最大值即为圆的直径AB ＝26. 二、解答题12．已知OA →＝(1，0)，OB →＝(0，1)，OM →＝(t ，t )(t ∈R )，O 是坐标原点． (1)若A ，B ，M 三点共线，求t 的值；(2)当t 取何值时，MA →·MB →取到最小值？并求出最小值． 解 (1)AB →＝OB →－OA →＝(－1，1)，AM →＝OM →－OA →＝(t －1，t )． ∵A ，B ，M 三点共线，∴AB →与AM →共线， ∴－t －(t －1)＝0，∴t ＝12.(2)∵MA →＝(1－t ，－t )，MB →＝(－t ，1－t )，∴MA →·MB →＝2t 2－2t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－12，易知当t ＝12时，MA →·MB →取得最小值－12. 13．如图，在同一平面内，∠AOB ＝150°，∠AOC ＝120°，|OA →|＝2，|OB →|＝3，|OC →|＝4.(1)用OB →和OC →表示OA →；(2)若AD →＝λAC →，AC →⊥BD →，求λ的值．解 由题意，得∠BOC ＝90°，以OC 所在的直线为x 轴，以BO 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则O (0，0)，A (－1，3)，B (0，－3)，C (4，0)．(1)设OA →＝λ1OB →＋λ2OC →，则(－1，3)＝λ1(0，－3)＋λ2(4，0)＝(4λ2，－3λ1)，∴λ1＝－33，λ2＝－14， ∴OA →＝－33OB →－14OC →. (2)设D (x ，y )，∵AD →＝λAC →，∴(x ＋1，y －3)＝λ(5，－3)， ∴⎩⎨⎧ x ＝5λ－1，y ＝－3λ＋3，∴D (5λ－1，－3λ＋3)，BD →＝(5λ－1，3－3λ＋3)．∵AC →·BD →＝0，∴(5λ－1)×5＋(3＋3－3λ)×(－3)＝0，解得λ＝8＋3328. 三、探究与拓展14．已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．★答案★ 712解析 ∵AP →⊥BC →，∴AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝－λAB →2＋(λ－1)AB →·AC →＋AC →2＝－9λ＋(λ－1)×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋4＝0， ∴λ＝712. 15．在Rt △ABC 中，已知∠A ＝90°，BC ＝a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问PQ →与BC→的夹角θ取何值时，BP →·CQ →的值最大？并求出这个最大值．解 方法一 如图，∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝0.∵AP →＝－AQ →，BP →＝AP →－AB →，CQ →＝AQ →－AC →，∴BP →·CQ →＝(AP →－AB →)·(AQ →－AC →)＝AP →·AQ →－AP →·AC →－AB →·AQ →＋AB →·AC →＝－a 2－AP →·AC →＋AB →·AP →＋0＝－a 2－AP →·(AC →－AB →)＝－a 2＋12PQ →·BC →＝－a 2＋a 2cos θ. 故当cos θ＝1，即θ＝0°(PQ →与BC →方向相同)时，BP →·CQ →的值最大，其最大值为0.方法二 以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．设AB ＝c ，AC ＝b ，则A (0，0)，B (c ，0)，C (0，b )，设点P 的坐标为(x ，y )，由题意知PQ ＝2a ，BC ＝a ，则Q (－x ，－y )，x 2＋y 2＝a 2，∴BP →＝(x －c ，y )，CQ →＝(－x ，－y －b )，BC →＝(－c ，b )，PQ →＝(－2x ，－2y )．∴BP →·CQ →＝(x －c )(－x )＋y (－y －b )＝－(x 2＋y 2)＋cx －by .又BC →·PQ →＝2cx －2by ＝a ×2a ×cos θ，∴cx －by ＝a 2cos θ∴BP →·CQ →＝－a 2＋a 2cos θ.故当cos θ＝1，即θ＝0°(PQ →与BC →方向相同)时，BP →·CQ →的值最大，其最大值为0.。
第2章 平面向量1 向量线性运算的应用平面向量的线性运算包括加法、减法以及数乘运算，在解题中具有广泛的应用．在对向量实施线性运算时，要准确利用对应的运算法则、运算律，注意向量的大小和方向两个方面．一、化简例1化简下列各式：(1)(2AB →－CD →)－(AC →－2BD →)； (2)124[3(2a ＋8b )－6(4a －2b )]． 解 (1)(2AB →－CD →)－(AC →－2BD →)＝2AB →－CD →－AC →＋2BD →＝2AB →＋DC →＋CA →＋2BD →＝2(AB →＋BD →)＋(DC →＋CA →)＝2AD →＋DA →＝AD →.(2)124[3(2a ＋8b )－6(4a －2b )] ＝124(6a ＋24b －24a ＋12b )＝124(－18a ＋36b ) ＝－34a ＋32b . 点评 向量的基本运算主要有两个途径：一是基于“形”，通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则进行化简；二是基于“数”，满足“首尾相接且相加”或“起点相同且相减”的两个向量进行化简，解题时要注意观察是否有这两种形式出现，同时注意向量加法法则、减法法则的逆向应用．数乘运算，可类比实数积的运算方法进行，将向量a ，b ，c 等看成一般字母符号，其中向量数乘之间的和差运算，相当于合并同类项或提取公因式，这里的“同类项”与“公因式”指的是向量．二、求参数例2如图，已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.解析 如图，因为MA →＋MB →＋MC →＝0，即MA →＝－(MB →＋MC →)，即AM →＝MB →＋MC →，延长AM ，交BC 于D 点，所以D 是BC 边的中点，所以AM →＝2MD →，所以AD →＝32AM →，所以AB →＋AC →＝2AD →＝3AM →， 所以m ＝3.答案 3点评 求解含参数的向量线性运算问题，只需把参数当作已知条件，根据向量的加法、减法及数乘运算将问题中所涉及的向量用两个不共线的向量表示，列出向量方程，对比系数求参数的值．三、表示向量例3如图所示，在△ABC 中，AD →＝23AB →，DE ∥BC 交AC 于点E ，BC 边上的中线AM 交DE 于点N ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用向量a ，b 表示AE →，BC →，DE →，DN →，AM →.解 因为DE ∥BC ，AD →＝23AB →， 所以AE →＝23AC →＝23b ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ， 由△ADE ∽△ABC ，得DE →＝23BC →＝23(b －a )， 又M 是△ABC 底边BC 的中点，DE ∥BC ，所以DN →＝12DE →＝13(b －a )， AM →＝AB →＋BM →＝a ＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝12(a ＋b )．点评 用已知向量表示另外一些向量，应尽量将所求向量转化到平行四边形或三角形中，利用向量共线条件和平面几何知识的一些定理、性质，如三角形中位线性质，相似三角形对应边成比例等，再利用向量加法、减法法则，即可用已知向量表示所求向量．2 走出平面向量的误区平面向量的基本定理与坐标表示是向量问题的基础，试题的特点是概念较多，应用也多，不少同学由于概念、性质掌握不清，在解题时经常出现错误，本文将常见的错误进行简单的总结，希望帮助同学们走出平面向量的误区．一、理解失误例1已知e 1，e 2是平面α内的一组基底，那么下列命题中正确的有________．(只填序号) ①e 1，e 2两个向量可以共线，也可以是零向量；②λe 1＋μe 2可以表示平面α内的所有向量；③对于平面α内的任意向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数λ、μ有无数对．错解 ①②③正解 由平面向量的基本定理知，只有不共线的两个向量才能作为平面向量的一组基底，所以①错误；任一平面向量都可以用一组基底线性表示，且基底确定，其表示是唯一的，所以②正确，③错误；故正确答案为②.答案 ②点评 对平面向量基本定理的学习要把握以下几点：①e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内的任意向量a 都可用e 1，e 2线性表示，且这种表示是唯一的；③对基底的选取不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组基底．二、考虑不全例2与模为13的向量d ＝(12,5)平行的单位向量为________．错解 由题意得|d |＝13，则与d ＝(12,5)平行的单位向量为⎝⎛⎭⎪⎫1213，513. 正解 与d ＝(12,5)平行的单位向量为⎝⎛⎭⎪⎫1213，513或⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213，－513. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，513或⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213，－513 点评 与d 平行的单位向量有同向和反向两种情况，错解忽略了反向的情况．三、概念混淆例3已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，试求点M ，N 和向量MN →的坐标．错解 A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，所以CA →＝(－2＋3,4＋4)＝(1,8)，CB →＝(3＋3，－1＋4)＝(6,3)， CM →＝3CA →＝(3,24)，CN →＝2CB →＝(12,6)，所以点M (3,24)，点N (12,6)，MN →＝(9，－18)．正解 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．所以CA →＝(－2＋3,4＋4)＝(1,8)， CB →＝(3＋3，－1＋4)＝(6,3)， CM →＝3CA →＝(3,24)，CN →＝2CB →＝(12,6)，又C (－3，－4)，所以点M (0,20)，点N 的坐标为(9,2)；所以MN →＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．点评 向量的坐标与点的坐标是两个不同的概念，向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标，只有当向量的起点在坐标原点处时，向量的坐标才与终点坐标相等．。
第2章 平面向量章末复习课 苏教版必修4课时目标1．掌握向量线性运算及其几何意义.2.理解共线向量的含义、几何表示及坐标表示的条件.3.掌握数量积的含义、坐标形式及其应用．知识结构一、填空题1．若向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)，则(a ·b )(a ＋b )＝________.2．已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λa ＋b 与a 垂直，则λ＝________. 3．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________.4．已知平面向量α、β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．5．在平行四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－3,2)，则AD →·AC →＝________.6．若向量a 与b 不共线，a·b ≠0，且c ＝a －⎝⎛⎭⎪⎫a·a a·b b ，则向量a 与c 的夹角为________．7．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则AP →·(PB →＋PC →)＝________.8．已知|p |＝22，|q |＝3，p 、q 夹角为π4，则以a ＝5p ＋2q ，b ＝p －3q 为邻边的平行四边形的一条对角线长为________．9．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值 范围是______．10．已知平面上直线l 的方向向量d ＝(3，－4)，点O (0,0)和A (4，－2)在l 上的射影分别是O 1和A 1，则|O 1A 1→|＝________. 二、解答题11．已知A (1，－2)、B (2,1)、C (3,2)和D (－2,3)，以AB →、AC →为一组基底来表示AD →＋BD →＋CD →.12．设a ，b 是两个不共线的非零向量，t ∈R .(1)若a 与b 起点相同，t 为何值时a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在一直线上？(2)若|a |＝|b |且a 与b 夹角为60°，那么t 为何值时，|a －t b |的值最小？能力提升13．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则BC →·AO →＝________. 14.如图，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求实数λ、μ的值．1．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题．2．向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．章末复习课作业设计 1．(－10,30)解析 a ·b ＝－3＋8＝5，a ＋b ＝(－2,6)， ∴(a ·b )(a ＋b )＝5×(－2,6)＝(－10,30)． 2．－1解析 ∵(λa ＋b )·a ＝0，∴λa 2＋a ·b ＝0. ∴10λ＋10＝0，∴λ＝－1. 3．2解析 ∵λa ＋b ＝(λ＋2,2λ＋3)与c ＝(－4，－7)共线， ∴(λ＋2)(－7)－(2λ＋3)(－4)＝0，得λ＝2. 4.10解析 由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝0，∴α2－2α·β＝0.又∵|α|＝1，∴α·β＝12.又∵|β|＝2，∴|2α＋β|＝2α＋β2＝4α2＋4α·β＋β2＝4＋4×12＋4＝10.5．3解析 AC →＝AB →＋AD →＝(1,2)， BD →＝AD →－AB →＝(－3,2)，解得AD →＝(－1,2)， ∴AD →·AC →＝(－1,2)·(1,2)＝3. 6.π2解析 ∵a·c ＝a·⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a·a a·b b＝a·a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a·a a·b ·(a·b )＝0，∴〈a ，c 〉＝π2.7.49解析 易知P 为△ABC 的重心，则PB →＋PC →＝－PA →＝AP →，故AP →·(PB →＋PC →)＝AP →2＝49.8．15解析 a ＋b ＝6p －q ，对角线长为|a ＋b |＝|6p |2＋|q |2－2|6p |·|q |cos π4＝288＋9－72＝225＝15. 9.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π 解析 Δ＝|a |2－4a·b ＝|a |2－4|a||b |cos 〈a ，b 〉＝4|b |2－8|b |2cos 〈a ，b 〉≥0.∴cos 〈a ，b 〉≤12，〈a ，b 〉∈[0，π]．∴π3≤〈a ，b 〉≤π.10．4解析 |O 1A 1→|等于OA →在d 方向上投影的绝对值，即|O 1A 1→|＝||OA →|cos 〈OA →，d 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪OA →·d |d | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4，－2·3，－45＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋85＝4. 11．解 ∵AB →＝(1,3)，AC →＝(2,4)，AD →＝(－3,5)， BD →＝(－4,2)，CD →＝(－5,1)， ∴AD →＋BD →＋CD →＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1) ＝(－12,8)．根据平面向量基本定理，必存在唯一实数对m ，n 使得 AD →＋BD →＋CD →＝mAB →＋nAC →，∴(－12,8)＝m (1,3)＋n (2,4)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧－12＝m ＋2n ，8＝3m ＋4n .， 得m ＝32，n ＝－22. ∴AD →＋BD →＋CD →＝32AB →－22AC →.12．解 (1)设a －t b ＝m [a －13(a ＋b )]，m ∈R ，化简得(23m －1)a ＝(m3－t )b ，∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧23m －1＝0m 3－t ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，t ＝12.∴t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )的终点在一直线上．(2)|a －t b |2＝(a －t b )2＝|a |2＋t 2|b |2－2t |a ||b |cos 60°＝(1＋t 2－t )|a |2.∴当t ＝12时，|a －t b |有最小值32|a |.13．－252解析设{AB→，AC→}为平面ABC内的一组基底，如图所示，设O为△ABC的外心，M为BC中点，连结OM、AM、OA，则易知OM⊥BC.又由BC→＝AC→－AB→，AO→＝AM→＋MO→＝12(AB→＋AC→)＋MO→.∴BC→·AO→＝BC→·(AM→＋MO→)＝BC→·AM→(其中BC→·MO→＝0)＝(AC→－AB→)·12(AB→＋AC→)＝12(AC→2－AB→2)＝12(122－132)＝－252.14．解方法一过点C分别作平行于OB的直线CE交直线OA于点E，平行于OA的直线CF交直线OB于点F.如图所示．在Rt△OCE中，|OE→|＝|OC→|cos 30°＝2332＝4；|CE→|＝|OC→|·tan 30°＝23×33＝2，由平行四边形法则知，OC→＝OE→＋OF→＝4OA→＋2OB→，∴λ＝4，μ＝2.方法二如图所示，以OA→所在直线为x轴，过O垂直于OA的直线为y轴建立直角坐标系．设B 点在x轴的射影为B′，C点在x轴的射影为C′.易知，OC′＝23cos 30°＝3，CC′＝OC sin 30°＝3，OB′＝OB sin 60°＝32，OB′＝OB cos 60°＝12，∴A点坐标为(1,0)，B点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－12，32，C点坐标为(3，3)．∵OC →＝λOA →＋μOB → ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－12μ＝3，0·λ＋32μ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4μ＝2.方法三 ∵OC →＝λOA →＋μOB →. ∴⎩⎪⎨⎪⎧OC →·OC →＝λOA →＋μOB →·OC →OA →·OC →＝λOA →＋μOB →·OA →，∴⎩⎪⎨⎪⎧23×32λ＝12λ－μ2＝23×32，解得λ＝4，μ＝2.。
20xx 最新高中数学苏教版必修4教案：第二章 平面向量 第
4课时 2
【教学目标】 一、知识与技能 （1）向量数乘定义。
（2）向量数乘的运算律。
二、过程与方法
在对有关数乘问题的解决中理解数乘概念和实际意义. 三、情感、态度与价值观
联系生活实际学习向量的数乘让学生感受数学美 【教学重点难点】向量的数乘的定义和运算律 一、复习：
已知非零向量，求作和．
如图：，
二、讲解新课：
1．实数与向量的积的定义：
一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下： （1）；
（2）当时，的方向与的方向相同；
当时，的方向与的方向相反；
当 时，．
2．实数与向量的积的运算律：
（1）（结合律）；
a -r
a -r
a r
a r
a r
（2）（第一分配律）；
（3）（第二分配律）．
3．向量共线定理：
内容：
三、例题分析：
例1、计算：（1）；
（2）；
（3）
例2、如图，已知，．试判断与是否共线．
例3、判断下列各题中的向量是否共线：
（1），；
（2），，且，共线．
（3）当，中至少有一个为零向量时，显然与共线．例4、设是两个不共线的向量，已知，，，
若，，三点共线，求的值．
五、课时小结：
1．掌握实数与向量的积的定义；
2．掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算；3．理解向量共线定理，并会判断两个向量是否共线。
第2章平面向量章末复习学习目标 1.回顾梳理向量的有关概念，进一步体会向量的有关概念的特征.2.系统整理向量线性运算、数量积运算及相应的运算律和运算性质.3.体会应用向量解决问题的基本思想和基本方法.4.进一步理解向量的“工具”性作用．1．向量的运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).向量运算法则(或几何意义)坐标运算向量的线性运算加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法a－b＝(x1－x2，y1－y2) 数乘(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λa＝(λx1，λy1)向量的数量积运算a·b＝|a||b|cosθ(θ为a与b的夹角)规定0·a＝0，数量积的几何意义是a的模与b在a方向上的投影的积a·b＝x1x2＋y1y22．两个定理(1)平面向量基本定理①定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.②基底：把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． (2)向量共线定理如果有一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b ＝λa . 3．向量的平行与垂直a ，b 为非零向量，设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ∥b 有唯一实数λ使得b ＝λa (a ≠0) x 1y 2－x 2y 1＝0 a ⊥ba ·b ＝0x 1x 2＋y 1y 2＝01．平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( × ) 提示 平面内不共线的两个向量才可以作为一组基底．2．若向量AB →和向量CD →共线，则A ，B ，C ，D 四点在同一直线上．( × ) 提示 也可能AB ∥CD .3．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0.( × )4．若a·b >0，则a 和b 的夹角为锐角；若a·b <0，则a 和b 的夹角为钝角．( × ) 提示 当a ，b 同向共线时，a·b >0，但a 和b 的夹角为0.当a ，b 反向共线时，a·b <0，但a 和b 的夹角为π.类型一 向量的线性运算例1 如图所示，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．答案311解析 设BP →＝λBN →，则BP →＝BA →＋AP →＝－AB →＋mAB →＋211AC →＝(m －1)AB →＋211AC →.BN →＝BA →＋AN →＝－AB →＋14AC →.∵BP →与BN →共线，∴14(m －1)＋211＝0，∴m ＝311.反思与感悟 向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题．跟踪训练1 如图，在△ABC 中，E 为线段AC 的中点，试问在线段AC 上是否存在一点D ，使得BD →＝13BC →＋23BE →，若存在，说明D 点位置；若不存在，说明理由．解 假设存在D 点，使得BD →＝13BC →＋23BE →.BD →＝13BC →＋23BE →⇒BD →＝13BC →＋23(BC →＋CE →)＝BC →＋23CE →⇒BD →－BC →＝23CE →⇒CD →＝23CE →⇒CD →＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫12CA →⇒CD →＝13CA →.所以当点D 为AC 的三等分点⎝⎛⎭⎪⎫CD →＝13CA →时，BD →＝13BC →＋23BE →.类型二 向量的数量积运算例2 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0)． (1)用k 表示数量积a ·b ；(2)求a ·b 的最小值，并求出此时a 与b 的夹角θ的大小． 解 (1)由|k a ＋b |＝3|a －k b |， 得(k a ＋b )2＝3(a －k b )2，∴k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2＝3a 2－6k a ·b ＋3k 2b 2. ∴(k 2－3)a 2＋8k a ·b ＋(1－3k 2)b 2＝0.∵|a |＝cos 2α＋sin 2α＝1，|b |＝cos 2β＋sin 2β＝1，∴k 2－3＋8k a ·b ＋1－3k 2＝0， ∴a ·b ＝2k 2＋28k ＝k 2＋14k.(2)a ·b ＝k 2＋14k ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k .由对勾函数的单调性可知，f (k )＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 在(0，1]上单调减，在[1，＋∞)上单调增，∴当k ＝1时，f (k )min ＝f (1)＝14×(1＋1)＝12，此时a 与b 的夹角θ的余弦值cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝60°.反思与感悟 数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题： (1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0， a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)求向量的夹角和模的问题 ①设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21. ②两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π)cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 跟踪训练2 已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－(3＋m ))． (1)若点A ，B ，C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值． 解 (1)若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线， ∵OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)， OC →＝(5－m ，－(3＋m ))，∴AB →＝(3，1)，BC →＝(－m －1，－m )， ∵AB →与BC →不平行，∴－3m ≠－m －1，解得m ≠12，∴当实数m ≠12时满足条件．(2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB →⊥AC →，而AB →＝(3，1)，AC →＝(2－m ，1－m )，∴3(2－m )＋(1－m )＝0，解得m ＝74.类型三 向量坐标法在平面几何中的应用例3 已知在等腰△ABC 中，BB ′，CC ′是两腰上的中线，且BB ′⊥CC ′，求顶角A 的余弦值的大小．解 建立如图所示的平面直角坐标系，设A (0，a )，C (c ，0)，其中a >0，c >0，则B (－c ，0)，OA →＝(0，a )，BA →＝(c ，a )，OC →＝(c ，0)，BC →＝(2c ，0)．因为BB ′，CC ′为AC ，AB 边上的中线， 所以BB ′→＝12(BC →＋BA →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2，a 2， 同理CC ′→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3c 2，a 2. 因为BB ′→⊥CC ′→，所以BB ′→·CC ′→＝0， 即－9c 24＋a 24＝0，化简得a 2＝9c 2，又因为cos A ＝AB ，→·AC →|AB →||AC →|＝a 2－c 2a 2＋c 2＝9c 2－c 29c 2＋c 2＝45.即顶角A 的余弦值为45.反思与感悟 把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题．这样的解题方法具有普遍性． 跟踪训练3 如图，半径为3的扇形AOB 的圆心角为120°，点C 在AB 上，且∠COB ＝30°，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝________.答案3解析 由题意，得∠AOC ＝90°，故以O 为坐标原点，OC ，OA 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则O (0，0)，A (0，3)，C (3，0)，B (3×cos30°， －3×sin30°)，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32.因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以(3，0)＝λ(0，3)＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝32μ，0＝3λ－32μ，则⎩⎪⎨⎪⎧μ＝233，λ＝33，所以λ＋μ＝ 3.1．在菱形ABCD 中，若AC ＝2，则CA →·AB →＝________. 答案 －2解析 如图，设对角线AC 与BD 交于点O ，∴AB →＝AO →＋OB →.CA →·AB →＝CA →·(AO →＋OB →)＝－2＋0＝－2.2．设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4.若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝________. 答案 9解析 ▱ABCD 的图象如图所示，由题设知，AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋34AD →，NM →＝13AB →－14AD →，∴AM →·NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋34AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－14AD →＝13|AB →|2－316|AD →|2＋14AB →·AD →－14AB →·AD →＝13×36－316×16＝9. 3．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为________． 答案 －2解析 m a ＋4b ＝(2m －4，3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1)． ∵m a ＋4b 与a －2b 共线，∴(2m －4)×(－1)－(3m ＋8)×4＝0，解得m ＝－2.4．若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________. 答案 2 5解析 由题意可知，△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，且腰长|OA →|＝|OB →|＝10，由勾股定理得|AB →|＝20＝2 5.5．平面向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，若存在不同时为0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求函数关系式k ＝f (t )． 解 由a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，得a·b ＝0，|a |＝2，|b |＝1，由x ⊥y ，得[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0， －k a 2＋t a·b －k (t 2－3)a·b ＋t (t 2－3)b 2＝0， 即－4k ＋t 3－3t ＝0，所以k ＝14(t 3－3t )，令f (t )＝14(t 3－3t )，所以函数关系式为k ＝f (t )＝14(t 3－3t )．1．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题．2．向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．一、填空题 1．设向量a ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x 为__________________________________． 答案 3解析 ∵a ∥b ，∴2×6－4x ＝0，∴x ＝3.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →＝___________________. 答案 5解析 ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)，∴AD →·AC →＝2×3＋(－1)×1＝5.3．若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝35，则b ＝________. 答案 (－3，6)解析 设b ＝k a ＝(k ，－2k )，k ＜0，而|b |＝35，则5k 2＝35，∴k ＝－3，b ＝(－3，6)．4．已知a ＝(2，3)，b ＝(－1，4)，c ＝(5，6)，那么(a ·b )·c ＝________. 答案 (50，60)解析 因为a ·b ＝(2，3)·(－1，4)＝－2＋12＝10， 所以(a ·b )c ＝10(5，6)＝(50，60)．5．若|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，若(3a ＋5b )⊥(m a －b )，则m 的值为________． 答案238解析 由题意知(3a ＋5b )·(m a －b )＝3m a 2＋(5m －3)a·b －5b 2＝0，即3m ＋(5m －3)×2×cos60°－5×4＝0，解得m ＝238.6．若OA →＝(sin θ，－1)，OB →＝(2sin θ，2cos θ)，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则|AB →|的最大值为________． 答案 3解析 ∵AB →＝OB →－OA →＝(sin θ，2cos θ＋1)⇒|AB →|＝sin 2θ＋4cos 2θ＋4cos θ＋1＝3cos 2θ＋4cos θ＋2＝3(cos θ＋23)2＋23，∴当cos θ＝1，即θ＝0时，|AB →|取得最大值3.7．已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________. 答案233解析 因为|e 1|＝|e 2|＝1且e 1·e 2＝12.所以e 1与e 2的夹角为60°.又因为b ·e 1＝b ·e 2＝1，所以b ·e 1－b ·e 2＝0，即b ·(e 1－e 2)＝0，所以b ⊥(e 1－e 2)．所以b 与e 1的夹角为30°，所以b ·e 1＝|b |·|e 1|cos30°＝1. ∴|b |＝233.8．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上的两点，且|AB |＝5，则AC →·CB →＝________. 答案 －52解析 由弦长|AB |＝5，可知∠ACB ＝60°，AC →·CB →＝－CA →·CB →＝－|CA →||CB →|cos ∠ACB ＝－52. 9．单位圆上三点A ，B ，C 满足OA →＋OB →＋OC →＝0，则向量OA →，OB →的夹角为________． 答案 120°解析 ∵A ，B ，C 为单位圆上三点， ∴|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1， 又∵OA →＋OB →＋OC →＝0. ∴－OC →＝OB →＋OA →.∴OC →2＝(OB →＋OA →)2＝OB →2＋OA →2＋2OB →·OA →， 可得cos 〈OA →，OB →〉＝－12.又∵〈OA →，OB →〉∈[0°，180°]， ∴向量OA →，OB →的夹角为120°.10．在△ABC 中，点O 在线段BC 的延长线上，且|BO →|＝3|CO →|，当AO →＝xAB →＋yAC →时，x －y ＝________. 答案 －2解析 由|BO →|＝3|CO →|，得BO →＝3CO →， 则BO →＝32BC →，所以AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋32BC →＝AB →＋32(AC →－AB →)＝－12AB →＋32AC →.所以x ＝－12，y ＝32，所以x －y ＝－12－32＝－2.11．已知向量a ＝(1，1)，b ＝(－1，1)，设向量c 满足(2a －c )·(3b －c )＝0，则|c |的最大值为________． 答案26解析 将2a ，3b ，c 的起点都移到坐标原点，如图．∵(2a －c )·(3b －c )＝0， ∴CA →⊥CB →，即AC ⊥BC . 又∵a ⊥b ，∴OA →⊥OB →， 即OA ⊥OB ， ∴O ，A ，C ，B 共圆．∴|c |的最大值即为圆的直径AB ＝26. 二、解答题12．已知OA →＝(1，0)，OB →＝(0，1)，OM →＝(t ，t )(t ∈R )，O 是坐标原点． (1)若A ，B ，M 三点共线，求t 的值；(2)当t 取何值时，MA →·MB →取到最小值？并求出最小值． 解 (1)AB →＝OB →－OA →＝(－1，1)，AM →＝OM →－OA →＝(t －1，t )． ∵A ，B ，M 三点共线，∴AB →与AM →共线， ∴－t －(t －1)＝0，∴t ＝12.(2)∵MA →＝(1－t ，－t )，MB →＝(－t ，1－t )，∴MA →·MB →＝2t 2－2t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－12，易知当t ＝12时，MA →·MB →取得最小值－12. 13．如图，在同一平面内，∠AOB ＝150°，∠AOC ＝120°，|OA →|＝2，|OB →|＝3，|OC →|＝4.(1)用OB →和OC →表示OA →；(2)若AD →＝λAC →，AC →⊥BD →，求λ的值．解 由题意，得∠BOC ＝90°，以OC 所在的直线为x 轴，以BO 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则O (0，0)，A (－1，3)，B (0，－3)，C (4，0)．(1)设OA →＝λ1OB →＋λ2OC →，则(－1，3)＝λ1(0，－3)＋λ2(4，0)＝(4λ2，－3λ1)，∴λ1＝－33，λ2＝－14， ∴OA →＝－33OB →－14OC →. (2)设D (x ，y )，∵AD →＝λAC →，∴(x ＋1，y －3)＝λ(5，－3)， ∴⎩⎨⎧ x ＝5λ－1，y ＝－3λ＋3，∴D (5λ－1，－3λ＋3)，BD →＝(5λ－1，3－3λ＋3)．∵AC →·BD →＝0，∴(5λ－1)×5＋(3＋3－3λ)×(－3)＝0，解得λ＝8＋3328. 三、探究与拓展14．已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．答案 712 解析 ∵AP →⊥BC →，∴AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝－λAB →2＋(λ－1)AB →·AC →＋AC →2＝－9λ＋(λ－1)×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋4＝0， ∴λ＝712. 15．在Rt △ABC 中，已知∠A ＝90°，BC ＝a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问PQ →与BC→的夹角θ取何值时，BP →·CQ →的值最大？并求出这个最大值．解 方法一 如图，∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝0.∵AP →＝－AQ →，BP →＝AP →－AB →，CQ →＝AQ →－AC →，∴BP →·CQ →＝(AP →－AB →)·(AQ →－AC →)＝AP →·AQ →－AP →·AC →－AB →·AQ →＋AB →·AC →＝－a 2－AP →·AC →＋AB →·AP →＋0＝－a 2－AP →·(AC →－AB →)＝－a 2＋12PQ →·BC →＝－a 2＋a 2cos θ. 故当cos θ＝1，即θ＝0°(PQ →与BC →方向相同)时，BP →·CQ →的值最大，其最大值为0.方法二 以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．设AB ＝c ，AC ＝b ，则A (0，0)，B (c ，0)，C (0，b )，设点P 的坐标为(x ，y )，由题意知PQ ＝2a ，BC ＝a ，则Q (－x ，－y )，x 2＋y 2＝a 2，∴BP →＝(x －c ，y )，CQ →＝(－x ，－y －b )，BC →＝(－c ，b )，PQ →＝(－2x ，－2y )．∴BP →·CQ →＝(x －c )(－x )＋y (－y －b )＝－(x 2＋y 2)＋cx －by .又BC →·PQ →＝2cx －2by ＝a ×2a ×cos θ，∴cx －by ＝a 2cos θ∴BP →·CQ →＝－a 2＋a 2cos θ.故当cos θ＝1，即θ＝0°(PQ →与BC →方向相同)时，BP →·CQ →的值最大，其最大值为0.。
