2.1指数函数练习题

课时 4 指数函数一 . 指数与指数幂的运算（ 1）根式的观点①假如xna, a R, x R, n 1，且 nN ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根． 当 n 是奇数时， a 的 n 次方根用符号 na 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号na 表示，负的 n 次方根用符号na表示； 0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根．②式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当n 为奇数时， a 为随意实数；当 n 为偶数时， a．③根式的性质： (na )n a ；当 n 为奇数时， n a n a ；当 n 为偶数时， n a n | a |a (a 0) ．a (a 0)（ 2）分数指数幂的观点mna m (a①正数的正分数指数幂的意义是：a n 0, m,n N , 且 n 1) ．0 的正分数指数幂等于0．②m(1m1 ) m( a正数的负分数指数幂的意义是：a n)n n (0, m, n N , 且 n1) ．0 的负分数指aa数幂没存心义． 注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数．（ 3）分数指数幂的运算性质①a r a s a r s (a 0, r , s R)② (ar) sa rs (a 0, r , s R)③(ab)ra rb r (a0,b 0, rR)二 . 指数函数及其性质（ 4）指数函数函数名称指数函数定义函数 ya x (a 0 且 a1) 叫做指数函数a 1a 1yy a xya xy图象y1y1(0,1)(0,1)OxOx定义域 R值域（0,+ ∞）过定点 图象过定点（0,1 ），即当 x=0 时， y=1．奇偶性非奇非偶单一性在 R 上是增函数在 R 上是减函数函数值的 y ＞ 1(x ＞ 0), y=1(x=0), 0＜ y ＜ 1(x ＜ 0)y ＞ 1(x ＜ 0), y=1(x=0), 0＜ y ＜ 1(x ＞ 0)变化状况a 变化对在第一象限内， a 越大图象越高，越凑近 y 轴； 在第一象限内， a 越小图象越高，越凑近 y 轴； 图象影响在第二象限内，a 越大图象越低，越凑近x 轴．在第二象限内，a 越小图象越低，越凑近x 轴．三 .例题剖析1.设 a 、 b 知足 0<a<b<1,以下不等式中正确的选项是 ( C)A.a a <a bB.b a <b bC.a a <b aD.b b <a b 分析： A 、B 不切合底数在 (0,1) 之间的单一性 ; C 、 D 指数同样 , 底小值小 . 应选 C. 2.若 0<a<1,则函数 y=a x 与 y=(a-1)x 2 的图象可能是 (D )分析： 当 0<a<1 时 ,y=a x 为减函数 ,a-1<0, 因此 y=(a-1)x2张口向下 , 应选 D.3.设指数函数 f(x)=a x (a>0 且 a ≠ 1),则以下等式中不正确的选项是 ( D )A.f(x+y)=f(x)f(y)f (x)B.f(x-y)=f ( y)C.f(nx)= ［ f(x) ］ nD.f ［ (xy) n ］ =［ f(x) ］ n ［ f(y) ］ n (n ∈ N * )分析： 易知 A 、 B 、 C 都正确 .对于 D,f ［(xy)n］ =a (xy)n , 而［ f(x) ］ n ·［f(y) ］ n =(a x ) n ·(a y ) n =a nx+ny , 一般状况下 D 不建立 .11 34.设 a= ( 3) 3,b= ( 4)4,c= ( 3) 4,则 a 、b 、 c 的大小关系是 ( B )43 2A.c<a<b3分析： a= ( )B.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a1 111(8133( 4)3 ( 4) 4=b, b=(4) 4)4(3) 4 =c.∴ a>b>c.3 332725.设 f(x)=4 x -2x+1,则 f -1 (0)=______1____________. 分析： 令 f -1 (0)=a, 则 f(a)=0 即有 4a -2 · 2a =0.2a · (2 a -2)=0, 而 2a >0,∴ 2a =2 得 a=1.6.函数 y=a x-3 +4(a>0 且 a ≠ 1)的反函数的图象恒过定点 ______(5,3)____________.分析： 因 y=a x 的图象恒过定点 (0,1), 向右平移 3 个单位 , 向上平移 4 个单位获得 y=a x-3 +4 的图象 , 易知恒过定点 (3,5).故其反函数过定点 (5,3).10 x 10 x.证明 f(x) 在 R 上是增函数 .7.已知函数 f(x)=x10 x10x1010x102x1,设 x 1<x 2∈ R,则f(x 1)-f(x2)=10x 1 1010x 1 10x 110x 210 x 2102 x 11 102 x 21 2(102 x 1102 x2).x 110x2 10x2 102 x1 1102 x21(102 x11)(102 x 2 1)∵ y=10 x是增函数 ,∴ 10 2x 1 10 2x 2 <0.而 10 2x 1 +1>0, 102 x 2 +1>0,故当 x <x 时 ,f(x)-f(x )<0,1212即 f(x 1)<f(x 2). 因此 f(x) 是增函数 .8.若定义运算 a b=b, ab,则函数 f(x)=3 x3-x 的值域为 ( A )a, a b,A.(0,1]B. ［ 1,+∞ )C.(0,+ ∞ )D.(- ∞ ,+∞ )分析： 当 3x ≥3-x , 即 x ≥ 0 时 ,f(x)=3-x∈(0,1 ］ ;x-x, 即 x<0 时 ,f(x)=3x∈ (0,1).3 x , x 0, 当 3<3∴ f(x)=x值域为 (0,1).3x ,0,9.函数 y=a x 与 y=-a -x (a>0,a ≠1) 的图象 ( C )A. 对于 x 轴对称B.对于 y 轴对称C.对于原点对称D.对于直线 y=-x 对称分析： 可利用函数图象的对称性来判断两图象的关系.10.当 x ∈［ -1,1］时 ,函数 f(x)=3 x-2 的值域为 _______［ -5,1 ］ ___________.3分析： f(x) 在［ -1,1 ］上单一递加 .11.设有两个命题 :(1)对于 x 的不等式 x 2+2ax+4>0对全部 x ∈ R 恒建立 ;(2) 函数 f(x)=-(5-2a) x是减函数 .若命题 (1)和 (2)中有且仅有一个是真命题 ,则实数 a 的取值范围是 _______(- ∞ ,-2)__________.分析： (1) 为真命题=(2a) 2-16<0-2<a<2. (2)为真命题 5-2a>1 a<2.若 (1) 假 (2) 真 , 则 a ∈ (- ∞ ,-2]. 若 (1) 真 (2) 假, 则 a ∈ (-2,2)∩［ 2,+ ∞］=.故 a 的取值范围为 (- ∞ ,-2).12.求函数 y=4 -x -2-x +1,x ∈［ -3,2］的最大值和最小值 .解： 设 2-x=t, 由 x ∈［ -3,2 ］得 t ∈［ 1,8 ］ , 于是 y=t 2-t+1=(t-1)2+3. 当 t= 1时 ,y3 .424有最小值 这时 x=1.当 t=8 时 ,y 有最大值57.这时 x=-3.2413.已知对于 x 的方程 2a2x-2-7a x-1 +3=0 有一个根是 2,求 a 的值和方程其他的根 . 解： ∵ 2 是方程 2a2x-2-9a x-1+4=0 的根 , 将 x=2 代入方程解得 a= 1或 a=4.2(1) 当 a= 1时 , 原方程化为 2· ( 1)2x-2-9(1) x-1 +4=0.①222x-1 2令 y=( 1) , 方程①变成 2y -9y+4=0,2解得 y 1=4,y 2= 1.∴ ( 1) x-1 =42x=-1,2( 1 ) x-1 = 1x=2.22(2) 当 a=4 时 , 原方程化为 2· 42x-2 -9 · 4x-1 +4=0. ②令 t=4 x-1 , 则方程②变成 2t 2-9t+4=0. 解得 t 1=4,t 2= 1.x-12=4x=2,∴44x-1 = 1x=- 1 .22故方程此外两根是当 a= 1时 ,x=-1;1 .2当 a=4 时 ,x=-214.函数 y= (1) 3 4xx 2的单一递加区间是 ( D )3A. ［ 1,2］B.［ 2,3］C.(-∞ ,2]D.［ 2,+∞ )分析： 由于 y=3x2-4x+3 , 又 y=3t 单一递加 ,t=x 2-4x+3 在 x ∈［ 2,+ ∞ ) 上递加 , 故所求的递加区间为［ 2,+ ∞ ).15.已知 f(x)=3 x-b (2≤ x ≤ 4,b 为常数 ) 的图象经过点 (2,1), 则 F(x)=f 2(x)-2f(x) 的值域为 ( B )A. ［ -1,+∞ )B. ［ -1,63)C.［ 0,+∞ )D.(0,63 ］分析： 由 f(2)=1, 得 32-b =1,b=2,f(x)=3 x-2.∴ F (x)= ［ f(x)-1 ］2-1=(3 x-2 -1) 2-1. 令 t=3 x-2 ,2 ≤x ≤4.2∴g(t)=(t-1) - 1,t ∈［ 1,9 ］.2.1 指数函数练习1．以下各式中建立的一项A ． ( n)71n 7 m 7B ．12 ( 3)433m3C ． 4 x 3y 3( x y) 4D ．393321111 1 52．化简 (a 3 b 2 )( 3a 2 b 3 ) ( a 6 b 6 ) 的结果3D ． 9a 2 A ． 6aB ． aC ． 9a3．设指数函数 f ( x)a x ( a 0, a1) ，则以下等式中不正确的选项是f (x) A ． f(x+y)=f(x) ·f(y)B ． f （ x y ）f ( y)C ． f (nx)[ f ( x)]n (nQ )D ． f ( xy) n [ f ( x)] n ·[f ( y)] n1 4．函数 y (x5) 0 ( x 2)2A ． { x | x 5, x 2}B ． { x | x 2}C ． { x | x 5}D ． { x | 2 x 5或 x 5}（）（）（）(n N )（ ）5．若指数函数 y a x 在 [－ 1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数 a 等于 （）A ．15 B ．1 5 C ．15D ．5 122 226．当 a0 时，函数 y axb 和 yb ax 的图象只可能是（）7．函数 f ( x)2 |x| 的值域是（）A ． (0,1]B ． (0,1)C ． (0, )D ． R8．函数 f ( x)2 x 1, x 0，知足 f ( x)1的 x 的取值范围1x 2 , x（）A ． ( 1,1)B ． ( 1, )C ． { x | x 0或 x2}D ． { x | x 1或 x1}9．函数 y(1) x 2x2得单一递加区间是2（）A ．[ 1,1]B ． ( , 1]C ．[2,)D ．[ 1,2]2exe x210．已知 f ( x)（）2 ，则以下正确的选项是A ．奇函数，在 R 上为增函数B ．偶函数，在 R 上为增函数C ．奇函数，在 R 上为减函数D ．偶函数，在 R 上为减函数11．已知函数 f (x)的定义域是（1， 2），则函数 f (2 x ) 的定义域是.12．当 a ＞0 且 a ≠1 时，函数 f (x)=a x －2－ 3 必过定点.三、解答题：13．求函数 y1的定义域 .x5 x 1114．若 a ＞0， b ＞ 0，且 a+b=c ，求证： (1) 当r ＞1时， a r +b r ＜ c r ； (2) 当r ＜ 1时， a r +b r ＞ c r .a x 1 15．已知函数 f ( x)(a ＞1) .a x1（ 1）判断函数 f (x) 的奇偶性；（ 2）证明 f (x)在 (－∞， +∞ )上是增函数 .xa16．函数 f(x) ＝ a (a>0 ，且 a ≠1) 在区间 [1,2] 上的最大值比最小值大2，求 a 的值．参照答案一、 DCDDD AADDA二、 11． (0,1)；12． (2，－ 2) ；三、 13． 解：要使函数存心义一定：x 1 0x 1x0 x 0x 1∴ 定义域为 ： x xR 且 x0, x 1a rrrb r此中a1,0b114． 解：ba，c rcccc.r ＞1 ，a rb ra b 1，r r r当因此+b＜ c ；时c c c crrrrr当 r ＜ 1 时， aba b1， 因此 a +b ＞c .ccc c15． 解 ：(1)是奇函数 .(2) 设x ＜x ，则 f (x 1 )ax11 ax21 。

2.1.2 指数函数及其性质知识清单1．指数函数的概念一般地，______________________叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是____．2．指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象和性质a >1 0<a<1图象定义域 R 值域 (0，＋∞)性 质 过定点过点______，即x ＝____时，y ＝____函数值 的变化 当x >0时，______； 当x <0时，________ 当x >0时，________； 当x <0时，________单调性是R 上的________是R 上的________基础练习一、填空题1．下列以x 为自变量的函数中，是指数函数的是______．(填序号)①y ＝(－4)x ；②y ＝πx ；③y ＝－4x ；④y ＝a x ＋2(a >0且a ≠1)． 2．函数f (x )＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则a 的值为________． 3．函数y ＝a |x |(a >1)的图象是________．(填序号)4．已知f (x )为R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝3x，那么f (2)＝________.5．如图是指数函数 ①y ＝a x ； ②y ＝b x ； ③y ＝c x ；④y ＝d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是________．6．函数y ＝(12)x －2的图象必过第________象限．7．函数f (x )＝a x 的图象经过点(2,4)，则f (－3)的值为____．8．若函数y ＝a x －(b －1)(a >0，a ≠1)的图象不经过第二象限，则a ，b 需满足的条件为________．9．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________． 二、解答题10．比较下列各组数中两个值的大小：(1)0.2－1.5和0.2－1.7； (2)1314⎛⎫⎪⎝⎭和2314⎛⎫⎪⎝⎭； (3)2－1.5和30.2.11．2000年10月18日，美国某城市的日报以醒目标题刊登了一条消息：“市政委员会今天宣布：本市垃圾的体积达到50 000 m 3”，副标题是：“垃圾的体积每三年增加一倍”．如果把3年作为垃圾体积加倍的周期，请你完成下面关于垃圾的体积V (m 3)与垃圾体积的加倍的周期.(1) (2)根据报纸所述的信息，你估计3年前垃圾的体积是多少？ (3)如果n ＝－2，这时的n ，V 表示什么信息？(4)写出n 与V 的函数关系式，并画出函数图象(横轴取n 轴)． (5)曲线可能与横轴相交吗？为什么？12．定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b )，则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是________．(填序号)13．定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足对任意的实数x ，y 都有f (x y )＝yf (x )． (1)求f (1)的值；(2)若f (12)>0，解不等式f (ax )>0.(其中字母a 为常数)．能力提升一、填空题1．设P ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则P 、Q 的关系为________． 2．函数y ＝16－4x 的值域是________．3．函数y ＝a 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是________．4．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域均为R ，则下列命题正确的是________．(填序号)①f (x )与g (x )均为偶函数；②f (x )为偶函数，g (x )为奇函数； ③f (x )与g (x )均为奇函数；④f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．5．函数y ＝f (x )的图象与函数g (x )＝e x ＋2的图象关于原点对称，则f (x )的解析式为________． 6．已知a ＝1335-⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝1235-⎛⎫⎪⎝⎭，c ＝1243-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 三个数的大小关系是________．7．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．8．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )<－12的解集是________．9．函数y ＝2212x x-+⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递增区间是________．二、解答题10．(1)设f (x )＝2u ，u ＝g (x )，g (x )是R 上的单调增函数，试判断f (x )的单调性； (2)求函数y ＝2212x x --的单调区间．11．函数f (x )＝4x －2x ＋1＋3的定义域为[－12，12]．(1)设t ＝2x ，求t 的取值范围； (2)求函数f (x )的值域．12．函数y ＝2x －x 2的图象大致是________．(填序号)13．已知函数f (x )＝2x－12x ＋1.(1)求f [f (0)＋4]的值；(2)求证：f (x )在R 上是增函数；(3)解不等式：0<f (x －2)<1517.知识清单1．函数y ＝a x (a >0，且a ≠1) R 2.(0,1) 0 1 y >1 0<y <1 0<y <1 y >1 增函数 减函数 基础练习 1．②解析 ①中－4<0，不满足指数函数底数的要求，③中因有负号，也不是指数函数，④中的函数可化为y ＝a 2·a x ，a x 的系数不是1，故也不是指数函数． 2．2解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0且a ≠1，解得a ＝2. 3．②解析 该函数是偶函数．可先画出x ≥0时，y ＝a x 的图象，然后沿y 轴翻折过去，便得到x <0时的函数图象．4．－19解析 当x >0时，－x <0，∴f (－x )＝3－x ，即－f (x )＝(13)x ，∴f (x )＝－(13)x .因此有f (2)＝－(13)2＝－19.5．b <a <1<d <c解析 作直线x ＝1与四个指数函数图象交点的坐标分别为(1，a )、(1，b )、(1，c )、(1，d )，由图象可知纵坐标的大小关系． 6．二、三、四解析 函数y ＝(12)x 的图象上所有的点向下平移2个单位，就得到函数y ＝(12)x －2的图象，所以观察y ＝(12)x －2的图象可知．7.18解析 由题意a 2＝4，∴a ＝2.f (－3)＝2－3＝18.8．a >1，b ≥2解析 函数y ＝a x －(b －1)的图象可以看作由函数y ＝a x 的图象沿y 轴平移|b －1|个单位得到．若0<a <1，不管y ＝a x 的图象沿y 轴怎样平移，得到的图象始终经过第二象限；当a >1时，由于y ＝a x 的图象必过定点(0,1)，当y ＝a x 的图象沿y 轴向下平移1个单位后，得到的图象不经过第二象限．由b －1≥1，得b ≥2.因此，a ，b 必满足条件a >1，b ≥2. 9．[0,8)解析 y ＝8－23－x ＝8－23·2－x ＝8－8·(12)x＝8[1－(12)x ]．∵x ≥0，∴0<(12)x ≤1，∴－1≤－(12)x <0，从而有0≤1－(12)x <1，因此0≤y <8.10．解 (1)考察函数y ＝0.2x . 因为0<0.2<1，所以函数y ＝0.2x 在实数集R 上是单调减函数．又因为－1.5>－1.7，所以0.2－1.5<0.2－1.7.(2)考察函数y ＝(14)x .因为0<14<1，所以函数y ＝(14)x 在实数集R 上是单调减函数．又因为13<23，所以1314⎛⎫ ⎪⎝⎭>2314⎛⎫ ⎪⎝⎭1.(3)2－1.5<20，即2－1.5<1；30<30.2，即1<30.2，所以2－1.5<30.2.11．解 (1)由于垃圾的体积每3年增加1倍，24年后即8个周期后，该市垃圾的体积是50 000×28＝12 800 000(m 3)．(2)根据报纸所述的信息，估计3年前垃圾的体积是50 000×2－1＝25 000(m 3)．(3)如果n ＝－2，这时的n 表示6年前，V 表示6年前垃圾的体积． (4)n 与V 的函数关系式是V ＝50 000×2n ，图象如图所示．(5)因为对任意的整数n,2n >0，所以V ＝50 000×2n >0，因此曲线不可能与横轴相交． 12．①解析 由题意f (x )＝1⊕2x＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0；2x ， x <0.13．解 (1)令x ＝1，y ＝2，可知f (1)＝2f (1)，故f (1)＝0.(2)设0<x 1<x 2，∴存在s ，t 使得x 1＝(12)s ，x 2＝(12)t ，且s >t ，又f (12)>0，∴f (x 1)－f (x 2)＝f [(12)s ]－f [(12)t ]＝sf (12)－tf (12)＝(s －t )f (12)>0，∴f (x 1)>f (x 2)．故f (x )在(0，＋∞)上是减函数． 又∵f (ax )>0，x >0，f (1)＝0， ∴0<ax <1，当a ＝0时，x ∈∅，当a >0时，0<x <1a ，当a <0时，1a<x <0，不合题意．故x ∈∅.综上：a ≤0时，x ∈∅；a >0时，不等式解集为{x |0<x <1a}．能力提升 1．Q P解析 因为P ＝{y |y ≥0}，Q ＝{y |y >0}，所以Q P . 2．[0,4)解析 ∵4x >0，∴0≤16－4x <16， ∴16－4x ∈[0,4)． 3．3解析 函数y ＝a x 在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝2ax －1＝4x －1在[0,1]上是单调递增函数，当x ＝1时，y max ＝3. 4．②解析 f (－x )＝3－x ＋3x ＝f (x )，g (－x )＝3－x －3x ＝－g (x )．5．f (x )＝－e －x －2解析 ∵y ＝f (x )的图象与g (x )＝e x ＋2的图象关于原点对称，∴f (x )＝－g (－x )＝－(e －x ＋2)＝－e －x －2. 6．c <a <b解析 ∵y ＝(35)x 是减函数，－13>－12，∴b >a >1.又0<c <1，∴c <a <b . 7．19解析 假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y 与生长时间的函数关系为y ＝2x －1，当x ＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半． 8．(－∞，－1)解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0.当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(1－2x )＝2x －1.当x >0时，由1－2－x <－12，(12)x >32，得x ∈∅；当x ＝0时，f (0)＝0<－12不成立；当x <0时，由2x －1<－12，2x <2－1，得x <－1.综上可知x ∈(－∞，－1)． 9．[1，＋∞)解析 利用复合函数同增异减的判断方法去判断．令u ＝－x 2＋2x ，则y ＝(12)u 在u ∈R 上为减函数，问题转化为求u ＝－x 2＋2x 的单调递减区间，即为x ∈[1，＋∞)．10．解 (1)设x 1<x 2，则g (x 1)<g (x 2)．又由y ＝2u 的增减性得()12g x<()22g x ，即f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )为R 上的增函数．(2)令u ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2， 则u 在区间[1，＋∞)上为增函数．根据(1)可知y ＝2212x x --在[1，＋∞)上为增函数． 同理可得函数y 在(－∞，1]上为单调减函数．即函数y 的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1]．11．解 (1)∵t ＝2x 在x ∈[－12，12]上单调递增，∴t ∈[22，2]．(2)函数可化为：f (x )＝g (t )＝t 2－2t ＋3，g (t )在[22，1]上递减，在[1，2]上递增，比较得g (22)<g (2)． ∴f (x )min ＝g (1)＝2， f (x )max ＝g (2)＝5－2 2.∴函数的值域为[2,5－22]． 12．①解析 当x →－∞时，2x →0，所以y ＝2x －x 2→－∞， 所以排除③、④.当x ＝3时，y ＝－1，所以排除②.13．(1)解 ∵f (0)＝20－120＋1＝0，∴f [f (0)＋4]＝f (0＋4)＝f (4)＝24－124＋1＝1517.(2)证明 设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， 则22x>12x>0,22x－12x>0，∴f (x 2)－f (x 1)＝212121212121x x x x ---++ ＝()()()21212222121x x x x -++>0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在R 上是增函数．(3)解 由0<f (x －2)<1517得f (0)<f (x －2)<f (4)，又f (x )在R 上是增函数，∴0<x －2<4，即2<x <6，所以不等式的解集是{x |2<x <6}．。

2.1 指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 当n 是偶数时，正数a 的正的n 示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数当堂训练[基础训练A组]一、选择题1．计算122[(]-的结果是（）．A． D．-2．对任意实数x，下列等式恒成立的是（）．A．211332()x x= B．211332()x x= C．311535()x x= D．131355()x x--= 3．化简(21)(21)2222k k k-+----+等于（）．A．22k- B．(21)2k-- C．(21)2k-+- D．24．下列函数中指数函数的个数是（）．①23xy=⋅②13xy+=③3xy=④3y x=A．0 B．1 C．2 D．35．方程135108x x x-⋅=的解集是（）．A．{}1,4 B．14⎧⎫⎨⎬⎩⎭C．11,4⎧⎫⎨⎬⎩⎭D144⎧⎫⎨⎬⎩⎭，6．函数()(0,1)xf x a a a=>≠且对任意正实数,x y都有（）．A．()()()f xy f x f y= B．()()()f xy f x f y=+C ．()()()f x y f x f y +=D ．()()()f x y f x f y +=+ 二、填空题1．化简：1114424111244()a b ba ab --=- ． 2．计算：120.750311(0.064)(16()23---÷÷-= ．3．若239x=，3x-= ．4．985316,8,4,2,2从小到大的排列顺序是 ． 5．若函数()11x mf x a =+-是奇函数，则m 为 ． 三、解答题1．化简下列各式： （1）11122()()x x x x x --++-；（2）222222223333x y x y xyxy--------+--+-；（3）3333441()()[(1)()]a a a a a a a a ----+-÷++-．2．计算下列各式：（1）1020.5231(2)2(2)(0.01)54--+⋅-；（2）20.520371037(2)0.1(2)392748π--++-+．3．已知2212213333334,3,3a b x a a b y b a b +==+=+，求2233()()x y x y ++-的值．4. 比较下列各组数的大小:(1)0.1()4-和 0.2-； (2)163()4和154()3-； (3)2(0.8)-和125()3- ．5．家用电器（如冰箱等）使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，臭氧含量Q 呈指数函数型变化，满足关系式0.00250t Q Q e -=，其中0Q 是臭氧的初始量． （1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？ （2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？[基础训练B 组] 一、选择题1．设全集为R ，且22{|0},{|1010}x x A x B x -=≤==，则()R A B ð为（ ）． A ．{2} B ．{1}- C ．{|2}x x ≤ D ．∅2．函数y x =3与y x =--3的图像关于下列那种图形对称（ ）． A ．x 轴 B ．y 轴 C ．直线y x = D ．原点中心对称3．函数11x x e y e -=+的值域是（ ）．A ．(1,1)-B ．[1,1]-C ．(0,1)D ．(,)e e - 4．已知集合{}11M =-，，11242x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则M N = （ ）． A ．{}11-，B ．{}1-C ．{}0D ．{}10,1-，5．函数11()()3x f x -=在区间[2,1]--上的最大值是（ ）A ．1B ．3C ．9D ．276．设1x ，2x 是函数()(1)x f x a a =>定义域内的两个变量，且12x x <，设121()2m x x =+．那么下列不等式恒成立的是（ ）． A ．12|()()||()()|f m f x f x f m ->-B ．12|()()||()()|f m f x f x f m -<-C ．12|()()||()()|f m f x f x f m -=-D ．212()()()f x f x f m > 二、填空题1．若集合{11|,|x A y y B x y -⎧⎫====⎨⎬⎩⎭，则集合A B = _________．2．方程33131=++-xx的解是_____________． 3．若1122a a-+=1114421124___________1111aaaa+++=+-++． 4．化简11410104848++的值等于__________． 5．若关于x 的方程12220x x a -++=有两个实数解，则实数 的取值范围是_______． 6．对于函数f （x ）定义域中任意的x 1，x 2（x 1≠x 2），有如下结论：①)()()(2121x f x f x x f ⋅=+； ②)()()(2121x f x f x x f +=⋅；③0)]()([)(2121<-⋅-x f x f x x ； ④2)()()2(2121x f x f x x f +<+ 当xx f -=2)(时，上述结论正确结论的序号是 .（写出全部正确结论的序号） 三、解答题1．求函数11()()142xxy =-+在[]3,2x ∈-上的值域．2．求函数241(),[0,5)3x xy x -=∈的值域．3．解方程：（1）192327xx ---⋅= （2）649x x x +=．4．已知11()(),(0)212x f x x x =+≠-， （1）判断()f x 的奇偶性； （2）证明()0f x >．5．在工程技术中经常用到一类所谓的双曲函数，定义如下：双曲正弦，2x xe e shx --=；双曲余弦，2x x e e chx -+=；双曲正切，x xx xe e thx e e---=+，请证明： （1）()sh x y shxchy chxshy +=+；（2）()1thx thyth x y thxthy++=+．同步提升一、选择题（12*5分） 1．（369a ）4（639a ）4等于（ ）（A ）a 16 （B ）a 8（C ）a 4（D ）a 22．函数f （x ）=(a 2-1)x在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）1>a （B ）2<a （C ）a<2 （D ）1<2<a3.下列函数式中，满足f(x+1)=21f(x)的是( ) (A)21(x+1) (B)x+41 (C)2x (D)2-x4．已知a>b,ab 0≠下列不等式（1）a 2>b 2,(2)2a>2b,(3)ba 11<,(4)a 31>b 31,(5)(31)a <(31)b 中恒成立的有（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个5．函数y=121-x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）⋃（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）⋃（0，+∞） 6．下列函数中，定义域为R 的是（ ） （A ）y=5x-21 （B ）y=(31)1-x（C ）y=1)21(-x（D ）y=x 21- 7．下列关系中正确的是（ ）（A ）（21）32<（51）32<（21）31 （B ）（21）31<（21）32<（51）32（C ）（51）32<（21）31<（21）32 （D ）（51）32<（21）32<（21）318．若函数y=3·2x-1的反函数的图像经过P 点，则P 点坐标是（ ）（A ）（2，5） （B ）（1，3） （C ）（5，2） （D ）（3，1）9．函数f(x)=3x +5,则f -1(x)的定义域是（ ） （A ）（０，＋∞） （B ）（５，＋∞） （C ）（６，＋∞） （D ）（－∞，＋∞）10．已知函数f(x)=a x+k,它的图像经过点（1，7），又知其反函数的图像经过点（4，0），则函数f(x)的表达式是（ ）(A)f(x)=2x +5 (B)f(x)=5x +3 (C)f(x)=3x +4 (D)f(x)=4x+311．已知0<a<1,b<-1,则函数y=a x+b 的图像必定不经过（ ） (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限12．一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n 年后这批设备的价值为（ ）（A ）na(1-b%) （B ）a(1-nb%) （C ）a(1-(b%)n ) （D ）a(1-b%)n二、填空题（4*4分） 13．若a 23<a2,则a 的取值范围是 。

主动成长夯基达标1. 函数y=a x+ b 与函数y=ax+ b(a>0且a ≠1)的图象有可能是( )答案:D2. 式子a a1-经过计算可得到( ) A.a - B.a C.-a D.-a -思路解析:由解析式结构可判断a<0,故选D. 答案: D3. 下列根式、分数指数幂的互化中,正确的是( ) A.-x=(-x)21(x ≠0) B. x-31=-3xC. (y x )-43=43)(xy (xy ≠0) D. 62y =y 31(y<0)思路解析:根据根式、分数指数幂的意义,可得选项. 答案: C4. 下列说法中,正确的命题个数是( )①-2是16的四次方根 ②正数的n 次方根有两个 ③a 的n 次方根就是n a ④n n a =a(a ≥0) A.1 B.2 C.3 D.4思路解析:从n 次方根和n 次根式的概念入手,认清各概念与各符号之间的关系.(1)是正确的.由(-2)4=16可验证. (2)不正确,要对n 分奇偶讨论.(3)不正确,a 的n 次方根可能有一个值,可能有两个值,而n a 只表示一个确定的值,它叫根式.(4)正确,根据根式运算的依据,当n 为奇数时,n n a =a 是正确的,当n 为偶数时,若a ≥0,则有n n a =a.综上,当a ≥0时,无论n 为何值均有n n a =a 成立.答案: B5. 函数y=(2m-1) x是指数函数,则m 的取值范围是__________. 思路解析:考查指数函数的概念.据指数函数的定义,y=a x中的底数a 约定a>0且a ≠1. 故此2m-1>0且2m-1≠1,所以m>21且m ≠1. 答案:m>21且m ≠1 6. 若函数y=a x+b-1(a>0且a ≠1)的图象经过一、三、四象限,则一定有( ) A. a>1且b<1B.0<a<1且b<0C.0<a<1且b>0D. a>1且b<0 思路解析:本题考查指数函数的图象.函数y=a x+b-1(a>0且a ≠1)的图象经过第一、三、四象限,则必有a>1;进而可知⎩⎨⎧<>0)0(1f a ⇒⎩⎨⎧-<>a b a 11⇒⎩⎨⎧<>01b a 答案: D7. 方程2 x =x 2的解的个数为( ) A.1个B.2C.3个D.4个 思路解析:在同一坐标系下画出y=2x ,y=x 2的图象,图象的交点个数为解的个数,通过下图可知共有三个交点.答案: C8. 当x ∈［-2,2)时,y=3 -x-1的值域是( )A.［-98, 8］ B. (-98, 8)C. (91, 9)D.［91, 9］思路解析:由y=3 -x为减函数,x ∈［-2,2),可知91<3 -x ≤9,所以-98<3 -x-1≤8. 答案: B9. 指数函数①f(x)=m x ;②g(x)=n x满足不等式1>n>m>0,则它们的图象是( )思路解析:此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性,再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线.由0<m<n<1可知①②应为两条递减的曲线,故只可能是C 或D,进而再判断①②与n 和m 的对应关系,此时判断的方法很多,不妨选特殊点法,令x=1,①②对应的函数值分别为m 和n,由m<n 可知应选C. 答案:C走近高考10. （经典回放）若函数y=a x+b-1(a>0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限,则一定有( )A.0<a<1且b>0B. a>1且b>0C.0<a<1且b<0D. a>1且b<0思路解析:函数y=a x +b-1的图象可由y=a x的图象平移而得到,所以0<a<1,利用图象的平移变1-b>1,即b<0.答案: C11. (2006唐山二模,7)函数f(x)=a x-b的图象如图,其中a 、b 为常数,则下列结论正确的是( )A. a>1, b<0B. a>1, b>0C.0<a<1,b>0D.0<a<1, b<0思路解析:本题考查了有关函数的变换,从单调性可知a 是小于1的数,借助指数函数图象的性质恒过(0,1)点,而本题图象与y 轴的交点落在(0,1)点的下方,说明原图象向左移动,可知b<0.答案: D12. (2005上海高考,理13)若函数f(x)=121+x,则该函数在(-∞,+∞)上是( ) A.单调递减无最小值 B.单调递减有最小值 C.单调递增无最大值 D.单调递增有最大值思路解析:本题主要考查涉及指数函数的复合函数的单调问题,结合指数函数的单调性问题考查即可.由于2x+1在(-∞,+∞)上大于0且单调递增,所以121+x 单调递减,(-∞,+∞)是开区间,所以最小值无法取到. 答案: A13. (2005上海高考,理2) 方程4x +2x-2=0的解是____________.思路解析:本题为简单的指数方程问题.4x +2x -2=0(2x -1)(2x+2)=02x=1x=0.14. 函数f(x)=a x + a -x(a>0且a ≠1),f(1)=3,则f(0)+f(1)+f(2)的值为_________. 思路解析:f(0)=a 0+a 0=2,f(1)=a+a -1=3,f(2)=a 2+a -2=(a+a -1) 2-2=9-2=7.∴f(0)+f(1)+f(2)=12. 答案:12 15.①221<331<23 <2π;②函数f(x)=2x x a a -- (a>0,a ≠1)是奇函数;③方程5 x-1·10 3x =8 x 的解为x=41;④若2 2x +4=5·2 x ,则x 2+1的值为1或5.其中正确命题的个数有( ) A.1 B.2 C.3 D.4思路解析:本题综合考查幂的运算,指数函数性质,方程与幂的联系,①运用指数函数性质和幂的运算法则比较幂的大小;②结合幂的运算法则和函数的奇偶性的定义进行判断;③运用幂的运算法则计算进行判断④运用换元法解出x 的值进行判断. ∵221<331⇐(221)6<(331)6⇐23<32⇐8<9,又∵1323=23·3-1 =2332=2332=33223 =389 >1,又∵3<π,∴23<2π.∴221<331<23<2π.因此①正确;∵f(-x)=2x x a a -- =-2xx a a -- =-f(x),∴函数=8x⇒ 5 x-1·5 3x·2 3x=f(x)=2xx a a -- (a>0,a ≠1)是奇函数.因此②也正确; 5x-1·10 3x=8x ⇒5x-1·5 3x·2 3x=2 3x⇒54x-1=1⇒4x-1=0⇒x=41.因此③也正确; 2 2x+4=5·2x⇒ (2x )2-5·2x+4=0⇒ (2x-1)(2x-4)=0⇒2x=1或2x=4⇒x=0或x=2⇒x 2+1=1或x 2+1=5.因此④也是正确的.故选D. 答案: D16. 要使函数y=1+2 x +4 x·a 在(-∞,1)上y>0恒成立,求a 的取值范围.把1+2 x+4 x·a>0在(-∞,1)上恒成立问题分离参数后等价转化为a>-(41) x -(21) x(-∞,1,而-(41) x -(21) x 为增函数,其最大值为-43,可得a>-43.解:由1+2 x+4 x·a>0在x ∈(-∞,1］上恒成立,即a>-xx421+ =-(41)-(21) x 在(-∞,1］上恒成立. 又g(x)=-(41) x -(21) x 在(-∞,1］上的值域为(-∞,- 43］,∴a>-43. 17. (2006黄冈模拟,20)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x 2+2x.求函数g(x)的解析式. 思路解析:此题要注意到图象之间对称变化的实质,以及解题方法要规范. 解:设函数y=f(x)的图象上任意一点Q(x 0,y 0),关于原点的对称点为P(x,y),则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+02020y y xx 即⎩⎨⎧-=-=y y x x 00∵点Q(x 0,y 0)在函数y=f(x)的图象上,∴-y=x 2-2x,即y=-x 2+2x.故g(x)=-x 2+2x.自主广场我夯基 我达标1．把根式-252)(--b a 改写成分数指数幂的形式为( )A.-2(a-b 52)-B.-2(a-b 25)-C.-2(52-a-52-b ) D.-2(2525---ba)思路解析:考查根式与分数指数幂的转化.原式可化为-2×(a-b 52)-=-2(a-b 52)-.故选A.答案:A2.下列以x 为自变量的函数中,是指数函数的是( )A.y=(-4)xB.y=πxC.y=-4xD.y=a x +2(a>0且a ≠1) 思路解析:从指数函数的定义出发解决此题. 由指数函数的定义知,选B. 答案:B3.若函数y=a x +b-1(a>0且a ≠1)的图象经过一、三、四象限,则一定有( ) A.a>1且b<1 B.0<a<1且b<0 C.0<a<1且b>0 D.a>1且b<0思路解析:本题考查指数函数的图象.函数y=a x +b-1(a>0且a ≠1)的图象经过一、三、四象限,则必有a>1; 进而可知⎩⎨⎧<>⇒⎩⎨⎧-<>⇒⎩⎨⎧<>.0,1110)0(1b a a b a f a 答案:D4.函数y=2|x|的值域是( )A.(0,1]B.［1,+∞)C.(0,1)D.(0,+∞)思路解析一:y=2|x|=,0,0,2,2<≥⎪⎩⎪⎨⎧-x x xx 作出图象观察得函数的值域为［1,+∞).思路解析二:令u=|x|≥0,则y=2u ≥20=1.答案:B5.图2-1-8所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m 2)与时间t(月)的关系:y=a t ,有以下叙述,其中正确的是()图2-1-8①这个指数函数的底数为2②第5个月时,浮萍面积就会超过30 m 2③浮萍从4 m 2蔓延到12 m 2需要经过1.5个月 ④浮萍每月增加的面积都相等⑤若浮萍蔓延到2 m 2、3 m 2、6 m 2所经过的时间分别为t 1、t 2、t 3,则t 1+t 2=t 3A.①②B.①②③④C.②③④⑤D.①②⑤ 思路解析:本题综合考查学生的识图能力及指数函数的性质. 由图形得函数解析式应为y=2x (x ≥0). 答案:D6.如图2-1-9,P 1是一块半径为1的半圆形纸板,在P 1的左下端剪去一个半径为21的半圆形纸板P 2,然后依次剪去一个更小的半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径)形纸板P 3,P 4,…,P n ,则P n 的半径r n 是___________.图2-1-9思路解析:由已知可得r 1=(21)0,r 2=(21)1,r 3=(21)2,r 4=(21)3,依次类推r n =(21)n-1.故答案为(21)n-1. 答案:(21)n-17.已知f(x)=131-x +a 为奇函数. (1)求a 的值;(2)求函数的单调区间.解:(1)∵f(-x)=xx x a 313131-=+--+a=-1+a-131-x =-1+2a-f(x), 由f(-x)=-f(x),得-1+2a=0,∴a=21. (2)对于任意x 1≠0,x 2≠0,且x 1<x 2,f(x 1)-f(x 2)= )13)(13(33131131211221---=---x x x x x x . 当x 1<x 2<0时, 23x>13x, 13x<1, 23x<1. ∴f(x 1)-f(x 2)>0;当0<x 1<x 2时, 23x>13x,13x>1, 23x>1.∴f(x 1)-f(x 2)>0.∴函数的单调递减区间为(-∞,0),(0,+∞). 我综合 我发展8.牛顿冷却规律描述一个物体在常温环境下的温度变化.如果物体的初始温度是T 0,则经过一定时间t 后的温度T 将满足T-T α=(T 0-T α)·h t)21(,其中T α是环境温度,使上式成立所需要的时间h 称为半衰期.现有一杯用195°热水冲的速溶咖啡放置在 75 °的房间中,如果咖啡降温到105 °需20 min,问欲降温到95 °需多长时间？思路分析:由所给公式知它是时间t 与温度T 的指数函数关系,将题中有关数据代入求得h 值.再将T=95代入已求得的T=f(t)中求得t.解:由题意,知T=T α+(T 0-T α) h t)21(.将有关数据代入,得T=75+(195-75)·h t)21(.这里h 是以分钟为单位的半衰期,为了确定它的值,将t=20时,T=105代入,此时,105=75+(195-75)·h 20)21(,解得h=10.∴T=75+(195-75)·10)21(t. (*)欲使T=95,代入(*)式,得95=75+(195-75)·10)21(t ,即10)21(t=61.两边取对数,查表得10t=2.6,即t=26(min). 因此,在咖啡冲好26 min 之后降温至95 °. 9求函数y=f(x)=( 41)x -(21)x+1,x ∈［-3,2］的值域. 思路分析:将(21)x看作一个未知量t,把原函数转化为关于t 的二次函数求解. 解:∵f(x)=［(21)x ］2-(21)x +1,x ∈［-3,2］,∴(21)2≤(21)x ≤(21)-3,即41≤(21)x ≤8.设t=(21)x ,则41≤t ≤8.将函数化为f(t)=t 2-t+1,t ∈［41,8］.∵f(t)=(t-21)2+43,∴f(21)≤f(t)≤f(8).∴43≤f(t)≤57.∴函数的值域为［43,57］.10.如果函数y=a 2x+2a x -1(a>0,a ≠1)在区间［-1,1］上的最大值是14,求a 的值. 思路分析:利用换元法、配方法及等价转化思想. 解:设t=a x ,则y=f(t)=t 2+2t-1=(t+1)2-2.当a>1时,0<a 上标-1≤t ≤a,此时y max =a 2+2a-1, 由题设a 2+2a-1=14,得a=3,满足a>1.当0<a<1时,t ∈［a,a -1］,此时y max =(a -1)2+2a -1-1, 由题设a -2+2a -1-1=14,得a=31,满足0<a<1.故所求的a 的值为3或31. 我创新 我超越11.定义在R 上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a 、b ∈R ,有f(a+b)=f(a)·f(b). (1)证明f(0)=1;(2)证明对任意的x ∈R ,恒有f(x)>0; (3)证明函数y=f(x)是R 上的增函数.思路分析:本题抽象函数的原型函数即为指数函数,可借助y=2x 理清解答的思路和方法. 证明:(1)取a=b=0,则f(0)=f 2(0). ∵f(0)≠0,∴f(0)=1.(2)当x ≥0时,f(x)≥1>0成立,当x<0时,-x>0,f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=1, ∴f(x)=)(1x f >0.∴x ∈R 时,恒有f(x)>0. (3)设x 1<x 2,则x 2-x 1>0.∴f(x 2)=f(x 2-x 1+x 1)=f(x 2-x 1)·f(x 1). ∵x 2-x 1>0,∴f(x 2-x 1)>1.又f(x 1)>0,∴f(x 2-x 1)·f(x 1)>f(x 1). ∴f(x)是R 上的增函数.评述:本题主要考查抽象的思维推理能力.解本题的关键是灵活应用题目条件,尤其是(3)中“f(x 2)=f ［(x 2-x 1)+x 1］”是证明单调性的关键,这里体现了构造条件式向条件化归的策略. (3)也可以设x 2=x 1+t(t>0),f(x 2)=f(x 1+t)=f(x 1)·f(t)>f(x 1).或者设x 1<x 2,则)0()()()()()()()(12111212f x x f x f x f x f x f x f x f -=-∙-∙=>1.又f(x 1)>0,f(x 2)>0,∴f(x 2)>f(x 1).。