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指数函数教案一、课题：本节课是苏教版高中数学必修一第三章第二节“指数函数”的第一课时的内容。
二、教学目标：知识与技能目标：理解指数函数的定义，掌握指数函数的图象、性质及其简单应用过程与方法目标：通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合和分类讨论的思想以及从特殊到一般的数学讨论的方法 ，增强识图用图的能力。
情感态度与价值观目标:通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质三、教学重点与难点：教学重点：指数函数的图象、性质及其简单运用教学难点：指数函数图象和性质的发现过程，及指数函数图象与底的关系四、教学方法与手段：教学方法：探究式教学法教学手段：采用多媒体辅助教学五、教学过程：1、创设情景，引出课题前面我们学习过函数的概念、函数的有关性质及指数的运算，今天我们将在此基础上学习一类新的基本函数问题1：我们来考虑一个与医学有关的例子：大家对“非典”应该并不陌生，它与其它的传染病一样，有一定的潜伏期，这段时间里病原体在机体内不断地繁殖，病原体的繁殖方式有很多种，分裂就是其中一种。
我们来看一种球菌的分裂过程：动画演示：某种球菌分裂时，由1分裂成2个，2个分裂成4个，------一个这样的球菌分裂x 次后,得到的球菌的个数y 与x 的关系式是：x y 2=问题2：某种机器设备每年按%6的折旧率折旧，设机器的原来价值为1，经过x 年后，机器的价值为原来的y 倍，则y 与x 的关系为x y 94.0=思考：你能从以上的两个例子中得到的关系式里找到什么异同点吗？共同点：变量x 与y 构成函数关系式，是指数的形式，自变量在指数位置，底数是常数；不同点：底数的取值不同大家能给这样的函数起个名字吗？（想让学生对数学的形式化有一认识）这就是我们今天所要研究的一个新的基本函数——指数函数（引出课题）2、探索研究1指数函数的概念：函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数其中x 是自变量函数的定义域为R思考：为什么指数函数对底数有这样的要求呢？若0=a ，当0>x 时，x a 恒等于0，没有研究价值；当0≤x 时，x a 无意义；若0<a ,例如当21,2=-=x a 时，2-无意义，没有研究价值； 若1=a ，则11=x ,x a 是一个常量，也没有研究的必要很好，所以有规定10≠>a a 且（对指数函数有一初步的认识）（2）指数函数的图象与性质：学习函数的一个很重要的目标就是应用，那么首先要对函数作一研究，研究函数的图象及性质，然后利用其图象和性质去解决数学问题和实际问题思考1：你能类比前面讨论函数性质的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．研究内容：定义域、值域、图象、单调性、奇偶性思考2：如何来画指数函数的图象呢画函数图象通常采用：列表、描点、连线．有时，也可以利用函数的有关性质画图思考3：画出指数函数x y 2=？思考4：函数12()2x x y y ==与的图象有什么关系?能否由2x y =的图象得到x y )21(=的图象？ 关于y 轴对称所以可以先画其中一个函数的图象，利用轴对称的性质可以得到另一个函数的图象，同学们一定要掌握这种作图的方法，对以后的学习非常有用思考5：选取底数a 的若干个不同的值，在同一平面坐标系内作出相应的指数函数的图象．观察图象，你能发现他们有哪些共同特征？教师演示课件，以不同的底，作出函数的图象，描绘出其几何特征，将函数的图象和性质对应起来．利用几何画板，通过改变a 的值，让学生观察图象的变化规律．思考6：通过你们画的图象以及老师的演示，你们能发现怎样的规律呢？底数分1>a 和10<<a 两种情况．思考7：从特殊到一般，指数函数)1(>=a a y x 有哪些性质？并类比得出)10(<<=a a y x 的性质． 师生共同归纳：指数函数)10(≠>=a a a y x 且的图象与性质：1a > 01a <<图 象性 （1）定义域：(,)-∞+∞ （2）值域： (0,)+∞强调：利用函数图象研究函数性质是一种直观而形象的方法，记忆指数函数性质时可以联想它的图象，记住性质的关键在于要脑中有图．3、应用举例：这节课我们先来了解一下它的简单应用．利用单调性比较大小．例1 比较下列各组数中各个值的大小：（1）5.27.1 ，37.1 ； （2） 1.08.0-，2.08.0-；（3）)1,0(,2131≠>a a a a 且 ； （4） 3.07.1，1.39.0，1．分析：对于这样两个数比大小，学生可能会觉得困难，提示学生观察两个数的形式特征（底数相同，指数不同），联想指数函数，提出构造函数法，即把这两个数看作某个函数的函数值，利用函数的单调性比较大小． 说明：1 当底数相同且明确底数a 与1的大小关系时：直接用函数的单调性来解．2．当底数相同但不明确底数a 与1的大小关系时： 要分情况讨论．3．当底数不同不能直接比较时：可借助中间数，间接比较上述两个数的大小．4、反馈练习：比较下列各组数中两个值的大小：五、归纳小结，强化思想: 本小节的目的要求是掌握指数函数的概念、图象和性质．在理解指数函数的定义的基础上，掌握指数函数的图象和性质是本小节的重点．1．数学知识点：指数函数的概念、图象和性质．2．研究函数的一般步骤：定义→图象→性质→应用3．数学思想方法：数形结合，分类讨论的数学思想六、布置作业：作业：教材67P ,练习1、2、3、4思考：1．函数)1,0(12≠>+=-a a a y x 且的图象必经过点___________．2．解不等式：1)21(1>-x ．；，）（3.25.01.31.31；）（）（）（24.03.032,322--.2.03.231.05.0--，）（。
3．1.2指数函数第1课时指数函数的概念、图象及性质1.了解指数函数的实际背景．2.理解指数函数的概念、意义、图象和性质．3．掌握与指数函数有关的函数定义域、值域、单调性问题．[学生用书P41]1．指数函数的定义一般地，形如y＝a x(a>0且a≠1)的函数叫做指数函数，其中x 为自变量，定义域为R．2．指数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域R值域(0，＋∞)定点(0，1)单调性增函数减函数性质相应的y值x>0时，y>1；x＝0时，y＝1；x<0时，0<y<1x>0时，0<y<1；x＝0时，y＝1；x<0时，y>11．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)指数函数y＝a x中，a可以为负数．()(2)指数函数的图象一定在x轴的上方．()(3)函数y＝2－x的定义域为{x|x≠0}．()★★答案★★：(1)×(2)√(3)×2．下列函数：①y＝(－2)x；②y＝2x；③y＝2－x；④y＝3×2x.其中指数函数的个数为() A．0B．1C．2 D．4★★答案★★：C3．若f (x )＝(a 2－3)a x 是指数函数，则a ＝________． ★★答案★★：24．函数f (x )＝2x ，x ∈[0，2]的值域是________． ★★答案★★：[1，4]指数函数的概念[学生用书P41]下列函数中，哪些是指数函数． ①y ＝(－8)x ；②y ＝2x 2－1；③y ＝a x ； ④y ＝(2a －1)x ⎝⎛⎭⎫a >12且a ≠1；⑤y ＝2×3x . 【解】 ①中底数－8<0，所以不是指数函数． ②中指数不是自变量x ，所以不是指数函数．③中底数a ，只有规定a >0且a ≠1时，才是指数函数． ④因为a ＞12且a ≠1，所以2a －1＞0且2a －1≠1，所以y ＝(2a －1)x ⎝⎛⎭⎫a ＞12且a ≠1为指数函数． ⑤中3x 前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数．故只有④是指数函数．只需判定其解析式是否符合y ＝a x (a >0，且a ≠1)这一结构形式，其具备的特点为：1.指出下列函数中，哪些是指数函数．(1)y ＝πx ；(2)y ＝－4x ； (3)y ＝(1－3a )x ⎝⎛⎭⎫a <13且a ≠0； (4)y ＝(a 2＋2)－x ；(5)y ＝2×3x ＋a (a ≠0)．解：根据指数函数的定义，指数函数满足：①前面系数为1；②底数a ＞0且a ≠1；③指数是自变量．(1)y ＝πx ，底数为π，满足π＞0且π≠1，前面系数为1，且指数为自变量x ，故它是指数函数．(2)y ＝－4x ，前面系数为－1，故它不是指数函数．(3)y ＝(1－3a )x ，因为a <13且a ≠0，所以1－3a >0且1－3a ≠1，前面系数为1，且指数为自变量x ，故它是指数函数．(4)y ＝(a 2＋2)－x＝⎝⎛⎭⎫1a 2＋2x，底数1a 2＋2∈⎝⎛⎦⎤0，12，前面系数为1，指数为自变量x ，故它是指数函数．(5)y ＝2×3x ＋a (a ≠0)，3x 前面系数为2≠1，故它不是指数函数． 故(1)(3)(4)为指数函数．指数式的比较大小问题[学生用书P42]比较下列各组数的大小． (1)1.8－π，1.8－3；(2)1.7－0.3，1.9－0.3；(3)0.80.6，0.60.8.【解】 (1)构造函数f (x )＝1.8x .因为a ＝1.8＞1，所以f (x )＝1.8x 在R 上是增函数． 因为－π＜－3，所以1.8－π＜1.8－3. (2)因为y ＝⎝⎛⎭⎫1.71.9x在R 上是减函数， 所以1.7－0.31.9－0.3＝⎝⎛⎭⎫1.71.9－0.3＞⎝⎛⎭⎫1.71.90＝1.又因为1.7－0.3与1.9－0.3都大于0，所以1.7－0.3＞1.9－0.3.(3)取中间值0.80.8.因为y ＝0.8x 在R 上单调递减，而0.6＜0.8， 所以0.80.6＞0.80.8.又因为0.80.80.60.8＝⎝⎛⎭⎫0.80.60.8＞⎝⎛⎭⎫0.80.60＝1，且0.60.8＞0，0．80.8>0，所以0.80.8＞0.60.8.所以0.80.6＞0.60.8.对于同底数幂，应利用指数函数的单调性求解；对于同指数的两个函数值，应根据“在y 轴的右侧，图象由上到下，底数越来越小”来判断数值的大小；对于不同底数，不同指数的两个函数值，可找一中间函数值，通过“搭桥”来达到比较两个数的大小的目的．2.比较下列各组中两个数的大小：(1)0.63.5和0.63.7； (2)(2)－1.2和(2)－1.4；(3)⎝⎛⎭⎫3213和⎝⎛⎭⎫3223； (4)π－2和⎝⎛⎭⎫13－1.3.解：(1)考察函数y ＝0.6x ，因为0<0.6<1，所以函数y ＝0.6x 在实数集R 上是单调减函数．又因为3.5<3.7，所以0.63.5>0.63.7.(2)考察函数y ＝(2)x .因为2>1，所以函数y ＝(2)x 在实数集R 上是单调增函数．又因为－1.2>－1.4，所以(2)－1.2>(2)－1.4.(3)考察函数y ＝⎝⎛⎭⎫32x.因为32>1，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫32x在实数集R 上是单调增函数．又因为13<23，所以⎝⎛⎭⎫3213<⎝⎛⎭⎫3223.(4)因为π－2＝⎝⎛⎭⎫1π2<1，⎝⎛⎭⎫13－1.3＝31.3>1，所以π－2<⎝⎛⎭⎫13－1.3.与指数函数有关的函数定义域与值域问题[学生用书P42]求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝21x －4；(2)y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x.【解】 (1)x 应满足x －4≠0，所以x ≠4， 故函数y ＝21x －4的定义域为{x |x ≠4}．因为x ≠4，所以1x －4≠0，所以21x －4≠1.所以y ＝21x －4的值域为{y |y >0，且y ≠1}．(2)因为x 应满足1－⎝⎛⎭⎫12x≥0， 所以⎝⎛⎭⎫12x≤1＝⎝⎛⎭⎫120，所以x ≥0. 所以函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x的定义域为{x |x ≥0}．因为⎝⎛⎭⎫12x ≤1，且⎝⎛⎭⎫12x>0，所以0<⎝⎛⎭⎫12x≤1. 所以0≤1－⎝⎛⎭⎫12x<1，即0≤y <1. 所以函数y 的值域为{y |0≤y <1}．函数y ＝a f (x )的定义域的求解方法使f (x )有意义列不等式(组)求出x 的取值范围；值域的求解方法：(1)根据定义域求出μ＝f (x )的值域；(2)根据指数函数的性质求出y ＝a μ的值域，即为所求．3.求下列函数的定义域与值域：(1)y ＝4x ＋2x ＋1＋1； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫13－x 2＋2x .解：(1)定义域为R .令2x ＝t (t ＞0)， 则y ＝4x ＋2x ＋1＋1＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2＞1. 所以值域为{y |y ＞1}． (2)定义域为R .令u ＝2x －x 2＝－(x －1)2＋1， 则u ≤1，因为y ＝⎝⎛⎭⎫13u 为减函数，所以y ＝⎝⎛⎭⎫13u ≥⎝⎛⎭⎫131， 即函数的值域为⎣⎡⎭⎫13，＋∞.透析指数函数的图象与性质(1)当底数a 大小不确定时，必须分a ＞1或0＜a ＜1两种情况讨论函数的图象和性质． (2)当a ＞1时，x 的值越小，函数的图象越接近x 轴；当0＜a ＜1时，x 的值越大，函数的图象越接近x 轴．(3)指数函数的图象都经过点(0，1)，且图象都经过第一、二象限．如果函数y ＝a 2x ＋2a x ＋1(a >0，a ≠1)在[－1，1]上的最大值为9，求a 的值． [解] 设a x ＝t (t >0)，则y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2. 若0<a <1，则t ＝a x ∈[a ，a －1]， 所以当t ＝a －1，即x ＝－1时， y max ＝a －2＋2a －1＋1. 于是由a －2＋2a －1＋1＝9， 解得a ＝12(a >0，a ≠1)．若a >1，则t ＝a x ∈[a －1，a ]，所以当t ＝a ，即x ＝1时，y max ＝a 2＋2a ＋1. 于是由a 2＋2a ＋1＝9，解得a ＝2(a >0，a ≠1)． 综上所述，a ＝12或a ＝2.(1)本题换元(设a x ＝t )后易出现两个错误：①已知区间[－1，1]是x 的取值范围，误认为是t 的取值范围；②a 的取值将影响指数函数t ＝a x 的单调性，从而影响t ＝a x 的取值范围，故应该分a >1与0<a <1讨论．(2)指数函数的单调性，由底数的取值范围确定，故当指数函数的底数含有字母时，要对字母的取值情况分类讨论．1．若函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12a －3·a x 是指数函数，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为 ( ) A ．2 B ．－2 C ．－2 2D ．2 2解析：选D.因为函数f (x )是指数函数，所以12a －3＝1，所以a ＝8，所以f (x )＝8x ，f ⎝⎛⎭⎫12＝812＝2 2.2．已知函数f (x )＝a x (a >0)的图象经过点(－1，2)，则f (2)＝________． 解析：因为2＝a －1，即a ＝12，所以f (2)＝⎝⎛⎭⎫122＝14.★★答案★★：143．已知函数y ＝a x －1的定义域是(－∞，0]，则实数a 的取值范围是________． 解析：由a x －1≥0，得a x ≥1＝a 0，因为x ∈(－∞，0]，由指数函数的性质知0<a <1. ★★答案★★：(0，1)4．不等式⎝⎛⎭⎫12x<4的解集是________． 解析：⎝⎛⎭⎫12x<4即⎝⎛⎭⎫12x<⎝⎛⎭⎫12－2. 又y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，＋∞)上为减函数．所以x >－2. ★★答案★★：(－2，＋∞)[学生用书P106(单独成册)])[A 基础达标]1．已知1＞n ＞m ＞0，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( )解析：选C.由于0＜m ＜n ＜1，所以y ＝m x 与y ＝n x 都是减函数，故排除A ，B ，作直线x ＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C.2．若函数y ＝(1－2a )x 是实数集R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B ．(－∞，0) C.⎝⎛⎭⎫－∞，12 D ．⎝⎛⎭⎫－12，12 解析：选B.由题意知，此函数为指数函数，且为实数集R 上的增函数，所以底数1－2a >1，解得a <0.3．函数f (x )＝a x 与g (x )＝－x ＋a 的图象大致是( )解析：选A.因为g (x )＝－x ＋a 是R 上的减函数，所以排除选项C ，D.由选项A ，B 的图象知，a >1.因为g (0)＝a >1，故选A.4．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则f (x )的值域为( ) A ．[9，81] B ．[3，9] C ．[1，9]D ．[1，＋∞)解析：选C.因为函数f (x )＝3x－b的图象经过点(2，1)，所以32－b ＝1，所以2－b ＝0，b ＝2， 所以f (x )＝3x －2.由2≤x ≤4得0≤x －2≤2， 所以30≤3x －2≤32，即1≤3x －2≤9，所以函数f (x )的值域是[1，9]． 5.已知a ＝20.4，b ＝80.1，c ＝⎝⎛⎭⎫12－0.5，则a ，b ，c 的大小顺序为________．解析：a ＝20.4，b ＝20.3，c ＝20.5. 又y ＝2x 在R 上为增函数． 所以b <a <c .★★答案★★：b <a <c6.函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫131x 的定义域，值域依次是____________________________．解析：由函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫131x 的表达式得x ≠0为其有意义的取值范围，1x≠0.所以⎝⎛⎭⎫131x ≠1且⎝⎛⎭⎫131x＞0.于是函数的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }， 值域为{y |y ＞0且y ≠1}．★★答案★★：{x |x ≠0，x ∈R }，{y |y ＞0且y ≠1} 7. y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3的值域为________． 解析：因为x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4， 所以⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3≤⎝⎛⎭⎫12－4＝16. 又因为⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3＞0，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3的值域为(0，16]． ★★答案★★： (0，16]8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：由题意知f (1)＝21＝2. 因为f (a )＋f (1)＝0，所以f (a )＋2＝0.若a >0，则f (a )＝2a ，2a ＋2＝0无解；若a ≤0，则f (a )＝a ＋1. 所以a ＋1＋2＝0，a ＝－3. ★★答案★★：－39．求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝21x－1；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－2.解：(1)要使y ＝21x －1有意义，需x ≠0，则21x ＞0且21x ≠1，故21x －1＞－1且21x－1≠0，故函数y ＝21x－1的定义域为{x |x ≠0}，函数的值域为(－1，0)∪(0，＋∞)．(2)函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－2的定义域为实数集R ，由于2x 2≥0，则2x 2－2≥－2，故0＜⎝⎛⎭⎫132x 2－2≤9，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－2的值域为(0，9]．10．已知指数函数f (x )＝a x 在x ∈[－2，2]上恒有f (x )<2，求实数a 的取值范围． 解：当a >1时，f (x )＝a x 在[－2，2]上为增函数， 所以f (x )max ＝f (2)，又因为x ∈[－2，2]时，f (x )<2恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，f （2）<2，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a 2<2，解得1<a < 2. 同理，当0<a <1时，⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，f （x ）max ＝f （－2）<2， 解得22<a <1. 综上所述，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1∪(1，2)．[B 能力提升]1．图中所给的曲线C 1，C 2，C 3，C 4是指数函数y ＝a x 的图象，而a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，13，5，π，则图象C 1，C 2，C 3，C 4对应的函数的底数依次是________，________，________，________．解析：由底数变化引起指数函数图象变化的规律，知C 2的底数<C 1的底数<1<C 4的底数<C 3的底数，而13<23<5<π，故C 1，C 2，C 3，C 4对应函数的底数依次是23，13，π， 5.★★答案★★：23 13π 52．若方程|2x －1|＝a 有唯一实数解，则a 的取值范围是________．解析：作出y ＝|2x －1|的图象，如图，要使直线y ＝a 与图象的交点只有一个，所以a ≥1或a ＝0.★★答案★★：{a |a ≥1，或a ＝0}3．将⎝⎛⎭⎫4313，223，⎝⎛⎭⎫－233，⎝⎛⎭⎫3412用“<”号连接起来． 解：先将这4个数分成三类： (1)负数：⎝⎛⎭⎫－233；(2)大于1的数：⎝⎛⎭⎫4313，223； (3)大于0小于1的数：⎝⎛⎭⎫3412. 又因为⎝⎛⎭⎫4313<413＝223， 故⎝⎛⎭⎫－233<⎝⎛⎭⎫3412<⎝⎛⎭⎫4313<223. 4．(选做题)设a >0，且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1，1]上的最大值是14，求a 的值．解：令t ＝a x (a >0且a ≠1)， 则原函数可化为y ＝(t ＋1)2－2(t >0)．令y ＝f (t )，则函数f (t )＝(t ＋1)2－2的图象的对称轴为直线t ＝－1，开口向上． ①当0<a <1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ， 此时，f (t )在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上为增函数， 所以f (t )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14. 所以⎝⎛⎭⎫1a ＋12＝16， 所以a ＝－15或a ＝13.又因为a >0，所以a ＝13.②当a >1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ， 此时f (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上是增函数， 所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14. 解得a ＝3(a ＝－5舍去)．所以a ＝13或a ＝3.。
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第3章 指数函数、对数函数和幂函数§3.1 指数函数 3.1.1 分数指数幂课时目标 1.了解指数函数模型的实际背景，体会引入有理数指数幂的必要性.2.理解有理数指数幂的含义，知道实数指数幂的意义，掌握幂的运算．1．如果一个实数x 满足________________，那么称x 为a 的n 次实数方根． 2．式子na 叫做______，这里n 叫做________，a 叫做__________． 3．(1)n ∈N *时，(na )n ＝____.(2)n 为正奇数时，n a n ＝____；n 为正偶数时，na n ＝______.4．分数指数幂的定义：(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：m na ＝__________(a >0，m 、n ∈N *，且n >1)；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：m na -＝____________(a >0，m 、n ∈N *，且n >1)； (3)0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂__________． 5．有理数指数幂的运算性质： (1)a r a s ＝______(a >0，r 、s ∈Q )； (2)(a r )s ＝______(a >0，r 、s ∈Q )； (3)(ab )r ＝______(a >0，b >0，r ∈Q )．一、填空题1．下列说法中：①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，n a 对任意a ∈R 都有意义；④当n 为大于1的偶数时，na 只有当a ≥0时才有意义．其中正确的是________(填序号)．2．若2<a <3，化简(2－a )2＋4(3－a )4的结果是________．3．在(－12)－1、122-、1212-⎛⎫⎪⎝⎭、2－1中，最大的是______________________________． 4．化简3a a 的结果是________．5．下列各式成立的是________．(填序号)①3m 2＋n 2＝()23m n +；②(b a)2＝12a 12b ；③6(－3)2＝()133-；④34＝132.6．下列结论中，正确的个数为________．①当a <0时，()322a＝a 3；②na n ＝|a |(n >0)；③函数y ＝()122x -－(3x －7)0的定义域是(2，＋∞)； ④若100a ＝5,10b ＝2，则2a ＋b ＝1. 7.614－3338＋30.125的值为________． 8．若a >0，且a x＝3，a y＝5，则22y x a+＝________.9．若x >0，则(214x ＋323)(214x －323)－412x -·(x －12x )＝________.二、解答题10．(1)化简：3xy 2·xy －1·xy ·(xy )－1(xy ≠0)； (2)计算：122-＋(－4)02＋12－1－(1－5)0·238.11．设－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值．能力提升12．化简：41 3322333842a a bb ab a-++÷(1－23ba)×3a.13．若x>0，y>0，且x－xy－2y＝0，求2x－xyy＋2xy的值．1.na n与(na)n的区别(1)na n是实数a n的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶性限制，a∈R，但这个式子的值受n的奇偶性限制：当n为大于1的奇数时，na n＝a；当n为大于1的偶数时，na n＝|a|.(2)(na)n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定：当n为大于1的奇数时，(na)n＝a，a∈R；当n为大于1的偶数时，(na)n＝a，a≥0，由此看只要(na)n有意义，其值恒等于a，即(na)n＝a.2．有理指数幂运算的一般思路化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，灵活运用指数幂的运算性质．同时要注意运用整体的观点、方程的观点处理问题，或利用已知的公式、换元等简化运算过程．3．有关指数幂的几个结论(1)a>0时，a b>0；(2)a≠0时，a0＝1；(3)若a r＝a s，则r＝s；(4)a±212a12b＋b＝(12a±12b)2(a>0，b>0)；(5)(12a＋12b)(12a－12b)＝a－b(a>0，b>0)．§2.2指数函数2．2.1分数指数幂知识梳理1．x n＝a(n>1，n∈N*) 2.根式根指数被开方数 3.(1)a(2)a|a| 4.(1)na m(2)1m na(3)0 没有意义 5.(1)a r ＋s (2)a rs (3)a r b r作业设计 1．③④解析 ①错，∵(±2)4＝16， ∴16的4次方根是±2； ②错，416＝2，而±416＝±2. 2．1解析 原式＝|2－a |＋|3－a |，∵2<a <3，∴原式＝a －2＋3－a ＝1. 3．1212-⎛⎫⎪⎝⎭解析 ∵(－12)－1＝－2, 122-＝22，1212-⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2，2－1＝12，且2>22>12>－2， ∴1212-⎛⎫ ⎪⎝⎭>122->2－1>(－12)－1.4．12a解析 原式＝132aa ＝332a ＝12a .5．④解析 ①被开方数是和的形式，运算错误；(b a )2＝b 2a2，②错；6(－3)2>0，()133-<0，③错． 6．1解析 ①中，当a <0时，()322a ＝[()122a ]3＝(－a )3＝－a 3，∴①不正确；②中，若a ＝－2，n ＝3，则3(－2)3＝－2≠|－2|，∴②不正确；③中，有⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，3x －7≠0，即x ≥2且x ≠73，故定义域为[2，73)∪(73，＋∞)，∴③不正确；④中，∵100a ＝5,10b ＝2，∴102a ＝5,10b ＝2,102a ×10b ＝10，即102a ＋b ＝10. ∴2a ＋b ＝1，④正确． 7.32解析 原式＝(52)2－3(32)3＋3(12)3＝52－32＋12＝32. 8．9 5 解析 22y x a +＝(a x )2·()12y a＝32·125＝9 5.9．－23解析 原式＝412x －33－412x ＋4＝－23.10．解 (1)原式＝()113212xy xy-⎡⎤⎢⎥⎣⎦·()12xy ·(xy )－1 ＝13x ·23y16x16y-·12x-·12y-＝13x ·13x-＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x >0－1， x <0. (2)原式＝12＋12＋2＋1－22 ＝22－3.11．解 原式＝(x －1)2－(x ＋3)2 ＝|x －1|－|x ＋3|，∵－3<x <3，∴当－3<x <1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2； 当1≤x <3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4.∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2 (－3<x <1)－4 (1≤x <3).12．解 原式＝()1321123333842aa b b a b a-++÷1133132a b a-×13a＝()1321123333842aa b b a b a -++·1311332aa b-·13a ＝()33113382a a b a b -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝a (a －8b )a －8b＝a .13．解 ∵x －xy －2y ＝0，x >0，y >0， ∴(x )2－xy －2(y )2＝0， ∴(x ＋y )(x －2y )＝0， 由x >0，y >0得x ＋y >0， ∴x －2y ＝0，∴x ＝4y ， ∴2x －xy y ＋2xy ＝8y －2y y ＋4y ＝65.。
课堂导学三点剖析一、指数函数的图象和性质【例1】在同一个坐标系中画出下列各函数的图象：①y=2x ；②y=5x ；③y=(51)x ；④y=(21)x . (1)观察四个函数的图象,看它们有何特点?你能从中总结出一般性结论吗?(2)由y=5x 的图象，怎样画出y=5x+3的图象？怎样画出y=5x +3的图象？解析:指数函数y=a x (a ＞0且a ≠1)恒过两个点(0,1)和(1,a).这四个函数都经过(0,1),又分别经过(1,2)(1,5)(1,51)(1,21).再由函数的单调性就可以画出四个函数的大致图象(如右图).(1)根据图象可知函数①与④，②与③分别关于y 轴对称. 规律：①一般地，指数函数y=a x (a>0且a ≠1)与y=a -x (a>0且a ≠1)的图象关于y 轴对称.②y=a x (a>0且a ≠1)中，当底a>1时，在y 轴右侧，底越大图象越靠近于y 轴；在y 轴左侧，底越大图象越靠近于x 轴.当底0<a<1时，在y 轴左侧，底越小图象越靠近于y 轴；在y 轴右侧，底越小图象越靠近于x 轴.(2)把y=5x 的图象向左平移3个单位可得y=5x+3的图象，把y=5x 的图象向上平移3个单位可得y=5x +3的图象.温馨提示(1)记住例1中(1)的结论，在同一坐标系中画指数函数的简图或比较幂的大小时，可直接应用.(2)函数图象的平移规律：y=f(x)y=f(x+a); y=f(x)y=f(x)+h.二、底数a>1和0<a<1的不同性质及应用【例2】 比较下列各题中两个数的大小.（1）1.72.5，1.73；（2）0.8-0.1，0.8-0.2；（3）1.70.3，0.93.1.解析:（1）考查指数函数y=1.7x ，由于底数1.7>1，所以指数函数y=1.7x 在（-∞，+∞）上是增函数.∵2.5<3,∴1.72.5<1.73.(2)考查函数y=0.8x ,由于0<0.8<1,所以指数函数y=0.8x 在(-∞,+∞)上为减函数.∵-0.1>-0.2,∴0.8-0.1<0.8-0.2.(3)由指数函数的性质得1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1.∴1.70.3>0.93.1.温馨提示比较两个同底的指数的大小，若底数为字母，应分类讨论(底数大于1，大于0小于1两种).底数不同的两个指数比较大小，常借助于中间量（如0、1）.三、幂函数与指数函数的区别【例3】请判断下列哪些函数是指数函数.y=(31)x,y=-3x,y=π-x,y=x3,y=2×3x,y=4x+1,y=22x,y=(a-2)x(a>3),y=x x(x>0,x≠1),y=(1-2)x,y=22x.解析:∵y=π-x=(π1)x,y=22x=(22)x=4x,∴指数函数有y=(31)x,y=π-x,y=22x,y=(a-2)x(a>3).不是指数函数的有y=-3x,y=x3,y=2×3x,y=4x+1,y=x x(x>0,x≠1),y=(1-2)x,y=22x.温馨提示认为y=(1-2)x为指数函数，是没注意底数1-2<0.认为y=π-x、y=22x不是指数函数，则是没把解析式变成y=a x的形式.这都是易犯的错误.各个击破类题演练1函数y=a|x|（a>1）的图象是（）解析：y=a|x|（a>1），当x≥0时，y=a x在第一象限为增函数，当x<0时，因y=a|x|是偶函数，所以图象关于y轴对称，画出另一半，选B.答案：B变式提升1画出函数y=2|x+1|的图象，并根据图象指出它的单调区间.解析:由函数解析式可得：y=2|x+1|=⎪⎩⎪⎨⎧-≥-<++).1(,2),1()21(11xxxx其图象分成两部分,一部分是y1=(21)(x+1)(x<-1)的图象,而它的图象是将y=（21）x的图象沿x轴的负方向平移一个单位而得到.另一部分是y2=2x+1(x≥-1)的图象,而它的图象可以看作将y=2x的图象沿x轴的负方向平移一个单位而得到,（如右图）由图知,单调递减区间是(-∞,-1),单调递增区间是［-1,+∞］.类题演练 2比较下列各组数的大小.(1)522,533;(2)a 1.5,a 1.8(a>0且a≠1);(3)0.8-3,21)34(-. 解析:(1)由y=5x 在R 上为增函数可知522<533.(2)当a>1时，a 1.5<a 1.8;当0<a<1时，a 1.5>a 1.8.(3)∵0.8-3>1,0<21)34(-<1, ∴0.8-0.3>21)34(-. 变式提升 2求满足2m m >(m m )2的正数m 的取值范围.解析:原不等式变形为: 2m m >m 2m ,(1)m>1时,m 2>2m ⇒m>2,或m<0.∴m>2.(2)0<m<1时,m 2<2m ⇒0<m<2.∴0<m<1.综上所述,所求m 的值的范围为m>2,或0<m<1.类题演练 3指出下列函数哪些是指数函数:①y=4x ;②y=x 4;③y=-4x ;④y=(-4)x ;⑤y=πx ;⑥y=24x ;⑦y=x x ;⑧y=(2a-1)x (a>21,且a ≠1). 解析:①⑤⑧为指数函数;②是幂函数;③是-1与指数函数4x 的乘积;④中底数-4<0,不是指数函数;⑥中指数不是自变量x,而是x 的函数;⑦中底数x 不是常数,它们都不符合指数函数的定义.变式提升 3下列函数中的指数函数为________________.①y=x 2，②y=8x ，③y=（2a+1）x （a>-21,a ≠0), ④y=2)4(x -,⑤y=2.749x ,⑥y=1225-+x x ,⑦y=(x 2)x ,⑧y=-10x .解析:①为幂函数,④中底数小于0,⑥⑦⑧均为复合函数,故答案为②③⑤. 答案：②③⑤。
3.1.2指数函数第1课时指数函数的概念、图象与性质学习目标核心素养1.理解指数函数的概念．(重点)2.掌握指数函数的图象和性质．(重点)3.能够利用指数函数的图象和性质解题．(重点、难点)4.掌握函数图象的平移变换和对称变换. 通过学习本节内容培养学生的逻辑推理和直观想象的数学核心素养.1．指数函数的概念一般地，函数y＝a x(a>0，a≠1)叫做指数函数，它的定义域是R. 2．指数函数的图象和性质a>10<a<1图象性质定义域R值域(0，＋∞)定点图象过点(0,1)，即x＝0时，y＝1函数值的变化x>0时，y>1；x<0时，0<y<1x>0时，0<y<1；x<0时，y>1 单调性在(－∞，＋∞)上是单调增函数在(－∞，＋∞)上是单调减函数奇偶性非奇非偶函数1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝3·2x是指数函数．()(2)指数函数的图象与x 轴永不相交． ( ) (3)函数y ＝2－x 在R 上为增函数．( )(4)当a ＞1时，对于任意x ∈R 总有a x ＞1.( ) [★★答案★★] (1)× (2)√ (3)× (4)×[提示] (1)y ＝3·2x 的系数为3，故y ＝3·2x 不是指数函数． (2)指数函数的值域为(0，＋∞)，故它与x 轴不相交． (3)y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数．(4)a >1时，若x <0，则a x <1.2．下列函数中，是指数函数的为________．(填序号) (1)y ＝2x ＋2；(2)y ＝(－2)x ；(3)y ＝－2x ；(4)y ＝πx ； (5)y ＝x 2；(6)y ＝(a －1)x (a >1，且a ≠2)．(4)(6) [只有(4)，(6)是指数函数，因它们满足指数函数的定义；(1)中解析式可变形为y ＝2x ·22＝4·2x ，不满足指数函数的形式；(2)中底数为负，所以不是；(3)中解析式中多一负号，所以不是；(5)中指数为常数，所以不是；(6)中令b ＝a －1，则y ＝b x ，b >0且b ≠1，所以是．]3．若函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(2,9)，则f (x )＝________. 3x [由于a 2＝9，∴a ＝±3.∵a ＞0，∴a ＝3， ∴f (x )＝3x .]指数函数的概念【例1】 函数f (x )＝(a 2－7a ＋7)a x 是指数函数，求实数a 的值． 思路点拨：利用指数函数的定义求解． [解] ∵函数f (x )＝(a 2－7a ＋7)a x 是指数函数， ∴⎩⎨⎧ a 2－7a ＋7＝1，a >0，a ≠1，∴⎩⎨⎧a ＝1或a ＝6，a >0，a ≠1， ∴a ＝6，即a 的值为6.指数函数具有以下特征：①底数a 为大于0且不等于1的常数，不含有自变量x ；②指数位置是自变量x ，且x 的系数是1；③a x 的系数是1.1．已知y ＝(2a －1)x 是指数函数，则a 的取值范围是________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a >12且a ≠1 [要使y ＝(2a －1)x 是指数函数，则2a －1>0且2a －1≠1，∴a >12且a ≠1.]利用单调性比较大小(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1.8与⎝ ⎛⎭⎪⎫34－2.6；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫58－23与1；(3)0.6－2与⎝ ⎛⎭⎪⎫43－23；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3与3－0.2.思路点拨：观察底是否相同(或能化成底相同)，若相同用单调性，否则结合图象或中间值来比较大小．[解] (1)0<34<1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x在定义域R 内是减函数．又∵－1.8>－2.6， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1.8<⎝ ⎛⎭⎪⎫34－2.6.(2)∵0<58<1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫58x在定义域R 内是减函数．又∵－23<0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫58－23>⎝ ⎛⎭⎪⎫580＝1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫58－23>1. (3)∵0.6－2>0.60＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫43－23<⎝ ⎛⎭⎪⎫430＝1，∴0.6－2>⎝⎛⎭⎪⎫43－23.(4)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3＝3－0.3，y ＝3x 在定义域R 内是增函数，又∵－0.3<－0.2， ∴3－0.3<3－0.2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3<3－0.2.在进行指数式的大小比较时，可以归纳为以下三类： (1)底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决.(2)底数不同、指数同：利用指数函数的图象进行解决.在同一平面直角坐标系内画出这两个函数的图象，依据底数a 对指数函数图象的影响，逆时针方向底数在增大，然后观察指数取值对应的函数值即可.(3)底数不同、指数也不同：采用介值法.以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数.比如a c 与b d ，可取a d ，前者利用单调性，后者利用图象.2．比较下列各组数的大小： (1)1.9－π与1.9－3； (2)0.60.4与0.40.6； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫4313，223，⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，⎝ ⎛⎭⎪⎫3412. [解] (1)由于指数函数y ＝1.9x 在R 上单调递增，而－π<－3， ∴1.9－π<1.9－3.(2)∵y ＝0.6x 在R 上递减， ∴0.60.4>0.60.6.又在y 轴右侧，函数y ＝0.6x 的图象在y ＝0.4x 图象的上方， ∴0.60.6>0.40.6，∴0.60.4>0.40.6.(3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫－233<0，⎝ ⎛⎭⎪⎫4313>1,223>1,0<⎝ ⎛⎭⎪⎫3412<1，又在y 轴右侧，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43x的图象在y ＝4x 的下方，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫4313<413＝223， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－233<⎝ ⎛⎭⎪⎫3412<⎝⎛⎭⎪⎫4313<223.利用单调性解指数不等式【例3】 (1)已知4≥2x ＋1>223，求x 的取值范围； (2)已知0.3x>⎝ ⎛⎭⎪⎫103y，求x ＋y 的符号．思路点拨：化为同底，利用指数函数的单调性求解． [解] (1)∵4＝22，∴原式化为22≥2x ＋1>223. ∵y ＝2x 是单调递增的，∴2≥x ＋1>23， ∴－13<x ≤1， ∴x的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13<x ≤1. (2)(0.3)x>⎝ ⎛⎭⎪⎫103y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫310－y＝0.3－y .∵y ＝0.3x 是减函数，∴x <－y ，∴x ＋y <0.1．形如a x >a y 的不等式，借助y ＝a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．2．形如a x ＞b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的单调性求解．3．(1)若例3题(1)改为4≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1>223，则x 的取值范围为_____．(2)解关于x 的不等式a 3x －2≤a x ＋2，(a ＞0且a ≠1)．(1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－53 [∵223<2－(x ＋1)≤22，又y ＝2x 是增函数，∴23<－(x ＋1)≤2，解得－3≤x <－53.](2)[解] ①当a >1时，3x －2≤x ＋2，∴x ≤2. ②当0<a <1时，3x －2≥x ＋2，∴x ≥2. 综上，当a >1时，不等式的解集为{x |x ≤2}， 当0<a <1时，不等式的解集为{x |x ≥2}.图象变换及其应用1．在同一坐标系中作出y ＝2x ，y ＝2x ＋1，y ＝2x ＋1＋2的图象，在另一坐标系中做出y ＝2x ，y ＝2x －1，y ＝2x －1－2的图象，结合以前所学的知识，归纳出图象变换的规律．[提示]结论：y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向左平移1个单位得到； y ＝2x ＋1＋2的图象是由y ＝2x ＋1的图象再向上平移2个单位得到； y ＝2x －1的图象是由y ＝2x 的图象向右平移1个单位得到； y ＝2x －1－2的图象是由y ＝2x －1的图象再向下平移2个单位得到．2．在同一坐标系中，做出y ＝2x－1，y ＝3x－1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1的图象，它们有公共点吗？坐标是什么？能否由此得出结论y ＝a x －1均过该点．在另一坐标系中，做出y ＝2x ＋1－1，y ＝3x ＋1－1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1－1的图象，它们有公共点吗？坐标是什么，能得出y ＝a x ＋1－1均过该点的结论吗？由以上两点，能否说明形如y ＝a x ＋m ＋n (m ，n >0)的图象经过的定点是什么？[提示]结论：y ＝2x－1，y ＝3x－1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1都过定点(0,0)，且y ＝a x －1也总过定点(0,0)．y ＝2x ＋1－1，y ＝3x ＋1－1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1－1都过定点(－1,0)，且y ＝a x ＋1－1也总过定点(－1,0)．综上得y ＝a x ＋m ＋n 的图象经过定点(－m,1＋n )．3．除去用图象变换的方法外，还有无其它方式寻找定点．如y ＝4a 2x －4＋3是否过定点．[提示] 还可以整体代换． 将y ＝4a 2x －4＋3变形为y －34＝a 2x －4. 令⎩⎪⎨⎪⎧y －34＝1，2x －4＝0⇒⎩⎨⎧x ＝2，y ＝7，即y ＝4a 2x －4＋3过定点(2,7)． 【例4】 (1)函数y ＝3－x 的图象是________．(填序号)(2)已知0＜a ＜1，b ＜－1，则函数y ＝a x ＋b 的图象必定不经过第________象限．(3)函数f (x )＝2a x ＋1－3(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点________． 思路点拨：题(1)中可将y ＝3－x转化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.题(2)中，函数y ＝a x ＋b 的图象过点(0,1＋b )， 因为b ＜－1，所以点(0,1＋b )在y 轴负半轴上．题(3)应该根据指数函数经过定点求解．(1)② (2)一 (3)(－1，－1) [(1)y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x为单调递减的指数函数，其图象为②.(2)函数y ＝a x (0＜a ＜1)在R 上单调递减，图象过定点(0,1)，所以函数y ＝a x ＋b 的图象在R 上单调递减，且过点(0,1＋b )．因为b ＜－1，所以点(0,1＋b )在y 轴负半轴上，故图象不经过第一象限．(3)令x ＋1＝0，得x ＝－1，此时y ＝2a 0－3＝－1，故图象恒过定点(－1，－1)．]1．处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)．(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 2．指数型函数图象过定点问题的处理方法求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y 的值，即可得函数图象所过的定点．4．函数y ＝f (x )＝a x ＋2－12(a >1)的图象必过定点______，其图象必不过第________象限．⎝⎛⎭⎪⎫－2，12 四 [y ＝a x(a >1)在R 上单调递增，必过(0,1)点，故求f (x )所过的定点时可以令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，y ＋12＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝12，即定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12.结合图象(略)可知，f (x )的图象必在第一、二、三象限，不在第四象限．]1．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y ＝a x (a >0且a ≠1)这一结构形式，即a x 的系数是1，指数是x 且系数为1.2．指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的性质分底数a >1,0<a <1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的．3．指数函数的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)，且f (0)＝1. 4．在y 轴右侧，底数a 越大，图象越靠近y 轴.1．下列所给函数中为指数函数的是( )①y ＝4x ；②y ＝x 4；③y ＝－4x ；④y ＝(－4)x ；⑤y ＝4x 2；⑥y ＝x 2；⑦y ＝(2a －1)x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，a ≠1. A ．①③ B ．②④⑥ C ．①⑦D ．①④⑦C [形如y ＝a x (a >0且a ≠1)的函数为指数函数，故①⑦是指数函数．] 2．指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________． (1,2) [由题意可知，0<2－a <1，即1<a <2.]3．函数y ＝a x －5＋1(a ≠0)的图象必经过点________．(5,2) [指数函数的图象必过点(0,1)，即a 0＝1，由此变形得a 5－5＋1＝2，所以所求函数图象必过点(5,2)．]4．画出函数y ＝2|x |的图象，观察其图象有什么特征？根据图象指出其值域和单调区间．[解] 当x ≥0时y ＝2|x |＝2x ； 当x ＜0时y ＝2|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .∴函数y ＝2|x |的图象如图所示，由图象可知，y ＝2|x |的图象关于y 轴对称，值域是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0]，单调递增区间是[0，＋∞)．。
《指数函数》教学设计一、教材分析函数是数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿整个数学学习。
本节课是学生在已掌握了函数的定义、性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数的定义、图像和性质，一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解和认识，使学生得到系统的函数知识和研究函数的方法；另一方面也为研究对数函数以及等比数列的性质打下基础。
本节课十分重要，它对知识起承上启下的作用。
二、学情分析在初中所学的基本初等函数的基础上，通过前几节课的对函数的定义的更详细了解，学生对函数有了一定的理解，已初步能用函数的观点分析问题、解决问题。
三、教学目标知识目标：熟悉指数函数的定义；掌握指数函数的图像和性质。
能力目标：通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，进一步巩固数形结合、分类讨论的数学思想，掌握从特殊到一般的学习数学的方法，增强识图用图的能力。
情感目标：通过探究学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性的关系，学会用函数的观点分析问题，并养成合作交流、独立思考、理论联系实际的习惯，激发学生学习数学的兴趣，树立学习数学的信心。
四、教学重点、难点重点是指数函数的图像和性质；难点是指数函数性质的应用。
教学方法：引导，观察，归纳，启发，探究，比较。
五、教学活动（一）温故知新（学生集体回答下列问题。
）1.指数式的形式2.指数的运算公式设计意图：通过多媒体演示，引导学生回忆指数的运算，培养学生温故知新的能力，为本节内容的学习做好准备。
（二）创设情境，导入新课（学生跟随教师动手折纸，在动态的操作中找到问题的答案）折纸是一门艺术，很受大家的青睐；折纸又是一个数学探究的过程，它溶于数学，所以以折纸为载体，出现了不少趣题，请同学们动手之后回答下面的问题：假设一张纸的厚度为1，对折x次，纸的厚度y是多少？答：对折1次，折纸厚度为21；对折2次，折纸厚度为22；对折3次，折纸厚度为23；对折4次，折纸厚度为24，……对折x次，折纸厚度y=2x 定义：一般地，形如y=ax，（a>0且a≠1）的函数叫做指数函数，其中x 是自变量，定义域为实数集R。
高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）§3.1 指数函数课后训练【感受理解】1．函数2(232)xy a a a =-+是指数函数，则a 的取值范围是（ ） ()A 0,1a a >≠ ()B 1a = ()C 12a =()D 1a =或12a = 2．函数211327x y -=-的定义域为（ ） ()A (2,)-+∞ ()B [1,)+∞ ()C (,1]-∞- ()D (,2)-∞- 3． 若221(2)(2)x x a a a a -++>++，则x 的范围为 ． 【思考应用】4． 已知函数()f x 满足：对任意的12x x <，都有12()()f x f x <，且有1212()()()f x x f x f x +=⋅，则满足上述条件的一个函数是 ．5．将三个数10.20.7321.5,1.3,()3-按从小到大的顺序排列是 ． 6．（1）函数15x y -=的定义域是 ；值域是 ；（2）函数15x y =-的定义域是 ；值域是 ． 7．已知2223422(),()(0,1)xx x x f x a g x a a a +-+-==>≠，确定x 的范围，使得()()f x g x >．【拓展提高】8．实数,a b 满足11111212a b ++=--，则a b += ．9．求函数4225x xy =-⋅+，[0,2]x ∈的最大值和最小值．10．若函数2121x x a a y ⋅--=-为奇函数，（1）确定a 的值；（2）讨论函数的单调性．§2.1.1指数函数（2）课后训练【感受理解】１．如图指数函数①x y a =②x y b =③x y c =④x y d =的图象，则 （ ） （A ）01a b c d <<<<<（B ）01b a d c <<<<<（C ）1a b c d <<<<（D ）01a b d c <<<<<2．在同一坐标系中，函数x y a =与函数1y ax =+的图象只能是 （ ）（A ） （B ） (C ) (D )3．要得到函数122x y -=的图象，只要将函数1()4xy =的图象 （ ） （A ）向左移1个单位 （B ）向右移1个单位（C ）向左移0.5个单位 （D ）向右移0.5个单位【思考应用】4．若函数(1)(0,1)xy a b a a =-->≠图象不经过第二象限，则,a b 的满足的条件是______． 5． 将函数21()3xy =图象的左移2个单位，再下移1个单位所得函数的解析式是 ；6．函数21x y a +=-(0,1)a a >≠的图象过定点 ．7．已知函数311()()212x f x x =+-， (1)求()f x 的定义域； (2)讨论()f x 的奇偶性； (3)证明：()0f x >．【拓展提高】 8．已知()|21|x f x =-，当a b c <<时，有()()()f a f c f b >>，则下列各式中正确的是( )()A 22a c > ()B 22a b > ()C 22a c -< ()D 222a c +<9．函数22363x x y -+=的单调递减区间是 ．10．已知指数函数()(0,1)x f x a a a =>≠，根据它的图象判断121[()()]2f x f x +和12()2x x f +的大小（不必证明）．指数函数（3）课后训练【感受理解】1．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成 （ ）A . 511个B . 512个C . 1023个D . 1024个2．某商场进了A B 、两套服装，A 提价20%后以960元卖出，B 降价20%后以960元卖出，则这两套服装销售后 （ ）()A 不赚不亏 ()B 赚了80元 ()C 亏了80元 ()D 赚了2000元3. 某商品降价20%后，欲恢复原价，则应提价（ ）()A 25% ()B 20% ()C 30% ()D 15%【思考应用】4．某新型电子产品2002年初投产，计划到2004年初使其成本降低36%，那么平均每年应降低成本 .5. 据报道，1992年底世界人口达到54.8亿，若世界人口的年平均增长率为%x ，到2005年底全世界人口为y 亿，则y 与x 的函数关系是 .6.某工厂的一种产品的年产量第二年比第一年增加21%，第三年比第二年增加44%，则这两年的平均增长率是 .7. 某地区今年1月、2月、3月患某种传染病的人数分别为52,61,68。
课堂导学三点剖析一、指数函数图象和性质的应用【例1】 解下列不等式.(1)(0.2)2x-1>251; (2)9x -4·3x+1+27>0; (3)a <(a1)1-2x (a>0且a ≠1). 解析:(1)原不等式可化为51-2x >5-2,由y=5x 为增函数可知1-2x>-2,解得x<23.故所求x 的范围为x<23. (2)原不等式可化为(3x )2-12·3x +27>0.设3x =t,则t 2-12t+27>0,解得t>9或t<3.当t>9时，即3x >9, ∴x>2.当t<3时，3x <3,∴x<1.故满足条件的实数x 的范围为x>2或x<1.(3)原不等式可化为a 2x-1>21a .当a>1时，y=a x 在R 上为增函数，∴2x-1>21. 解得x>43. 当0<a<1时，y=a x 在R 上为减函数，∴2x-1<21.解得x<43. 综上可知，当a>1时，x>43; 当0<a<1时，x<43. 温馨提示指数不等式主要有两种类型：(1)可化为a f(x)>a g(x)，当a>1时，转化为f(x)>g(x);当0<a<1时，转化为f(x)<g(x).(2)可化为A ·a 2x +B ·a x +C>0(或<0).令t=a x ,转化为关于t 的一元二次不等式At 2+Bt+C>0(或<0)，先求t 的范围，再求x 的范围，注意t>0.二、指数函数图象和性质的应用【例2】 已知a>0且a ≠1,讨论f(x)=a -x2+3x+2的单调性.解析:设u=-x 2+3x+2=-(x-23)2+417,则当x ≥23时,u 是减函数，当x ≤23时.u 是增函数，又当a>1时，y=a u 是增函数，当0<a<1时，y=a u 是减函数,所以当a>1时,原函数f(x)=232++-x x a在［23,+∞］上是减函数,在(-∞,23)上是增函数.当0<a<1时,原函数f(x)=232++-x x a 在［23,+∞］上是增函数,在(-∞,23］上是减函数. 温馨提示求复合函数的单调区间：（1）先求函数定义域，再看这个函数由哪两个函数复合而成；（2）遵循的原则是“同增异减”，即y=f(u)与u=g(x)单调性相同时，则y=f ［g(x)］为增函数；当y=f(u)与u=g(x)单调性相异时，y=f ［g(x)］为减函数.三、指数函数的实际应用【例3】 用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的43，写出存留污垢y 与漂洗次数x 的函数关系式.若要使存留的污垢不超过原来的1621，则至少要漂洗几次？ 思路分析:若洗前衣服的污垢为1,洗第一次后存留的污垢为(1-43)=41,洗第二次后存留的污垢为41×(1-43)=(41)2，…,第x 次后存留的污垢为(41)x-1·(1-43)=(41)x . 解析:设衣服洗前的污垢为1，由题意知漂洗x 次后衣服存留污垢y=(41)x (x ∈N). 由题意知(41)x ≤1621,即(21)2x ≤(21)16. ∴2x ≥16.∴x ≥8. ∴要使存留的污垢不超过原来的1621,至少要漂洗8次. 温馨提示平均增长(降低)率公式a(1±x)n 中的a 为起初的量,n 是增长(降低)的次数,取加号表示增长,减号表示降低.各个击破类题演练 1设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤--.0,,0,1221x x x x 若f(x 0)>1,则x 0的取值范围是（ ）A.(-1,1)B.(-1,＋∞)C.(-∞,-2)∪(0,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)解析:∵f(x 0)>1,当x 0≤0时,2-x 0-1>1,2-x 0>2,-x 0>1,∴x 0<-1;当x 0>0时,210x >1,∴x 0>1.综上,∴x 0∈(-∞,-1)∪(1,+∞).答案:D变式提升 1设y 1=a 3x+1,y 2=a -2x ,其中a>0,a≠1.确定x 为何值时,有y 1>y 2.解析:∵y 1>y 2,∴a 3x+1>a -2x .当a>1时,3x+1>-2x,得x>-51. 当0<a<1时,3x+1<-2x,得x<-51. 综上所述,当a>1时,x ∈(-51,+∞). 当0<a<1时,x ∈(-∞,-51). 类题演练 2求函数y=36x -12×6x -5的单调区间.解析:令6x =t,则t=6x 在R 上增函数,y=t 2-12t-5=(t-6)2-41.当t≥6,6x ≥6即x≥1时,y 是关于t 的增函数;当t≤6,6x ≤6即x≤1时,y 是关于t 的减函数.∴函数y=36x -12·6x -5的单调递增区间为［1,+∞),单调递减区间为(-∞,1］.变式提升 2已知y=22)21(+--x x +1,求其单调区间，并说明在每一单调区间上是增函数还是减函数.解析:由-x 2-x+2≥0，得-2≤x≤1.设u(x)=-x 2-x+2=-(x+21)2+49,在［-2，-21］上，u(x)为增函数，)(x u 也是增函数；在［-21,1］上，u(x)为减函数，)(x u 也是减函数.又知y=(21)x 为减函数， ∴y=22)21(+--x x 的单调增区间为［-21,1］，单调减区间为［-2，-21］. 类题演练 3某种细菌经30分钟繁殖为原来的2倍,且知病毒的繁殖规律为y=e kt (k 为常数,t 表时间,y 表示细菌的个数),则k=_____________,经过5小时后一个病毒能繁殖为____________个.解析:将(21,2)代入y=e kt ,得2=k e 21,∴k=2ln2,从而函数解析式为y=e (2ln2)t =(e ln2)2t ,令t=5,得y=210=1 024个,故填k=2ln2,1 024个.答案：2ln2 1 024变式提升 3家用电器(如冰箱等)使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层,臭氧含量Q 呈指数函数型变化,满足关系式Q=Q 0e -0.002 5t ,其中Q 0是臭氧的初始量.(1)随时间的增加,臭氧的含量是增加还是减少?(2)多少年以后将会有一半的臭氧消失?解析:(1)Q=Q 0e -0.002 5t =Q 0(e 1)0.002 5t ,0<e 1<1,随t 的增大,(e 1)0.002 5t 减小,又Q 0>0,∴Q=Q 0(e1)0.002 5t 减小. 故Q 是关于t 的减函数.∴随时间t 增加臭氧的含量逐渐减少.(2)令12Q Q =21,即e -0.002 5t (t 2-t 1)=21.由计算器得e -0.693 2=21.∴-0.002 5(t2-t1)=-0.693 2,解得t2-t1=277. 答案:(1)臭氧含量逐年减少.(2)277年后减到一半.。
3.1.2指数函数(一)课时目标 1.理解指数函数的概念，会判断一个函数是否为指数函数.2.掌握指数函数的图象和性质．1．指数函数的概念一般地，______________________叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是____．2．指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象和性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点过点______，即x＝____时，y＝____函数值的变化当x>0时，______；当x<0时，________当x>0时，________；当x<0时，________ 单调性是R上的________是R上的________一、填空题1．下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是______．(填序号) ①y＝(－4)x；②y＝πx；③y＝－4x；④y＝a x＋2(a>0且a≠1)．2．函数f(x)＝(a2－3a＋3)a x是指数函数，则a的值为________．3．函数y＝a|x|(a>1)的图象是________．(填序号)4．已知f (x )为R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝3x，那么f (2)＝________.5．如图是指数函数 ①y ＝a x ； ②y ＝b x ； ③y ＝c x ；④y ＝d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是________．6．函数y ＝(12)x －2的图象必过第________象限．7．函数f (x )＝a x 的图象经过点(2,4)，则f (－3)的值为____．8．若函数y ＝a x －(b －1)(a >0，a ≠1)的图象不经过第二象限，则a ，b 需满足的条件为________．9．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________． 二、解答题10．比较下列各组数中两个值的大小：(1)0.2－1.5和0.2－1.7； (2)1314⎛⎫⎪⎝⎭和2314⎛⎫⎪⎝⎭； (3)2－1.5和30.2.11．2000年10月18日，美国某城市的日报以醒目标题刊登了一条消息：“市政委员会今天宣布：本市垃圾的体积达到50 000 m 3”，副标题是：“垃圾的体积每三年增加一倍”．如果把3年作为垃圾体积加倍的周期，请你完成下面关于垃圾的体积V (m 3)与垃圾体积的加倍的周期(3年)数n 的关系的表格，并回答下列问题.周期数n 体积V (m 3)0 50 000×20 1 50 000×2 2 50 000×22 … … n 50 000×2n(1)设想城市垃圾的体积每3年继续加倍，问24年后该市垃圾的体积是多少？ (2)根据报纸所述的信息，你估计3年前垃圾的体积是多少？ (3)如果n ＝－2，这时的n ，V 表示什么信息？(4)写出n 与V 的函数关系式，并画出函数图象(横轴取n 轴)． (5)曲线可能与横轴相交吗？为什么？能力提升12．定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b )，则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是________．(填序号)13．定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足对任意的实数x ，y 都有f (x y )＝yf (x )． (1)求f (1)的值；(2)若f (12)>0，解不等式f (ax )>0.(其中字母a 为常数)．1．函数y ＝f (x )与函数y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称；函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象关于x 轴对称；函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (－x )的图象关于原点对称．2．函数图象的平移变换是一种基本的图象变换．一般地，函数y ＝f (x －a )的图象可由函数y ＝f (x )的图象向右(a >0)或向左(a <0)平移|a |个单位得到．2．2.2 指数函数(一)知识梳理1．函数y ＝a x (a >0，且a ≠1) R 2.(0,1) 0 1 y >1 0<y <1 0<y <1 y >1 增函数 减函数 作业设计 1．②解析 ①中－4<0，不满足指数函数底数的要求，③中因有负号，也不是指数函数，④中的函数可化为y ＝a 2·a x ，a x 的系数不是1，故也不是指数函数． 2．2解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0且a ≠1，解得a ＝2. 3．②解析 该函数是偶函数．可先画出x ≥0时，y ＝a x 的图象，然后沿y 轴翻折过去，便得到x <0时的函数图象．4．－19解析 当x >0时，－x <0，∴f (－x )＝3－x ，即－f (x )＝(13)x ，∴f (x )＝－(13)x .因此有f (2)＝－(13)2＝－19.5．b <a <1<d <c解析 作直线x ＝1与四个指数函数图象交点的坐标分别为(1，a )、(1，b )、(1，c )、(1，d )，由图象可知纵坐标的大小关系． 6．二、三、四解析 函数y ＝(12)x 的图象上所有的点向下平移2个单位，就得到函数y ＝(12)x －2的图象，所以观察y ＝(12)x －2的图象可知．7.18解析 由题意a 2＝4，∴a ＝2.f (－3)＝2－3＝18.8．a >1，b ≥2解析 函数y ＝a x －(b －1)的图象可以看作由函数y ＝a x 的图象沿y 轴平移|b －1|个单位得到．若0<a <1，不管y ＝a x 的图象沿y 轴怎样平移，得到的图象始终经过第二象限；当a >1时，由于y ＝a x 的图象必过定点(0,1)，当y ＝a x 的图象沿y 轴向下平移1个单位后，得到的图象不经过第二象限．由b －1≥1，得b ≥2.因此，a ，b 必满足条件a >1，b ≥2. 9．[0,8)解析 y ＝8－23－x ＝8－23·2－x ＝8－8·(12)x＝8[1－(12)x ]．∵x ≥0，∴0<(12)x ≤1，∴－1≤－(12)x <0，从而有0≤1－(12)x <1，因此0≤y <8.10．解 (1)考察函数y ＝0.2x . 因为0<0.2<1，所以函数y ＝0.2x 在实数集R 上是单调减函数．又因为－1.5>－1.7，所以0.2－1.5<0.2－1.7.(2)考察函数y ＝(14)x .因为0<14<1，所以函数y ＝(14)x 在实数集R 上是单调减函数．又因为13<23，所以1314⎛⎫ ⎪⎝⎭>2314⎛⎫ ⎪⎝⎭1.(3)2－1.5<20，即2－1.5<1；30<30.2，即1<30.2，所以2－1.5<30.2.11．解 (1)由于垃圾的体积每3年增加1倍，24年后即8个周期后，该市垃圾的体积是50 000×28＝12 800 000(m 3)．(2)根据报纸所述的信息，估计3年前垃圾的体积是50 000×2－1＝25 000(m 3)．(3)如果n ＝－2，这时的n 表示6年前，V 表示6年前垃圾的体积． (4)n 与V 的函数关系式是V ＝50 000×2n ，图象如图所示．(5)因为对任意的整数n,2n >0，所以V ＝50 000×2n >0，因此曲线不可能与横轴相交． 12．①解析 由题意f (x )＝1⊕2x＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0；2x ， x <0.13．解 (1)令x ＝1，y ＝2，可知f (1)＝2f (1)，故f (1)＝0.(2)设0<x 1<x 2，∴存在s ，t 使得x 1＝(12)s ，x 2＝(12)t ，且s >t ，又f (12)>0，∴f (x 1)－f (x 2)＝f [(12)s ]－f [(12)t ]＝sf (12)－tf (12)＝(s －t )f (12)>0，∴f (x 1)>f (x 2)．故f (x )在(0，＋∞)上是减函数． 又∵f (ax )>0，x >0，f (1)＝0， ∴0<ax <1，当a ＝0时，x ∈∅，当a >0时，0<x <1a ，当a <0时，1a<x <0，不合题意．故x ∈∅.综上：a ≤0时，x ∈∅；1 a>0时，不等式解集为{x|0<x<a}．。
指数函数问题分类例析1．求定义域及值域问题例1 求函数y =的定义域和值域．解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤，∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-，∞．令26x t -=，那么y =又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤．∴011t -<≤，即01y <≤．∴函数的值域是[)01，． 评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．2．比较大小例1 函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，那么()x f b 与()x f c 的大小关系是_____．分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x x b c ，的取值是否在同一单调区间内． 解：∵(1)(1)f x f x +=-，∴函数()f x 的对称轴是1x =．故2b =，又(0)3f =，∴3c =．∴函数()f x 在(]1-，∞上递减，在[)1+，∞上递增． 假设0x ≥，那么321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥；假设0x <，那么321x x <<，∴(3)(2)x x f f >．综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥．评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．3．求解有关指数不等式例2 2321(25)(25)x x a a a a -++>++，那么x 的取值X 围是___________．分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值X 围．解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥，∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数，∴31x x >-，解得14x >．∴x 的取值X 围是14⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．4．解指数方程例5 解方程223380x x +--=．解：原方程可化为29(3)80390x x ⨯-⨯-=，令3(0)x t t =>，上述方程可化为298090t t --=，解得9t =或19t =-〔舍去〕，∴39x =，∴2x =，经检验原方程的解是2x =． 评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根．5．图象变换问题例6 为了得到函数935x y =⨯+的图象，可以把函数3x y =的图象〔 〕．A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度分析：注意先将函数935x y =⨯+转化为235x t +=+，再利用图象的平移规律进行判断． 解：∵293535x x y +=⨯+=+，∴把函数3x y =的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数935x y =⨯+的图象，应选〔C 〕．评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．指数函数图象的应用灵活应用指数函数的图象解答有关的问题是，必须把握指数函数的图象两个特征：①特征点：指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象经过两点(0，1)和(1,a)，我们称这两点为指数函数的两个特征点.②指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象中，y ＝1反映了它的分布特征；而直线x ＝1与指数函数图象的交点(1,a)的纵坐标那么直观反映了指数函数的底数特征，我们称直线x ＝1和y ＝1为指数函数的两条特征线(如右图所示).知道了指数函数的特征点、特征线，我们在画图时就能把握住图像的基本特征，利用指数函数特征点、特征线处理一些问题形象、直观、简单易行.下面就指数函数的应用举例分析.一、比较大小例1假设a ＜0，那么2a ，(12)a ，0.2a 的大小顺序是( )解析：作出函数y ＝2x ，y ＝(12)x 和y ＝0.2x 的图象，如下图，从图象可以看出，当a ＜0时，有0.2a ＞(12)a ＞2a ，应选B. 点评：此题涉及三个指数函数图象，因此在作图时，一定要抓住图象的特征点(0，1)或特征线y ＝1及指数图象的图象的走向正确作图：当a ＞1时，底数a 越大图象越陡；当0＜a ＜1时，底数a 越小越陡.二、求解方程根的问题例2确定方程2x ＝－x 2＋1的根的个数.解析：根据方程的两端分别设函数f(x)＝2x ，g(x)＝－x 2＋2，在同一坐标系中画出f(x)＝2x 与g(x)＝－x 2＋1，如下图.由图可以发现，二者仅有两个交点，所以方程2x ＝－x 2＋1的根的个数为2.点评：利用指数函数的图象确定方程的根的关健是要正确作出方程两端对应的函数的图象，遇到含有参数的方程时，还要注意分类讨论，三、作函数的图象例4函数y ＝8＋2x --12x 的图象可以由y ＝2x 的图象经过怎样的变换得到？ 解析：转化原函数化为y ＝8＋2x --12x ＝82x ＋12＝2-x+3＋12，那么 先把y ＝2x 的图象向左平移三个单位得到函数2x+3的图象，再作它关于y 轴的对称图形得到y ＝2-x+3的图象，最后再将此图象向上平移12个单位，就得到了函数y ＝2-x+3＋12，即y ＝8＋2x --12x 的图象. 点评：此题的图象变换过程经过了三次变换：左右平移变换、对称变换、上下平移.在用平移变换作图时必须要明确由什么函数图象变换得得到什么函数的图象，同时要注意两个变换图象间的数量关系，如平移了几个单位、伸长或缩短了几倍.四、求解参数问题例1假设直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|＋1〔a ＞0且a ≠1〕的图象有两个公共点，那么a 的取值X 围是______________.解析；当a ＞1时，通过平移变换和翻折变换可得如下图的图象，那么由图可知1＜2a ＜2，12＜a ＜1与a ＞1矛盾， 当0＜a ＜1时，同样通过平移变换和翻折变换可得如下图的图象，那么由图可知1＜2a ＜2，12＜a ＜1，即为所求. 点评：①解答此题时要注意底数的不确定性，因此作图时要注意讨论；②根据条件确定直线y ＝2a 与函数的图象位置关系，然后由位置关系建立不等式，进而求得结果，其处理的过程表达了数形结合的思想.五、求函数最值(值域)与单调区间例5求函数y ＝|2x －2|＋3的单调区间与最值.解析：原函数化为y ＝|2x －2|＋3＝⎩⎨⎧ 2x ＋1 (x ≥1)5－2x (x ＜1), 将函数y ＝2x (x ≥1)的图象向上平移1个单位得到y ＝2x ＋1(x ≥1)的图象；作函数y ＝2x (x ＜1)的图象关于x 轴对称图象，得到的y ＝－2x (x ＜1)的图象，再将函数的y ＝－2x (x ＜1)的图象向上平移5个单位，即得到函数函数y＝5－2x 的图象，如下图.由图象可知这个函数的单调递减区间为(－∞，1]，单调递增区间为[1，＋∞)，当x＝1时，函数取得最小值为3.点评：含有绝对值的函数一般可以化为分段函数，作图时只要对应作出每一段的图象即可.此题也可以利用如下作法：由y＝2x的图象向下平移2个图象，得到y＝2x－2的图象，然后将此图象在x轴下方的图象沿x轴对称翻折到x轴的上方，得到y＝|2x－2|的图象，再将此图象向上平移三个单位即可得到函数y＝|2x－2|＋3的图象.幂的十位数“求一个自然数的高次幂的个位数，应该说是不难的〞，布鲁斯博士接着说，“比方说求20022002的个位数．顺便说一下，如果有哪位孩子说他准备用计算机把这个幂算出来，然后看一下个位数是什么，那我只能对他表示敬意．但我在这里说的不是‘算’出来，而是‘求’出来．那位举手的孩子，你想问什么？〞“我想知道‘算’与‘求’有什么区别？〞一个胖嘟嘟的男孩站起来问道．“很好，等我把20022002的个位数‘求’出来以后，你就明白了．好，我们继续．〞“一个自然数，假设它的个位数是2，那么它的1次幂的个位数仍然为2，它的2次幂的个位数为4，3次幂的个位数为8，4次幂的个位数为6，5次幂的个位数又为2了．〞博士说道，“这X表格的第一行是幂的次数，第二行就是相应次数的幂的个位数．我们看到了什么？我们看到这些个位数以2，4，8，6为基本模块不断地循环，其循环周期为4．由此我们知道，20022与20024n+2的个位数都是4．令n=500，即可知20022002的个位数为４．〞布鲁斯博士用得意的眼光扫过全场，一阵热烈的掌声随即响起．“那么幂的十位数，比方说，19978，19989，19991073的十位数，该怎样‘求’呢？〞胖男孩又站起来问道，他有意重读了那个“求〞字．“唔，唔……，这个问题有点儿麻烦．〞博士的额头出现了一些汗珠，“让我们来试试看……〞博士绞尽脑汁，使出浑身解数，想“求〞出这三个幂的十位数……你能帮他“求〞出这三个幂的十位数吗？提示：注意1997，1998，1999都是离2000很近的数．。
备课资料指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且≠1) (x∈R). 它是初等函数中的一种。
它是定义在实数域上的单调、下凸、无上界的可微正值函数。
指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且≠1) (x∈R)，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。
在函数y=a^x中可以看到：（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等于1，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，同时a等于０函数无意义一般也不考虑。
（2）指数函数的值域为大于0的实数集合。
（3）函数图形都是下凸的。
（4）a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。
（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。
其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。
（7）函数总是通过（0，1）这点,(若y=a^x+b,则函数定过点(0,1+b)（8）显然指数函数无界。
（9）指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
（10）当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。
底数的平移：对于任何一个有意义的指数函数：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
即“上加下减，左加右减”底数与指数函数图像：（1）由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。
（2）由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。
