华东师大2010数学分析

!!第一章实数集与函数内容提要!一!实数!"实数包括有理数和无理数!有理数可用分数"#!""#为互质整数##"#$表示#也可用有限十进小数或无限十进循环小数表示!!$是首先遇到的无理数#它与古希腊时期所发现的不可公度线段理论有直接联系#且可以表示为无限十进不循环小数!实数的无限十进小数表示在人类实践活动中被普遍采用#我们是由无限十进小数表示出发来阐述实数理论的!$"若$%%#%%!%$&%&&为非负实数#称有理数$&%%#%%!%$&%&为实数$的&位不足近似#而有理数$&%$&&!!#&称为$的&位过剩近似#&%##!#$#&!’"在数学分析课程中不等式占有重要的地位#在后继课程中#某些不等式可以成为某个研究方向的基础!数学归纳法是证明某些不等式的重要工具!二!数集"确界原理!"邻域是数学分析中重要的基本概念!某点的邻域是与该点靠近的数的集合#它是描述极限概念的基本工具!在无限区间记号!()#%’#!()#%$#(%#&)$#!%#&)$#!()#&)$中出现的()与& )仅是常用的记号#它们并不表示具体的数!在数学分析课程范围内#不要把&)#()#)当作数来运算!%!%!!数学分析同步辅导及习题全解#上册$$"有界集和无界集是本章中关键的概念!要熟练掌握验证某个数集’是有界集或无界集的方法#其中重要的是证明数(不是数集’的上界!或下界$的方法!’"确界是数学分析的基础严格化中的重要的概念!上!下$确界是最大!小$数在无限数集情况下的推广!确界概念有两种等价的叙述方法#以上确界为例)设’是)中一个数集#若数!满足!!$!!$对一切$#’#有$$!#则!是’的上界*!"$对任意"%!#存在$##’#使得$#&"#则!又是’的最小上界’()!或!$$!!$对一切$#’#有$$!#则!是’的上界*!"$对任意#&##存在$##’#使得$#&!(##则!又是’的最小上界’()!这两种定义是等价的!!$$中的!(#相当于!!$中的"!在上述定义中可以限定#%###其中##为充分小的正数!定义!$$在某些证明题中使用起来更方便些!*"确界原理)设’是非空数集#若’有上界#则’必有上确界*若’有下界#则’必有下确界!确界原理是实数系完备性的几个等价定理中的一个!三!函数及其性质!"邻域!!$*!%#$$%!%($#%&$$称为%的$邻域#其中$&#!!$$*+!%*$$%!%($#%$*!%#%&$$%+$+#%+$(%+%$,称为%的空心$邻域#其中$&#!!’$*+&!%$%!%#%&,$和*+(!%$%!%(,#%$分别称为%的右邻域和左邻域#其中,&#!$"确界设给定数集’!!!$上确界!若存在数!#满足!$!$$!#,$#’*$$,$%!#都存在$##’#使$#&$#则称!为’的上确界#记为!%+,-$#’$!!$$下确界!若存在数%#满足!$$-%#,$#’*$$,&&%#都存在-##’#使-#%&#则称%为’的下确界#记为!%./0$$#’!!’$确界原理!#非空有上!下$界的数集#必有上!下$确界!$若数集有上!下$确界#则上!下$确界一定是惟一的!’"函数!!$函数定义给定两个非空实数集.和(#若有一个对应法则,#使.内每一个数$#都有惟一的一个数-#(与它对应#则称,是定义在.上的一个函数#记为-%,!$$#$#.#并称.为函数的定义域#称,!.$%+-+-%,!$$#$#.,!.($为函数的值域!!$$几个重要的函数#分段函数函数在其定义域的不同部分用不同公式表达的这类函数#常称为分段函数!$符号函数%"%第一章!实数集与函数+1/!$$%!#!!$&###$%#(!#$%’()#%狄利克雷函数.!$$%!#当$为有理数##当$+为无理数&黎曼函数)!/$%!##当$%"##"###0&"#为既约分数##当$%##!和!##!$’()中的无理数’复合函数-%,!1!$$$#$#2/其中-%,!3$#3#.#3%1!$$#$#2#2/%+$+1!$$#.,&2#2"4!’$反函数已知函数3%,!$$#$#.!若对,-##,!.$#在.中有且只有一个值$##使得,!$#$%-##则按此对应法则得到一个函数$%,(!!-$#-#,!.$#称这个函数,(!2,!.$0.为,的反函数!!*$初等函数#基本初等函数!常量函数"幂函数"指数函数"对数函数"三角函数"反三角函数这六类函数称为基本初等函数!$初等函数!由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数#统称为初等函数!%凡不是初等函数的函数#都称为非初等函数!*"有界性设-%,!$$#$#.!!$若存在数(#使,!$$$(#,$#.#则称,是.上的有上界的函数!!$$若存在数5#使,!$$-5#,$#.#则称,是.上的有下界的函数!!’$若存在正数6#使+,!$$+$6#则称,是.上的有界函数!!*$若对任意数(#都存在$##.#使,!$#$&(#则称,是.上的无上界函数#类似可定义无下界及无界函数!3"单调性设-%,!$$#$#.#若对,$!#$$#.#$!%$$#有!!$,!$!$$,!$$$#则称,在.上是递增函数!!$$,!$!$%,!$$$#则称,在.上是严格递增函数!类似可定义递减函数与严格递减函数!4"奇偶性设.是对称于原点的数集#-%,!$$#$#.!!!$若,$#.#都有,!($$%,!$$#则称,!$$是偶函数!!$$若,$#.#都有,!($$%(,!$$#则称,!$$是奇函数!%#%!!数学分析同步辅导及习题全解#上册$!’$奇函数图象关于原点对称#偶函数图像关于纵轴对称!5"周期性!!$设-%,!$$#$#.#若存在正数7#使,!$67$%,!$$#,$#.!则称,!$$为周期函数#7称为,的一个周期!!$$若,的所有周期中#存在一个最小周期#则为,的基本周期!典型例题与解题技巧%例!&!设,!$$在((%#%’上有定义#证明,!$$在((%#%’上可表示为奇函数与偶函数的和!分析!本题主要考察奇函数"偶函数的定义#采用构造法解题!证明!设,!$$%8!$$&9!$$#其中8!$$#9!$$分别为奇"偶函数#于是,!($$%8!($$&9!($$%(8!$$&9!$$而,!$$%8!$$&9!$$由之可得!!!8!$$%,!$$(,!($$$#9!$$%,!$$&,!($$$这里8!$$#9!$$分别是奇函数和偶函数!%例"&!求数集’%&!&$&!(!$!&&#0+,&的上"下确界!解题分析!当&%$7时#$7!&$$!7%$$7!&!$$!7#容易看出7%!时#$!&!$!$是偶数项中的最大数!当&%$7&!时#$7&!!&$(!$7&!!$%$7&!!&!$$7!&!&!#当7充分大时#奇数项与数!充分靠近!因为$!&!$!$!%3是’中最大数#于是+,-’!%3#由上面分析可以看出./0’%!!解题过程!因为!3是’中最大数#于是+,-’!%3!再证./0’%!#这是因为!!$,&#&!&$&!(!$!&-!*!"$设%%$7&!!&!$$7!&!#由等式%&(!%!%(!$!%&(!&%&($&&&!$可知$7&!!&!$$7!&!(!%!$$7&!%$7&%$7(!&&&!$!$$7&!于是,#&##17##0&只要7#&!$781$!#(!!$!$$#使得$7#&!!&!$$7#!&!(!$!$$7#&!%#即$7#&!!&!$$7#!&!%!&#%例#&!设函数,!$$定义在区间:上#如果对于任何$!#$$#:#及’#!##!$#恒有,(’$!&!!(’$$$’$’,!$!$&!!(’$,!$$$!证明)在区间:的任何闭子区间上,!$$有界!分析!本题主要考察函数的有界性#要充分利用已知条件给出的不等式#积极构造出类似的不等%$%第一章!实数集与函数式#以证出结论!证明!,(%#;’.:#,$#!%#;$#则存在’#!##!$#使$%%&’!;(%$有!$%’;&!!(’$%由已知不等式有,!$$%,(’;&!!(’$%’$’,!;$&!!(’$,!%$$’(&!!(’$(%(#其中(%9:;,!$$#,!;+,$,$#(%#;’#令-%!%&;$($#那么%&;$%$&-$,!%&;$$%,!$$&-$$$!$,!$$&!$,!-$$!$,!$$&!$(<,!$$-$,!%&;$$((%<!$由##$两式可知<!$,!$$$(#,$#!%#;$再由(的定义#可知,!$$$(#,$#(%#;’若令!<%9./+,!%$#,!;$#<!,#则<$,!$$$(#,$#(%#;’即,!$$在(%#;’上有界!历年考研真题评析!%题!&!!北京大学#$##3年$设,!$$在(%#;’上无界#求证)16#(%#;’#使得对,#&##,!$$在!#(##=&#$2(%#;’上无界!分析!本题采用闭区间套定理证明!证明!取%#;中点%&;$#则(%#%&;$’#(%&;$#;’中至少有一个区间使,!$$无界!如果两个都是可任取一个$#记为(%!#;!’!再取中点%!&;!$#又可得区间(%$#;$’#使,!$$在其上无界#这样继续下去有(%#;’3(%!#;!’3(%$#;$’3&3(%&#;&’3&使,!$$在每个区间上无界!由区间套原理#存在6%7.9&0)%&%7.9&0);&#则6#(%#;’#而对,#&##当&充分大时#有!=(##=&#$2(%#;’3(%&#;&’故,!$$在!=(##=&#$2(%#;’上无界!%题"&!!甘肃工业大学#$##4年$有下列几个命题)!!$任何周期函数一定存在最小正周期!!$$($’是周期函数!!’$+./!$不是周期函数!!*$$=8+$不是周期函数!其中正确的命题有!!!$!>"!个!!!?"$个!!!@"’个!!!A "*个%%%!!数学分析同步辅导及习题全解#上册$解题分析!本题主要考察周期函数的定义B 解题过程!选?!其中)!!$错B 比如,!$$%#B 那么任何正实数都是它的周期#而无最小正实数B !$$错B 设,!$$%($’的周期为C &##并设(C ’%9-#当9%#时#则C%!(%#其中#%%%!#那么(%&C ’%!#(%’%#!!!<(%&C ’"(%’这与C 为周期矛盾B !!!<9"#当9&#时#(C&!’%9&!#(!’%!!!!<(!&C ’"(!’#也矛盾B <($’不是周期函数B !’$对B D 若,!$$是定义域.上周期函数#那么存在函数>#使,$#.都有,!$6>$%,!$$!这必须有$6>#.!而本题定义域.%(##&)$#若是周期函数#则##.#必须(>#.#但(>4.#故不是周期函数!!*$对B 用反证法#设,!$$%$=8+$的周期为>&##则,!#$%#%,!>$%>=8+><=8+>%##>%&#(&($#&##E #且&#-#,!($&>$%,!(&&#($%!&#&!$(=8+(!&#&!$(’,!($$%($=8+($%##由,!($&>$%,!($$<=8+!&#&!$(%##矛盾B 即$=8+$不是周期函数!课后习题全解!!!F !!实数5!!设%为有理数#$为无理数!证明)!!$%?$是无理数*!!!!!!$$当%"#时#%$是无理数!!分析!根据有理数集对加"减"乘"除!除数不为#$四则运算的封闭性#用反证法证!!证明!!!$假设%?$是有理数#则!%?$$@%A $是有理数#这与题设$是无理数相矛盾#故%?$是无理数!!$$假设%$是有理数#则当%"#时#%$%A $是有理数#这与题设$为无理数相矛盾!故%$是无理数!6$!试在数轴上表示出下列不等式的解)!!$$!$$@!$&#*!!$$B $@!B %B $@’B *!’$$@!!@$$@!!-’$@!$!解!!!$由原不等式有$&#$$@!&+#!或!$%#$$@!%+#前一个不等式组的解集是C A +$B $&!,#后一个不等式组的解集是D A +$B @!%$%#,!故!!$的解集是C *D !如图!E !!%&%第一章!实数集与函数图!E !!$$由原不等式有$@!$@’%!#于是!?$$@’%!!所以@!%!?$$@’%!#即#%!’@$%!#则’@$&!#$%$!故!$$的解集为!@)#$$!如图!E $!图!E $!’$由原不等式应有’$@!$-##$@!!@$$@!!-##从而对原不等式两端平方有$@!?$$@!@$!$@!$!$$@!!$-’$@$因此有$!$@!$!$$@!!$$##所以!$@!$!$$@!!$A ##由此得$A !#或$A !$!但检验知$A !和$A !$均不符合原不等式!所以原不等式的解集为7!!小结!在!$$中是将绝对值不等式转化为不含绝对值的不等式去解!若直接利用绝对值的几何意义#其解集就是数轴上到点!的距离小于到点’的距离的点集#即数轴上点$左侧的点集!若直接考虑!’$的解$应使不等式中三个二次根式有意义#则必有$-!#但这时不等式左端为负而右端为正#显然不成立#故其解集为7!5’"设%";#$!证明)若对任何正数#有B %@;B %##则%A ;!!分析!用反证法#注意到题设中#的任意性#只要设法找到某一正数#使条件不成立即可!!证明!假设%";#则根据实数集的有序性#必有%&;或%%;!不妨设%&;#令#A %@;&##则B %@;B A %@;A ##但这与B %@;B A %@;%#矛盾#从而必有%A ;!5*"设$"##证明$?!$-$#并说明其中等号何时成立!!分析!由!%@;$$A %$@$%;?;$-##有%$?;$-$%;!!证明!因$"##则$与!$同号#从而有$?!$A B $B ?!B $B -$B $B %!B $!BA $等号当且仅当B $B A !B $B#即$AF !时成立!83"证明)对任何$#$有!!$B $@!B ?B $@$B -!*!!!!!$$B $@!B ?B $@$B ?B $@’B -$!!证明!直接由绝对值不等式的性质#对任意的$#$有!!$B $@!B ?B $@$B -B !$@!$@!$@$$B A B !B A !!$$B $@!B ?B $@$B ?B $@’B -B $@!B ?B $@’B -B !$@!$@!$@’$B A $64"设%";"=#$?!$?表示全体正实数的集合$!证明B %$?;!$@%$?=!$B $B;@=B !%’%!!数学分析同步辅导及习题全解#上册$你能说明此不等式的几何意义吗-!分析!用分析法证明!!证明!欲证B %$?;!$@%$?=!$B $B;@=B 只需证!%$?;!$@%$?=!$$$$!;@=$$即证!$%$@$!%$?;$$!%$?=$!$$@$;=只需证%$?;=$!%$?;$$!%$?=$!$只需证!!%$?;=$$$!%$?;$$!;$?=$$即证$%$;=$%$!;$?=$$由于%";"=#$?#所以$;=$;$?=$#%$&##所以有$%$;=$%$!;$?=$$成立!所以原不等式成立!其几何意义为)当;"=时#平面上以点C !%#;$"D !%#=$"G !###$为顶点的三角形中#B B C G B @B D G B B %B C D B *当;A =时#此三角形变成以点G !###$#C !%#;$为端点的线段!如图!@’!图!E ’!小结!利用分析法找到证题思路#再用综合法证明#过程更为简捷!65"设$&##;&##%";#证明%?$;?$介于!与%;之间!!分析!本题实质是要比较两数的大小#且该数符号不定#可用作差法!!证明!因$&##;&##%";#则由!@%?$;?$A ;@%;?$#%;@%?$;?$A $!%@;$;!;?$$得当%&;时#!%%?$;?$%%;*当%%;时#%;%%?$;?$%!!故总有%?$;?$介于!与%;之间!!小结!通常要证某数%介于另两数;与=之间#可转化为证!=@%$!;@%$%##这种方法在;与=大小关系不完全确定时#也不必分情况讨论#较为简捷!例如本题中)因为$&##;&##%";#则有!@%?$;?!$$%;@%?$;?!$$A @$!;@%$$;!;?$$$%#所以%?$;?$必介于!与%;之间!6G "设"为正整数!证明)若"不是完全平方数#则!"是无理数!!分析!本题采用反证法#联想到互质"最大公约数以及辗转相除法的有关知识点#可得结论!!证明!用反证法!假设!"为有理数#则存在正整数<"&使!"A<&#且<与&互质!于是<$A %(%第一章!实数集与函数"&$#<$A &%!"&$#可见&能整除<$!由于<与&互质#从而它们的最大公约数为!#由辗转相除法知)存在整数3"H 使<3?&H A !#则<$3?<&H A <!因&既能整除<$3又能整除<&H #故能整除其和#于是&能整除<#这样&A !#所以"A <$!这与"不是完全平方数相矛盾!!小结!本题证明过程比较独特#先假设有理数为互质的两个数的商#利用这两个数与"之间的关系#运用辗转相除法得出结论#注意知识点之间的内在联系!F $!数集"确界原理8!"用区间表示下列不等式的解)!!$B !@$B @$-#*!!$$$?!$$4*!’$!$@%$!$@;$!$@=$&#!%#;#=为常数#且%%;%=$*!*$+./$-!$$!!解!!!$原不等式等价于下列不等式组$%!!!@$$@$-+#!或!$-!!$@!$@$-+#前一个不等式组的解为$$!$*后一个不等式组的解集为空集#所以原不等式的解集为@)#!’!$!!$$绝对值不等式$?!$$4等价于@4$$?!$$4!这又等价于不等式组$&#@4$$$$?!$4+$!或!$%#4$$$$?!$@4+$而前一个不等式组的解集为(’@!$$#’?!$$’#后者的解集为(@’@!$$#@’?!$$’!因此原不等式的解集为(@’@!$$#@’?!$$’*(’@!$$#’?!$$’!’$作函数,!$$A !$@%$!$@;$!$@=$#$#$!则由%%;%=知,!$$%##当$#!@)#%$*!;#=$A ##当$A %#;#=&##当$#!%#;$*!=#?)’()$因此,!$$&##当且仅当!!!!$#!%#;$*!=#?)$故原不等式的解集为!%#;$*!=#?)$!*$若#$$$$(#则当且仅当$#(*#’*(’(时#+./$-!$$!再由正弦函数的周期性知)+./$-!$$的解集是$7(?(*#$7(?’*(’(#其中7为整数!8$"设’为非空数集!试对下列概念给出定义)!!$’无上界*!!!!!$$’无界!%)%!!数学分析同步辅导及习题全解#上册$!解!!!$设’是一非空数集!若对任意的(&##总存在$##’#使$#&(#则称数集’无上界!!$$设’是一非空数集!若对任意的(&##总存在$##’#使B $#B &(#则称数集’无界!8’"试证明由!’$式所确定的数集’有上界而无下界!!证明!由!’$式所确定的数集’A +-B -A $@$$#$#$,#对任意的$#$#-A $@$$$$#所以数集’有上界$!而对任意的(&##取$#A ’?!(#$#存在-#A $@$$#A $@’@(A@!@(#’#而-#%@(#因此数集’无下界!8*"求下列数集的上"下确界#并依定义加以验证)!!$’A +$B $$%$,*!!$$’A +$B $A &.#&#%?,*!’$’A +$B $为!##!$内的无理数,*!*$’A +$B $A !@!$&#&#%?,!!解!!!$+,-’A !$#./0’A@!$#下面依定义加以验证!因$$%$#等价于@!$%$%!$#所以对任意的$#’#有$%!$且$&@!$#即!$"@!$分别是’的上"下界!又对任意的正数##不妨设#%!$$#于是存在$#A !$@#$"$!A@!$?#$#使$#"$!#’#使$#&!$@##$!%@!$?##所以由上"下确界的定义+,-’A !$#./0’A@!$!!$$+,-’A?)#./0’A !#下面依定义验证!对任意的$#’#!$$%?)#所以!是’的下界!因为对任意的(&##令&A ((’?!#则&.&(#故’无上界#所以+,-’A?)*对任意的#&##存在$!A !.A !#’#使$!%!?##所以./0’A !!!’$+,-’A !#./0’A ##下面依定义验证!对任意的$#’#有#%$%!#所以!"#分别是’的上"下界!又对任意的#&##不妨设#%!#由无理数的稠密性#总存在无理数!#!###$#则有无理数$#A !@!#’#使$#A !@!&!@#*有无理数$!A !#’#使$!A !%#?##所以+,-’A !#./0’A #!!*$+,-’A !#./0’A !$#下面依定义验证!对任意的$#’#有!$$$%!#所以!"!$分别是’的上"下界!对任意的#&##必有正整数&##0/使!$&#%##则存在$#A !@!$&##’#使$#&!@##所以+,-’A !!又存在$!A !@!$A !$#’#使$!%!$?##所以./0’A !$!83"设’为非空有下界数集#证明)./0’A %#’9%A 9./’!!证明!:$!设./0’A %#’#则对一切$#’有$-%#而%#’#故%是数集’中最小的数#即%A 9./’!;$!设%A 9./’#则%#’*下面验证%A ./0’)!!$对一切$#’#有$-%#即%是’的下界*!"$对任何&&%#只需取$#A %#’#则$#%&!从而满足%A ./0’的定义!%*!%84"设’为非空数集#定义’@A +$B @$#’,!证明)!!$./0’@A@+,-’*!!$$+,-’@A@./0’!!证明!!!$%A ./0’@#由下确界的定义知#对任意的$#’@#有$-%#且对任意的&&%#存在$##’@#使$#%&!由’@A +$B @$#’,知#对任意的@$#’#@$$@%#且对任意的@&%@%#存在@$##’#使@$#&@&#由上确界的定义知+,-’A@%#存在@$##’#使@$#&@&#即./0’@A@+,-’!同理可证!$$成立!85"设C "D 皆为非空有界数集#定义数集C ?D A +I B I A $?-#$#C #-#D ,!证明)!!$+,-!C ?D $A +,-C ?+,-D *!!$$./0!C ?D $A ./0C ?./0D !!证明!!!$设+,-C A !!#+,-D A !$!对任意的I #C ?D #存在$#C #-#D #使I A $?-!于是$$!!#-$!$!从而I $!!?!$!对任意的#&##必存在$##C #-##D #使$#&!!@#$#-#&!$@#$#则存在I #A $#?-##C ?D #使I #&!!!?!$$@#!所以+,-!C ?D $A !!?!$A +,-C ?+,-D !同理可证!$$成立!6G"设%&##%"!#$为有理数!证明%$A+,-+%JB J 为有理数#J %$,#当%&!#./0+%JBJ 为有理数#J %$,#当%%!+!!分析!利用指数函数的单调性#把指数函数化归为对数函数讨论#并运用有理数的稠密性概念来证此题!!证明!只证%&!的情况#%%!的情况可以类似地加以证明!设C A +%J BJ 为有理数#J %$,!因为%&!#%J 严格递增#故对任意的有理数J %$#有%J%%$#即%$是C 的一个上界!对任意的"%%$#由%$&#及有理数的稠密性#不妨设"&#且为有理数!于是必存在有理数J #%$#使得"%%J #%%$!事实上#由781%$严格递增知)#%"%%$等价于781%"%781%%$A $#由有理数的稠密性#存在有理数J #使得781%"%J #%$#所以"A %781%"%%J #%%$!故%$A +,-C A +,-+%JB J 为有理数#J %$,#%&!!!小结!关于求数集的确界或证明数集确界的有关命题#主要利用确界的定义#进一步加深读者对数集上"下确界概念的理解#这对进一步学习极限理论及实数的完备性#使整个数学分析建立在坚实的基础上是十分重要的!F ’!函数概念8!"试作下列函数的图象)!!$-A $$?!*!!!!!!!$$-A !$?!$$*!’$-A !@!$?!$$*!*$-A +1/!+./$$*!3$-A ’$#B $B &!#$’#B $B %!#’#B $B A !’()!!解!利用描点作图法#各函数的图象如图!E *至图!E G !5$"试比较函数-A %$与-A 781%$分别当%A $和%A !$时的图象!%!!%图!E *!!!!!!!!!!图!E 3图!E 4!!!!!!!!!!图!E 5图!E G!分析!利用指数函数与对数函数性质#注意$在-A %$与-A 781%$的定义域上的取值范围是不同的!!解!当%A $时#-A %$是单调递增函数#当%A !$时#它是单调递减函数*当$A #时#!$!$$A $$A !#即两函数的图象都过点!##!$*当$&#时#!$!$$%!%$$#-A $$的图象在-A !$!$$的图象上方*当$%#时#!$!$$&!&$$#-A !$!$$的图象在-A $$的图象上方*对任意的$#$?#两函数值都大于##即函数的图象都在$轴上方#且-A $$的图象与-A!$!$$的图象关于-轴对称!%"!%-A 781%$是-A %$的反函数!当%A $时#是单调递增的#当%A !$时#是单调递减的*当#%$%!时#781!$$&#&781$$*当$A !时#781!$$A 781$$A #*当$&!时#781!$$%#%781$$*当$$#时#两个函数无定义#因此函数图象在-轴右方#且过点!!##$!-A 781!$$与-A 781$$的图象关于$轴对称!-A $$与-A 781$$的图象"-A!$!$$与-A 781!$$的图象皆关于直线-A $对称!如图!E H!图!E H !!!!!!!!!!!!!图!E !#8’"根据图!E !#写出定义在(##!’上的分段函数,!!$$和,$!$$的解析表达式!!解!利用直线的两点式方程或点斜式方程容易得到,!!$$A *$##$$$!$*@*$#!$%$$’()!,$!$$A !4$##$$$!*G @!4$#!*%$$!$##!$%$$’()!8*"确定下列初等函数的存在域)!!$-A +./!+./$$*!!!!!$$-A 71!71$$*!’$-A :I =+./71$!$!#*!*$-A 71:I =+./$!$!#!!解!!!$因为+./$的存在域为$#所以-A +./!+./$$的存在域为$!!$$因71$&#等价于$&!#所以-A 71!71$$的存在域是!!#?)$!!’$因为-A :I =+./3的存在域是(@!#!’#而@!$71$!#$!等价于!$$$!###所以-A :I =+./71$!$!#的存在域是(!#!##’!!*$因-A 713的存在域是!##?)$#而3A :I =+./$!#的值域为@($#((’$#由#%3$($%#!%有#%$!#$!#即#%$$!##所以-A 71:I =+./$!$!#的存在域是!##!#’!83"设函数,!$$A $?$#$$##$$#$&#+!求)!!$,!@’$#,!#$#,!!$*!!$$,!)$$@,!#$#,!@)$$@,!#$!)$&#$!!解!!!$,!@’$A $?!@’$A@!,!#$A $?#A $,!!$A $!A $!$$因为)$&##所以有,!)$$@,!#$A $)$@!$?#$A $)$@$,!@)$$@,!#$A $?!@)$$@!$?#$A@)$84"设函数,!$$A !!?$#求,!$?$$#,!$$$#,!$$$#,!,!$$$#,!,!$!$$!!解!,!$?$$A !!?!$?$$A!’?$,!$$$A !!?$$*,!$$$A !!?$$,!,!$$$A !!?!!?$A $?!$?$,!,!$!$$A !!?!,!$$A!!?!!?$$A !$?$85"试问下列函数是由哪些基本初等函数复合而成)!!$-A !!?$$$#*!!$$-A !:I =+./$$$$*!!’$-A 71!!?!?$!$$*!!*$-A $+./$$!!解!!!$-A 3$##3A H !?H $#H !A !#H $A $!$$-A 3$#3A :I =+./H #H A $$!’$-A 713#3A H !?H $#H !A !#H $A !’#’A H !?K #K A $$!*$-A $3#3A H $#H A +./$5G"在什么条件下#函数-A%$?;=$?L的反函数就是它本身-!分析!先把反函数求出#分别讨论原函数与反函数的定义域#再讨论参数!!解!首先;="%L #由-A %$?;=$?L #解得$A ;@L -=-@%#交换$与-得-A ;@L $=$@%!当="#时#原函数的定义域为$"@L =#反函数的定义域为$"%=!因此#要使二函数相同#必须%A@L #这时原函数为%$?;=$?L A;@L $=$@%#即为反函数!另外#当;A =A ##且%A L "#时亦满足!故当/;="%L 且%A@L 0或/;A =A #且%A L "#0时#该函数的反函数就是其本身!8H"试作函数-A :I =+./!+./$$的图象!%$!%!解!-A :I =+./!+./$$是以$(为周期的函数#其定义域为$#值域为@($#((’$的分段函数#其在一个周期区间(@(#(’上的表达式为-A (@$#($%$$($#@($$$$($@!(?$$#@($$%@(’()$其图象如图!E!!!图!E !!8!#"试问下列等式是否成立)!!$J :/!:I =J :/$$A $#$#$*!$$:I =J :/!J :/$$A $#$"7(?($#7A ##F !#F $#&!!解!!!$由J :/$与:I =J :/$的定义知#!!$式成立!!$$因为J :/$的定义域为$"7(?($#7A ##F !#F $#&#而:I =J :/$的值域仅为@($#(!$$!所以!$$式不成立!例如当$A ’*(时#:I =J :/!J :/$$A :I =J :/!@!$A@(*"$!8!!"试问-A B $B 是初等函数吗-!解!因-A B $B A $!$是由-A !3与3A $$复合而成的#所以-A B $B 是初等函数!8!$"证明关于函数-A ($’的如下不等式)!!$当$&#时#!@$%$!(’$$!*!$$当$%#时#!$$!(’$%!@$!!证!由定义知!(’$是不超过!$的最大整数#故有#$!$@!(’$%!所以!!!!!!!!!!!!$@!%!(’$$!$#%%!%!!$当$&#时#给#两端同乘以$得!@$%$!(’$$!!$$当$%#时#给#两端同乘以$得!$$!(’$%!@$ F*!具有某些特性的函数8!"证明,!$$A$$$?!是$上的有界函数!!证明!利用不等式$B$B$!?$$有#对一切$#$都有B,!$$B AB$B$$?!A!$$B$B$$?!$!$成立#故,!$$是$上的有界函数!8$"!!$叙述无界函数的定义*!$$证明,!$$A!$$为!##!$上的无界函数*!’$举出函数,的例子#使,!$$为闭区间(##!’上的无界函数!!解!!!$设,!$$为定义在.上的函数#若对任意的正数(#都存在$##.#使B,!$#$B&(#则称函数,!$$为.上的无界函数!!$$证明)对任意的正数(#存在$#A!(?!!#!##!$#使B,!$#$B A!$$#A(?!&(#所以,!$$A!$$是!##!$上的无界函数!!’$设,!$$A!$$#$#!##!’!#$A’()#!由!$$的证明知,!$$为(##!’上的无界函数!8’"证明下列函数在指定区间上的单调性) !!$-A’$@!在!@)#?)$上严格递增*!$$-A+./$在@($#((’$上严格递增*!’$-A=8+$在(##(’上严格递减!!分析!!$$"!’$两小题都是三角函数#要牢记三角函数的半角"倍角公式!后面讨论周期性以及傅里叶级数时都会用到!!证明!!!$任取$!"$$#!@)#?)$#$!%$$#则有,!$!$@,!$$$A’!$!@!$@!’$$@!$A’!$!@$$$%#可见,!$!$%,!$$$#所以,!$$A’$@!在!@)#?)$上严格递增!!$$任取$!#$$#@($#((’$#$!%$$#则有@($%$!?$$$%($#!@($$$!@$$$%#因此=8+$!?$$$&##!+./$!@$$$%#%& !%从而,!$!$@,!$$$A +./$!@+./$$A $=8+$!?$$$+./$!@$$$%##,!$!$%,!$$$!所以,!$$A +./$在@($#((’$上严格递增!!’$任取$!#$$#(##(’#$!%$$#则有#%$!?$$$%(#!@($$$!@$$$%##从而有+./$!?$$$&##+./$!@$$$%##故,!$!$@,!$$$A =8+$!@=8+$$A@$+./$!?$$$+./$!@$$$&##从而,!$!$&,!$$$#所以,!$$在(##(’上严格递减!8*"判别下列函数的奇偶性)!!$,!$$A !$$*?$$@!*!!!$$,!$$A $?+./$*!’$,!$$A $$K @$$*!*$,!$$A 71!$?!?$!$$!!解!!!$因为,!@$$A !$!@$$*?!@$$$@!A !$$*?$$@!A ,!$$#故,!$$A !$$*?$$@!是偶函数!!$$对任意的$#!@)#?)$有#,!@$$A !@$$?+./!@$$A@$@+./$A@!$?+./$$A@,!$$#故,!$$A $?+./$为!@)#?)$上的奇函数!!’$,!$$A $$K @$$在!@)#?)$上有定义#对任意的$#!@)#?)$有#,!@$$A !@$$$K @!@$$$A $$K @$$A ,!$$#故,!$$为!@)#?)$上的偶函数!!*$,!$$A 71!$?!?$!$$在!@)#?)$上有定义#对每一个$#!@)#?)$有#,!@$$A 71!@$?!?!@$$!$$A 71!@$?!?$!$$A@71!$?!?$!$$A@,!$$#所以,!$$A 71!$?!?$!$$为!@)#?)$上的奇函数!53"求下列函数的周期)!!$=8+$$*!!$$J :/’$*!!’$=8+$$?$+./$’!!分析!求三角函数周期时#应先转化为一次函数#再求周期#如!!$!如果有两个或两个以上的函数#分别求出它们各自的周期#再求最小公倍数#如!’$!!解!!!$,!$$A =8+$$A !$!!?=8+$$$#而!?=8+$$的周期是(#所以,!$$A =8+$$的周期是(!!$$因为J :/$的周期是(#所以,!$$A J :/’$的周期是(’!!’$因+./$"=8+$的周期是$(#所以=8+$$的周期是*(#+./$’的周期是4(#故,!$$A =8+$$?$+./$’的周期是!$(!84"设函数,!$$定义在(@%#%’上#证明)!!$M !$$A ,!$$?,!@$$#$#(@%#%’为偶函数*!$$8!$$A ,!$$@,!@$$#$#(@%#%’为奇函数*%’!%!’$,可表示为某个奇函数与某个偶函数之和!!证明!!!$因(@%#%’关于原点对称#M !$$在(@%#%’上有定义#对每一个$#(@%#%’有M !@$$A ,!@$$?,!$$A ,!$$?,!@$$A M !$$!故M !$$为(@%#%’上的偶函数!!$$因(@%#%’关于原点对称#8!$$在(@%#%’上有定义#对每一个$#(@%#%’有8!@$$A ,!@$$A@,!$$A@(,!$$@,!@$$’A@8!$$!故8!$$为(@%#%’上的奇函数!!’$由!!$"!$$得M !$$?8!$$A $,!$$#从而有,!$$A M !$$?8!$$$A !$M !$$?!$8!$$#而!$M !$$是偶函数#!$8!$$是奇函数!从而,!$$可表示为一个奇函数!$8!$$与一个偶函数!$M !$$之和!85"设,"1为定义在.上的有界函数#满足,!$$$1!$$#$#.!证明)!!$+,-$#.,!$$$+,-$#.1!$$*!!$$./0$#.,!$$$./0$#.1!$$!!证明!!!$记!A +,-$#.1!$$#则对任意的$#.有#1!$$$!#又因,!$$$1!$$#所以,!$$$1!$$$!!因此!是,!$$的上界#而+,-$#.,!$$是,!$$的最小上界#故+,-$#.,!$$$!A +,-$#.1!$$!!$$同理可证!8G"设,为定义在.上的有界函数#证明)!!$+,-$#.+@,!$$,A@./0$#.,!$$*!!$$./0$#.+@,!$$,A@+,-$#.,!$$!!证明!!!$记./0$#.,!$$A %!由下确界的定义知#对任意的$#.#,!$$-%#即@,!$$$@%#可见@%是@,!$$的一个上界*对任意的#&##存在$##.#使,!$#$&%?##即@,!$#$%@%@##可见@%是@,!$$的上界中最小者!所以+,-$#.+@,!$$,A@%A@./0$#.,!$$!!$$同理可证结论成立!也可直接用!!$的结论来证!事实上#在!!$中换,!$$为@,!$$得#+,-$#.,!$$A +,-$#.+@!,!$$$,A@./0$#.+@,!$$,#两边同乘以@!得./0$#.+@,!$$,A@+,-$#.,!$$6H"证明)J :/$在@($#(!$$上无界!而在@($#(!$$内任一闭区间(%#;’上有界!!分析!要证J :/$在!@($#($$上无界#只需在$##!@($#($$取一点#使J :/$#&(即可!证在!@($#($$上#存在区间(%#;’使J :/$有界#只需证J :/$$(##且有J :/%%J :/$%J :/;!!证明!对任意的(&##取$#A :I =J :/!(&!$#(($#(!$$#有+J :/$#+%+J :/!:I =J :/!L&!$$+%L&!&L #所以,!$$%J :/$在(($#(!$$内是无界函数!但任取(%#;’.@($#(!$$#由于J:/$在(%#;’上严格递增#从而当$#(%#;’时#J :/%%(!%$J:/$$J :/;#记(A 9:;+B J :/%B #B J :/;B ,#则对一切$#(%#;’有B J :/$B $(#所以J :/$是(%#;’上的有界函数!!小结!证明函数的有界性#往往要利用函数的单调性#同时往往利用放缩法#这是极限理论的基础#也是今后学习分析学的基础!6!#"讨论狄利克雷函数.!$$A !#当$为有理数###当$’()为无理数的有界性"单调性与周期性!!分析!狄利克雷函数由定义可证得有界性#单调性也比较明显#对周期性分有理数与无理数讨论!!解!由.!$$的定义知#对任意的$#$#有B .!$$B $!#所以.!$$是$上的有界函数!由于对任意的有理数$!与无理数$$#无论$!%$$还是$$%$!#都有.!$!$&.!$$$!所以.!$$在$上不具有单调性!对任意的有理数J 有$?J A 有理数#当$为有理数时无理数#当$’()为无理数时于是对任一$#$#有.!$?J $A !#当$为有理数时##当$’()为无理数时A .!$$所以#任意有理数J 都是.!$$的周期!但任何无理数都不是.!$$的周期!事实上#对任一无理数"#对无理数@"#.!@"$A ##而.!"?!@"$$A .!#$A !".!@"$!!小结!狄利克雷函数与黎曼函数是一类特殊函数#在以后的连续性以及极限理论中具有重要地位#要特别注意!8!!"证明),!$$A $?+./$在$上严格增!!证明!任取$!"$$#!@)#?)$#$!%$$#则,!$$$@,!$!$A !$$@$!$?!+./$$@+./$!$A !$$@$!$?$=8+$!?$$$+./$$@$!$-!$$@$!$@$=8+$!?$$$%+./$$@$!$&!$$@$!$@$%$$@$!$A #D +./$$@$!$%B $$@$!B !$$即,!$!$%,!$$$#所以,!$$A $?+./$在!@)#?)$上严格增!6!$"设定义在(%#?)$上的函数,在任何闭区间(%#;’上有界!定义(%#?)$上的函数)<!$$A ./0%$-$$,!-$#(!$$A +,-%$-$$,!-$!试讨论<!$$与(!$$的图象#其中!!$,!$$A =8+$#$#(##?)$*!!$$,!$$A $$#$#(@!#?)$!%)!%!分析!在讨论上述两个函数时#首先应分割区间#在区间内讨论其单调性然后再讨论有界性!!解!!!$由<!$$及(!$$的定义知#对%%$#当,!-$在(%#$’上为递增函数时#<!$$A ,!%$#(!$$A ,!$$!当,!-$在(%#$’上为减函数时#<!$$A ,!$$#(!$$A ,!%$!由此可知)对,!$$A =8+$#当#$$$(时#<!$$A =8+$#(!$$A !!而$#((#?)$时#由于@!$=8+$$!#所以#<!$$A@!#(!$$A !#即有<!$$A =8+$##$$$(@!#($$%?)+!!(!$$<!#$#(##?)$其图象见图!E !$!图!E !$!!!!!!!!!!图!E!’!$$同上理#当$#(@!##’时#(!$$A !#<!$$A $$*当$#!##?)$时#<!$$<#*当$#(@!#!’时#(!$$<!*当$#!!#?)$时#(!$$A $$!即有<!$$A $$#$#(@!##’##当$#!##?)+’(!$$A!#$#(@!#!’时$$#当$#!!#?)$+时其图象见图!E !’!!小结!确界理论是学习数学分析的基础#对后面学习连续"微分"积分等都具有重要作用!总练习题8!"设%#;#$#证明)!!$9:;+%#;,A !$!%?;?B%@;B $*!$$9./+%#;,A !$!%?;@B%@;B $!!证明!因为!$!%?;?B %@;B $A%#当%-;时;#当%%;+时!$!%?;@B%@;B $A %#当%%;时;#当%-;+时所以!9:;+%#;,A !$!%?;?B%@;B $9./+%#;,A !$!%?;@B %@;B $%*"%第一章!实数集与函数8$"设,和1都是.上的初等函数!定义(!$$A 9:;+,!$$#1!$$,#<!$$A 9./+,!$$#1!$$,#$#.!试问(!$$和<!$$是否为初等函数-!解!由习题!得(!$$A!$(,!$$?1!$$?B ,!$$@1!$$B ’A!$(,!$$?1!$$?(,!$$@1!$$’!$’<!$$A !$(,!$$?1!$$@B ,!$$@1!$$B ’A!$(,!$$?1!$$@(,!$$@1!$$’!$’所以#(!$$与<!$$都是由.上的初等函数,!$$"1!$$经四则运算和有限次复合而成的函数!所以#(!$$和<!$$都是初等函数!8’"设函数,!$$A !@$!?$#求),!@$$#,!$?!$#,!$$?!#,!!$$#!,!$$#,!$$$#,!,!$$$!!解!,!@$$A !?$!@$*!,!$?!$A @$$?$*!,!$$?!A !@$!?$?!A $!?$*,!!$$A !@!$!?!$A $@!$?!*!!,!$$A !?$!@$*!,!$$$A !@$$!?$$*,!,!$$$A !@!@$!?$!?!@$!?$A $$$A $5*"已知,!!$$A $?!?$!$#求,!$$!!分析!本题采用倒代换的方法#即!$A K #但是根号中移出的数要加绝对值!!解!令!$A K #则$A !K !所以,!K $A !K?!?!!$K!$A!K ?!?K !$B K B#故,!$$A !$?!?$!$B $B #故,!$$A !$?!?$!$B $B!83"利用函数-A ($’求解)!!$某系各班级推选学生代表#每3人推选!名代表#余额满’人可增选!名!写出可推选代表数-与班级学生数$之间的函数关系!假设每班学生数为’#)3#人$*!$$正数$经四舍五入后得整数-#写出-与$之间的函数关系!!解!!!$因余额满’人可补选一名#即就是可在原来基础上增加$人后取整#于是-A $?$(’3!!$A ’##’!#&#3#$!$$由($’的定义知!-A ($?#"3’#$&#%!"%!!数学分析同步辅导及习题全解#上册$54"已知函数-A ,!$$的图象#试作下列各函数的图象)!!$-A@,!$$*!!$$-A ,!@$$*!!’$-A@,!@$$*!*$-A B ,!$$B *!!3$-A +1/,!$$*!4$-A !$(B ,!$$B ?,!$$’*!!5$-A!$(B ,!$$B @,!$$’!!分析!作函数图象找出函数关于原函数的对称点"对称中心!有绝对值号的要分类讨论!!解!!!$-A@,!$$和-A ,!$$的图象关于$轴对称!!$$-A ,!@$$的图象与-A ,!$$的图象关于-轴对称!!’$-A@,!@$$的图象与-A ,!$$的图象关于原点对称!!*$-A B ,!$$B A ,!$$#!!$#.!A +$B ,!$$-#,@,!$$#$#.$A +$B ,!$$%#’(),!3$-A +1/,!$$A !#!!!$#.!A +$B ,!$$&#,##$#.$A +$B ,!$$A #,@!#$#.’A +$B ,!$$%#’(),!4$-A !$(B ,!$$B ?,!$$’A ,!$$#$#.!A +$B ,!$$-#,##$#.$A +$B ,!$$%#’(),!5$-A !$(B ,!$$B @,!$$’A ##$#.!A +$B ,!$$-#,@,!$$#$#.$A +$B ,!$$%#’(),其图象如图!E !*至图!E!5!图!E !*!!!!!!!!!!!图!E!3图!E !4!!!!!!!!!!!图!E !555"已知函数,和1的图象#试作下列函数的图象)!!$*!$$A 9:;+,!$$#1!$$,*!!$$+!$$A 9./+,!$$#1!$$,!%""%第一章!实数集与函数!分析!将9:;+,#1,与9./+,#1,转化为分段函数再讨论!!解!!!$*!$$A 9:;+,!$$#1!$$,A ,!$$#$#.!A +$B ,!$$-1!$$,1!$$#$#.$A +$B ,!$$%1!$+$,!$$+!$$A 9./+,!$$#1!$$,A 1!$$#$#.!A +$B ,!$$-1!$$,,!$$#$#.$A +$B ,!$$%1!$+$,其图象如图!E !G 和图!E !H !!!!图!E !G !!!!!!!!!!!图!E !H 5G "设,"1和N 为增函数#满足,!$$$1!$$$N !$$#$#$!证明),!,!$$$$1!1!$$$$N !N !$$$!!分析!本题己经给出了,"1"N 为增函数#把1!$$与N !$$看成中间变量!利用复合函数及其单调性质#可证得结论!!证明!因对任意的$#$#有,!$$$1!$$$N !$$#且,!$$"1!$$和N !$$均为增函数#所以#有,!,!$$$$,!1!$$$$1!1!$$$$1!N !$$$$N !N !$$$即,!,!$$$$1!1!$$$$N !N !$$$8H"设,和1为区间!%#;$上的增函数#证明第5题中定义的函数*!$$和+!$$也都是!%#;$上的增函数!!证明!对任意的$!"$$#!%#;$#$!%$$#由,!$$"1!$$在!%#;$上递增知,!$$$-,!$!$#1!$$$-1!$!$#因此*!$$$-,!$$$-,!$!$#*!$$$-1!$$$-1!$!$#所以*!$$$-9:;+,!$!$#1!$!$,A *!$!$#故*!$$在!%#;$上是增函数!同理可证+!$$是!%#;$上的增函数!8!#"设,为(@%#%’上的奇!偶$函数!证明)若,在(##%’上增#则,在(@%##’上增!减$!!证明!任取$!"$$#(@%##’#$!%$$#有@$!"@$$#(##%’且@$!&@$$!由,!$$为(@%#%’上的奇函数及在(##%’上递增得#,!$!$A@,!@$!$%@,!@$$$A ,!$$$!所以,!$$在(@%##’上是递增的!同理可证,!$$为偶函数时的相应结论成立!8!!"证明)!!$两个奇函数之和为奇函数#其积为偶函数*!$$两个偶函数之和与积之都为偶函数*!’$奇函数与偶函数之积为奇函数!!分析!对于!!$来说#./0$#.,!$$$,!$$#然后利用,!$$?1!$$@1!$$A ,!$$以及@./0$#.+@,!$$,A +,-$#.+,!$$,证得结论!%#"%。

关于华东师大版《数学分析》教材中的一个错误证明的纠正错误证明的内容出现在《数学分析》教材中的某一章节中，具体问题为证明中的使用方法存在错误导致结论不成立。

该问题所涉及的具体数学知识较为深入，需要我们对错证进行较为详尽的分析和纠正。

下面将对该错证进行详细介绍和纠正。

在该段错误证明中，作者试图证明一个数学命题或定理，其命题为“XXXX”。

作者首先列出了该命题的前提条件，然后进行了若干次数学运算和推理，并最终得出了一个结论。

通过我们对该证明的仔细分析和计算，我们可以发现在证明的过程中存在严重的错误。

具体来说，问题出在了作者在运用某一数学定理时的不当使用上。

该定理在特定条件下成立，但作者在证明中未能充分考虑到这些条件，导致了最终结论的不成立。

通过分析与推导，我们可以发现作者在证明过程中存在的错误是XXX（错误的具体原因）。

接下来，我们将对该错误证明进行纠正。

首先要注意到的是，我们需要对原证明的每一步进行仔细的分析和审查，找出其中存在的错误和问题。

在找出错误所在后，我们需要进行逐步的推导和修正，以确保最终的结论是正确的。

针对这个错误，我们有两种方法，一是尝试对原证明过程中的每一步进行分析，找出其中的错误，并尝试修正；二是从另一角度考虑这个问题，尝试用另外的方法重新证明这个命题，以得到正确的结论。

在实际中，我们可以结合这两种方法，以便更加全面地理解和纠正这个错误。

通过逐步的推导和修正，最终我们得出了正确的证明，得到了正确的结论。

我们需要将纠正后的证明过程清晰地呈现出来，确保每一步的推理和运算都是正确的，以便读者能够清晰地理解和接受这一正确证明的过程和结果。

最终，我们对这个错误进行了全面的纠正，得到了正确的结论。

通过对《数学分析》教材中的一个错误证明进行了详细的分析和纠正，我们希望读者能够在学习和掌握数学知识的过程中，对这个错误有清晰的认识，并且能够提高对数学知识的理解和掌握。

我们也希望相关教材的编写者和出版者能够对其中的错误和问题进行认真的审查和修正，以确保教材的准确性和权威性。

华东师范大学数学分析历年考研真题（1997年-2010年）华东师范大学1997年攻读硕士学位研究生入学试题一（12分）设f(x)是区间I 上的连续函数。

证明：若f(x)为一一映射，则f(x)在区间I 上严格单调。

二（12分）设1,()0x D x x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数证明：若f(x), D(x)f(x) 在点x=0处都可导，且f(0)=0,则'(0)0f =三（16分）考察函数f(x)=xlnx 的凸性，并由此证明不等式： 2()(0,0)a b a ba b ab a b +≥>>四（16分）设级数1n a∞=∑收敛，试就1n n d ∞=∑为正项级数和一般项级数两种情况分别证明1nn a∞=∑五（20分）设方程(,)0F x y =满足隐函数定理条件，并由此确定了隐函数y=f(x)。

又设(,)Fx y 具有连续的二阶偏导数。

（1） 求''()f x（2）若0000(,)0,()F x y y f x ==为f(x)的一个极值，试证明：当00(,)y F x y 与00(,)xx F x y 同号时，0()f x 为极大值； 当00(,)y F x y 与00(,)xx F x y 异号时，0()f x 为极小值。

（3）对方程2227xxy y ++=，在隐函数形式下（不解出y ）求y=f(x)的极值，并用（2）的结论判别极大或极小。

六（12分）改变累次积分4204842(4)x x xI dx y dy --=-⎰⎰的积分次序，并求其值。

七（12分）计算曲面积分222(cos cos cos )sI x y z ds αβγ=++⎰⎰其中s 为锥面z =上介于0z h ≤≤的一块，{}c o s,c o s ,c o s αβγ为s 的下侧法向的方向余弦。

华东师范大学1998年攻读硕士学位研究生入学试题一． 简答题（20分） （1） 用定义验证：22323lim 212n n n n →∞+=++；（2） '2cos ,0(),()ln(1),0x x f x f x x x <⎧=⎨+≥⎩求； （3）计算3.二（12分）设f(x)有连续的二阶导函数，且''0()2,[()()]sin 5,f f x f x xdx ππ=+=⎰求f(0).三（20分）（1）已知1n n a ∞=∑为发散的一般项级数，试证明11(1)n n a n∞=+∑也是发散级数。

数学分析教案第一章 第一章 实数集与函数§1 实数(一) 教学目的：掌握实数的基本概念和最常见的不等式，以备以后各章应用． (二) 教学内容：实数的基本性质和绝对值的不等式． (1) 基本要求：实数的有序性，稠密性，阿基米德性． (2) 较高要求：实数的四则运算． (三) 教学建议：(1) 本节主要复习中学的有关实数的知识．(2) 讲清用无限小数统一表示实数的意义以及引入不足近似值与过剩近似值的作用．§2 数集.确界原理(一) 教学目的：掌握实数的区间与邻域概念，掌握集合的有界性和确界概念． (二) 教学内容：实数的区间与邻域；集合的上下界，上确界和下确界；确界原理．(1) 基本要求：掌握实数的区间与邻域概念；分清最大值与上确界的联系与区别；结合具体集合，能指出其确界；能用一种方式，证明集合 A 的上确界为 λ．即： ,,λ≤∈∀x A x 且 ,λ<∀a ∃0x 0,x A ∈a >；或 ,,λ≤∈∀x A x 且 ,,00A x ∈∃>∀ε ελ->0x ．(2) 较高要求：掌握确界原理的证明，并用确界原理认识实数的完备性． (三) 教学建议：(1) 此节重点是确界概念和确界原理．不可强行要求一步到位，对多数学生可只布置证明具体集合的确界的习题．(2) 此节难点亦是确界概念和确界原理．对较好学生可布置证明抽象集合的确界的习题．§3 函数概念(一) 教学目的：掌握函数概念和不同的表示方法．(二) 教学内容：函数的定义与表示法；复合函数与反函数；初等函数． (1) 基本要求：掌握函数的定义与表示法；理解复合函数与反函数；懂得初等函数的定义，认识狄利克莱函数和黎曼函数．(2) 较高要求：函数是一种关系或映射的进一步的认识． (三) 教学建议：通过狄利克莱函数和黎曼函数，使学生对函数的认识从具体上升到抽象．§4 具有某些特性的函数(一) 教学目的：掌握函数的有界性，单调性，奇偶性和周期性． (二) 教学内容：有界函数，单调函数，奇函数，偶函数和周期函数． (三) 教学建议：(1) 本节的重点是通过对函数的有界性的分析，培养学生了解研究抽象函数性质的方法．(2) 本节的难点是要求用分析的方法定义函数的无界性．对较好学生可初步教会他们用分析语言表述否命题的方法．第二章 第二章 数列极限§1 数列极限概念(一) 教学目的：掌握数列极限概念，学会证明数列极限的基本方法． (二) 教学内容：数列极限．(1) 基本要求：理解数列极限的分析定义，学会证明数列极限的基本方法，懂得数列极限的分析定义中 ε与 N 的关系．(2) 较高要求：学会若干种用数列极限的分析定义证明极限的特殊技巧． (三)教学建议：(1) 本节的重点是数列极限的分析定义，要强调这一定义在分析中的重要性．具体教学中先教会他们证明 ∞→n lim 01=k n ； ∞→n lim n a 0=；( )1||<a ，然后教会他们用这些无穷小量来控制有关的变量（适当放大但仍小于这些无穷小量）． (2) 本节的难点仍是数列极限的分析定义．对较好学生可要求他们用数列极限的分析定义证明较复杂的数列极限，还可要求他们深入理解数列极限的分析定义．§2 数列极限的性质(一) 教学目的：掌握数列极限的主要性质，学会利用数列极限的性质求数列的极限． (二) 教学内容：数列极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则和数列的子列及有关子列的定理．(1) 基本要求：理解数列极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则，并会用其中某些性质计算具体的数列的极限．(2) 较高要求：掌握这些性质的较难的证明方法，以及证明抽象形式的数列极限的方法． (三) 教学建议：(1) 本节的重点是数列极限的性质的证明与运用．可对多数学生重点讲解其中几个性质的证明，多布置利用这些性质求具体数列极限的习题． (2) 本节的难点是数列极限性质的分析证明．对较好的学生，要求能够掌握这些性质的证明方法，并且会用这些性质计算较复杂的数列极限，例如： ∞→n limnn =1，等．§3 数列极限存在的条件(一) 教学目的：掌握单调有界定理，理解柯西收敛准则． (二) 教学内容：单调有界定理，柯西收敛准则．(1) 基本要求：掌握单调有界定理的证明，会用单调有界定理证明数列极限的存在性，其中包括 1lim(1)n n n →∞+存在的证明．理解柯西收敛准则的直观意义．(2) 较高要求：会用单调有界定理证明数列极限的存在性，会用柯西收敛准则判别抽象数列（极限）的敛散性．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是数列单调有界定理．对多数学生要求会用单调有界定理证明数列极限的存在性．(2) 本节的难点是柯西收敛准则．要求较好学生能够用柯西收敛准则判别数列的敛散性．第三章 函数极限 1 函数极限概念(一) 教学目的：掌握各种函数极限的分析定义，能够用分析定义证明和计算函数的极限． (二) 教学内容：各种函数极限的分析定义．基本要求：掌握当 0x x →； ∞→x ； ∞+→x ； ∞-→x ； +→0x x ；-→0x x 时函数极限的分析定义，并且会用函数极限的分析定义证明和计算较简单的函数极限．(三) 教学建议：本节的重点是各种函数极限的分析定义．对多数学生要求主要掌握当 0x x →时函数极限的分析定义，并用函数极限的分析定义求函数的极限．§2 函数极限的性质(一) 教学目的：掌握函数极限的性质．(二) 教学内容：函数极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则．(1) 基本要求：掌握函数极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则，并会用这些性质计算函数的极限．(2) 较高要求：理解函数极限的局部性质，并对这些局部性质作进一步的理论性的认识． (三) 教学建议：(1) (1) 本节的重点是函数极限的各种性质．由于这些性质类似于数列极限中相应的性质，可着重强调其中某些性质与数列极限的相应性质的区别和联系． (2) 本节的难点是函数极限的局部性质．对较好学生，要求懂得这些局部的 δ（的大小）不仅与 ε有关，而且与点 0x 有关，为以后讲解函数的一致连续性作准备．§3 函数极限存在的条件(一) 教学目的：掌握函数极限的归结原理和函数极限的单调有界定理，理解函数极限的柯西准则．(二) 教学内容：函数极限的归结；函数极限的单调有界定理；函数极限的柯西准则． (1) 基本要求：掌握函数极限的归结，理解函数极限的柯西准则． (2) 较高要求：能够写出各种函数极限的归结原理和柯西准则． (三) 教学建议：(1) 本节的重点是函数极限的归结原理．要着重强调归结原理中数列的任意性． (2) 本节的难点是函数极限的柯西准则．要求较好学生能够熟练地写出和运用各种函数极限的归结原理和柯西准则．§4两个重要的极限(一) 教学目的：掌握两个重要极限： 0lim →x 1sin =x x ； ∞→x lim xx ⎪⎭⎫⎝⎛+11e =．(二) 教学内容：两个重要极限： 0lim →x 1sin =x x； ∞→x limxx ⎪⎭⎫⎝⎛+11e =．(1) 基本要求：掌握 0lim→x 1sin =xx的证明方法，利用两个重要极限计算函数极限与数列极限．(2) 较高要求：掌握 ∞→x lim xx ⎪⎭⎫⎝⎛+11e =证明方法．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是与两个重要的函数极限有关的计算与证明．可用方法：1)()(sin lim 0)(=→x x x ϕϕϕ； e x x x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→)()()(11lim ψψψ，其中 )(x ϕ、 )(x ψ分别为任一趋于0或趋于∞的函数．(2) 本节的难点是利用迫敛性证明 ∞→x lim xx ⎪⎭⎫⎝⎛+11e =．§5 无穷小量与无穷大量(一) 教学目的：掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念．(二) 教学内容：无穷小量与无穷大量，高阶无穷小，同阶无穷小，等阶无穷小，无穷大． (1) 基本要求：掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念． (2) 较高要求：能够写出无穷小量与无穷大量的分析定义，并用分析定义证明无穷小量与无穷大量．在计算及证明中，熟练使用“ o ”与“ O ”． (三) 教学建议：(1) 本节的重点是无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念． (2) (2) 本节的难点是熟练使用“ o ”与“ O ”进行运算．第四章 第四章 函数的连续性§1 连续性概念(一) 教学目的：掌握函数连续性概念．(二) 教学内容：函数在一点和在区间上连续的定义，间断点的分类．(1) 基本要求：掌握函数连续性概念，可去间断点，跳跃间断点，第二类间断点，区间上的连续函数的定义．(2) 较高要求：讨论黎曼函数的连续性． (三) 教学建议：(1) (1) 函数连续性概念是本节的重点．对学生要求懂得函数在一点和在区间上连续的定义，间断点的 分类．(2) 本节的难点是用较高的分析方法、技巧证明函数的连续性，可在此节中对较好学生布置有关习题．§2 连续函数的性质(一) 教学目的：掌握连续函数的局部性质和闭区间上连续函数的整体性质．(二) 教学内容：连续函数的局部保号性，局部有界性，四则运算；闭区间上连续函数的最大最小值定理，有界性定理，介值性定理，反函数的连续性，一致连续性．(1) 基本要求：掌握函数局部性质概念，可去间断点，跳跃间断点，第二类间断点；了解闭区间上连续函数的性质．(2) 较高要求：对一致连续性的深入理解．(三)教学建议：(1)函数连续性概念是本节的重点．要求学生掌握函数在一点和在区间上连续的定义，间断点的分类，了解连续函数的整体性质．对一致连续性作出几何上的解释．(2)(2)本节的难点是连续函数的整体性质，尤其是一致连续性和非一致连续性的特征．可在此节中对较好学生布置判别函数一致连续性的习题．§3 初等函数的连续性(一) 教学目的：了解指数函数的定义，掌握初等函数的连续性．(二) 教学内容：指数函数的定义；初等函数的连续性．(1) 基本要求：掌握初等函数的连续性．(2) 较高要求：掌握指数函数的严格定义．(三)教学建议：(1) 本节的重点是初等函数的连续性．要求学生会用初等函数的连续性计算极限．(2) 本节的难点是理解和掌握指数函数的性质．第五章导数和微分§1 导数的概念(一) 教学目的：掌握导数的概念，了解费马定理、达布定理．(二) 教学内容：函数的导数，函数的左导数，右导数，有限增量公式，导函数．(1) 基本要求：掌握函数在一点处的导数是差商的极限．了解导数的几何意义，理解费马定理．(2) 较高要求：理解达布定理．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是导数的定义和导数的几何意义．会用定义计算函数在一点处的导数．(2) 本节的难点是达布定理．对较好学生可布置运用达布定理的习题．§2 求导法则(一) 教学目的：熟练掌握求导法则和熟记基本初等函数的求导公式．(二) 教学内容：导数的四则运算，反函数求导，复合函数的求导，基本初等函数的求导公式．基本要求：熟练掌握求导法则和熟记基本初等函数的求导公式．(三) 教学建议：求导法则的掌握和运用对以后的学习至关重要，要安排专门时间督促和检查学生学习情况．§3 参变量函数的导数(一) 教学目的：掌握参变量函数的导数的求导法则．(二) 教学内容：参变量函数的导数的求导法则．基本要求：熟练掌握参变量函数的导数的求导法则．(三) 教学建议：通过足量习题使学生掌握参变量函数的导数的求导法则．§4高阶导数(一) 教学目的：掌握高阶导数的概念，了解求高阶导数的莱布尼茨公式．(二) 教学内容：高阶导数；求高阶导数的莱布尼茨公式．(1)基本要求：掌握高阶导数的定义，能够计算给定函数的高阶导数．(2) 较高要求：掌握并理解参变量函数的二阶导数的求导公式．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是高阶导数的概念和计算．要求学生熟练掌握．(2) 本节的难点是高阶导数的莱布尼茨公式，特别是参变量函数的二阶导数．要强调对参变量求导与对自变量求导的区别．可要求较好学生掌握求参变量函数的二阶导数．§5 微分(一) 教学目的：掌握微分的概念和微分的运算方法，了解高阶微分和微分在近似计算中的应用．(二) 教学内容：微分的概念，微分的运算法则，高阶微分，微分在近似计算中的应用．(1) 基本要求：掌握微分的概念，微分的运算法则，一阶微分形式的不变性．(2) 较高要求：掌握高阶微分的概念．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是掌握微分的概念，要讲清微分是全增量的线性主部．(2) 本节的难点是高阶微分，可要求较好学生掌握这些概念．第六章微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性(一) 教学目的：掌握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，会用导数判别函数的单调性．(二) 教学内容：罗尔中值定理；拉格朗日中值定理．(1) 基本要求：掌握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，会用导数判别函数的单调性．(2) 较高要求：掌握导数极限定理．(三) 教学建议：(1)(1)本节的重点是掌握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，要求牢记定理的条件与结论，知道证明的方法．(2)(2)本节的难点是用拉格朗日中值定理证明有关定理与解答有关习题．可要求较好学生掌握通过设辅助函数来运用微分中值定理．§2 柯西中值定理和不定式极限(一) 教学目的：了解柯西中值定理，掌握用洛必达法则求不定式极限． (二) 教学内容：柯西中值定理；洛必达法则的使用．(1) 基本要求：了解柯西中值定理，掌握用洛必达法则求各种不定式极限．(2) 较高要求：掌握洛必达法则 0型定理的证明．(三) 教学建议：(1) (1) 本节的重点是掌握用洛必达法则求各种不定式极限．可强调洛必达法则的重要性，并总结求各 种不定式极限的方法． (2) 本节的难点是掌握洛必达法则定理的证明，特别是 ∞∞型的证明．§3 泰勒公式(一) 教学目的：理解带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式．(二) 教学内容：带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式及其在近似计算中的应用．(1) 基本要求：了解带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式，熟记六个常见函数的麦克劳林公式． (2) 较高要求：用泰勒公式计算某些 0型极限．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是理解带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式． (2) 本节的难点是掌握带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式的证明．对较好学生可要求掌握证明的方法． §4函数的极值与最大(小)值(一) 教学目的：掌握函数的极值与最大(小)值的概念． (二) 教学内容：函数的极值与最值．(1) 基本要求：掌握函数的极值的第一、二充分条件；学会求闭区间上连续函数的最值及其应用．(2) 较高要求：掌握函数的极值的第三充分条件． (三) 教学建议：教会学生以函数的不可导点和导函数（以及二阶导数）的零点（稳定点）分割函数定义域，作自变量、导函数（以及二阶导数）、函数的性态表，这个表给出函数的单调区间，凸区间，极值．这对后面的函数作图也有帮助．§5 函数的凸性与拐点(一) 教学目的：掌握函数的凸性与拐点的概念，应用函数的凸性证明不等式． (二) 教学内容：函数的凸性与拐点．(1) 基本要求：掌握函数的凸性与拐点的概念，应用函数的凸性证明不等式．(2) 较高要求：运用詹森不等式证明或构造不等式，左、右导数的存在与连续的关系． (三) 教学建议：(1) 教给学生判断凸性的充分条件即可，例如导函数单调． (2) 本节的难点是运用詹森不等式证明不等式．§6 函数图象的讨论(一) 教学目的：掌握函数图象的大致描绘．(二) 教学内容：作函数图象．(1) 基本要求：掌握直角坐标系下显式函数图象的大致描绘．(2) 较高要求：能描绘参数形式的函数图象．(三)教学建议：教会学生根据函数的性态表，以及函数的单调区间，凸区间，大致描绘函数图象．第七章实数的完备性§1关于实数集完备性的基本定理(一)教学目的：掌握区间套定理和柯西判别准则的证明，了解有限覆盖定理和聚点定理(较熟练运用致密性定理)．(二)教学内容：区间套定理、柯西判别准则的证明；聚点定理；有限覆盖定理．(1) 基本要求：掌握和运用区间套定理、致密性定理．(2)较高要求：掌握聚点定理和有限覆盖定理的证明与运用．(三) 教学建议：(1)(1)本节的重点是区间套定理和致密性定理．教会学生在什么样情况下应用区间套定理和致密性定理以及如何应用区间套定理和致密性定理．(2) 本节的难点是掌握聚点定理和有限覆盖定理．教会较好学生如何应用聚点定理和有限覆盖定理．§2 闭区间上的连续函数性质的证明(一) 教学目的：证明闭区间上的连续函数性质．(二) 教学内容：闭区间上的连续函数有界性的证明；闭区间上的连续函数的最大(小)值定理的证明；闭区间上的连续函数介值定理的证明；闭区间上的连续函数一致连续性的证明．(1)(1)基本要求：掌握用有限覆盖定理或用致密性定理证明闭区间上连续函数的有界性；用确界原理证明闭区间上的连续函数的最大(小)值定理；用区间套定理证明闭区间上的连续函数介值定理．(2) 较高要求：掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的有界性和一致连续性．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是证明闭区间上的连续函数的性质．(2) 本节的难点是掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的一致连续性以及实数完备性的六大定理的等价性证明，对较好学生可布置这方面的习题．第八章不定积分§1不定积分的概念与基本积分公式(一) 教学目的：掌握原函数的概念和基本积分公式(二) 教学内容：原函数的概念；基本积分公式；不定积分的几何意义．基本要求：熟练掌握原函数的概念和基本积分公式．(三) 教学建议：(1) 不定积分是以后各种积分计算的基础，要求熟记基本积分公式表．(2) 适当扩充基本积分公式表．§2 换元积分法与分部积分法(一) 教学目的：掌握第一、二换元积分法与分部积分法．(二) 教学内容：第一、二换元积分法；分部积分法．基本要求：熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法．(三) 教学建议：(1) 布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题．(2) 总结分部积分法的几种形式：升幂法，降幂法和循环法．§3 有理函数和可化为有理函数的不定积分(一) 教学目的：会计算有理函数和可化为有理函数的不定积分．(二) 教学内容：有理函数的不定积分；三角函数有理式的不定积分；某些无理根式的不定积分．(1) 基本要求：有理函数的不定积分；三角函数有理式的不定积分；某些无理根式的不定积分．(2) 较高要求：利用欧拉代换求某些无理根式的不定积分．(三) 教学建议：(1) 适当布置有理函数的不定积分，三角函数有理式的不定积分，某些无理根式的不定积分的习题．(2) 本节的难点是利用欧拉代换求某些无理根式的不定积分，可要求较好学生掌握．第九章定积分§1 定积分的概念(一) 教学目的：引进定积分的概念．(二) 教学内容：定积分的定义．基本要求：掌握定积分的定义，了解定积分的几何意义和物理意义．(三) 教学建议：要求掌握定积分的定义，并了解定积分的几何意义．§2 牛顿-莱布尼茨公式(一) 教学目的：熟练掌握和应用牛顿-莱布尼茨公式．(二) 教学内容：牛顿-莱布尼茨公式．(1) 基本要求：熟练掌握和应用牛顿-莱布尼茨公式．(2) 较高要求：利用定积分的定义来处理一些特殊的极限．(三) 教学建议：(1) 要求能证明并应用牛顿-莱布尼茨公式．(2) 利用定积分的定义来处理一些特殊的极限是一个难点，对学习较好的学生可布置这种类型的题目．§3 可积条件(一) 教学目的：理解定积分的充分条件，必要条件和充要条件．(二) 教学内容：定积分的充分条件和必要条件；可积函数类(1) 基本要求：掌握定积分的第一、二充要条件．(2) 较高要求：掌握定积分的第三充要条件．(三) 教学建议：(1) 理解定积分的第一、二充要条件是本节的重点，要求学生必须掌握．(2) 证明定积分的第一、二、三充要条件是本节的难点．对较好学生可要求掌握这些定理的证明以及证明某些函数的不可积性．§4定积分的性质(一) 教学目的：掌握定积分的性质．(二) 教学内容：定积分的基本性质；积分第一中值定理．(1) 基本要求：掌握定积分的基本性质和积分第一中值定理．(2) 较高要求：较难的积分不等式的证明．(三) 教学建议：(1) 定积分的基本性质和积分第一中值定理是本节的重点，要求学生必须掌握并灵活应用．(2) 较难的积分不等式的证明是本节的难点．对较好学生可布置这方面的习题．§5 微积分学基本定理(一) 教学目的：掌握微积分学基本定理．(二) 教学内容：变上限的定积分；变下限的定积分；微积分学基本定理；积分第二中值定理，换元积分法；分部积分法；泰勒公式的积分型余项．(1) 基本要求：掌握变限的定积分的概念；掌握微积分学基本定理和换元积分法及分部积分法．(2) 较高要求：掌握积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项．(三)教学建议：(1) 微积分学基本定理是本节的重点，要求学生必须掌握微积分学基本定理完整的条件与结论．(2) 积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项是本节的难点．对较好学生要求他们了解这些内容．第十章定积分的应用§1平面图形的面积(一) 教学目的：掌握平面图形面积的计算公式．(二) 教学内容：平面图形面积的计算公式．(1) 基本要求：掌握平面图形面积的计算公式，包括参量方程及极坐标方程所定义的平面图形面积的计算公式．(2) 较高要求：提出微元法的要领．(三) 教学建议：(1)本节的重点是平面图形面积的计算公式，要求学生必须熟记并在应用中熟练掌握．(二) 教学内容：无穷积分；瑕积分．基本要求：掌握无穷积分与瑕积分的定义与计算方法．(三) 教学建议：讲清反常积分是变限积分的极限．(2) 领会微元法的要领．§2 由平行截面面积求体积(一) 教学目的：掌握由平行截面面积求体积的计算公式(二) 教学内容：由平行截面面积求体积的计算公式．基本要求：掌握由平行截面面积求体积的计算公式．(三) 教学建议：(1) 要求学生必须熟记由平行截面面积求体积的计算公式并在应用中熟练掌握．(2) 进一步领会微元法的要领．§3 平面曲线的弧长与曲率(一) 教学目的：掌握平面曲线的弧长与曲率(二) 教学内容：平面曲线的弧长与曲率的计算公式．(1) 基本要求：掌握平面曲线的弧长计算公式．(2) 较高要求：掌握平面曲线的曲率计算公式．(三) 教学建议：(1) 要求学生必须熟记平面曲线的弧长计算公式．(2) 对较好学生可要求他们掌握平面曲线的曲率计算公式．§4 旋转曲面的面积(一) 教学目的：掌握旋转曲面的面积计算公式．(二) 教学内容：旋转曲面的面积计算公式．基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；掌握平面曲线的曲率的计算公式．(三) 教学建议：要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积．§5 定积分在物理中的某些应用(一) 教学目的：掌握定积分在物理中的应用的基本方法．(二) 教学内容：液体静压力；引力；功与平均功率．(1) 基本要求：要求学生掌握求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．(2) 较高要求：要求学生运用微元法导出求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．(三) 教学建议：要求学生必须理解和会用求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．十一章反常积分§1反常积分的概念(一) 教学目的：掌握反常积分的定义与计算方法．。