2016-2017学年广东省汕头市濠江区金山中学高二(下)3月月考数学试卷(理科)

广东省汕头市2016-2017学年高二数学3月月考试题 文一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}{}|lg 3,|5A x y x B x x ==-=≤，则AB =A ．RB ． {}|5x x ≥C ．{}|3x x <D ．{}|35x x <≤ 2. 命题：“∀x ＞0，x 2+x ≥0”的否定形式是 A ．∀x ≤0，x 2+x ＞0 B ．∀x ＞0，x 2+x ≤0 C ．∃x 0＞0，x 02+x 0＜0 D ．∃x 0≤0，x 02+x 0＞03. “1-4a >”是“关于x 的不等式210ax x -+>恒成立”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4.双曲线()222214x y m Z m m+=∈-的离心率为A ．3B ． 5. 变量满足约束条件,则目标函数的最小值为 A.2B.4C.5D.66.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.70.35yx =+，则表中m 的值为A ．4B ． 3 C. 3.5 D ．3.157. 已知)2,1(-A ，)1,(-a B ，)0,(b C -三点共线，其中0,0>>b a ，则ab 的最大值是A ．21 B ．41 C ．61D ．818.如图，边长为1的网格上依次为某几何体的正视图、侧视图、俯视图，其正视图为等边三角形，则该几何体的体积为 A ．213π+B ．4233π+D +9. 已知函数()21sin cos 2f x x x x x =+，则其导函数()f x '的图象大致是A ．B ． C. D ．10.将函数()()3sin 222f x x ππθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()(),f x g x 的图象都经过点P ⎛ ⎝，则ϕ的值不可能是 A ．34π B ．π C. 74π D ．54π11. 平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面11C B D ,α⋂平面ABCD m =，α⋂平面11ABB A n =，则m ，n 所成角的正弦值为A ．2 B ．2C.3． 1312.已知函数()()32ln ,5a f x x x g x x x x =+=--，若对任意的121,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()122f x g x -≥成立，则实数a 的取值范围是A ． [)1,+∞B ． ()0,+∞ C. (),0-∞ D ．(],1-∞-二、填空题:本题共4小题,每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，则它的外接球的表面积为 ．14.在ABC ∆中，内角为A ，B ，C ，若sin sin cos A C B =，则ABC ∆的形状一定是15.若向量,a b 夹角为3π，且2,1a b ==，则a 与2a b +的夹角为16.已知实数,a b 满足()ln 130b a b ++-=，实数,c d 满足20d c -+=，则()()22a cb d -+-的最小值为三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31379,,,S a a a =成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足()12nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .18. 某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如下表所示：ABCP（1）若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取两名学生参加某项活动，问两名学生中有1名男生的概率是多少？（2）有多少的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系？请说明理由. 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++19. 如图，四边形ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，//,22,60PD BE AD PD BE DAB ===∠=,点F 为PA 的中点.（1）求证：EF ⊥平面PAD ；（2）求点P 到平面ADE 的距离.20.已知抛物线()21:20C y px p =>的焦点为F ，抛物线上存在一点G 到焦点的距离为3，且点G 在圆22:9C x y +=上. （1）求抛物线1C 的方程；（2）已知椭圆()22222:10x y C m n m n+=>>的一个焦点与抛物线1C 的焦点重合，且离心率为12。

2021 -2021学年广东省汕头市金山中学高二〔下〕期末数学试卷〔理科〕一、选择题〔共12小题，每题5分，共60分〕1．集合M={x|x2﹣2x﹣8≤0}，集合N={x|lgx≥0}，那么M∩N=〔〕A．{x|﹣2≤x≤4} B．{x|x≥1} C．{x|1≤x≤4} D．{x|x≥﹣2} 2．复数〔i为虚数单位〕在复平面内对应点所在象限为〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．sinθ+cosθ=，，那么sinθ﹣cosθ值为〔〕A ．B ．﹣C ．D ．﹣4．f〔x〕=x5﹣ax3+bx+2，且f〔﹣5〕=3，那么f〔5〕+f〔﹣5〕值为〔〕A．0 B．4 C．6 D．15．为大力提倡“厉行节省，反对浪费〞，某高中通过随机询问100名性别不同学生是否做到“光盘〞行动，得到如表所示联表及附表：做不到“光盘〞行动做到“光盘〞行动男4510女3015 P〔K2≥k0〕k0经计算：K2=≈3.03，参考附表，得到正确结论是〔〕A．有95%把握认为“该学生能否做到光盘行到与性别有关〞B．有95%把握认为“该学生能否做到光盘行到与性别无关〞C．有90%把握认为“该学生能否做到光盘行到与性别有关〞D．有90%把握认为“该学生能否做到光盘行到与性别无关〞6．“数列{a n}成等比数列〞是“数列{lga n+1}成等差数列〞〔〕A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．某程序框图如下图，那么该程序运行后输出S值为〔〕A．1 B．C．D．8．设f〔x〕=，那么f〔x〕dx值为〔〕A．+B．+3 C．+D．+39．设F1，F2是双曲线两个焦点，P在双曲线上，假设，〔c为半焦距〕，那么双曲线离心率为〔〕A．B．C．2 D．10．一个几何体三视图及尺寸如下图，那么该几何体外接球半径为〔〕A．B．C．D．11．有一个7人学习合作小组，从中选取4人发言，要求其中组长与副组长至少有一人参加，假设组长与副组长同时参加，那么他们发言时顺序不能相邻，那么不同发言顺序有〔〕A．720种B．600种C．360种D．300种12．函数f〔x〕=x﹣存在单调递减区间，且y=f〔x〕图象在x=0处切线l与曲线y=e x相切，符合情况切线l〔〕A．有3条B．有2条C．有1条D．不存在二、填空题〔共4小题，每题5分，共20分〕13．随机变量X服从正态分布N〔0，σ2〕，且P〔﹣2≤X≤0〕=0.4，那么P〔X＞2〕= ．14．展开式常数项是．15．设O点在△ABC内部，且有，那么△ABC面积与△AOC面积比为．16．在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，且3bcosC ﹣3ccosB=a，那么tan〔B﹣C〕最大值为．三、解答题〔本大题8个小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程、演算步骤〕17．数列{a n}前n项与S n=2n2+n，n∈N*．〔1〕求{a n}通项公式；〔2〕假设数列{b n}满足a n=4log2b n+3，n∈N*，求数列{a n•b n}前n 项与T n．18．某种产品广告费支出x与销售额y〔单位：万元〕之间有如下对应数据：x24568y3040605070〔Ⅰ〕求回归直线方程；〔Ⅱ〕试预测广告费支出为10万元时，销售额多大？〔Ⅲ〕在已有五组数据中任意抽取两组，求至少有一组数据其预测值与实际值之差绝对值不超过5概率．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD中点，点M在线段PD上．〔Ⅰ〕求证：EF⊥平面PAC；〔Ⅱ〕如果直线ME与平面PBC所成角与直线ME与平面ABCD 所成角相等，求值．20．直线l：y=x+1，圆O：，直线l被圆截得弦长与椭圆C：短轴长相等，椭圆离心率e=．〔Ⅰ〕求椭圆C方程；〔Ⅱ〕过点M〔0，〕动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径圆恒过定点T？假设存在，求出点T坐标；假设不存在，请说明理由．21．函数f〔x〕=lnx﹣ax2+x，a∈R．〔Ⅰ〕假设f〔1〕=0，求函数f〔x〕最大值；〔Ⅱ〕令g〔x〕=f〔x〕﹣〔ax﹣1〕，求函数g〔x〕单调区间；〔Ⅲ〕假设a=﹣2，正实数x1，x2满足f〔x1〕+f〔x2〕+x1x2=0，证明x1+x2≥．请考生在第〔22〕、〔23〕、〔24〕三题中任选一题作答，如果多做，那么按所做第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O是△ABC外接圆，AB=BC，AD是BC边上高，AE 是⊙O直径．〔1〕求证：AC•BC=AD•AE；〔2〕过点C作⊙O切线交BA延长线于点F，假设AF=4，CF=6，求AC长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．极坐标系极点为直角坐标系原点，极轴为x轴正半轴，两种坐标系中长度单位一样，曲线C极坐标方程为ρ=2〔cosθ+sinθ〕．〔1〕求C直角坐标方程；〔2〕直线l：为参数〕与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f〔x〕=|x﹣1|+|x﹣a|．〔1〕假设a=﹣1，解不等式f〔x〕≥3〔2〕如果∀x∈R，f〔x〕≥2，求a取值范围．2021 -2021学年广东省汕头市金山中学高二〔下〕期末数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题〔共12小题，每题5分，共60分〕1．集合M={x|x2﹣2x﹣8≤0}，集合N={x|lgx≥0}，那么M∩N=〔〕A．{x|﹣2≤x≤4} B．{x|x≥1} C．{x|1≤x≤4} D．{x|x≥﹣2}【考点】交集及其运算．【分析】求出M中不等式解集确定出M，求出N中x范围确定出N，找出M与N交集即可．【解答】解：由M中不等式变形得：〔x﹣4〕〔x+2〕≤0，解得：﹣2≤x≤4，即M=[﹣2，4]，由N中lgx≥0，得到x≥1，即N=[1，+∞〕，那么M∩N=[1，4]，应选：C．2．复数〔i为虚数单位〕在复平面内对应点所在象限为〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式乘除运算；复数代数表示法及其几何意义．【分析】先将复数z进展复数除法运算，分子与分母同乘以分母共轭复数，整理后得到代数形式，写出复数在复平面上对应点坐标，根据坐标正负得到所在象限．【解答】解：∵==﹣i∴复数在复平面对应点坐标是〔，﹣〕∴它对应点在第四象限，应选D3．sinθ+cosθ=，，那么sinθ﹣cosθ值为〔〕A．B．﹣C．D．﹣【考点】同角三角函数根本关系运用．【分析】由题意可得可得1＞cosθ＞sinθ＞0，2sinθcosθ=，再根据sinθ﹣cosθ=﹣，计算求得结果．【解答】解：由sinθ+cosθ=，，可得1＞cosθ＞sinθ＞0，1+2sinθcosθ=，∴2sinθcosθ=．∴sinθ﹣cosθ=﹣=﹣=﹣，应选：B．4．f〔x〕=x5﹣ax3+bx+2，且f〔﹣5〕=3，那么f〔5〕+f〔﹣5〕值为〔〕A．0 B．4 C．6 D．1【考点】函数奇偶性性质．【分析】根据中f〔x〕=x5﹣ax3+bx+2，可得f〔x〕+f〔﹣x〕=4，解得答案．【解答】解：∵f〔x〕=x5﹣ax3+bx+2，∴f〔﹣x〕=﹣〔x5﹣ax3+bx〕+2，∴f〔x〕+f〔﹣x〕=4，应选：B5．为大力提倡“厉行节省，反对浪费〞，某高中通过随机询问100名性别不同学生是否做到“光盘〞行动，得到如表所示联表及附表：做不到“光盘〞行动做到“光盘〞行动男4510女3015P〔K2≥k0〕k0经计算：K2=≈3.03，参考附表，得到正确结论是〔〕A．有95%把握认为“该学生能否做到光盘行到与性别有关〞B．有95%把握认为“该学生能否做到光盘行到与性别无关〞C．有90%把握认为“该学生能否做到光盘行到与性别有关〞D．有90%把握认为“该学生能否做到光盘行到与性别无关〞【考点】独立性检验应用．【分析】通过观测值参照临界值表即可得到正确结论．【解答】解：由K2=≈3.03，参考附表，∵＜＜3.841．∴有90%把握认为“该学生能否做到光盘行动到与性别有关〞．6．“数列{a n}成等比数列〞是“数列{lga n+1}成等差数列〞〔〕A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】等差关系确定．【分析】数列{a n}成等比数列，公比为q．假设a1＜0时，那么lga n+1没有意义．由数列{lga n+1}成等差数列，那么〔lga n+1+1〕﹣〔lga n+1〕=为常数，那么为非0常数．即可判断出结论．【解答】解：∵数列{a n}成等比数列，公比为q．∴a n=．假设a1＜0时，那么lga n+1没有意义．由数列{lga n+1}成等差数列，那么〔lga n+1+1〕﹣〔lga n+1〕=为常数，那么为非0常数．∴“数列{a n}成等比数列〞是“数列{lga n+1}成等差数列〞必要不充分条件．应选：B．7．某程序框图如下图，那么该程序运行后输出S值为〔〕A．1 B．C．D．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句作用，再根据流程图所示顺序，模拟程序运行过程，对运行过程中变量S值变化情况进展分析，找出各项之间规律，不难给出答案．【解答】解：依题意得，运行程序后输出是数列{a n}第2021项，其中数列{a n}满足：a1=1，a n+1=注意到a2=，a3=，，a5=1，，…该数列中项以4为周期重复性地出现，且2021=4×503+1，因此a2021=a1=1，运行程序后输出S值为1．故答案为：A8．设f〔x〕=，那么f〔x〕dx值为〔〕A．+B．+3 C．+D．+3【考点】定积分．【分析】根据定积分性质可得f〔x〕dx=+，然后根据定积分可得．【解答】解：根据定积分性质可得f〔x〕dx=+，根据定积分几何意义，是以原点为圆心，以1为半径圆面积，∴f〔x〕dx=+〔〕，故答案选：A．9．设F1，F2是双曲线两个焦点，P在双曲线上，假设，〔c为半焦距〕，那么双曲线离心率为〔〕A．B．C．2 D．【考点】双曲线简单性质．【分析】由，可得△PF1F2是直角三角形，由勾股定理得〔2c〕2=|PF1|2+|PF2|2=|PF1﹣PF2|2﹣2|PF1||PF2|=4a2﹣4ac，即可求出双曲线离心率．【解答】解：由题意得，△PF1F2是直角三角形，由勾股定理得〔2c〕2=|PF1|2+|PF2|2=|PF1﹣PF2|2﹣2|PF1||PF2|=4a2﹣4ac，∴c2﹣ac﹣a2=0，∴e2﹣e﹣1=0，∵e＞1，∴e=．应选：D．10．一个几何体三视图及尺寸如下图，那么该几何体外接球半径为〔〕A．B．C．D．【考点】球内接多面体；由三视图复原实物图．【分析】由三视图可知：该几何体是一个如下图三棱锥〔图中红色局部〕，它是一个正四棱锥一半，其中底面是一个两直角边都为6直角三角形，高为4．设其外接球球心O必在高线EF上，利用外接球半径建立方程，据此方程可求出答案．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个如下图三棱锥〔图中红色局部〕，它是一个正四棱锥一半，其中底面是一个两直角边都为6直角三角形，高EF=4．设其外接球球心为O，O点必在高线EF上，外接球半径为R，那么在直角三角形AOF中，AO2=OF2+AF2=〔EF﹣EO〕2+AF2，即R2=〔4﹣R〕2+〔3〕2，解得：R=应选C．11．有一个7人学习合作小组，从中选取4人发言，要求其中组长与副组长至少有一人参加，假设组长与副组长同时参加，那么他们发言时顺序不能相邻，那么不同发言顺序有〔〕A．720种B．600种C．360种D．300种【考点】排列、组合实际应用．【分析】根据题意，分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，分别求出每一种情况下情况数目，再由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，①、假设甲乙其中一人参加，需要从剩余5人中选取3人，从甲乙中任取1人，有2种情况，在剩余5人中任取3人，有C53=10种情况，将选取4人，进展全排列，有A44=24种情况，那么此时有2×10×24=480种情况；②、假设甲乙两人都参加，需要从剩余5人中选取2人，有C52=10种选法，将甲乙与选出2人，进展全排列，有A44=24种情况，那么甲乙都参加有10×24=240种情况，其中甲乙相邻有C52A44A22A33=120种情况；那么甲乙两人都参加且不相邻情况有240﹣120=120种；那么不同发言顺序种数480+120=600种，应选：B．12．函数f〔x〕=x﹣存在单调递减区间，且y=f〔x〕图象在x=0处切线l与曲线y=e x相切，符合情况切线l〔〕A．有3条B．有2条C．有1条D．不存在【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出f〔x〕导数，由题意可得f′〔x〕＜0在〔﹣∞，+∞〕有解，讨论a＜0，a＞0可得a＞0成立，求得切线l方程，再假设l 与曲线y=e x相切，设切点为〔x0，y0〕，即有e=1﹣=〔1﹣〕x0﹣1，消去a得x0﹣﹣1=0，设h〔x〕=e x x﹣e x﹣1，求出导数与单调区间，可得h〔x〕在〔0，+∞〕有唯一解，由a＞0，即可判断不存在．【解答】解：函数f〔x〕=x﹣导数为f′〔x〕=1﹣e，依题意可知，f′〔x〕＜0在〔﹣∞，+∞〕有解，①a＜0时，f′〔x〕＜0 在〔﹣∞，+∞〕无解，不符合题意；②a＞0时，f′〔x〕＞0即a＞e，lna＞，x＜alna符合题意，那么a＞0．易知，曲线y=f〔x〕在x=0处切线l方程为y=〔1﹣〕x﹣1．假设l与曲线y=e x相切，设切点为〔x0，y0〕，即有e=1﹣=〔1﹣〕x0﹣1，消去a得，设h〔x〕=e x x﹣e x﹣1，那么h′〔x〕=e x x，令h′〔x〕＞0，那么x＞0，所以h〔x〕在〔﹣∞，0〕上单调递减，在〔0，+∞〕上单调递增，当x→﹣∞，h〔x〕→﹣1，x→+∞，h〔x〕→+∞，所以h〔x〕在〔0，+∞〕有唯一解，那么，而a＞0时，，与矛盾，所以不存在．应选：D．二、填空题〔共4小题，每题5分，共20分〕13．随机变量X服从正态分布N〔0，σ2〕，且P〔﹣2≤X≤0〕=0.4，那么P〔X＞2〕= 0.1 ．【考点】正态分布曲线特点及曲线所表示意义．【分析】此题考察正态分布曲线性质，随机变量ξ服从正态分布N〔0，σ2〕，由此知曲线对称轴为Y轴，可得P〔0≤X≤2〕=0.4，即可得出结论．【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N〔0，σ2〕，且P〔﹣2≤X≤0〕=0.4，∴P〔0≤X≤∴P〔X＞故答案为：0.1．14．展开式常数项是﹣12 ．【考点】二项式系数性质．【分析】〔x2+2〕〔﹣1〕5展开式常数项是第一个因式取x2，第二个因式取；第一个因式取2，第二个因式取〔﹣1〕5，可得结论．【解答】解：第一个因式取x2，第二个因式取，可得=﹣10第一个因式取2，第二个因式取〔﹣1〕5，可得2×〔﹣1〕5=﹣2∴展开式常数项是﹣10+〔﹣2〕=﹣12故答案为：﹣1215．设O点在△ABC内部，且有，那么△ABC面积与△AOC面积比为 3 ．【考点】向量在几何中应用．【分析】根据，变形得∴，利用向量加法平行四边形法那么可得2=﹣4，从而确定点O位置，进而求得△ABC 面积与△AOC 面积比．【解答】解：分别取AC、BC中点D、E，∴，即2=﹣4，∴O是DE一个三等分点，∴=3，故答案为：3．16．在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，且3bcosC ﹣3ccosB=a，那么tan〔B﹣C〕最大值为．【考点】正弦定理；两角与与差余弦函数；两角与与差正切函数．【分析】使用正弦定理将边化角，化简得出tanB与tanC关系，代入两角差正切公式使用根本不等式得出最大值．【解答】解：∵3bcosC﹣3ccosB=a，∴3sinBcosC﹣3sinCcosB=sinA=sin〔B+C〕=sinBcosC+cosBsinC，∴sinBcosC=2cosBsinC，∴tanB=2tanC．∴tan〔B﹣C〕===≤．故答案为：．三、解答题〔本大题8个小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程、演算步骤〕17．数列{a n}前n项与S n=2n2+n，n∈N*．〔1〕求{a n}通项公式；〔2〕假设数列{b n}满足a n=4log2b n+3，n∈N*，求数列{a n•b n}前n 项与T n．【考点】数列求与；数列递推式．【分析】〔1〕根据a n=解出；〔2〕求出b n，使用错位相减法求与．【解答】解：〔1〕当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时，．经检验，n=1时，上式成立．∴a n=4n﹣1，n∈N*．〔2〕∵a n=4log2b n+3=4n﹣1，∴b n=2n﹣1．∴，n∈N*．①×2得：，②故．18．某种产品广告费支出x与销售额y〔单位：万元〕之间有如下对应数据：x24568y3040605070〔Ⅰ〕求回归直线方程；〔Ⅱ〕试预测广告费支出为10万元时，销售额多大？〔Ⅲ〕在已有五组数据中任意抽取两组，求至少有一组数据其预测值与实际值之差绝对值不超过5概率．【考点】回归分析初步应用；列举法计算根本领件数及事件发生概率．【分析】〔I〕首先求出x，y平均数，利用最小二乘法做出线性回归方程系数，根据样本中心点满足线性回归方程，代入数据求出a值，写出线性回归方程．〔II〕当自变量取10时，把10代入线性回归方程，求出销售额预报值，这是一个估计数字，它与真实值之间有误差．【解答】解：〔I〕a=∴线性回归方程是：．〔Ⅱ〕：根据上面求得回归直线方程，当广告费支出为10万元时，×10+17.5=82.5 〔万元〕即这种产品销售收入大约为82.5万元．x24568y304060507050〔Ⅲ〕解：根本领件：〔30，40〕，〔30，60〕，〔30，50〕，〔30，70〕，〔40，60〕，〔40，50〕，〔40，70〕，〔60，50〕，〔60，70〕，〔50，70〕共10个两组数据其预测值与实际值之差绝对值都超过5：〔60，50〕所以至少有一组数据其预测值与实际值之差绝对值不超过5概率为19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD中点，点M在线段PD上．〔Ⅰ〕求证：EF⊥平面PAC；〔Ⅱ〕如果直线ME与平面PBC所成角与直线ME与平面ABCD 所成角相等，求值．【考点】直线与平面所成角；直线与平面垂直判定．【分析】〔I〕由平行四边形性质可得AB⊥AC，即EF⊥AC，由面面垂直性质得出PA⊥平面ABCD，故PA⊥EF，故EF⊥平面PAC；〔II〕以A为原点建立空间直角坐标系，设=λ〔0≤λ≤1〕，求出平面PBC，平面ABCD法向量及坐标，根据线面角相等列方程解出λ．【解答】〔Ⅰ〕证明：∵在平行四边形ABCD中，∠BCD=135°，∴∠ABC=45°，∵AB=AC，∴AB⊥AC．∵E，F分别为BC，AD中点，∴EF∥AB，∴EF⊥AC．∵侧面PAB⊥底面ABCD，且∠BAP=90°，∴PA⊥底面ABCD．又EF⊂底面ABCD，∴PA⊥EF．又∵PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴EF⊥平面PAC．〔Ⅱ〕解：∵PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，∴AP，AB，AC两两垂直，以A为原点，分别以AB，AC，AP为x轴、y轴与z轴建立空间直角坐标系如图：那么A〔0，0，0〕，B〔2，0，0〕，C〔0，2，0〕，P〔0，0，2〕，D〔﹣2，2，0〕，E〔1，1，0〕，∴=〔2，0，﹣2〕，=〔﹣2，2，﹣2〕，，=〔1，1，﹣2〕．设=λ〔0≤λ≤1〕，那么=〔﹣2λ，2λ，﹣2λ〕，∴==〔1+2λ，1﹣2λ，2λ﹣2〕，显然平面ABCD一个法向量为=〔0，0，1〕．设平面PBC法向量为=〔x，y，z〕，那么，即令x=1，得=〔1，1，1〕．∴cos＜，＞==，cos＜＞==．∵直线ME与平面PBC所成角与此直线与平面ABCD所成角相等，∴||=||，即，解得，或〔舍〕．20．直线l：y=x+1，圆O：，直线l被圆截得弦长与椭圆C：短轴长相等，椭圆离心率e=．〔Ⅰ〕求椭圆C方程；〔Ⅱ〕过点M〔0，〕动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径圆恒过定点T？假设存在，求出点T坐标；假设不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线综合问题；直线与圆相交性质．【分析】〔Ⅰ〕由题设可知b=1，利用，即可求得椭圆C方程；〔Ⅱ〕先猜想T坐标，再进展验证．假设直线l斜率存在，设其方程代入椭圆方程，消去y得到关于x一元二次方程，再结合根系数关系利用向量坐标运算公式即可证得．【解答】解：〔Ⅰ〕那么由题设可知b=1，又e=，∴=，∴a2=2所以椭圆C方程是+y2=1．…〔Ⅱ〕假设直线l与y轴重合，那么以AB为直径圆是x2+y2=1①假设直线l垂直于y轴，那么以AB为直径圆是②…由①②解得．由此可知所求点T如果存在，只能是〔0，1〕．…事实上点T〔0，1〕就是所求点．证明如下：当直线l斜率不存在，即直线l与y轴重合时，以AB为直径圆为x2+y2=1，过点T〔0，1〕；当直线l斜率存在，设直线方程为，代入椭圆方程，并整理，得〔18k2+9〕x2﹣12kx﹣16=0设点A、B坐标分别为A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，那么x1+x2=，x1x2=∵=〔x1，y1﹣1〕，=〔x2，y2﹣1〕∴=x1x2+〔y1﹣1〕〔y2﹣1〕=〔k2+1〕x1x2﹣〔x1+x2〕+=∴，即以AB为直径圆恒过定点T〔0，1〕．…综上可知，在坐标平面上存在一个定点T〔0，1〕满足条件．…21．函数f〔x〕=lnx﹣ax2+x，a∈R．〔Ⅰ〕假设f〔1〕=0，求函数f〔x〕最大值；〔Ⅱ〕令g〔x〕=f〔x〕﹣〔ax﹣1〕，求函数g〔x〕单调区间；〔Ⅲ〕假设a=﹣2，正实数x1，x2满足f〔x1〕+f〔x2〕+x1x2=0，证明x1+x2≥．【考点】导数在最大值、最小值问题中应用；利用导数研究函数单调性．【分析】〔1〕先求出a值，然后求原函数极值即可；〔2〕求导数，然后通过研究不等式解集确定原函数单调性；〔3〕结合条件构造函数，然后结合函数单调性得到要证结论．【解答】解：〔Ⅰ〕因为f〔1〕=，所以a=2．此时f〔x〕=lnx﹣x2+x，x＞0，由f'〔x〕=0，得x=1，所以f〔x〕在〔0，1〕上单调递增，在〔1，+∞〕上单调递减，故当x=1时函数有极大值，也是最大值，所以f〔x〕最大值为f〔1〕=0．所以．当a≤0时，因为x＞0，所以g′〔x〕＞0．所以g〔x〕在〔0，+∞〕上是递增函数，当a＞0时，，令g′〔x〕=0，得．所以当时，g′〔x〕＞0；当时，g′〔x〕＜0，因此函数g〔x〕在是增函数，在是减函数．综上，当a≤0时，函数g〔x〕递增区间是〔0，+∞〕，无递减区间；当a＞0时，函数g〔x〕递增区间是，递减区间是．〔Ⅲ〕由x1＞0，x2＞0，即x1+x2＞0．令t=x1x2，那么由x1＞0，x2＞0得，．t＞0可知，φ〔t〕在区间〔0，1〕上单调递减，在区间〔1，+∞〕上单调递增．所以φ〔t〕≥φ〔1〕=1，所以，解得或．又因为x1＞0，x2＞0，因此成立．请考生在第〔22〕、〔23〕、〔24〕三题中任选一题作答，如果多做，那么按所做第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O是△ABC外接圆，AB=BC，AD是BC边上高，AE 是⊙O直径．〔1〕求证：AC•BC=AD•A E；〔2〕过点C作⊙O切线交BA延长线于点F，假设AF=4，CF=6，求AC长．【考点】与圆有关比例线段．【分析】〔Ⅰ〕首先连接BE，由圆周角定理可得∠C=∠E，又由AD 是△ABC高，AE是△ABC外接圆直径，可得∠ADC=∠ABE=90°，那么可证得△ADC∽△ABE，然后由相似三角形对应边成比例，即可证得AC•AB=AD•AE；〔Ⅱ〕证明△AFC∽△CFB，即可求AC长．【解答】〔Ⅰ〕证明：连接BE，∵AD是△ABC高，AE是△ABC外接圆直径，∴∠ADC=∠ABE=90°，∵∠C=∠E，∴△ADC∽△ABE．∴AC：AE=AD：AB，∴AC•AB=AD•AE，又AB=BC…故AC•BC=AD•AE…〔Ⅱ〕解：∵FC是⊙O切线，∴FC2=FA•FB…又AF=4，CF=6，从而解得BF=9，AB=BF﹣AF=5…∵∠ACF=∠CBF，∠CFB=∠AFC，∴△AFC∽△CFB…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．极坐标系极点为直角坐标系原点，极轴为x轴正半轴，两种坐标系中长度单位一样，曲线C极坐标方程为ρ=2〔cosθ+sinθ〕．〔1〕求C直角坐标方程；〔2〕直线l：为参数〕与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|值．【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆位置关系．【分析】〔1〕将极坐标方程两边同乘ρ，进而根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可求出C直角坐标方程；〔2〕将直线l参数方程，代入曲线C直角坐标方程，求出对应t值，根据参数t几何意义，求出|EA|+|EB|值．【解答】解：〔1〕∵曲线C极坐标方程为ρ=2〔cosθ+sinθ〕∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ∴x2+y2=2x+2y即〔x﹣1〕2+〔y﹣1〕2=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔2〕将l参数方程代入曲线C直角坐标方程，得t2﹣t﹣1=0，所以|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f〔x〕=|x﹣1|+|x﹣a|．〔1〕假设a=﹣1，解不等式f〔x〕≥3〔2〕如果∀x∈R，f〔x〕≥2，求a取值范围．【考点】绝对值不等式解法．【分析】〔1〕假设a=﹣1，由绝对值意义求得不等式f〔x〕≥3解集．〔2〕由条件利用绝对值意义求得函数f〔x〕最小值为|a﹣1|，可得|a﹣1|=2，由此求得a值．【解答】解：〔1〕假设a=﹣1，函数f〔x〕=|x﹣1|+|x﹣a|=|x ﹣1|+|x+1|，表示数轴上x对应点到1、﹣1对应点距离之与，而﹣1.2与1.5 对应点到1、﹣1对应点距离之与正好等于3，故不等式f〔x〕≥3解集为{x|≤﹣1.5，或x≥}．〔2〕由于∀x∈R，f〔x〕≥2，故函数f〔x〕最小值为2．函数f〔x〕=|x﹣1|+|x﹣a|表示数轴上x对应点到1、a对应点距离之与，它最小值为|a﹣1|，即|a﹣1|=2，求得a=3 或a=﹣1．。

2016-2017年度第二学期高二文科数学月考试卷命题：袁明星一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}{}|lg 3,|5A x y x B x x ==-=≤，则A B =UA ．RB ． {}|5x x ≥C ．{}|3x x <D ．{}|35x x <≤ 2. 命题：“∀x ＞0，x 2+x ≥0”的否定形式是A ．∀x ≤0，x 2+x ＞0B ．∀x ＞0，x 2+x ≤0C ．∃x 0＞0，x 02+x 0＜0D ．∃x 0≤0，x 02+x 0＞03. “1-4a >”是“关于x 的不等式210ax x -+>恒成立”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.双曲线()222214x y m Z m m +=∈-的离心率为A ．3B ．2 C. 5 D ．35. 变量满足约束条件,则目标函数的最小值为A.2B.4C.5D.66.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.70.35yx =+，则表中m 的值为 3 4 5 62.544.5A ．4B ． 3 C. 3.5 D ．3.157. 已知)2,1(-A ，)1,(-a B ，)0,(b C -三点共线，其中0,0>>b a ，则ab 的最大值是A ．21 B ．41 C ．61 D ．81 8.如图，边长为1的网格上依次为某几何体的正视图、侧视图、俯视图，其正视图为等边三角形，则该几何体的体积为 A ．213π+B ．4233π+ C.3336π+ D ．3333π+ 9. 已知函数()21sin cos 2f x x x x x =+，则其导函数()f x '的图象大致是A ．B ． C. D ．10.将函数()()3sin 222f x x ππθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()(),f x g x 的图象都经过点32P ⎛⎝，则ϕ的值不可能是 A ．34π B ．π C. 74π D ．54π11. 平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面11C B D ,α⋂平面ABCD m =，α⋂平面11ABB A n =，则m ，n 所成角的正弦值为A 3B ．223． 1312.已知函数()()32ln ,5a f x x x g x x x x =+=--，若对任意的121,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有ABCP()()122f x g x -≥成立，则实数a 的取值范围是A ． [)1,+∞B ． ()0,+∞ C. (),0-∞ D ．(],1-∞-二、填空题:本题共4小题,每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，则它的外接球的表面积为 ．14.在ABC ∆中，内角为A ，B ，C ，若sin sin cos A C B =，则ABC ∆的形状一定是15.若向量,a b v v 夹角为3π，且2,1a b ==v v ，则a v 与2a b +v v 的夹角为16.已知实数,a b 满足()ln 130b a b ++-=，实数,c d 满足20d c -=，则()()22a cb d -+-的最小值为三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31379,,,S a a a =成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足()12nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .18. 某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如下表所示：（1）若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取两名学生参加某项活动，问两名学生中有1名男生的概率是多少？（2）有多少的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系？请说明理由. 附： 19. 如图，四边形是菱形，平面//,22,60PD BE AD PD BE DAB ===∠=o ,点F 为PA 的中点.（1）求证：EF ⊥平面PAD ； （2）求点P 到平面ADE 的距离.20.已知抛物线()21:20C y px p =>的焦点为F ，抛物线上存在一点G 到焦点的距离为3，且点G 在圆22:9C x y +=上. （1）求抛物线1C 的方程；（2）已知椭圆()22222:10x y C m n m n+=>>的一个焦点与抛物线1C 的焦点重合，且离心率为12。

2016-2017学年广东省汕头市金山中学高一（下）3月月考数学试卷一、选择题（本大题为单选题，共12题，每小题5分，共60分）1．（5分）在△ABC中，a、b分别为∠A，∠B的对边，已知a＝3，b＝2，A＝60°，则sin B ＝（）A．﹣B．C．D．2．（5分）若cos（2π﹣α）＝，且α∈（﹣，0），则sin（π+α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．3．（5分）在数列{a n}中，a1＝1，a n a n﹣1＝a n﹣1+（﹣1）n（n≥2，n∈N*），则的值是（）A．B．C．D．4．（5分）已知{a n}为等比数列，公比为q，若a2•a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则q＝（）A．B．C．2D．45．（5分）已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101＝0，则有（）A．a1+a101＞0B．a2+a100＜0C．a3+a99＝0D．a51＝516．（5分）某三角形两边之差为2，它们的夹角正弦值为，面积为14，那么这两边长分别是（）A．3和5B．4和6C．6和8D．5和77．（5分）在等差数列{a n}中，a1＝10，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n＝5 时S n取得最大值，则d的取值范围为（）A．B．C．（﹣∞，﹣2]D．8．（5分）数列{a n}满足：a1＝1，a2＝3，a3＝2，a n+2＝a n+1﹣a n，则S2017＝（）A．0B．1C．4D．69．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C＝120°，c＝2a，则（）A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a与b的大小关系不能确定10．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a cos B﹣b cos A＝c，则的值为（）A．2B．﹣2C．4D．﹣411．（5分）若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数y＝f（x）的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y＝f（x）的一对“友好点对”（点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”），已知函数f（x）＝，则此函数的“友好点对”有（）A．0对B．1对C．2对D．3对12．（5分）已知符号函数sgnx＝，f（x）是R上的增函数，g（x）＝f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A．sgn[g（x）]＝sgnx B．sgn[g（x）]＝﹣sgnxC．sgn[g（x）]＝sgn[f（x）]D．sgn[g（x）]＝﹣sgn[f（x）]二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）已知向量＝（1，2），＝（x，﹣4），若∥，则x＝．14．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7＝18，则log3a1+log3a2+…+log3a10＝．15．（5分）已知数列{a n}中，，则数列{a n}的通项公式是a n＝．16．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•＝4，•＝﹣1，则•的值是．三、解答题（共5小题，共70分，必须写出解答过程或文字说明）17．（14分）已知函数，x∈R（1）求f（x）的单调增区间；（2）已知A、B、C是△ABC的内角，且满足，求cos A+cos C的最大值．18．（14分）如图，设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，A＝，c＝6，b＝3，点D在BC边上，且AD＝BD，求AD的长．19．（14分）已知数列{a n}为等差数列，其中a2+a3＝8，a5＝3a2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，设{b n}的前n项和为S n．求最小的正整数n，使得．20．（14分）已知数列{a n}的前n项和，数列{b n}满足，b1＝1（1）分别求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足c n＝a n•b n，T n是数列{c n}的前n项和，若存在正实数k，使不等式对于一切的n∈N*恒成立，求k的取值范围．21．（14分）如果函数f（x）在其定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）为“可分拆函数”．（1）试判断函数是否为“可分拆函数”？并说明你的理由；（2）证明：函数f（x）＝2x+x2为“可分拆函数”；（3）设函数为“可分拆函数”，求实数a的取值范围．2016-2017学年广东省汕头市金山中学高一（下）3月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题为单选题，共12题，每小题5分，共60分）1．（5分）在△ABC中，a、b分别为∠A，∠B的对边，已知a＝3，b＝2，A＝60°，则sin B ＝（）A．﹣B．C．D．【解答】解：∵在△ABC中，a＝3，b＝2，A＝60°，∴由正弦定理得＝得：sin B＝＝＝，故选：C．2．（5分）若cos（2π﹣α）＝，且α∈（﹣，0），则sin（π+α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：cos（2π﹣α）＝cosα＝，∵α∈（﹣，0），∴sinα＝﹣＝＝，sin（π+α）＝﹣sinα＝﹣（）＝故选：C．3．（5分）在数列{a n}中，a1＝1，a n a n﹣1＝a n﹣1+（﹣1）n（n≥2，n∈N*），则的值是（）A．B．C．D．【解答】解：a1＝1，a n a n﹣1＝a n﹣1+（﹣1）n（n≥2，n∈N*），∴a2＝1+1＝2，2a3＝2﹣1，解得a3＝．＝+1，解得a4＝3．则＝．故选：C．4．（5分）已知{a n}为等比数列，公比为q，若a2•a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则q＝（）A．B．C．2D．4【解答】解：∵a2•a3＝a1q•a1q2＝2a1∴a4＝2，∵a4与2a7的等差中项为，∴a4+2a7＝a4+2a4q3＝2×，∴q＝，故选：B．5．（5分）已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101＝0，则有（）A．a1+a101＞0B．a2+a100＜0C．a3+a99＝0D．a51＝51【解答】解：取满足题意的特殊数列a n＝0，即可得到a3+a99＝0故选：C．6．（5分）某三角形两边之差为2，它们的夹角正弦值为，面积为14，那么这两边长分别是（）A．3和5B．4和6C．6和8D．5和7【解答】解：如图所示，假设已知a﹣c＝2，sin B＝，S△ABC＝＝14，∴ac＝35．结合a﹣c＝2，∵a，c＞0，解得a＝7，c＝5故选：D．7．（5分）在等差数列{a n}中，a1＝10，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n＝5 时S n取得最大值，则d的取值范围为（）A．B．C．（﹣∞，﹣2]D．【解答】解：∵等差数列{a n}当且仅当n＝5 时S n取得最大值，∴a5＝10+4d＞0，a6＝10+5d＜0，解得﹣2．∴d的取值范围为﹣2．故选：A．8．（5分）数列{a n}满足：a1＝1，a2＝3，a3＝2，a n+2＝a n+1﹣a n，则S2017＝（）A．0B．1C．4D．6【解答】解：∵a1＝1，a2＝3，a3＝2，a n+2＝a n+1﹣a n，∴a4＝2﹣3＝﹣1，a5＝﹣1﹣2＝﹣3，a6＝﹣2，a7＝1，a8＝3，a9＝2．…．∴a n+6＝a n．则前2017项和S2017＝（a1+a2+…+a6）×336+a1＝0+a1＝1．故选：B．9．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C＝120°，c＝2a，则（）A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a与b的大小关系不能确定【解答】解：由题意得，∠C＝120°，c＝2a，根据正弦定理得，sin C＝2sin A，即2sin A＝，所以sin A＝，又∠C＝120°，所以A＜30°，又B＝180°﹣C﹣A＝60°﹣A＞30°＝A，所以b＞a，故选：B．10．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a cos B﹣b cos A＝c，则的值为（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4【解答】解：由a cos B﹣b cos A＝c及正弦定理可得sin A cos B﹣sin B cos A＝sin C，即sin A cos B﹣sin B cos A＝sin（A+B），即5（sin A cos B﹣sin B cos A）＝3（sin A cos B+sin B cos A），即sin A cos B＝4sin B cos A，因此tan A＝4tan B，所以＝4．故选：C．11．（5分）若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数y＝f（x）的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y＝f（x）的一对“友好点对”（点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”），已知函数f（x）＝，则此函数的“友好点对”有（）A．0对B．1对C．2对D．3对【解答】解：根据题意：当x＞0时，﹣x＜0，则f（﹣x）＝﹣（﹣x）2﹣4（﹣x）＝﹣x2+4x，可知，若函数为奇函数，可有f（x）＝x2﹣4x，则函数y＝﹣x2﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的函数是y＝x2﹣4x由题意知，作出函数y＝x2﹣4x（x＞0）的图象，看它与函数f（x）＝log2x（x＞0）交点个数即可得到友好点对的个数．如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2．即f（x）的“友好点对”有：2个．故选：C．12．（5分）已知符号函数sgnx＝，f（x）是R上的增函数，g（x）＝f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A．sgn[g（x）]＝sgnx B．sgn[g（x）]＝﹣sgnxC．sgn[g（x）]＝sgn[f（x）]D．sgn[g（x）]＝﹣sgn[f（x）]【解答】解：由于本题是选择题，可以采用特殊法，符号函数sgnx＝，f（x）是R上的增函数，g（x）＝f（x）﹣f（ax）（a＞1），不妨令f（x）＝x，a＝2，则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＝﹣x，sgn[g（x）]＝﹣sgnx．所以A不正确，B正确，sgn[f（x）]＝sgnx，C不正确；D正确；对于D，令f（x）＝x+1，a＝2，则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＝﹣x，sgn[f（x）]＝sgn（x+1）＝；sgn[g（x）]＝sgn（﹣x）＝，﹣sgn[f（x）]＝﹣sgn（x+1）＝；所以D不正确；故选：B．二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）已知向量＝（1，2），＝（x，﹣4），若∥，则x＝﹣2．【解答】解：∵向量＝（1，2），＝（x，﹣4），又∵∥，∴1×（﹣4）﹣2•x＝0解得x＝﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7＝18，则log3a1+log3a2+…+log3a10＝10．【解答】解：∵等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7＝18，∴a5a6+a4a7＝2a5a6＝18，∴a5a6＝9，∴log3a1+log3a2+…+log3a10＝log3（a1×a2×a3×…×a10）＝log3[（a1a10）×（a2a9）×（a3a8）×（a4a7）×（a5a6）]＝＝5log39＝10．故答案为：10．15．（5分）已知数列{a n}中，，则数列{a n}的通项公式是a n＝1+．【解答】解：∵a n+1＝+，变形为：a n+1﹣1＝（a n﹣1），∴数列{a n﹣1}是等比数列，a1﹣1＝1，公比为．∴a n﹣1＝，∴a n＝1+，故答案：．16．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•＝4，•＝﹣1，则•的值是．【解答】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，∴＝+，＝﹣+，＝+3，＝﹣+3，∴•＝2﹣2＝﹣1，•＝92﹣2＝4，∴2＝，2＝，又∵＝+2，＝﹣+2，∴•＝42﹣2＝，故答案为：三、解答题（共5小题，共70分，必须写出解答过程或文字说明）17．（14分）已知函数，x∈R（1）求f（x）的单调增区间；（2）已知A、B、C是△ABC的内角，且满足，求cos A+cos C的最大值．【解答】解：（1）令，得∴f（x）的单调增区间是…（5分）（2），即，因为角B是三角形的内角，所以B＝…（6分）∵A+B+C＝π，∴…（7分）∴＝＝＝（10分）∵∴…（11分）∴…（12分）∴最大值为1，即最大值为1 …（14分）18．（14分）如图，设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，A＝，c＝6，b＝3，点D在BC边上，且AD＝BD，求AD的长．【解答】解：∵A＝，c＝6，b＝3，∴在△ABC中，由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2b•c cos∠BAC＝90．∴a＝3，∵在△ABC中，由正弦定理可得：＝，∴sin B＝，∴cos B＝＝，∵过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD＝BD，得：cos∠DAE＝cos B，∴Rt△ADE中，AD＝＝＝．AD的长．19．（14分）已知数列{a n}为等差数列，其中a2+a3＝8，a5＝3a2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，设{b n}的前n项和为S n．求最小的正整数n，使得．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，依a2+a3＝8，a5＝3a2，有，解得a1＝1，d＝2，从而{a n}的通项公式为；（2）因为＝＝﹣，所以＝．令，解得n＞1008，故n的最小值为1009．20．（14分）已知数列{a n}的前n项和，数列{b n}满足，b1＝1（1）分别求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足c n＝a n•b n，T n是数列{c n}的前n项和，若存在正实数k，使不等式对于一切的n∈N*恒成立，求k的取值范围．【解答】解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝4；当n≥2时，＝2n+1．n＝1时满足上式，故；由可知，{b n}是以1为首项，以为公差的等差数列，∴{b n}的通项公式为；（2 ）∵c n＝a n•b n，∴，∴，①，②①﹣②得：，∴．要使得不等式恒成立，即对一切的n∈N*恒成立，∴．令，得当n＝8时，h（n）取得最小值16，此时g（n）max＝2∴k＞2为所求．21．（14分）如果函数f（x）在其定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）为“可分拆函数”．（1）试判断函数是否为“可分拆函数”？并说明你的理由；（2）证明：函数f（x）＝2x+x2为“可分拆函数”；（3）设函数为“可分拆函数”，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）假设f（x）是“可分拆函数”，则存在x0，使得，…（1分）即，而此方程的判别式△＝1﹣4＝﹣3＜0，方程无实数解，所以，f（x）不是“可分拆函数”．…（3分）（2）证明：令h（x）＝f（x+1）﹣f（x）﹣f（1），则h（x）＝2x+1+（x+1）2﹣2x﹣x2﹣2﹣1＝2（2x﹣1+x﹣1），又h（0）＝﹣1，h（1）＝2，故h（0）•h（1）＜0，所以h（x）＝f（x+1）﹣f（x）﹣f（1）＝0在上有实数解x0，也即存在实数x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）成立，所以，f（x）＝2x+x2是“可分拆函数”．…（7分）（3）因为函数为“可分拆函数”，所以存在实数x0，使得＝+，＝×且a＞0，所以，＝，令，则t＞0，所以，a＝，由t＞0得，即a的取值范围是．…（12分）。