广东汕头金山中学2018-2019学度高一下学期年中试题数学

广东汕头金山中学18-19学度高一下学期年中试题-数学高一数学科试卷时量:120分钟总分:150分试卷说明、参考数据与公式略一.选择题(在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.共10小题,每题5分,共50分) 1.集合(){}{}0,03≤=≥-=x x B x x x A ，那么B A ⋂等于()A.0B.30≤≤x C.{}0 D.{}30≤≤x x2.函数)2cos(x y -=π的一个单调递增区间为()A.,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭B.()0,π C.3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(),2ππ3.假设,1=+b a 那么恒有() A.41≥ab B.41≤ab C.41≥abD.122≥+b a 4.在等差数列{}na中,621118+=a a,那么数列{}n a 的前9项和9S 等于() A.24B.48C.72D.1085.在ABC ∆中,B A ,是三角形的内角,且︒=90A ,假设)3,(sin ),1,2(B AC AB =-=,那么角B 等于()A.︒30B.︒60C.︒60或︒120D.︒30或︒150 6.等比数列{}n a 的前n 项和t S n n+=+12,那么常数t 的取值是()A.2B.2-C.1D.1- 7.数列{}na 中,11=a ,121++=+n a a n n ,那么通项n a 等于()A.⎩⎨⎧≥++==2,121 ,12n n n n a n B.122-=n a n C.12-=n a n D.2n a n =8.在200m 高的山顶上,测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别为30o 和60o ,那么塔高为() A.m3400B.m 33400 C.m33200 D.m 32009.假设α是第三象限的角,且2tan =α,那么=+)4sin(πα()A.1010- B.1010 C.10103- D.10103 10.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x 单调递减，假设数列{}n a 是等差数列，且30a <，那么()()()()()12345f a f a f a f a f a ++++的值〔〕A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正可负二.填空题〔本大题共4小题,每题5分，共20分〕 11.设1>x ,那么12-+x x 的最小值是*****. 12.在R 上定义运算@/:x @/y x xy y ++=2,那么满足a @/()02<-a 的a 的解集是*****.13.商家通常依据“乐观系数准那么”确定商品销售价格，即依照商品的最低销售限价a ,最高销售限价()a b b > 以及常数x 〔10<<x 〕确定实际销售价格()a b x a c -+=,那个地方,x 被称为乐观系数.经验说明，最正确乐观系数x 恰好使得()a c -是()c b -和()a b -的等比中项，据此可得，最正确乐观系数x 的值等于__*****__. 14.等差数列{}na的前n 项和为n S ,15,1054≤≥S S ,那么5a 的最大值是*****.三.解答题〔15,16小题各12分,17,18,19,20小题各14分,共80分.〕 15.在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2a =，3c =，1cos 4B =、1)求b 的值；2)求sin C 的值、 16.()a ax x x f 62--=,其中a 是常数.1)假设()0<x f 的解集是{}63<<-x x ,求a 的值,并解不等式()0≥-ax x f .2)假设不等式()0<x f 有解,且解区间长度不超过5个长度单位,求a 的取值范围.17.正项等差数列{}na 的前n 项和为n S ，假设123=S ，且1,,2321+a a a 成等比数列.1)求{}na的通项公式n a 和n S ；2)记nn na b2=的前n 项和n T ,求n T . 18.设y x ,满足约束条件:⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥102 21 1y x x y x 的可行域为M1)在所给的坐标系中画出可行域M (用阴影表示,并注明边界的交点或直线); 2)求x y A 2-=的最大值与22y x B +=的最小值; 3)假设存在正实数a ,使函数⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42cos 42sin 2ππx x a y 的图象通过区域M 中的点,求这时a 的取值范围.19.某企业投资1千万元于一个高科技项目,每年可获利25%.由于企业间竞争激烈,每年底需要从利润中取出资金100万元进行科研、技术改造与广告投入,方能保持原有的利润增长率.设通过n 年后该项目的资金为na 万元.1)写出数列{}na的前三项321,,a a a ,并猜想写出通项n a .2)求通过多少年后，该项目的资金能够达到或超过2千万元. 20.数列{}{}nn b a ,满足:2111,1,41nn n n n a b b b a a -==+=+1)求321,,b b b 的值；2)求证数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n b 是等差数列，并求数列{}nb的通项公式；3)设,13221++++=n n n a a a a a a S 假设nn b aS <4恒成立,求实数a 的取值范围.第2页〔共7页〕汕头市金山中学2017—2018学年度第二学期期中考试2018-04-18 高一数学科试卷答题纸时量:120分钟总分:150分班级:学号:姓名:评分:一、选择题〔共10小题，每题5分，共50分〕11.;12.;13.14..【三】解答题〔15,16小题各12分,17,18,19,20小题各14分,共80分.〕 15.第3页〔共7页〕16.解:⒘解:第4页〔共7页〕班级:学号:姓名:18.解:1〕阴影部分如图第5页〔共7页〕19.第6页〔共6页〕班级:学号:姓名:20.第7页〔共7页〕高一数学科试题答案三、选择题〔共10小题，每题5分，共50分〕题号 1 2 3 4 5 67 8 9 10 答案 C A B D B BDACA四、填空题〔共4小题，每题5分，共20分〕 11.221+12.{}12<<-x x 13.251+-14.5【三】解答题〔15,16小题各12分,17,18,19,20小题各14分,共80分.〕 15.解：〔I 〕由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-，………………………………………2分得222123223104b =+-⨯⨯⨯=，…………………………………………………4分∴b =6分〔II 〕方法1：由余弦定理，得222cos 2a b c C ab+-=，………………………………8分==，………………………10分∵C 是ABC ∆的内角，∴sin C ==、………………………12分方法2：∵1cos 4B =，且B 是ABC ∆的内角，∴sin B ==、……8分依照正弦定理，sinb c B =，……………………………………………………10分得3sin sin 8c B C b ⨯===、……………………………………12分 16.解:1)∵()062<--=a ax x x f 的解集是{}63<<-x x∴062=--a ax x 的两根是6,321=-=x x∴636,632121⨯-=-=⋅+-==+a x x a x x ∴3=a∴不等式()031832≥---=-x x x a x x f ()03)3(631832≥-+-=---x x x x x x ∴不等式()0≥-ax x f 的解集是{}633≥<≤-x x x 或2〕设()062<--=a ax x x f 的解集是{}21x x x x <<依题意()⎪⎩⎪⎨⎧≤--=⋅=+>+-=∆56 ,024*******x x a x x a x x a a∴由0242>+a a 得0>a 或24-<a由512≤-x x 得()25421221≤-+x x x x∴025242≤-+a a 125≤≤-a∴2425-<≤-a 或10≤<a ∴所求a 的取值范围是[)(]1,024,25⋃--⒘解:1)∵数列{}na是等差数列∴12323213==++=a a a a S ∴d a a +==124∵1,,2321+a a a 成等比数列∴)1(23122+=a a a ∴)12(21611++=d a a ⎩⎨⎧=+++=4)12(216111d a d a a 解得⎩⎨⎧==311d a 或⎩⎨⎧-==481d a 0>n a ∴⎩⎨⎧-==481d a 不合要求舍去.∴⎩⎨⎧==311d a 检验满足要求.∴2232)1(,23)1(211n n d n n na S n d n a a n n -=-+=-=-+=2)∵nn n n n a b 2232-==∴n n n T 223 27242132-++++=∴1432223253272421 21+-+-++++=n n n n n T∴1432223)21212121 3(21 21+--+++++=n n n n T11122232141621223211212121321+++--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+=---⨯-⨯+=n n n n n n ∴nn n T 2434+-=18.解:1〕阴影部分如图 由⎪⎩⎪⎨⎧==x y x 211，得⎪⎩⎪⎨⎧==211y x ∴)21,1(A由⎩⎨⎧=+=1021y x x ，得⎩⎨⎧==81y x ∴)8,1(B由⎪⎩⎪⎨⎧==+x y y x 21102，得⎩⎨⎧==24y x ∴)2,4(c可行域M 为如图ABC ∆ 2〕∵21=AC k又∵x y A 2-=∴A A x y ,2+=是y 轴的截距，212=>=ACk k ∴过点)8,1(B 时，6128=⨯-=最大A∵22y x B +=是表示区域M 上的点),(y x 到原点O )0,0(距离的平方.如图)21,1(A 使所求距离的平方最小，∴4521122=⎪⎭⎫⎝⎛+=最小B . 3〕∵0>axa x a x x a y cos )2sin()42cos()42sin(2=+=++=πππ 过区域M 中的点，而区域中41≤≤x 又∵0>a ，函数x a y cos =图象过点,421),0,2(<<ππ 当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23,2ππx 时，423 ,0><πy ∴满足x a y cos =过区域M 中的点，只须图象与射线)21(,1≥=y x 有公共点.∴只须1=x 时,1cos 21211cos ≥∴≥a a∴所求a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,1cos 21a .19.解:1〕依题意⎪⎭⎫⎝⎛+⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-⨯=-⨯=451100********* ,1004510231231a a a⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-⨯=2332345451100451010045a a猜想⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-12345454511004510n nn a4004560045145110045103+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=nnn2〕由2000≥n a ，得200040045600≥+⎪⎭⎫⎝⎛⨯n∴3845≥⎪⎭⎫ ⎝⎛n∵x y ⎪⎭⎫⎝⎛=45在()+∞∞-,上单调递增，估算38454<⎪⎭⎫ ⎝⎛，38455>⎪⎭⎫⎝⎛∴5≥n答：要通过5年,该项目的资金超过2千万元. 20、解：〔1)11(1)(1)(2)2n n n n n n n nb b b a a b b b +===---＋∵1113,44a b ==∴2345,,56b b ==……………3分〔2〕∵11112n n b b +-=--∴12111111n n n n b b b b +-==-+---∴数列{11n b -}是以－4为首项，－1为公差的等差数列。

高一（文科）数学期中考试（考试时间120分钟，满分150分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数()3g x x =+的定义域为 （ ）A ．{3x x ≥-} B ．{3x x >-} C ．{3x x ≤-} D ．{3x x <-}2．已知函数),1(log )(2+=x x f 若()1,f α= α=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．某商品销售量y （件）与销售价格x （元/件）负相关，则其回归方程可能是 （ ） A ．^10200y x =-+ B ．^10200y x =+ C ．^10200y x =-- D ．^10200y x =-4．一个单位有职工120人，其中业务人员60人，管理人员40人，后勤人员20人，为了了解职工健康情况，要从中抽取一个容量为24的样本，如用分层抽样，则管理人员应抽到的人数为 （ ） A ．4 B ．12 C ．5 D ．85．设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，b x x f x++=22)(（b 是常数），则=-)1(f （ ） A. 1 B. 1- C.3 D.3-6．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是 （ ）A ．91.5和91.5B ．91.5和92C ．91和91.5D ．92和92 7. )611sin(π-= （ ） A.21- B.21 C.23 D.23-8．如图是一正方体被过棱的中点M 、N 和顶点A 、D 、C 1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为 （ ）A ．B ．C ．D ．9．如果执行右图的程序框图，若输入6,4n m ==，那么输出的p 等于（ ）A ．720 B.360 C. 240 D ．12010．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y ＝f (x )，一种是平均价 格曲线y ＝g (x )(如f (2)＝3表示开始交易后第2小时的即时价格为3元；g (2)＝4表示开始交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为4元).下面所给出的四个图象中，实线表示y ＝f (x )，虚线表示y ＝g (x )，其中可能正确的是 （ ）A ．B ．C ．D ．二．填空题：本大题共5小题．每小题5分，满分25分.11．小明的自行车用的是密码锁，密码锁的四位数密码由4个数字8,6,4,2按一定顺序构成(数字不能重复)，小明不小心忘记了密码中4个数字的顺序，则随机输入由8,6,4,2组成的一个四位数，不能打开锁的概率是_____12．若圆心在x 的圆O 位于y 轴左侧， 且与直线0x y +=相切，则圆O 的方程是 ． 13．定义函数CONRND(,a b )是产生区间(,a b )内的 任何一个实数的随机数函数.如CONRND(-1,1)是随机产 生区间（-1，1）内的任何一个数，如图所示的程序框图 可用来估计π的值.现在N 输入的值为1200,结果m 的输 值为257,则由此可估计π的近似值为 .（保留四位有效数字）14．今年一轮又一轮的寒潮席卷全国.某商场为了了解 某品牌羽绒服的月销售量y （件）与月平均气温()x C 之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平 均气温，数据如下表： 由表中数据算出线性回归方程.气象部门预测下个月的平均气温约为6C ，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量的件数约为 .参考公式：线性回归系数1221,ni ii nii x y nx yb a y bx xnx==-==--∑∑，ˆybx a =+。

2018级高一第二学期月考数学科试卷一.选择题(每小题5分)1.已知集合,,则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式得到集合，然后可求出．【详解】由题意得，∴，∴．故选C．【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的补集、交集运算，解题的关键是正确求出集合和熟记集合运算的定义，属于基础题．2.已知角终边上一点，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值．【详解】∵角终边上一点，∴，，，则，故选C．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3.设,向量,,则( )A. 5B.C.D. 10【答案】C【解析】【分析】根据向量的垂直求出，再由向量的共线求出，进而得到的坐标，于是可得所求．【详解】∵,，∴，解得．∵,,∴，解得．∴，∴，∴．故选C．【点睛】解答本题的关键是求出向量的坐标，其中向量的垂直和共线是解题的突破口，考查对向量有关概念的掌握和计算能力，属于基础题．4.已知函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先计算出的值，即可求出结果.【详解】因为，所以，所以.故选B【点睛】本题主要考查分段函数求值的问题，由内向外逐步代入即可求出结果，属于基础题型.5.已知函数，将函数的图象向右平移个单位，得到数的图象，则函数图象的一个对称中心是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】先对函数化简，然后利用三角函数的平移关系求出的解析式，结合三角函数的对称性进行求解即可。

【详解】，将函数的图象向右平移个单位，得到数的图象，即，由，得，，当时，，即函数的一个对称中心为，故选：C．【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换和性质，求出函数的解析式以及利用三角函数的对称性是解决本题的关键。

6.设等差数列的前n项和为，若，，则( )A. 63B. 45C. 39D. 27【答案】C【解析】【分析】设等差数列的首项为，公差为d，由题意列方程组求出、d，再计算的值．【详解】设等差数列的首项为，公差为d，由，，得，解得，；．故选：C．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式应用问题，是基础题．7.设等比数列的前项和记为,若,则( )A. B. C. D.【解析】【分析】根据等比数列前项和的性质求解可得所求结果．【详解】∵数列为等比数列，且其前项和记为，∴成等比数列．∵，即，∴等比数列的公比为，∴，∴，∴．故选A．【点睛】在等比数列中，其前项和记为，若公比，则成等比数列，即等比数列中依次取项的和仍为等比数列，利用此性质解题时可简化运算，提高解题的效率．8.函数（且）的图象可能为（）【答案】D【解析】因为，故函数是奇函数，所以排除A，B；取，则，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.9.如图，圆周上按顺时针方向标有，，，，五个点.一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点.若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则下一次跳两个点.该青蛙从这点跳起，经次跳后它将停在的点是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由起跳，是奇数，沿顺时针下一次只能跳一个点，落在上由起跳，是奇数，沿顺时针下一次只能跳一个点，落在上是偶数，沿顺时针跳两个点，落在上由起跳，是偶数，沿顺时针跳两个点，落在上，周期为，经次跳后它将停在的点对应的数为故选10.设数列的前项和为,且,为常数列,则通项为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知，∴S n－1＋(n－1)a n－1＝2，(n≥2)以上两式相减整理得(n＋1)a n＝(n－1)·a n－1，∴．∴，当n＝1时，a1＝1满足上式．∴．选B．点睛：数列的通项a n与前n项和S n的关系是，当n＝1时，a1若适合，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项a n；当n＝1时，a1若不适合，则用分段函数的形式表示．11.已知定义域为的函数满足，当时，，设在上的最大值为，且的前项和为，若对任意的正整数均成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的解析式，求得当时，的最大值为，再根据，利用归纳法，得到当时，的最大值为，由等比数列的前n项和公式，求得，根据，即可求解，【详解】由题意，可得当时，；时，，∴当时，的最大值为；又由，∴当时，的最大值为；当时，的最大值为，…，所以当时，的最大值为，由等比数列的前n项和公式，得.若对任意的正整数成立，则，故选B.【点睛】本题主要考查了数列与函数的综合应用，其中解答中根据分段函数的解析式，利用归纳法得到数列的通项公式，再利用等比数列的求和公式，列出不等式求解是解答的关键，试题有一定的综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力．12.已知直线与函数相邻两支曲线的交点的横坐标分别为,,且有,假设函数的两个不同的零点分别为,,若在区间内存在两个不同的实数,,与,调整顺序后,构成等差数列,则的值为( )A. 或B. 或C. 或或不存在D. 或或不存在【答案】C【解析】【分析】由可得函数的周期为，所以，故，然后再求出，根据题意求出后可得所求结果．【详解】由题意及可得函数的周期为，∴，∴．由，得，又,，∴．由题意得存在实数，与调整顺序后构成等差数列．（1）当公差时．四个数所构成的等差数列共有以下六种：①；②；③；④；⑤；⑥．经检验可得①③⑤⑥四种情形不成立．对于，可得公差，故，当时，；当时，．对于，可得公差，故，当时，由于，故正切值不存在；当时，由于，故正切值不存在．（2）当公差时，同样有类似的结论．综上可得的值为或或不存在．故选C．【点睛】解答本题的关键是分类讨论四个数成等比数列的各种情形，然后根据条件进行排除进而得到的值，解题的基础是正切函数的性质，考查综合运用知识解决问题的能力，难度较大．二.填空题(每小题5分)13.的内角的对边分别为，已知,,，则______．【答案】【解析】【分析】由余弦定理可得cos B，利用已知整理可得3a2﹣8a﹣3＝0，从而解得a的值,从而可得A. 【详解】∵b，c＝2，cos B，∴由余弦定理可得：cos B，整理可得：3a2﹣8a﹣3＝0，∴解得：a＝3或（舍去）．∴满足，∴，故答案为．【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．14.在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,,外接圆的半径为3，则_____【答案】3【解析】【分析】首先对通分化简，再根据余弦定理即可求出，进而求出，然后再根据外接圆半径和正弦定理，即可证明结果.【详解】由题意可得，根据余弦定理可知，所以，根据正弦定理可得，所以.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余项定理的应用，属于基础题.15.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分．【答案】【解析】【分析】根据题中所给角度求出三角形ABC中的三个内角大小，再由正弦定理即可得解.【详解】由已知得由正弦定理可得，所以海轮的速度为海里/分．故答案为.【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用．考查了学生分析问题和解决实际问题的能力．16.已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】可得为偶函数，且在x＞0时单调递增，可得等价于，结合，解不等式可得的取值范围.【详解】解：由，可得，可得，故为偶函数，由，设g(x)=,h(x)=,可得= g(x) h(x)，当x＞0时，由对勾函数性质可得，g(x)单调递增；同理当x＞0时，可得h(x)单调递增，可得当，单调递增又因为为偶函数，可得当时，可得，，，，可得：，当时，可得，，故可得的取值范围是，故答案：【点睛】本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，函数恒成立的问题，是函数图像与性质的综合应用，难度中档.三．解答题17.在中，角所对的边分别为，且.求角的值；若的面积为，且，求的周长.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】1由利用正弦定理得，再结合得出；2由三角形面积公式可得，中，由余弦定理得，从而可得结果．【详解】()由正弦定理：，可得又因为，所以，，因为，所以．2因为，所以，中，由余弦定理，，则，故，所以的周长为．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．应用余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 18.已知数列的前项和为，，且，，是等差数列的前三项.（1）求数列，的通项公式；（2）记，，求数列的前项和.【答案】（1）,（2）【解析】【分析】（1）利用与的关系将式子转化得，再根据条件求出，从而证明为等比数列，求出其通项.再利用等差数列通项公式求出的通项.（2）利用错位相减法即可求和.【详解】（1）∵当时，两式相减得，即.又，，成等差数列∴数列是首项为2公比为2的等比数列∴数列的通项公式为.则，∴数列是首项为1，，公差为2的等差数列，∴数列的通项公式为.（2）由（1）知，∴两式相减得∴∴即∴∴数列的前项和【点睛】主要考查数列通项的求解以及前项和的求解，属于中档题.1.利用与的关系求数列通项的基本步骤：（1）当时，求出；（2）当时，利用即可转化为递推公式求解通项.（3）检验时是否符合.2.错位相减法的基本步骤：（是等差数列，是等比数列，公比为）：（1）写：；（2）错位：；（3）相减：；（4）化简19.的内角的对边分别为，已知成等差数列.（1）求角；（2）若为中点，求的长.【答案】（1） (2)【解析】【分析】（1）由等差数列性质得到，，结合正弦定理可得，利用展开并化简可求出，即可求出角；(2)利用余弦定理可先求出与，然后在中利用余弦定理即可求出.【详解】（1）成等差数列，则，由正弦定理得：，，，即，因为，所以，又，.（2）在中，，，即，或（舍去），故，在中，在中，，. 【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的运用，利用正弦定理进行边角转化与与余弦定理进行求值计算是本题的关键点，属于中档题。

2018-2019学年广东省佛山一中、珠海一中、金山中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3- B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5【答案】C【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C2．若sin 0α<，且tan 0α>，则α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】C【解析】sin 0α<，则α的终边在三、四象限；tan 0α>则α的终边在三、一象限，sin 0α<，tan 0α>，同时满足，则α的终边在三象限．3．函数()xf x 23x 7=+-的零点所在的一个区间是( )A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】利用零点存在定理可判断零点所在的区间. 【详解】()f x 为R 上的增函数，又()35120, 2.8 2.50.3022f f ⎛⎫=-=-=> ⎪⎝⎭，故零点所在对的区间为 31,2⎛⎫⎪⎝⎭，选C ． 【点睛】不可解方程的零点所在区间应该通过零点存在定理来寻找，一般地要先考虑函数的单调性，再选择合适的区间(),a b ，使得()()0f a f b <，其中,a b 要依据解析式的形式来选取（()(),f a f b 要容易计算）.4．已知432a =，254b =，1325c =，则（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<【答案】A【解析】先将b a 和转换为同为2为底的指数，422335244a b ==>=，a 和c 可以转换为指数相同1223332554c a ==>=．所以b a c <<． 【详解】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ． 【点睛】1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b.规律：在y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．属于较易题目．5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数.若(1)1f =-，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 取值范围是（ ） A ．[2,2]- B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D【解析】根据奇函数的性质由(1)1f =-，可以求出(1)f -的值，再利用函数的单调性结合已知1(2)1f x -≤-≤，可以求出x 取值范围. 【详解】()f x Q 为奇函数，()()f x f x ∴-=-. (1)1f =-Q ，(1)(1)1f f ∴-=-=.故由1(2)1f x -≤-≤，得(1)(2)(1)f f x f ≤-≤-. 又()f x 在(,)-∞+∞单调递减，121x ∴-≤-≤，13x ∴≤≤.故选：D 【点睛】本题考查了利用奇函数的单调性求解不等式问题，考查了数学运算能力. 6．已知1sin23α=，则2cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．16 B ．13C ．23D ．56【答案】C【解析】运用两角差的余弦公式展开后再计算平方的结果，结合已知条件得到答案 【详解】222211cos sin 422cos cos sin πααααααα⎫⎛⎫-==++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 11222sin α=+， 123sin α=Q ，21124263cos πα⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭，故选C 【点睛】本题主要考查了两角差的余弦公式以及二倍角公式，熟练运用公式来解题是关键，较为基础7．等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( ) A ．－24B ．－3C ．3D ．8【答案】A【解析】根据等比中项的性质列方程，转化为1,a d 的形式，由此解得d 的值，进而求得数列{}n a 的前6项和. 【详解】设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得2326a a a =⋅，即(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )，解得d＝－2或d ＝0(舍去)，又a 1＝1，∴S 6＝6×1＋652⨯×(－2)＝－24. 故选：A 【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列通项公式的基本量计算，属于基础题. 8．圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ） A ．43-B ．34-C ．3D ．2【答案】A【解析】试题分析：由2228130x y x y +--+=配方得22(1)(4)4x y -+-=，所以圆心为(1,4)，因为圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，所以224111a a +-=+，解得43a =-，故选A.【考点】 圆的方程，点到直线的距离公式【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．9．已知等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式2120dx a x +≥的解集为[0,9]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值的正整数n 的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】B【解析】试题分析：∵关于x 的不等式2120dx a x +≥的解集为[]0,9，∴，分别是一元二次方程的两个实数根，且．∴，可得：，∴．∴，可得：，．∴使数列{}n a 的前项和n S 最大的正整数的值是．故选B ．【考点】等差数列的前项和.10．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行的棱有（ ） A ．0条 B ．1条C ．2条D ．0条或2条【答案】C【解析】考虑特殊情况，作正四面体进行考虑，明显可见，三棱锥中与平面α平行的棱有2条 【详解】因为平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形，所以该三棱锥中与平面α平行的棱有2条，故选C. 【点睛】本题考查线面平行的关系，属于简单题11．正方形ABCD 边长为2，点E 为BC 边的中点，F 为CD 边上一点，若5AF AE ⋅=u u u r u u u r，则AF =u u u r（ ）A ．5B 17C 210D ．52【答案】D【解析】设DF kDC =u u u r u u u r，把,AE AF u u u r u u u r 都用,AB AD u u u r u u u r 表示并运算，由已知求出k ，然后可求得AF u u u r ．【详解】设DF kDC =u u u r u u u r ，则AF AD DF AD kDC AD k AB =+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，1122AE AB BE AB BC AB AD =+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以1()()2AE AF AB AD k AB AD ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2211(1)4222k AB AD k AB AD k =+++⋅=+u u u r u u u r u u ur u u u r ，所以425k +=，34k =，所以33242DF =⨯=u u u r ，52AF ===u u u r．故选：D ． 【点睛】本题考查求向量的模，解题关键是选取基底，把向量用基底表示出来． 12．已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且cos cos C A =，点M 在边AC上，且cos 7AMB ∠=-，BM =AB =（ ） A ．4 B ．2CD【答案】A【解析】根据正弦定理可通过边角关系式求得sin A ；再利用同角三角函数关系求得sin AMB ∠；再次利用正弦定理求得AB .【详解】由正弦定理可知：cos cos C A =cos 2sin cos sin A C B A A C =()2sin cos A C B A ⇒+=2sin cos B B A =cos A ⇒=1sin 2A ⇒=cos AMB ∠=sin AMB ⇒∠= 在AMB ∆中，sin sin BM AB A AMB=∠2=解得：4AB =本题正确选项：A 【点睛】本题主要考察正弦定理解三角形和边角关系式的化简，关键是将边角关系式中的边化成角的关系，从而能够得到所需的三角函数值.13．将偶函数())cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ=+-+<<的图像向右平移π6个单位，得到()y g x =的图像，则()g x 的一个单调递减区间（ ） A ．,36ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．7,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】首先化简函数()f x 的解析式，然后结合平移变换的结论得到()g x 的解析式，最后确定其单调区间即可. 【详解】由函数的解析式可得：())cos(2)2sin 26f x x x x πϕϕϕ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭， 函数为偶函数，则0x =时，262x k ππϕπ+-=+，即()23k k Z πϕπ=+∈， 令0k =可得()20,3πϕπ=∈， 故2()2sin 22sin 22cos 2362f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 图像向右平移π6个单位，可得()2cos 22cos 2636g x x f x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎝⎦⎪⎭，函数的单调递减区间满足：2223k x k ππππ≤-≤+，解得：()263k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 当0k =时，单调递减区间为2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故选项B 正确， 其余选项无法找到整数k 满足所给的区间. 故选：B .【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性，三角函数的平移方法，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当1[]0,x ∈时，()f x =12()()g x f x x =--在区间[]4,8-上所有零点之和为( ) A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】A【解析】根据的奇偶性和对称性，推出函数的周期性，根据函数与方程之间的关系，转化为两个函数交点问题，利用对称性进行求解即可． 【详解】解：∵奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，∴()()()42f x f x f x +=-+=，即()f x 是周期为4的周期函数， 同时函数()f x 关于1x =对称， ∵若10x -≤≤，则01x ≤-≤，∴()()f x f x -==-即()f x =10x -≤≤，若12x ≤≤，则120x -≤-≤，021x ≤-≤此时()()2f x f x =-=，12x ≤≤， 若23x ≤≤，则021x ≤-≤，120x -≤-≤此时()()2f x f x =-=23x ≤≤，由()()102g x f x x =-=-得()12f x x =-， 作出函数()f x 与12y x =-，在[]3,6-上的图象，由图象知两个函数图象有4个交点， 且四个交点，两两关于点()2,0对称， 设彼此对称的交点横坐标为a ，b ，c ，d ， 则22a b +=，22c d+=，得4a b +=，4c d +=， 即448a b c d +++=+=，函数()()12g x f x x =--在区间[]4,8-上所有零点之和为8， 故选A ．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件求出函数的周期，利用数形结合转化为两个函数的交点问题是解决本题的关键．二、填空题15．已知向量()1,3a =r ，()2,1b =--r ，()1,2c r =，若向量a kb +r r 与向量c r 共线，则实数k 的值为______． 【答案】13-【解析】先由()1,3a =v ，()2,1b =--v 得出向量a kb +v v 的坐标表示，再由向量a kb +v v 与向量c v共线，即可求出结果. 【详解】因为向量()1,3a =v ，()2,1b =--v ，所以()123a kb k k +=--v v ，；又()2,4c =v，向量a kb+v v 与向量c v 共线，所以()()412230k k ---=，解得13k =-. 故答案为13-【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，熟记共线向量定理即可，属于基础题型. 16．已知0x >，0y >2是2x 与4y 的等比中项，则12x y+最小值为_________． 【答案】9【解析】根据等比中项定义得出,x y 的关系，然后用“1”的代换转化为可用基本不等式求最小值． 【详解】由题意22242(2)x y x y +⋅==，所以21x y +=，所以121222()(2)5y x x y x y x y x y +=++=++22529y x x y≥+⋅=，当且仅当22y x x y =，即13x y ==时等号成立． 所以12x y+最小值为9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查等比中项的定义，考查用基本不等式求最值．解题关键是用“1”的代换找到定值，从而可用基本不等式求最值．17．α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β.（2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . （3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号） 【答案】②③④【解析】试题分析：：①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，不能得出α⊥β，故错误； ②如果n ∥α，则存在直线l ⊂α，使n ∥l ，由m ⊥α，可得m ⊥l ，那么m ⊥n ．故正确； ③如果α∥β，m ⊂α，那么m 与β无公共点，则m ∥β．故正确④如果m ∥n ，α∥β，那么m ，n 与α所成的角和m ，n 与β所成的角均相等．故正确 【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系18．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8……该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，则______．【答案】0【解析】利用斐波那契数列的通项公式分析可得：，，，…根据归纳推理可得结果．【详解】 根据题意，，， ，… … 则,故答案为0． 【点睛】本题主要考查数列的求和以及归纳推理的应用，涉及斐波那契数列的性质．归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.19．已知A 是直角坐标平面内一定点，点(0,0)O ，若圆22()(–12)3x y -+=上任意一点M 到定点A 与点(0,0)O 的距离之比是一个定值λ，则这个定值λ的大小是________． 15【解析】设(,)A m n ，(,)M x y ，按距离之比为定值求出M 点的轨迹方程，它就是方程22()(–12)3x y -+=，比较后可得λ． 【详解】设(,)A m n ，(,)M x y ，则2222()()MA x m y n MOx yλ-+-==+，整理得：222222(1)(1)220x y mx ny m n λλ-+---++=，易知210λ-≠，方程化为2222222220111m n m n x y x y λλλ++--+=---，已知圆22()(–12)3x y -+=的一般式方程为222420x y x y +--+=，所以2222222124121mnm n λλλ⎧=⎪-⎪⎪=⎨-⎪⎪+=⎪-⎩，解得2545m n λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩．故答案为：5． 【点睛】本题考查平面轨迹方程，解题时由M 点到,A O 两点距离之比为常数λ，求出M 的轨迹方程，它就是已知圆，比较系数可得结论．20．已知2()log (41)xf x x =+-，则使得2(21)1log 5f x -+<成立的x 的取值范围是______． 【答案】(0,1)【解析】先化简函数()f x ，求出函数()f x 的奇偶性和单调性，然后化简要求的结果()2211log 5f x -+<，最后运用单调性得到不等式，继而求出结果【详解】()()()22222411log 41log 41log 2log log 222x xxxx x xf x x +⎛⎫=+-=+-==+ ⎪⎝⎭, ()()()2log 22x x f x f x --=+=,故()f x 为偶函数 令()20xt t =>，()21log g t t t ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭,当01t <<时，()g t 为减函数 当1t ≥时，()g t 为增函数 则当0x <时，()f x 为减函数 当0x ≥时，()f x 为增函数()2211log 5f x -+<Q ,()221log 51f x -<-,()()2521log 12f x f -<=, 211x ∴-<,1211x -<-<, 1211x -<-<, 022x <<,故01x <<则x 的取值范围是()0,1 【点睛】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性，对于题目中的已知条件和问题进行化简是本题的关键，将其转化为运用函数的单调性解不等式，渗透了转化思想．三、解答题21．在ABC ∆中，60A ∠=o ，3.7c a =()1求sin C 的值；()2若7a =，求ABC ∆的面积．【答案】（1（2）【解析】()1由37c a =，根据正弦定理可得3sin sin 7C A =，从而可求出答案；()2根据同角的三角函数的关系求出cos C ，再根据诱导公式以及两角和正弦公式求出sin B ，利用三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）60A ∠=o ，37c a =，由正弦定理可得33sin sin 77C A ===（2）若7a =，则3c =，C A ∴<，22sin cos 1C C +=Q ，又由()1可得13cos 14C =，()131sin sin sin cos cos sin 2142147B AC A C A C ∴=+=+=+⨯=，11sin 7322ABC S ac B ∆∴==⨯⨯= 【点睛】本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形的面积公式，属于基础题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 22．在数列{}n a 中，首项112a =前n 项和为n S ，且1)21(n n S a n N *+=-∈ （1）求数列{}n a 的通项；（2）若31()2nn n b n a =+⨯⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）132n n n a -=；（2）1(21)334n n n T ++⋅-=．【解析】（1）由1(2)n n n a S S n -=-≥，得数列从第2项开始的递推关系，同时验证3212a a a a =，可得数列{}n a 的通项公式； （2）用错位相减法求n T ． 【详解】（1）因为121n n S a +=-，当2n ≥时，121n n S a -=-，所以1122n n n n n a S S a a -+=-=-，即123n n a a +=，132n n a a +=， 又11221a S a ==-，234a =，2132a a =， 所以{}n a 是等比数列，公比为32q =，所以1111133()222n n n n n a a q ---==⨯=．所以132n n n a -=．（2）由（1）133(1)2(1)32n nn n n b n n -=+⨯⨯=+⋅，23233343(1)3n n T n =⨯+⨯+⨯+++⨯L ，①所以23413233343(1)3n n T n +=⨯+⨯+⨯+++⨯L ，②①－②得23126333(1)3n n n T n +-=++++-+⨯L 13(13)3(1)313n n n +-=+-+⨯-131()322n n +=-+⨯， 所以1(21)334n n n T ++⋅-=．【点睛】本题考查由n S 和n a 的关系求数列的通项公式，考查错位相减法求数列的和．在由1n n n a S S -=-求解时要注意2n ≥，也就关系式中一般不包含1a ，所以1a 与2a 的关系要特意去验证，否则可能出错．23．已知在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AB AC =，E ，F 分别是1AA ，11B C 的中点，（1）求证：BC ⊥平面AEF ﹔（2）判断直线EF 与平面1AB C 的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）平行，证明见解析．【解析】（1）连接1A F 后可证11,A F BC AA BC ⊥⊥，从而可得线面垂直；（2）考虑到平面AA 1F 与平面AB 1C 的交线，E ,F 都是中点，因此取B 1C 中点M ，作辅助线后，可证EFMA 是平行四边形，从而得EF 与MA 平行，即可证得线面平行. 【详解】（1）证明：连接1A F ，因为AB AC =，所以1111A B AC =，F 是11B C 中点，所以111A F B C ⊥，而11//B C BC ，所以1A F BC ⊥，1AA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥，又111AA A F A =I ，所以BC ⊥平面1AFA ，即BC ⊥平面AEF ；（2）直线EF 与平面1AB C 平行．证明如下：如图，取1B C 中点M ，连接,MF MA ，由于F 是11B C 中点，所以111//,2MF CC MF CC =，又E 是1AA 中点，所以111//,2AE CC AE CC =， 所以//,AE MF AE MF =，所以AMFE 是平行四边形，所以//EF AM ，EF ⊄平面1AB C ，AM ⊂平面1AB C ，所以//EF 平面1AB C ．【点睛】本题考查线面垂直的证明和线面平行的证明，掌握线面平行与垂直的判定定理是解题关键．24．已知平面向量()sin x x =a ，()2sin ,sin x x =b ，函数()1f x =⋅+a b . （1）求()f x 的单调区间；（2）在锐角ABC △中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，若()4f A =，2a =，求ABC △周长的取值范围.【答案】（1）单调递增区间是,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，单调递减区间是5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.（2）(2+ 【解析】（1）先求得()f x 的表达式，利用正弦函数的单调区间，求得()f x 的单调区间.（2）根据正弦定理求得,b c 边的表达式，由此求得b c +的取值范围，进而求得a b c ++的取值范围.【详解】解：（1）依题意，()22sin cos 1f x x x x =++cos222sin 226x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭.令222262k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈，解得()f x 的单调递增区间是,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 令3222262k x k πππππ+≤-≤+，k Z ∈. 解得()f x 的单调递减区间是5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）由()4f A =得3A π=.设三角形ABC 的外接圆半径为R ，根据正弦定理得2sin a R A ==. 于是()2sin sin b c R B C +=+2sin sin 33B B π⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3sin 2B B ⎫=+⎪⎪⎝⎭4sin 6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为ABC ∆是锐角三角形且3A π=，所以由2C π<，得232B ππ-<，因此B 的取值范围是,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭.而由2,633B πππ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以()(b c ⎤+∈⎦，所以()(2a b c ⎤++∈+⎦，即ABC ∆周长的取值范围是(2⎤+⎦. 【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角函数单调区间的求法，考查正弦定理解三角形，知识综合较多，属于中档题.25．为弘扬中华传统文化，学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时的“经典名著”和“古诗词”的阅读活动. 根据调查，小明同学阅读两类读物的阅读量统计如下：小明阅读“经典名著”的阅读量()f t （单位：字）与时间t （单位：分钟）满足二次函数关系，部分数据如下表所示；阅读“古诗词”的阅读量()g t （单位：字）与时间t （单位：分钟）满足如图1所示的关系.（1）请分别写出函数()f t 和()g t 的解析式；（2）在每天的一小时课外阅读活动中，小明如何分配“经典名著”和“古诗词”的阅读时间，使每天的阅读量最大，最大值是多少？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）设f （t ）=2a ?t bt +，代入（10，2700）与（30，7500），解得a 与b. 令()g t ＝kt ，(040)t ≤<,代入（40，8000），解得k,再令()g t ＝mt +b ，()4060t ≤≤,代入（40，8000），（60，11000），解得m ，b 的值．即可得到()f t 和()g t 的解析式；（2）由题意知每天的阅读量为()()()h t f t g t =+=28012000t t -++，分020t ≤≤和2060t <≤两种情况，分别求得最大值，比较可得结论.【详解】（1）因为f （0）=0，所以可设f （t ）=2a ?t bt +，代入（10，2700）与（30，7500），解得a=-1,b=280.所以()2280f t t t =-+ ,又令()g t ＝kt ，(040)t ≤<,代入（40，8000），解得k=200,令()g t ＝mt +b ，()4060t ≤≤,代入（40，8000），（60，11000），解得m=150,b=2000，所以 ()()200(040)150********t t g t t t ≤<⎧=⎨+≤≤⎩.（2）设小明对“经典名著”的阅读时间为()060t t ≤≤，则对“古诗词”的阅读时间为60t -，① 当06040t ≤-<，即2060t <≤时，()()()()228020060h t f t g t t t t =+=-++-=28012000t t -++ =()24013600t --+，所以当40t =时，()h t 有最大值13600． 当406060t ≤-≤，即020t ≤≤时，h ()()()()2280150602000t f t g t t t t =+=-++-+=213011000t t -++，因为()h t 的对称轴方程为65t =， 所以 当020t ≤≤时，()h t 是增函数， 所以 当20t =时，()h t 有最大值为13200. 因为 13600>13200，所以阅读总字数()h t 的最大值为13600，此时对“经典名著”的阅读时间为40分钟，对“古诗词”的阅读时间为20分钟． 【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法及应用，二次函数的图象和性质，难度中档．26．已知数列{}n α满足12a =，且2122()n n n a a n N +*+=+∈，2nn na b =（1）求证数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n α的通项公式； （2）记23341121111n n n T b b b b b b b b +=++⋅+⋅⋅⋅⋅L L ，求n T ； （3）是否存在实数k，使得12222(1)(1)(1)5nb b b +++≥L 对任意()n *∈N 都成立？若存在，求实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析，(21)2nn a n =-⋅；（2）n T =21n n +；（3）存在且k ≤．【解析】（1）用等差数列的定义证明{}n b 是等差数列，由n b 可得n a ； （2）用裂项相消法求n T ； （3）假设存在实数k ，使得12222(1)(1)(1)5nb b b +++≥L 对任意()n *∈N 都成立，不等式变形为(2k n ≤+，只要求得()(2f n n =+即可，可先证()f n 是递增的，然后可得最小值．【详解】（1）因为2122()n n n a a n N +*+=+∈，所以11222n n n n a a ++=+，即11222n nn n a a ++-=，所以12n n b b +-=，所以{}n b 是等差数列，公差为2，1112a b == ， 12(1)21n b n n =+-=-，所以2(21)2n n n n a b n ==-⋅．（2）由（1）111111()(21)(21)22121n n b b n n n n +==--+-+， 所以11111111[(1)()()(1)2335212122121n n T n n n n =-+-++-=-=-+++L ． （3）假设存在实数k ，使得12222(1)(1)(1)5nb b b +++≥L 对任意()n *∈N 都成立， 因为2221112121n n b n n ++=+=--， 所以12222(1)(1)(1)n b b b +++=L 3521211321n n n +⨯⨯⨯=+-L ，不等式12222(1)(1)(1)5n b b b +++≥L化为215n +≥，(2k n ≤+，设()(2(2f n n n =+=+ 设1n m ≤<，则02626n m <+<+，1114141n m >>--，110114141n m <-<---<，所以()()f n f m <，所以()f n 是递增数列，min ()(1)83f n f ===，所以3k ≤． 所以存在实数k，使得12222(1)(1)(1)5nb b b +++≥L 对任意()n *∈N 都成立，且3k ≤． 【点睛】本题考查用定义证明等差数列，考查裂项相消法求和，考查与不等式恒成立有关的数列问题．数列不等式恒成立与函数不等式恒成立处理方法是一致的，都可用分离变量法转化为求函数（数列）的最值．27．已知圆O ：222x y +=，直线l ：2y kx =-． （1）若直线l 与圆O 相切，求k 的值；（2）若直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，当AOB ∠为锐角时，求k 的取值范围； （3）若12k =，P 是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC ，PD ，切点为C ，D ，探究：直线CD 是否过定点，若过定点，则求出该定点． 【答案】（1）±1；（2）1k <<-或1k <<（3）直线CD 过定点112-（，）． 【解析】（1）由圆心到切线距离等于半径求参数值； （2）只要圆心到直线的距离大于弦长的一半即可．（3）利用P 点坐标，求出直线CD 的方程，由方程确定是否过定点． 【详解】（1）原点O 到直线l的距离为d ==，=解得1k =±；（2）因为OA OB =，AOB ∠为锐角时等价于r d >>即22222r d r >>，∴244221k >⨯>+，解得1k <<-或1k <<； （3）P 在直线1:22l y x =-上，设00(,)P x y ，则以OP 为直径的圆方程为00()()0x x x y y y -+-=，即22000x y x x y y +--=，同22220020x y x y x x y y ⎧+=⎨+--=⎩，相减得002x x y y +=，这就是直线CD 的方程． 又00122y x =-， ∴001(2)22x x x y +-=，01()2202x y x y +--=，由102220x y y ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩得121x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线CD 过定点112-（，）． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆中定点问题．直线与圆的位置关系一般用几何方法求解，即求出圆心到直线的距离d ，由d 与半径r 的关系确定直线与圆位置关系，而求直线与圆相交弦长就利用垂径定理得垂直后由勾股定理计算．直线过定点问题，采取基本方法，设动点P 的坐标为参数，由这个参数求出直线CD 方程，分析方程，得定点． 28．已知函数()21g x x ax =-+．（1）求()0g x <的解集； （2）已知函数1()ln f x x a x x=-+，当2a >时，1x 、2x 是()y g x =的两个零点，证明：1212()()2f x f x a x x -<--．（可能用到的参考结论：函数12ln y x x x=+-在区间(0,)+∞上单调递减）【答案】（1）当22a -≤≤时，解集为∅，当2a <-或2a >时，解集为．（2）见解析． 【解析】（1）按0∆≤和>0∆分类讨论；（2）首先有12x x a +=，121=x x ,，然后化简不等式1212()()2f x f x a x x -<--为1212ln1x x x x <-，为了进一步化简，不妨设12x x >，则有121x x >>，利用211x x =可化二元不等式为一元不等式11112ln 0x x x -+<，然后利用函数的单调性得证． 【详解】（1）24a ∆=-，当0∆≤，即22a -≤≤时，不等式()0<g x 解集为∅；当>0∆，即2a <-或2a >时，210x ax -+=的根为12a x =，22a x =，不等式的解集为(22a a -．综上，当22a -≤≤时，解集为∅，当2a <-或2a >时，解集为(22a a +．（2）由（1）12x x a +=，121=x x ,1212()()f x f x x x --1122121211ln ln x a x x a x x x x x -+-+-=-=2112112212ln x x x x x a x x x x x -+-+-1212ln2x a x x x =-+-2a <-⇔1212ln 1x x x x <-（∵2a >），不妨设12x x >，则1210x x >>>，211x x =， 1212ln1x x x x <-⇔1122ln x x x x <-，即21111ln x x x <-，11112ln 0x x x -+<，设1()2ln h x x x x=+-，则22211()1(1)0h x x x x '=--=--≤，∴函数1()2ln h x x x x=+-在区间(0,)+∞上单调递减， ∴11x >时，11111()2ln (1)0h x x x h x =-+<=． ∴原不等式成立． 【点睛】本题考查解一元二次不等式，考查不等式的证明．对含参数的不等式一般要分类讨论，分类标准一是最高次项系数，二是判别式∆，三是两根的大小（如果有两根）．解题时要注意．不等式的证明要注意问题的转化与化归．象本题与零点有关的不等式，要利用零点的性质对不等式变形，两个零点（或极值点），在对称的情况下，不妨赋予大小关系（如设12x x >），便于不等式的化简变形．变量较多时要注意消元，减少变量个数，最后应用一元函数的单调性完成问题的解决．。

广东省汕头金山中学2018-2019学年高一10月份月考数学试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知函数的定义域为A，集合，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，；．故选：C．可解出集合A，然后进行交集的运算即可．考查函数定义域的概念及求法，描述法、区间表示集合的定义，以及交集的运算．2.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，或，；；．故选：A．可解出集合A，B，然后进行交集、补集的运算即可．考查描述法、区间的定义，分式不等式的解法，以及补集、交集的运算．3.函数的定义域为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由得或，故选：D．为使得式子有意义，则偶次方根的被开方数一定非负且分母不为0．注意偶次开方一定非负且分母不为04.函数在内递减，在内递增，则a的值是A. 1B. 3C. 5D.【答案】C【解析】解：依题义可得函数对称轴，．故选：C．由题义为二次函数单调性及图象问题，有二次函数在内递减，且在内递增的对称轴方程即可解出a此题重点考查了二次函数的图象及单调性，要求学生熟记二次函数并准确理解二次函数性质．5.函数的定义域为，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：的定义域为；不等式恒成立，或恒成立；时，恒成立，满足题意；时，；解得；综上得，实数a的取值范围为故选：B．根据题意可知，不等式恒成立，或恒成立，可讨论a：时，可得出恒成立；时，需满足，解出a的范围即可．考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式的解集与判别式的关系．6.下列函数中，满足“对定义域内任意的x，均有”的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：满足“对定义域内任意的x，均有”，则为奇函数，对于A选项：为偶函数，故不合题意，对于B选项：为非奇非偶函数，故不合题意，对于C选项：为非奇非偶函数，故不合题意，对于D选项：为奇函数，故符合题意，故选：D．本题结合函数的性质得为奇函数，再逐一检验即可得解．本题考查了函数的奇偶性，属简单题．7.下列函数中，满足“对任意的，，当时，都有”的是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根据题意，若函数满足“对任意的，，当时，都有”，则函数在上为减函数，据此分析选项：对于A，，在上为减函数，符合题意；对于B，，在上为增函数，不符合题意；对于C，，其定义域为，不符合题意；对于D，，其定义域为，不符合题意；故选：A．根据题意，分析可得满足题意的在上为减函数，据此分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．本题考查函数单调性的定义以及判定，关键是掌握函数单调性的定义．8.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则当在R上的解析式为A. B.C. D.【答案】C【解析】解：函数是定义在R上的奇函数，则，设，则，则，又由函数为奇函数，则，则，综合可得；故选：C．根据题意，由奇函数的性质可得，再设，则，结合函数的奇偶性可得在时的解析式，综合可得在R上解析式，综合可得答案．本题考查函数的奇偶性的应用，涉及函数的解析式的求法，属于基础题．9.若函数为奇函数，且在内是增函数，又，则的解集为A. B.C. D.【答案】A【解析】解：因为函数为奇函数，且在内是增函数，，所以或时，；或时，；，即，可知或．故选：A．根据函数为奇函数，且在内是增函数，又，判断函数在R上的符号，根据奇函数把转化为，根据积商符号法则及函数的单调性即可求得的解集．考查函数的单调性和奇偶性，以及根据积商符号法则转化不等式，根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式，体现了数形结合和转化的思想，属中档题．10.已知定义在R上的偶函数，且在上单调递减，则下列选项正确的是A. B.C. D.【答案】D【解析】解：根据题意，在上单调递减；是偶函数；；又；；．故选：D．由在上单调递减即可得出在上单调递减，根据是偶函数，即可得出，从而得出，从而得出．考查偶函数的定义，图象的平移，以及减函数的定义．11.函数，如果不等式对任意的恒成立，则实数m的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：因为，在上为增函数，不等式对任意的恒成立，所以，对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，因为在上为增函数，所以，所以，故选：D．根据在上为增函数，则不等式对任意的恒成立转化为对任意的恒成立，根据函数的单调性，求出函数的最值即可．本题主要考查了恒成立问题的基本解法，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解，属于中档题．12.函数，如果方程有4个不同的实数解，则实数m的取值范围是A. B.C. D.【答案】A【解析】解：函数，函数的图象如右，设，，则关于x的方程有4个不同的实数解，等价于方程有2个不同的实数解，设，可知t的根都小于0，或一个根大于1，一个根小于0，或两个根都大于1，可得或或，解得，或．故选：A．题中原方程有4个不同的实数解，即要求对应于某个常数K，有2个不同的K，先根据题意作出的简图，设，等价于方程有2个不同的实数解，再根据一元二次方程根的分布理论可以得出答案．本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，属于难题，采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.不等式的解集是______．【答案】或【解析】解：根据题意，，且解可得：或，即不等式的解集为或；故答案为：或根据题意，不等式变形可得，解可得不等式的解集，即可得答案．本题考查分式不等式的解法，注意将分式不等式变形为整式不等式，属于基础题．14.已知定义在R上的奇函数满足：对任意的，都有，且当时，，则______．【答案】【解析】解：是奇函数，，且时，；．故答案为：．根据是奇函数，，以及时，，即可得出．考查奇函数的定义，以及已知函数求值的方法．15.已知定义在R上的奇函数满足：当时，，若，则正数a的最小值是______．【答案】8【解析】解：设，则，为定义在R上的奇函数，，且，，画出的图象，如图所示：由图象，可知在，为增函数，在上为减函数，由，可得，解得，故正数a的最小值是8，故答案为：8先求出函数的解析式，再画出函数的图象，结合图象即可求出．本题考查了绝对值函数图象，以及函数的奇偶性和单调性，考查了数形结合的能力，属于中档题16.已知函数在时有最大值1，，并且时，的取值范围为，则______．【答案】【解析】解：根据题意，函数在时有最大值1，则有，即，且，解可得，则，又有时，的取值范围为，则，解可得，在上单调递减，则有，，即有m、n是方程的两个根，，其根为1、、，又有，则，，则；故答案为：．根据题意，结合二次函数的性质分析可得b、c的值，即可得，进而可得，解可得，分析可得在上单调递减，据此可得，，即有m、n是方程的两个根，又有，求出方程的根，分析可得m、n的值，相加即可得答案．本题考查二次函数的性质以及应用，关键是求出m、n的值，属于基础题．三、解答题（本大题共5小题，共70.0分）17.判断下列两个函数在其定义域内的奇偶性，并证明．；．【答案】解：函数是R上的偶函数，证明如下：函数的定义域为R，且，故函数是R上的偶函数；函数是上的奇函数，证明：函数的定义域是且，故函数是上的奇函数．【解析】根据题意，先分析函数的定义域，结合函数的解析式分析可得，即可得结论；根据题意，先分析函数的定义域，结合函数的解析式分析可得，即可得结论．本题考查函数奇偶性的判定，注意分析函数的定义域．18.集合，集合．当时，求；如果，求实数m的取值范围．【答案】解：；当时，；；或；由，得；当时，有，解得：；当时，则：，解得：；综上得：实数m的取值范围是．【解析】可解出，时，得出，然后进行交集、补集的运算即可；根据即可得出，从而可讨论B是否为空集：时，；时，，解出m的范围即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集、补集的运算，空集的定义，以及子集的定义．19.某地要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边所成的角为，考虑到防洪堤的坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为平方米，且高度不低于米，记防洪堤横断面的腰长为米，外周长梯形的上底BC与两腰长的和为米求y关于x的函数关系式，并指出其定义域；当防洪堤的腰长x为多少米时，断面的外周长y最小？求此时外周长的值．【答案】解：由梯形面积，其中，则，由，得，．由，而在单调递减，在单调递增，当且仅当时函数取得最小值．故有在单调递减，在单调递增，当且仅当时函数取得最小值．外周长的最小值为米，此时腰长为米【解析】根据梯形的面积公式以及梯形高度关系，即可建立函数关系根据对勾函数的单调性的性质进行求解即可本题主要考查函数的应用问题，根据梯形的面积公式以及对勾函数单调性是解决本题的关键．20.已知函数．当时，试判断函数在区间上的单调性，并证明；若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：当时，，此时在上单调递增，证明如下：对任意的，，若分分由，故有：，，因此：，，分故有在上单调递增；分方法一：不等式在上恒成立----------------分取对称轴当时，对称轴在上单调递增，，故满足题意----------------分当时，对称轴又在上恒成立，故解得：，----------------分故----------------分综上所述，实数的取值范围为----------------分方法二：不等式在上恒成立----------------分取由结论：定义在上的函数，当且仅当时取得最小值．故----------------分当且仅当，即时函数取得最小值----------------分故，即实数的取值范围为----------------分【解析】当时，，此时在上单调递增，对任意的，，若，利用函数的单调性的定义证明即可．方法一：不等式在上恒成立，取利用二次函数的性质求解即可．方法二：不等式在上恒成立，取利用基本不等式求解函数的最值即可．本题考查函数与方程的应用，函数的单调性以及二次函数的性质，基本不等式的应用，考查计算能力．21.已知函数满足下列三个条件：当时，都有；；对任意的x、，都有．请你作答以下问题：求和的值；试判断函数在R上的单调性，并证明；解不等式．【答案】解：对任意的x、，都有故，又，则，；而，即，同时：，即因此：，；函数在R上单调递增，证明如下：对任意的x、，都有即：即：，先证对任意的，均有：当时，都有，因此，当时，，因此，当时，，由上知：因此：，结论得证；对任意的，，若则一方面：由结论知另一方面由，，由条件知，故有：，则有因此，函数在R上单调递增；由知：对任意的x、，都有故：即，由知函数在R上单调递增，则故不等式的解集为：．【解析】根据题意，用特殊值法分析，令，可得的值，在令，，变形可得答案；根据题意，分析可得，分类讨论可得，进而设，结合函数关系式由作差法分析可得结论；根据题意，分析可得，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数单调性的证明，注意利用特殊值法分析、的值，属于综合题．。

2018级高一第二学期月考数学科试卷一.选择题(每小题5分)1.已知集合,,则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式得到集合，然后可求出．【详解】由题意得，∴，∴．故选C．【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的补集、交集运算，解题的关键是正确求出集合和熟记集合运算的定义，属于基础题．2.已知角终边上一点，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值．【详解】∵角终边上一点，∴，，，则，故选C．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3.设,向量,,则( )A. 5B.C.D. 10【答案】C【解析】【分析】根据向量的垂直求出，再由向量的共线求出，进而得到的坐标，于是可得所求．【详解】∵,，∴，解得．∵,,∴，解得．∴，∴，∴．故选C．【点睛】解答本题的关键是求出向量的坐标，其中向量的垂直和共线是解题的突破口，考查对向量有关概念的掌握和计算能力，属于基础题．4.已知函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先计算出的值，即可求出结果.【详解】因为，所以，所以.故选B【点睛】本题主要考查分段函数求值的问题，由内向外逐步代入即可求出结果，属于基础题型.5.已知函数，将函数的图象向右平移个单位，得到数的图象，则函数图象的一个对称中心是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】先对函数化简，然后利用三角函数的平移关系求出的解析式，结合三角函数的对称性进行求解即可。

【详解】，将函数的图象向右平移个单位，得到数的图象，即，由，得，，当时，，即函数的一个对称中心为，故选：C．【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换和性质，求出函数的解析式以及利用三角函数的对称性是解决本题的关键。

6.设等差数列的前n项和为，若，，则( )A. 63B. 45C. 39D. 27【答案】C【解析】【分析】设等差数列的首项为，公差为d，由题意列方程组求出、d，再计算的值．【详解】设等差数列的首项为，公差为d，由，，得，解得，；．故选：C．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式应用问题，是基础题．7.设等比数列的前项和记为,若,则( )A. B. C. D.【解析】【分析】根据等比数列前项和的性质求解可得所求结果．【详解】∵数列为等比数列，且其前项和记为，∴成等比数列．∵，即，∴等比数列的公比为，∴，∴，∴．故选A．【点睛】在等比数列中，其前项和记为，若公比，则成等比数列，即等比数列中依次取项的和仍为等比数列，利用此性质解题时可简化运算，提高解题的效率．8.函数（且）的图象可能为（）【答案】D【解析】因为，故函数是奇函数，所以排除A，B；取，则，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.9.如图，圆周上按顺时针方向标有，，，，五个点.一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点.若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则下一次跳两个点.该青蛙从这点跳起，经次跳后它将停在的点是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由起跳，是奇数，沿顺时针下一次只能跳一个点，落在上由起跳，是奇数，沿顺时针下一次只能跳一个点，落在上是偶数，沿顺时针跳两个点，落在上由起跳，是偶数，沿顺时针跳两个点，落在上，周期为，经次跳后它将停在的点对应的数为故选10.设数列的前项和为,且,为常数列,则通项为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知，∴S n－1＋(n－1)a n－1＝2，(n≥2)以上两式相减整理得(n＋1)a n＝(n－1)·a n－1，∴．∴，当n＝1时，a1＝1满足上式．∴．选B．点睛：数列的通项a n与前n项和S n的关系是，当n＝1时，a1若适合，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项a n；当n＝1时，a1若不适合，则用分段函数的形式表示．11.已知定义域为的函数满足，当时，，设在上的最大值为，且的前项和为，若对任意的正整数均成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的解析式，求得当时，的最大值为，再根据，利用归纳法，得到当时，的最大值为，由等比数列的前n项和公式，求得，根据，即可求解，【详解】由题意，可得当时，；时，，∴当时，的最大值为；又由，∴当时，的最大值为；当时，的最大值为，…，所以当时，的最大值为，由等比数列的前n项和公式，得.若对任意的正整数成立，则，故选B.【点睛】本题主要考查了数列与函数的综合应用，其中解答中根据分段函数的解析式，利用归纳法得到数列的通项公式，再利用等比数列的求和公式，列出不等式求解是解答的关键，试题有一定的综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力．12.已知直线与函数相邻两支曲线的交点的横坐标分别为,,且有,假设函数的两个不同的零点分别为,,若在区间内存在两个不同的实数,,与,调整顺序后,构成等差数列,则的值为( )A. 或B. 或C. 或或不存在D. 或或不存在【答案】C【解析】【分析】由可得函数的周期为，所以，故，然后再求出，根据题意求出后可得所求结果．【详解】由题意及可得函数的周期为，∴，∴．由，得，又,，∴．由题意得存在实数，与调整顺序后构成等差数列．（1）当公差时．四个数所构成的等差数列共有以下六种：①；②；③；④；⑤；⑥．经检验可得①③⑤⑥四种情形不成立．对于，可得公差，故，当时，；当时，．对于，可得公差，故，当时，由于，故正切值不存在；当时，由于，故正切值不存在．（2）当公差时，同样有类似的结论．综上可得的值为或或不存在．故选C．【点睛】解答本题的关键是分类讨论四个数成等比数列的各种情形，然后根据条件进行排除进而得到的值，解题的基础是正切函数的性质，考查综合运用知识解决问题的能力，难度较大．二.填空题(每小题5分)13.的内角的对边分别为，已知,,，则______．【答案】【解析】【分析】由余弦定理可得cos B，利用已知整理可得3a2﹣8a﹣3＝0，从而解得a的值,从而可得A. 【详解】∵b，c＝2，cos B，∴由余弦定理可得：cos B，整理可得：3a2﹣8a﹣3＝0，∴解得：a＝3或（舍去）．∴满足，∴，故答案为．【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．14.在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,,外接圆的半径为3，则_____【答案】3【解析】【分析】首先对通分化简，再根据余弦定理即可求出，进而求出，然后再根据外接圆半径和正弦定理，即可证明结果.【详解】由题意可得，根据余弦定理可知，所以，根据正弦定理可得，所以.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余项定理的应用，属于基础题.15.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分．【答案】【解析】【分析】根据题中所给角度求出三角形ABC中的三个内角大小，再由正弦定理即可得解.【详解】由已知得由正弦定理可得，所以海轮的速度为海里/分．故答案为.【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用．考查了学生分析问题和解决实际问题的能力．16.已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】可得为偶函数，且在x＞0时单调递增，可得等价于，结合，解不等式可得的取值范围.【详解】解：由，可得，可得，故为偶函数，由，设g(x)=,h(x)=,可得= g(x) h(x)，当x＞0时，由对勾函数性质可得，g(x)单调递增；同理当x＞0时，可得h(x)单调递增，可得当，单调递增又因为为偶函数，可得当时，可得，，，，可得：，当时，可得，，故可得的取值范围是，故答案：【点睛】本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，函数恒成立的问题，是函数图像与性质的综合应用，难度中档.三．解答题17.在中，角所对的边分别为，且.求角的值；若的面积为，且，求的周长.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】1由利用正弦定理得，再结合得出；2由三角形面积公式可得，中，由余弦定理得，从而可得结果．【详解】()由正弦定理：，可得又因为，所以，，因为，所以．2因为，所以，中，由余弦定理，，则，故，所以的周长为．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．应用余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 18.已知数列的前项和为，，且，，是等差数列的前三项.（1）求数列，的通项公式；（2）记，，求数列的前项和.【答案】（1）,（2）【解析】【分析】（1）利用与的关系将式子转化得，再根据条件求出，从而证明为等比数列，求出其通项.再利用等差数列通项公式求出的通项.（2）利用错位相减法即可求和.【详解】（1）∵当时，两式相减得，即.又，，成等差数列∴数列是首项为2公比为2的等比数列∴数列的通项公式为.则，∴数列是首项为1，，公差为2的等差数列，∴数列的通项公式为.（2）由（1）知，∴两式相减得∴∴即∴∴数列的前项和【点睛】主要考查数列通项的求解以及前项和的求解，属于中档题.1.利用与的关系求数列通项的基本步骤：（1）当时，求出；（2）当时，利用即可转化为递推公式求解通项.（3）检验时是否符合.2.错位相减法的基本步骤：（是等差数列，是等比数列，公比为）：（1）写：；（2）错位：；（3）相减：；（4）化简19.的内角的对边分别为，已知成等差数列.（1）求角；（2）若为中点，求的长.【答案】（1） (2)【解析】【分析】（1）由等差数列性质得到，，结合正弦定理可得，利用展开并化简可求出，即可求出角；(2)利用余弦定理可先求出与，然后在中利用余弦定理即可求出.【详解】（1）成等差数列，则，由正弦定理得：，，，即，因为，所以，又，.（2）在中，，，即，或（舍去），故，在中，在中，，. 【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的运用，利用正弦定理进行边角转化与与余弦定理进行求值计算是本题的关键点，属于中档题。

汕头金山中学高一数学下学期期中考试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是：A．3 B．9 C．17 D．512．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=｛抽到一等品｝，事件B =｛抽到二等品｝，事件C =｛抽到三等品｝，且已知 P（A）= 0.65 ,P(B)=0.2 ,P(C)=0.1。

则事件“抽到的不是一等品”的概率为A. 0.7B. 0.65C. 0.35D. 0.33. 函数1sin32y x⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期是πＡ、4πＢ、2πＣ、πＤ、24．手表时针走过2小时，时针转过的角度为A.60B.—60C. 30D. —305． 数据123,,,,n a a a a 的方差为2S ，则数据123a -，223a -，323a -，…，23n a -的标准差为A ．S BC ．2SD ．24S6． 已知βαsin sin >，那么下列命题成立的是A ．若α、β是第一象限角，则βαcos cos >B ．若α、β是第二象限角，则βαtan tan > C ．若α、β是第三象限角，则βαcos cos > D ．若α、β是第四象限角，则βαtan tan >5 1 36 2 3 1 9 6 4 3 0 9 8 77 7 （第7题）7．在2008年第29届北京奥运会上，我国体育代表团的金牌数在金牌榜雄居榜首，右图是金牌榜前十二位国家的体育代表团金牌数的茎叶图，记这12个体育代表团金牌数的平均数与中位数的差为m，则m的值为A．3.5 B．4 C．4.5 D．5（第8题）8. 如图，⊙C 内切于扇形AOB ，60AOB ∠=︒，若在扇形AOB 内任取一点，则该点落在⊙C 内的概率为A ．16B ．13C ．23D ．349．若A 是ABC ∆的内角，且3sin cos 4A A +=，则ABC ∆的形状一定是 A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形10．十六进制和十进制的不同在于它用A、B、C、D、E、F分别表示十进制的10、11、12、13、14、15，且“逢十六进一”，如：F2E3(16) = 15×16 3 + 2×16 2 + 14×16 1 + 3×16 0。

2018-2019学年度第二学期期中考试高一数学一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用两角差的正弦公式计算即可.【详解】由两角差的正弦公式可得故选A.【点睛】本题考查两角差的正弦公式的应用，属基础题.2.下列函数中，以为周期且在区间上为增函数的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：A选项周期为，不满足条件；B选项周期为；C选项周期为，且在区间为减函数，不满足条件；D选项周期为，且在区间为增函数；故选D．考点：（1）正弦函数的单调性（2）函数的周期性3.已知向量.若为实数，，则（）A. B. C. 1 D. 2【答案】B【解析】试题分析：因为，，所以，又因为，所以，故选B．考点：1、向量的坐标运算；2、向量平行的性质．视频4.给出下面四个命题：①；②；③；④.其中正确的个数为A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】①；②；③；④,所以正确的为①②，选B.5.已知，，与的夹角为，则在方向上的投影为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由条件及投影的计算公式便可得出向量在方向上的投影为，从而得出该投影的值．【详解】根据条件，在方向上的投影为：故选C.【点睛】本题考查一个向量在另一个向量方向上的投影的定义及计算公式，向量夹角的概念．6.已知函数的部分图象如下图所示，则函数的解析式（）学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的图象求出A，ω 和φ的值即可．【详解】由函数的图象得即则，则，则则则∵，∴当k=0时，则函数．故选D.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出A，ω和φ的值是解决本题的关键．7.将函数y=sin2x的图象向左平移（＞0）个单位，得到的图象恰好关于直线对称，则的一个值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据左加右减，写出三角函数平移后的解析式，根据平移后图象的对称轴，把对称轴代入使得函数式的值等于±1，写出自变量的值，根据求最小值得到结果．【详解】∵把函数y=sin2x的图象向左平移（＞0）个单位，∴平移后函数的解析式是，∵所得图象关于直线对称，∴由正弦函数的图象和性质可得：解得：∴当时，的最小值是．故选：A．【点睛】本题考查由三角函数图象的平移求函数的解析式，本题解题的关键是先表示出函数的解析式，再根据题意来写出结果，属于基础题．8.在中，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量数量积的定义进行运算即可【详解】故选D.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，属基础题.9.若是锐角，且满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】是锐角，且，所以也为锐角，所以..故选B.点睛：在三角化简求值类题目中，常常考“给值求值”的问题，遇见这类题目一般的方法为——配凑角：即将要求的式子通过配凑，得到与已知角的关系，进而用两角和差的公式展开求值即可，再利用公式求解前，需将每一个三角函数值确定下来，尤其是要利用角的终边确定好正负.10.中，，，分别是的中点，则（）A. 4B. -4C.D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的加法表示，再利用平面向量数量积的运算法则计算即可.【详解】由题中，，，分别是的中点，则，则故选B.【点睛】本题考查面向量的加法法则及平面向量数量积的运算，属基础题.11.在△ABC中,设=2,那么动点M的轨迹必通过△ABC的()A. 垂心B. 内心C. 外心D. 重心【答案】C【解析】【分析】假设BC的中点是O,先化简已知得2=2,即()·=0, 所以, 所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心.【详解】假设BC的中点是O,则=()·()=2=2,即()·=0,所以,所以动点M在线段BC的中垂线上,所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心.故答案为：C【点睛】（1）本题主要考查平面向量的数量积运算和向量的减法法则，考查向量垂直的表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是在于熟练掌握向量的运算法则.12.函数（）的图象经过、两点，则（）A. 最小值为B. 最大值为C. 最小值为D. 最大值为【答案】A【解析】【分析】当A、B为函数的图象的相邻的两个顶点时，函数的周期最小，最大，此时，由，求得的值【详解】由题意可得A、B为函数的图象的顶点，故当A、B为函数的图象的相邻的两个顶点时，周期最大小，最小，此时，，，故选：A．【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，属于基础题．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.若扇形的弧长为，圆心角为弧度，则扇形的面积为_________。

2018级高一第二学期月考数学科试卷一.选择题(每小题5分)1.已知集合,,则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式得到集合，然后可求出．【详解】由题意得，∴，∴．故选C．【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的补集、交集运算，解题的关键是正确求出集合和熟记集合运算的定义，属于基础题．2.已知角终边上一点，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值．【详解】∵角终边上一点，∴，，，则，故选C．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3.设,向量,,则( )A. 5B.C.D. 10【答案】C【解析】【分析】根据向量的垂直求出，再由向量的共线求出，进而得到的坐标，于是可得所求．【详解】∵,，∴，解得．∵,,∴，解得．∴，∴，∴．故选C．【点睛】解答本题的关键是求出向量的坐标，其中向量的垂直和共线是解题的突破口，考查对向量有关概念的掌握和计算能力，属于基础题．4.已知函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先计算出的值，即可求出结果.【详解】因为，所以，所以.故选B【点睛】本题主要考查分段函数求值的问题，由内向外逐步代入即可求出结果，属于基础题型.5.已知函数，将函数的图象向右平移个单位，得到数的图象，则函数图象的一个对称中心是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先对函数化简，然后利用三角函数的平移关系求出的解析式，结合三角函数的对称性进行求解即可。

【详解】，将函数的图象向右平移个单位，得到数的图象，即，由，得，，当时，，即函数的一个对称中心为，故选：C．【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换和性质，求出函数的解析式以及利用三角函数的对称性是解决本题的关键。

6.设等差数列的前n项和为，若，，则( )A. 63B. 45C. 39D. 27【答案】C【解析】【分析】设等差数列的首项为，公差为d，由题意列方程组求出、d，再计算的值．【详解】设等差数列的首项为，公差为d，由，，得，解得，；．故选：C．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式应用问题，是基础题．7.设等比数列的前项和记为,若,则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据等比数列前项和的性质求解可得所求结果．【详解】∵数列为等比数列，且其前项和记为，∴成等比数列．∵，即，∴等比数列的公比为，∴，∴，∴．故选A．【点睛】在等比数列中，其前项和记为，若公比，则成等比数列，即等比数列中依次取项的和仍为等比数列，利用此性质解题时可简化运算，提高解题的效率．8.函数（且）的图象可能为（）【答案】D【解析】因为，故函数是奇函数，所以排除A，B；取，则，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.9.如图，圆周上按顺时针方向标有，，，，五个点.一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点.若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则下一次跳两个点.该青蛙从这点跳起，经次跳后它将停在的点是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由起跳，是奇数，沿顺时针下一次只能跳一个点，落在上由起跳，是奇数，沿顺时针下一次只能跳一个点，落在上是偶数，沿顺时针跳两个点，落在上由起跳，是偶数，沿顺时针跳两个点，落在上，周期为，经次跳后它将停在的点对应的数为故选10.设数列的前项和为,且,为常数列,则通项为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知，∴S n－1＋(n－1)a n－1＝2，(n≥2)以上两式相减整理得(n＋1)a n＝(n－1)·a n－1，∴．∴，当n＝1时，a1＝1满足上式．∴．选B．点睛：数列的通项a n与前n项和S n的关系是，当n＝1时，a1若适合，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项a n；当n＝1时，a1若不适合，则用分段函数的形式表示．11.已知定义域为的函数满足，当时，，设在上的最大值为，且的前项和为，若对任意的正整数均成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的解析式，求得当时，的最大值为，再根据，利用归纳法，得到当时，的最大值为，由等比数列的前n项和公式，求得，根据，即可求解，【详解】由题意，可得当时，；时，，∴当时，的最大值为；又由，∴当时，的最大值为；当时，的最大值为，…，所以当时，的最大值为，由等比数列的前n项和公式，得.若对任意的正整数成立，则，故选B.【点睛】本题主要考查了数列与函数的综合应用，其中解答中根据分段函数的解析式，利用归纳法得到数列的通项公式，再利用等比数列的求和公式，列出不等式求解是解答的关键，试题有一定的综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力．12.已知直线与函数相邻两支曲线的交点的横坐标分别为,,且有,假设函数的两个不同的零点分别为,,若在区间内存在两个不同的实数,,与,调整顺序后,构成等差数列,则的值为( )A. 或B. 或C. 或或不存在D. 或或不存在【答案】C【解析】【分析】由可得函数的周期为，所以，故，然后再求出，根据题意求出后可得所求结果．【详解】由题意及可得函数的周期为，∴，∴．由，得，又,，∴．由题意得存在实数，与调整顺序后构成等差数列．（1）当公差时．四个数所构成的等差数列共有以下六种：①；②；③；④；⑤；⑥．经检验可得①③⑤⑥四种情形不成立．对于，可得公差，故，当时，；当时，．对于，可得公差，故，当时，由于，故正切值不存在；当时，由于，故正切值不存在．（2）当公差时，同样有类似的结论．综上可得的值为或或不存在．故选C．【点睛】解答本题的关键是分类讨论四个数成等比数列的各种情形，然后根据条件进行排除进而得到的值，解题的基础是正切函数的性质，考查综合运用知识解决问题的能力，难度较大．二.填空题(每小题5分)13.的内角的对边分别为，已知,,，则______．【答案】【解析】【分析】由余弦定理可得cos B，利用已知整理可得3a2﹣8a﹣3＝0，从而解得a的值,从而可得A.【详解】∵b，c＝2，cos B，∴由余弦定理可得：cos B，整理可得：3a2﹣8a﹣3＝0，∴解得：a＝3或（舍去）．∴满足，∴，故答案为．【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．14.在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,,外接圆的半径为3，则_____【答案】3【解析】【分析】首先对通分化简，再根据余弦定理即可求出，进而求出，然后再根据外接圆半径和正弦定理，即可证明结果.【详解】由题意可得，根据余弦定理可知，所以，根据正弦定理可得，所以.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余项定理的应用，属于基础题.15.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分．【答案】【解析】【分析】根据题中所给角度求出三角形ABC中的三个内角大小，再由正弦定理即可得解.【详解】由已知得由正弦定理可得，所以海轮的速度为海里/分．故答案为.【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用．考查了学生分析问题和解决实际问题的能力．16.已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】可得为偶函数，且在x＞0时单调递增，可得等价于，结合，解不等式可得的取值范围.【详解】解：由，可得，可得，故为偶函数，由，设g(x)=,h(x)=,可得= g(x) h(x)，当x＞0时，由对勾函数性质可得，g(x)单调递增；同理当x＞0时，可得h(x)单调递增，可得当，单调递增又因为为偶函数，可得当时，可得，，，，可得：，当时，可得，，故可得的取值范围是，故答案：【点睛】本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，函数恒成立的问题，是函数图像与性质的综合应用，难度中档.三．解答题17.在中，角所对的边分别为，且.求角的值；若的面积为，且，求的周长.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】1由利用正弦定理得，再结合得出；2由三角形面积公式可得，中，由余弦定理得，从而可得结果．【详解】()由正弦定理：，可得又因为，所以，，因为，所以．2因为，所以，中，由余弦定理，，则，故，所以的周长为．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．应用余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.18.已知数列的前项和为，，且，，是等差数列的前三项.（1）求数列，的通项公式；（2）记，，求数列的前项和.【答案】（1）,（2）【解析】【分析】（1）利用与的关系将式子转化得，再根据条件求出，从而证明为等比数列，求出其通项.再利用等差数列通项公式求出的通项.（2）利用错位相减法即可求和.【详解】（1）∵当时，两式相减得，即.又，，成等差数列∴数列是首项为2公比为2的等比数列∴数列的通项公式为.则，∴数列是首项为1，，公差为2的等差数列，∴数列的通项公式为.（2）由（1）知，∴两式相减得∴∴即∴∴数列的前项和【点睛】主要考查数列通项的求解以及前项和的求解，属于中档题.1.利用与的关系求数列通项的基本步骤：（1）当时，求出；（2）当时，利用即可转化为递推公式求解通项.（3）检验时是否符合.2.错位相减法的基本步骤：（是等差数列，是等比数列，公比为）：（1）写：；（2）错位：；（3）相减：；（4）化简19.的内角的对边分别为，已知成等差数列.（1）求角；（2）若为中点，求的长.【答案】（1） (2)【解析】【分析】（1）由等差数列性质得到，，结合正弦定理可得，利用展开并化简可求出，即可求出角；(2)利用余弦定理可先求出与，然后在中利用余弦定理即可求出.【详解】（1）成等差数列，则，由正弦定理得：，，，即，因为，所以，又，.（2）在中，，，即，或（舍去），故，在中，在中，，.【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的运用，利用正弦定理进行边角转化与与余弦定理进行求值计算是本题的关键点，属于中档题。