数学人教版八年级上册分式及分式方程

第4讲 分式及分式方程复习目标：了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通会进行简单的分式加、减、乘、除运算分；会解可化为一元一次方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)考查的知识点一是分式化简；二是分式化简求值；三是解分式方程，近几年呼伦贝尔市这部分考查的题型主要为解答题，一般分式化简题会与分式化简求值题或解分式方程题轮换考查，试题也较为简单，难度不大，切记解分式方程后要验根．复习重点：会利用分式的基本性质进行约分和通会进行简单的分式加、减、乘、除运算分；会解可化为一元一次方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)复习方法：自主学习与归类探究相结合的方法1．分式的基本概念(1)形如__A B(A ，B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)__的式子叫分式； (2)当__B ≠0__时，分式A B 有意义；当__B ＝0__时，分式A B无意义；当__A ＝0且B ≠0__时，分式A B的值为零． 2．分式的基本性质分式的分子与分母都乘(或除以)__同一个不等于零的整式__，分式的值不变，用式子表示为__A B ＝A ×M B ×M ，A B ＝A÷M B÷M(M 是不等于零的整式)__． 3．分式的运算法则(1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．用式子表示：a b ＝－a －b ＝－a －b＝－－a b ；－a b ＝a －b ＝－a b . (2)分式的加减法：同分母加减法：__a c ±b c ＝a±b c __； 异分母加减法：__b a ±d c ＝bc±ad ac__． (3)分式的乘除法：a b ·c d ＝__ac bd __； a b ÷c d ＝__ad bc __． (4)分式的乘方：(a b )n ＝__a nbn (n 为正整数)__． 4．最简分式(1)概念：如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式叫做最简分式．(2)寻找最简公分母的方法：①取各分式的分母中系数的最小公倍数；②各分式的分母中所有字母或因式都要取到；③相同字母(或因式)的幂取指数最大的；④所得的系数的最小公倍数与各分母(或因式)的最高次幂的积即为最简公分母．5．分式的约分、通分把分式中分子与分母的公因式约去，这种变形叫做约分，约分的根据是分式的基本性质． 把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．6．分式的混合运算在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算．若有括号，先算括号里面的．灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．7．分式方程(1)定义：分母中含有__未知数__ 的方程；(2)解法：分式方程――→转化去分母__整式方程__――→解方程求出解――→代入最简公分母检验得出分式方程的解；(3)增根：使最简公分母为0的根．规律总结：(1)如何由增根求参数的值：a ．将原方程化为整式方程；b ．将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值．(2)检验分式方程的根是否为增根的方法：a ．利用方程的解的定义进行检验；b ．将解得的整式方程的根代入最简公分母，看计算结果是否为0，若不为0就是原方程的根；若为0则为增根，必须舍去．一个思想类比是一种在不同对象之间，或者在事物与事物之间，根据它们某些相似之处进行比较，通过联想和预测，推出它们在其他方面也可能相似，从而去建立猜想和发现规律的方法．通过类比可以发现新旧知识的相同点，利用已有的知识来认识新知识，分式与分数有许多类似的地方，因此在分式的学习中，要注意与分数进行类比学习理解．两个技巧(1)分式运算中的常用技巧分式运算题型多，方法活，要根据特点灵活求解．如：①分组通分；②分步通分；③先“分”后“通”；④重新排序；⑤整体通分；⑥化积为差，裂项相消．(2)分式求值中的常用技巧分式求值可根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化．主要有以下技巧：①整体代入法；②参数法；③平方法；④代入法；⑤倒数法．三个防范(1)“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判断一个方程是否为分式方程的依据．(2)去分母时，不要漏乘没有分母的项；解分式方程的重要步骤是检验．(3)分式方程的增根与无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解．分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．随堂测试1．(2014·陕西)先化简，再求值：2x 2x 2－1－x x ＋1，其中x ＝－12. 解：原式＝2x 2（x ＋1）（x －1）－x （x －1）（x ＋1）（x －1）＝ x （x ＋1）（x ＋1）（x －1）＝x x －1，当x ＝－12时，原式＝－12－12－1＝13 2．(2013·陕西)解分式方程：2x 2－4＋x x －2＝1. 解：去分母得：2＋x(x ＋2)＝x 2－4，整理得：2＋x 2＋2x ＝x 2－4，解得：x ＝－3，经检验得，x ＝－3是原分式方程的根3．(2012·陕西)化简：(2a －b a ＋b －b a －b )÷a －2b a ＋b.解：原式＝（2a －b ）（a －b ）－b （a ＋b ）（a ＋b ）（a －b ）·a ＋b a －2b＝ 2a 2－2ab －ab ＋b 2－ab －b 2（a －b ）（a －2b ）＝2a 2－4ab （a －b ）（a －2b ）＝ 2a （a －2b ）（a －b ）（a －2b ）＝2a a －b分式的概念，求字母的取值范围【例1】 (1)(2014·贺州)分式2x －1有意义，则x 的取值范围是( A ) A ．x ≠1 B ．x ＝1 C ．x ≠－1 D ．x ＝－1(2)(2014·毕节)若分式x 2－1x －1的值为零，则x 的值为( C ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1【点评】 (1)分式有意义就是使分母不为0，解不等式即可求出，有时还要考虑二次根式有意义；(2)首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0，当它使分母的值不为0时，这就是所要求的字母的值．1．(1)(2013·广州)若代数式x x －1有意义，则实数x 的取值范围是( D ) A ．x ≠1 B ．x ≥0C ．x ＞0D ．x ≥0且x ≠1(2)当x ＝__－3__时，分式|x|－3x －3的值为0.分式的四则混合运算【例2】 (2014·深圳)先化简，再求值：(3x x －2－x x ＋2)÷x x 2－4，在－2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．解：原式＝3x （x ＋2）－x （x －2）（x ＋2）（x －2）· （x ＋2）（x －2）x＝2x ＋8，当x ＝1时，原式＝2＋8＝10 【点评】 准确、灵活、简便地运用法则进行化简，注意在取x 的值时，要考虑分式有意义，不能取使分式无意义的0与±2.2．(1)(2014·十堰)已知a 2－3a ＋1＝0，则a ＋1a－2的值为( B ) A .5＋1 B ．1 C ．－1 D ．－5(2)(2014·娄底)先化简x 2－4x 2－9÷(1－1x －3)，再从不等式2x －3＜7的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值．解：原式＝（x ＋2）（x －2）（x ＋3）（x －3）÷x －3－1x －3＝（x ＋2）（x －2）（x ＋3）（x －3）·x －3x －4＝（x ＋2）（x －2）（x ＋3）（x －4），不等式2x －3＜7，解得x ＜5，其正整数解为1，2，3，4，当x ＝1时，原式＝14分式方程的解法【例3】 (2014·舟山)解方程：x x ＋1－4x 2－1＝1. 解：去分母，得x(x －1)－4＝x 2－1，去括号，得x 2－x －4＝x 2－1，解得x ＝－3，经检验x ＝－3是分式方程的解【点评】 (1)按照基本步骤解分式方程，其关键是确定各分式的最简公分母．若分母为多项式时，应首先进行分解因式．将分式方程转化为整式方程，乘最简公分母时，应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项；(2)检验是否产生增根：分式方程的增根是分式方程去分母后整式方程的某个根，但因为它使分式方程的某些分母为零，故应是原方程的增根，须舍去．3．(1)(2014·德州)分式方程x x －1－1＝3（x －1）（x ＋2）的解是( D ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1＋ 5C ．x ＝2D ．无解(2)(2014·巴中)若分式方程x x －1－m 1－x＝2有增根，则这个增根是__x ＝1__． (3)(2014·新疆)解分式方程：3x 2－9＋x x －3＝1. 解：方程两边都乘(x ＋3)(x －3)，得3＋x(x ＋3)＝x 2－9，3＋x 2＋3x ＝x 2－9，解得x ＝－4，检验：把x ＝－4代入(x ＋3)(x －3)≠0，∴x ＝－4是原分式方程的解试题 当a 取什么值时，方程x －1x －2－x －2x ＋1＝2x ＋a （x －2）（x ＋1）的解是负数？ 错解解：原方程两边同乘以(x －2)(x ＋1)，得x 2－1－x 2＋4x －4＝2x ＋a ，2x ＝a ＋5，∴x ＝a ＋52. 由a ＋52＜0，得a ＜－5. 故当a ＜－5时，原方程的解是负数．剖析(1)分式中的分母不能为零，这是同学们熟知的，但在解题时，往往忽略题目中的这一隐含条件，从而导致解题错误；(2)利用分式的基本性质进行恒等变形时，应注意分子与分母同乘或同除以的整式的值不能是零；(3)解分式方程为什么要检验？因为用各分母的最简公分母去乘方程的两边时，不能肯定所得方程与原方程同解．如果最后x 取值使这个最简公分母不为零，则这个步骤符合方程同解原理，这个取值就是方程的解；否则，不能保证新方程与原方程同解．从另一角度看，既然使各分母的最简公分母为零，则必使某个分母为零，该分式则无意义，原方程不可能成立，这个取值就不是原方程的解．正解解：当x ≠－1且x ≠2时，原方程两边都乘以(x －2)(x ＋1)，得x 2－1－x 2＋4x －4＝2x ＋a ，2x ＝a ＋5，∴x ＝a ＋52. 由a ＋52＜0，得a ＜－5， 又由a ＋52≠2，得a ≠－1；a ＋52≠－1，得a ≠－7， 故当a ＜－5且a ≠－7时，原方程的解是负数．考点跟踪突破4 分式及分式方程一、选择题(每小题6分，共30分)1．(2014·凉山州)分式|x|－3x ＋3的值为零，则x 的值为( A ) A ．3 B ．－3C ．±3D ．任意实数2．(2014·无锡)分式22－x可变形为( D ) A .22＋x B ．－22＋xC .2x －2D ．－2x －23．(2014·呼和浩特)下列运算正确的是( C )A .54·12＝32 6B .（a 3）2＝a 3C ．(1a ＋1b )2÷(1a 2－1b 2)＝b ＋a b －aD ．(－a)9÷a 3＝(－a)64．设m ＞n ＞0，m 2＋n 2＝4mn ，则m 2－n 2mn＝( A ) A ．2 3 B . 3 C ．－ 3 D ．35．(2014·杭州)若(4a 2－4＋12－a)·w ＝1，则w ＝( D ) A ．a ＋2(a ≠－2) B ．－a ＋2(a ≠2)C ．a －2(a ≠2)D ．－a －2(a ≠－2)二、填空题(每小题6分，共30分)6．(2014·济宁)如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线，称得它的质量为a 克，再称得剩余电线的质量为b 克，那么原来这卷电线的总长度是__b a＋1__米． 7．(2014·襄阳)计算：a 2－1a 2＋2a ÷a －1a ＝__a ＋1a ＋2__． 8．(2014·宜宾)分式方程x x －2－1x 2－4＝1的解是__x ＝－32__. 9．(2014·成都)已知关于x 的分式方程x ＋k x ＋1－k x －1＝1的解为负数，则k 的取值范围是__k ＞12且k ≠1__． 10．(2012·内江)已知三个数x ，y ，z 满足xy x ＋y ＝－2，yz y ＋z ＝43，zx z ＋x ＝－43，则xyz xy ＋xz ＋yz＝__－4__．三、解答题(共40分)11．(6分)计算：(1)(2014·师大附中模拟)(a －2a －1a )÷1－a 2a 2＋a； 解：原式＝1－a(2)(x ＋x x 2－1)÷(2＋1x －1－1x ＋1)． 解：原式＝x 3－x ＋x x 2－1÷2x 2－2＋x ＋1－x ＋1x 2－1＝x 3x 2－1·x 2－12x 2＝x 2 12．(8分)解分式方程：(1)(2013·宁波)31－x ＝x x －1－5； 解：去分母得－3＝x －5(x －1)，去括号得：－3＝x －5x ＋5，移项合并同类项得：4x ＝8，x ＝2，经检验x ＝2是原分式方程的解(2)(2014·呼和浩特)3x 2＋2x －1x 2－2x＝0. 解：x ＝413．(8分)已知1x －1y ＝3，求分式2x －14xy －2y x －2xy －y的值． 解：∵1x －1y ＝3，∴y －x xy ＝3，y －x ＝3xy ，x －y ＝－3xy.原式＝2x －2y －14xy x －y －2xy＝2（x －y ）－14xy （x －y ）－2xy ＝－6xy －14xy －3xy －2xy ＝－20xy －5xy＝4 14．(8分)(2014·凉山州)先化简，再求值：a －33a 2－6a ÷(a ＋2－5a －2)，其中a 2＋3a －1＝0. 解：原式＝a －33a （a －2）÷a 2－4－5a －2＝a －33a （a －2）·a －2（a ＋3）（a －3）＝13a 2＋9a，当a 2＋3a －1＝0，即a 2＋3a ＝1时，原式＝1315．(10分)先化简，再求值．(m 2－6m ＋9m 2－9－m m ＋3)÷m －1m ＋3，其中m ＝tan 45°＋2cos 30° 解：原式＝[（m －3）2（m ＋3）（m －3）－m m ＋3]·m ＋3m －1＝m 2－6m ＋9－m 2＋3m （m ＋3）（m －3）·m ＋3m －1＝－3（m －3）（m ＋3）（m －3）·m ＋3m －1＝－3m －1，当m ＝1＋3时，原式＝－ 3。