2017届衡水点睛大联考高三第三次联考文科数学试题 及答案

河北衡水中学2016-2017学年度高三下学期数学第三次摸底考试（文科）必考部分一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知虚数单位，等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：根据题意，有，故选B．考点：复数的运算．2.已知集合，则集合等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】,选D.3.已知是上的奇函数，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性的性质利用f（0）＝0求出a的值，然后代入计算求解即可．【详解】因为是上的奇函数，所以，得,.所以.【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质利用f（0）＝0是解决本题的关键，属于基础题．4.在面积为的正方形内任意投一点，则点到四边的距离均大于的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】易知正方形的边长，到两边距离均大于，则形成的区域为边长为的小正方形，其概率为,故选C.5.已知，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为,所以.，故选A.6.已知、分别是双曲线的左、右焦点，以线段为边作正三角形，如果线段的中点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率等于（）A. B. C. D. 2【答案】D【解析】由题意得渐近线斜率为，即，选D.7.在中，“ ”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【解析】时，，所以必要性成立；时，，所以充分性不成立，选B.8.已知二次函数的两个零点分别在区间和内，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，可行域如图三角形内部（不包括三角形边界，其中三角形三顶点为）：，而，所以直线过C取最大值，过B点取最小值，的取值范围是，选A.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.9.如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，若该简单几何体的体积是，则其底面周长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，几何体为锥体，高为正三角形的高，因此底面积为，即底面为等腰直角三角形，直角边长为2，周长为，选C.10.20世纪30年代，德国数学家洛萨---科拉茨提出猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1，这就是著名的“”猜想.如图是验证“”猜想的一个程序框图，若输出的值为8，则输入正整数的所有可能值的个数为（）A. 3B. 4C. 6D. 无法确定【答案】B【解析】由题意得；，因此输入正整数的所有可能值的个数为4，选B.11.已知函数的导数为，若对任意的都有，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.得：,化简得,不等式两边同除以得：.有，令，,在上单调递增，,所以只需，解得，故选A.利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.12.已知向量满足，若，的最大值和最小值分别为，则等于（）A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】把放入平面直角坐标系，使起点与坐标原点重合，方向与轴正方向一致，则，设，因为，所以，所以，.设，所以,化简得：，即.点可表示圆心在，半径为的圆上的点.，所以最大值，最小值为.因为，所以，解得.所以.故选C.点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上13.为稳定当前物价，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场商品的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：价格8.599.51010.5销售量1211976由散点图可知，销售量与价格之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则__________．【答案】39.4【解析】点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.14.将函数的图象向右平移个单位（），若所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是__________．【答案】【解析】向右平移个单位得为偶函数，所以，因为，所以点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.15.在中，，点在边上，且满足，若，则__________．【答案】【解析】设，得.在中，由正弦定理可得，代入解得，.在中，，所以.由勾股定理可得，化简整理得,.所以,.16.已知是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，则的值为__________．【答案】【解析】因为，所以因此，所以因为，所以，因此三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列前项和为，等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）求证：.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）利用，求通项；（2）分别求出和，作差比较大小即可.试题解析：（1）因为，所以当时，，所以，即，所以从第二项开始是公比为4的等比数列，即，因为，所以，解得，当时，，解得，则，所以是首项为1公比为4的等比数列，其通项公式为；（2）由（1）知，所以，设数列的公差为，所以，解得，所以，所以，所以．所以．18.在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；……第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.在选取的40名学生中.（1）求成绩在区间内的学生人数及成绩在区间内平均成绩；（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生，求至少有1名学生成绩在区间内的概率.【答案】（1）71.875；（2）.【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图的意义计算即可.（2）用列举法求出从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生的事件个数，查出至少有1名学生成绩在[90，100]的事件个数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解．试题解析：（1）因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间的频率为，所以40名学生中成绩在区间的学生人数为，易知成绩在区间内的人数分别为18，8，4，2，所以成绩在区间内的平均成绩为；（2）设表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，至少有1名学生成绩在区间内”，由已知（1）的结果可知成绩在区间内的学生有4人，记这四个人分别为．成绩在区间内的学生有2人，记这两个人分别为，则选取学生的所有可能结果为：，基本事件数为20．事件“至少有1名学生成绩在区间之间”的可能结果为，基本事件为数16，所以．19.如图，在长方体中，点在棱的延长线上，且.（1）求的中点到平面的距离；（2）求证：平面平面．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）利用三棱锥等体积法计算距离即可；（2）要证平面平面，只需证平面即可.试题解析：证明：（1）连接，∵，∴四边形是平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面，∴点到平面的距离等于点到平面的距离，由，得，又易知．∴的中点到平面的距离为．（2）由已知得，，则，由长方体的特征可知平面，而平面，面积，∴平面，又平面，∴平面平面．20.如图，已知为椭圆上的点，且，过点的动直线与圆相交于两点，过点作直线的垂线与椭圆相交于点．（1）求椭圆的离心率；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据题意列方程组：，解方程组可得，，再根据离心率定义求椭圆的离心率；（2）先根据垂径定理求圆心到直线的距离,再根据点到直线距离公式求直线AB的斜率,根据垂直关系可得直线PQ的斜率,最后联立直线PQ与椭圆方程,利用韦达定理及弦长公式求．试题解析：解：（1）依题知，解得，所以椭圆的离心率；（2）依题知圆的圆心为原点，半径为，所以原点到直线的距离为，因为点坐标为，所以直线的斜率存在，设为．所以直线的方程为，即，所以，解得或．①当时，此时直线的方程为，所以的值为点纵坐标的两倍，即；②当时，直线的方程为，将它代入椭圆的方程，消去并整理，得，设点坐标为，所以，解得，所以．点睛：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.21.已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对任意及，恒有成立，求实数的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）求导得，讨论单调性即可；（2）若对任意及，恒有成立，求的最大值，最小值，解得恒成立，得.试题解析：（1），当时，，令，得或，令，得；当时，得，令，得或，令，得；当时，，综上所述，当时，函数的递减区间为和，递增区间；当时，函数在上单调递减；当时，函数的递减区间为和，递增区间为．（2）由（1）可知，当时，函数在区间上单调递减，当时，函数取最大值；当时，函数取最小值．．∵，整理得．∵，∴恒成立，∵，∴，∴．点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.选考部分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中直线的倾斜角为，且经过点，以坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点，过点的直线与曲线相交于两点，且．（1）平面直角坐标系中，求直线的一般方程和曲线的标准方程；（2）求证：为定值．【答案】（1）,（2）【解析】试题分析：（1）根据点斜式可得直线的一般方程，注意讨论斜率不存在的情形；根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，配方化为标准方程.（2）利用直线参数方程几何意义求弦长：先列出直线参数方程，代入圆方程，根据及韦达定理可得，类似可得，相加即得结论.试题解析：解：（1）因为直线的倾斜角为，且经过点，当时，直线垂直于轴，所以其一般方程为，当时，直线的斜率为，所以其方程为，即一般方程为．因为的极坐标方程为，所以，因为，所以．所以曲线的标准方程为．（2）设直线的参数方程为（为参数），代入曲线的标准方程为，可得，即，则，所以，同理，所以．23.选修4-5：不等式选讲已知实数满足．（1）求的取值范围；（2）若，求证：．【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）因为，所以，又，即得的取值范围；（2）因为，而，即证.试题解析：解：（1）因为，所以．①当时，，解得，即；②当时，，解得，即，所以，则，而，所以，即；（2）由（1）知，因为当且仅当时取等号，所以．。

2017年第三次全国大联考【新课标Ⅱ卷】文科数学·参考答案13．-14．π6 15．1416．(0,e)17．【解析】（I ）由于()*141n n a a n n +-=+∈N ， 所以()()112n n n n n a a a a a ---=-+-+(32a a ⋯+-故数列{}n a 的通项公式为22n a n n =-……6分（Ⅱ）由22n a n n =-，可得112()2121n n --+，……8分因为0213n <≤+，故23n S ≤<．……12分 18．【解析】【解析】（Ⅰ）男性打分的平均数为555362657170737486816910+++++++++=，……3分女性打分的中位数为7678772+=．……6分 （Ⅱ）设“有女性被抽中”为事件A ，打分在70分以下（不含70分）的市民中女性有2人，设为,a b ，男性有抽取3,,bde bdf bef 19．【解析】(I)如图，连接AC ，交BD 于点E ，连接.ME ABCD 是矩形， ∴点E 是AC 的中点.又点M 是PC 的中点， //,PA ME ∴又PA ⊄平面MBD ,EM ⊂平面MBD ,所以//PA 平面MBD .……5分C(II)如图，取AD 的中点O ，连接PO ，则PO AD ⊥,又平面PAD ⊥底面ABCD ,平面PAD 底面ABCD AD =,故PO⊥平面ABCD ．连接OC，在Rt POC △中，OC=Rt ODC △中，3DC =,……7分故四面体P BDC -的体积为11123332BDC S PO ⋅=⨯⨯⨯=△又因为点M是PC 的中点，所以点M 到平面BDC 的距离等于12PO ，故四面体M BDC -的体积为112332⨯⨯⨯=，故四面体P BDM -22=．……12分 学#科网 20．【解析】(Ι)设11(,),A x y 22(,),B x y 则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，相减得：1212121222()()()()x x x x y y y y a b -+-++=，由题意知12121y y x x -=--，设00(,)P x y ，因为P 为AB 的中点，且OP 的斜率为13，所以0013y x =，即12121()3y y x x +=+，所以可以解得223a b =，即2223()a a c =-，即2232a c =，又因为2c =，所以26a =，所以椭圆C 的方程为22162x y +=.……5分 （Ⅱ）设线段DE 的中点为H ，因为MDE MED ∠=∠，所以MH DE ⊥，设直线l 的方程为(2)y k x =-，代入椭圆C 的方程22162x y +=，得2222(31)121260k x k x k +-+-=，……7分设33(,)D x y ，44(,)E x y ，则23421213k x x k +=+，则23426213H x x k x k +==+，(2)H H y k x =-2213kk -=+，即22262(,)1313k k H k k -++，由已知得1MH l k k ⋅=-，所以2222113613kk k kt k -+=--+，整理得222441133k t k k ==++，因为20k >，所以4(0,)3t ∈， 所以t 的取值范围是4(0,)3．……12分 21．【解析】（I ）当2a =时，2()4ln 3f x x x x =--，则()24(ln 1)244ln f x x x x x '=-+=--，故切线斜率(1)2k f '==-，又因为切点为(1,2)-，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为22(1)y x +=--，即2y x =-．……5分（II ）不等式()0f x ≥等价于不等式212ln 0a x a x x ---≥，记21()2ln a g x x a x x-=--， 则2212()1a a g x x x -'=+-22221x ax a x -+-=2[(21)](1)x a x x---=， 令()0g x '=， 得21x a =-或1x =，……7分①当211a -≤，即1a ≤时，()0g x '≥，所以()g x 在[1,)+∞上单调递增，所以min ()(1)220g x g a ==-≥，解得1a ≤，此时1a ≤；②当211a ->，即1a >时，(1,21)x a ∈-时，()0g x '<；(21,)x a ∈-+∞时，()0g x '>，所以函数()g x 在(1,21)a -上单调递减；在(21,)a -+∞上单调递增，于是min ()(21)(1)220g x g a g a =-<=-<，不合题意，舍去．综上所述，实数a 的取值范围是(,1]-∞．……12分22．【解析】（Ⅰ）曲线C 的普通方程为22(1)(1)2x y ++-=，将cos x ρθ=， sin y ρθ=代入整理得2cos 2sin 0ρθθ+-=，即曲线C3分直线l 的方程为1(1)2y x =+，所以极坐标方程为cos 2sin 10ρθρθ-+=．……5分，故线段PQ 的长10分23．【解析】（I 124x x -++≤． 当2x ≤-时，原不等式等价于214x --≤，即 当21x -<≤时，原不等式等价于34≤，即当1x >时，原不等式等价于214x +≤，即……5分 （II ）由题意得()()f ax af x +111ax a x ax ax a=-+-=-+-(1)()ax ax a ≥---1a =-()f a =．……10分 学科网。

河北衡水中学2016-2017学年度高三下学期数学第三次摸底考试（文科）必考部分一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知虚数单位，等于（）A. B. C. D.2. 已知集合，则集合等于（）A. B. C. D.3. 已知是上的奇函数，则的值为（）A. B. C. D.4. 在面积为的正方形内任意投一点，则点到四边的距离均大于的概率为（）A. B. C. D.5. 已知，则的值等于（）A. B. C. D.6. 已知、分别是双曲线的左、右焦点，以线段为边作正三角形，如果线段的中点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率等于（）A. B. C. D. 27. 在中，“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 已知二次函数的两个零点分别在区间和内，则的取值范围是（）A. B. C. D.9. 如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，若该简单几何体的体积是，则其底面周长为（）A. B. C. D.10. 20世纪30年代，德国数学家洛萨---科拉茨提出猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1，这就是著名的“”猜想.如图是验证“”猜想的一个程序框图，若输出的值为8，则输入正整数的所有可能值的个数为（）A. 3B. 4C. 6D. 无法确定11. 已知函数的导数为，若对任意的都有，则的取值范围是（）A. B. C. D.12. 已知向量满足，若，的最大值和最小值分别为，则等于（）学|科|网...A. B. 2 C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上13. 为稳定当前物价，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场商品的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量与价格之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则__________．14. 将函数的图象向右平移个单位（），若所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是__________．15. 在中，，点在边上，且满足，若，则__________．16. 已知是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，则的值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列前项和为，等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）求证：.18. 在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；……第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.在选取的40名学生中.（1）求成绩在区间内的学生人数及成绩在区间内平均成绩；（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生，求至少有1名学生成绩在区间内的概率.19. 如图，在长方体中，点在棱的延长线上，且.（1）求的中点到平面的距离；（2）求证：平面平面．20. 如图，已知为椭圆上的点，且，过点的动直线与圆相交于两点，过点作直线的垂线与椭圆相交于点．（1）求椭圆的离心率；（2）若，求．21. 已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对任意及，恒有成立，求实数的取值范围．选考部分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中直线的倾斜角为，且经过点，以坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点，过点的直线与曲线相交于两点，且．（1）平面直角坐标系中，求直线的一般方程和曲线的标准方程；（2）求证：为定值．23. 选修4-5：不等式选讲已知实数满足．（1）求的取值范围；（2）若，求证：．。

2017届河北衡水中学高三上学期期中考试文科数学试卷一、单选题（共12小题）1．复数（为虚数单位）的共轭复数为（）A．B．C．D．考点：复数综合运算答案：B试题解析：因为所以2．已知集合，，则的子集个数为（）A．8B．3C．4D．7考点：集合的概念答案：A试题解析：因为所以子集个数3．已知平面直角坐标系内的两个向量，且平面内的任一向量都可以唯一的表示成（为实数），则的取值范围是（）A．B．C．D．考点：平面向量基本定理答案：D试题解析：由已知得：不平行于，即所以4．将函数的图象向左平移个单位，若所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是（）A．B．C．D．考点：三角函数图像变换答案：A试题解析：的图象向左平移个单位得：，变形为：因为所得函数偶函数，所以即5．已知等比数列中，，则的值为（）A．2B．4C．8D．16考点：等比数列答案：B试题解析：因为，所以所以所以6．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．考点：空间几何体的三视图与直观图答案：B试题解析：该几何体是一个底面为梯形的四棱柱截去一个半圆柱，，所以7．如图，偶函数的图象如字母，奇函数的图象如字母，若方程，的实根个数分别为、，则（）A．12B．18C．16D．14考点：零点与方程函数图象答案：B试题解析：若方程则或或此方程有9个解；设的三个零点分别为，若，则或，或此方程有9个解；即所以8．函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（）A．4B．5C．6D．考点：均值定理函数图象答案：D试题解析：因为的图象恒过定点，所以,代入直线得：9．三棱锥中，平面，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．B．C．D．考点：空间几何体的表面积与体积答案：A试题解析：如图，取中点,连接,又是三棱锥的外接球心.外接球半径10．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（）A．3024B．1007C．2015D．2016考点：算法和程序框图答案：A试题解析：输入可发现：所以11．已知函数的极大值为，极小值为，则（）A．0B．2C．-4D．-2考点：利用导数求最值和极值答案：D试题解析：设函数的两个极值点为则12．某实验室至少需要某种化学药品，现在市场上出售的该药品有两种包装，一种是每袋，价格为12元；另一种是每袋，价格为10元.但由于保质期的限制，每一种包装购买的数量都不能超过5袋，则在满足需要的条件下，花费最少为（）元A．56B．42C．44D．54考点：线性规划答案：C试题解析：设第一种买包，第二种买包，花费为，则当时，当时，当时，当时，当时，所以花费最少为44元.二、填空题（共4小题）13.与直线垂直的直线的倾斜角为考点：两条直线的位置关系答案：试题解析：由得：所以所以直线垂线的所以倾斜角14.若函数为奇函数，则________．考点：函数的奇偶性答案：-1试题解析：因为函数为奇函数，所以即所以15.已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是．考点：充分条件与必要条件答案：试题解析：因为所以因为是的充分不必要条件，所以所以又因为所以16.如图，在三棱锥中，，，平面平面，为中点，点分别为线段上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为________．考点：空间几何体的表面积与体积答案：试题解析：设因为，，为中点所以所以所以当时，三棱锥体积的最大值为.三、解答题（共7小题）17.如图，在中，，，是边上一点．（Ⅰ）求的面积的最大值；（Ⅱ）若的面积为4，为锐角，求的长．考点：解斜三角形答案：见解析试题解析：因为在中，是边上一点，所以由余弦定理得：所以所以所以的面积的最大值为（2）设，在中，因为的面积为，为锐角，所以所以，由余弦定理得，所以，由正弦定理，得，所以，所以，此时，所以,所以的长为18.已知数列中，，记为的前项的和，，．（1）判断数列是否为等比数列，并求出；（2）求.考点：等比数列答案：见解析试题解析：（1），，，即，所以是公比为的等比数列.，，（2）由（1）可知，所以是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，以为公比的等比数列19.如图所示，在多面体中，是边长为2的等边三角形，为的中点，．（1）求证：；（2）若，求点到平面的距离．考点：立体几何综合答案：见解析试题解析：（1）取的中点，连接，因为，所以，因为为等边三角形，所以，因为，所以平面，因为平面，所以（2）因为在中，，所以，因为为等边三角形，所以，因为，所以，所以，因为，所以平面，又因为，所以，因为，所以,因为，四边形为平行四边形，，所以，设点到平面的距离为，由，得，解得20.如图，四棱锥的底面为矩形，，，点在底面上的射影在上，，分别是的中点.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）在边上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.考点：立体几何综合答案：见解析试题解析：（Ⅰ）在矩形中，，且是的中点，∴∠=∠,∴∠=∠,∵∠∠,∴∠∠,即⊥.由题可知面面，且交线为，∴面.（Ⅱ）取的中点，的中点，连结、.∵，且∴四边形为平行四边形，∴∵是的中点，是的中点，∴，∴.过作交于，连结，∵,，∴平面平面，∴平面.由可知：∴21.设函数.（1）若函数在上为减函数，求实数的最小值；（2）若存在，使成立，求实数的取值范围.考点：导数的综合运用答案：见解析试题解析：（1）函数定义域为：，对函数求导：，若函数在上为减函数，则在恒成立所以：，由，故当，即时，所以：，所以的最小值是.（2）若存在，使成立，则问题等价为：当时，由（1）知：在的最大值为，所以所以问题转化为：（ⅰ）当时，由（1）知：在是减函数，所以的最小值是，解得：（ⅱ）当时，在的值域是①当，即时，在是增函数，于是：，矛盾②当，即时，由的单调性和值域知：存在唯一的，使得且当时，，为减函数；当时，，为增函数所以：的最小值为，即：，矛盾综上有：22.在直角坐标系中，已知直线:（t为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线的极坐标方程为,直线和曲线的交点为．（Ⅰ）求直线和曲线C的普通方程；（Ⅱ）求．考点：参数和普通方程互化极坐标方程答案：见解析试题解析：（1）直线:，两式相减，消掉参数，得到直线的普通方程是：；曲线的极坐标方程为，两边同乘得到曲线C的普通方程是：.（2）将直线的标准方程化为参数方程是：（t为参数）代入曲线可得，所以23.已知函数，（Ⅰ）解关于的不等式；（Ⅱ）若函数的图象恒在函数图象的上方，求实数的取值范围．考点：绝对值不等式答案：见解析试题解析：（Ⅰ）由得，，故不等式的解集为（Ⅱ）∵函数的图象恒在函数图象的上方∴恒成立，即恒成立∵，∴的取值范围为．。