2021届安徽省皖江名校联盟高三上学期12月联考数学（文）试题一、单选题 1．设复数132iz i+=-，则||z =（ ）A ．3BC ．2D【答案】D【分析】由复数除法求得z ，再由模的定义计算．【详解】13(13)(2)171725555i i i i z i i +++-+====-+-，||z ==故选：D ．2．设全集U =R ，集合{}{|(1)(3)0},|24xA x x xB x =--≤=<，则集合()UA B等于（ ） A ．(1,2) B ．(2.3] C ．(1,3) D ．(2,3)【答案】A【分析】先求出集合A 的补集和集合B ，从而可求出()UA B【详解】因为{|(1)(3)0}{|13}UA x x x x x =-->=<<，由24x <，得2x <，所以{|2}B x x =<． 所以(){|12}UA B x x =<<，故选：A ．3．已知命题p ：x ∀∈R ，|1|0x x +->；命题q ：“a b >”是“ln ln a b >”的充要条件，则（ ）A ．()p q ⌝∨为真命题B ．p q ∨为真命题C ．p q ∧为真命题D ．()p q ∧⌝为假命题【答案】B【分析】首先判断出,p q 的真假性，然后根据含有简单逻辑连接词命题的真假性判断出正确选项.【详解】|1|0|1|x x x x +->⇔+>，0x <时右边负数显然成立，0x ≥时1x x +>也成立，所以命题p 是真命题，对于命题q ，当0a =时ln a 没有意义，命题q 是假命题．所以()p q ⌝∨为假命题，A 错误；p q ∨为真命题，B 正确；p q ∧为假命题，C 错误；()p q ∧⌝为真命题，D 错误．故选：B4．若72ln ,log 6,log 0.64a b c π===，则（ ） A ．c a b >> B ．b a c >>C ．a b c >>D ．b c a >>【答案】C【分析】根据对数函数的性质利用中间值0和1来比较； 【详解】解：因为72ln 1,0log 61,log 0.640a b c π=><=<=<，所以a b c >>；故选：C5．两千多年前，古希腊著名数学家欧几里得把素数（即质数）看作数学中的原子．长期以来，人们在研究素数的过程中取得了及其丰硕的成果，如哥德巴赫猜想、梅森素数等．对于如何判断一个大于1的自然数0n 是否为素数，某数学爱好者设计了如图所示的程序框图，则空白的判断框内应填入的最优判断条件为（ ）A ．?i k ≤B ．1?i k ≤-C ．?i k ≥D ．1?i k ≥-【答案】B【分析】根据合数与素数的定义，n 是合数，它必有约数a ，使得a b n ⨯=，且a 、b n 且不等于1和n ，只要i 等于从2n 的最大整数，ni不是整数，则可判断n 是素数，因此可得判断条件． 【详解】假如n 是合数，它必有一个约数a ，使得a b n ⨯=，且a 、b 两个数中必有一个大于或者等于n ，另一个小于或者等于n ，所以只要小于或者等于n 的整数（1除外），不能整除n ，则n 必是素数，应填入1?i k ≤-， 故选：B ．6．已知单位向量,a b 满足|2||2|a b a b +=-，则(4)()a b a b +⋅-=（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据已知条件得到0a b ⋅=，结合,a b 是单位向量计算出正确选项. 【详解】由|2||2|a b a b +=-两边平方得22224444a a b b a a b b +⋅+=-⋅+， 得0a b ⋅=，又||1,||1a b ==，∴22(4)()4413a b a b a b +⋅-=-=-=． 故选：C7．设等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，已知368,7S S ==，则789a a a ++等于( )A ． 18 B ．18-C ．578D ．558【答案】A【分析】根据等比数列的性质36396,,S S S S S --成等比数列求解即可. 【详解】因为78996a a a S S ++=-,且36396,,S S S S S --也成等比数列,63781S S -=-=-.即8,－1,96S S -成等比数列,所以968()1S S -=,即9618S S -= 所以78918a a a ++= 故选A【点睛】本题主要考查等比数列的前n 项和性质,属于基础题型. 8．函数2()(2)e x f x x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】采用排除法进行排除，根据()00f =可知图象经过原点，以及导函数的符号判断函数的单调性，求出单调区间即可求解. 【详解】根据()00f =，排除C ，因为()22()22e (2)e (2)e xxxf x x x x x '=-+-=-，由2()(2)e 0xf x x '=->得2x >2x <-可知()f x 在(,2-∞-和)2,+∞单调递增，在(2,2-单调递减，排除BD故选：A【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及由函数解析式选择函数的图象，属于常考题型.9．已知函数()sin(3)22f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭图象关于直线518x π=对称，则函数()f x 在区间[0,]π上零点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】由题意可得53()182k k Z ππϕπ⨯+=+∈，结合22ππϕ-<<可得3πϕ=-，只需3()3x k k Z ππ-=∈，求出[0,]x π∈的根即可求解.【详解】函数()sin(3)22f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭图象关于直线518x π=对称， 所以53()182k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得()3k k Z πϕπ=-∈， 又因为22ππϕ-<<，所以3πϕ=-，所以()sin 33f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()sin 303f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则3()3x k k Z ππ-=∈，得39k x ππ=+， 因为[0,]x π∈，所以47,,999x πππ=. 即函数()f x 在区间[0,]π上零点的个数为3. 故选：C10．已知关于x 的不等式2240ax x a -+<在(0,2]上有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞【答案】A【分析】用分离参数法变形为22244x a x x x<=++，然后利用基本不等式求得函数的最值，得参数范围．【详解】2(]0,x ∈时，不等式可化为22244x a x x x<=++；令2()4f x x x =+，则max 1()2a f x <==，当且仅当2x =时，等号成立， 综上所述，实数a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭． 故选：A ．【点睛】方法点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题方法是分离参数法，由分离参数把问题转化为求函数的最值（或值域），然后得出参数范围．11．在正方体1111ABCD A B C D -中，三棱锥11A BC D -内切球的体积为43π，则正方体外接球的表面积为（ ） A ．24π B ．36πC ．48πD ．96π【答案】B【分析】设正方体的棱长为a ，1A 到面1BC D 的距离为h ，先求出4h =，再求出a =即得解.【详解】设正方体的棱长为a ，则三棱锥11A BC D -是棱长BD =的正四面体.因为三棱锥11A BC D -内切球的体积为43π，所以三棱锥11A BC D -内切球的半径为1，设11A BC D -内切球的球心为O ，1A 到面1BC D 的距离为h ， 则11111114,4133A BC D O BC D BC D BC D V V S h S --∆∆=⨯∴=⨯⨯⨯，4h ∴=，又(2,4,33h a ==== 又因为正方体外接球直径就是正方体对角线长，∴3=，其表面积为24336ππ⨯=. 故选：B【点睛】方法点睛：几何体内接外切球的问题，常用的解法有：（1）观察找到球心，再解答；（2）模型法解答；（3）解三角形求解. 要根据已知条件灵活选择方法求解. 12．已知函数1()ln mxf x e x m=-，当0x >时，()0f x >恒成立，则m 的取值范围为（ ） A ．(1,)+∞ B ．(,)e +∞C ．1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】0m ≤不等式不恒成立，确定0m >此时，(0,1]x ∈恒成立，着重考虑1x >的情形，不等式变形为ln mxxem>，再变形为ln ln ln mx x mxe x x xe >=，因此引入函数()x g x xe =，利用导数证明它在(0,)+∞上是增函数，不等式又变形为ln mx x >，ln xm x>，又引入函数ln ()xh x x=，由导数求得其最大值即得m 的范围．【详解】由题意，若0m ≤显然()f x 不是恒大于零，故0m >.（由4个选项也是显然可得）0m >，则1()ln 0mx f x e x m =->在(0,1]上恒成立； 当1x >时，1()ln 0mxf x e x m=->等价于ln 1ln ln ln mx mx x e x mx e x x x e m>⇔⋅>=⋅，令()(0),()(1)0,()t t g t te t g t t e g t '=>=+>在(0,)+∞上单调递增. 因为0,ln 0(1)mx x x >>>，所以ln ln ln mx x mx e x e mx x ⋅>⋅⇔>，即ln (1)xm x x>>, 再设2ln 1ln ()()(1)x xh x h x x x x '-=⇒=>，令()0h x x e '=⇔=， 0x e <<时，()0h x '>，x e >时，()0h x '<，()h x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减， 从而max 1()()h x h e e ==，所以1m e>. 故选：D ．【点睛】本题考查用导数研究不等式恒成立问题，解题关键是问题的化简与转化，首先确定0m >，其次确定(0,1]x ∈恒成立，在1x >时，把不等式变形，通过新函数的单调性逐步转化，最终分离参数转化为求函数的最值．二、填空题13．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若点(3,4)P -在角α的终边上，则sin 2α=_________．【答案】2425-【分析】根据三角函数的定义求得sin ,cos αα，由此求得sin 2α. 【详解】三角函数的定义可知43sin ,cos 55αα===-， 所以4324sin 225525α⎛⎫=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭． 故答案为：2425-14．已知实数x ，y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则22x y z -=的最大值为_________．【答案】32【分析】作出可行域，作出目标函数2t x y =-对应的直线，平移该直线求得t 的最大值，从而可得z 的最大值．【详解】作出可行域，如图ABC 内部（含边界），作直线:20l x y -=， 在2t x y =-时，2y x t =-，直线向下平移，截距减小，z 增大，平移直线l ，当直线l 过点(3,1)C 时，max 2315t =⨯-=，所以5max 232z ==．故答案为：32．15．数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和n S 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.则n a =__________.1n n -【详解】由1111112a S a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，得111a S ==. 当n>1时，由112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ①1112n n n n S a a a -⎛⎫⇒+=+ ⎪⎝⎭1112n n n S a a -⎛⎫⇒=-+ ⎪⎝⎭. ②①+②得11n n nS S a -+=. ③ 又1n n n S S a --=， ④③⨯④得2211n n S S --=.则{}2n S 成等差数列，2n S n =，n S n =.于是，1n n n a S S -=-当1n =时，也满足上式.综上，n a16．在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若21cos cos 2cos ,33c B b C a A AM AB AC +==+，且AM =，则2b c +的最大值是_________. 【答案】6【分析】由正弦定理的边化角得出3A π=，再由23AM =结合向量的运算得出2(2)227b c bc +-=，再由基本不等式得出2b c +的最大值.【详解】由cos cos 2cos c B b C a A +=，结合正弦定理可得sin cos cos sin 2sin cos C B C B A A +=sin 2sin c s (o )B C A A +=sin 2sin cos A A A = sin 0A ≠，1cos 2A ∴=(0,)A π∈，3A π∴=因为222221414cos 333999AM AB AC c b bc A ⎛⎫=+=++= ⎪⎝⎭ 所以2224227(2)227b c bc b c bc ++=⇒+-=222(2)272272b c b c bc +⎛⎫⇒+=+≤+ ⎪⎝⎭得23(2)27264b c b c +≤⇒+≤. 故答案为：6【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由正弦定理的边化角公式化简得出3A π=，再由向量运算结合基本不等式得出最值.三、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若151,25a S ==，且11211n n n S S S n n n -+=+-+，（2n ≥且*n ∈N ）．（1）求n S ，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）设12231111n n n T a a a a a a +=+++，求2021T 的值． 【答案】（1）2n S n =；()21n a n n *=-∈N；（2）202120214043T =. 【分析】（1）由11211n n n S S S n n n -+=+-+可得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，从而可求出2n S n =，再由1n n n a S S -=-可求出数列{}n a 的通项公式，要注意当1n =时要验证； （2）利用裂项相消求和法求解即可 【详解】（1）151,515S S==， 因为11211n n n S S S n n n -+=+-+， 所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，所以首项是1，公差是1，n Sn n =，即2n S n =，所以121n n n a S S n -=-=-（1n >时），显然1n =也符合．所以()21n a n n *=-∈N ．（2）122311111111335(21)(21)n n n T a a a a a a n n +=+++=+++⨯⨯-+11111111112335212122121n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以2021202120212202114043T ==⨯+ 18．ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b、c ，且cos cos cos sin cos B A C B C +=． （1）求角C 的大小；（2）若6c =，且AB 边上的中线4CD =，求ABC 的面积． 【答案】（1）3C π=；（2【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得tan C 的值，进而求得C 的大小. （2）利用cos cos 0BDC ADC ∠+∠=得到2250a b +=，利用余弦定理求得ab ，由此求得三角形ABC 的面积.【详解】（1）因为cos cos cos 3sin cos B A C a B C b +=，由正弦定理，得cos cos cos 3sin sin cos B A C A B C +=，所以cos()cos cos 3sin sin cos A C A C A B C -++=．所以sin sin 3sin cos A C A C =．又因为sin 0A ≠，所以tan 3C =．因为(0,)C π∈，所以3C π=（2）因为cos cos 0BDC ADC ∠+∠=，所以22222234340234234a b +-+-+=⨯⨯⨯⨯，得2250a b +=；又因为22262cos 3a b ab ab π+-==，所以14ab =，所以1137sin 143222S ab C ==⨯⨯=． 19．如图，三棱锥P ABC -中，2,,PA PB AB BC AB BC D ====⊥是AC 的中点.（1）证明：PD AB ⊥；（2）若PB BC ⊥，求点D 到平面PBC 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）32. 【分析】（１）取AB 中点E ，连接,DE PE ，由等到腰三角形的性质可得PE AB ⊥，再由三角形中位线定理和已知条件可得DE AB ⊥，从而由线面垂直的判定定理可得AB ⊥平面PDE ，进而可证得PD AB ⊥；（２）由PB BC ⊥和已知条件可得平面PAB ⊥平面ABC ，再由面面垂直的性质可得PE ⊥平面ABC ，从而可求出P DBC V -，再利用等到体积法可求得结果【详解】（1）证明：取AB 中点E ，连接,DE PE ，因为PA PB =，D 是AC 的中点，所以PE AB ⊥，因为D 是AC 的中点，E 是AB 的中点， 所以1//,12DE BC DE BC ==， 因为AB BC ⊥，所以DE AB ⊥，因为PE DE E =，所以AB ⊥平面PDE ，因为PD ⊂平面PDE ，所以PD AB ⊥（2）解：因为PB BC ⊥，AB BC ⊥，PB AB B ⋂=，所以BC ⊥平面PAB ，因为BC ⊂平面ABC ，所以平面PAB ⊥平面ABC ，因为平面PAB ⋂平面ABC AB =，PE AB ⊥，PE ⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABC ，因为2PA PB AB ===，E 是AB 的中点， 所以323PE 所以1113213332P DBC BCD V S PE -=⨯=⨯⨯⨯=另一方面1112223323P DBC D PBC BCP V V S h h h --⎛⎫==⨯=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，其中h 是点D 到平面PBC 的距离.所以2322h h =⇒=，即点D 到平面PBC 【点睛】关键点点睛：此题考查线线垂直的判定，考查点面距离的求法，第2问解题的关键是利用等体积法求点到面的距离，属于中档题20．设函数32()32f x x x =-+.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若函数()f x 在区间(,5)m m +内存在最小值，求实数m 的取值范围.【答案】（1）(0,2)；（2）[1,2)-.【分析】（1）求出导数，令()0f x '<即可求出递减区间；（2）根据单调性可得(0)2f =是极大值，(2)2f =-是极小值，可得在区间(,5)m m +内的最小值一定是(2)2f =-，可解得121,2x x =-=，则可列式1252m m -≤<⎧⎨+>⎩求解. 【详解】（1）令2()360(0,2)f x x x x '=-<⇒∈，所以()f x 的单调递减区间是(0,2)；（2）由（1）知()f x 在(,0),(2,)-∞+∞上单调递增，在(0,2)上单调递减.所以(0)2f =是极大值，(2)2f =-是极小值，在区间(,5)m m +内的最小值一定是(2)2f =-.令3232()322340f x x x x x =-+=-⇒-+=，得32212133(1)(2)01,2x x x x x x +-+=+-=⇒=-=， 所以1252m m -≤<⎧⎨+>⎩，得实数m 的取值范围是[1,2)-. 【点睛】关键点睛：本题考查利用导数求解函数的单调区间，考查根据最值求参数范围，解题的关键是根据单调性判断出在区间(,5)m m +内的最小值一定是(2)2f =-. 21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，,3BAD Q π∠=为AD 的中点，2PA PD AD ===.（1）点M 在线段PC 上，PM tPC =，试确定t 的值，使得//PA 平面MQB ； （2）在（1）的条件下，若6PB =，求三棱锥M BCQ -的体积. 【答案】（1）13；（2）23. 【分析】（1）由线面平行的性质结合相似三角形的性质确定t 的值，使得//PA 平面MQB ；（2）先证明平面PQC ⊥平面ABCD ，从而得出MH ⊥平面ABCD ，再由棱锥的体积公式得出三棱锥M BCQ -的体积.【详解】（1）当13t =时，//PA 平面MQB . 连接AC 交BQ 于点N ，连接MN ，由题设1//,2AQ BC AQ BC =，得13AN AC = 若//PA 平面MQB ，由平面PAC平面MQB MN =，得//PA MN 于是11,33PM PC t ==. 当1,////3PM AN t PA MN PA PC AC ==⇒⇒平面MQB（2）连接BD ，由题设,ABD PAD △△都是等边三角形，Q 是AD 中点,,3PQ AD BQ AD PQ BQ ⊥⊥==.在PQB △中，2226PQ BQ BQ +==，得PQ BQ ⊥又,,,PQ AD AD BQ Q AD BQ ⊥⋂=⊂平面ABCD ，得PQ ⊥平面ABCD . 又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面ABCD ，作MH CQ ⊥于H平面PQC ⋂平面ABCD QC =，MH ⊂平面PQC则MH ⊥平面223,3ABCD MH PQ == 又1222sin 323BCQ ABC S S π==⨯⨯⨯=，所以1232333M BCQ V -=⨯⨯=【点睛】关键点睛：解决问题二的关键在于由面面垂直的性质证明MH ⊥平面ABCD ，从而得出三棱锥M BCQ -的高，进而由体积公式进行求解.22．已知函数()1x xx f x ae e =--（其中0a >，e 是自然对数的底数）． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 恰好有两个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）10x y -+=；（2）(0,1)∈a .【分析】（1）求出导函数()'f x ，可得切线斜率，从而得出切线方程；（2）问题转化为1()1x x x g x e e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象和直线y a =恰好有2个交点，求()'g x ，确定()g x 的单调性，得()g x 的取值范围，从而可得a 的范围．【详解】（1）当2a =时，()21x x x f x e e =--，所以1()2x x x f x e e'-=-， 所以(0)211f '=-=．又(0)211f =-=，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x -=，即10x y -+=． （2）()10x x x f x ae e =--=1(1)x x x a e e ⇔=+， 问题等价于1()1x x x g x e e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象和直线y a =恰好有2个交点，求a 的取值范围． 令1()1x x x g x e e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则212()x x x e g x e'--=．令()12x h x x e =--， 则()20xh x e '=--<，∴()h x 在(,)-∞+∞上单调递减．又(0)0h =， ∴当(,0)x ∈-∞时，()0h x >，()0g x '>，∴()g x 在(,0)-∞上单调递增． 当(0,)x ∈+∞时，()0h x <，()0g x '<，∴()g x 在(0,)+∞上单调递减， ∴()g x 的极大值即最大值为(0)1g =．∴当(,0]x ∈-∞时，()(,1]g x ∈-∞；当(0,)x ∈+∞时，()(0,1)g x ∈．∴当(0,1)∈a 时，1()1x x x g x e e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象和直线y a =恰好有2个交点，函数()f x 恰好有两个零点．【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的零点．解决函数零点问题的关键是把问题转化为函数()g x 的图象与直线y a =的交点个数问题，从而只要用导数研究函数()g x 的单调性与取值范围，即可得参数范围．。
