江苏省苏州市2013-2018届高三上学期期初9月考试数学试题分类汇编：三角

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编三角函数一、填空题1、（常州市2013届高三期末）函数(1)()cos cos22x x f x -=p p 的最小正周期为 ▲ ． 答案：22、（连云港市2013届高三期末）如果函数y ＝3sin(2x +)(0<<)的图象关于点(3，0)中心对称，则＝ ▲ . 答案：3;3、（南京市、盐城市2013届高三期末）将函数sin(2)3y x π=-的图像向左平移ϕ()0>ϕ个单位后, 所得到的图像对应的函数为奇函数, 则ϕ的最小值为 ▲ . 答案：6π4、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知角ϕ的终边经过点)1,1(-P ，点),(),,(2211y x B y x A 是函数)0)(sin()(>+=ωϕωx x f 图象上的任意两点，若2)()(21=-x f x f 时，21x x -的最小值为3π，则)2(πf 的值是 ▲ .5、（苏州市2013届高三期末）（苏州市2013届高三期末）已知θ为锐角，4sin(15)5θ+=，则cos(215)θ-= ．6、（无锡市2013届高三期末）在△ABC 中，∠A=45o，∠C=105o，AC 的长度为 ． 答案：17、（扬州市2013届高三期末）在ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，且3,sin 2sin a b C A ===，则sin A = ▲ ．8、（镇江市2013届高三期末）5. 已知0ω>,函数3sin()4y x πωπ=+的周期比振幅小1,则ω= ▲ ． 答案：19、（镇江市2013届高三期末） 在△ABC 中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则cos C = ▲ ．41-10、（南京市、盐城市2013届高三期末）在ABC ∆中, 若9cos 24cos 25A B -=, 则BCAC的值为 ▲ ．2311、（南京市、盐城市2013届高三期末）若x ,y 满足22221log [4cos ()]ln ln 4cos ()22y e xy y xy +=-+, 则cos 4y x 的值为 ▲ ． 答案：－1 二、解答题1、（常州市2013届高三期末）已知,αβ均为锐角，且3sin 5α=，1tan()3αβ-=-． （1）求sin()αβ-的值； （2）求cos β的值． 解：（1）∵π,(0,)2αβ∈，从而ππ22αβ-<-<．又∵1tan()03αβ-=-<，∴π02αβ-<-<． …………………………4分∴sin()αβ-=． ………………………………6分（2）由（1）可得，cos()αβ-=∵α为锐角，3sin 5α=，∴4cos 5α=． ……………………………………10分∴cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+- …………12分=43(55+⨯． …………………………14分 2、（连云港市2013届高三期末）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c cos B +b cos C ＝3a cos B .(1)求cos B 的值； (2)若→BA ⋅→BC ＝2，求b 的最小值. 解:(1)因为c cos B +b cos C =3a cos B ,由正弦定理,得sin C cos B +sin B cos C =3sin A cos B ,即sin(B +C )=3sin A cos B . ………………………………5分又sin(B+C )=sin A 0,所以cos B =13. ……………………………7分(2)由→BA ⋅→BC =2,得ac cos B =2,所以ac =6. ………………………9分由余弦定理,得b 2=a 2+c 22ac cos B 2ac 23ac =8,当且仅当a =c 时取等号,故b 的最小值为2 2. (14)3、（南京市、盐城市2013届高三期末）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．(1)若cos(A ＋6π)＝sinA ，求A 的值； (2)若cosA ＝14，4b ＝c ，求sinB 的值．4、（南通市2013届高三期末）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos A B C A B+=+．（1）求角C 的大小；（2）若△ABC 的外接圆直径为1，求22a b +的取值范围． 解：(1)因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A B C A B+=+，所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+， 即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，得 sin()sin()C A B C -=-． …………………………………………………4分 所以C A B C -=-，或()C A B C π-=--(不成立)．即 2C A B =+, 得 3C π=． ………………………………7分(2)由πππ,,,333C A B αα==+=-设2πππ0,,333A B α<<<<知-．因2sin sin ,2sin sin a R A A b R B B ====， ………………………………………8分 故22221cos 21cos 2sin sin 22A B a b A B --+=+=+=12π2π11cos(2)cos(2)1cos 22332⎡⎤-++-=+⎢⎥⎣⎦ααα． …………………11分ππ2π2π,2,3333αα<<<<由-知-1cos 212α-<≤，故223342a b <+≤．……………14分5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）在△ABC ，已知.sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin C B A C B C B A =-+++ （1） 求角A 值；（2） 求C B cos sin 3-的最大值.解：⑴因为(sin sin sin )(sin sin sin )3sin sin A B C B C A B C +++-=，由正弦定理，得()()3a b c b c a bc +++-=，…………………………………………2分所以222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，………………………………4分 因为(0,)A ∈π，所以3A π=．…………………………………………………………6分⑵ 由3A π=，得23B C π+=cos B C -2cos()3B B π--1(cos )2B B B =--sin()6B π=+，……………………………………10分因为203B π<<，所以666B ππ5π<<+，……………………………………………12分当62B ππ=+，即3B π=cos B C -的最大值为1． ……………………14分6、（苏州市2013届高三期末）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，（其中0,0,02A πωϕ>><<）的周期为π，且图像上有一个最低点为2(,3)3M π- （1）求()f x 的解析式； （2）求函数()()4y f x f x π=++的最大值及对应x 的值．（苏州市2013届高三期末）在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直，灯杆BC 与灯柱AB 所在平面与道路垂直，且120ABC ∠=，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知60ACD ∠=，路宽24AD =米，设灯柱高AB h =（米），ACB θ∠=（3045θ≤≤）（1）求灯柱的高h （用θ表示）；（2）若灯杆BC 与灯柱AB 所用材料相同，记此用料长度和为S ，求S 关于θ的函数表达式，并求出S 的最小值．C B A D7、（泰州市2013届高三期末）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，AB ＝1，BC ＝2，现要将些铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN ⊥BC 。

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编不等式1、（常州市2013届高三期末）已知实数,x y 同时满足54276x y --+=，2741log log 6y x -≥，2741yx-≤，则x y +的取值范围是 ▲ ．答案：56⎧⎫⎨⎬⎩⎭2、（连云港市2013届高三期末）关于x 的不等式x 2-ax +2a <0的解集为A ，若集合A 中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是 ▲ . 答案：125[1,)(,9]33--3、（南京市、盐城市2013届高三期末）设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x , 则目标函数23z x y =+的最大值为 ▲答案：264、（南通市2013届高三期末）已知01a <<，若log (21)log (32)a a x y y x -+>-+，且x y <+λ，则λ的最大值为 ▲ ． 答案：－2．5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+++≥≥0,12,0k y x x y x （k为常数），若目标函数y x z +=2的最大值是311，则实数k 的值是 ▲ .答案：－36、（苏州市2013届高三期末）已知()1f x x x =+，则11()()42f x f -<的解集是 ． 答案：7、（无锡市2013届高三期末）已知变量x ，y 满足约束条件004x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，表示平面区域M ，若-4≤a≤t 时，动直线x+y=a 所经过的平面区域M 的面积为7．则t= ．答案：28、（扬州市2013届高三期末）设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥52420y x y x x ，则y x z -=2的最大值是 ▲ ． 答案：39、（镇江市2013届高三期末）已知x ，y 为正数，则22x y x yx y+++的最大值为 ▲ ．答案：3210、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）若对满足条件)0,0(3>>=++y x xy y x 的任意y x ,，01)()(2≥++-+y x a y x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ 答案：37(,]6-∞11、（苏州市2013届高三期末已知实数x ，y 满足不等式20403x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3322x y x y +的取值范围是 ． 答案：。

江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编19：坐标系与参数方程一、解答题1 ．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）选修4-4:坐标系与参数方程 已知在极坐标系下,圆C:p= 2cos(2πθ+)与直线l :ρsin(4πθ+点M 为圆C 上的动点.求点M 到直线l 距离的最大值.2 ．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）(选修4—4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆221164x y +=的右顶点为A ,上顶点为B ,点P 是第一象限内在椭圆上的一个动点,求PAB ∆面积S 的最大值.3 ．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）(选修4—4:坐标系与参数方程)已知直线的参数方程21x ty =-⎧⎪⎨=+⎪⎩(为参数),圆C 的极坐标方程:2sin 0ρθ+=.[来源:学科网](1)将直线的参数方程化为普通方程,圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)在圆C 上求一点P ,使得点P 到直线的距离最小.4 ．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）选修4-4:坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点,极轴与x 轴的正半轴重合.曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 3+=ρθρθ,直线l的参数方程为,1x y t⎧=⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数,t ∈R).试在曲线C 上求一点M ,使它到直线l 的距离最大.5 ．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试）[选修4—4 :坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为θθθ(sin 22,cos 22⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=r y r x 为参数,)0>r ,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为,1)4sin(=+πθρ若圆C 上的点到直线l 的最大距离为3,求r 的值.6 ．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）选修4—4:坐标系与参数方程已知圆C 的极坐标方程为ρ=4cos(θ-π6),点M 的极坐标为(6,π6),直线l 过点M ,且与圆C 相切,求l 的极坐标方程.7 ．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）8 ．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）(选修4—4:坐标系与参数方程)已知曲线C 的参数方程,2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数),直线l 的极坐标方程:sin()14πρθ-=.直线l 与曲线C交于M ,N 两点,求MN 的长.9 ．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）(选修4-4:坐标系与参数方程)已知圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==2sin cos θθy x (θ为参数),以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为1cos sin =+θρθρ,求直线l 截圆C 所得的弦长.10．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）(选修4—4:坐标系与参数方程)在极坐标系中, A 为曲线22cos 30ρρθ+-=上的动点, B 为直线cos sin 70ρθρθ+-=上的动点, 求AB 的最小值.11．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）C. 选修 4 - 4:坐标系与参数方程 已知椭圆C :221169x y +=与x 正半轴、y 正半轴的交点分别为,A B ,动点P 是椭圆上任一点,求PAB ∆面积的最大值.12．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线1C 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,曲线2C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,判断两曲线的位置关系.13．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,已知直线2cos sin 0(0)a a ρθρθ=>++被圆4sin ρθ=截得的弦长为2,求a 的值.14．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）(选修4—4:坐标系与参数方程)求圆3cos ρθ=被直线22,14x t y t=+⎧⎨=+⎩(是参数截得的弦长.15．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标xOy 中,已知圆221:4C x y +=,圆222:(2)4C x y -+=.(1)在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别求圆12,C C 的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标;(2)求圆12C C 与的公共弦的参数方程.江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编19：坐标系与参数方程参考答案一、解答题1 ．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）选修4-4:坐标系与参数方程【答案】2 ．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）(选修4—4:坐标系与参数方程)【答案】4 ．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）(选修4—4:坐标系与参数方程)【答案】4 ．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）选修4-4:坐标系与参数方程【答案】解:曲线C 的普通方程是2213x y += 直线l的普通方程是0x =设点M的直角坐标是,sin )θθ,则点M 到直线l 的距离是因为)4≤+≤πθ,所以 当πsin()14θ+=-,即ππ2π(42k k θ+=-∈Z),即3π2π(4k k θ=-∈Z)时,d 取得最大值.==θθ综上,点M的极坐标为7π)6时,该点到直线l 的距离最大 注 凡给出点M的直角坐标为(,不扣分. 5 ．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）[选修4—4 :坐标系与参数方程]【答案】因为圆C的参数方程为cos ,2sin x r y r θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(θ为参数,0r >),消去参数得,()2220x y r r ⎛⎛+++=> ⎝⎭⎝⎭,所以圆心C ⎛ ⎝⎭,半径为r , 因为直线l 的极坐标方程为sin()14ρθπ+=,化为普通方程为x y +圆心C到直线x y +2d ==,又因为圆C 上的点到直线l 的最大距离为3,即3d r +=,所以321r =-=6 ．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）选修4—4:坐标系与参数方程解 以极点为原点,极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系,则圆C 的直角坐标方程为(x - 3)2+(y -1)2=4, 点M 的直角坐标为(3 3,3) 当直线l 的斜率不存在时,不合题意.设直线l 的方程为y -3=k (x -33), 由圆心C (3,1)到直线l 的距离等于半径2.故|23k －2|k 2＋1=2 解得k =0或k =3.所以所求的直线l 的直角坐标方程为y =3或3x -y -6=0 所以所求直线l 的极坐标方程为ρsin θ=3或ρsin(π3-θ)=37 ．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）解:曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2+y 2-4x =0, 即(x -2)2+y 2=4 直线l 的普通方程方程为y =x -m , 则圆心到直线l 的距离d =4－(142)2=22, 所以|2－0－m |2=22,即|m -2|=1,解得m =1,或m =38 ．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）(选修4—4:坐标系与参数方程)【答案】9 ．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）(选修4-4:坐标系与参数方程)【答案】圆C 的方程为 1)2(22=-+y x ;直线l 的方程为 1=+y x . 故所求弦长为22120=-+=d10．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）(选修4—4:坐标系与参数方程)【答案】解:圆的方程可化为()2214x y ++=,所以圆心为()1,0-,半径为2 又直线方程可化为70x y +-=所以圆心到直线的距离d 故min ()AB=211．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）C. 选修4 - 4:坐标系与参数方程 【答案】C. 选修 4 - 4:坐标系与参数方程 解:依题意(4,0)A ,(0,3)B ,5AB =,直线AB :143x y+=,即34120x y +-= 设点P 的坐标为(4cos ,3sin )θθ,则点P 到直线AB 的距离是|34cos 43sin 12|12|)1|554d θθπθ⋅+⋅-==+-, 当sin()14πθ+=-时,max d =所以PAB ∆面积的最大值是max 11)2S AB d =⋅=+ 12．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）选修4—4:坐标系与参数方程【答案】解:将曲线12,C C 化为直角坐标方程得: 1:20C x +=, 222:220C x y x y +--= 即()()222:112C x y -+-=, 圆心到直线的距离d >∴曲线12C C 与相离. 13．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）选修4-4:坐标系与参数方程【答案】直线的极坐标方程化为直角坐标方程为20x y a =++,圆的极坐标方程化为直角坐标方程为224x y y =+,即22(2)4x y -=+ , 因为截得的弦长为2,所以圆心(0,2)=因为0a >,所以2a14．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）(选修4—4:坐标系与参数方程)【答案】解:将极坐标方程转化成直角坐标方程: 3cos ρθ=即:223x y x +=,即2239()24x y -+=; 22,14,x t y t =+⎧⎨=+⎩ 即:23x y -=, 0d , 即直线经过圆心,所以直线截得的弦长为315．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）选修4-4:坐标系与参数方程【答案】【解】(1)圆1C 的极坐标方程为=2ρ, 圆2C 的极坐标方程为4cos ρθ=,由24cos ρρθ=⎧⎨=⎩，得π=23ρθ=±，,故圆12C C ，交点坐标为圆()()ππ2233-，，，(2)由(1)得,圆12C C ，交点直角坐标为(1(1，, 故圆12C C 与的公共弦的参数方程为1(x y t t =⎧⎪⎨=⎪⎩，．注:第(1)小题中交点的极坐标表示不唯一;第(2)小题的结果中,若未注明参数范围,扣2分.。

【最新整理，下载后即可编辑】苏州市2018届高三第一学期期中调研试卷数 学一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸．．．相应的位置) 1．已知集合{1,2,3,4,5},{1,3},{2,3}U A B ===，则()U A B = ▲ ．2．函数1ln(1)y x =-的定义域为 ▲ ．3．设命题:4p x >；命题2:540q x x -+≥，那么p 是q 的 ▲ 条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）． 4．已知幂函数22*()m m y x m -=∈N 在(0,)+∞是增函数，则实数m 的值是 ▲ ．5．已知曲线3()ln f x ax x =+在(1,(1))f 处的切线的斜率为2，则实数a 的值是▲ ．6．已知等比数列{}n a 中，32a =，4616a a =，则7935a a a a -=- ▲ ．7．函数sin(2)(0)2y x ϕϕπ=+<<图象的一条对称轴是12x π=，则ϕ的值是 ▲ ．8．已知奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，则不等式()01f x x >-的解集为 ▲ ．9．已知tan()24απ-=，则cos2α的值是 ▲ ．10．若函数8,2()log 5,2ax x f x x x -+⎧=⎨+>⎩≤(01)a a >≠且的值域为[6,)+∞，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11．已知数列{},{}n n a b 满足1111,1,(*)21n n n n a a b b n a +=+==∈+N ，则122017b b b ⋅⋅=▲ ．12．设ABC △的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，D 为AB 的中点，若cos sin b a C c A=+且CD =ABC △面积的最大值是▲ ．13．已知函数()sin()6f x x π=-，若对任意的实数5[,]62αππ∈--，都存在唯一的实数[0,]m β∈，使()()0f f αβ+=，则实数m 的最小值是 ▲ ． 14．已知函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨+⎩≤，若直线y ax =与()y f x =交于三个不同的点(,()),(,()),A m f m B n f n(,())C t f t （其中m n t <<），则12n m++的取值范围是 ▲ ．二、解答题(本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本题满分14分)已知函数1())(0,0)42f x ax b a b π=+++>>的图象与x 轴相切，且图象上相邻两个最高点之间的距离为2π．（1）求,a b 的值；（2）求()f x 在[0,]4π上的最大值和最小值．16．(本题满分14分)在ABC △中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ，已知sin sin sin ()B C m A m +=∈R ，且240a bc -=．（1）当52,4a m ==时，求,bc 的值；（2）若角A 为锐角，求m 的取值范围．17．(本题满分15分)已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且满足11a =，*131()n n S S n +=+∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n b 中，13b =，*11()n n n na b b n a ++-=∈N ，若不等式2n n a b n λ+≤对*n ∈N 有解，求实数λ的取值范围．如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是等腰梯形，其中AB 为2米，梯形的高为1米，CD 为3米，上部CmD 是个半圆，固定点E 为CD 的中点．MN 是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆（横杆面积可忽略不计），且滑动过程中始终保持和CD 平行．当MN 位于CD 下方和上方时，通风窗的形状均为矩形MNGH （阴影部分均不通风）． （1）设MN 与AB 之间的距离为5(02x x <≤且1)x ≠米，试将通风窗的通风面积S （平方米）表示成关于x 的函数()y S x =；（2）当MN 与AB 之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积S 取得最大值？19．(本题满分16分)已知函数2()ln ,()f x x g x x x m ==--． （1）求过点(0,1)P -的()f x 的切线方程；（2）当0=m 时，求函数()()()F x f x g x =-在],0(a 的最大值；（3）证明：当3m ≥-时，不等式2()()(2)e x f x g x x x +<--对任意1[,1]2x ∈均成立（其中e 为自然对数的底数,e 2.718...=）．已知数列{}n a 各项均为正数，11a =,22a =，且312n n n n a a a a +++=对任意*n ∈N 恒成立，记{}n a 的前n 项和为n S ． （1）若33a =，求5a 的值；（2）证明：对任意正实数p ，221{}n n a pa -+成等比数列；（3）是否存在正实数t ，使得数列{}n S t +为等比数列．若存在，求出此时n a 和n S 的表达式；若不存在，说明理由．2017—2018学年第一学期高三期中调研试卷数学(附加题部分)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相．．．．．．．．．．应的答题区域内作答．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．(几何证明选讲)（本小题满分10分）如图，AB 为圆O 的直径，C 在圆O 上，CF AB ⊥于F ，点D 为线段CF 上任意一点，延长AD 交圆O于E ，030AEC ∠=． （1）求证：AF FO =； （2）若CF =，求AD AE ⋅的值．BB ．(矩阵与变换)（本小题满分10分）已知矩阵1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，42α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求49αA 的值．C ．(极坐标与参数方程)（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为42525x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为cos()(0)4a ρθπ-≠．（1）求直线l 和圆C 的直角坐标方程；（2）若圆C 任意一条直径的两个端点到直线l，求a的值．D ．(不等式选讲)（本小题满分10分）设,x y 均为正数，且x y >，求证：2212232x y x xy y ++-+≥．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)在小明的婚礼上，为了活跃气氛，主持人邀请10位客人做一个游戏．第一轮游戏中，主持人将标有数字1,2,…,10的十张相同的卡片放入一个不透明箱子中，让客人依次去摸，摸到数字6,7,…,10的客人留下，其余的淘汰，第二轮放入1,2,…,5五张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字3,4,5的客人留下，第三轮放入1,2,3三张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字2,3的客人留下，同样第四轮淘汰一位，最后留下的客人获得小明准备的礼物．已知客人甲参加了该游戏． （1）求甲拿到礼物的概率；（2）设ξ表示甲参加游戏的轮数．．，求ξ的概率分布和数学期望()E ξ．23．(本小题满分10分)（1）若不等式(1)ln(1)x x ax ++≥对任意[0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围；（2）设*n ∈N ，试比较111231n ++++与ln(1)n +的大小，并证明你的结论．2017—2018学年第一学期高三期中调研试卷数 学 参 考 答 案一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．{1} 2．(1,2)(2,)+∞3．充分不必要 4．15．136．4 7．3π 8．(2,0)(1,2)-9．45-10．(1,2] 11．12018 12．113．2π14．1(1,e )e+二、解答题(本大题共6个小题，共90分) 15．(本题满分14分)解：（1）∵()f x 图象上相邻两个最高点之间的距离为2π，∴()f x 的周期为2π，∴202||2a a ππ=>且，······································································2分∴2a =，··················································································································4分此时1())42f x x b π=+++， 又∵()f x 的图象与x 轴相切，∴1||02b b +=>，·······················································6分∴122b =-；··········································································································8分（2）由（1）可得())4f x x π=+∵[0,]4x π∈，∴4[,]444x ππ5π+∈， ∴当444x π5π+=，即4x π=时，()f x 有最大值为；·················································11分当442x ππ+=，即16x π=时，()f x 有最小值为0．························································14分 16．(本题满分14分) 解：由题意得b c ma+=，240a bc -=．···············································································2分（1）当52,4a m ==时，5,12b c bc +==，解得212b c =⎧⎪⎨=⎪⎩或122b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩；································································································6分（2）2222222222()()22cos 23222a ma abc a b c bc a A m a bc bc--+-+--====-，····························8分∵A 为锐角，∴2cos 23(0,1)A m =-∈，∴2322m <<，····················································11分又由b c ma +=可得0m >，·························································································13分∴m <<···········································································14分 17．(本题满分15分)解：（1）∵*131()n n S S n +=+∈N ，∴*131(,2)n n S S n n -=+∈N ≥，∴*13(,2)n n a a n n +=∈N ≥，·························································································2分又当1n =时，由2131S S =+得23a =符合213a a =，∴*13()n n a a n +=∈N ，······························3分∴数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，通项公式为1*3()n n a n -=∈N ； (5)分（2）∵*113()n n n na b b n a ++-==∈N ，∴{}n b 是以3为首项，3为公差的等差数列，····················7分∴*33(1)3()n b n n n =+-=∈N ，·····················································································9分∴2n n a b nλ+≤，即1233n n nλ-⋅+≤，即2133n n n λ--≤对*n ∈N 有解，··································10分设2*13()()3n n nf n n --=∈N ，∵2221(1)3(1)32(41)(1)()333n n nn n n n n n f n f n -+-+---++-=-=， ∴当4n ≥时，(1)()f n f n +<，当4n <时，(1)()f n f n +>， ∴(1)(2)(3)(4)(5)(6)f f f f f f <<<>>>， ∴max 4[()](4)27f n f ==，···························································································14分∴427λ≤．·············································································································15分 18．(本题满分15分)解：（1）当01x <≤时，过A 作AK CD ⊥于K （如上图），则1AK =，122CD AB DK -==，1HM x =-，由2AKMH DKDH ==，得122HM xDH -==，∴322HG DH x =-=+， ∴2()(1)(2)2S x HM HG x x x x =⋅=-+=--+；·······························································4分当512x <<时，过E 作ET MN ⊥于T ，连结EN （如下图），则1ET x =-，22239(1)(1)224MN TN x x ⎛⎫==---- ⎪⎝⎭∴292(1)4MN x =--∴29()2(1)(1)4S x MN ET x x =⋅=---，······································································8分综上：222,01()952(1)(1)142x x x S x x x x ⎧--+<⎪=⎨---<<⎪⎩≤；·································································9分（2）当01x <≤时，2219()2()24S x x x x =--+=-++在[0,1)上递减，∴max ()(0)2S x S ==；································································································11分2︒当512x <<时，229(1)(1)94()2(224x x S x x -+--=-⋅=，当且仅当(1)x -=51(1,)2x +∈时取“=”， ∴max 9()4S x =，此时max 9()24S x =>，∴()S x 的最大值为94，············································14分答：当MN 与AB1+米时，通风窗的通风面积S 取得最大值．····················15分 19．(本题满分16分)解：（1）设切点坐标为00(,ln )x x ，则切线方程为0001ln ()y x x x x -=-， 将(0,1)P -代入上式，得0ln 0x =，01x =， ∴切线方程为1y x =-；·······························································································2分（2）当0m =时，2()ln ,(0,)F x x x x x =-+∈+∞， ∴(21)(1)(),(0,)x x F x x x+-'=-∈+∞，············································································3分当01x <<时，()0F x '>，当1x >时，()0F x '<， ∴()F x 在(0,1)递增，在(1,)+∞递减，·············································································5分∴当01a <≤时，()F x 的最大值为2()ln F a a a a =-+； 当1a >时，()F x 的最大值为(1)0F =；········································································7分（3）2()()(2)e x f x g x x x +<--可化为(2)e ln x m x x x >-+-，设1()(2)e ln ,[,1]2x h x x x x x =-+-∈，要证3m ≥-时()m h x >对任意1[,1]2x ∈均成立，只要证max ()3h x <-，下证此结论成立． ∵1()(1)(e )x h x x x'=--，∴当112x <<时，10x -<，·······················································8分设1()e x u x x=-，则21()e 0x u x x '=+>，∴()u x 在1(,1)2递增， 又∵()u x 在区间1[,1]2上的图象是一条不间断的曲线，且1()202u =<，(1)e 10u =->，∴01(,1)2x ∃∈使得0()0u x =，即01e xx =，00ln x x =-，····················································11分当01(,)2x x ∈时，()0u x <，()0h x '>；当0(,1)x x ∈时，()0u x >，()0h x '<；∴函数()h x 在01[,]2x 递增，在0[,1]x 递减，∴0max 00000000012()()(2)e ln (2)212x h x h x x x x x x x x x ==-+-=-⋅-=--，····························14分∵212y x x=--在1(,1)2x ∈递增，∴0002()121223h x x x =--<--=-，即max ()3h x <-， ∴当3m ≥-时，不等式2()()(2)e xf xg x x x +<--对任意1[,1]2x ∈均成立．··························16分 20．(本题满分16分) 解：（1）∵1423a a a a =，∴46a =，又∵2534a a a a =，∴54392a a ==；·······································2分（2）由3121423n n n n n n n n a a a a a a a a +++++++=⎧⎨=⎩，两式相乘得2134123n n n n n n n a a a a a a a ++++++=，∵0n a >，∴2*42()n n n a a a n ++=∈N ， 从而{}n a 的奇数项和偶数项均构成等比数列，···································································4分设公比分别为12,q q ，则1122222n n n a a q q --==，1121111n n n a a q q ---==，······································5分又∵312=n n n na a a a +++，∴42231122a a q a a q ===，即12q q =，···························································6分设12q q q ==，则2212223()n n n n a pa q a pa ---+=+，且2210n n a pa -+>恒成立， 数列221{}n n a pa -+是首项为2p+，公比为q的等比数列，问题得证；····································8分（3）法一：在（2）中令1p =，则数列221{}n n a a -+是首项为3，公比为q 的等比数列，∴22212223213 ,1()()()3(1),11k k k k k k k q S a a a a a a q q q---=⎧⎪=++++++=-⎨≠⎪-⎩， 12122132 ,13(1)2,11k k k k k k k q q S S a q q q q ---⎧-=⎪=-=⎨--≠⎪-⎩，·····································································10分且12341,3,3,33S S S q S q ===+=+，∵数列{}n S t +为等比数列，∴22132324()()(),()()(),S t S t S t S t S t S t ⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩ 即22(3)(1)(3),(3)(3)(33),t t q t q t t q t ⎧+=+++⎪⎨++=+++⎪⎩，即26(1),3,t q t t q +=+⎧⎨=-⎩ 解得14t q =⎧⎨=⎩（3t =-舍去），·························································································13分∴224121k k k S =-=-，212121k k S --=-， 从而对任意*n ∈N 有21n n S =-， 此时2n n S t +=，12n n S tS t-+=+为常数，满足{}n S t +成等比数列， 当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，又11a =，∴1*2()n n a n -=∈N ， 综上，存在1t =使数列{}n S t +为等比数列，此时1*2,21()n n n n a S n -==-∈N ． (16)分法二：由（2）知，则122n n a q -=，121n n a q --=，且12341,3,3,33S S S q S q ===+=+，∵数列{}n S t +为等比数列，∴22132324()()(),()()(),S t S t S t S t S t S t ⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩ 即22(3)(1)(3),(3)(3)(33),t t q t q t t q t ⎧+=+++⎪⎨++=+++⎪⎩，即26(1),3,t q t t q +=+⎧⎨=-⎩ 解得14t q =⎧⎨=⎩（3t =-舍去），·······················································································11分∴121222n n n a q --==，22212n n a --=，从而对任意*n ∈N 有12n n a -=，····································13分∴01211222222112n n n n S --=++++==--， 此时2n n S t +=，12n n S tS t-+=+为常数，满足{}n S t +成等比数列， 综上，存在1t =使数列{}n S t +为等比数列，此时1*2,21()n n n n a S n -==-∈N ． (16)分21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相．．．．．．．．．．应的答题区域内作答．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．(几何证明选讲，本小题满分10分) 解：（1）证明 ：连接,OC AC ，∵030AEC ∠=，∴0260AOC AEC ∠=∠=，又OA OC =，∴AOC ∆为等边三角形， ∵CF AB ⊥，∴CF 为AOC ∆中AO 边上的中线， ∴AF FO =；····························B··········································5分（2）解：连接BE ， ∵CF =，AOC ∆是等边三角形，∴可求得1AF =，4AB =，∵AB 为圆O 的直径，∴90AEB ∠=，∴AEB AFD ∠=∠， 又∵BAE DFA ∠=∠，∴AEB ∆∽AFD ∆，∴AD AF ABAE=，即414AD AE AB AF ⋅=⋅=⨯=．··················································································10分 B ．(矩阵与变换，本小题满分10分) 解：矩阵A 的特征多项式为212()2321f λλλλλ--==----， 令()0f λ=，解得矩阵A 的特征值121,3λλ=-=，····························································2分当11λ=-时特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，当23λ=时特征向量为211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，·····································6分又∵12432ααα⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦，·························································································。