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§5.8复变函数的导数与解析函数

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考研复变函数知识点详解

考研复变函数知识点详解

考研复变函数知识点详解一、导数和解析函数在复变函数中，导数的定义和实数函数中的定义有所不同。

对于复变函数f(z)，如果在点z_0处存在极限：lim_(z→z_0) [f(z)-f(z_0)]/(z-z_0)那么这个极限称为函数f(z)在点z_0处的导数，记作f'(z_0)。

复变函数的导数可以表示为以下形式：f'(z)=lim_(Δz→0) [f(z+Δz)-f(z)]/Δz解析函数是指在定义域内处处可导的复变函数。

解析函数的导数满足Cauchy-Riemann方程：∂u/∂x = ∂v/∂y∂u/∂y = -∂v/∂x其中，函数f(z)=u(x,y) + iv(x,y) (u和v都是实数函数)。

当且仅当Cauchy-Riemann方程成立时，f(z)是解析函数。

二、积分与留数1. 古欧拉公式古欧拉公式是复变函数中的一个重要公式，它表达了自然对数底e 与三角函数之间的关系：e^(ix) = cos(x) + isin(x)2. 积分路径的选择复变函数中，积分路径的选择对积分结果有重要影响。

常用的积分路径有：- 直线路径：沿直线路径积分- 弧线路径：沿弧线路径积分- 闭合路径：沿闭合路径积分3. 留数定理留数定理是复变函数中的重要定理之一，它描述了在奇点处的留数与沿闭合路径的积分之间的关系：∮(f(z)dz) = 2πi∑(Res(f(z);z_k))其中，Res(f(z);z_k)表示在奇点z_k处的留数。

三、级数展开与解析延拓1. 幂级数展开在复变函数中，幂级数展开是一种重要的展开形式，它可以将复变函数表示为幂级数的形式。

其中，泰勒级数展开是一种常用的展开形式。

2. 解析延拓解析延拓是指将一个函数在定义域外进行扩展，以得到更多的函数性质或定义域。

解析延拓可以通过幂级数展开、亚纯函数等方式实现。

四、全纯函数与亚纯函数1. 全纯函数全纯函数是指在定义域内处处可导的复变函数。

全纯函数具有很多重要的性质，如导数存在、解析、无奇点等。

复变函数的导数

复变函数的导数

函数解析与可导、连续、极限的关系由解析函数定义可知，函数在区域内解析与在区域内可导是等价的. 但是，函数在一点处解析和在一点处可导是不等价的两个概念. 就是说，函数在一点处可导，不一定在该点处解析. 但函数在一点解析，则一定在该点可导（而且在该点及其邻域均可导）. 函数在一点处解析比在该点处可导的要求要严格得多.区域解析区域可导（在一点）解析→可导→连续→极限存在反之均不一定成立。

7我们还可以定义其他三角函数如下：(2)根据定义有：()1212122cosh z z z z z z +--+1212z z z z eee e e e --=+=+121212121212z z z z z z z z z z z z e ee e e e e ee e e e------=+++--()1212124cosh cosh z z z z z z e e e e--=-+121211122122124cosh cosh z z z z z z z z z z z z z z e e e ee e e e ee ee ------=--+-++()124cosh cosh 4s z z =+()1212inh sinh 2cosh z z z z -+18()121212cosh cosh cosh sinh sinh z z z z z z ⇒+=+The End The End19作业(2)P385, 7, 8, 17, 18, 57817182020。

§5.9复变函数的导数与解析函数

§5.9复变函数的导数与解析函数


（1） e z e x , Arge z y 2k
(2) (3)
e e z1 z2 e z1 z2 , e z1 e z1 z2 e z2
周期性：e z2ki e z
(4) 处处解析，且有 (e z ) e z
注：(1）y 0 w ex (实指数函数)
x 0 w eiy cos y i sin y (Euler公式)
证：f (z) Re z Im z xy ,
u(x, y) xy , v(x, y) 0
ux (0,0)
lim
x0
u ( x,0)
u(0,0) x
0
vy (0,0)
uy
(0,0)
lim
y0
u(0,
y)
y
u(0,0)
0
vx (0,0)
满足C R条件.
但当z沿 y kx(x 0)趋于零时，有
例1. 求 f z z n (n 为正整数 ) 的导数.
解: f z lim f z z f z
z 0
z
lim z z n z n
z 0
z
lim
z 0
nz n1
C
2 n
z
n2
z
z n1
nz n1
z n nz n1
例2 讨论 f (z) z 的连续性与可导性。 解 f (z) z x iy 在复平面处处连续
如 ln( 1) ln 1 i arg(1) i Ln(1) ln( 1) 2ki (2k 1)i
x0
lim f z z f z lim x iy
z 0
z
(x,y)(0,0) x iy
不存在，因而f z z在复平面上处处不可导
复变函数与积分变换之复变函数的导数总结

复变函数与积分变换之复变函数的导数总结


大
学 称df (z0 ) Az为函数f (z)在z0处的微分，
复 变
或说函数在z0处可微。
函 数 与
若函数在点z0可微，则A f (z0 )，即
积 分 变
dw f (z0 )z f (z0 )dz
换
与一元函数一样，复变函数的可导和微分是
等价的。
3. 可导与连续的关系
哈 尔
x
u x

1
v y

2y
u y


v x

0

iy2仅在直线Im(z
y )=

1 2
1 2
上
的各点可导
例3 讨论函数f (z) xy 在z 0的可微性．
哈
尔 滨
解 由于u( x, y) xy , v( x, y) 0所以
工
程 大 学
ux
(0, 0)

lim
x0
数 与 积 分 变
C

R方程：ux

v y

0，
u y


v x

0
换
但u( x, y)、v( x, y)在点(0, 0)不连续，所以复变
函数f (z)在z 0不连续,从而不可导.
三、解析函数
哈 尔 滨
1. 定义：如果函数f (z)在z0及z0的邻域内处处
工 程
可导，则称f (z)在z0解析.

lim
z0
2yi yi

2
所以f (z) x 2 yi在其定义域内处处不可导.
2. f (z) | z |2
哈 尔
解 由导数的定义,有
复变函数第二章

复变函数第二章


2连续、可导、解析的关系
f ( z ) 在D内解析
f ( z ) 在D内可导
f ( z ) 在z0解析
f ( z ) 在z0可导
f ( z ) 在z0连续
3 复变函数与二元实函数的关系
设f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ), A = u0 + iv0 , z0 = x0 + y0i
例5
求出下列各函数的解析区域,并求出导数.
1）f ( z ) =
z
2
2
z +1
,
x+ y x− y 2) f ( z ) = 2 +i 2 2 2 x +y x +y
f ( z )在z 2 + 1 ≠ 0，即z ≠ ±i外处处可导，因此 解: 1) 其解析区域为复平面内除去z ≠ ±i两点.且
2z 2 z ( z 2 + 1) − z 2 2 z = 2 f ′( z ) = 2 2 ( z + 1) 2 ( z + 1)
则称f ( z )在z 0 可导.这个极限值称为f ( z )在z 0的导数.
dω 记作f ′( z0 ) = dz
z = z0
f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) = lim . ∆z → 0 ∆z
在定义中应注意: 在定义中应注意
z0 + ∆z → z0 (即∆z → 0)的方式是任意的 .
∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂u 则 = + = cos θ + sin θ ∂r ∂x ∂r ∂y ∂r ∂x ∂y
导数公式的其它形式 导数公式
∂u ∂v f ′( z ) = +i ∂x ∂x
复变函数的可导与解析

复变函数的可导与解析


′
(6) { f ( g (z ))} = f ′(w )g ′(z ), 其中w = g (z );
1 ( 7 ) f ′(z ) = , 其中与为两个互为反函 ϕ ′(w ) 数的单值函数 , 且 ϕ ′(w ) ≠ 0.
′
需要注意的是， 需要注意的是，复变函 数的导数定义与一元 实函数的导数定义， 实函数的导数定义，虽 然形式上一样，但在 然形式上一样， 本质上有很大的不同。 本质上有很大的不同。 因为一元实函数导数 定义中的极限是一元实 函数的极限，而复变 函数的极限， 函数导数定义中的极限 对应于二元实函数的 极限。 极限。
可导， 设 f (z) 在z0 可导，即极限
f (z0 + ∆z) − f (z0 ) ∆w = lim lim ∆z→0 ∆z ∆z→0 ∆z
. 存在
∆ 沿实轴趋于零， ∆ 当 z沿实轴趋于零，即 y = 0, ∆z = ∆x → 0 f (z0 + ∆z) − f (z0 ) 时，有 lim ∆z=∆x→0 ∆z
2
定义1 定义
G G 设有复平面上的点集 和复数集 , f 是 , G 一个确定的对应规则如果对 中每一个 w 点z, 通过 f , 在G 中有一个或多个复数 , f G , 与之对应 则称 是定义在 上的 复变函数 记为 f : z → w = f (z)或简记为w = f (z)
∗
∗
G∗ = {w w = f (z), z ∈G}称为 , 函数值集合 , 今后的讨论中G常常为一个平面区域 定义域. 称其为 定义域.
(1) (C) = 0, 其中 为复常数 C ;
′
( 2) z
( )
n
′
= nz
′
复变函数的可导与解析

复变函数的可导与解析

解析函数的定义域
解析函数的定义域是一个复平面上的区域，可以是开集、闭集或边 界。
单值性定理
如果一个函数在某区域内解析，则该函数在该区域内是单值的。
解析函数的性质
无限次可微性
解析函数在其定义域内具有无限次可 微性。
导数的极限存在
如果一个函数在某点解析，则该点的 导数存在且等于该点的极限。
导数的连续性
01-工作不足
单击此处添加文本具体内容
解析函数的判定条件
柯西-黎曼方程
01
柯西-黎曼方程是复变函数中判定函数是否可导的准则，它由两个微分方 程组成，分别对应复平面上的实部和虚部。
02
如果一个复函数在某点满足柯西-黎曼方程，则该函数在该点解析。
03
柯西-黎曼方程是解析函数的基本性质，它在复变函数理论中具有重要地 位。
在工程中的应用
电路分析
在电路分析中，复变函数用于描述交流电的电压和电流，以及解决 相关的微分方程。
控制系统
在控制系统中，复变函数用于描述系统的传递函数和稳定性分析。
信号处理
信号处理中，复变函数用于频域分析和滤波器设计。
在数学其他领域的应用
实分析
复变函数在实分析中用于扩展实数域到复数 域，从而解决一些实数域无法解决的问题。
单调性
函数的导数大于零表示函数在该区间内单调增加， 导数小于零表示函数单调减少。
极值点
函数的导数为零的点可能是函数的极值点，需要进 一步判断。
解析函数的概念与性质
单击此处添加文本具体内容
GENERAL WORK REPORT FOR FOREIGN
解析函数的定义
解析函数
如果一个复变函数在某区域内的全导数存在且连续，则称该函数在 该区域内解析。
复变函数解析函数求导公式

复变函数解析函数求导公式

复变函数解析函数求导公式
文章一：
复变函数是用来描述函数随变量变化时函数值也随之变化的方程式。

它将实空间中的函数映射到复平面上，用于对曲线、曲面、曲体等进行解析研究。

复变函数解析函数，又叫微分函数，是一种求函数的导数的函数。

它可以用于解决有关函数的一般性问题，以便了解曲线的特性。

以一元函数为例，它的复变函数求导公式为：
Y′=f′（X）=aX^n-1
其中，Y'代表函数f(x)关于x的导数；a是一个常数；X是函数关于变量x的值；n是an次多项式的次数，也就是曲线的曲率。

要想求复变函数的导数，首先要明确函数的表达式，在其中提取函数的变量，然后用复变函数求导公式进行计算即可。

而此外，还有把复变函数表示成一个偏导数方程，再根据偏导数的定义，用它的定义解决这类问题的方法，即黎曼函数的求导理论。

通过研究复变函数求导公式，可以有效地求出函数的导数、知道函数特性、求出图形特征，实现求解微积分方程、曲线，以及计算函数的积分，从而解决实际问题。

复变函数求导公式的研究无论在理论上还是应用上，都具有极重要的意义。

复变函数知识点归纳

复变函数知识点归纳

复变函数知识点归纳
本文旨在归纳复变函数的相关知识点，以下是一些主要内容：
1. 复数与复平面
复数是由实部和虚部构成的数，常用形式为`z = a + bi`，其中`a`为实部，`b`为虚部。

复平面将复数表示为在平面上的点，实部和虚部分别对应点的横坐标和纵坐标。

2. 复变函数定义
复变函数是将复数映射到复数的函数。

常见的复变函数形式包括多项式函数、指数函数、三角函数、对数函数等。

3. 解析函数与共轭函数
解析函数是在某个区域上处处可导的函数。

共轭函数是将解析函数的虚部取相反数得到的函数。

4. 复变函数的导数
复变函数的导数由实部和虚部的偏导数组成。

对于解析函数，其导数存在且连续。

5. 复变函数的积分
复变函数的积分可通过路径积分的方式计算，即沿着路径对函数进行积分。

路径可以是直线、曲线或任意闭合曲线。

以上是关于复变函数的基本知识点的简要归纳。

复变函数在数学、物理、工程等领域都扮演着重要的角色，深入理解这些知识点能够帮助我们更好地应用和解决实际问题。

需要深入研究和探索的读者可查阅相关教材和资料。

复变函数的导数与解析性

复变函数的导数与解析性

f ( z) g( z) , f ( z) g( z) , f ( z) ( g ( z ) 0) 在 z0 处解析。 g( z)
（2） 若函数 w f (h) 在 区域G内解析, 而 h ( z ) 在 区域D内解析, 且 ( D) G , 则复合函数 w f [ ( z )] 在 区域D内解析, 且
此极限值称为 f ( z ) 在点 z0 处的导数。 记作 f ( z0 ) 或 w z z 0或
dw . dz z z0
即
f ( z0 ) lim
f ( z0 z ) f ( z0 ) w lim z 0 z z 0 z
如果函数f（z）在区域D内每一点都可导，则称f（z）在 D 内可导.
(3) [ f (z) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g( z ) ] g( z) g 2 (z) ( g ( z ) 0) ;
(4) { f [ ( z)]} f (w) ( z) 其中 w ( z) ;
(5) f ( z ) 1 其 中 w f ( z ) 和 z ( w )是 (w)
第八模块
第三节
复变函数
复变函数的导数与解析性
一、复变函数的导数 二、复变函数的解析性
一、复变函数的导数
（一）复变函数的导数的概念
当变量 设函 w f ( z)在包含 z0 的某区域 D 内有定义， z 在点 数 z0 处取得增量时，相应地，函数 f ( z ) 取得增量
w f ( z0 z) f ( z0 ) w lim 如果极限 存在。 则称 f ( z ) 在点 z0 处可导。 z 0 z
例1 例2
2 求函数 f ( z) z 的导数。
复变函数-解析函数

复变函数-解析函数


7
定理1 函数的解析点一定是它的可导 点．反之不真；点 z0为函数 的解析点的 充分必要条件是点 为z0其可导点所构成 的集合的内点。
推论2 复变函数不会只在有限个点或者一 条曲线上解析，它的全体解析点的集合 一定是开集。
如果f(z)再z0不解析，那么称z0为的奇点
定 理 3 在区域D内解析的两个函数的和，差，积，商(除 分母为零的点)在D内解析；解析函数的复合函数仍然是解 析函数。
则称 f (z) 在 z0 处解析. 如果函数 f (z)在 区域 D内每一点解析，则称
f (z) 在 区域 D内解析
如果G 是一个区域，若闭区域D G, 且函 数 f (z) 在 区域 G 内解析，则称f (z) 在闭区域 D 上 的 解 析 函 数.
由定义可得：复变函数在一点处的解析与可导
不等价，但在区域内解析与在该区域内可导是等
解 (1) w =| z |,
此时 u = x2 + y2 , v = 0,
u x , u y , v 0, v 0.
x x2 + y2 y x2 + y2 x
y
不满足Cauchy-Riemann方程,
故 w =|z|在复平面内处处不可导, 处处不解析.
15
(2) f (z) ex (cos y i sin y)
27
从而，可知 (1) 所有多项式在复平面内是处处解析的. (2) 任何一个有理分式函数P(z) 在不含分母为
f'(z) = u'x + iv'x = x / ( x2 + y2 ) - iy / ( x2 + y2 )
x - yi 1
= x2 + y2

大学物理-复变函数的导数与解析性


又
得微分公式
(微分与导数的关系)
二、柯西——黎曼条件 (C–R 条件)
要解决的问题：给定一函数 w = f (z) = u(x , y) + i v(x, y)，
如何判断 f (z) 在点 z 是否可导？
导数存在的必要条件：
f (z) 在点 z 可导的必要条件是
存在，且
满足 C – R 条件：
证明：由函数导数的定义，z 以任何方式趋于零时,极限
z0 z
故 f (z) 在 z = 0 点不可导。
四、复变函数导数的几何意义 设 w = f (z) 在 z0 可导，即有
复变函数的几何意义：当 z 在 Z 平面沿曲线 L 变动时，w 在 W 平面沿曲线 L' 变动。z, w, f ' (z0) 的表示式：
ห้องสมุดไป่ตู้
由导数的定义式可得：
导数的几何意义： 1. 导数的模 f ' (z0) 表示通过点 z0 的无穷小线段 z，映射 为 W 平面的 w 时，长度的放大系数。 2.导数的辐角 arg f ' (z0) 表示曲线 L 上点 z0 的切线与曲线 L' 上的点 w0 的切线的夹角，即从 Z 平面到 W 平面映射 前后切线的转动角。
同理 f 'y 存在且等于 B，故
(全微分与偏导数及自变量 微分间的关系)
对一元函数，可微与可导是同一回事，而对多元函数，
偏导数存在不一定可微，但在一定条件下，偏导数与可微
性之间密切联系。以下定理说明了这种联系：
定理：若 f 'x (x ,y) 及 f 'y (x ,y) 在点 (x ,y) 及某一邻域内存在， 且在该点它们都连续，则函数 u = f (x,y) 在该点可微。

复变函数

1)u( x , y )，v ( x , y )在点( x , y )可微; 2)满足柯西- 黎曼方程：
u v u v ， 。 x y y x
证明:
必要性
f(z)在D内一点z可导，则：
f f ( z z ) f ( z ) f '( z )z ( z )z
比较两边实部与虚部得：
u ax by 1x 2 y v bx ay 2 x 1y
由于 lim ( z ) 0 ，所以
z 0
x 0 y 0
lim 1 0 lim 2 0
x 0 y 0
所以u，v可微，且
lim 其中，A与z无关， z0 ( z ) 0. 则称f(z)在z0处可微。
并称Az为f(z)在z0处的微分。记作 dw Az 可以证明， f(z)在z0处可微的充要条件是f(z)在z0处 可导。且 A f ( z0 )，即 dw f ( z0 )z 由于在dz z ，故dw f ( z0 )dz。

f ( z ) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) , ( g ( z ) 0) 2 g( z ) [ g( z )]
{ f [ g( z )]} f ( w ) g( z ), 其中w g( z ).
1 f ( z ) , 其中w f ( z )与z ( w )是两个互为反 ( w ) 函数的单值函数，且 ( w ) 0.
h( z0 z ) h( z0 ) z 的极限不存在。 因此，函数h(z)=|z|2仅在z0=0处可导，而在其它点 均不可导. 故它在整个复平面上不解析。
几个重要结论： 1、两个解析函数的和、差、积 、商（分母不为零） 是解析函数。

《复变函数》第二章 解析函数

函数在区域 D内解析的充要条件 定理二 函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在其定义 域 D内解析的充要条件是: u( x, y)与 v( x, y) 在 D内可微, 并且满足柯西－黎曼方程.
28
解析函数的判定方法: (1) 如果能用求导公式与求导法则证实复变函 数 f (z) 的导数在区域 D内处处存在, 则可根据 解析函数的定义断定 f (z) 在 D内是解析的.
令 z0 z 沿直线 y y0 k( x x0 ) 趋于 z0,
z z
x x
iy iy
1 1
i i
y
x y
1 ik 1 ik
x
18
由于 k 的任意性,
z 1 ki 不趋于一个确定的值. z 1 ki
lim h(z0 z) h(z0 )不存在.
z0
z
因此 h(z) z 2 仅在 z 0 处可导, 而在其他点都 不可导,根据定义, 它在复平面内处处不解析.
0, 0, 使得当 0 | z | 时,
有
f
( z0
z) z
f
(z0 )
f
(z0 )
,
令 (z)
f (z0 z) z
f (z0 )
f (z0 )
9
则 lim (z) 0, z0
因为 f (z0 z) f (z0 ) f (z0 )z (z)z,
所以
lim
z0
f
( z0
3
例1 求f (z) z2的导数.
解 f (z) lim f (z z) f (z)
ห้องสมุดไป่ตู้
z0
z
lim (z z)2 z2
z0
z

复变函数与解析函数

复变函数与解析函数专业：工程力学 姓名：李小龙 学号：10110756在此仅对基础知识加以总结归纳。

一、 基本概念1、 复数 指数表示：cos sin ,i i e i z re r z Argzθθθθθ=+===宗量：一个函数的自变量是一个复杂的对象，这是通常称为宗量。

若θ是z 的辐角，则2n θπ+也是其辐角，其中,n Z Z ∈是整数集合，若限制2θπ≤<，所得的单值分支称为主值分支，记作argz 。

做球面与复平面相切于原点O ，过O 点作直线OZ 垂直于复平面，与球面交于N ，即球的北极。

设z 是任意复数，连接Nz ，与复球面交于P ，z 与P 一一对应，故复数也可用球面上的点P 表示，该球面称为复球面。

当,z P N →∞→，作为N 的对应点，我们把复平面上无穷远点当做一点，记作∞，包括∞的复平面称为扩充复平面。

2、 复变函数领域：由等式0z z ε-<所确定的点集，称为0z 的ε领域，记作0(,)N z ε，即以0z 为中心，ε为半径的开圆（不包括圆周）。

区域：非空点集D 若满足：一、D 是开集，二、D 是连通的，即D 中任意两点均可以用全属于D 的折线连接。

则我们称D 为区域。

单通与复通区域：在区域D 内画任意简单闭曲线，若其内部全含于D,则D 称为单通区域，否则称为复通区域。

复变函数：以复数为自变量的函数。

记 ,z x iy w u iv =+=+ 则：()(,)(,)w f z u x y iv x y ==+所以一个复变函数等价于两个二元实变函数。

它给出了z 平面到w 平面的映射或变换。

复变函数的连续性： 如果00lim ()()z z f z f z →=则称()f z 在0z 处连续。

3、 解析函数复变函数的导数：复变函数()w f z =定义在区域D 上，0z D ∈，如果极限0000()()limlim z z f z z f z wz z ∆→∆→+∆-∆=∆∆存在且有限，则称()w f z =在0z 处可导或可微（differentiable ），且该极限称为()w f z =在0z 处的导数或微商（derivative ），记作：00'00000()()()lim lim z z z zz z f z z f z dw df wf z dz dz z z==∆→∆→+∆-∆====∆∆ 解析函数：若函数f(z)在区域D 内可导，则称为区域D 内的解析函数，也称全纯函数。

复变函数解析函数


(1) 复变函数在一点处可导，要比实函数 在一点处可导要求高得多，也复杂得
多，这是因为Δz→0是在平面区域上
以任意方式趋于零的原故。
(2) 在高等数学中要举出一个处处连续， 但处处不可导的例题是很困难的, 但在复变函数中，却轻而易举。
(3)可导与连续 若 w=f (z) 在点 z0 处可导 w=f (z) 点 z0 处连续.
z0
z
[u(xx,y)iv(xx,y)][u(x,y)iv(x,y)]
lim
x0
x
u(xx, y)u(x, y)
v(xx, y)v(x, y)
lim
i lim
x0
x
x0
x
u v ixຫໍສະໝຸດ x若沿平行于虚轴z的 z方 式 z(x0)
f(z)limf(zz) f(z)
z0
z
[u(x, yy)iv(x, yy)][u(x, y)iv(x, y)]
""（由函数u(x,y) ,v (x,y)在点(x,y)处可微及满足
C-R方程 f (z)在点z=x+iy处可导）
∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)点可微，即：
u u x x u y y1 x2 y v x vx v yy3x4y
其 lx 中 i m 0k0,(k1， 2,3,4)
y 0
u ex siny u v
y v
ex cosy
x v
y u
y
x y
故 f (z) ex(cosyisiny)在全平面可导，解析
f'(z ) u i v e x cy o is x e siy n f(z ) x x
解 (3) 设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则

复变函数的导数和解析性

复变函数的导数和解析性复变函数是指输入和输出都是复数的函数。

在复变函数中，导数是一个重要的概念，它用来描述函数在某一点的变化率和切线方向。

导数的计算方法与实变函数的导数有所不同，需要使用复数的共轭以及极限的概念。

一、复变函数的导数设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是一个复变函数，其中u(x, y)和v(x, y)分别表示f(z)的实部和虚部，z = x + iy表示复平面上的点。

如果f(z)在点z= z0处存在导数，则导数的定义为：f'(z0) = lim┬(Δz→0)⁡〖(f(z0+Δz)-f(z0))/Δz 〗其中Δz = Δx + iΔy，Δx和Δy分别表示实部和虚部的增量。

根据导数的定义，我们可以推导出复函数导数的性质：1. 导数的唯一性：如果f(z)在某一点存在导数，则该点的导数是唯一的。

2. 复线性：如果f(z)和g(z)在某一点都存在导数，则(f+g)'(z) = f'(z)+ g'(z)。

3. 复合函数导数：如果f(z)和g(z)分别在对应的区域上都存在导数，则复合函数(f∘g)(z)的导数可以通过链式法则计算。

4. 共轭函数导数：如果f(z)在某一点存在导数，则其共轭函数f^*(z)的导数为[f'(z)]^*。

二、复变函数的解析性解析性是指函数在某一区域内可以展开成幂级数的性质。

对于复变函数而言，解析性与导数的存在紧密相关。

如果一个函数f(z)在某一区域D内处处可导，并且在该区域内的导数连续，那么我们称f(z)在区域D内为解析函数。

换句话说，解析函数是指能够通过幂级数展开的函数。

复变函数的解析性具有以下性质：1. 解析函数的实部和虚部都是调和函数，即满足拉普拉斯方程。

2. 解析函数的导数仍然是解析函数，即解析函数具有无穷阶导数。

3. 解析函数的积分与路径无关，即沿着相同路径的积分结果是相等的，这是复积分理论中的柯西定理。

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（2）u( x, y),v( x, y)在点 ( x0, y0 ) 处满足C R条件：
u
v ，v
u .
x y x y
则f (z)在点z0 x0 iy0 D处可导.
二、解析函数
定义2 若函数f (z)在点z0及z0的某邻域内可导， 则称f (z)在点z0解析。若函数f (z)在区域D内的 任一点处解析，则称f (z)在D内解析或f (z)为D 内的解析函数。
p Lnz
p ln z2k pi
z e q e q q , 取k 0,1,2, q 1时的q个值
特别，当 1 (n为正整数)时，即为z的n次方根
n
• 对其他的, z 有无穷多值
（2） Lnz取主值ln z时,相应的 z e ln z称为z的主值
(3) 解析性：
对应于Lnz的各个单值分支，z的各个单值分支在除原
如例2 中 的 f (z) z 处处不可导，因而处处不解析。
例3 中 的 f (z) Re z Im z 在 z 0处不可导，因而 在 z 0处不解析。
f (z)在z0解析 f (z)在z0可导
f (z)在区域D内解析 f (z)在区域D内可导
由定理2即得：
定理3 : 函数f (z) u( x, y) iv( x, y)在区域D内解析 （1）二元函数 u( x, y),v( x, y)在D内任一点 处可微； （2）u( x, y),v( x, y)在D内任一点 处满足C R条件：
(2) ez e x 0,(ez ) ez 0 复变函数中无中值定理
2. 对数函数
w Lnz ln z iArgz ln z i(arg z 2k ).
(对数函数为指数函数 的 反函数. 设 z e w , w u iv, z rei， 则 euiv rei
r eu , v 2k u ln r ln z , v Argz)
注：（1） Lnz为无穷多值函数。对应于每个固定的k， 可确定的一个单值分支，记为(Lnz)k .当 Argz 取主值 arg z时，相应的对数称为Lnz的主值，记为ln z，即 ln z ln z i arg z Lnz 的主值支
Lnz ln z 2k i (k 1, 2,L )
（2） 正实数的对数主值就是实对数函数 ln x( x 0) (3) “负数无对数”的说法在复变函数中不成立。
u 1, u 0, v 0, v 1 u v , v u
x y x y
x y x y
处处不可导。
例3 证明：f (z) Re z Im z 在 z 0满足C R条件， 但不可导。
定理（ 2 可导的充要条件）
设复变函数f (z) u( x, y) iv( x, y)在区域D上有定义， 则f (z)在点z0 x0 iy0 D处可导 （1）二元函数 u( x, y),v( x, y)在点 ( x0, y0 ) 处可微； （2）u( x, y),v( x, y)在点 ( x0, y0 ) 处满足C R条件：
f (z0 )，
u( x, y)，v( x, y)在( x0, y0）连续，
lim
( x , y )( x0 , y0 )
u( x,
y)
u( x0 ,
y0 ),
(
lim
x , y )( x0 ,
y0
)
v(
x,
y)
v(
x0 ,
y0
).
第9节 复变函数的导数与解析函数
一. 复变函数的导数
定义1 设复变函数 f 在 Nz0 内有定义,如果极限
设复变函数f (z) u( x, y) iv( x, y)在区域D上有定义，
且在点z0 x0 iy0 D处可导，则二元函数 u( x, y),
v(
x
,
y
)在点
(
x0
,
y0
)
处有偏导数
u x
，u y
，v x
，v y
，且满足
C R条件：u v ，v u . x y x y
如例2中，f (z) z x iy,u(x, y) x,v(x, y) y
x0
x
u i v x x
当z沿虚轴趋于零，即 x 0,z iy 0时，有
lim f z0 z f z0
ziy0
z
lim
u x0 , y0 y0 iv x0 , y0 y0 u x0 , y0 iv x0 , y0
y0
iy
v i u y y
定理（ 1 可导的必要条件）
u v ， v u . x y x y
此时 f '(z) u i v . x x
推论（可导的充分条件）
设复变函数f (z) u( x, y) iv( x, y)在区域D上有定义，
且满足
（1）二元函数 u( x, y),v( x, y)在点 ( x0, y0 ) 处有一阶 连续偏导数；
如 ln(1) ln 1 i arg(1) i Ln(1) ln(1) 2k i (2k 1) i
性质：
（1） 运算性质同实对数：
Ln(z1z2 ) Lnz1 Lnz2 , Ln
z1 z2
Lnz1 Lnz2
（理解为二集合相等)
(2) 解析性：
• Lnz在除原点与负实轴外的其它点处连续
内的辐角为主辐角，记为arg z.
Argz arg z 2k , k 0,1,L
arg
z
y arctan
x
arctan y
x
arctan y
x arctan y
x
z在第一象限 z在第二象限
z在第三象限 z在第四象限
简单性质：
z1
z2
z1
z2 ，
z1z2
z1
z2，（
z1 z2
）
z1 z2
例7 求u( x, y) x2 y2 xy的共轭调和函数v( x, y), 并使解析函数 f (z) u iv 满足f (i) 1 i.
四、初等函数 1. 指数函数 w ez e x (cos y i sin y).
性质:（1）e z e x , Arge z y 2k
一个复变函数 二个二元实函数
例如： (1) w f (z) z , u( x, y) x2 y2 , v( x, y) 0
(2) w f (z) z2, u( x, y) x2 y2, v( x, y) 2xy
三、复变函数的极限和连续
可以利用二元实函数的极限，连续等概念来定义 复变函数的极限，连续。
zz z 2 ,
z1z2 z1 z2 ,
| z1 | | z1 | , z2 | z2 |
z1 z2 z1 z2 .
Arg(z1z2 ) Argz1 Argz2
Arg
z1 z2
Argz1
Argz2
复数的乘幂：
设 z rei r(cos i sin ),则 z 的n次幂为 z n (rei )n r nein r n (cosn i sin n )
f (z)g z ，
f
z
g
z
f
( z ) g
z
f g2 z
zgzຫໍສະໝຸດ (gz0)，
f ( g(z)) f ( g(z))g z ，
f (z)
1
( w )
(z
(w), w
f (z)互为反函数，
且(w) 0)
需要注意的是，复变函数的导数定义与一元实函数的 导数定义，虽然形式上一样，但在本质上有很大的不 同。因为一元实函数导数定义中的极限是一元实函数 的极限，而复变函数导数定义中的极限对应于二元实 函数的极限。
例1. 求 f z z n (n 为正整数 ) 的导数.
z n nz n1 .
例2 讨论 f (z) z 的连续性与可导性。
复变函数可导必连续,连续不一定可导
求导公式:
c 0，
z n nz n1，
f z g z f z g z ，
f
z
g
z
f z g(z)
设 w f (z) u( x, y) iv( x, y)
极限
lim
z z0
f
(z)
z0
a
ib
lim u( x, y) a, lim v( x, y) b.
( x , y )( x0 , y0 )
( x , y )( x0 , y0 )
f (z)在 z0连续
lim z z0
f (z)
设 f (z)在 z0 可导，即极限
w
lim z0 z
lim z0
f
z0
z
z
f
z0
存在.
当z沿实轴趋于零，即 y 0, z x 0时，有
lim f z0 z f z0
z x 0
z
lim
u x0 x, y0 iv x0 x, y0 u x0 , y0 iv x0 , y0
复数的方根：
设 z rei r(cos i sin ), 则 z 的n次方根为
n
z
r
1 n
(cos
2k
i sin
2k )
n
n
(k 0,1,2, n 1)
二、复变函数
复变函数 ： f : z x iy w u iv xy平面上的点集 uv平面上的点集 w f (z) u( x, y) iv( x, y)
例6
已知解析函数f (z)的虚部v
y x2
y2 ,求f (z)。
三、解析函数与调和函数
定理4 若函数f (z) u( x, y) iv( x, y)在区域D内解析，则 它的实部 u( x, y)与虚部 v( x, y)都是D内的调和函数。 若函数f (z) u( x, y) iv( x, y)在区域D内解析，则称 虚部 v( x, y)为实部 u( x, y)的共轭调和函数。