整式的乘除及乘法公式

2023年中考数学《整式的运算与因式分解》专题知识回顾及练习题（含答案解析）1. 合并同类型：法则：“一相加，两不变”，即系数相加，字母与字母的指数不变照写。

2. 整式的加减的实质：合并同类项。

3. 整式的乘除运算：①单项式×单项式：系数相乘，同底数幂相乘，其中一个因式单独存在的字母连同它的指数作为积的一个因式。

②单项式×多项式：单项式乘以多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。

③多项式×多项式：用其中一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。

④单项式÷单项式：系数相除，同底数幂相除，被除数中单独存在的字母连同它的指数作为商的一个因式。

4. 乘法公式：①平方差公式：()()22b a b a b a −=−+。

②完全平方公式：()2222b ab a b a +±=±。

5. 因式分解的方法：①提公因式法：()c b a m cm bm am ++=++；②公式法：平方差公式：()()b a b a b a −+=−22完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±。

③十字相乘法：在c bx x ++2中，若()均为整数，且n m b n m mn c =+=，则： ()()n x m x c bx x ++=++2。

31．（2022•湖北）先化简，再求值：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy），其中x＝2，y＝﹣1．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy）＝4xy﹣2xy+3xy＝5xy，当x＝2，y＝﹣1时，原式＝5×2×（﹣1）＝﹣10．32．（2022•盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．【分析】根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，整体代入即可．【解答】解：原式＝x2﹣16+x2﹣6x+9＝2x2﹣6x﹣7，∵x2﹣3x+1＝0，∴x2﹣3x＝﹣1，∴2x2﹣6x＝﹣2，∴原式＝﹣2﹣7＝﹣9．33．（2022•长春）先化简，再求值：2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中a＝2﹣4．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：（2+a）（2﹣a）+a（a+1）＝4﹣a2+a2+a＝4+a，当a＝﹣4时，原式＝4+﹣4＝．34．（2022•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x2+2x＝2代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：x（x+2）+（x+1）2＝x2+2x+x2+2x+1＝2x2+4x+1，∵x 2+2x ﹣2＝0，∴x 2+2x ＝2，∴当x 2+2x ＝2时，原式＝2（x 2+2x ）+1＝2×2+1＝4+1＝5．35．（2022•广西）先化简，再求值：（x +y ）（x ﹣y ）+（xy 2﹣2xy ）÷x ，其中x ＝1，y ＝21． 【分析】根据平方差公式和多项式除以单项式，可以将题目中的式子化简，然后将x 、y 的值代入化简后的式子计算即可．【解答】解：（x +y ）（x ﹣y ）+（xy 2﹣2xy ）÷x＝x 2﹣y 2+y 2﹣2y＝x 2﹣2y ，当x ＝1，y ＝时，原式＝12﹣2×＝0．36．（2022•衡阳）先化简，再求值．（a +b ）（a ﹣b ）+b （2a +b ），其中a ＝1，b ＝﹣2．【分析】根据平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则化简后，再把a ＝1，b ＝﹣2代入计算即可．【解答】解：（a +b ）（a ﹣b ）+2a +b ）＝a 2﹣b 2+2ab +b 2＝a 2+2ab ，将a ＝1，b ＝﹣2代入上式得：原式＝12+2×1×（﹣2）＝1﹣4＝﹣3．37．（2022•丽水）先化简，再求值：（1+x ）（1﹣x ）+x （x +2），其中x ＝21． 【分析】先根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则化简，再把x ＝代入计算即可．【解答】解：（1+x ）（1﹣x ）+x （x +2）＝1﹣x 2+x 2+2x＝1+2x ，当x ＝时，原式＝1+＝1+1＝2．38．（2022•南充）先化简，再求值：（x +2）（3x ﹣2）﹣2x （x +2），其中x ＝3﹣1．【分析】提取公因式x +2，再利用平方差公式计算，再代入计算．【解答】解：原式＝（x +2）（3x ﹣2﹣2x ）＝（x +2）（x ﹣2）＝x 2﹣4，当x ＝﹣1时， 原式＝（﹣1）2﹣4＝﹣2．39．（2022•安顺）（1）计算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣3|﹣12．（2）先化简，再求值：（x +3）2+（x +3）（x ﹣3）﹣2x （x +1），其中x ＝21． 【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先去括号，再合并同类项，然后把x 的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．【解答】解：（1）（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣|﹣ ＝1+1+2×+﹣1﹣2 ＝2++﹣1﹣2＝1；（2）（x +3）2+（x +3）（x ﹣3）﹣2x （x +1）＝x 2+6x +9+x 2﹣9﹣2x 2﹣2x＝4x ，当x ＝时，原式＝4×＝2．40．（2022•岳阳）已知a 2﹣2a +1＝0，求代数式a （a ﹣4）+（a +1）（a ﹣1）+1的值．【分析】先化简所求的式子，再结合已知求解即可．【解答】解：a （a ﹣4）+（a +1）（a ﹣1）+1＝a 2﹣4a +a 2﹣1+1＝2a 2﹣4a＝2（a 2﹣2a ），∵a 2﹣2a +1＝0，∴a 2﹣2a ＝﹣1，∴原式＝2×（﹣1）＝﹣2．41．（2022•苏州）已知3x 2﹣2x ﹣3＝0，求（x ﹣1）2+x （x +32）的值． 【分析】直接利用整式的混合运算法则化简，进而合并同类项，再结合已知代入得出答案．【解答】解：原式＝x 2﹣2x +1+x 2+x＝2x 2﹣x +1，∵3x 2﹣2x ﹣3＝0，∴x 2﹣x ＝1，∴原式＝2（x 2﹣x ）+1＝2×1+1＝3．42．（2022•荆门）已知x +x1＝3，求下列各式的值： （1）（x ﹣x 1）2； （2）x 4+41x． 【分析】（1）利用完全平方公式的特征得到：（a ﹣b ）2＝（a +b ）2﹣4ab ，用上述关系式解答即可；（2）将式子用完全平方公式的特征变形后，利用整体代入的方法解答即可．【解答】解：（1）∵＝， ∴＝ ＝ ＝﹣4x • ＝32﹣4＝5；（2）∵＝，∴＝+2 ＝5+2＝7，∵＝，∴＝﹣2＝49﹣2＝47．43．（2022•无锡）计算：（1）|﹣21|×（﹣3）2﹣cos60°； （2）a （a +2）﹣（a +b ）（a ﹣b ）﹣b （b ﹣3）．【分析】（1（2）根据单项式乘多项式，平方差公式化简，去括号，合并同类项即可．【解答】解：（1）原式＝×3﹣＝﹣＝1；（2）原式＝a 2+2a ﹣（a 2﹣b 2）﹣b 2+3b＝a 2+2a ﹣a 2+b 2﹣b 2+3b＝2a +3b ．44．（2022•安徽）观察以下等式：第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式；（2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想．【解答】解：（1）因为第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，第5个等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，故答案为：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；（2）第n个等式：（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，证明：左边＝4n2+4n+1，右边＝[（n+1）×2n]2+2×（n+1）×2n+12﹣[（n+1）×2n]2＝4n2+4n+1，∴左边＝右边．∴等式成立．45．（2022•西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解；【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．【分析】（1）用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解即可；（2）用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解即可；（3）先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值即可．【解答】解：（1）原式＝（x2﹣a2）+（x+a）＝（x+a）（x﹣a）+（x+a）＝（x+a）（x﹣a+1）；（2）原式＝（ax﹣bx）+（a2﹣2ab+b2）＝x（a﹣b）+（a﹣b）2＝（a﹣b）（x+a﹣b）；（3）原式＝（a4+2a2b2+b4）﹣（2ab3+2a3b）＝（a2+b2）2﹣2ab（a2+b2）＝（a2+b2）（a2+b2﹣2ab）＝（a2+b2）（a﹣b）2，∵直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1，∴a2+b2＝32＝9，（a﹣b）2＝1，∴原式＝9．。

一、知识点归纳： （一）幂的四种运算：1、同底数幂的乘法：⑴语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； ⑵字母表示：a m ·a n = a m+n ；(m ，n 都是整数) ；⑶逆运用：a m+n = a m ·a n2、幂的乘方：⑴语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘； ⑵字母表示：(a m ) n = a mn ；(m ，n 都是整数)； ⑶逆运用：a mn =(a m )n =(a n )m ；3、积的乘方：⑴语言叙述：积的乘方，等于每个因式乘方的积； ⑵字母表示：(ab)n = a n b n ；(n 是整数)； ⑶逆运用：a n b n = (a b)n ；4、同底数幂的除法：⑴语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减；⑵字母表示：a m ÷a n = a m-n ；(a≠0，m 、n 都是整数)； ⑶逆运用：a m-n = a m ÷a n .（二）整式的乘法：1、单项式乘以单项式：⑴语言叙述：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

⑵实质：分三类乘：⑴系数乘系数；⑵同底数幂相乘；⑶单独一类字母，则连同它的指数照抄； 2、单项式乘以多项式：⑴语言叙述：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。

⑵字母表示：c)＝ma ＋mb ＋mc ；（注意各项之间的符号！） 3、多项式乘以多项式：(1)语言叙述：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；(2)字母表示：＝mn ＋mb ＋an ＋ab ；（注意各项之间的符号！） 注意点：⑴在未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积。

⑵多项式的每一项都包含它前面的符号，确定乘积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得负”。

⑶运算结果中如果有同类项，则要 合并同类项（三）乘法公式： 1、平方差公式：(1)语言叙述：两数和与这两数差的积，等于这两个数的平方差。

乘法公式例：（1）计算：（22+1）（42+1）（82+1）（162+1）. （2）计算：（2+1）（22+1）（42+1）（82+1）…（10242+1）变式练习：（1+12）（1+212）（1+412）（1+812）（1+1612）+（1+3112）例2 计算：（1）（2x+3y)²(2x-3y)²；（2）(a-2b+3c)(a-3c-2b). 例3 已知a+b+c=0,a²+b²+c²=4,那么4a+4b+4c的值等于 .小结：在运用完全平方公式时，常常借助下面的变形：2ab=(a+b)2-(a2+b2), 4ab=(a+b)2-(a-b)2,a2+b2=(a-b)2+2ab=(a+b)2-2ab.例4 阅读材料：把形如ax²+bx+c的二次三项式（或其中的一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a²±2ab+b²=(a±b)².例如：(x-1)²+3,(x-2)²+2x, （12x-2）²+34x²是x²-2x+4的三种不同形式的配方（“余项”分别是常数项、一次项、二次项——见横线上的部分）.请根据阅读材料解决下列问题：（1）参考上面的例子，写出x²-4x+2的三种不同形式的配方；（2）将a²+ab+b²配方（至少两种形式）；（3）已知a²+b²+c²-ab-3b-2c+4=0，求a+b+c的值.例5 已知9a²-12ab+8b²-4bc+2c²-4c+4=0，求a+b+c的值.课堂作业：1．计算a2(a+b)(a-b)+a2b2等于（）A.a4B.a6C.a2b2D.a2-b22.将代数式x2+6x+2化成(x+p)2+q的形式为（）A.(x-3)2+11B. (x+3)2-7C.(x+3)2-11D. (x+2)2+43. 如图,在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b),将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（）.A. (a-b)²=a²-2ab+b²B. (a+b) ²=a²+2ab+b²C. a²-b²=(a+b)(a-b)D. a²+ab=a(a+b)4、已知(m-n)2=8，(m+n)2=2，则m2+n2=（）A.10B.6C.5D.35、先化简，再求值：(x+3)2+(2+x)(2-x)，其中x=-2.6.多项式9x 2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是多少？（给出一个你认为正确的答案即可）7.已知a,b,c 满足a ²+b ²+c ²-ab-bc-ac=0(a,b,c 为正数），则a,b,c 之间有怎样的大小关系？1.化简()42a a ⋅-的结果是 （ ）2.化简()2423a a a ⋅+ 的结果正确的是（ ）3.()()()2x 2x 2x 4+-+的计算结果是（ ）4.若a ＋b ＝6，a b ＝3，则3a 2b ＋3ab 2的值是（ ）5.若x x a 2,b 3==，则()3xab ＝ .6.已知：()35m 11a a a ⋅=，则m 的值为 .7.计算()2242a a 9a 39⎛⎫--⋅- ⎪⎝⎭的结果是 . 8.若a －b ＝1，a b ＝－2，则()()a 1b-1+＝ .9.已知：()()2222x y 1,x y 17,y =+=-=+则x ，x y ＝ .10.若9x 2＋m x y ＋16y 2是一个完全平方式，则m 的值是 .11.在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，第20题图图乙图甲a a 可以验证 （填写序号）.①()2a+b =a 2＋2ab ＋b 2 ②()2a -b =a 2－2ab ＋b 2③a 2－b 2＝()()a b a b +- ④()()a 2b a b +-=a 2＋a b －2b 212.探究题：观察下列式子：（x 2－1）÷（x －1）＝x ＋1；（x 3－1）÷（x －1）＝x 2＋x ＋1；（x 4－1）÷（x －1）＝x 3＋x 2＋x ＋1（x 5－1）÷（x －1）＝x 4＋x 3＋x 2＋x ＋1⑴.你能得到一般情况下（x n －1）＋（x －1）的结果吗？（n 为正整数）⑵.根据⑴的结果计算：1＋2＋22＋23＋24＋…＋262＋263.数学人教版八年级上第十四章 整式的乘法与因式分解单元检测一、选择题1．下列计算中正确的是( )．A ．a 2＋b 3＝2a 5B ．a 4÷a ＝a 4C ．a 2·a 4＝a 8D ．(－a 2)3＝－a 62．(x －a )(x 2＋ax ＋a 2)的计算结果是( )．A ．x 3＋2ax 2－a 3B ．x 3－a 3C ．x 3＋2a 2x －a 3D ．x 3＋2ax 2＋2a 2－a 33．下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的个数有( )．①3x 3·(－2x 2)＝－6x 5；②4a 3b ÷(－2a 2b )＝－2a ；③(a 3)2＝a 5；④(－a )3÷(－a )＝－a 2.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．已知被除式是x 3＋2x 2－1，商式是x ，余式是－1，则除式是( )．A ．x 2＋3x －1B ．x 2＋2xC ．x 2－1D ．x 2－3x ＋15．下列各式是完全平方式的是( )．A ．x 2－x ＋14B ．1＋x 2C ．x ＋xy ＋1D ．x 2＋2x －16．把多项式ax 2－ax －2a 分解因式，下列结果正确的是( )．A ．a (x －2)(x ＋1)B ．a (x ＋2)(x －1)C ．a (x －1)2D ．(ax －2)(ax ＋1)7．如(x ＋m )与(x ＋3)的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为( )．A ．－3B ．3C ．0D ．18．若3x ＝15,3y ＝5，则3x －y 等于( )．A ．5B ．3C ．15D ．109、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）（A ）22)(b a -+ （B ）mn m 2052- （C ）22y x -- （D ）92+-x10、 下列各式能用完全平方公式分解因式的是（ ）A 、4x 2+1B 、4x 2－4x －1C 、x 2+xy +y 2D 、x 2－4x +411、△ABC 的三边长分别a 、b 、c ，且a+2ab ＝c+2bc ，△ABC 是（ ）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形12、 把（－2）2009＋（－2）2010分解因式的结果是（ ）.A. 22008B. －2 2008C. －2 2009D. 2200913、一个正方形的边长增加了2cm ，面积相增加了32cm 2，则这个正方形的边长为（ ）A 、6cmB 、5cmC 、8cmD 、7cm二、填空题14．计算(－3x 2y )·(213xy )＝__________. 15．计算：22()()33m n m n -+--＝__________. 16．计算：223()32x y --＝__________. 17．计算：(－a 2)3＋(－a 3)2－a 2·a 4＋2a 9÷a 3＝__________.18．当x __________时，(x －4)0＝1.19．若多项式x 2＋ax ＋b 分解因式的结果为(x ＋1)(x －2)，则a ＋b 的值为__________．20．若|a －2|＋b 2－2b ＋1＝0，则a ＝__________，b ＝__________.21．已知a ＋1a ＝3，则a 2＋21a的值是__________． 22、已知a b ab +=-=31，，求 a b 22+ =23、观察下列各式，探索发现规律：22－1＝3＝1×3；42－1＝15＝3×5；62－1＝35＝5×7；82－1＝63＝7×9；102－1＝99＝9×11；……用含正整数n 的等式表示你所发现的规律为 ．24、在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生密码，方便记忆．原理是：如对于多项式44y x -，因式分解的结果是))()((22y x y x y x ++-，若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：(x －y)=0，(x+y)=18，(x 2+y 2)=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式234xy x -，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是： __________ (写出一个即可)．三、解答题1、计算：（１）32a 3b 2c ÷21a 2b （2）3223)()(x x -⋅- （3）（－4x －3y ）2（4）)32)(32(+--+y x y x （5） （a ＋2b -c ）2． (6(ab 2)2·(－a 3b )3÷(－5ab )；(7)x 2－(x ＋2)(x －2)－(x ＋1x)2； (8)[(x ＋y )2－(x －y )2]÷(2xy )．26．把下列各式因式分解：(1)3x －12x 3； (2)－2a 3＋12a 2－18a ； (3)9a 2(x －y )＋4b 2(y －x )；(4)(x ＋y )2＋2(x ＋y )＋1. (5))(3)(2x y b y x a --- (6)1222-+-b ab a(7)（x －1）（x ＋4）－36 (8)（m 2＋n 2）2－4m 2n227、用简便方法计算：⑴20042-2005×2003 ⑵22 293⎛⎫ ⎪⎝⎭28．先化简，再求值．2(x－3)(x＋2)－(3＋a)(3－a)，其中，a＝－2，x＝1.，其中．5、若a2＋2a＋b2－6b＋10＝0，求a2－b2的值．29．已知：a，b，c为△ABC的三边长，且2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，试判断△ABC 的形状，并证明你的结论．6、若△ABC三边a、b、c满足a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca．判断△ABC的形状30．在日常生活中，如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4－y4，因式分解的结果是(x－y)(x＋y)·(x2＋y2)，若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：(x－y)＝0，(x＋y)＝18，x2＋y2＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x3－xy2，取x＝10，y＝10时，请你写出用上述方法产生的密码．整式的乘除与因式分解习题练习一、选择题（每题3分，共30分）1、44221625)(______)45(b a b a -=+-括号内应填（ ）A 、2245b a +B 、2245b a +C 、2245b a +-D 、2245b a --2、下列计算正确的是（ ）A 、22))((y x x y y x -=-+B 、22244)2(y xy x y x +-=+-C 、222414)212(y xy x y x +-=- D 、2224129)23(y xy x y x +-=--3、在2222222)())(3(,)()2(),5)(5()5()1(b a b a y x y x x x x +=--+=+-+=-+（4）ab ab ab a b b a =-=--23)2)(3(中错误的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个4、下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）A 、))((b a b a +--B 、))((b a b a ---C 、))((c b a c b a +---+-D 、))((b a b a -+-5、如果：=-==+-222)32,5,0168y x x y xy x 则（且（ ）A 、425B 、16625C 、163025D 、162256、计算：1.992－1.98×1.99+0.992得（ ）A 、0B 、1C 、8.8804D 、3.96017、如果k x x ++82可运用完全平方公式进行因式分解，则k 的值是（ ）A 、8B 、16C 、32D 、648、(x 2+px+8)(x 2-3x+q)乘积中不含x 2项和x 3项,则p,q 的值 ( )A 、p=0,q=0B 、p=3,q=1C 、p=–3,–9D 、p=–3,q=19、对于任何整数m ，多项式9)54(2-+m 都能（ ）A 、被8整除B 、被m 整除C 、被m －1整除D 、被（2m -1）整除10．已知多项式2222z y x A -+=，222234z y x B ++-=且A+B+C=0，则C 为（） A 、2225z y x -- B 、22253z y x -- C 、22233z y x -- D 、22253z y x +-二、填空题（每题3分，共30分）11、++xy x 1292 =（3x + ）212、2012= , 48×52= 。

整式的乘法运算：整式的乘法运算是指两个或多个整式相乘的运算。

整式的乘法运算中，我们要注意变量的指数和系数的相乘运算以及同类项的合并运算。

1.变量的指数相乘：当同一个字母的指数相乘时，我们可以将指数相加，然后保留同一个字母，并写上新的指数。

例如：3x²*4x³=12x^(2+3)=12x⁵2.系数的相乘：当整式中的系数相乘时，我们可以直接将系数相乘，然后保留原来的字母和指数。

例如：2x * 3y = 6xy3.同类项的相乘：同类项是指具有相同字母和指数的项。

当整式中的同类项相乘时，我们可以直接将系数相乘，然后保留原来的字母和指数。

例如：3x²*5x²=15x^(2+2)=15x⁴整式的除法运算：整式的除法运算是指一个整式除以另一个整式的运算。

整式的除法运算中，我们要注意变量的指数和系数的相除运算以及整除时的余数。

1.变量的指数相除：当同一个字母的指数相除时，我们可以将指数相减，然后保留同一个字母，并写上新的指数。

例如：10x⁵÷2x²=5x^(5-2)=5x³2.系数的相除：当整式中的系数相除时，我们可以直接将系数相除，然后保留原来的字母和指数。

例如：12xy ÷ 4x = 3y3.整除和余数：当两个整式相除时，如果能整除，则商为一个整式，余数为零。

如果不能整除，余数不为零，我们可以保留余数，但不能继续进行整除运算。

乘法公式的运用：乘法公式是指将一个较为复杂的乘法运算通过一定的方法化简，使运算变得简便的运算法则。

1.二次方差式公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²例如：(x+2)²=x²+2x*2+2²=x²+4x+42.一次方差式公式：(a+b)(a-b)=a²-b²例如：(x+3)(x-3)=x²-3²=x²-93.三次方差式公式：(a+b)(a²-ab+b²) = a³ + b³例如：(x+2)(x²-2x+4)=x³+2³=x³+8综上所述，整式的乘法运算和除法运算是我们初中七年级数学中的重要内容。

整式的乘除与因式分解知识点一、整式乘除法同底数幂相乘;底数不变;指数相加. a m·a n=a m+n m;n都是正整数同底数幂相除;底数不变;指数相减. a m÷a n=a m-n a≠0;m;n都是正整数;且m>n任何不等于0的数或式子的0次幂都等于1. a0=1a≠0; 00无意义a mn表示n个a m相乘;a 的m n幂表示m幂的乘方;底数不变;指数相乘. a mn=a mn m;n都是正整数积的乘方;等于把积的每一个因式分别乘方;再把所得幂相乘.ab n=a n b n n为正整数注：不要漏积中任何一个因式单项式与单项式相乘;把它们的系数;相同字母分别相乘;对于只在一个单项式里含有的字母;则连同它的指数作为积的一个因式.ac5·bc2=a·b·c5·c2=abc5+2=abc7 注：运算顺序先乘方;后乘除;最后加减单项式相除;把系数与同底数幂分别相除作为商的因式;只在被除式里含有的字母;则连同它的指数作为商的一个因式单项式与多项式相乘;就是用单项式去乘多项式的每一项;再把所得的积相加;ma+b+c=ma+mb+mc注：不重不漏;按照顺序;注意常数项、负号 .本质是乘法分配律..多项式除以单项式;先把这个多项式的每一项除以这个单项式;再把所得的商相加.多项式与多项式相乘;先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项;再把所得的积相乘a+bm+n=am+an+bm+bn乘法公式：平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积;等于这两个数的平方差.a+ba-b=a2-b2完全平方公式:两数和或差的平方;等于它们的平方和;加或减它们积的2倍.a±b2=a2±2ab+b2因式分解：把一个多项式化成几个整式积的形式;也叫做把这个多项式分解因式.因式分解方法:1、提公因式法.关键:找出公因式公因式三部分：①系数数字一各项系数最大公约数；②字母--各项含有的相同字母；③指数--相同字母的最低次数；步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意;提取完公因式后;另一个因式的项数与原多项式的项数一致;这一点可用来检验是否漏项．注意：①提取公因式后各因式应该是最简形式;即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的;一般要提出“－”号;使括号内的第一项的系数是正的．2、公式法.①a2-b2=a+ba-b两个数的平方差;等于这两个数的和与这两个数的差的积a、b可以是数也可是式子②a2±2ab+b2=a±b2 完全平方两个数平方和加上或减去这两个数的积的2倍;等于这两个数的和或差的平方.③x3-y3=x-yx2+xy+y2立方差公式3、十字相乘x+px+q=x2+p+qx+pq因式分解三要素：1分解对象是多项式;分解结果必须是积的形式;且积的因式必须是整式2因式分解必须是恒等变形；3因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．弄清因式分解与整式乘法的内在的关系:互逆变形;因式分解是把和差化为积的形式;而整式乘法是把积化为和差添括号法则：如括号前面是正号;括到括号里的各项都不变号;如括号前是负号各项都得改符号..用去括号法则验证。

整式的乘除—乘法公式【复习】(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m )=x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2)=x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2=x 2-2xy +y 2-z 2⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2)=x 4-y 4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )]=2x (-2y +2z )=-4xy +4xz【典例分析】例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。

例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。

例3：计算19992-2000×1998例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。

例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。

求x 2-z 2的值。

整式运算考点1、幂的有关运算①=⋅nm a a （m 、n 都是正整数）②=n m a )( （m 、n 都是正整数）③=n ab )( （n 是正整数） ④=÷nm a a （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m>n ） ⑤=0a （a ≠0）⑥=-p a （a ≠0，p 是正整数） 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

同底数幂相除，底数不变，指数相减。

例：在下列运算中，计算正确的是（ ）（A ）326a a a ⋅= （B ）235()a a =（C ）824a a a ÷=（D ）2224()ab a b =练习：1、()()103x x -⨯-=________.2、()()()32101036a a a a -÷-÷-÷ = 。

3、23132--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭= 。

4、322(3)---⨯- = 。

5、下列运算中正确的是（ ）A ．336x y x =；B ．235()m m =；C ．22122x x-=； D ．633()()a a a -÷-=- 6、计算()8pm n a aa ⋅÷的结果是（ ）A 、8mnp a - B 、()8m n p a ++ C 、8mp np a+- D 、8mn p a+-7、下列计算中，正确的有（ ）①325a a a ⋅= ②()()()4222ab ab ab ab ÷= ③()322a a a a ÷÷= ④()752a a a -÷=。

A 、①②B 、①③C 、②③D 、②④ 8、在①5x x ⋅ ②7x y xy ÷ ③()32x - ④()233x y y ÷中结果为6x 的有（ ）A 、①B 、①②C 、①②③④D 、①②④ 提高点1：巧妙变化幂的底数、指数 例：已知：23a =，326b =，求3102a b+的值；1、 已知2a x =，3bx =，求23a bx-的值。

第一章：整式的乘除知识要求：1、理解、掌握整式的有关概念2、牢固地掌握幂的运算性质和整式乘除的运算法则，理解、掌握乘法公式；3、加强运算能力，以及分析问题、解决问题的能力知识重点：整式的乘法及乘法公式，幂的相关运算性质。

知识难点：熟练掌握整式的有关计算及相关运用：幂的运算，整式乘法，整式除法。

知识点：一、整式的有关概念整式：可以看成是分母不含有字母的代数式，注意：一是分母不含有字母但可以是数字，二要是代数式不能含有等号或表示数量关系的符号。

单项式与多项式统称为整式。

(1)定义：表示数与字母的积的代数式。

单独的一个数是单项式。

1、 单独字母也是单项式。

单 (2)系数:单项式中的数字因数叫做单项式的系数。

项 注意系数包括前面的符号，式 系数是1时通常省略，π是系数，72xyz -的系数是72- 单独字母的系数是1。

a=1×a单独数字的系数是本身。

3=3×a 0(3)次数：单项式的次数是指所有字母的指数的和。

单独字母的次数是1.单独一个非零数字的次数是0.2、多项式：（1）几个单项式的和叫做多项式。

（几次几项式）（2）每一个单项式叫做多项式的项， 注意项包括前面的符号。

（3）多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数。

项的次数是几就叫做几次项，（4）不含字母的项叫做常数项。

2、多项式二、整式的加减：实质是合并同类项①先去括号； （注意括号前有数字因数）②再合并同类项。

（系数相加，字母与字母指数不变）三、幂的运算性质1、同底数幂相乘：底数不变，指数相加。

m n m n a a a +=• ⇔ m n a a •=+m n a （m,n 都是正整数）2、幂的乘方：底数不变，指数相乘。

nm m n a a =)( ⇔ m n a )(a nm =（m,n 都是正整数）3、积的乘方：把积中的每一个因式各自乘方，再把所得的幂相乘。

n n n b a ab =)( ⇔ n ab)（=n n b a （n 为正整数）4、零指数幂：任何一个不等于0的数的0次幂等于1。

公式 bn bm an am n m b a +++=++))(( (x ＋a )(x ＋b )＝x 2＋(a ＋b )x ＋ab完全平方公式常见的变形有a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ， a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ， (a ＋b )2－(a －b )2＝4ab ，1．下列运算正确的是 ( )A ．3412a a a ⋅=B ．3362a a a +=C ．330a a ÷=D ．2353515x x x ⋅=2．下列等式成立的是( )A ．(a －b )2＝a 2－b 2B ． (a ＋b )2＝a 2＋b 2C ． (ab )2＝a 2b 2D ． (ab 3)2＝a 2b 53．下列等式错误的是( )A ． (102)3．(102)＝108B ． [(x 2)3]4＝x 24C ．[ (a －b )3 ]2＝[ (b －a )2 ]3D ． (－3x 2y 2)3＝－9x 6y 64． 计算：(－3a 2b 3c )3＝ ，=-332)21(yz x ．5． ，=⋅+122)()(n n b a ab ． )7(28324y x y x -÷＝6． 计算：82005×0．1252006＝7．若43=n a ，则=n a 6 ==+x x x ，则已知3248．如果3,2==y x a a ，则y x a23+＝ y x a -2＝ 若3m ·3n ＝1，则m ＋n ＝_________ 9．已知x ＋4y －3＝0，则y x 162⋅＝11．下列添括号正确的是( )．A ．a －2b －c ＝a －(2b －c )B ．a －b ＋c －d ＝a －(b ＋c －d)C ．a －2b ＋c －1＝－(－a ＋2b －c ＋1)D ．a －b －c ＋3＝－(b －3)＋(－c －a )12． 计算(a ＋1)(－a －1)的结果是( )A ． －a 2－2a －1B ． －a 2－1C ． a 2－1D ．－a 2＋2a －113．计算 22)21()21(-+a a 得( )A ．412-aB ．1614-aC ．1612124+-a a D ．以上都不对 14． 下列各式中运算错误的是( )A ．a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2abB ．(a －b )2＝(a ＋b )2－4abC ．(a ＋b )( －a ＋b )＝ －a 2＋b 2D ．(a ＋b )(－a －b )＝ －a 2－b 215．计算(32)2003×1．52002×(－1)2004的结果是( ) A ．32 B ．23 C ．－32 D ．－23 16．已知16,822=-=+y x y x ，则____=-y x17．如果的值为那么b a b a b a +=-+++,63)122)(122(18．已知x ＋y ＝1，那么21x 2＋xy ＋21y 2的值为 19．已知m 2＋m －1＝0，则m 3＋2m 2＋2004＝20．-+=+222)1(1x x xx ＝2)1(x x -＋ 21．已知31=+x x ，则221xx +＝ 2)1(x x -＝ ． 22．已知：x 2＋3x ＋1＝0．=+221x x 23．计算(1)(3x ＋2)(3x －2)；(2)(b ＋2a )(2a －b )；(3)(－x ＋2y )(－x －2y )．(4) (x ＋2)(x －3)(5)(y ＋2)(y －2)－(y －1)(y ＋5)．(6)(x ＋3)2－(x ＋2)(x －2)．(7)(a ＋b )(a －2b )－(a ＋2b )(a －b )；(8)5x (x 2＋2x ＋1)－(2x ＋3)(x －5)．24．解方程 3x (7－x )＝18－x (3x －15)；26．若(x 2＋p x ＋q)(x 2－2x －3)展开后不含x 2，x 3项，求p 、q 的值27．已知 (a －b )2＝7， (a ＋b )2＝13， 试求a 2＋b 2和ab 的值；28．已知：x 2＋y 2＋4x －6y ＋13＝0，x 、y 均为有理数，求x y 的值．29．已知0142522=+++-x y xy x ，求x 、y 的值．30．当a ，b 为何值时，多项式a 2＋b 2－4a ＋6b ＋18有最小值？并求出这个最小值．31．已知a ＝1990x ＋1989，b ＝1990x ＋1990，c ＝1990x ＋1991，求a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc 的值32．若a ，b ，c 是三角形的三边，且满足关系式a 2＋b 2＋ c 2－ab －ac －bc ＝0，试判断这个三角形的形状33．已知102=-y x ，求[]y y x y y x y x 4)(2)()(222÷-+--+的值34．已知x 2＋y 2＝25，x ＋y ＝7，且x >y ，求x －y 的值35．的值，求已知：n n n 1924212=++ 36．的值，求已知：m m m 723921=-+37．已知：)(2,222n m m n n m ≠+=+= 求：332n mn m +-的值38．已知yz y xy x 4812922-+-04422=+-+z z ，求x 、y 、z 的值。

《整式的除法》整式的乘除与因式分解日期:目录•整式的乘法和除法概述•整式的因式分解•整式的除法详细解析•练习题与答疑整式的乘法和除法概述整式是由常数、变量和运算符（加、减、乘）构成的代数表达式。

定义整式具有结合律、交换律和分配律等代数性质。

性质整式的定义和性质两个整式相乘时，可以将它们的各项相乘并相加，得到一个新的整式作为乘积。

在整式的除法中，我们通常通过因式分解的方式将被除数和除数进行化简，然后消除相同的因式，得到最简结果。

乘法法则和除法法则除法法则乘法法则解决实际问题：整式的乘除常常用于解决各种实际问题，如工程问题、物理问题等，通过建立整式模型，可以更好地理解和解决问题。

计算机科学：在计算机科学中，整式的乘除也有重要应用，如多项式求值、密码学等领域。

这些内容构成了《整式的除法》中整式的乘除与因式分解的基本框架和知识点。

通过对这些内容的深入学习和理解，可以更好地掌握整式的乘除运算以及其在各个领域中的应用。

数学推导：在数学推导过程中，整式的乘除是基本的代数运算，它们被广泛应用于证明定理、化简表达式等。

整式乘除的应用场景整式的因式分解因式分解的定义和意义因式分解，又称作因子分解，是将一个多项式表示为几个多项式的乘积的过程。

意义因式分解是代数的基本工具，它简化了多项式的运算，并在解决方程、不等式和其他数学问题中起到关键作用。

当多项式的各项有公共因式时，可将公共因式提取出来，从而简化多项式。

提公因式法公式法分组分解法利用代数公式，如平方差公式、完全平方公式等，进行因式分解。

将多项式的项分组，使每组都能进行因式分解，然后再将各组的结果结合起来。

030201常见因式分解的方法通过因式分解，可以将某些类型的方程（如一元二次方程）化为更简单的形式，从而更容易求解。

解方程因式分解在不等式的求解过程中也起到简化作用，通过分解可以更清晰地看出不等式的解集。

求解不等式在多项式运算中，通过因式分解可以简化计算过程，提高计算效率。

北师版七下数学第一章《整式的乘除》乘法公式应用大全活用乘法公式乘法公式在解题中的应用非常广泛，运用乘法公式解题不仅要熟悉公式的结构特征，而且能灵活使用它们，才能获得简捷合理的解法．现介绍几种方法，供同学们参考．一、对号a、b，正确运用例1计算(-2+3x)(-2-3x)．分析：两个因式中的-2完全相同，而3x与-3x互为相反数，因而可运用平方差公式计算，-2是公式中的a，3x是公式中的b．解：原式=(-2)2-(3x)2=4-9x2．二、适当变形，灵活运用例2计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．分析：两个因式中2x和5完全相同，而y和z的符号分别相反，故可适当分组，再用平方差公式计算．解：原式=〔(2x+5)+(y-z)〕·〔(2x+5)-(y-z)〕= (2x+5)2-(y-z)2= 4x2+20x+25-y2+2yz-z2．三、分析情况，合理选用例3计算(2a+1)(2a-1)(4a2-2a+1)(4a2+2a+1)．分析：前两个因式与后两个因式可分别运用平方差公式计算它们的积，但若先利用乘法交换律与结合律巧妙结合，就可以用立方和、立方差公式简算．解：原式=〔(2a+1)(4a2-2a+1)〕〔(2a-1)(4a2+2a+1)〕= (8a3+1)(8a3-1)=64a6-1四、创造条件，巧妙应用例4计算(5a+3b-2c)(5a-3b+6c)．分析：从表面上看本题不能使用乘法公式．但注意到两个因式中有一项完全相同，另一项互为相反数，又因-2c=2c-4c,6c=2c+4c，故可先拆项，后仿例2计算．解：原式=(5a+3b+2c-4c)(5a-3b+2c+4c)=〔(5a+2c)+(3b-4c)〕·〔(5a+2c)-(3b-4c)〕=(5a+2c)2-(3b-4c)2=25a2+20ac+4c2-9b2+24bc-16c2=25a2-9b2-12c2+20ac+24bc．五、避繁就简，逆向运用例5计算(x+y)2-2(x+y)(x-y)+(x-y)2分析：若先平方展开后再计算，比较复杂，但把(x+y)看作a，(x-y)看作b，可逆用完全平方公式，迅速得出结果．解：原式=〔(x+y)-(x-y)〕2=4y2．六、明确联系，综合运用乘法公式的主要变式有：①a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab；②(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)；③(a+b)2-(a-b)2=4ab；④a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程．例6已知：a+b=5，ab=2，求：(a-b)2的值．解：由完全平方公式得(a+b)2-(a-b)2=4ab，则(a-b)2=(a+b)2-4ab．∵a+b=5，ab=2∴(a-b)2=52-4×2=17．逆用乘法公式解题1 平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b22 完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b23 立方和（差）公式它们是整式运算的重点，又是整个代数计算的基础，所以，同学们不仅要会正向运用，还要熟练地逆向运用．1．逆用平方差公式解原式故选(D)解对分母逆用平方差公式，得分母=(100319912-1)+(199319932-1)=19931992×19931990+19931994×19931992 =19931992×[(19931992-2)+(19931992+2)] =2×199319922例3 计算19902-19892+19882-19872+…+22-1解原式=(19902-19892)+(19882-19872)+…+(22-1)=(1990+1989)+(1988+1987)+…+(2+1)=1990+1989+1988+1987+…+2+1=19810452．逆用完全平方公式例4计算1.23452+0.76552+2.469×0.7655解原式=1.23452+2×1.2345×0.7655+0.76552=(1.2345+0.7655)2=22=4例5已知a=123456789，b=123456785，c=123456783，则a2+b2+c2-ab-b c-c a 的值是_______．解逆用完全平方公式得3．逆用立方和（差）公式例6 已知a+b=2，那么a3+6ab+b3=______解原式=a3+b3+6ab=(a+b)(a2-ab+b2)+6ab=2(a2-ab+b2)+6ab=2a2+4ab+b2=2(a+b)2=2×22=8解设a=11111，则4．逆用多个公式例8若a=19952+19952·19962+19962求证：a是一个完全平方数．证明a=19952+19952×19962+19962=19952×19962+19952-1+19962+1=19952×19962+1996×1994+19962+1=19952×19962+1996(1994+1996)+1=(1995×1996)2+2·1995·1996+1=(1995×1996+1)2∴a是一个完全平方数例9已知724-1可被40至50之间的两个整数整除，这两个数是[ ] A．41,48 B．45,47C．43,48 D．41,47解724-1=(712+1)(76+1)(73+1)(73-1)=(712+1)(76+1)(7+1)(72-7+1)(7-1)(72+7+1)=(712+1)(76+1)×8×43×6×57=(712+1)(76+1)×43×48×57故应选(C)活用乘法公式的“八先”运用乘法公式可使乘法运算简捷，但有些多项式相乘不能直接运用公式计算，这时若能先适当变形，使之便于运用公式，则往往可化难为易、避繁就简．一、先结合后用公式例1 计算(a-b+c-d)(a+b-c-d)．分析：两因式中的a，-d分别相同，而b，c分别相反，因而可把第一、四项结合为一组，第二、三项结合为另一组，再用平方差公式计算．解：原式=[(a-d)-(b-c)][(a-d)+(b-c)]=(a-d)2 -(b-c)2=a2 -2ad+d2 -b2 +2bc-c2．二、先活用运算律后用公式分析：本题虽可利用平方差公式计算，但若能利用乘法交换律与结合律适当变形，改用立方和与立方差公式计算较简便．三、先逆用法则后用公式例3 计算(x-y)2 (x+y)2 (x2 +y2 )2．分析：若顺向先平方展开再相乘将不胜其繁，倒不如逆用积的乘方法则(abc)2 =a2b2c2，再利用平方差公式计算较简捷．解：原式=[(x-y)(x+y)(x2 +y2 )]2=[(x2 -y2 )(x2 +y2 )]2=(x4 -y4 )2=x8-2x4x4 +y8．四、先拆项后用公式例4 计算(2x+5y-3)(-2x+5y+5)．分析：初看两个因式不符合平方差公式的结构特征，难以运用公式求解，但若把“-3”拆为“-4+1”，把“5”拆为“4+1”，则运用公式的前景依稀可见．解：原式=(2x+5y-4+1)(-2x+5y+4+1)=[(5y+1)+(2x-4)][(5y+1)-(2x-4)]=(5y+1)2 -(2x-4)2=25y2 +10y-4x2 +16x-15．五、先增添因式后用公式例5 计算(22 +2+1)(26+23 +1)(218+29+1)．分析：若直接相乘将繁杂冗长，注意到各因式具有立方差公式中第二个因式的结构特征，因而先增添因式(2-1)，再用公式简捷运算．解：原式=(2-1)(22 +2+1)(26+23 +1)(218+29+1)=(23 -1)(26+23 +1)(218+29+1)=(29-1)(218+29+1)=22 7-1．六、先换元后用公式例6 计算(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)．分析：注意到1+4=2+3这个特征，因而可先换元然后运用公式计算．解：原式=(x+1)(x+4)](x+2)(x+3)]=(x2 +5x+4)(x2 +5x+6)设a=x2 +5x+5，则原式=(a-1)(a+1)=a2 -1=(x2 +5x+5)2 -1=x4 +10x3 +35x2 +50x+24．说明：本解法用到了公式(a+b+c)2 =a2 +b2 +c2 +2ab+2ac+2bc．七、先变换所求式后用公式例7 a=1998x+1997，b=1998x+1998，c=1998x+1999，那么a2 +b2 +c2 -ab-bc-ca 的值是______．分析：注意到所求式的2培具有完全平方公式的特征，因而先变换所求式然后应用公式计算．解：由已知，得a-b=-1，b-c=-1，c-a=2，则八、先添项后用公式例8 若(z-x)2 -4(x-y)(y-z)=0，则x+z-2y+1999=_______．分析：注意到已知式中4(x-y)(y-z)具有完全平方公式中2ab的形式，因而在(z-x)2中添项“-y+y”，把它变形为[(z-y)+(y-x)]2，然后运用公式计算．解：∵(z-x)2 -4(x-y)(y-z)=[(z-y)+(y-z)]2 -4(z-y)(y-x)=(z-y)2 -2(z-y)(y-x)+(y-x)2=[(z-y)-(y-x)]2 =(x+z-2y)2 =0，∴x+z-2y=0．∴x+z-2y+1999=0+1999=1999．。