第4章 根轨迹法-3(1)

0 a 1
例4-10系统的根轨迹
本例说明，尽管在许多情况下，都是绘制常义根轨迹，但是在 绘制参数根轨迹、研究正反馈系统、处理非最小相位系统时， 都有可能遇到绘制零度根轨迹的情形。
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2. 几个参数变化的根轨迹（根轨迹簇） 在某些场合，需要研究几个参数同时变化对系 统性能的影响。例如在设计一个校正装置传递函数 的零、极点时，就需研究这些零、极点取不同值时 对系统性能的影响。为此，需要绘制几个参数同时 变化时的根轨迹，所作出的根轨迹将是一组曲线， 称为根轨迹簇。
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它的闭环特征方程式为
开环分母-开环分子=0
D( s) K g N (s) s(s p1 ) K g (s z1 ) 0
亦即 幅值条件
N ( s) s z1 1 D( s) s( s p1 ) K g
N ( s) s z1 1 D( s) s ( s p1 ) K g
（1）实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的零点、极点之和
应是偶数。
m2 （2）根轨迹的渐近线。倾角 , ( 0,1, 2, L L ) nm （3）根轨迹的出射角与入射角。
m n1 出射角 sc 360 j i i 1 j 1 m 1 n 入射角 sr 360 j i i 1 j 1
有相同阻尼比的复极点，位于同一条射线上，称为 等阻尼线。同一条阻尼线上的复极点，超调量相同。
10
等阻尼线
③ n 是表征系统指数衰减的系数，它决定系统的调节时间。 有相同 n 的系统，将有相同的衰减速度和大致相同的调节 时间。
ts 5%
ts 2%
3
n
4
, 0 0.9
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例4-11 一单位反馈控制系统如图所示，试绘制以K和 a 为
参数的根轨迹。 解 系统闭环特征方程为
s 2 as K 0
先令 a 0，则上式变为
或写作
K 1 2 0 s
s2 K 0
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令
K WK 1 ( s ) 2 s
据此作出 WK1 (s) 对应的根轨迹，如下图a所示。
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例4-15 系统的开环传递函数为
1.06 WK ( s) s( s 1)( s 2)
在系统中附加偶极点对，相应的新开环传递函数为
W ' K ( s) K g ( s 0.1) s( s 0.01)(s 1)(s 2)
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系统附加偶极子对根轨迹的影响
新系统的根轨迹除S平面原点附近外，与原系统根轨迹相比无 明显变化。但会使得系统开环增益增大，即能改善系统的稳态 性能。
下图b为K取不同值时所作的根轨迹簇。
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4.3.3 偶极子对系统性能的影响
在系统的综合中，常在系统中附加一对非常接近坐标原
点的零、极点对来改善系统的稳态性能。这对零、极点彼此
相距很近，又非常靠近原点，且极点位于零点右边，通常称
这样的零、极点对为偶极点对或偶极子。 1 在系统中附加下述网络 s 1 T 1 0 s 1 T 若上述网络的极点和零点彼此靠得很近，即为偶极子。
一对复极点和一个实极点
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（4）闭环系统有一对复极点外加一个零点
将增大系统超调量
但是，如果 0.5, z1 4n ， 则可以不计零点的影响，直接用
二阶系统的指标来分析系统的暂
态品质。
一对复极点和一个零点
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2．开环具有零点的二阶系统
二阶系统增加一个零点时，系统结构图如下图所示。
m n i 1 m j 1
辐角条件 N ( s) D( s) ( s zi ) ( s p j )
i j 360 ( 0,1, 2
i 1 j 1 n
)
由于辐角条件是偶数个 ，故名为零度根轨迹。
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零度根轨迹的绘制，改变了与幅角有关的规则：
t 0
8
共轭复根情况
% e


1 2
n
100%
1 2 arctan
( ) %
9
② 假设 不变 则随着 n增大，极点将沿矢量方向延伸。
n 收敛快，响应速度(ts ) 1 n d
2
促使系统快速到达稳定状态
闭环复数极点距离虚轴较远， 实数极点距离虚轴较近，系 统有较低的响应速度。
开 环 零 点 在 不 同 取 值 情 况 下 的 根 轨 迹
17
从以上四种情况来看，一般第三种情况比较理想，这 时系统具有一对共轭复数主导极点，其暂态响应性能指标 也比较令人满意。
可见，增加开环零点将使系统的根轨迹向左弯曲，并 在趋向于附加零点的方向发生变形。如果设计得当，控制 系统的稳定性和暂态响应性能指标均可得到显著改善。
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19
当 a 4 时，根轨迹与虚轴交点为
2
对应的根轨迹放大系数为
K g 20
考虑到 K g 4Kl ，于是得临界开 20 环放大系数为 K l 5 4 根轨迹绘于右图。 本例说明：在二阶系统中附加一个极点，随着 K g 增大， 根轨迹会向右变化，并穿过虚轴，使系统趋于不稳定。
这是 a 0 时，以K为参变量的根轨迹。
其次考虑 a 0 ，把闭环特征方程改写为
as 1 2 0 s K
令
as WK 2 ( s ) 2 s K
30
as 例如令K=9，则 WK 2 ( s ) 2 s 9
它的极点为 3 j ，零点为0。不难证明，对应特征方程的根 轨迹为一圆弧，其方程为 2 2 32
自动控制原理
第4章 根轨迹法
4.2 根轨迹的绘制法则
4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性
一. 用根轨迹法分析系统的性能
用根轨迹法分析控制系统： 定性分析－－稳定性分析。 定量分析－－暂态响应分析，定量计算性能指标。 控制系统的性能是由闭环零、极点的位置决定的。根轨迹 是闭环特征根随参数变化的轨迹，根轨迹法分析系统性能的最
4
1. 二阶系统 设二阶系统的结构图如下图所示。它的开环传递函数为
Kg KK WK ( s ) s (1 Ts ) s ( s 1 ) T
5
(1)闭环系统有两个负实极点 暂态过程主要决定于离虚轴近的极点。 一般当时 R2 5R1，可忽略极点 R2的影响。
>1
( 2 1)nt ( 2 1)nt 1 e e xc (t ) 1 2 2 2 2 1 的影响
增加极点对根轨迹形状的影响
根轨迹将向右弯曲,导致系统最后不稳定， 所以一般不单独加开环极点
二.
零度根轨迹
零度根轨迹：根轨迹的辐角条件不是 180(1 2 )，而
是 360 的情况。
图示系统有一个零点在 S
右半平面，它的传递函数为
K g ( s z1 ) K k (1 Ta s) WK ( s) s(1 T1s) s( s p1 )
它的开环传递函数为
K g ( s a) K ( s a) WK ( s) 0.2s(5s 1) s( s 0.2)
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由下图知，复平面上的根轨迹是一个圆（证明详见教材）。 这个圆与实轴的交点即为 分离点和会合点：
s1 a a 2 0.2a
s2 a a 2 0.2a
3
根轨迹只要有一支穿越虚轴，就说明闭环系统的稳定是有条 件的，知道了根轨迹与虚轴交点的Kg值，就可以确定稳定条 件，进而确定合适的Kg值。
初学者容易把开环极点和闭环极点混淆，因为画根轨迹
图时首先标在图上的是开环零、极点，根轨迹的起点是开环 极点，有读者就误认为根轨迹上的点都是开环极点，这是不 对的。根轨迹图上除了起点和终点，其它都是闭环极点的可 能取值。 由根轨迹求出闭环系统极点和零点的位置后，就可以按 第三章所介绍的方法来分析系统的暂态品质。
大优点就是可以直观地看出系统参数变化时，闭环极点的变化。 选择适当的参数，使闭环极点位于恰当的位置，获得理想的系 统性能。
2
用根轨迹图分析控制系统的稳定性，比仅仅知道一组闭环极点 要深刻得多。 比如，当Kg在（0，∞）间取值时，如果n支根轨迹全部位于虚 轴的左边，就意味着不管Kg取任何值闭环系统都是稳定的。 反之，根轨迹只要有一支全部位于虚轴的右边，就意味着不管 Kg取何值，闭环系统都不可能稳定，这种情况下，如果开环 零、极点是系统固有的、不可改变的，那么要使系统稳定就 必须人为增加开环零、极点，这就是通常讲的要改变系统的 结构，而不仅仅是改变系统的参数。
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三.
参数根轨迹
参数根轨迹（或广义根轨迹）：以 K g 以外的参数作为变
量的根轨迹，称为参数根轨迹。
1. 一个参数变化的根轨迹
假设系统的可变参数是某一时间常数 T，原特征方程式变 为
1 K g N ( s) D( s ) 1 TNT (s) DT (s)
式中，NT (s) 、 DT (s)分别为等效的开环传递函数分子、分母多项
式，T的位置与原根轨迹放大系数 K g完全相同。
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例4-10
给定控制系统的开环传递函数为
sa WK s , a0 s(2s a)
试作出以a为参变量的根轨迹，并利用根轨迹分析取何值时 闭环系统稳定。 解 闭环特征方程 改写为
2s 2 as s a s(2s 1) a(s 1) 0
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① 假设 n 不变
随着阻尼角 arccos 的改变，极点将沿着以 的圆弧移动。
n
为半径
0, 1
出现实数重根，临界阻尼状态，无超调
xc (t ) 1 e