过直线外一点作已知直线的垂线

过直线外的一点可以画几条垂线
平面内，过直线外一点画已知直线的垂线，可以画1条；空间中，过直线外一点画已知直线的垂线，可以画无数条。

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线。

（1）平面内，过直线外一点画已知直线的垂线，可以画1条：证明如下：
设直线为L，直线外一点为A，假设过点A可以做两条直线与L 垂直，垂足分别为B与C，由于AB垂直于L，AC垂直于L，所以AB 平行于AC，又因为AB与AC交于点A，这与AB平行于AC相矛盾，所以原假设不成立，即过点A可以做1条直线与L垂直。

（2）空间中，过直线外一点画已知直线的垂线，可以画无数条：由于空间中对于垂直的定义与平面有所不同，两直线不一定要相交，异面直线也可以垂直，因此，可先找到过点A与L垂直的平面，根据空间直线的方向向量与A点的坐标，可以确定平面的方程，在这个平面上过点A的任一一条直线都与L垂直，因此有无数条。

中考尺规作图大全-(含练习答案)尺规作图是一种使用没有刻度的直尺和圆规的方法。

基本作图是尺规作图的最基本、最常用的方法，而一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。

基本作图包括五种：作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作已知线段的垂直平分线、作已知角的角平分线、过一点作已知直线的垂线。

题目一要求作一条线段等于已知线段a。

作法是先作射线AP，然后在射线AP上截取AB=a，这样线段AB就是所求作的图形。

题目二要求作已知线段MN的垂直平分线，即找到点O 使得MO=NO（即O是MN的中点）。

作法是分别以M、N 为圆心，以大于MN的相同线段为半径画弧，两弧相交于P、Q，然后连接PQ交MN于O，这样点PQ就是所求作的MN 的垂直平分线。

题目三要求作已知角AOB的角平分线OP。

作法是以O 为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA、OB于M、N，然后以M、N为圆心，以大于MN的线段长为半径画弧，两弧交∠AOB内于P，最后作射线OP，这样射线OP就是∠AOB的角平分线。

题目四要求作一个角等于已知角AOB。

作法是先作射线O’A’，然后以O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于M，交OB于N，接着以O’为圆心，以OM的长为半径画弧，交O’A’于M’，再以M’为圆心，以MN的长为半径画弧，交前弧于N’，最后连接O’N’并延长到B’，这样∠A’O’B’就是所求作的角。

题目五要求经过直线AB上一点P做已知直线CD的垂线。

作法是以P为圆心，任意长为半径画弧，交AB于M、N，然后分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点Q，最后连接CQ、DQ即可得到所求作的CD。

3.删除明显有问题的段落（无问题段落为1、2、4、5）4.改写每段话3）过D、Q作直线CD。

则直线CD是求作的直线。

改写为：作直线CD，使其经过点P并垂直于直线AB，方法如下：6）题目六：经过直线外一点作已知直线的垂线已知：如图，直线AB及外一点P。

求作：直线CD，使CD经过点P，且CD⊥AB。

专题5.4垂线（知识讲解）1.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；2.理解并运用“垂线段最短”解决实际问题；3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．特别说明：(1)记法：直线a 与b 垂直，记作：a b ⊥；直线AB 和CD 垂直于点O，记作：AB⊥CD 于点O.(2)垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：90AOC ∠=° 判定性质CD⊥AB．：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．特别说明：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．3．垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．特别说明：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．特别说明：（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．【典型例题】类型一、垂线➽➼定义的理解➼➻垂直✬✬直角1．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，下列条件：90AOD ∠=︒①；AOC BOC ∠=∠②；AOC BOD ∠=∠③，其中能说明AB CD ⊥的有（）A ．①B ．①或②C ．①或③D ．①或②或③【答案】B 【分析】根据垂直定义“当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直”进行判定即可．解：90AOD ∠=︒①，可以得出AB CD ⊥，故符合题意；180AOC BOC ∠+∠=︒ ②，AOC BOC ∠=∠，故符合题意，90AOC BOC ∴∠=∠=︒，可以得出AB CD ⊥；AOC BOD ∠=∠③，不能得到AB CD ⊥，故不符合题意；故能说明AB CD ⊥的有①②．故选：B ．【点拨】此题主要考查了垂直定义，关键是通过条件计算出其中一个角为90︒．举一反三：【变式1】如图，同一平面内的三条直线交于点O ，130∠=︒，260∠=︒，AB 与CD 的关系是（）A ．平行B ．垂直C ．重合D ．以上均有可能【变式2】如图，120∠=︒，则2∠的度数是（）A．50︒B．60︒C．70︒D．80︒【答案】C【分析】根据图象可得：∠1+∠2=90°，代入求解即可得出结果．解：∵∠1+∠2+90°=180°，∴∠1+∠2=90°，∵∠1=20°，∴∠2=70°，故选：C．【点拨】题目主要考查角度计算，从图中得出∠1+∠2=90°是解题关键．类型二、垂线➽➼垂线的画法条射线重合，折痕a即为所求，下列判断正确的是（）A．只有嘉嘉对B．只有淇淇对C．两人都对D．两人都不对【答案】C【分析】根据垂直的定义即可解答．解：嘉嘉利用量角器画90°角，可以画垂线，方法正确；淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a垂直直线l，方法正确，故选：C．【点拨】本题主要考查了作图、垂线的定义，掌握垂直的定义是解答本题的关键．举一反三：【变式1】下列用三角板过点P画AB的垂线CD，正确的是（）【变式2】过一条线段外一点，作这条线段的垂线，垂足在()A．这条线段上B．这条线段的端点处C．这条线段的延长线上D．以上都可以【答案】D【分析】画一条线段的垂线就是画线段所在直线的垂线，进而得出答案.解答：由垂线的定义知，画一条线段的垂线，垂足可以在线段上，可以是线段的端点，也可以在线段的延长线上.故选D.【点拨】本题主要考查线段垂线的画法，正确把握垂线的定义是关键.类型三、垂线➽➼点到直线的距离✬✬垂线段画法3．如图，90AOB ∠=︒，P 是OB 上的一点，用刻度尺分别度量点P 到直线OA 和到直线OC 的距离．【答案】点P 到直线OA 的距离约为2cm ，点P 到直线OC 的距离约为1.1cm【分析】过点P 作PD OC ⊥，用刻度尺分别度量PO 和PD 的长度，即可得到点P 到直线OA 和到直线OC 的距离．【详解】解：过点P 作PD OC ⊥，用刻度尺分别度量，可得点P 到直线OA 的距离约为2cm ，点P 到直线OC 的距离约为1.1cm ．【点拨】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是清楚点到直线的距离是垂线段的长度．举一反三：【变式1】如图，AB 、CD 、NE 相交于点O ，OM 平分BOD ∠，OM ON ⊥，55AOC ∠=︒．(1)线段______的长度表示点M 到NE 的距离；(2)比较MN 与MO 的大小（用“＜”号连接）：____________，并说明理由：____________；(3)求AON ∠的度数．【答案】(1)MO ；(2)MO MN <，是因为垂线段最短；(3)62.5︒【分析】（1）根据点到直线的距离求解即可；（2）根据垂线段最短求解即可；（3）根据垂直的定义和角之间的关系求解即可．（1）解：线段MO 的长度表示点M 到NE 的距离，故答案为：MO ；（2）解：比较MN 与MO 的大小为：MO MN <，是因为垂线段最短，故答案为：MO MN <，是因为垂线段最短；（3）解：55BOD AOC ∠=∠=︒ ，OM 平分BOD ∠，27.5BOM ∴∠=︒，18018027.59062.5AON BOM MON ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．【点拨】本题考查了点到直线的距离、角平分线、垂线段最短，解题的关键是掌握点到直线的距离．【变式2】已知：点P 是直线MN 外一点，点A 、B 、C 是直线MN 上三点，分别连接PA 、PB 、PC ．（1）通过测量的方法，比较PA 、PB 、PC 的大小，直接用“>”连接；（2）在直线MN 上能否找到一点D ，使PD 的长度最短？如果有，请在图中作出线段PD ，并说明它的理论依据；如果没有，请说明理由．【答案】（1）PA PB PC >>；（2）见解析，垂线段最短【分析】(1)直接测量，比较大小即可；(2)作MN 的垂线，垂足为D ，PD 即所求．解：（1）通过测量可知， 3.7PA =cm ， 3.2PB =cm ， 2.8PC =cm ，故PA PB PC >>；（2）过点P 作PD MN ⊥，则PD 最短．理由：垂线段最短【点拨】本题考查了垂线段最短的性质，解题关键是能熟练的测量线段的长度，知道垂线段最短．类型四、垂线➽➼点到直线的距离✬✬垂线段的长4．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，8cm AC =，6cm BC =，10cm AB =，点P 从点A 出发，沿射线AB 以2/cm s 的速度运动，点Q 从点C 出发，沿线段CB 以1cm /s 的速度运动，P 、Q 两点同时出发，当点Q 运动到点B 时P 、Q 停止运动，设Q 点的运动时间为t 秒．（1）当t =______时，2BP CQ =；（2）当t =______时，BP BQ =；（3）画CD AB ⊥于点D ，并求出CD 的值；（4）当t =______时，有2ACP ABQ S S = ．举一反三：【变式1】如图，点A、点B是直线l上两点，AB＝10，点M在直线l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若点P为直线l上一动点，连接MP，则线段MP的最小值是____．【答案】4.8【分析】根据垂线段最短可知：当MP⊥AB时，MP有最小值，利用三角形的面积可列式计算求解MP的最小值．解：当MP⊥AB时，MP有最小值，∵AB＝10，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，∴AB•MP＝AM•BM，即10MP＝6×8，解得MP＝4.8．故答案为：4.8．【点拨】本题主要考查垂线段最短，三角形的面积，找到MP最小时的P点位置是解题的关键．【变式2】如图，在三角形ABC中，AC＝5，BC＝6，BC边上的高AD＝4，若点P在边AC 上（不与点A，C重合）移动，则线段BP最短时的长为_________________．中考真题专练4．（2022·江苏常州·中考真题）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（）A ．垂线段最短B ．两点确定一条直线C ．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D ．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】A【分析】根据垂线段最短解答即可．解：行人沿垂直马路的方向走过斑马线，体现的数学依据是垂线段最短，故选：A ．【点拨】本题考查垂线段最短，熟知垂线段最短是解答的关键．举一反三：【变式1】（2022·河南·中考真题）如图，直线AB ，CD 相交于点O ，EO ⊥CD ，垂足为O ．若∠1＝54°，则∠2的度数为（）A ．26°B ．36°C ．44°D ．54°【答案】B 【分析】根据垂直的定义可得90COE ∠=︒，根据平角的定义即可求解．解： EO ⊥CD ，90COE ∴∠=︒，12180COE ∠+∠+∠=︒ ，2180905436∴∠=︒-︒-︒=︒．故选：B ．【点拨】本题考查了垂线的定义，平角的定义，数形结合是解题的关键．【变式2】（2021·北京·中考真题）如图，点O 在直线AB 上，OC OD ⊥．若120AOC ∠=︒，则BOD ∠的大小为（）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒【变式3】（2021·浙江杭州·中考真题）如图，设点P 是直线l 外一点，PQ l ⊥，垂足为点Q ，点T 是直线l 上的一个动点，连接PT ，则（）A ．PT PQ≥2B ．PT PQ ≤2C ．PT PQ ≥D ．PT PQ≤【答案】C 【分析】根据垂线段距离最短可以判断得出答案．【详解】解：根据点P 是直线l 外一点，PQ l ⊥，垂足为点Q ，∴是垂线段，即连接直线外的点P与直线上各点的所有线段中距离最短，PQ=，当点T与点Q重合时有PQ PT≥，综上所述：PT PQ故选：C．【点拨】本题考查了垂线段最短的定义，解题的关键是：理解垂线段最短的定义．。

垂线的画法教案垂线的画法教案1教学目标1、让学生结合生活情境，通过自主探究活动，掌握垂线的画法2、使学生能用垂线的性质解决一些实际问题。

3、培养学生学以致用的习惯，体会数学的应用与美感，激发学生学习数学的兴趣、增强自信心。

教学重点：1.通过学生的自主探究活动，正确画出垂线。

2.使学生初步体会直线外一点到直线的距离，垂线段最短难点：正确运用三角尺画出垂线教具准备：铅笔、三角板、直尺。

教学过程：一、引入新课我们前面已经学习了什么叫垂线，谁能说说什么叫垂线。

（两条直线相交形成直角，叫说这两条直线互相垂直）今天这节课我们就来学习如何画垂线。

板书课题：垂线的.画法。

二、探究新知（一）老师边演示边讲解过直线上一点画垂线的方法。

（1）、用直尺画一条直线，在直线上任取一点。

（2）、用三角尺的一条直角边与直线对齐，然后平移三角尺。

（平移时一定要与直线对齐）。

（3）、当三角尺的另一条直角边与点重合时，沿这条直角边画出过这个点的直线的垂线。

___________|___________（二）小组讨论交流，探索特征1、通过上图，同学们互相交流，巩固画垂线的方法2、引导学生在练习本上画出过直线上一点的垂线。

3、学生完成后老师选一个学生到黑板上板演、请其他学生观察他的画法是否正确、学生在互相交流中巩固过直线上一点画这条直线的垂线的方法。

4、生齐读P66平行和垂直概念，并画下来。

5、引导学生练习过直线外一点画这条直线的垂线。

6、同学们刚才我们学习了过直线上一点画这条直线的垂线的方法，同学们画的非常好，但我们如何过直线外一点画这条直线的垂线呢？老师板书：过直线外一点画已知直线的垂线。

A .________________三、巩固新知1、其实我们天天都在和垂线打交道。

你们看：书本面相邻的两边是互相垂直的。

2、P66主题图，找一找，图上垂直的现象？3、做一做1 同学们，你们还能找一找、想一想你的身边还有哪些物体的边是互相垂直的，哪些物体的边是互相平行的？找到后快快把你的发现告诉同组的同学。

经过一已知点作已知直线的垂线
1. 过直线外一点作已知直线的垂线可以作________条．
2.尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线（写出已知、求作、作法，并画图，不证明）．
3．已知点M在直线l上，A、B是直线l外的两点，按照下面要求完成作图：
（1）过点M作直线l的垂线；
（2）在已作出的垂线上确定一点P，使得点P到A、B两点的距离相等．
4. 如图所示，过直线l外一点C画直线l的垂线，请你根据作图痕迹，叙述画图过程
5.已知：△ABC中，AB=4，AC=5，BC=3
（1）过AC的中点D作AC的垂线交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求ED的长度．。

人教版四年级数学上册第五单元过直线上（外）一点画直线的垂线教学设计设计者：何海珠工作单位：西安市长安区王莽街道中心小学过直线上（外）一点画直线的垂线【教学目标】知识与技能1、使学生明确垂线的概念。

学会用三角板准确的过直线上（外）一点画直线的垂线。

2、培养学生良好的学习习惯，进一步培养学生空间想象能力。

过程与方法通过动手操作活动，使学生经历画垂线的过程，培养学生的作图能力。

情感态度和价值观通过活动，让学生感受到学习的乐趣，体会到成功的喜悦，从而提高学习的兴趣。

【教学重点】掌握过直线上（外）一点画直线的垂线的方法，并能灵活运用【教学难点】准确的过直线上（外）一点画直线的垂线。

【教学准备】三角板、导学案、课件【教学设备】电脑投影仪【教学过程】一、导入：（出示幻灯片）揭示课题：过直线上（外）一点画直线的垂线师：同学们今天这节课我们来学习过直线上（外）一点画直线的垂线。

既然要画垂线，那我们就有必要复习一下垂线的定义。

现在哪个同学能用洪亮的声音来说一下垂线的定义。

指名学生回答垂线的定义。

（导学案中的活动一）（设计意图：复习垂线的定义，帮助学生理解将要学到的垂线的画法。

）二、探究新知探究一、过直线上一点画这条直线的垂线1、师：现在我们来看第一个问题：过直线上一点画这条直线的垂线（板书：过直线上一点）师：请同学们认真看、仔细听。

（播放微视频：教师示范过直线上一点画直线的垂线。

）（设计意图：通过观看微视频，使学生非常直观的学习过直线上一点画直线的垂线的方法。

）2、小组内讨论交流：师：现在请大家现在小组内互相说一说老师刚才是怎样过直线上一点画这条直线的垂线的？（设计意图：学生相互回顾视频内容，进一步学习画法）3、操作中学习画法师：现在哪个同学能过黑板上直线上的点画出它的垂线，并边画边说一下画法？（板书：.）指名学生板演。

（设计意图：通过让个别学生实际演示画法，考查视频教学的效果。

）4、小结幻灯片出示以下内容（指名读出来）：过直线上一点画这条直线的垂线的方法（1）把三角板的一条直角边与这条直线重合。

《画垂线》教学反思《画垂线》教学反思《画垂线》教学反思1本节课，我把教科书的例2和例4整合在了一起。

例4画长方形恰恰就是利用例2画垂线的方法来操作，这两个例题联系得很密切，而且在知识的梯度呈现出了由浅入深，所以我大胆的将这两个例题结合在一起。

让学生在不知不觉中就完成了两个例题的学习，但实际上是一个知识点的学习与运用。

本节课采用了尝试教学法，目的是培养学生自主、积极、主动探究学习的良好习惯。

在这一环节中，学生能通过直观图像来观察、分析问题，运用已掌握的画直线、射线、线段和认识两条直线互相垂直、垂足点及作线的基本技能来解决新的问题。

因此，学生在解决问题中比较得心应手，正确率比较高。

同时，通过学生的交流、质疑，调动了课堂活跃的气氛，让学生学会说，学会质疑问题，学会理解错误原因，及时更正，加深理解。

另外，加上表扬能正确解决问题的学生，以达到激发他们感受成功的喜悦，相信我能行，从而产生学好数学、用数学的信心。

不足的是：有些学生在尝试中，出现了一些问题，老师没有给予及时的纠正，而是待学生描述完后，由同学们来纠错，不知道这样会不会导致有些孩子的思维跟不上，或错误改正不过来，但就当堂的其他同学的描述来看，还是比较好的。

另外就是，学生描述的比较清楚，但在动手操作画的时候，还存在着线不直，有接头；直角标记不规范等瑕疵，今后加强作图的严密性、规范性。

《画垂线》教学反思2画平行线和垂线是本章教学的难点，这节课是一节以学生动手操作为主的，但学生们的操作总是很不好把握。

我设计教学目标如下：1、运用学习工具练习画垂线与平行线，掌握垂线和平行线的画法。

2、培养学生运用工具作图的能力。

本节课我抓住平行线与垂线的特征，实现知识的顺利迁移。

首先，在复习中让学生找平行线与垂线，使学生头脑中再现出平行线与垂线的表象。

并直接引入课题本节课要学习垂线与平行线的画法，明确学习目的。

其次，课堂上让学生想出不同的方法画出平行线与垂线。

并在小组内进行交流讨论。

初中数学七年级下册相交线，垂线（提高）知识讲解【学习目标】1.了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质；2.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.【要点梳理】知识点一、邻补角与对顶角1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．要点诠释：(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°．(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边；另一边互为反向延长线.2.对顶角及性质：（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．（2）性质：对顶角相等．要点诠释：(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．(2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.邻补角①两条直线相交而成；②有一个公共顶点；③有一条公共边.邻补角互补. 的.1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．要点诠释：(1)记法：直线a与b垂直，记作：a b⊥；直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：90AOC∠=°判定性质CD⊥AB．2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．要点诠释：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．3．垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．要点诠释：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．要点诠释：（1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 【典型例题】类型一、邻补角与对顶角1．如图所示，AB 和CD 相交于点O ，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOD ，试说明OM 和ON 成一条直线。

专题01 尺规作图一．解答题（共8小题）1．（2019秋•龙华区期末）如图，已知四边形ABCD，请用尺规按下列要求作图．（1）延长BC到E，使CE＝CD；（2）在平面内找到一点P，使P到A、B、C、D四点的距离之和最短．【分析】（1）延长BC到E，使CE＝CD即可；（2）使点P、D、E共圆在平面内找到一点P，使P到A、B、C、D四点的距离之和最短【解答】解：（1）如图，延长BC到E，使CE＝CD；（2）如图，点P即为所求作的点．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，解决本题的关键是准确找到点P．2．（2020•市南区校级模拟）已知△ABC，在△ABC中作一半圆满足以下要求：①圆心在边BC上；②该半圆面积最大．【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等即可画出满足要求的半圆．【解答】解：根据题意作图，如图，圆O在三角形ABC内部的半圆即为所求．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，解决本题的关键是掌握角平分线的性质．3．（2020•德城区一模）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC．求作：在AD上求作点E，使得点E到AB的距离EF等于DE．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．）（1）作图的依据是到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上；（2）在作图的基础上，若∠ABC＝45°，AB⊥AC，DE＝1，求CD的长．【分析】（1）作∠ABC的角平分线交AD于E，过点E作EF⊥AB于F，线段EF即为所求．（2）证明△AEF是等腰直角三角形，求出AE即可解决问题．【解答】解：（1）如图线段EF即为所求．作图的依据是：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上．故答案为：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上．（2）∵BE平分∠边长，ED⊥BC，EF⊥AB，∴ED＝EF＝1，∵AD⊥BC，∠ABC＝45°，∴AF＝EF＝1，∴AE＝＝＝，∴AD＝AE+DE＝+1．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．（2019秋•碑林区校级期末）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝8，点D在AB上，AD＝3，在边AC上求作一点E使得△DAE的周长为11．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【分析】连接CD，作CD的垂直平分线，交AC于E，则CE＝DE，依据AD＝3，AC＝AE+CE＝8，即可得到△DAE的周长为3+8＝11．【解答】解：如图所示，点E即为所求．【点评】本题主要考查了复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．5．（2019秋•包河区期末）如图，已知△ABC．（1）画出△ABC的高AD；（2）尺规作出△ABC的角平分线BE（要求保留作图痕迹，不用证明）．【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图可得；（2）根据角平分线的尺规作图可得．【解答】解：（1）如图，AD即为△ABC的高．（2）如图，BE即为△ABC的角平分线．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握过直线外一点作已知直线的垂线及角平分线的尺规作图．6．（2017秋•聊城期中）已知：如图，直线l极其同侧两点A，B．（1）在图1直线l上求一点P，使到A、B两点距离之和最短；（不要求尺规作图）（2）在图2直线l上求一点O，使OA＝OB．（尺规作图，保留作图痕迹）【分析】（1）直接利用对称点求最短路线方法作图即可；（2）结合线段垂直平分线的性质与作法分析得出答案．【解答】解：（1）如图1所示：点P即为所求；（2）如图1所示：点O即为所求．【点评】此题主要考查了基本作图、最短路线问题以及线段垂直平分线的性质，正确掌握相关性质是解题关键．7．（2017秋•滨海新区期末）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点．（Ⅰ）P A+PB的最小值为4；（Ⅱ）在直线EF上找一点P，使得∠APE＝∠CPE，画图，并简要说明画图方法．（保留画图痕迹，不要求证明）【分析】（Ⅰ）根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P为AC与EF的交点时，AP+BP 的最小值，依据AC的长度即可得到结论．（Ⅱ）先作射线BA与直线EF的交点即为点P的位置．【解答】解：（Ⅰ）∵EF是BC中垂线，∴点B关于直线EF的对称点为C，当点P为AC与EF的交点时，P A+PB取得最小值，最小值为P A+PC＝AC＝4，故答案为：4．（Ⅱ）如图所示，延长BA交直线EF于P，连接CP，则∠APE＝∠CPE．理由：∵EF是BC的垂直平分线，∴PB＝PC，又∵PE⊥BC，∴等腰△PBC中，PE平分∠BPC，∴∠APE＝∠CPE．【点评】本题考查基本作图、轴对称变换、最短距离问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．8．（2019秋•惠山区校级期中）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD、ED⊥BD，连结AC、EC．已知AB＝6，DE＝2，BD＝15，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的值；（写出过程）（2）请问点C满足条件点C与点A和B在同一条直线上时，AC+CE的值最小；（3）根据（2）中的结论，画图并标上数据，求代数式的最小值．【分析】（1）根据勾股定理用含x的代数式表示AC+CE的值即可；（2）根据两点之间线段最短可知：点C满足条件与点A、E在同一条直线上时，AC+CE的值最小；（3）根据（2）中的结论，画图并标上数据，即可求代数式的最小值．【解答】解：（1）∵AB＝6，DE＝2，BD＝15，设CD＝x则BC＝15﹣x，根据勾股定理，得AC+CE＝+＝+（2）根据两点之间线段最短可知：当点C与点A和点E在同一条直线上时，AC+CE的值最小；故答案为：点C与点A和点E在同一条直线上．（3）如图所示：∵AB⊥BD、ED⊥BD，∴AB∥DE，∴＝，即＝，解得x＝，则4﹣x＝，＝+＝5答：代数式的最小值为5．【点评】本题考查了作图﹣基本作图、列代数式、轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是求x的值．。

人教版_部编版八年级数学上册第十三章第一节线段的垂直平分线的性质考试复习题三（含答案)已知30AOB ∠=，点P 在AOB ∠的内部，点C 和点P 关于OA 对称,点P 关于OB 的对称点是D ，连接CD 交OA 于M ，交OB 于N ，15CD =（1）补全图，并且保留作图痕迹.（2）写出COD ∠= °. PMN ∆的周长为 .【答案】（1）见详解；（2）60，15.【解析】【分析】（1）依据过直线外一点作直线的垂线的作图方法作出过点P 的OA 的垂线，再由P 与点C 到OA 的距离相等即可确定C 点位置，同理可确定点D 位置，连接CD 即可；（2）由对称的定义可知AO 垂直平分CP ，BO 垂直平分DP ，由角平分线的性质可得,COM MOP DON NOP ∠=∠∠=∠，结合30AOB ∠=可得的度数，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得,MC MP ND NP ==，结合15CD =，易得PMN ∆的周长.【详解】解：（1）如图即为所求（2）连接OC 、OD 、OP 、MP 、NP ，由对称的定义可知AO 垂直平分CP ，BO 垂直平分DP ，易得OM 平分COP ∠，ON 平分DOP ∠ ，,COM MOP DON NOP ∴∠=∠∠=∠30COM DON MOP NOP AOB ︒∴∠+∠=∠+∠=∠=303060COD COM DON MOP NOP ︒︒︒∴∠=∠+∠=∠+∠=+=点M 在AO 上，点N 在BO 上,MC MP ND NP ∴==15PMN C MP NP MN MC ND MN CD ∆∴=++=++==所以60COD ︒∠=， PMN ∆的周长为15.【点睛】本题考查了垂线的画法，线段垂直平分线的性质，熟练掌握过直线外一点作已知直线的垂线是解题的关键.32．如图，△ABC 中，△ABC 的周长为38cm ，∠BAC=140°，AB+AC=22cm，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，与AB、AC分别交于点D、G.(1)求∠EAF的度数.(2)求△AEF的周长．【答案】（1）100°；（2）16cm．【解析】【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质得出EA＝EB，FA＝FC，所以∠EBA＝∠EAB，∠FAC＝∠FCA，设∠EBA＝∠EAB＝α，∠FAC＝∠FCA＝β，由三角形内角和定理得出α＋β的度数，进而可得出结论；（2）根据△AEF的周长＝AE＋AF＋EF＝BE＋EF＋FC＝BC即可得出结论．【详解】（1）∵DE、FG分别垂直平分AB、AC，∴EA＝EB，FA＝FC，∴∠EBA＝∠EAB，∠FAC＝∠FCA．设∠EBA＝∠EAB＝α，∠FAC＝∠FCA＝β∵∠BAC＝140°，∴α＋β＝40°，∴∠BAE＋∠FAC＝40°，∴∠EAF＝140°−40°＝100°；（2）△AEF的周长＝AE＋AF＋EF＝BE＋EF＋FC＝BC＝38−22＝16cm．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．33．如图，△ABC.（1）尺规作图：过点C作AB的垂线交AB于点O.不写作法，保留作图痕迹；（2）分别以直线AB，OC为x轴，y轴建立平面直角坐标系，使点B，C 均在正半轴上.若AB=7.5，OC=4.5，∠A=45°，写出点B关于y轴的对称点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，求△ACD的面积..【答案】（1）见解析；（2）D(-3,0)；（3）278【解析】【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）先根据题意建立平面直角坐标系，得出A，B，C的坐标，从而可写出点B关于y轴的对称点D的坐标；（3）根据三角形面积计算公式可得出△ACD的面积.【详解】（1）如图所示，（2）建立平面直角坐标系，如图所示，∵∠AOC=90°,∠A=45°，原式∴∠ACO=45°=∴AO=CO，∵OC=4.5，∴AO=4.5，∵AB=7.5，∴OB=AB-AO=7.5-4.5=3，∴B（3，0），∵点B与点D关于y轴对称，∴D(-3,0)；（3）连接CD，如图所示，∵AO=4.5，DO=3，∴AD=32, ∴13927==2228ACD S ⨯⨯△. 【点睛】本题考查了作图-基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．34．尺规作图：如图ABC ∆中，CD AB ⊥于D ，在AC 上求作一点P ，使CDP CBD S S ∆∆=（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见详解【解析】【分析】要使CDP CBD S S ∆∆=，需要根据同底等高的三角形面积相等来作图即可．【详解】方法一：如图1①在AD 上截取DE DB =②作DEP BDC ∠=∠，EP 交AC 于P ，则点P 为所求图1方法二：如图2①在AD上截取DE DB②过E作AD垂线交AC于P，则点P为所求图2【点睛】本题考查的是尺规作图，作一条线段等于已知线段，作角等于已知角或过一点作已知直线的垂线．35．请用三角尺、圆规或直尺等工具，在图中按下列要求画图。