三维欧氏空间中的张量
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02 张量概念 @@1页数:54
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第二章 张量(清华大学弹塑性力学)页数:96
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张量概念及其基本运算讲课讲稿页数:14
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张量分析中文翻译(最新整理)页数:6
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4.6Riemann-Christoffel张量(曲率张量)
1 空间， 对于一个 m 维的 Riemann 空间，必定有一个 n = m(m + 1) 2 空间包容它， 空间是嵌入 维的 Euclidean 空间包容它，使 m 维的 Riemann 空间是嵌入 n 维 Euclidean 空间的一个子空间。 空间的一个子空间。 空间中， 在 Riemann 空间中，一般来说找不到一个适用于全空间的 笛卡儿坐标系（ 笛卡儿坐标系（即其度量张量的分量 gij 不一定能通过一种线性
yi 的非线性微分方程组。这组方程的可积性条件是 x p 对 yi 的非线性微分方程组。 混合偏导数与求导次序无关，此时这 个方程彼此是协调的 个方程彼此是协调的。 混合偏导数与求导次序无关，此时这18个方程彼此是协调的。
即
2x p x r x q p 2 x p x r x q p i′ j ′ + i′ j′ Γ rq = j ′ i′ k ′ + i′ k ′ Γ rq k′ y y y y y y y y y y
x r x q p i′ k ′ Γ rq j′ y y y
p x r x q x s Γ rs t p t p q Γ rq Γ ts Γ sq Γ rt = i′ j′ k′ y y y x
可积性条件可写成
p p Γ rq Γ rs x x x t p t p q + Γ rq Γ ts Γ rs Γ tq = 0 i′ j′ k′ s y y y x x (i′, j′, k ′, p = 1, 2, 3) r q s
s Γ ik r r r s r s r Sikj = ai,kj ar ,k Γ ij ai,r Γ kj ar , j Γ ik as j Γ rk Γ ij Γ ir Γ kj x
第一章 三维欧氏空间中的张量_小结
当坐标转动 当坐标反演
ij
（2）张量的阶数与分量数： 张量的阶数 = 表示张量所用的下标数
（3）单位张量：
δ 11 δ 12 δ 13 1 0 0 δ ij = δ 21 δ 22 δ 23 = 0 1 0 δ 31 δ 32 δ 33 0 0 1
—— 三维空间中的单 位张量 二维空间中的单位张量
律。例如：
(aij + bij )ck = aij ck + bij ck (aij bk )cm = aij (bk cm )
或
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C、张量函数的求导：
◆ 对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。 ◆ 一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都是坐标参
数 xi 的函数。
◆ 张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数求导数。 ◆ 对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标符号前
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E、张量的分解： 若张量[aij] 的分量满足 aij = aji 则称[aij] 为对称张量。 若张量[aij] 的分量满足 aij =－aji 则称[aij]为反对称张量。 显然反对称张量中标号重复的分量(也即主对角元素)为零。
a11 = a22 = a33 = 0
(1) (2)
ai = U imVmn cn
把（2） 代入（1）
bi = Vim cm
bm = Vmn cn
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2 乘积 设
p = U m am q = Vm bm p q = U m amVn bn p q ≠ U m amVm bm
不符合求 和约定
则
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(最新整理)张量基础知识
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二阶张量 三阶张量 四阶张量
Tij* aik a Tjl kl
T* ijk
aila jmaknTlmn
T* ijkl
aima jnakoalpTmnop
Tij akialjTk*l
Tijk
ali
amj
ank
T* lmn
Tijkl
ami
anj
aok
a
pl
T* mnop
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xi' x i' j j
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同理
xi x ij' j'
同二维问题，可得
ij' j'k
ik
（正交性）
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于是得到最终的矢量变换法则如下
P*P A 1PA
a11 a21 a31
P1* P2* P3* P1 P2 P3a12 a22 a32
a13 a23 a33
有些量虽然在坐标变换时数值不变，但其符号在第二类 点操作时发生改变，这称为赝标量。
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二、矢量
有一些物理量，它既有大小，又有方向，如力、速度、 电场强度等，这些物理量需要指明其大小和方向才能完全描
述，称为矢量。取直角坐标系OX1X2X3,设有矢量 f ，在三 个坐标轴方向上的投影分别为 f 1, f 2, f 3 ，于是我们将 f 表 为： f (f1, f2, f3)。
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1 同一个方程中各项自由标必须相同
2 不能改变某一项的自由标，但所有项的 自由标可以改变
如： ajixi bj
第一章 三维欧氏空间中的张量_第6次课
3. 散度：
a. 定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度 . b. 表达式：
v divF = lim
v v F ds
S
V 0
c. 散度的计算：
V
z
S3
S2
S6
在直角坐标系中，如图做一封闭 曲面，该封闭曲面由六个平面组成。
S1 S4
S5
v v v v v v v v v v v v v v ds ds ds ds ds ds F = F 1 + F 2 + F 3 + F 4 + F 5 + F 6 ds
球坐标系中： v 1 R 2 FR ) F ( ( 1 Fθ sin θ ) 1 φ = 2 F + + R R R sin θ θR sin θ φ 正交曲线坐标系中： v 1 = F h1h2 h3
Fu h 2 h 3 1 ( Fu2 h1h3 ) Fu3 h1h2 ) ( + + u 2 u 3 u 1
讨论
a. 如果闭合曲面上的总通量 ψ > 0 说明穿出闭合面的通量大于穿入曲面的通量，意 味着闭合面内存在正的通量源 . b. 如果闭合曲面上的总通量 ψ < 0 说明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些 矢线在曲面内终止了，意味着闭合面内存在负源或称沟 . c. 如果闭合曲面上的总通量 ψ = 0 说明穿入的通量等于穿出的通量 .
F F F G G G =i +j +k +i +j +k x y z x y z
= F + G
（2 + j + k )( FG ) ） ( FG ) = (i x y z
关于向量及张量的乘法_朱正元
(f
g ) = f g ij11……ijrs11++ rs22
ij11…… ijrs11 ijrs 11++ 11…… ijrs11++ rs22
易知 ,如上定义的张量积 f g 与基的选取无关 .
可以看到 ,两个张量相乘就是它们作为多重线性函数的张量积 .
由于 E. Cart an外微分方法的深远意义 ,使得反对称张量在流形理论的研究中发挥了巨大
( f , g )→ fΛg=
( r+ r!
s )! s!
Ar+ s ( f
g)
把 Λ称为外乘 . ( r+ s)阶反称共变张量 fΛg 称为 f 与 g 的外积 .
外积是双线性的 ,特别地它满足反交换律:
fΛg= ( - 1)rs gΛf , f ∈ Λr ( V* ) , g∈ Λs ( V* )
r 1+
1 ,…
, v*
, v r1+ r 2 s 1+
1,…
, vs1+
s2 )
其中对于任意
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中央民族大学学报 (自然科学版 )
第 9卷
( v* 1 ,… , v* ) ∈ r1பைடு நூலகம் r 2
V0 r 1+ r2
和
( v1 ,… , vs1+ s2 ) ∈ Vs01+ s2
此外 , f
g 关于基 {ei }的分量是 f 的分量和 g 的分量的乘积 ,即
的 n 个分量分别是第一行元素的代数余子式 A1 ,… , An
于是有
[a1 ,… , an - 1 ] = Ai ei
( 5)
张量的基本概念(我觉得说的比较好,关键是通俗)
简单的说：张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广，标量是零阶张量，矢量是一阶张量，矩阵（方阵）是二阶张量，而三阶张量则好比立体矩阵，更高阶的张量用图形无法表达。
向量是在一个线性空间中定义的量，当这个线性空间的基变换时，向量的分量也跟着变换。
而一个线性空间有一个伴随的对偶空间。
张量是一个同时定义在几个线性空间的量，这几个线性空间的基可同时变换，或者只是只变换几个，此时，张量的分量也跟着变换。
我们一般见到的张量是同时定义在几个线性空间及其对偶空间里的量，在实际的符号表达中，就表现为同时有几个上指标和下指标，也即线性空间及其对偶空间。
张量其实是一种线性代数，即多重线性代数，从字面上理解，也正好是上面提到的“定义在多个线性空间的量”。
在流形中，一点的切空间正好同构于一个欧氏空间，也即，与一个欧氏空间的性质一样。
而这个欧氏空间有一个伴随的对偶空间，所以可以定义张量。
要对流形上张量作微分运算，必须比较流形上相距很近两点的张量的差，这就引出了联络的概念，而联络的概念的引出，需要这两个不同的点的欧氏空间是同构的。
进而发展了张量分析。
现代数学是建立在代数与拓扑基础上的，很多概念如果代数水平不行，是很难理解的。
比如泛函分析、纤维从理论等。
代数方面的知识，最好能掌握抽象代数的概念，进而掌握交换代数的知识。
其实，线性代数是很多现代数学概念的基础，而线性代数的核心就是空间的概念。
而现在，我们国内工科学的线性代数只是讲一讲矩阵、矩阵运算、特征值、特征向量、二次形等等。
线性代数的精髓概念根本涉及不到。
这也就造成了很多同学理解现代数学中很多概念的困难。
现代数学的一个非常重要的方法论就是公理化的方法。
这是希尔伯特在其《几何基础》中最先明确提出的，这本书当初得到了彭加莱的很高的评价。
公理化思想的威力我当初是在学习《实变函数论》这门课时深刻体会到的。
武熙鸿老师的《黎曼几何初步》中，则是处处渗透着公理化的思想，读来颇有味道。
应该这样说，是低阶张量被我们找到了可以比拟的物理意义，但张量本身并不需要具有几何比拟其实，张量是有很强的几何背景的，不管是低阶的，还是高阶的。
张量分析课件
P = ∑αij Ej （i=1,2,3） i
j =1
3
Pi′ = ∑ α i′j′ E j′ （i'=1,2,3）
j ′ =1
3
代 入
将一阶张量Ej和Pi的变换规律
Pi′ = ∑ Ai′i Pi
3
代 入
E j′ = ∑ Aj ′j E j
j =1
i =1 3
∑A
i =1
3
i ′i i
P = ∑∑ α i′j′ Aj′j E j
证： 刚体定轴转动:
ω
(Z轴)转轴
刚 体
(
)
v τi A ni O′ ri
v
刚体定轴转动
r2 r r I 质点：ij = m(rij δ ij − ( r )i ( r ) j ) O
v Ri
= m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j, k=1, 2, 3)
例3. 设质量为m的质点位于点（x1, x2, x3）, 证明在 正交变换下，由九个分量构成的一个物理量Iij是一个 二阶张量, 其中： I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j=1, 2, 3) —称Iij为质点的惯性积，有Iij定义的物理量叫惯性矩. 证： 质点：I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j, k=1, 2, 3) 九个分量:
δij在坐标变换后，其各个分量的值不变. 即在任意坐 标系中按上式定义的二价对称δ符号是一个二阶张量.
例3. 设质量为m的质点位于点（x1, x2, x3）, 证明在 正交变换下，由九个分量构成的一个物理量Iij是一个 二阶张量, 其中： I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j=1, 2, 3) —称Iij为质点的惯性积，有Iij定义的物理量叫惯性矩.
张量表达式
张量表达式张量（Tensor）是现代数学与物理学中一个重要的概念，它通常被定义为多个向量或矩阵在多个方向上的组合。
张量在数学和物理学中的应用非常广泛，例如刻画物质的物理性质、分析空间的几何性质、描述光学成像过程等。
在计算机科学领域，机器学习和深度学习等技术也广泛使用张量来处理和表示数据。
张量的概念最初由意大利数学家沃西卡·沃拉斯斯科提出，他的工作对物理学和数学的发展产生了重大影响。
在物理上，张量可以用来描述电磁场的性质、物体的形变等，而在数学上，它被广泛应用在微积分、拓扑学、代数学、组合数学等领域。
张量的概念也是现代几何形式化的基础之一，通过将向量空间的各种几何性质抽象成为张量，我们可以更好地理解许多看起来复杂难懂的问题。
张量的实现通常依赖于描述基础物理系统的方程式。
例如，世界上最著名的方程之一就是爱因斯坦场方程式，它描述了引力如何影响时空的弯曲和扭曲。
由于张量是用来描述矩阵或向量的数学对象，因此这些张量在计算机的实现中常常被表示成矩阵。
张量的表示方式有很多种，最常见的是使用坐标表示法。
在这种方式中，张量的每一个分量被标记为一个坐标，一个指标或者一个下标。
这种表示法非常直观，因为我们可以将张量看作一个多维数组，然后使用类似于数组访问的方法来访问张量的各个元素。
例如，一个二阶张量可以表示为一个矩阵，其中每个元素由两个下标表示。
在计算机的实现中，我们通常会将张量表示为一个多维数组，并使用类似于numpy等数学库的方法来进行计算和操作。
张量的应用范围非常广泛，包括但不限于物理、计算机科学、工程学、生物学等领域。
在机器学习中，张量被广泛用来表示数据和模型参数，例如神经网络的权重和偏置就被表示为一个高维张量。
随着深度学习技术的发展，张量的应用也越来越广泛。
同时也有越来越多的研究人员致力于深入研究张量的理论和应用，以推动科学技术的发展。
总之，张量是一种非常有用的数学工具，它在数学、物理学、计算机科学、生物学等众多领域都有广泛的应用。
张量代数(三维空间)
预备知识：张量代数（三维空间） 一 定义a) 如果一个物理量由30=1个数及单位确定，而且在坐标变换下保持不变，就称它为零阶张量变换式A A =' 例如，电荷，长度等等、b) 如果一个物理量由31=3个数（分量）及单位确定，而且空间基底按照 j ij ji e a e ∑=' (i,j=1,2,3)时各分量按下列方式变换就称它为1阶张量分量变换式 j ij ji A a A ∑=' (i,j=1,2,3)例如，速度，位移等等 （ ij a 为变换矩阵元）又如： 坐标平面转动变换中21sin cos e e e θθ+='i 3e e e e 0212111++='⇒a a i 22cos sin e e 1θθ+-='e 33e e ='c) 如果一个物理量由32=9个数（分量）及单位确定，而且在坐标变换下，按下列方式变换就称它为2阶张量分量变换式 kl jl ik lk ijA a a A ∑=', (i,j,k,l=1,2,3)例如，张力，电磁场动量流密度 等等--------------------推广 n 阶张量二）一阶张量（矢量）运算复习：设 z z y y x x A A A e e e A ++= z z y y x x B B B B e e e ++=标积∑=++=∙ii i z z y y x x B A B A B A B A B A (数量)矢量积n B A θsin AB =⨯=zyxz y xzy xB B B A A A e e e （矢量）混合积（轮换不变）)()(A C B C B A ⨯∙=⨯∙ 三重矢量积B)C (A C)B (A C)(B A ∙-∙=⨯⨯三）代数符号（张量代数）a) 定义符号1 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=)(1)(0j i j i ij δ作用 ∑=j ij i B B δ， ij j δ=∙e e i ， ∑=∙ijij j i B A δB Ab)定义符号2 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=中有两个下标相等为奇排列）（为偶排列）ijk ijk ijk ijk(01(1ε ijk 为123的全排列 例如 01,1122213123=-=εεε ,（反对称张量） 两者关系式------哑标：（求和的下标）可以随意用字母置换不变 四）矢量运算代数化矢量 ∑=++=ii i z z y y x x A A A A e e e e A标积 ∑∑∑∑=∙=∙=∙ijij j i ijj j i j j i i B A B A B A δ)(e e e e B A i矢量积 ∑==⨯ijkk j i ijk B A B B B A A A e e e e B A ε321321321-----第i 分量 ∑=⨯jkk j ijk i B A ε)(B A 五）矢量微分算符 定义 ∑∑∇=∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∇i i i z y xx z y x ii i e e e e e 基本运算（注意：∇只作用与它后面的函数） 梯度：（作用于标量函数） i iix e ∑∂∂=∇ϕϕ 散度 （作用于矢量函数）)()()(j i ijij j j j ii ix AA x e e e e A ∙∂∂=∙∂∂=∙∇∑∑∑∑∑∂∂=∂∂=ii ij ijij x A x A δ （结果为标量）旋度（作用于矢量函数） )()()(j ij ij j j j ii x A A x e e e e A i i ⨯∂∂=⨯∂∂=⨯∇∑∑∑（不好?）或者： （结果为矢量） -----讨论：1与复合函数的基本运算公式（习题3） a) )(u ϕ∇ b))(u A ∙∇c) )(u A ⨯∇-------2与函数乘积的运算公式 a) )]()([x x ψϕ∇ b))(B A ⨯⨯∇小节：运算技巧===== 相关习题 1,2,3 6六 矢量微分算符的高阶作用（全书理论部分）a)2222222)(zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∇=∇∙∇ϕϕϕϕϕb)0)()(=∇∇=∇⨯∇∑ϕεϕk j i ijk e （交换jk 不变）c) i ii )()(A A ⨯∇∇=⨯∇∙∇∑)(m l ilm ii A ∇∇=∑∑ε∑=∇∇=0m l i ilm A ε(交换ij 不变)d) A A A 2)()(∇-∙∇∇=⨯∇⨯∇比较 B)C (A A)B(C C)(B A ∙-∙=⨯⨯(证明？)七 二阶张量基本运算（第二，三，四章）表示法： ∑=ijij T T j i e e(i,j=1,2,3)-----并矢可以表示二阶张量，因为j i ij ijj i j i j j i i e e T e e B A e B e A ∑∑∑∑===AB单位二阶张量z z y y x x e e e e e e ++=Ia) 加法∑+=+ijij ij U T U T j i e e )(b) 与标量乘积∑=ijj i ij e e T T ϕϕc) 与矢量的点积左乘 ∑∑∙=∙ijij kk k T A T j i e e e A∑∙=i j kj i k ij k e e T A e )(∑=ijkj ki ij k T A e δ∑=ijj ij i T A e (矢量)右乘 ∑∑∙=∙kk k ijj i ij e A e e T A T∑∙=i j kk j i ij k e e e T A )(∑=iji ij j T A e------注意： 1左乘一般不等于右乘 2结果为矢量 d) 二阶张量的点乘积定义： ))(()(:)(D A C B CD AB ∙∙=例如：∑∑=l k kl j i ij e e U e e T U T ::))((l i k j ijklkl ij e e e e U T ∑=∑∑==ijji ij il jk ijklkl ij U T U T δδ结果为普通的数。
定义与基本性质欧氏空间
欧氏空间的性质
完备性
在欧氏空间中，任意柯西序列都收敛，即任意两点之间的距离可 以由有限步的有限位移得到。
有限维性
欧氏空间是有限维的，其维度等于空间中独立坐标的个数。
连通性
欧氏空间是连通的，即任意两点之间都存在一条连续的路径。
欧氏空间的维度
一维欧氏空间
只有一条坐标轴。
二维欧氏空间
有两条相互垂直的坐标轴。
向量的模
欧氏空间中向量的模定义为向量长度或大小，表 示为$| vec{v} |$，计算公式为$sqrt{v_1^2 + v_2^2 + cdots + v_n^2}$。
向量的内积
欧氏空间中向量的内积定义为两个向量的点积， 表示为$vec{v} cdot vec{w}$，计算公式为 $v_1w_1 + v_2w_2 + cdots + v_nw_n$。
连续性的几何意义
在欧氏空间中，连续性意味着函数图像的每一点附近都有其他点，这些点与图像 上对应的点足够接近。
03
欧氏空间的应用
解析几何中的欧氏空间
解析几何是数学的一个重要分支，它使用代数方法研究几何对象。在解析几何中 ，欧氏空间是一个基本的、重要的概念，用于描述平面和三维空间中的点、线、 面等几何元素。
长度和半径
欧氏空间中，线段的长度和圆的 半径可以通过度量性质进行计算 。
欧氏空间的平行性
平行直线
在欧氏空间中，两条直线平行当且仅当它们的方向向量成比 例。
平行平面
在欧氏空间中，两个平面平行当且仅当它们的法向量共线。
欧氏空间的连续性
连续性定义
在欧氏空间中，如果对于任意给定的正数$epsilon$，都存在一个正数$delta$，使 得对于空间中的任意两点$P$和$Q$，只要$d(P, Q) < delta$，就有$d(f(P), f(Q)) < epsilon$，则称函数$f$在欧氏空间中是连续的。
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§1.3 物理量在空间反演变换下的分类
1.3.1 空间反演 变换矩阵 定义为 ei′ = −ei , i = 1, 2,3 −1 0 0 aij = −δij a = 0 −1 0 0 0 −1 (3.1)
xi′ = −xi , i = 1, 2,3
z e3 x
A 1 A2 A 3
Ai (r ):第i个分量
列矢形式, 行矢: 列矢形式, 行矢:
( A1,
A2 , A ) 3
坐标表示 A = Ae1 + A e2 + Ae3 1 2 3
二阶张量: 二阶张量: 九个量 Tij (r ) (i, j = 1, 2,3)且在空间转动变换下 像两个坐标分量的乘积 xi xj (i, j = 1, 2,3) 一样变换 (两个坐标分量乘积的变换为 xi′x′j = ail ajm xl xm) 即
例3.1 不变矢量是零矢量
(3.4)
证明: 证明: ∵A′ = aA = A ⇒ aA = A ∵a ≠ I ∴A = 0 是一个二阶对称张量, 例3.2 δij 是一个二阶对称张量,而且是不变张量 证明: 证明: ∵ei ⋅ ej = ej ⋅ ei ⇒δij = δ ji 二阶对称张量 又二阶张量 δij 为一单位矩阵 I 故 I′ = aIaT = aaT = I 不变张量
aijaik = δ jk
(1.7)
写成矩阵形式, 写成矩阵形式,有
aT a = I
(1.8)
:3*3单位矩阵 I :3*3单位矩阵 (1.9)
三维转动变换系数矩阵a 三维转动变换系数矩阵a 是正交矩阵
aT = a−1 因而 aaT = I 又由(1.8) (1.8)式有 又由(1.8)式有
其分量形式为
1.3.4
符号 δij 和 εijk的关系 1 3 2 (3.5)
Levi-Civita 符号的定义
+1 εijk = −1 0
i,j,k为(1,2,3)的正循环 i,j,k为(1,2,3)的正循环 i,j,k为(1,2,3)的逆循环 i,j,k为(1,2,3)的逆循环 其它情况
如：ε123 = +1
(三维空间的)场：物理量是空间坐标的函数 三维空间的) 标量场: 且空间转动变换下不变, 标量场: 一个量 φ 且空间转动变换下不变,即满足
φ′(r′) = φ(r )
一样变换, 坐标 xi 一样变换,即 Ai′(r′) = aij Aj (r ) 记为 A(r )
(2.1)
矢量场: 矢量场: 三个量 Ai (r ) (i = 1, 2,3)在空间转动变换下像 (2.2)
′ ′ 点乘， 用 ei′ 点乘，有 xkek ⋅ ei′ = xj ej ⋅ ei′
得 xi′ = aij xj
(1.5)
即转动后坐标满足 xi′ = ai1x1 + ai 2 x2 + ai3 x3 = aij xj
i = 1, 2,3
′ x1 a11 a12 a13 x1 ′ x2 = a21 a22 a23 x2 及 可写成 x′ a a 3 31 32 a3 x3
称为n 称为n阶张量 T(n) (r )
(2.4)
Ti1i2⋯in (r ) 是 T(n) (r )第 (i1, i2 ,⋯, in ) 个分量
标量是零阶张量, 标量是零阶张量,矢量为一阶张量 四维空间： 阶张量: 四维空间：n阶张量: 4n 个分量
张量的判断
∂ 例2.1 试证 ∂i ≡ 是三维矢量 ∂xi ∂Y( xj ( x′)) ∂Y ∂xj ∂ ∂xj ∂ i 证明: = ⇒ = 证明: 由 ∂xi′ ∂xj ∂x′ ∂xi′ ∂xi′ ∂xj i
ajiaki = δ jk
(1.10)
对(1.4)式 e′ = ae 转置有 e′T = eT aT (1.4)式 上式右乘a 上式右乘a可得
e′Ta = eTaTa = eT
即 eT = e′Ta 其分量形式 ej = e′aij i
(1.11) (1.12) (1.13)
对坐标变换成立， 对坐标变换成立，即 xj = xi′aij
共27个分量，6个不为零 27个分量， 个分量 构成三阶全反对称张量
∵εijk = −ε jik = −εikj = −εkji
全反对称张量
(3.6)
● 3×3矩阵的行列式的计算为
A A2 A 1 3 (3.7) det B B2 B3 = εijk ABjCk 1 i C C C 2 3 1 易验证 det( AT ) = det A
对(1.5)和(1.13)式两边微商后可将 aij 写成 (1.5)和(1.13)式两边微商后可将 ∂xi′ ∂xj (1.14) aij = = ∂xj ∂xi′ 正交关系(1.7)式写成 正交关系(1.7)式写成 (1.7) ∂xi′ ∂xi′ = δ jk ∂xj ∂xk
(1.15)
§1.2 物理量在空间转动变换下的分类
类似地, 类似地, 3n个量 Ti i ⋯i (r ) (i1, i2 ,⋯, in = 1, 2,3) 在转动变换下 12 n 像n个坐标分量的乘积 xi1 xi2 ⋯xin (i1, i2 ,⋯, in = 1, 2,3) 变换
′ 即 Ti1i2 ⋯in (r′) = ai1 j1 ai2 j2 ⋯ain jnTj1 j2⋯jn (r )
z( x3 )
z( x3 )
x( x1)
y( x2 )
O
x( x1)
右旋系
O
左旋系
y( x2 )
1.1.2 转动变换矩阵 讨论绕原点的坐标系转动。考虑右旋直角坐标系 讨论绕原点的坐标系转动。 基矢的变换 转动前坐标系为 S : Ox1x2 x3 ，基矢为 e1, e2 , e3
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ 转动后坐标系为 S′ : Ox1x2 x3，基矢为 e1, e2 , e3
T{i1i2 }⋯in = Ti1i2⋯in + Ti2i1⋯in
Ti1i2 ]⋯in [
( = (T
i1i2 ⋯in
− Ti2i1⋯in
)2 )2
(2.6) (2.7)
Ti1i2⋯in = T i1i2 }⋯in + Ti1i2 ]⋯in { [
取n=2可得结论：任意二阶张量都可以表示为 n=2可得结论： 可得结论 一个对称张量(矩阵）和一个反对称张量(矩阵) 一个对称张量(矩阵）和一个反对称张量(矩阵)之和
1.1.3 变换矩阵的特性 OP的间距为 OP的间距为 L =
x′ = ax
(1.6)
2 2 2 x2 = x1 + x2 + x3 = xi xi
因为间距与坐标系转动无关， 因为间距与坐标系转动无关，故 x′2 = x2
将(1.5)式代入得 x′xi′ = (aij xj )(aik xk ) = aijaik xj xk = xj xj (1.5)式代入得 i 故有
● 若张量 Ti1i2 ⋯in 满足 Ti1i2⋯in = ±Ti2i1⋯in
(2.5)
则分别称张量T 则分别称张量T相当于指标 (i1, i2 ) 是对称的和反对称的 如二阶张量的表示矩阵为对称矩阵或反对称矩阵 Tij = ±Tji 构造张量T ● 构造张量T关于指标 (i1, i2 ) 的对称部分和反对称部分 对称部分 反对称部分 则
坐标系反演时数量和符号不变 如质量，电荷， 如质量，电荷，温度等
反演时符号改变。 赝标量 反演时符号改变。如极矢量A, B,C 的混合乘积
C ⋅ ( A× B)
不变张量: 1.3.3 不变张量: 若张量 Ti1i2⋯in 在坐标转动变换不变
′ Ti1i2⋯in (r′) = Ti1i2⋯in (r )
即得 ∂′ = aij∂ j i 证明: 证明: 由 ei′ = aijej 三维矢量 ∇ = ei ∂i 有 ei′ = ail el , e′j = ajmem 例2.2 试证 δij 是三维欧氏空间中的二阶张量 可得 ei′ ⋅ e′j = ail ajmel ⋅ em 由于基矢正交性, 由于基矢正交性,得 δij = ail ajmδlm
0, i ≠ j ei ⋅ ej = δij = 1, i = j
正交曲线坐标系
e3 e2 e1O
x( x1)
如：直角坐标系; 球坐标系; 柱坐标系 直角坐标系 球坐标系;
பைடு நூலகம்
右旋直角坐标系: 右旋直角坐标系: 左旋直角坐标系: 左旋直角坐标系:
e1 ⋅ (e2 ×e3 ) = 1 e1 ⋅ (e2 ×e3 ) = −1
(1.4)
坐标的变换 考虑空间P点,在S系中坐标为 ( x1, x2 , x3 ) 考虑空间P 位矢 OP = x1e1 + x2e2 + x3e3 = xj ej
′ ′ ′ 在 S′系中坐标为 ( x1, x2 , x3 ) ，位矢为 OP = xkek ′ ′
′ ′ 因为转动前后位矢相等， 因为转动前后位矢相等，故有 xkek = xj ej
′ e1 = a11e1 + a12e2 + a13e3 有 ′ e2 = a21e1 + a22e2 + a23e3 e′ = a e + a e + a e 3 31 1 32 2 33 3
(1.1)
则 ei′iej = aij
利用Einstein求和约定,有 e′ = aijej 求和约定, 利用 求和约定 i
对于一个二阶张量 a ,以其分量 aij 为矩阵元的行列式为
a11 a12 a13 det(a) = det a21 a22 a23 = εlmna1l a2ma3n a a a 31 32 33