角平分线、垂直平分线训练题

线段的垂直平分线与角平分线(1)知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：图1图2若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.经典例题：例1如图1，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm针对性练习：：1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果△EBC的周长是24cm，那么BC=2) 如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么△EBC的周长是3）如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果∠A=28度，那么∠EBC是例2. 已知：AB=AC，DB=DC，E是AD上一点，求证：BE=CE。

圆形角平分线与垂直平分线练习题(经典)题目一在一个半径为 $r$ 的圆内，作一条角平分线，连接圆心和角平分线的交点，记为 $A$。

请证明：线段 $AO$ 垂直于角所对的弧。

题目二在一个半径为 $r$ 的圆内，作一条垂直平分线，连接圆心和垂直平分线的交点，记为 $B$。

设角 $BOC$ 为 $\alpha$ 度，请求弧$BC$ 所对的角大小。

题目三在一个半径为 $r$ 的圆内，作一条垂直平分线，连接圆心和垂直平分线的交点，记为 $D$。

设垂直平分线与弧 $AB$ 的交点分别为 $E$ 和 $F$。

请证明：角 $DEF$ 为直角。

题目四在一个半径为 $r$ 的圆内，作一条垂直平分线，连接圆心和垂直平分线的交点，记为 $G$。

设角 $DGH$ 为 $\beta$ 度，角$GHJ$ 为 $\gamma$ 度，求证：$\beta$ 度和 $\gamma$ 度的和等于$90$ 度。

解答题目一首先，考虑将圆分成 $4$ 个相等的扇形，由于扇形的圆心角相等，每个扇形的圆心角为 $90$ 度。

现在我们将扇形 $AOB$ 的边$OA$ 延长，交于圆上的点 $C$，如下图所示：A/// C/B根据圆心角的性质，可以知道圆心角 $ACB$ 等于扇形角$AOB$，即 $ACB=90$ 度。

又因为 $\angle OAC$ 是角 $OAB$ 的角平分线，所以 $\angle OAC = \angle CAB = \angle CBA = \frac{1}{2} ACB = 45$ 度。

现在我们要证明 $AO$ 垂直于弧 $AB$。

设 $AD$ 是半径 $r$，由于角 $OAD$ 是 $45$ 度，根据直角三角形的性质，我们可以得到：\[\sin 45^\circ = \frac{AD}{AO}\]而正弦 $45$ 度是 $\frac{1}{\sqrt{2}}$，所以我们得到 $AD =\frac{AO}{\sqrt{2}}$。

中考：角平分线、垂直平分线经典试题知识考点：了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。

精典例题：【例题】如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝300，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：CF ＝2BF 。

分析一：要证明CF ＝2BF ，由于BF 与CF 没有直接联系，联想题设中EF 是中垂线，根据其性质可连结AF ，则BF ＝AF 。

问题转化为证CF ＝2AF ，又∠B ＝∠C ＝300，这就等价于要证∠CAF ＝900，则根据含300角的直角三角形的性质可得CF ＝2AF ＝2BF 。

分析二：要证明CF ＝2BF ，联想∠B ＝300，EF 是AB 的中垂线，可过点A 作AG ∥EF 交FC 于G 后，得到含300角的Rt △ABG ，且EF 是Rt △ABG 的中位线，因此BG ＝2BF ＝2AG ，再设法证明AG ＝GC ，即有BF ＝FG ＝GC 。

例题图1 F EC B A例题图2 G F ECB A分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作AD ⊥BC 于D ，则BD ＝CD ，考虑到∠B ＝300，不妨设EF ＝1，再用勾股定理计算便可得证。

以上三种分析的证明略。

例题图3D F ECB A问题图321ED CB A探索与创新：【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题： 三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。

如图，△ABC 中，AD 是角平分线。

求证：ACABDC BD =。

分析：要证ACABDC BD =，一般只要证BD 、DC 与AB 、AC 或BD 、AB 与DC 、AC 所在三角形相似，现在B 、D 、C 在同一条直线上，△ABD 与△ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。

我们注意到在比例式ACABDC BD =中，AC 恰好是BD 、DC 、AB 的第四比例项，所以考虑过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E ，从而得到BD 、CD 、AB 的第四比例项AE ，这样，证明ACABDC BD =就可以转化为证AE ＝AC 。

线段的垂直平分线与角平分线(1)知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：图1图2若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.经典例题：例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm课堂笔记：针对性练习：：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点 E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC=2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是3） 如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28 度，那么∠EBC 是例2. 已知： AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。

八下数学专题之垂直平分线和角平分线训练题（人教版）一．选择题（共6小题）1．到三角形三个顶点的距离都相等的点是（）A．两条中线的交点B．两条高的交点C．两条角平线的交点D．两条边的垂直平分线的交点2．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，且△AEG的周长是20，则线段BC的长为（）A．40B．20C．15D．103．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝3，BC的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连接CE，则△ACE的周长为（）A．8B．9C．10D．114．如图，OC平分∠AOB，点P是射线OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点．若PM＝4，则PN的长度不可能是（）A．3B．4C．5D．65．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（）cmA．13B．16C．19D．216．如图，OC平分∠AOB，CP⊥OB于点P，CP＝3，点Q在OA上，OQ＝6，则△OCQ的面积为（）A．B．6C．9D．18二．填空题（共6小题）7．如图，DE为△ABC的边BC的垂直平分线，交AB于点D，交BC于点E，且∠B＝35°，∠A＝65°，则∠ACD的度数为．8．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC交A于点D，交BC于点E．若AB＝10cm，AC＝8cm，则△ACD的周长是cm．9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，连接AD，若BD＝3CD，则S△AED：S△ABC＝．10．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，已知AC＝10cm，BC＝7cm，则△BCD 的周长是．11．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，若AB＝8，OD＝1，则△AOB的面积为．12．如图，CO、BO是△ABC的两个外角∠PCB、∠QBC的角平分线，OM⊥AP，ON⊥AQ，且OM＝ON．下列结论中正确的个数有个．①∠P AO＝∠QAO；②∠AOB＝∠ACB；③2∠COB＝180°+∠CAB；④∠P AQ+2∠COB＝180°．三．解答题（共3小题）13．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝12，BC＝5，DE是AB的垂直平分线，DE分别交AC，AB于点E，D．求AE的长．14．如图，在△ABC中，∠ACB、∠ABC的平分线l1、l2相交于点O．（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；（2）连接OA，若AB＝AC＝5，BO＝4，AO＝2，则点O到三角形三条边的距离是．15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE＝CA，连接AE．（1）求证：∠B＝∠ACB．（2）若AB＝5，AD＝4，①求△ABC的面积．②求△ABE的周长．。

5.角平分线、垂直平分线知识考点：了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。

精典例题：【例题】如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝300，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：CF ＝2BF 。

分析一：要证明CF ＝2BF ，由于BF 与CF 没有直接联系，联想题设中EF 是中垂线，根据其性质可连结AF ，则BF ＝AF 。

问题转化为证CF ＝2AF ，又∠B ＝∠C ＝300，这就等价于要证∠CAF ＝900，则根据含300角的直角三角形的性质可得CF ＝2AF ＝2BF 。

分析二：要证明CF ＝2BF ，联想∠B ＝300，EF 是AB 的中垂线，可过点A 作AG ∥EF 交FC 于G 后，得到含300角的Rt △ABG ，且EF 是Rt △ABG 的中位线，因此BG ＝2BF ＝2AG ，再设法证明AG ＝GC ，即有BF ＝FG ＝GC 。

例题图1F EC B A例题图2 G F ECB A分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作AD ⊥BC 于D ，则BD ＝CD ，考虑到∠B ＝300，不妨设EF ＝1，再用勾股定理计算便可得证。

以上三种分析的证明略。

例题图3D F ECB A问题图321ED CB A探索与创新：【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题： 三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。

如图，△ABC 中，AD 是角平分线。

求证：ACABDC BD =。

分析：要证ACABDC BD =，一般只要证BD 、DC 与AB 、AC 或BD 、AB 与DC 、AC 所在三角形相似，现在B 、D 、C 在同一条直线上，△ABD 与△ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。

我们注意到在比例式ACABDC BD =中，AC 恰好是BD 、DC 、AB 的第四比例项，所以考虑过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E ，从而得到BD 、CD 、AB 的第四比例项AE ，这样，证明ACABDC BD =就可以转化为证AE ＝AC 。

知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.图1图2经典例题：例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm课堂笔记：针对性练习：：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点 E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC= 2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是3） 如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28 度，那么∠EBC 是例2. 已知： AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。

线段的垂直平分线与角平分线(1)知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理 （1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于三角形三边垂直平分线的定理 （1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若图1图2三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形. 经典例题：例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm针对性练习：已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC=2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是3） 如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28 度，那么∠EBC 是例2. 已知： AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。

沪教版八年级第一学期角平分线角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

角平分线的判定： 到一个叫两边的距离相等的点在这个角的平分线上。

例1．如图，在ABC △中，90C ∠=，AD 平分CAB ∠，8cm 5cm BC BD ==，，那么D 点到直线AB 的距离是 cm ．例2．如图，已知在Rt △ABC 中，∠C =90°, BD 平分∠ABC , 交AC 于D .(1) 若∠BAC =30°, 则AD 与BD 之间有何数量关系，说明你的理由; (2) 若AP 平分∠BAC ，交BD 于P , 求∠BPA 的度数.3、考点深入练习例3：如图：在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上的高，在BE 上截取BD=AC ，在CF 的延长线上截取CG=AB ，连结AD 、AG 。

求证：（1）AD=AG ，（2）AD 与AG 的位置关系如何。

BPABCD GHFEDCBA例4：两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．（8分）（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC⊥BE图1 图2例5:△DAC, △EBC均是等边三角形，AE,BD分别与CD,CE交于点M,N.求证：（1）AE=BD (2)CM=CN (3) △CMN为等边三角形（4）MN∥BCC B垂直平分线的性质与判定强化练习1如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于 （ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm2题2如图，在Rt ABC △中，90ACB D E ∠=，，分别为AC AB ，的中点，连DE CE ，． 下列结论中不一定正确的是 （ ） A ．ED BC ∥B ．ED AC ⊥C ．ACE BCE ∠=∠D ．AE CE =3、△ABC 中，∠C=90°，AB 的中垂线交直线BC 于D ，若∠BAD －∠DAC=22.5°，则∠B 等于 （ ） A.37.5° B.67.5° C.37.5°或67.5° D.无法确定4、线段的垂直平分线上的点_____________________________________．5、到一条线段的两个端点的距离相等的点，______________________．6、如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，△ABD 的周长是12 cm ，AC=5cm ，则AB+BD+AD= cm ；AB+BD+DC= cm ；△ABC 的周长是 cm 。

垂直平分线与角平分线（习题）➢复习巩固1.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点2.如图，在△ABC 中，AF 平分∠BAC，AC 的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C 的度数为．第2 题图第3 题图3.如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于点E，若S△ABC=6，AB=4，AC=3，则线段DE 的长为．4.如图，P 是∠AOB 平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，连接CD．求证：OP 是CD 的垂直平分线．5.如图，点P 为锐角∠ABC 内一点，点M 在边BA 上，点N 在边BC 上，且PM=PN，∠BMP+∠BNP=180°．求证：BP 平分∠ABC．16.如图，点D 在边AC 上，∠ABD+∠ABC =180°，CE 平分∠ACB 交AB 于点E，连接DE．求证：DE 平分∠ADB．7.如图，在△ABC 中，AB=AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：①作∠BAC 的平分线AM 交BC 于点D；②作边AB 的垂直平分线EF，EF 与AM 相交于点P；③连接PB，PC．若∠ABC=70°，则∠BPC 的度数为．8.如图，已知△ABC（AC＜BC），求作：（不写作法，保留作图痕迹）（1）BC 边上的高；（2）在BC 上确定一点P，使PA+PC=BC．9.如图，已知线段a，利用尺规求作以a 为底、以2a 为高的等腰三角形．（不写作法，保留作图痕迹）10.如图，有三幢公寓楼分别建在点A，点B，点C 处，AB，AC，BC 是连接三幢公寓楼的三条道路，要修建一超市P，按照设计要求，超市要在△ABC 的内部，且到A，C 的距离必须相等，到两条道路AC，AB 的距离也必须相等，请利用尺规作图确定超市P 的位置．（不写作法，保留作图痕迹）【参考答案】➢复习巩固1. D2. 24°3. 12 74.证明略；提示：先证Rt△POC≌Rt△POD（HL），得到OC=OD，由“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”求证5.证明略；提示：过点P 分别作PD⊥AB 于D，PE⊥BC 于E，先证△PMD≌△PNE（AAS），得到PD=PE，再由“在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”求证6.证明略；提示：过点E 分别作EF⊥AC 于F，EH⊥BD 于H，EG⊥BC 于G，证EF=EG=EH，求证7. 80°8.作图略提示：（1）过直线外一点作已知直线的垂线；（2）作线段AB 的垂直平分线9.作图略10.作图略提示：作线段AC 的垂直平分线和∠CAB 的角平分线；。