6.3 6.3.1 平面向量基本定理

6.3.1 平面向量基本定理一、教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的始点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因.在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的特殊情形，向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解，因为在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会给问题的研究带来方便.联系平面向量基本定理和向量的正交分解，由点在直角坐标系中的表示得到启发，要在平面直角坐标系中表示一个向量，最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，这时，对于平面直角坐标系内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a=x i+y j.于是，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，而有序数对(x，y)正好是向量a的终点的坐标，这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射，从而实现向量的“量化”表示，使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想.二、教学目标1、知识与技能：了解平面向量的基本定理及其意义；理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，掌握平面向量正交分解及其坐标表示。

2、过程与方法：初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达。

3、情感态度与价值观：通过平面向量的正交分解及坐标表示，揭示图形（向量）与代数（坐标）之间的联系。

三、重点难点教学重点：平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.教学难点：平面向量基本定理的运用.四、教学设想（一）导入新课思路 1.在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G ，可分解为使物体沿斜面下滑的力F 1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F 2.我们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v ，可分解为沿水平方向的速度vcosα和沿竖直方向的速度vsinα.从这两个实例可以看出，把一个向量分解到两个不同的方向，特别是作正交分解，即在两个互相垂直的方向上进行分解，是解决问题的一种十分重要的手段.如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量，a 是这一平面内的任一向量，那么a 与e 1、e 2之间有什么关系呢？在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底，是否会给我们带来更方便的研究呢?思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义，如果将平面内向量的始点放在一起，那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理.教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成，在黑板上给出图象进行演示和讲解.如果条件允许，用多媒体教学，通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解，对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？（二）推进新课、新知探究、提出问题图1①给定平面内任意两个不共线的非零向量e 1、e 2，请你作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e 2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢?②如图1，设e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内的任一向量，我们通过作图研究a 与e 1、e 2之间的关系.活动：如图1，在平面内任取一点O，作=e 1，=e 2，=a .过点C 作平行于直线OB 的直线，与直线OA ；过点C 作平行于直线OA 的直线，与直线OB 交于点N .由向量的OA OB OC线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得=λ1e 1，=λ2e2.由于，所以a =λ1e 1+λ2e 2.也就是说，任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式.由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1、e 2表示出来.当e 1、e 2确定后，任意一个向量都可以由这两个向量量化，这为我们研究问题带来极大的方便.由此可得：平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a =λ1e 1+λ2e 2.定理说明：(1)我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式唯一.讨论结果：①可以.②a =λ1e 1+λ2e 2.提出问题①平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？ ②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？活动：引导学生结合向量的定义和性质，思考平面中的任意两个向量之间的关系是什么样的，结合图形来总结规律.教师通过提问来了解学生总结的情况，对回答正确的学生进行表扬，对回答不全面的学生给予提示和鼓励.然后教师给出总结性的结论：不共线向量存在夹角，关于向量的夹角，我们规定：图2已知两个非零向量a 和b (如图2)，作=a ，=b ，则∠AOB =θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.显然，当θ=0°时，a 与b 同向；当θ=180°时，a 与b 反向.因此，两非零向量的夹角在区间[0°，OM ON ON OM OC +=OA OB180°]内.如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2，使a=λ1a1+λ2a2.在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如上，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解，正交分解是向量分解中常见的一种情形.在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便.讨论结果：①存在夹角且两个非零向量的夹角在区间[0°，180°]内；向量与直线的夹角不一样.②可以.提出问题①我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢?②在平面直角坐标系中，一个向量和坐标是否是一一对应的？图3活动：如图3，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a=x i+y j①这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a=(x，y)②其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示.显然，i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).教师应引导学生特别注意以下几点：(1)向量a与有序实数对(x，y)一一对应.(2)向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系.如图所示，是表示a 的有向线段，A 1、B 1的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则向量a 的坐标为x =x 2-x 1，y =y 2-y 1，即a 的坐标为(x 2-x 1，y 2-y 1). (3)为简化处理问题的过程，把坐标原点作为表示向量a 的有向线段的起点，这时向量a 的坐标就由表示向量a 的有向线段的终点唯一确定了，即点A 的坐标就是向量a 的坐标，流程表示如下：讨论结果：①平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a =(x ，y ).②是一一对应的.（三）应用示例 思路1例1 如图4，ABCD ，=a ，=b ，H 、M 是AD 、DC 之中点，F 使BF =BC ，以a ，b 为基底分解向量.图4活动：教师引导学生利用平面向量基本定理进行分解，让学生自己动手、动脑.教师可以让学生到黑板上板书步骤，并对书写认真且正确的同学提出表扬，对不能写出完整解题过程的同学给予提示和鼓励.解：由H 、M 、F 所在位置，有=b +a . =a b . 点评：以a 、b 为基底分解向量与，实为用a 与b 表示向量与.11B A AB AD 31HF AM 和+=+=AD DM AD AM a b AB AD DC 212121+=+=AB 2121AD AD AB AD BC AH BF AB AH AF HF 21312131-+=-+-+=-=61-AM HF AM HF变式训练已知向量e 1、e 2(如图5)，求作向量-2.5e 1+3e 2.图5作法：(1)如图，任取一点O，作=- 2.5e 1，=3e 2.(2)作OACB .故OC 就是求作的向量.例2 如图6，分别用基底i 、j 表示向量a 、b 、c 、d ，并求出它们的坐标.图6活动：本例要求用基底i 、j 表示a 、b 、c 、d ，其关键是把a 、b 、c 、d 表示为基底i 、j 的线性组合.一种方法是把a 正交分解，看a 在x 轴、y 轴上的分向量的大小.把向量a 用i 、j 表示出来，进而得到向量a 的坐标.另一种方法是把向量a 移到坐标原点，则向量a 终点的坐标就是向量a 的坐标.同样的方法，可以得到向量b 、c 、d 的坐标.另外，本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系：a 与b 关于y 轴对称，a 与c 关于坐标原点中心对称，a 与d 关于x 轴对称等.由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标.解：由图可知，a =+=x i +y j ，∴a =(2，3).同理，b =-2i +3j =(-2，3)；c =-2i -3j =(-2，-3)；d =2i -3j =(2，-3).点评：本例还可以得到启示，要充分运用图形之间的几何关系，求向量的坐标.变式训练i ，j 是两个不共线的向量，已知=3i +2j ，=i +λj ，=-2i +j ，若A 、B 、D 三点共线，试求实数λ的值.OA OB OC 1AA 2AA AB CB CD解：∵=-=(-2i +j )-(i +λj )=-3i +(1-λ)j ，又∵A 、B 、D 三点共线，∴向量与共线.因此存在实数υ，使得=υ，即3i +2j =υ[-3i+(1-λ)j ]=-3υi +υ(1-λ)j .∵i 与j 是两个不共线的向量，故∴∴当A 、B 、D 三点共线时，λ=3. 例 3 下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可以作为基底中的向量，其中正确的说法是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③活动：这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解，教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵.让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的，只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底.解析：平面内向量的基底是不唯一的.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；而零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可作为基底中的向量.综上所述，②③正确.答案：B点评：本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解.思路2例1 如图7，M 是△ABC 内一点，且满足条件0，延长CM 交AB 于N ，令=a ，试用a 表示.图7活动：平面向量基本定理是平面向量的重要定理，它是解决平面向量计算问题的重要工具.BD CD CB AB BD AB BD ⎩⎨⎧=-=-,2)1(,33λv v ⎩⎨⎧=-=.3,1λv =++CM BM AM 32CM CN由平面向量基本定理，可得到下面两个推论：推论1：e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数λ1、λ2，使得λ1e 1+λ2e 2=0，则λ1=λ2=0.推论2：e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数a 1，a 2，b 1，b 2，使得a =a 1e 1+a 2e 2=b 1e 1+b 2e 2，则 解：∵ ∴由=0，得0. ∴=0. 又∵A 、N 、B 三点共线，C 、M 、N 三点共线， 由平行向量基本定理，设∴0.∴(λ+2)+(3+3μ)=0.由于和不共线，∴∴ ∴∴=2a .点评：这里选取作为基底，运用化归思想，把问题归结为λ1e 1+λ2e 2=0的形式来解决.变式训练设e 1与e 2是两个不共线向量，a =3e 1+4e 2，b =-2e 1+5e 2，若实数λ、μ满足λa +μb =5e 1-e 2，求λ、μ的值.解：由题设λa +μb =(3λe 1+4λe 2)+(-2μe 1+5μe 2)=(3λ-2μ)e 1+(4λ+5μ)e 2.又λa +μb =5e 1-e 2.由平面向量基本定理，知 解之，得λ=1，μ=-1.⎪⎩⎪⎨⎧==.,2211b a b a ,,NM BN BM NM AN AM +=+=CM BM AM 32++=++++CM NM BN NM AN 3)(2)(CM BN NM AN 323+++,,NM CM BN AN μλ===+++NM BN NM BN μλ323BN NM BN NM ⎩⎨⎧=+=+,033,02μλ⎩⎨⎧-=-=12μλ.MN NM CM =-=CM MN CM CN 2=+=NM BN ,⎩⎨⎧-=+=-.154,523λλλλ例2 如图8，△ABC 中，AD 为△ABC 边上的中线且AE =2EC ，求的值.图8活动：教师让学生先仔细分析题意，以明了本题的真正用意，怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化完后，然后结合向量的相等进行求解比值. 解：设 ∵=，即-=-， ∴=(+). 又∵=λ=λ(-)，∴==+.① 又∵=μ，即-=μ(-)， ∴(1+μ)=+μ= 又=，∴=+.② 比较①②，∵、不共线， ∴解之，得∴ 点评：本例中，构造向量在同一基底下的两种不同表达形式，利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组，从而进一步求得结果.变式训练过△OAB 的重心G 的直线与边OA 、OB 分别交于P 、Q ，设=h ，，试GEBG GD AG 及μλ==GEBG GD AG ,BD DC AD AB AC AD AD 21AB AC AG GD AD AG AG λλ+1AD )1(2λλ+AB )1(2λλ+AC BG GE AG AB AE AG AG AB AG AE ,AE AB μμμ+++111AE 32AC AG AB μ+11)1(32μμ+AC AB AC ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+.)1(32)1(2,11)1(2μμλλμλλ⎪⎩⎪⎨⎧==23,4μλ.23,4==GE BG GD AG OP OA OB k OQ =证： 解：设=a ，=b ，OG 交AB 于D ，则=()=(a +b )(图略). ∴==(a +b )，=(a +b )-k b =a +b ， =h a -k b . ∵P 、G 、Q 三点共线，∴.∴a +b =λh a -λk b .∴ 两式相除，得， ∴=3. （四）知能训练1.已知G 为△ABC 的重心，设=a ，=b ，试用a 、b 表示向量.2.已知向量a =(x +3，x 2-3x -4)与相等，其中A (1，2)，B (3，2)，求x . 解答：1.如图9，=，图9 而a +(b -a )=a +b ， ∴(a +b )=a +b . 点评：利用向量加法、减法及数乘的几何意义.2.∵A (1，2)，B (3，2)，∴=(2，0).∵a =，∴(x +3，x 2-3x -4)=(2，0).∴解得∴x =-1.311=+kh OA OB OD 21OB OA +21OG 32OD 31OQ OG QG -=3131331k -OQ OP QP -=QP QG λ=31331k -⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.331,31k k h λλ.3311hk h k k h k =+⇒-=-kh 11+AB AC AG AB AG 32AD =+=+=BC AB BD AB AD 212121213232==AD AG 21213131AB AB ⎩⎨⎧=--=+043,232x x x ⎩⎨⎧=-=-=.41,1x x x 或AB点评：先将向量用坐标表示出来，然后利用两向量相等的条件就可使问题得到解决.（五）课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识：平面向量的基本定理，向量的夹角与垂直的定义，平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法，如待定系数法，定义法，归纳与类比，数形结合，几何作图.。

新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第二册学案：6.3.1平面向量基本定理含解析6.3平面向量基本定理及坐标表示6．3.1平面向量基本定理[目标］1.了解平面向量基本定理产生的过程和基底的含义,理解平面向量基本定理；2.掌握平面向量基本定理并能熟练应用．[重点] 平面向量基本定理．[难点] 平面向量基本定理的应用．要点整合夯基础知识点平面向量基本定理[填一填］(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.（2）若e1，e2不共线，我们把｛e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．［答一答］1．基底有什么特点?平面内基底唯一吗？提示：基底中的两向量e1，e2不共线,这是基底的最大特点．平面内的基底并不是唯一的，任意不共线的两个向量都可以作为基底．2．如图,设OA、OB、OC为三条共端点的射线，P为OC上一点，能否在OA 、OB 上分别找一点M 、N ，使OP →＝错误!＋错误!？提示：能。

过点P 作OA 、OB 的平行线，分别与OB 、OA 相交，交点即为N 、M .3．若向量a ，b 不共线，且c ＝2a －b ,d ＝3a －2b ，试判断c ，d 能否作为基底．提示：设存在实数λ使得c ＝λd ，则2a －b ＝λ（3a －2b )，即(2－3λ)a ＋（2λ－1)b ＝0.由于a ，b 不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0,这样的λ是不存在的，从而c ，d 不共线，故c ，d 能作为基底。

典例讲练破题型类型一 基底的概念［例1] 下面说法中，正确的是（ ）①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量；④对于平面内的任一向量a 和一组基底e 1，e 2，使a ＝λe 1＋μe 2成立的实数对一定是唯一的．A ．②④B ．②③④C ．①③D ．①③④［解析] 因为不共线的任意两个向量均可作为平面的一组基底，故②③正确，①不正确；由平面向量基本定理知④正确．综上可得②③④正确．［答案]B根据平面向量基底的定义知，判断能否作为基底问题可转化为判断两个向量是否共线的问题，若不共线，则它们可以作为一组基底；若共线,则它们不能作为一组基底。

高中数学人教A版（2019）必修第二册6.3.1平面向量基本定理说课稿一、教材分析本节课选自普通高中课程标准实验教科书人教版必修2第六章《平面向量及其应用》第三节《平面向量基本定理及其坐标表示》第一课时。

本节首先由向量的概念和运算得出平面向量基本定理.平面向量基本定理是平面向量中的重要内容.此定理表明平面内的任一向量可以由同一平面内的两个取定的不共线向量表示，而且表示式是唯一的.因而向量的运算可以归结为两个取定的不共线向量的运算，这为利用向量运算解决问题带来了方便.由此定理还可引出向量的坐标的概念，进而引出向量运算的坐标表示。

1.平面向量基本定理平面向量基本定理告诉我们，同一平面内任一向量都可表示为两个取定的不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的起点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一个点都可以通过取定的两个不共线的向量得到表示。

也就是说，平面内的任意一个点可以由平面内的一个点及两个取定的不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因，下面对其中的思想作一概述.用向量表示几何元素是容易的，并且很直接.选一个定点，那么，任何一个点都可以用一个向量来表示.对于一条直线l，如果我们的兴趣只在于它的方向，那么用一个与l平行的非零向量图片就行了；如果想确定这条直线的位置，则还要在l上任选一点。

这样，一个点A，一个向量图片就在原则上确定了直线l，这是对直线的一种定性刻画。

如果想具体地表示l上的每一个点，我们需要实数k和向量图片的乘法图片.这时，l上的任意一点X都可以通过点A和某个图片来表示（图6-17）.希望在“实际”上控制直线l，可以看作是引入图片的一个原因.再来看平面.两条相交直线确定一个平面 a.一个定点，两个不共线的向量便“原则”上确定了平面α，这是对平面的一种定性刻画.但在讨论几何问题时，常常涉及平面α上的某一点X，为了具体地表示它，我们需要引进向量的加法.这时，平面α上的点X就可以表示为（相对于定点A），这样点X 就成为可操作的对象了（图6-18）.在解决几何问题时，这种表示能发挥很重要的作用.虽然向量的加法、数乘运算有非常坚实的物理背景，但当我们舍弃了这种背景而只从纯粹数学的角度来看问题的话，上述考虑可使我们看到引进相应的向量运算的理由，这可以使我们更容易接受并喜爱向量运算。

6.3 平面向量基本定理及坐标表示一、平面向量基本定理1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2．基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．二、用基底表示向量用基底表示向量的一般方法(1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算．(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量．三、平面向量基本定理的应用(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．四、平面向量的坐标表示1．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．2．在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝x i＋y j，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标．3．坐标表示：a＝(x，y)．4．特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．五、平面向量加、减法的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有下表，符号表示加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)减法a－b＝(x1－x2，y1－y2)重要结论已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)六、平面向量坐标运算的应用坐标形式下向量相等的条件及其应用(1)条件：相等向量的对应坐标相等．(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标．七、数乘运算的坐标表示已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．八、向量共线的判定设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0．向量a ，b 共线的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0.向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配． 九、 利用向量共线的坐标表示求参数 利用向量平行的条件处理求值问题的思路 (1)利用向量共线定理a ＝λb (b ≠0)列方程组求解． (2)利用向量共线的坐标表示直接求解．提醒：当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求值． 十、有向线段定比分点坐标公式及应用对任意的λ(λ≠－1)，P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ. 注意点：(1)λ的值可正、可负．(2)分有向线段的比与线段长度比不同． 十一、平面向量数量积的坐标表示 设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.进行数量积运算时，要正确使用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系 (1)|a |2＝a ·a .(2)(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2. (3)(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2. 十二、平面向量的模1．若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝x2＋y2.2．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x2－x12＋y2－y12.求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方．(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2＝x2＋y2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．十三、平面向量的夹角、垂直问题设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.1．cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.2．a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.考点一 平面向量的基本定理【例1】(2021·陕西)下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A ．()()120,0,1,2e e == B ．()()121,2,5,7e e =-=C ．()()123,5,6,10e e ==D ．()12132,3,,24e e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】对A ：因为零向量和任意向量平行，故A 中向量不可作基底； 对B ：因为710-≠，故B 中两个向量不共线；对C ：因为31056⨯=⨯，故C 中两个向量共线，故C 中向量不可作基底；对D ：因为312342⎛⎫⨯-=-⨯ ⎪⎝⎭，故D 中两个向量共线，故D 中向量不可作基底.故选：B.【练1】(2020·广东云浮市·高一期末)下列各组向量中，可以作为基底的是( )． A ．()10,0e =，()21,2e =- B ．()11,2e =-，()25,7e =C ．()13,5e =，()26,10e =D ．()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为()11,2e =-与()25,7e =不共线，其余选项中1e 、2e 均共线，所以B 选项中的两向量可以作为基底．故选：B考点二 加减数乘的坐标运算【例2】(2020·咸阳百灵学校高一月考)已知点M (－3，3)，N (－5，－1)，那么MN 等于( ) A ．(－2，－4) B ．(－4，－2) C ．(2，4) D ．(4，2)【答案】A【解析】M (－3，3)，N (－5，－1)，()=2,4MN ∴--.故选：A【练2】(2020·苍南县树人中学高一期中)已知()1,1A ，()1,1B --，则向量AB 为( ) A ．()0,0 B ．()1,1 C ．()2,2-- D ．()2,2【答案】C【解析】由题意可得()()()1,11,12,2AB =---=--.故选：C. 考点三 共线定理的坐标表示【例3】(2020·全国高一)若()0,2A ，()1,0B -，(),2-C m 三点共线，则实数m 的值是( ) A ．6 B ．2- C ．6- D ．2【答案】B【解析】因为三点()0,2A ，()1,0B -，(),2C m -共线，所以(1,2),(1,2)AB BC m =--=+- ,若()0,2A ，()1,0B -，(),2C m -三点共线，则AB 和BC 共线 可得：(1)(2)(2)(1)m --=-+，解得2m =-；故选：B【练3】(2020·新绛县第二中学高一月考)已知()13A ，，()41B -，，则与向量AB共线的单位向量为( )A ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，或4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，或3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， C ．4355⎛⎫-- ⎪⎝⎭，或4355⎛⎫⎪⎝⎭， D ．3455⎛⎫-- ⎪⎝⎭，或3455⎛⎫⎪⎝⎭， 【答案】B【解析】因为()13A ，，()41B -，，所以向量()3,4AB =-， 所以与向量AB 共线的单位向量为3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，或3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，.故选：B 考点四 向量与三角函数的综合运用【例4】(2021·湖南)已知向量(cos 2sin ,2)a θθ=-，(sin ,1)b θ=，若a //b ，则tan 2θ的值为( )A ．14B ．34C ．815D ．415【答案】C【解析】因为a //b ，故可得22cos sin sin θθθ-=，故可得14tan θ=，又22284211tan 15116tan tan θθθ===--.故选：C【练4】(2020·平凉市庄浪县第一中学高一期中)若(3,cos ),(3,sin ),a b αα==且a //b ,则锐角α=__________ . 【答案】3π【解析】∵a //b ,∴3sin 3cos 0αα-=，又α为锐角，cos 0α≠，∴tan 3α=，3πα=．故答案为：3π．考点五 奔驰定理解三角形面积【例5】(2020·河南安阳市·林州一中高一月考)已知O 为ABC ∆内一点，且有23OA OC BC +=，则OBC ∆和ABC ∆的面积之比为( ) A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】C【解析】设D 是AC 的中点，则2OA OC OD +=， 又因为23OA OC BC +=，所以223OD BC =,3BC OD =，//OD BC ， 所以12OBC DBC ABC ABC S S DC S S AC ∆∆∆∆===故选：C 【练5】(2020·江西)在ABC 中，D 为BC 的中点，P 为AD 上的一点且满足3BA BC BP +=，则ABP △与ABC 面积之比为( )A ．14B ．13C ．23 D ．16【答案】B【解析】设AC 的中点为点E ，则有2BA BC BE +=，又3BA BC BP +=，所以23BP BE =，则点P 在线段BE 上，因为D 为BC 的中点，所以得点P 为ABC 的重心，故ABP △与ABC 面积之比为13.故选：B考点六 数量积的坐标运算【例6】(2020·银川市·宁夏大学附属中学高一期末)向量()()2112a b =-=-，，，，则()2a b a +⋅=( ) A ．1 B ．1- C ．6- D ．6【答案】D【解析】因为()()2112a b =-=-，，，所以()()23,0(2,1)3206a b a +⋅=⋅-=⨯+=故选：D【练6】(2021·深圳市龙岗区)已知向量()1,3a =-，()5,4b =-，则⋅=a b ( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．18【答案】C【解析】因为向量()1,3a =-，()5,4b =-，所以()()153417a b ⋅=-⨯-+⨯=，故选：C考点七 巧建坐标解数量积【例7】(2020·山东济南市·)在ABC 中，2BAC π∠=，2AB AC ==，P 为ABC所在平面上任意一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值为( )A ．1B ．12-C ．－1D ．-2【答案】C【解析】如图，以,AB AC 为,x y 建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),(0,2)A B C ，设(,)P x y ，(,)PA x y =--，(2,)PB x y =--，(,2)PC x y =--，(22,22)PB PC x y +=--，∴()22(22)(22)2222PA PB PC x x y y x x y y⋅+=----=-+-22112()2()122x y =-+--，∴当11,22x y ==时，()PA PB PC ⋅+取得最小值1-．故选：C ．【练7】(2020·安徽省亳州市第十八中学高一期中)如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，点P 为CD 的中点，点Q 在BC 上，且2BQ =．(1)求AP AQ ⋅；(2)若AC AP AQ λμ=+(λ，μ∈R )，求λμ的值. 【答案】(1)14；(2)23λμ=. 【解析】如图，分别以边AB ，AD 所在的直线为x 轴，y 轴， 点A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则()0,0A ，()2,3P ，()4,0B ，()4,3C ，()4,2Q .(1)∵()2,3AP =，()4,2AQ =，∴243214AP AQ ⋅=⨯+⨯=. (2)∵()4,3AC =，()2,3AP =，()4,2AQ =，由AC AP AQ λμ=+，得()()4,324,32λμλμ=++，∴244,323,λμλμ+=⎧⎨+=⎩解得1,23,4λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴23λμ=. 考点八 数量积与三角函数综合运用【例8】向量(sin ,2),(1,cos )a b θθ=-=，且a b ⊥，则2sin 2cos θθ+的值为( ) A ．1 B ．2 C ．12D ．3【答案】A【解析】由题意可得 sin 2cos 0a b θθ⋅=-=，即 tan 2θ=．∴222222sin cos cos 2tan 1sin 2cos 1cos sin 1tan θθθθθθθθθ+++===++，故选A ． 【练8】(2020·河南安阳市·林州一中高一月考)已知向量(4sin ,1cos ),(1,2)a b αα=-=-,若2a b ⋅=-,则22sin cos 2sin cos αααα=-( )A ．1B ．1-C ．27-D ．12-【答案】A【解析】由2a b ⋅=-，得4sin 2(1cos )2αα--=-，整理得1tan 2α=-，所以2221sin cos tan 2112sin cos 2tan 112αααααα-===---，故选：A . 考点九 数量积与几何的综合运用【例9】(2020·陕西渭南市·高一期末)已知向量()3,4OA =-，()6,3OB =-，()5,3OC m m =---.(1)若点A ，B ，C 能够成三角形，求实数m 应满足的条件； (2)若ABC 为直角三角形，且A ∠为直角，求实数m 的值. 【答案】(1)12m ≠；(2)74m =. 【解析】(1)已知向量()3,4OA =-，()6,3OB =-，()5,3OC m m =---， 若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线，即AB 与BC 不共线.()3,1AB =，()2,1AC m m =--，故知()312m m -≠-，∴实数12m ≠时，满足条件.(2)若ABC 为直角三角形，且A ∠为直角，则AB AC ⊥，∴()()3210m m -+-=，解得74m =. 【练9】(2020·辽宁)已知向量．(1)若ΔABC 为直角三角形，且∠B 为直角，求实数λ的值．(2)若点A、B、C能构成三角形，求实数λ应满足的条件．【答案】(1)λ=2；(2)λ≠−2．【解析】∵即：−7(6−λ)+7(3λ−2)=0,∴λ=2(2)∵若点A、B、C能构成三角形，则A、B、C不共线∴−7(3λ−2)≠7(6−λ)∴实数λ应满足的条件是λ≠−2课后练习1. （2021·内江模拟）已知空间三点 O(0,0,0) ， A(−1,1,0) ， B(0,1,1) ，在直线 OA 上有一点 H 满足 BH ⊥OA ，则点 H 的坐标为. A.(12,−12,0) B.(−12,12,0) C.(−2,2,0) D.(2,−2,0) 【答案】 B【考点】平面向量数量积的运算【解析】由O （0，0，0），A （﹣1，1，0），B （0，1，1）， ∴ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ = （﹣1，1，0），且点H 在直线OA 上，可设H （﹣λ，λ，0）， 则 BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = （﹣λ，λ﹣1，﹣1）， 又BH ⊥OA ， ∴ BH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • OA ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0， 即（﹣λ，λ﹣1，﹣1）•（﹣1，1，0）＝0， 即λ+λ﹣1＝0， 解得λ =12 ，∴点H （ −12 ， 12 ，0）． 故答案为：B ．【分析】根据已知中空间三点O(0,0,0)，A(−1,1,0)，B(0,1,1)，根据点H 在直线OA上，我们可以设出H点的坐标(含参数λ) ,进而由BH⊥OA，根据向量垂直数量积为0，构造关于λ的方程，解方程即可得到答案.2.（2021高二上·辽宁月考）若a=(2,2,0)，b⃗=(1,3,z)，<a ,b⃗>=π3，则z等于（）A. √22B. −√22C. ±√22D. ±√42【答案】C【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】由空间向量夹角的余弦公式得cos<a ,b⃗>=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |⋅|b⃗|=2×1+2×3+0×z2√2×√12+32+z2=2√2√10+z2=12，解得z=±√22。

平面向量基本定理
平面向量基本定理：
1、定义：平面向量基本定理是一种数学定理，它将向量的矢量乘积和其他数学定理结合在一起。

2、证明：平面向量基本定理可以由叉积定理和等价矢量乘积定理来证明：
A×B = C×A+B , 其中A和B是两个向量，C是其叉积。

同时有：A⋅(B×C) = B⋅(C×A) + C⋅(A×B)
将C×A替换成A×B，得到A⋅B×C= B⋅C×A + A⋅A×B，再将A⋅A×B 替换成C×A，即得到A⋅B×C = B⋅C×A + C⋅A×B。

故A×B=C×A+B，即平面向量基本定理得证。

3、应用：平面向量基本定理主要应用于平面向量运算。

它可以用于求解三角形和圆的关系，计算叉积和点面积，求解抛物线的中心，解决线性方程组的特殊解，以及证明连续多边形的属性等。

4、例题：
（1）已知AB、BC、CD是相互垂直的向量，若AB=2，BC=3，则
AC⋅CD的值为？
（2）A、B、C、D四点不共线，且AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，若AC=4，求CD的值？
解：（1）由题意可知，ABCD四点不共线，AB、BC、CD相互垂直，由矢量乘积的叉积定理可得，AB×BC=AC×CD，故
AC⋅CD=AB⋅BC=2×3=6。

（2）由题意可知，AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，且AC=4，因为AB、BC、CD相互垂直，所以有：AB×BC=AC×CD，由于有AB⋅BC=2，AC=4，故CD=2/4=1/2。

6.3.1 平面向量基本定理(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第六章)一、教学目标1. 体验平面向量基本定理的概念生成过程，理解平面向量基本定理2. 能够应用平面向量基本定理表示向量、证明简单的几何命题二、教学重难点1. （重点）平面向量基本定理的内容叙述与理解2. （重点）用基底表示向量、用向量方法证明简单的几何命题3. （难点）证明几何命题中的向量思想三、教学过程1.平面向量基本定理的概念形成过程1.1创设情境，引发思考【实际情境】物理学中的基本方法：受力分析与力的分解在物理学中，受力分析是最基本最重要的研究方式，而力的分解是受力分析的重中之重.力的分解随着问题场景的变化而有所不同.考虑如图所示的两个物体，图1中的物体放在光滑水平地面上，图2中的物体放在光滑斜面上，两个物体都受到同样的拉力F（假设拉力方向与斜面不平行）.问题1：试运用物理学知识将力进行适合的分解.追问：你在分解的时候使用了怎样的向量运算法则？【预设的答案】如图所示，预设为大部分学生的分解结果.【设计意图】对于高一学生而言，力是最常接触、最常处理的向量（矢量），采用之前已经学过的力的分解作为引入，能够让学生从熟悉的情境着手，引起学生的兴趣.1.2探究典例，形成概念【数学情境】平面向量的分解问题2：选取平面内的任意两个两个不共线的向量12,e e都不共线，e e，假设向量,a b与12,试将,a b按12e e的方向进行分解.,【活动预设】（1）分组活动，首先让学生尝试将向量,a b进行分解，然后交流成果.（2）教师讲解，将本题的分解过程完整板书.以向量a为对角线，根据12e e所在直线作平行四边形，则根据平行四边形法则可找到向量,a在12,e e共线，根据共线向量定理，他们,e e方向上的分向量.容易看出这两个分向量分别与12分别可以写成1212,e e λλ的形式，其中12,λλ都是确定且唯一的实数.于是，向量a 可以写成如下的分解式：1212a e e λλ=+.同理将b 的分解方式也进行板书.题目中向量b 的方向如此设计，可能会使一部分初学的学生有困难，故合作交流时会提示“直线的无限延展性”.（3）展示信息技术作图，用大量实例直观展示同一平面内任意向量a 关于12,e e 的分解过程.【设计意图】创设数学情境，通过平面向量分解的实例，让学生感受在数学学习中，平面向量的分解是规律性的一般问题，值得我们深入探究.问题2：对比力的分解的过程和向量分解的过程，你发现了什么共同特点？【活动预设】（1）引导学生归纳概括出问题的共同特征：给定两个“方向”（教师适当明确为两个“不共线的向量”，就能够对向量进行分解，并且这种分解方式是唯一的）（2）展示并板书平面向量基本定理的内容.教师解释定理中的要点：不共线、存在性、唯一性.【设计意图】前面创设的实际情境与数学情境是为本节的重要定理：平面向量基本定理而服务的，需要通过清晰准确的叙述和解释来抓住学生的思维，带领学生更深刻的思考.2.初步应用，理解概念【活动】求解以下问题及变式.例1 如图所示，AD 是三角形ABC 的中线.试用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .变式 若E 是线段BC 上靠近B 的三等分点，试用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示AE⃗⃗⃗⃗⃗ . 【预设答案】例1：1122AD AB AC =+ 变式：2133AE AB AC =+ 问题3：观察分解式两基底的系数，你发现了什么？再分别观察,,B C D 以及,,B C E 的位置关系，你又发现了什么？试讨论并总结你的观察.探究并证明以下问题：若在直线BC 上有一点M ，满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =tBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (t ∈R)，试用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .【预设答案】(1)AM t AB t AC =-+教师将该结论板书总结：三点共线的重要结论【题后小结】用基底表示向量的一般过程：1. 选定基底，分析图形2. 结合图形，向量运算3. 保留结果，未完继续【设计意图】（1）初步熟悉用基底表示向量的一般过程，回顾向量运算法则.（2）借助阶梯式的设问，一步步深入探究关于三点共线的结论，培养学生的提问意识与问题解决意识.【跟踪训练】1.在平行四边形ABCD 中,设AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,试用基底a,b 表示AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ . 2.已知点P 是△ABC 所在平面内一点,若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则△ABP 与△ACP 的面积之比是________.【活动】首先独立思考以下问题，然后跟随老师解决问题.例2 如图所示，CD 是三角形ABC 的中线，CD =12AB.试用向量方法证明：三角形ABC 为直角三角形.【预设答案】略问题4（问题链）：① 想要用向量方法证明这个命题，首先需要做到什么？（选取两个不共线的向量）这个向量怎样选取比较合适？（已知条件中给出长度、角度等数值时）② 在选取向量之后，我们怎样向问题靠拢？（证明∠ACB 是直角）③ 在向量运算中，证明垂直与怎样的运算是等价的？（证明数量积为0）④ 在完成计算后，还需要做怎样的步骤才算解决问题？（将向量运算结果重新翻译为几何命题）通过问题链完成逻辑梳理后，教师板书完整过程.（或者随着问题链逐步板书）【题后小结】用向量方法证明简单的几何命题的一般过程.1. 选定基底，表示向量2. 翻译命题，向量运算3. 反译结果，得出结论【设计意图】（1）利用问题链，经历运用向量证明简单几何命题的过程.（2）回顾平面向量基本定理的核心——基底，以及向量的运算律.体会围绕基底进行向量运算的过程.3.课后总结，结构搭建【回顾总结】我们在本节课中学习了如下知识：● 平面向量基本定理的内容● 用基底表示向量的一般方法● 三点共线的重要性质● 用向量方法证明简单的几何命题【设计意图】再次回忆、回顾本节课所学内容，巩固加深印象，为后续学习做准备.3.拓展提升，超越自我思考 如图所示，在三角形ABC 中，D 为线段AB 上靠近A 的三等分点，E 为AC 中点，BE ，CD 相交于F 点.试用CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示CF⃗⃗⃗⃗⃗ . 【设计意图】供学有余力的同学研究.四、课外作业课本P27 练习1-3；本学案的“跟踪训练”。

6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理课标要求素养要求理解平面向量基本定理及其意义，在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.通过力的分解引出平面向量基本定理，体会平面向量基本定理的应用重点提升数学抽象及直观想象素养.教材知识探究音乐是人们在休闲时候的一种选择，不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚音乐，还是高雅的古典音乐，它们都给了人们不同的享受、不一样的感觉.事实上，音乐有基本音符：Do Re Mi Fa So La Si，所有的乐谱都是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此.在多样的向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？问题1如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？提示能.依据是数乘向量和平行四边形法则.问题2如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？提示不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示.平面向量基本定理定理中要特别注意向量e 1与向量e 2是两个不共线的向量教材拓展补遗[微判断]1.平面向量基本定理中基底的选取是唯一的.(×)2.零向量可以作为基底.(×)3.若a ，b 不共线，则a ＋b 与a －b 可以作为基底.(√)提示 1.基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可以作为基底. 2.由于0和任意的向量共线，故不能作为基底. 3.由于a ＋b 和a －b 不共线，故可作基底. [微训练]1.设e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，则以下各组向量中不能作为基底的是( ) A.e 1，e 2 B.e 1＋e 2，3e 1＋3e 2 C.e 1，5e 2D.e 1，e 1＋e 2解析 因为3e 1＋3e 2＝3(e 1＋e 2)， ∴两向量共线不可作为基底. 答案 B2.在△ABC 中，若AD→＝12(AB →＋AC →)，则下列关系式正确的是( ) A.BD ＝2CD B.BD ＝CD C.BD ＝3CDD.CD ＝2BD解析 由AD→＝12(AB →＋AC →)得2AD →＝AB →＋AC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →，即BD →＝DC →，所以|BD→|＝|DC →|，故BD ＝CD .答案 B[微思考]1.若e1，e2是一个平面内的一组基底，则集合{a|a＝λ1e1＋λ2e2，λ1λ2∈R}表示的是什么？提示集合表示的是这个平面内的所有向量，其中当λ1＝0时，a与e2共线；当λ2＝0时，a与e1共线；当λ1＝λ2＝0时，a为零向量.2.若a e1＋b e2＝c e1＋d e2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d是否成立？提示当e1，e2共线时，a＝c，b＝d不一定成立；当e1，e2不共线时，a＝c，b ＝d一定成立.题型一平面向量基本定理的理解【例1】如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由.(1)若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0；(2)对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对；(3)线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；(4)当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量.解(1)正确.若λ≠0，则e1＝－μλe2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0.(2)不正确.由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定.(3)正确.平面α内的任一向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立.(4)不正确.结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe1和μe2确定后，其和向量λe1＋μe2便唯一确定.规律方法(1)对于平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解成两个不共线的向量的和的形式.(2)向量的基底是指平面内不共线的两个向量，事实上若e 1，e 2是基底，则必有e 1≠0，e 2≠0且e 1与e 2不共线，如0与e 1，e 1与2e 1，e 1＋e 2与2(e 1＋e 2)等，均不能构成基底.【训练1】 设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )考查两向量是否能构成基底主要看两向量是否不共线 A.e 1＋e 2和e 1－e 2 B.3e 1－4e 2和6e 1－8e 2 C.e 1＋2e 2和2e 1＋e 2 D.e 1和e 1＋e 2解析 选项B 中，6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)，∴6e 1－8e 2与3e 1－4e 2共线，∴不能作为基底，选项A ，C ，D 中两向量均不共线，可以作为基底.故选B. 答案 B题型二 用基底表示向量 零向量与任一向量平行，故不能作为基底【例2】 如图，在平行四边形ABCD 中，设对角线AC →＝a ，BD →＝b ，试用基底a ，b 表示AB→，BC →.解 法一 由题意知， AO→＝OC →＝12AC →＝12a ， BO→＝OD →＝12BD →＝12b .所以AB→＝AO →＋OB →＝AO →－BO →＝12a －12b ，BC→＝BO →＋OC →＝12a ＋12b .法二 设AB→＝x ，BC →＝y ，则AD →＝BC →＝y ，又⎩⎨⎧AB →＋BC →＝AC →，AD →－AB →＝BD →，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，y －x ＝b ，所以x ＝12a －12b ，y ＝12a ＋12b ， 即AB→＝12a －12b ，BC →＝12a ＋12b . 规律方法 用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解.【训练2】 如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DC AB ＝k ，设AD →＝e 1，AB →＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC →，BC →，MN →.解 法一 ∵AB →＝e 2，DCAB＝k ， ∴DC →＝kAB →＝k e 2. ∵AB→＋BC →＋CD →＋DA →＝0， ∴BC→＝－AB →－CD →－DA → ＝－AB →＋DC →＋AD →＝e 1＋(k －1)e 2. 又MN→＋NB →＋BA →＋AM →＝0， 且NB→＝－12BC →，AM →＝12AD →， ∴MN→＝－AM →－BA →－NB →＝－12AD →＋AB →＋12BC →＝k ＋12e 2. 法二 同法一得DC →＝k e 2，BC →＝e 1＋(k －1)e 2.连接MB ，MC ， 由MN→＝12(MB →＋MC →)得 MN →＝12(MA →＋AB →＋MD →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＝k ＋12e 2. 题型三 平面向量基本定理的综合应用若a 是平面内的非零向量，且能表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，a ＝μ1e 1＋μ2e 2，那么一定有λ1＝μ1，λ2＝μ2【例3】 如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 与BP ∶PN 的值.解 设BM →＝e 1，CN →＝e 2，则AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1， BN →＝BC →＋CN →＝2e 1＋e 2. ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，∴存在实数λ，μ使得AP →＝λAM →＝－λe 1－3λe 2， BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2. 故BA →＝BP →＋P A →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2. 而BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋3e 2， 由平面向量基本定理， 得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.∴AP→＝45AM →，BP →＝35BN →，∴AP ∶PM ＝4，BP ∶PN ＝32.【迁移】 (变设问)在本例条件下，若CM →＝a ，CN →＝b ，试用a ，b 表示CP →.解 由典例解析知BP ∶PN ＝32， 则NP→＝25NB →， CP→＝CN →＋NP →＝CN →＋25NB → ＝b ＋25(CB →－CN →)＝b ＋45a －25b ＝35b ＋45a .规律方法 若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得.【训练3】 如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC→＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.解析 设AB→＝a ，AD →＝b ，则AE→＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ， 又∵AC→＝a ＋b ，∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43. 答案 43一、素养落地1.通过学习平面向量基本定理及其意义，提升数学抽象素养.通过运用平面向量基本定理解决问题，培养直观想象素养. 2.对基底的理解(1)基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件.(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底. 3.准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.(2)用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决. 二、素养训练1.若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )A.e 1－e 2，e 2－e 1B.2e 1－e 2，e 1－12e 2 C.2e 2－3e 1，6e 1－4e 2D.e 1＋e 2，e 1－e 2解析 选项A ，B ，C 中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底. 答案 D2.如图所示，矩形ABCD 中，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →等于( )A.12(5e 1＋3e 2) B.12(5e －3e 2) C.12(2e 2＋5e 1)D.12(5e 2＋3e 1)解析 OC→＝12AC →＝12(BC →－BA →)＝12(BC →＋AB →)＝12(5e 1＋3e 2). 答案 A3.设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.解析 DE→＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，又∵AB →与AC →不共线，∴λ1＝－16，λ2＝23，λ1＋λ2＝－16＋23＝12.答案 124.在△ABC 中，点D ，E ，F 依次是边AB 的四等分点，试以CB →＝e 1，CA →＝e 2为基底表示CF→.解 AB →＝CB →－CA →＝e 1－e 2，因为D ，E ，F 依次是边AB 的四等分点，所以AF →＝34AB →＝34(e 1－e 2)，所以CF →＝CA →＋AF →＝e 2＋34(e 1－e 2)＝34e 1＋14e 2.基础达标一、选择题1.设e 1，e 2是同一个平面内的两个向量，则有( ) A.e 1，e 2平行 B.e 1，e 2的模相等C.同一个平面内的任一向量a ，有a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )D.若e 1，e 2不共线，则对于同一个平面内的任一向量a ，有a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R ) 解析 由平面向量基本定理知，选D. 答案 D2.设D 为△ABC 所在平面内一点，AD →＝－13AB →＋43AC →，若BC →＝λDC →(λ∈R )，则λ＝( ) A.2B.3C.－2D.－3解析 由AD→＝－13AB →＋43AC →，可得3AD →＝－AB →＋4AC →，即4AD →－4AC →＝AD →－AB →，则4CD→＝BD →，即BD →＝－4DC →，可得BD →＋DC →＝－3DC →，故BC →＝－3DC →， 则λ＝－3. 答案 D3.如图，在△ABC 中，BD→＝12DC →，AE →＝3ED →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则BE →等于( )A.13a ＋13bB.－12a ＋14bC.12a ＋14bD.－13a ＋13b解析 因为AE→＝3ED →，所以BE →－BA →＝3(BD →－BE →).所以4BE→＝BA →＋3BD →， 因为BD→＝12DC →，所以BD →＝13BC →， 所以4BE→＝BA →＋BC →，所以4BE →＝－AB →＋(AC →－AB →)，所以4BE→＝－2AB →＋AC →，所以BE →＝－12AB →＋14AC →， 所以BE→＝－12a ＋14b .答案 B4.已知OA→＝a ，OB →＝b ，C 为线段AB 上距A 较近的一个三等分点，D 为线段CB上距C 较近的一个三等分点，则用a ，b 表示OD →为( )A.19(4a ＋5b ) B.116(9a ＋7b ) C.13(2a ＋b )D.14(3a ＋b )解析 OD→＝OA →＋AD →，AD→＝AC →＋CD →＝13AB →＋13CB →＝13AB →＋29AB →＝59AB →. 而AB→＝b －a ，所以AD →＝59b －59a ，所以OD→＝OA →＋AD →＝a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫59b －59a ＝49a ＋59b . 答案 A5.△ABC 中，AD→＝14AB →，DE ∥BC ，且与边AC 相交于点E ，△ABC 的中线AM 与DE 相交于点N ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示DN →等于( )A.14(a －b ) B.14(b －a )C.18(a －b )D.18(b －a ) 解析 由题意得DN→＝12DE →＝12(AE →－AD →)＝18(AC →－AB →)＝18(b －a )，故选D.答案 D 二、填空题6.设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，若用m ，n 表示p ，则p ＝________. 解析 设p ＝x m ＋y n ，则3a ＋2b ＝x (2a －3b )＋y (4a －2b )＝(2x ＋4y )a ＋(－3x －2y )b ， 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝3，－3x －2y ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－74，y ＝138.所以p ＝－74m ＋138n .答案 －74m ＋138n7.如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD →＝a ，AB →＝b ，若AB →＝2DC→，则AO →＝________(用a 和b 表示).解析 设AO→＝λAC →，则AO →＝λ(AD →＋DC →)＝λ⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＝λAD →＋12λAB →. 因为D ，O ，B 三点共线，所以λ＋12λ＝1，所以λ＝23，所以AO→＝23AD →＋13AB →＝23a ＋13b . 答案 23a ＋13b8.已知e 1，e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a ，b 能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________________.解析 若能作为平面内的一组基底，则a 与b 不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，由a ≠k b ，即得λ≠4. 答案 (－∞，4)∪(4，＋∞) 三、解答题9.如图，在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC ＝BA ，在OB 上取点D ，使DB ＝13OB ，设OA→＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，DC →.解 OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋BA →＝OA →＋OA →－OB →＝2a －b .DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b .10.如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM→＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →，NP →，PM →表示出来.解 NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ， MN→＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB → ＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ， PM→＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b ). 能力提升11.如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是半圆弧AB ︵的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD→＝( )A.a －12b B.12a －b C.a ＋12bD.12a ＋b解析 连接CD ，OD ，图略，∵点C ，D 是半圆弧AB ︵的两个三等分点， ∴AC ︵＝BD ︵，∴CD ∥AB ，∠CAD ＝∠DAB ＝30°， ∵OA ＝OD ，∠ADO ＝∠DAO ＝30°， ∴∠CAD ＝∠ADO ＝30°， ∴AC ∥DO ，∴四边形ACDO 为平行四边形，AD →＝AO →＋AC →. ∵AO→＝12AB →＝12a ，AC →＝b ， ∴AD→＝12a ＋b .故选D.答案 D12.设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2.(1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值.(1)证明 若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ，则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2). 由e 1，e 2不共线得， ⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2⇒⎩⎨⎧λ＝1，λ＝－23.所以λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底. (2)解 设c ＝m a ＋n b (m ，n ∈R )，得 3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2) ＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2. 由于e 1与e 2是不共线的非零向量， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.所以c ＝2a ＋b .(3)解 由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得 4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2. 又e 1与e 2是不共线的非零向量， 所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1.创新猜想13.(多选题)如图所示，设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是( )A.AD →与AB →B.DA →与BC →C.CA→与DC →D.OD→与OB → 解析 B 中DA →与BC →共线，D 中OD →与OB →共线，AC 中两向量不共线，故选AC.答案 AC14.(多填题)已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(2x －3y )e 1＋(3x －4y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x ＝________，y ＝________. 解析 ∵向量e 1，e 2不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝6，3x －4y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－15，y ＝－12. 答案 －15 －12。

第六章 6.3 6.3.1A 级——基础过关练1．设e 1,e 2是平面内两个向量,则有( ) A ．e 1,e 2一定平行 B ．e 1,e 2的模一定相等C ．对于平面内的任一向量a ,都有a ＝λe 1＋μe 2(λ,μ∈R)D ．若e 1,e 2不共线,则对平面内的任一向量a 都有a ＝λe 1＋μe 2(λ,μ∈R) 【答案】D【解析】由平面向量基本定理知D 正确．2．(2021年达州模拟)(多选)已知e 1、e 2是表示平面内所有向量的一组基底,则下列四组向量中,能作为一组基底的是( )A ．{e 1＋e 2,e 1－e 2}B ．{3e 1－2e 2,4e 2－6e 1}C ．{e 1＋2e 2,e 2＋2e 1}D ．{e 2,e 1＋e 2}【答案】ACD【解析】∵4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2),∴3e 1－2e 2与4e 2－6e 1共线,∴它们不能作为一组基底,作为基底的两向量一定不共线．A 、C 、D 选项均可．3．(2021年福建模拟)设向量e 1与e 2不共线,若3xe 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2xe 2,则实数x ,y 的值分别为( )A ．0,0B ．1,1C ．3,0D ．3,4【答案】D【解析】因为e 1与e 2不共线,所以⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝4y －7，10－y ＝2x ，解方程组得x ＝3,y ＝4.4．(2021年天津期末)在△ABC 中,点D 在BC 边上,且BD →＝2DC →,设AB →＝a ,AC →＝b ,则AD →可用基底a ,b 表示为( )A ．12(a ＋b ) B ．23a ＋13b C ．13a ＋23b D ．13(a ＋b ) 【答案】C【解析】AD →＝AB →＋BD →＝a ＋23BC →＝a ＋23(AC →－AB →)＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b .故选C ．5．如图,在正方形ABCD 中,点E 满足AE →＝ED →,点F 满足CF →＝2FB →,那么EF →＝( )A ．12AB →－13AD → B ．13AB →＋12AD →C ．AB →－16AD →D ．AB →＋16AD →【答案】C【解析】EF →＝EA →＋AB →＋BF →＝－12AD →＋AB →＋13AD →＝－16AD →＋AB →.故选C ．6．若D 点在△ABC 的边BC 上,且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →,则3r ＋s 的值为( ) A ．165B ．125C ．85 D ．45 【答案】C【解析】因为CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →,所以CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →.所以r ＝45,s ＝－45.所以3r ＋s ＝125－45＝85. 7．设{e 1,e 2}是平面内的一个基底,且a ＝e 1＋2e 2,b ＝－e 1＋e 2,则e 1＋e 2＝______a ＋______b .【答案】23⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧e 1＝13a －23b ，e 2＝13a ＋13b .故e 1＋e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －23b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋13b ＝23a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13b . 8．如图,在平行四边形ABCD 中,AC ,BD 相交于点O ,E 为线段AO 的中点,若BE →＝λBA →＋μBD →(λ,μ∈R),则λ＋μ＝______．【答案】34【解析】因为BE →＝BO →＋OE →＝12BD →＋EA →＝12BD →＋EB →＋BA →,所以BE →＝12BA →＋14BD →.所以λ＝12,μ＝14,λ＋μ＝34. 9．如图所示,D 是BC 边的一个四等分点．试用基底AB →,AC →表示AD →.解：因为D 是BC 边的四等分点, 所以BD →＝14BC →＝14(AC →－AB →)．所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋14(AC →－AB →)＝34AB →＋14AC →.10．设e 1,e 2是不共线的非零向量,且a ＝e 1－2e 2,b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：{a ,b }可以作为一个基底； (2)以{a ,b }为基底表示向量c ＝3e 1－e 2.(1)证明：假设a ＝λb (λ∈R),则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1,e 2不共线,得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2，所以λ不存在．故a 与b 不共线,{a ,b }可以作为一个基底．(2)解：设c ＝ma ＋nb (m ,n ∈R),则3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2)＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.所以c ＝2a ＋b .B 级——能力提升练11．(2021年南通模拟)(多选)若e 1,e 2是平面α内两个不共线的向量,则下列说法错误的是( )A ．λe 1＋μe 2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α内的任一向量a ,使a ＝λe 1＋μe 2的实数λ,μ有无数多对C ．若λ1,μ1,λ2,μ2均为实数,且向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线,则有且只有一个实数λ,使λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)D ．若存在实数λ,μ,使λe 1＋μe 2＝0,则λ＝μ＝0 【答案】BC【解析】由平面向量基本定理,可知A,D 说法正确,B 说法错误．对于C,当λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时,这样的λ有无数个,故C 说法错误．12．(2021年上海模拟)在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,若BE →＝λAB →＋μAC →,则λ＋μ＝( )A ．－34B ．－12C ．34D ．1【答案】B【解析】∵AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,∴BE →＝12BA →＋12BD →＝12BA →＋14BC →＝－12AB →＋14(AC →－AB →)＝－34AB →＋14AC →.∵BE →＝λAB →＋μAC →,∴λ＝－34,μ＝14,∴λ＋μ＝－12,故选B ．13．(2021年杭州模拟)已知O 是平面上一定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ∈[0,＋∞)),则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B【解析】AB→|AB →|为AB →上的单位向量,AC →|AC →|为AC →上的单位向量,则AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向为∠BAC的角平分线AD →的方向．又λ∈[0,＋∞),∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同．而OP →＝OA →＋λAB →|AB →|＋AC →|AC →|,∴点P 在AD →上移动,∴点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．14．若OP 1→＝a ,OP 2→＝b ,P 1P →＝λPP 2→,则OP →＝( ) A ．a ＋λb B ．λa ＋b C ．λa ＋(1＋λ)b D ．a ＋λb1＋λ【答案】D【解析】∵P 1P →＝λPP 2→,∴OP →－OP 1→＝λ(OP 2→－OP →),(1＋λ)OP →＝λOP 2→＋OP 1→.OP →＝λb ＋a1＋λ.15．△ABC 中,D 为AC 上的一点,满足AD →＝13DC →.若P 为BD 上的一点,满足AP →＝mAB →＋nAC→(m >0,n >0),则mn 的最大值为________；4m ＋1n的最小值为________．【答案】11616【解析】因为AD →＝13DC →,所以AD →＝14AC →.所以AP →＝mAB →＋nAC →＝mAB →＋4nAD →.因为B ,P ,D 三点共线,所以m ＋4n ＝1,则4mn ≤（m ＋4n ）24＝14,则mn ≤116,即mn 最大值为116,当且仅当m ＝4n 时取等号；4m ＋1n＝(m ＋4n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋1n ＝16n m ＋m n＋8≥216＋8＝16,当且仅当m ＝4n 时取等号．故答案为116,16.16．已知平行四边形ABCD 中,E 为CD 的中点,AP →＝yAD →,AQ →＝xAB →,其中x ,y ∈R,且均不为0.若PQ →∥BE →,则xy＝________．【答案】12【解析】因为PQ →＝AQ →－AP →＝xAB →－yAD →,由PQ →∥BE →,可设PQ →＝λBE →,即xAB →－yAD →＝λ(CE →－CB →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋AD →＝－λ2AB →＋λAD →,所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12λ，y ＝－λ，则x y ＝12.17．(2021年北京模拟)在平行四边形ABCD 中,已知AB →＝a ,AD →＝b ,E 、F 分别是边CD 和BC 上的点,满足DC →＝3DE →,BC →＝3BF →.(1)分别用a ,b 表示向量AE →,AF →；(2)若AC →＝λAE →＋μAF →,其中λ,μ∈R,求出λ＋μ的值．解：(1)AE →＝AD →＋13DC →＝13a ＋b ,AF →＝AB →＋13BC →＝a ＋13b .(2)若AC →＝λAE →＋μAF →,则λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋b ＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋13b ＝a ＋b ,∴⎝⎛⎭⎪⎫λ3＋μa ＋⎝⎛⎭⎪⎫λ＋μ3b ＝a ＋b .∵a ,b 不共线,∴⎩⎪⎨⎪⎧λ3＋μ＝1，λ＋μ3＝1，解得λ＋μ＝32.18．(2021年天门模拟)如图所示,在□ABCD 中,AB →＝a ,AD →＝b ,BM ＝23BC ,AN ＝14AB ．(1)试用向量a ,b 来表示DN →,AM →； (2)AM 交DN 于O 点,求AO ∶OM 的值．解：(1)因为AN ＝14AB ,所以AN →＝14AB →＝14a ,所以DN →＝AN →－AD →＝14a －b .因为BM ＝23BC ,所以BM →＝23BC →＝23AD →＝23b ,所以AM →＝AB →＋BM →＝a ＋23b .(2)因为A ,O ,M 三点共线,所以AO →∥AM →,设AO →＝λAM →,则DO →＝AO →－AD →＝λAM →－AD →＝λa ＋23b －b ＝λa ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－1b . 因为D ,O ,N 三点共线,所以DO →∥DN →,存在实数μ使DO →＝μDN →,则λa ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－1b ＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫14a －b .由于向量a ,b 不共线,则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝14μ，23λ－1＝－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝314，μ＝67.所以AO →＝314AM →,OM →＝1114AM →,所以AO ∶OM ＝3∶11.C 级——探索创新练19．(2020年岳阳模拟)在梯形ABCD 中,已知AB ∥CD ,AB ＝2CD ,M ,N 分别为CD ,BC 的中点．若AB →＝λAM →＋μAN →,则λ＋μ的值为( )A ．14B ．15C ．45 D ．54【答案】C【解析】(方法一)连接AC (图略),由AB →＝λAM →＋μAN →,得AB →＝λ·12(AD →＋AC →)＋μ·12(AC→＋AB →),则μ2－1AB →＋λ2AD →＋λ2＋μ2AC →＝0,得μ2－1AB →＋λ2AD →＋λ2＋μ2AD →＋12AB →＝0,得14λ＋34μ－1AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2AD →＝0.又AB →,AD →不共线,所以由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45.(方法二)根据题意作出图形如图所示,连接MN 并延长,交AB 的延长线于点T ,由已知易得AB ＝45AT ,所以45AT →＝AB →＝λAM →＋μAN →.因为T ,M ,N 三点共线,所以λ＋μ＝45.20．如图,在△ABC 中,设AB →＝a ,AC →＝b ,AP 的中点为Q ,BQ 的中点为R ,CR 的中点为P ,若AP →＝ma ＋nb ,则m ＝________,n ＝________．【答案】27 47【解析】根据已知条件,得BQ →＝AQ →－AB →＝12AP →－AB →＝12(ma ＋nb )－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－1a ＋n 2b ,CR →＝BR→－BC →＝12BQ →－AC →＋AB →＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－1a ＋n 2b －b ＋a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4＋12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4－1b ,∴QP →＝m 2a ＋n 2b ,RQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4－12a ＋n 4b ,RP →＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 8＋14a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－n 8b .∵RQ →＋QP →＝RP →,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3m 4－12a ＋3n 4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 8－14a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－n 8b ,∴⎩⎪⎨⎪⎧3m 4－12＝－m 8－14，3n 4＝12－n 8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝27，n ＝47.。

6.3 平面向量的基本定理及坐标表示【知识一】平面向量基本定理1.平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e2.2.基底：若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 【知识二】平面向量的正交分解及坐标表示1.正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.2.坐标表示：（1）在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为i ，j ，取{i ，j }作为基底.对于平面内的任意一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y ).（2）在直角坐标平面中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0). 【知识三】平面向量加、减运算的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么向量AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 【知识四】平面向量数乘运算的坐标表示1.数乘：已知a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λy )，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.2.共线：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ，b 共线的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b ≠0)共线. 注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.【例1-1】下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A ．()()120,0,1,2e e ==B ．()()121,2,5,7e e =-=C ．()()123,5,6,10e e ==D ．()12132,3,,24e e ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭【变式1-1】已知向量{a ，b }是一个基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y ＝________.【例1-2】如图，已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用{a ，b }为基底表示DC →，EF →，FC →.【变式1-2】如图，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则以{a ，b }为基底时，AC →可表示为________，以{a ，c }为基底时，AC →可表示为________.【例1-3】在三角形ABC 中，M 为AC 的中点，若(),AB BM BC λμλμ=+∈R ，则下列结论正确的是（ ） A ．1λμ+=B ．3λμ-=C ．20λμ+=D ．20λμ-=【变式1-3】如图，已知OAB ，若点C 满足2AC CB =，(),OC xOA yOB x y R =+∈，则11x y+=（ ）A ．14B ．34C ．92D ．29【例2-1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b .四边形OABC 为平行四边形.(1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →的坐标； (3)求点B 的坐标.【变式2-1】已知点M (5，－6)，且MN →＝(－3,6)，则N 点的坐标为________. 【例2-2】已知()0,1A -，()0,3B ，则AB =（ ）A ．2BC ．4D ．【变式2-2】已知()3,2M -，()5,1N -，若NP MN =，则P 点的坐标为（ ） A ．（3，2）B ．（3，-1）C ．（7，0）D ．（1，0）【变式2-4】已知点()3,2A ，()5,1B ，则与AB 反方向的单位向量为（ ）A ．⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎝⎭【变式2-5】已知向量(),2a m =，()1,2b =-，若0a b +=，则实数m 的值为（ ） A ．-4B ．4C ．-1D ．1【例3-1】(1)已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b 等于( ) A.(1，－2) B.(1,2) C.(5,6)D.(2,0)(2)已知向量AB →＝(2,4)，AC →＝(0,2)，则12BC →等于( )A.(－2，－2)B.(2,2)C.(1,1)D.(－1，－1)【变式3-1】已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .【例3-2】已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ）A ．14,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．97,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(7，9)【例3-3】(1)已知非零向量a ，b ，c ，若()1,a x =，()4,1b =-，且//a c ，//b c 则x =（ ） A ．4B ．-4C ．14D ．14-(2)若()0,2A ，()1,0B -，(),2-C m 三点共线，则实数m 的值是（ ） A ．6B ．2-C ．6-D ．2【变式3-2】与(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ）A ．1,1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D ．3,--【变式3-3】已知()3,a m →=，()21,1b m →=+，则“1m =”是“//a b →→”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【变式3-4】已知向量()1,1a =，()2,1b =-，若()()2//a b a b λ+-，则实数λ=（ ） A ．8 B ．8-C ．2D ．2-课后练习题1．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）． A ．()10,0e =，()21,2e =- B ．()11,2e =-，()25,7e = C ．()13,5e =，()26,10e =D ．()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭2.在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别满足12BE BC =，13DF DC =．若λ=+BD AE μAF ，则实数λ＋μ的值为（ ） A ．15-B ．15C ．75-D ．753.已知()1,1A ，()1,1B --，则向量AB 为（ ） A ．()0,0B ．()1,1C ．()2,2--D ．()2,24.已知()5,2a =-，()4,3b =-，(),c x y =，若220a b c -+=，则c 等于（ ） A ．(1，4)B ．13,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．13,42⎛⎫-⎪⎝⎭D ．13,42⎛⎫-- ⎪⎝⎭5.已知()13A ，，()41B -，，则与向量AB 共线的单位向量为（ ） A ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，或4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，或3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， C ．4355⎛⎫-- ⎪⎝⎭，或4355⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．3455⎛⎫-- ⎪⎝⎭，或3455⎛⎫ ⎪⎝⎭， 6.设向量a =(1，4)，b =(2，x )，c a b =+.若//a c ，则实数x 的值是（ ） A ．-4B ．2C ．4D ．87.若(3,cos ),(3,sin ),a b αα==且a //b ,则锐角α=__________ . 8.已知O 为单位圆，A 、B 在圆上，向量OA ，OB 的夹角为60°，点C 在劣弧AB 上运动，若OC xOA yOB =+，其中,x y R ∈，则x y +的取值范围___________.9.在ABC 中，D 为BC 的中点，P 为AD 上的一点且满足3BA BC BP +=，则ABP △与ABC 面积之比为（ ） A ．14B ．13C ．23D ．1610.已知ABC 所在的平面内一点P （点P 与点A ，B ，C 不重合），且523AP PO OB OC =++，则ACP △与BCP 的面积之比为（ ） A ．2:1B ．3:1C ．3:2D ．4:36.3.1 平面向量的基本定理及坐标表示【知识一】平面向量基本定理1.平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e2.2.基底：若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 【知识二】平面向量的正交分解及坐标表示1.正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.2.坐标表示：（1）在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为i ，j ，取{i ，j }作为基底.对于平面内的任意一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y ).（2）在直角坐标平面中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0). 【知识三】平面向量加、减运算的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么向量AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 【知识四】平面向量数乘运算的坐标表示1.数乘：已知a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λy )，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.2.共线：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ，b 共线的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b ≠0)共线. 注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.【例1-1】下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A ．()()120,0,1,2e e ==B ．()()121,2,5,7e e =-=C ．()()123,5,6,10e e ==D ．()12132,3,,24e e ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭【答案】B【解析】对A ：因为零向量和任意向量平行，故A 中向量不可作基底； 对B ：因为710-≠，故B 中两个向量不共线；对C ：因为31056⨯=⨯，故C 中两个向量共线，故C 中向量不可作基底； 对D ：因为312342⎛⎫⨯-=-⨯ ⎪⎝⎭，故D 中两个向量共线，故D 中向量不可作基底.故选：B. 【变式1-1】已知向量{a ，b }是一个基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y ＝________. 【答案】3【解析】因为{a ，b }是一个基底， 所以a 与b 不共线，由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，所以x －y ＝3.【例1-2】如图，已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用{a ，b }为基底表示DC →，EF →，FC →.【解析】因为DC ∥AB ，AB ＝2DC ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点， 所以FC →＝AD →＝a ，DC →＝AF →＝12AB →＝12b .EF →＝ED →＋DA →＋AF →＝－12DC →－AD →＋12AB →＝－12×12b －a ＋12b ＝14b －a .【变式1-2】如图，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则以{a ，b }为基底时，AC →可表示为________，以{a ，c }为基底时，AC →可表示为________.【答案】a ＋b 2a ＋c【解析】以{a ，b }为基底时，AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ； 以{a ，c }为基底时，将BD →平移，使B 与A 重合， 再由三角形法则或平行四边形法则即得AC →＝2a ＋c .【例1-3】在三角形ABC 中，M 为AC 的中点，若(),AB BM BC λμλμ=+∈R ，则下列结论正确的是（ ） A ．1λμ+= B ．3λμ-=C ．20λμ+=D ．20λμ-=【答案】C【解析】因为M 为AC 的中点，所以1122BM BA BC =+，所以2AB BM BC =-+， 又(),AB BM BC λμλμ=+∈R ，所以2λ=-，1μ=，故选：C.【变式1-3】如图，已知OAB ，若点C 满足2AC CB =，(),OC xOA yOB x y R =+∈，则11x y+=（ ）A ．14B ．34C ．92D ．29【答案】C【解析】由2AC CB =得()2OC OA OB OC -=-，即1233OC OA OB =+， 又(),OC xOA yOB x y R =+∈，所以1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此1139322x y +=+=.故选：C. 【例2-1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b .四边形OABC 为平行四边形.(1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →的坐标； (3)求点B 的坐标.【解析】(1)作AM ⊥x 轴于点M ，则OM ＝OA ·cos 45° ＝4×22＝22， AM ＝OA ·sin 45° ＝4×22＝2 2. ∴A (22，22)，故a ＝(22，22).∵∠AOC ＝180°－105°＝75°，∠AOy ＝45°， ∴∠COy ＝30°. 又∵OC ＝AB ＝3，∴C ⎝⎛⎭⎫－32，332，∴AB →＝OC →＝⎝⎛⎭⎫－32，332，即b ＝⎝⎛⎭⎫－32，332.(2)BA →＝－AB →＝⎝⎛⎭⎫32，－332.(3)OB →＝OA →＋AB →＝(22，22)＋⎝⎛⎭⎫－32，332＝⎝⎛⎭⎫22－32，22＋332.∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫22－32，22＋332.【变式2-1】已知点M (5，－6)，且MN →＝(－3,6)，则N 点的坐标为________.【答案】 (2,0)【解析】∵MN →＝(－3,6)，设N (x ，y )， 则MN →＝ON →－OM →＝(x －5，y ＋6)＝(－3,6).∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －5＝－3，y ＋6＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.即N (2,0). 【例2-2】已知()0,1A -，()0,3B ，则AB =（ ）A ．2BC ．4D ．【解析】由题得AB =（0,4）所以||0(31)4AB =++．故选C【变式2-2】已知()3,2M -，()5,1N -，若NP MN =，则P 点的坐标为（ ） A ．（3，2）B ．（3，-1）C ．（7，0）D ．（1，0）【解析】设点P 的坐标为(),x y ，则(5,1)NP x y =-+，(53,12)(2,1)MN =--+=，因为NP MN =，即(5,1)(2,1)x y -+=，所以5211x y -=⎧⎨+=⎩，解得70x y =⎧⎨=⎩，所以()7,0P .故选：C.【变式2-4】已知点()3,2A ，()5,1B ，则与AB 反方向的单位向量为（ ）A ．⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎝⎭【答案】B【解析】()3,2A ，()5,1B ,2,1AB，则22AB ==，所以与AB 反方向的单位向量为255,55AB AB.故选：B.【变式2-5】已知向量(),2a m =，()1,2b =-，若0a b +=，则实数m 的值为（ ） A ．-4 B ．4C ．-1D ．1【答案】C【解析】由题意，向量(),2a m =，()1,2b =-，所以()()1,00,0a b m +=+=， 可得50m +=，解得1m =-.故选：C .【例3-1】(1)已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b 等于( ) A.(1，－2)B.(1,2)C.(5,6)D.(2,0)【答案】B【解析】由题意得b －a ＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1). (2)已知向量AB →＝(2,4)，AC →＝(0,2)，则12BC →等于( )A.(－2，－2)B.(2,2)C.(1,1)D.(－1，－1)【答案】D【解析】12BC →＝12(AC →－AB →)＝12(－2，－2)＝(－1，－1).【变式3-1】已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .【解析】(1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7). (2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1) ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1). (3)12a －13b ＝12(－1,2)－13(2,1) ＝⎝⎛⎭⎫－12，1－⎝⎛⎭⎫23，13＝⎝⎛⎭⎫－76，23. 【例3-2】已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ）A ．14,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．97,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(7，9)【答案】ABC【解析】由点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则972，AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭选项A . 91473023⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以A 选项正确.选项B. 9977022⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以B 选项正确. 选项C . ()91473023⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以C 选项正确.选项D. 979702⎛⎫-⨯--⨯≠ ⎪⎝⎭,所以选项D 不正确故选：ABC 【例3-3】(1)已知非零向量a ，b ，c ，若()1,a x =，()4,1b =-，且//a c ，//b c 则x =（ ） A ．4 B ．-4 C ．14D ．14-【答案】D【解析】由题意知//a c ，//b c ，所以//a b ；又(1,)a x =，(4,1)b =-，所以1(1)40x ⨯--=，解得14x =-．故选：D(2)若()0,2A ，()1,0B -，(),2-C m 三点共线，则实数m 的值是（ ） A ．6 B ．2-C ．6-D ．2【答案】B【解析】因为三点()0,2A ，()1,0B -，(),2C m -共线，所以(1,2),(1,2)AB BC m =--=+- , 若()0,2A ，()1,0B -，(),2C m -三点共线，则AB 和BC 共线 可得：(1)(2)(2)(1)m --=-+，解得2m =-；故选：B 【变式3-2】与(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ）A ．1,1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3,--【答案】C【解析】若向量b 与向量a 平行，则b a λ=，(1,3,2)a =-，则(,3,2)b λλλ=- 设向量(),,b x y z =，则x 与y 符号相同，y 与z 符号相反，所以可知A ，B ，D 不成立， 选项C ：若12λ=-，则12x =-，32y =-，1z =，故C 正确.故选：C.【变式3-3】已知()3,a m →=，()21,1b m →=+，则“1m =”是“//a b →→”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由//a b →→可得()213m m +=，解得32m =-或1m =，所以“1m =”是“//a b →→” 充分不必要条件.故选：A.【变式3-4】已知向量()1,1a =，()2,1b =-，若()()2//a b a b λ+-，则实数λ=（ ） A ．8 B ．8-C ．2D ．2-【答案】D【解析】由()1,1a =，()2,1b =-，可得()24,2a b λλλ+=+-，()1,2a b -=-， 因为()()2//a b a b λ+-，所以()()()24210λλ+--⨯-=，解得2λ=-.故选：D.课后练习题1．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）． A ．()10,0e =，()21,2e =- B ．()11,2e =-，()25,7e = C ．()13,5e =，()26,10e = D ．()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】因为()11,2e =-与()25,7e =不共线，其余选项中1e 、2e 均共线，所以B 选项中的两向量可以作为基底．故选：B2.在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别满足12BE BC =，13DF DC =．若λ=+BD AE μAF ，则实数λ＋μ的值为（ ） A ．15- B ．15C ．75-D ．75【答案】B【解析】由题意，设AB a AD b ，==，则在平行四边形ABCD 中，因为12BE BC =，13DF DC =，所以点E 为BC 的中点，点F 在线段DC 上，且2CF DF =， 所以1123AE a b AF a b =+=+，， 又因为BD AE AF λμ=+，且BD AD AB b a =-=-，所以11112332a b AE AF a b a b a b λμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3.已知()1,1A ，()1,1B --，则向量AB 为（ ） A ．()0,0 B ．()1,1C ．()2,2--D ．()2,2【答案】C【解析】由题意可得()()()1,11,12,2AB =---=--.故选：C.所以113112λμλμ⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得8595λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以15λμ+=。

6.3 平面向量基本定理及坐标表示6.3.1 平面向量基本定理课标解读课标要求核心素养1.了解基底的含义.(一般)2.理解平面向量基本定理及其意义.(重点)3.会用基底表示平面内任一向量.(难点)1.通过平面向量基本定理的探究,用基底表示平面内任一向量,逐步形成数学抽象素养. 2.借助向量解决几何问题培养直观想象素养.问题1:在物理中,我们学习了力的分解,即一个力可以分解为两个不同方向的力,试想平面内的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和.答案 可以.问题2:如果e 1,e 2是两个不共线的向量,那么与e 1,e 2在同一平面内的任一向量a 能否用e 1,e 2表示?依据是什么?答案 能.依据数乘向量和平行四边形法则.平面向量基本定理 条件 e 1,e 2是同一平面内的两个①不共线向量结论 对于这一平面内的任一向量a ,②有且只有一对实数λ1,λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2 基底若e 1,e 2③不共线,我们把{e 1,e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底思考1:0能与另外一个向量a 构成基底吗?提示 不能,基底是不共线的,0与任意向量都是共线的. 思考2:同一平面内向量的基底是唯一的吗?提示 不唯一,但基底一旦确定,平面内任一向量都可以用这一基底唯一表示.探究一 基底的概念例1 (多选题)设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点,则下列向量组中,可作为这个平行四边形所在平面内一个基底的是( )A.{AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ }B.{DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ }C.{CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ }D.{OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ } 答案 AC解析 A 中,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线;B 中,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线;C 中,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线;D 中,OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线.由平面向量基底的概念知,只有不共线的两个向量才能构成一个基底.故选AC. 思维突破能作为向量基底的条件(1)两个向量不共线,基底的选择是不唯一的. (2)零向量与任意向量共线,不能作为基底.1-1 设{e 1,e 2}是平面内一个基底,则下面四组向量中,不能作为基底的是( ) A.{e 1+e 2,e 1-e 2} B.{3e 1-2e 2,4e 2-6e 1} C.{e 1+2e 2,e 2+2e 1}D.{e 2,e 2+e 1} 答案 B ∵4e 2-6e 1=-2(3e 1-2e 2),∴两个向量共线,不能作为基底.1-2 已知e 1、e 2不共线,a =e 1+2e 2,b =2e 1+λe 2,要使a ,b 能作为平面内的一组基底,则实数λ的取值范围为 . 答案 (-∞,4)∪(4,+∞)解析 若a ,b 能作为平面内的一组基底,则a 与b 不共线,则a ≠k b (k ∈R ),又a =e 1+2e 2,b =2e 1+λe 2, ∴λ≠4.探究二 用基底表示向量例2 (2020江苏南京高一期中)如图所示,在△OAB 中,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,点M 是AB 上靠近点B 的一个三等分点,点N 是OA 上靠近点A 的一个四等分点.若OM 与BN 相交于点P,求OP ⃗⃗⃗⃗⃗ .解析 ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b , ∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13a +23b . ∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,可设OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t 3a +2t3b .又NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,可设NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =s NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +s NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +s(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=34(1-s)a +s b , ∴{34(1-s)=t3,s =23t,解得{t =910,s =35,∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =310a +35b . 思维突破用基底表示向量的方法(1)选基底:选取两个不共线的向量作为基底表示其他向量.(2)依据:①向量加法的三角形法则和平行四边形法则;②向量减法的几何意义;③数乘向量的几何意义.(3)方法:①运用向量的线性运算法则对所求向量进行转化; ②通过列方程(组)求解.2-1 (多选题)(2020山东青岛高一期末)D,E,F 分别为△ABC 的边BC,CA,AB 上的中点,且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则下列结论正确的有( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12a -b B.BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +12b C.CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12a +12b D.EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a 答案 ABC 如图所示,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-b +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12a -b ,A 正确;BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +12b ,B 正确;AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-b -a ,CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b +12(-b -a )=12b -12a ,C 正确;EF⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12a ,D 不正确. 2-2 如图所示,已知在▱ABCD 中,E,F 分别是BC,DC 边上的中点.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,试用a ,b 表示向量DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF⃗⃗⃗⃗⃗ .解析 ∵四边形ABCD 是平行四边形,E,F 分别是BC,DC 边上的中点, ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CF⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12b ,CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12a ,∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-b +a +12b =a -12b ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF⃗⃗⃗⃗⃗ =b -12a . 探究三 利用平面向量基本定理解决平面几何问题例3 (易错题)如图所示,L,M,N 分别为△ABC 的边BC,CA,AB 上的点,且BLBC =l,CM CA =m,ANAB =n,若AL ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,求证:l=m=n.证明 令BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,{a ,b }为一个基底,根据已知有BL ⃗⃗⃗⃗⃗ =l a ,CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m b . ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-a -b , 则有AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-n a -n b , ∴AL ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BL ⃗⃗⃗⃗⃗ =(l-1)a -b , BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +m b , CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-n a +(1-n)b , 又AL ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴(l-n)a +(m-n)b =0. 根据平面向量基本定理, 有l-n=m-n=0, 即l=m=n. 易错点拨常因不能恰当选择基底而找不到突破口,导致无从下手,造成失分.平面向量基本定理在解决几何问题中的作用 (1)平面向量基本定理提供了向量的几何表示方法.(2)由平面向量基本定理可知,任意向量都可以用一个与它共线的非零向量线性表示,而且这种表示是唯一的.因此,恰当选择基底是解决问题的关键.3-1 用向量法证明三角形的三条中线交于一点.证明 如图,设D,E,F 分别是△ABC 的三边BC,AC,AB 的中点,令AC⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b , 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a -b ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a -12b ,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12a +b .设AD 与BE 交于点G, 且AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =μBE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则有AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λa -λ2b ,BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =-μ2a +μb ,又有AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-μ2)a +(μ-1)b ,∴{λ=1-μ2,-λ2=μ-1,解得λ=μ=23,∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23a -13b ,CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =-a +23a -13b =-13a -13b =23×12(-a -b ). 而CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(-a -b ),∴CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CF ⃗⃗⃗⃗⃗ .∴点G 是CF 上一点,∴三角形的三条中线交于一点.1.{e 1,e 2}是平面内一个基底,下面说法正确的是( ) A.若实数λ1,λ2使λ1e 1+λ2e 2=0,则λ1=λ2=0B.空间内任一向量a 可以表示为a =λ1e 1+λ2e 2(λ1,λ2为实数)C.对实数λ1,λ2,λ1e 1+λ2e 2不一定在该平面内D.对平面内任一向量a ,使a =λ1e 1+λ2e 2的实数λ1,λ2有无数对答案 A 由基底的定义可以知道,e 1和e 2是平面上不共线的两个向量,所以若实数λ1,λ2使λ1e 1+λ2e 2=0,则λ1=λ2=0,不是空间任一向量都可以表示为a =λ1e 1+λ2e 2,而是平面中的任一向量a ,可以表示为a =λ1e 1+λ2e 2的形式,此时实数λ1,λ2有且只有一对,而对实数λ1,λ2,λ1e 1+λ2e 2一定在平面内,所以A 正确. 2.设D 为△ABC 所在平面内一点,若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AC⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 A 因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=3AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -3AC⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以3AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC⃗⃗⃗⃗⃗ . 3.已知向量a ,b 不共线,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +2b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5a +6b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =7a -2b ,则一定共线的三点是( ) A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,DD.A,C,D答案 A ∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5a +6b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =7a -2b ,∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a +4b ,又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +2b ,∴2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 又∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点B,∴A,B,D 三点共线. 4.已知向量a ,b 是一组基底,实数x,y 满足(3x-4y)a +(2x-3y)b =6a +3b ,则x-y 的值为 .答案 3解析 因为a ,b 是一组基底,所以a 与b 不共线. 因为(3x-4y)a +(2x-3y)b =6a +3b , 所以{3x -4y =6,2x -3y =3,解得{x =6,y =3,所以x-y=3.5.如图,平面内有三个向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为30°,且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3.若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R ),求λ+μ的值.解析 如图,以OC 为对角线作▱OMCN,使得M 在直线OA 上,N 在直线OB 上,则存在λ,μ,使OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 即OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵∠MON=120°,∠MOC=30°, ∴∠OCM=90°,∴在Rt △COM 中,|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3, ∴|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,|MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4OA ⃗⃗⃗⃗⃗ , 又|ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,∴ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即λ=4,μ=2, ∴λ+μ=6.数学运算——利用方程思想求向量等式中的参数在△ABC 中,点P 是AB 上一点,且CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,Q 是BC 的中点,AQ 与CP 的交点为M,又CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t CP⃗⃗⃗⃗⃗ ,求t 的值.审:条件中CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 用基底{CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ }表示,而CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,要求t 的值,需CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 也用基底{CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ }表示,利用方程思想求解.联:三点共线的向量问题,把向量用基底表示,建立方程组. 解:∵CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴3CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 即2CP ⃗⃗⃗⃗⃗ -2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴① , 即P 为AB 的一个三等分点,如图所示.设CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-x)CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =② , 而CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =③ . 又CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ -PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,由已知CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t CP⃗⃗⃗⃗⃗ , 可得x 2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(x2-1)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =t (-AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,∴④ ,解得t=34. 思:平面内任一向量利用平面向量基本定理都可以表示为同一平面内两个不共线向量e 1,e 2的线性组合λ1e 1+λ2e 2.具体求λ1,λ2时的两种方法:(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理. (2)利用待定系数法,即利用定理中λ1,λ2的唯一性列方程组求解. 答案 ①2AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ②x 2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(x-1)AC⃗⃗⃗⃗⃗ ③x 2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(x 2-1)AC⃗⃗⃗⃗⃗ ④{x2=t 3x 2-1=-t(变结论)本例中,试问点M 在AQ 的什么位置? 解析 由例题知CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +x -22·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 及x=12,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 知,CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12x(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+2-x 2CA⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-x)CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =x CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-x)CA⃗⃗⃗⃗⃗ =CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2.因此,点M 是AQ 的中点.在△ABC 中,M 是AB 边所在直线上任意一点,若CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ=( ) A.1 B.2C.3D.4答案 C ∵M 是△ABC 中 AB 边所在直线上任意一点, ∴存在实数μ,使得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μMB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 即CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ), 化简,得CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =11+μCA⃗⃗⃗⃗⃗ +μ1+μCB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∵CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2CA⃗⃗⃗⃗⃗ +λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴{11+μ=-2,μ1+μ=λ,解得λ=3,μ=-32.1.(多选题)(2019北京高一期末)如果e 1,e 2是平面α内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,可以作为平面内所有向量的一组基底的是( ) A.e 1与e 1+e 2 B.e 1-2e 2与e 1+2e 2 C.e 1+e 2与e 1-e 2D.e 1+3e 2与6e 2+2e 1答案 ABC 选项A 中,设e 1+e 2=λe 1,则{λ=1,1=0无解;选项B 中,设e 1-2e 2=λ(e 1+2e 2),则{1=λ,-2=2λ无解;选项C 中,设e 1+e 2=λ(e 1-e 2),则{λ=1,1=-λ无解;选项D 中,e 1+3e 2=12(6e 2+2e 1),所以两向量是共线向量.2.如图,在△OAB 中,P 为线段AB 上的一点,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( )A.x=23,y=13 B.x=13,y=23 C.x=14,y=34D.x=34,y=14答案 A 由题意知OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x=23,y=13.3.A,B,O 是平面内不共线的三个定点,且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,点P 关于点A 的对称点为Q,点Q 关于点B 的对称点为R,则PR ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.a -b B.2(b -a ) C.2(a -b )D.b -a答案 B 如图所示,a =12(OP⃗⃗⃗⃗⃗ +OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ),b =12(OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OR ⃗⃗⃗⃗⃗ ), 则b -a =12(OR ⃗⃗⃗⃗⃗ -OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12PR ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴PR⃗⃗⃗⃗⃗ =2(b -a ). 4.如图,在四边形ABCD 中,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,E 为BC 的中点,且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则3x-2y=( )A.12 B.32C.1D.2答案 C 由题意,得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,∴由平面向量基本定理,得{x =23,y =12.∴3x-2y=3×23-2×12=1.5.已知a ,b 不共线,且c =λ1a +λ2b (λ1,λ2∈R ),若c 与b 共线,则λ1= . 答案 0解析 因为a ,b 不共线,所以a ,b 可以作为一组基底,又c 与b 共线,所以c =λ2b ,所以λ1=0.6.如图,在平行四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,M 是DC 的中点,以a ,b 为基底表示向量AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = .答案 b +12a解析 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b +12a .7.如图所示,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB,AC 于点M,N,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则mn 的最大值为 .答案 1解析 ∵点O 是BC 的中点,∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ), 又∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AO⃗⃗⃗⃗⃗ =m 2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n 2AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 又∵M,O,N 三点共线, ∴m 2+n2=1,即m+n=2, ∴mn ≤(m2+n 2)2=1,当且仅当m=n=1时取等号,故mn 的最大值为1.8.在△OAB 的边OA,OB 上分别取M,N,使|OM|∶|OA|=1∶3,|ON|∶|OB|=1∶4,设线段AN 与BM 的交点为P,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,用a ,b 表示OP ⃗⃗⃗⃗⃗ . 解析 如图所示:设MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则有MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(b -13a),从而OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13a +λ(b -13a)=13(1-λ)a +λb .又NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k NA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k (a -14b), OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k a +14(1-k)b ,由平面向量基本定理及a,b 不共线可得{13(1-λ)=k,λ=14(1-k),解得λ=211,从而OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =311a +211b .9.(多选题)如图,在平行四边形ABCD 中,O 是对角线AC,BD 的交点,N 是线段OD 的中点,AN 的延长线与CD 交于点E,则下列说法正确的是( )A.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B .BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ C.AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗D.AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =53AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗答案 ABC 由向量减法的三角形法则知,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ;由向量加法的平行四边形法则知,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .故ABC 正确,D 错误.10.如图,在直角梯形ABCD 中,AB=2AD=2DC,E 为BC 边上一点,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,F 为AE 的中点,则BF⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.23AB⃗⃗⃗⃗⃗ -13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B.13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C.-23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗答案 C BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE⃗⃗⃗⃗⃗ ) =-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB⃗⃗⃗⃗⃗ ) =-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =-23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ . 11.在平行四边形ABCD 中,点E 是AD 边的中点,BE 与AC 相交于点F,若EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AD ⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈R ),则m n 的值是 .答案 -2解析 解法一:根据题意可知△AFE ∽△CFB,所以EF FB =AE CB =12,故EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AE⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -16AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AD ⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈R ), ∴m=13,n=-16,∴mn =13-16=-2. 解法二:如图,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AD ⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈R ), ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2n+1)AE ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∵F,E,B 三点共线,∴m+2n+1=1, ∴mn =-2.12.在△ABC 中,点M,N 满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗ .若MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x= ,y= .答案 12;-16解析 由AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 知M 为AC 上靠近点C 的三等分点,由BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗ 知N 为BC 的中点,作图如下:则有AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又因为MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x=12,y=-16.13.设D,E 分别是△ABC 的边AB,BC 上的点,AD=12AB,BE=23BC.若DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC⃗⃗⃗⃗⃗ (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为 . 答案 12解析 DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴λ1=-16,λ2=23,故λ1+λ2=12. 14.如图,已知△OCB 中,A 是CB 的中点,D 是将OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 分成2∶1的一个内分点,DC 和OA 交于点E,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b . (1)用a 和b 表示向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)若OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求实数λ的值.解析 (1)由题意知,A 是BC 的中点,且OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 由平行四边形法则,得OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a -b , DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ -OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a -b )-23b =2a -53b .(2)由题意知,EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,设EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x DC ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ -OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a -b )-λa =(2-λ)a -b ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a -53b ,所以(2-λ)a -b =x (2a -53b).因为a 与b 不共线,由平面向量基本定理, 得{2-λ=2x,-1=-53x,解得{x =35,λ=45,故λ=45.15.如图所示,在△ABO 中,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 与BC 相交于点M.设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b . (1)试用向量a ,b 表示OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;(2)在线段AC 上取点E,在线段BD 上取点F,使EF 过点M,设OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求证:1λ+3μ=7.解析 (1)不妨设OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m a +n b , 一方面,由于A,D,M 三点共线, 则存在α(α≠-1)使得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =αMD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,于是OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -1α(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +1αOA ⃗⃗⃗⃗⃗ -1αOM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+αOD⃗⃗⃗⃗⃗⃗1+α,又OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +α2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1+α=11+αa +α2(1+α)b ,则{m =11+α,n =α2(1+α),即m+2n=1;① 另一方面,由于B,C,M 三点共线, 则存在β(β≠-1)使得CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =βMB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,于是OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +βMB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +β(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ),∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +βOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1+β,又OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +βOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1+β=14(1+β)a +β1+βb ,则{m =14(1+β),n =β1+β,即4m+n=1.② 由①②可得m=17,n=37, ∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =17a +37b .(2)证明:由于E,M,F 三点共线, ∴存在实数η(η≠-1)使得EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ηMF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,于是OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OE ⃗⃗⃗⃗⃗+ηOF ⃗⃗⃗⃗⃗1+η,又OE⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +ηMF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +η(-OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ημOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1+η=λ1+ηa +μη1+ηb ,由(1)知17a +37b =λ1+ηa +μη1+ηb ,从而{λ1+η=17,μη1+η=37,消去η即得1λ+3μ=7.。