二重积分的应用

§9.3 二重积分的应用
定积分应用的元素法也可推广到二重积分,使用该方法需满足以下条件： 1、所要计算的某个量对于闭区域
具有可加性(即:当闭区域分成许多小
闭区域时, 所求量相应地分成许多部分量,且)。

2、在内任取一个直径充分小的小闭区域时, 相应的部分量可近似地表示为 , 其中, 称为所求量的元素, 并记作。

(注: 的选择标准为:
是直径趋于零时较更高阶的无穷小量)
3、所求量可表示成积分形式
一、曲面的面积
设曲面由方程给出,为曲面在面上的投影区
域,函数在上具有连续偏导数和,现计算曲
面的面积。

U D D σd U U ∆∑∆=U U D σd U ∆σd y x f ),(σd y x ∈),(σd y x f ),(U ∆dU σd y x f ),(σd y x f U ),(-∆σd σd U U f x y d D
=⎰⎰(,)σ
S z f x y =(,)D xy S xoy f x y (,)D xy f x y x (,)f x y y (,)A
在闭区域
上任取一直径很小的闭区域(它的面积也记作),在
内取一点,对应着曲面上一点,曲面在点处的切平面设为。

以小区域的边界为准线作母线平行于
轴的柱面,
该柱面在曲面上截下一小片曲面,在切平面上截下一小片平面,由于的直径很小,那一小片平面面积近似地等于那一小片曲面面积。

曲面在点
处的法线向量( 指向朝上的那个 )为
它与
轴正向所成夹角的方向余弦为
而
所以
这就是曲面的面积元素, 故
xy
D σd σd σd ),(y x P S )),(,,(y x f y x M S M
T d σz S T d σS M
n f x y f x y x y =--{(,),(,),}
1z γcos (,)(,)
γ=
++1
122
f x y f x y x y dA d =
σ
γcos dA f x y f x y d x y =++⋅122(,)(,)σ
S σ
d y x f y x f A xy
D y x ⎰⎰++=),(),(122
故
【例1】求球面含在柱面
() 内部的面积。

解:所求曲面在
面的投影区域
曲面方程应取为 , 则
,
曲面在
面上的投影区域为
A z x z y dxdy D xy
=+⎛⎝ ⎫
⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭
⎪⎰⎰
12
2
∂∂∂∂x y z a 2222++=x y ax 22+=a >0xoy D x y x y ax xy =+≤{(,)|}
22z a x y =--222z x a x y
x =
---2
2
2
z y a x y y =
---222
122222
++
=
--z z a a x y x y
xoy xy D
据曲面的对称性,有
若曲面的方程为或,可分别将曲面投影到面或面,设所得到的投影区域分别为或,类似地有
或
二、平面薄片的重心
dxdy
y
x a a A xy
D ⎰⎰
--=2
2
2
2rdr
r
a a d a ⋅-=⎰
⎰-
θ
π
π
θ
cos 0
2
2
2
2
2[]
⎰-
--=2
2
cos 0
2
22π
π
θθ
d r a a a ⎰-
-=2
2
)sin (2π
π
θ
θd a a a ⎰-=2
)sin (4π
θ
θd a a a )2(22-=πa x
g y z =(,)y h z x =(,)yoz
zox D yz D zx
A x y x z dydz D yz
=+⎛⎝ ⎫
⎭⎪
+⎛⎝ ⎫⎭
⎪⎰⎰12
2
∂∂∂∂A y z y x dzdx D zx
=+⎛⎝ ⎫⎭
⎪
+⎛⎝ ⎫⎭
⎪⎰⎰
12
2
∂∂∂∂
1、平面上的质点系的重心
其质点系的重心坐标为
,
2、平面薄片的重心
设有一平面薄片,占有
面上的闭区域,在点处的面密度为
,假定在上连续,如何确定该薄片的重心坐标。

这就是力矩元素,于是
x M m
m x m y i i
i n
i
i n
=
=
==∑∑11
y M m
m y m x i i
i n
i
i n
====∑∑11
xoy D (,)x y ρ(,)x y ρ(,)x y D (,)x
y M y x y d M x x y d x y D
D
==⎰⎰⎰⎰ρσρσ
(,),
(,)
又平面薄片的总质量
从而,薄片的重心坐标为
特别地,如果薄片是均匀的,即面密度为常量,则
十分显然, 这时薄片的重心完全由闭区域的形状所决定, 因此, 习惯上将
均匀薄片的重心称之为该平面薄片所占平面图形的形心。

【例2】设薄片所占的闭区域为介于两个圆,
()之间的闭区域,且面密度均匀,求此均匀薄片的重心(形心)。

解: 由
的对称性可知:
而
m x y d D
=⎰⎰ρσ
(,)x M m
x x y d x y d y M m y x y d x y d y D
D
x D D
=
=
==
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ρσ
ρσ
ρσ
ρσ
(,)(,),
(,)(,)x A xd y A yd A d D D
D D
=
==⎰⎰⎰⎰⎰⎰11
σσσ
,()
为闭区域的面积
D r a =cos θr b =cos θ0<<a
b D =0A d d rdr b a D
a b ===
-⎰⎰⎰⎰-
σθπ
π
π
θ
θ
2
2
224
cos cos ()
⎰⎰⎰⎰-
==θ
θ
π
πθθ
σcos cos 22
2
cos b a D
y dr
r d xd M
故
三、平面薄片的转动惯量
1、平面质点系对坐标轴的转动惯量
设平面上有个质点, 它们分别位于点处, 质量分别为。

设质点系对于
轴以及对于轴的转动惯量依次为
2、平面薄片对于坐标轴的转动惯量
设有一薄片,占有面上的闭区域,在点处的面密度为,
假定
在上连续。

现要求该薄片对于轴、轴的转动惯量,。

与平面薄片对坐标轴的力矩相类似,转动惯量元素为
⎰⎰-
-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2
2
4332
2
cos cos 3cos )(31cos 31π
ππ
πθ
θθθθθd a b d r b a 2!!4!)!14()(32cos )(323320
43
3πθθπ
⋅--=-=⎰a b d a b )
(8
33a b -=
π
)(22
2a b a ba b A M x y
+++=
=n (,),(,),,(,)
x y x y x y n n 1122 m m m n 12,,, x y I y m I x m x i n
i
y i n
i
i i
====∑∑2
1
21,xoy D ),(y x ),(y x ρ),(y x ρD x y x I y
I
【例3】求由抛物线及直线所围成的均匀薄片(面密度为常数)
对于直线
的转动惯量。

解: 转动惯量元素为
四、平面薄片对质点的引力
设有一平面薄片,占有
面上的闭区域,在点 处的面密度为
,假定在上连续,现计算该薄片对位于轴上点处的单位质量质点的引力。

y x =2y =1ρy =-
1dI y d =+()12ρσI y d D
=+⎰⎰()12ρσ
=+-⎰⎰ρdx y dy
x 1
1
21
12
()[]
=+⎡⎣⎢⎤
⎦⎥=-+--⎰⎰ρρ13138131
11
23112()()y dx x dx
x =-=1636435368
105ρρρxoy D ),(y x ),(y x ρ),(y x ρD z )
1,0,0(0M
于是,薄片对质点的引力在三个坐标轴上的分力的力元素为
故
F F F F x y z
,,3),(r xd y x k dF x σ
ρ=3),(r yd y x k dF y σρ=
3)10)(,(r d y x k dF z σ
ρ-=
⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰
⋅-=⋅=⋅=D z D
y D
x r d y x k F r yd y x k F r xd y x k F 333
),(),(),(σ
ρσ
ρσ
ρ。