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§3 二重积分的变量代换也有一种情形，函数f 在D 上可积，但无论采用哪种积分次序都“算不出来”。
例：22()xy DI e dxdy -+=⎰⎰，D={}222(,)|x y x y a +≤分析：∵f(x,y)=22()xy e -+在D 上几乎处处连续，有界函数{}222(,)|x y x y a +≤=∂D 是零测度集，∴f ∈R（D ）222222()aa x x y aa xI dx e dy --+---=⎰⎰=222222aa x x y aa xedx e dy ------⎰⎰or 222222()aa x x y aa x I dy edx --+---=⎰⎰=222222aa x y x aa x edy e dx ------⎰⎰计算不出来！f ∈R （D ），但化为二次积分后算不出来。
说明我们的计算方法有问题。
因此，我们有必要寻找更有效的计算二重积分的方法。
联想到定积分的计算方法，换元法、分部积分法、N-L 公式等，特别是换元法，是一种化难为易的有效方法。
在二重积分中能否利用这种化难为易的思想呢？是可以的。
这就是我们今天给大家要讲解的，二重积分的变量代换，利用这种方法，就可以解决上面的计算问题。
在定积分中，换元积分法对简化定积分计算起着重要的作用。
对于二重积分也有相应的换元公式，用于简化积分区域或被积函数。
1． 极坐标交换先介绍极坐标变换：cos ,sin x r y r θθ== (0,02)r θπ≤<+∞≤≤。
设D 是2R 中的有界闭区域，且D ∂是2R 中的零测度集；再设f 在D 上几乎处处连续的有界函数，根据上节内容可知：f ∈R （D ）∴(,)Df x y dxdy ⎰⎰有意义的；它的值不因对区域D 的分割方式不同而变化。
在直角坐标系中，我们是以平行于x 轴和y 轴的两族直线来分划区域D 为一系列小矩形的，在极坐标系中，若用极坐标网分割，即用r=常数的一族同心圆以及θ=常数的一族过极点的射线来分划D （如左图示），得出若干个小块ij σ，这时小块的面积若极为ij σ∆，（,i j ij x y σ∈）则Rieman 和为 11(,)n mijiji j f x y σ==∆∑∑ ，注意到ij σ∆=221[()]2j j i j i r r r θθ+∆∆-∆=1(2)2j j j i r r r θ+∆∆∆=212j j i j i r r r θθ∆∆+∆∆易见,当i θ∆，j r ∆充分小时，ij σ可近似地看成一个矩形，边长分割为：j r ∆和j i r θ∆，即 ij σ∆≈j j i r r θ∆∆，若有Rieman 和11(,)n mijiji j f x y σ==∆∑∑中以 j j i r r θ∆∆代替ij σ，并按极坐标交换：cos ,sin x r y r θθ==cos ,sin i j i j j i x r y r θθ==，11(,)nmijiji j f x y σ==∆∑∑≈11(cos ,sin )nmjijijjii j f r r r r θθθ==∆∆∑∑。
§4 二重积分的变量变换教学目的：1. 了解二重积分的一般的变量变换公式，2. 掌握二重积分的极坐标变换，3. 理解二重积分的一般的变量变换公式的证明. 教学重点：二重积分的极坐标变换. 教学难点：二重积分的一般的变量变换公式. 教学过程一、二重积分的变量变换公式引理 设变换T ：()v u x x ,=，()v u y y ,=将uv 平面上由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域∆，一对一地映成xy 平面上的闭区域D ，函数()v u x x ,=，()v u y y ,=在∆内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式()v u J ,=()()v u y x ,,∂∂≠0，()v u ,∈∆，则区域的面积()D μ=()dudvv u J ⎰⎰∆, . （5）证明 现给出()v u y y ,=在∆内分别具有二阶连续偏导数时的证明，()v u y y ,=在∆内分别具有一阶连续偏导数的证明以后给出．由于变换T 是一对一的，且()v u J ,≠0，因而T 把∆的内点变为D 的内点，所以∆的按段光滑边界曲线∆L 变换到D 时，其边界曲线D L 也是按段光滑曲线，设曲线∆L 的参数方程为u =()t u ，v =()t v ()βα≤≤t ．由于∆L 按段光滑，所以()t u '，()t v '在[]βα,上至多除去有限个第一类间断点外，在其他点上都是连续的．因为()∆=L T L D ，所以D L 的参数方程为:()()()(),,t v t u x t x x ==()()()(),,t v t u y t y ==()βα≤≤t ．若规定t 从α变β到时，对应于D L 的正向，则根据格林公式，取()()x y x Q y x P ==,,0,，有()D μ=()()dtt y t x xdy DL'=⎰⎰βα=()()()()()dt t v v y t u u y t v t u x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡'∂∂+'∂∂βα,, （6） 另一方面，在uv 平面上()⎰∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂L dv v y du u y v u x ,=±()()()()()dt t v v y t u u y t v t u x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡'∂∂+'∂∂βα, , （7） 其中正号及负号分别由t 从α变β到时，是对应于D L 的正向或是负方向所决定．由（6）及（7）得到()D μ=±()⎰∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂L dv v y du u yv u x ,=±()()⎰∆∂∂+∂∂L dv v yv u x du u y v u x ,,．令()()u y v u x v u P ∂∂=,,，()()v yv u x v u Q ∂∂=,,在平面uv 上对上式应用格林公式，得到()D μ=±⎰⎰∆⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂dudv v P u Q由于函数()v u y y ,=具有二阶连续偏听偏信导数，即有u v yv u y ∂∂∂=∂∂∂22，因此 v Pu Q ∂∂-∂∂=()v u J ,，于是()D μ=±()⎰⎰∆dudv v u J ,．又因为()D μ总是非负的，而()v u J ,在∆上不为零且连续，故其函数值∆在上不变号，所以()D μ=()dudv v u J ⎰⎰∆,．定理21.13 设()y x f ,在有界闭区域D 上可积，变换T ：()v u x x ,=，()v u y y ,=将uv 平面上由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域∆一对一地映成xy平面上的闭区域D ，函数()v u x x ,=，()v u y y ,=在∆内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式()v u J ,=()()v u y x ,,∂∂≠0，()v u ,∈∆，则()⎰⎰Ddxdy y x f ,=()()()()⎰⎰∆dudv v u J v u y v u x f ,,,,．证明 用曲线网∆把分成n 个小区域i ∆，在变换T 作用下区域D 也相应地分成个n 小区域i D ，记i ∆及i D 的面积为()i ∆μ及()i D μ()n i ,,1 =由引理及二重积分的中值定理，有()iD μ=()dudv v u J i⎰⎰∆,=()ii v u J ,()i∆μ,其中()i i v u ,∈i ∆()n i ,,1 =．令x i =ξ()i i v u ,，y i =η()i i v u ,，则()i i ηξ,∈i D ．作二重积分()y x f ,的积分和σ=()()∑=ni iiiD f 1,μηξ=()()()()()∑=∆ni iiiiiiiv u J v u y v u x f 1,,,,μ,上式右边的和式是上的可积函数()()()()v u J v u y v u x f ,,,,的积分和．又由变换T 的连续性可知，当区域∆的分割的细度0→∆T 时，区域D 相应的分割的细度D T 也趋于零．因此得到()⎰⎰Ddxdy y x f ,=()()()()⎰⎰∆dudv v u J v u y v u x f ,,,,．例1 求⎰⎰+-Dyx yx dxdye，其中D 是由1,0,0=+==y x y x 所围区域.解 作变换y x v y x u +=-=,即()()u v y v u x -=+=21,21,则()v u J ,=021>,⎰⎰+-Dyx yx dxdy e=⎰⎰∆⋅dudv e vu21=⎰⎰-1021du e dv v v v u=⎰⎰-1021du e dv vv v u=()421111---=-⎰e e dv e e v .例2 求抛物线mx y =2，nx y =2和直线x y α=，x y β=所围成区域D 的面积()D μ()βα<<<<0,0n m ．解 D 的面积()D μ=⎰⎰Ddxdy作变换v u y v u x ==,2，()v u J ,=4v u. ()D μ=⎰⎰Ddxdy =⎰⎰∆dudv v u 4=⎰⎰βαdu v u dv nm 4=()()333326βααβ--m n.二、 用极坐标计算二重积分T :⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ,πθ20,0≤≤+∞<≤r （8）定理21.14 设()y x f ,满足定理21．13的条件，且在极坐标变换（8）下，xy 平面上有界区域D 与θr 平面上区域∆对应，则成立()⎰⎰Ddxdy y x f ,=()⎰⎰∆θθθrdrd r r f sin ,cos .证明 若D 为圆域(){}222,R y x y x ≤+，则∆为θr 平面上的矩形区域[][]π2,0,0⨯R ．设εD 为在圆环(){}22220,R y x y x ≤+≤<ε中除去中心角为ε的扇形A A B B ''所得的区域，则在变换（8）下，εD 对应于平面上的矩形区域ε∆=[][]επε-⨯2,0,R ．但极坐标变换（8）在εD 与ε∆之间是一对一变换，且ε∆在上函数行列式()0,>θr J ．于是由定理21．13有()⎰⎰εD dxdy y x f ,=()⎰⎰∆εθθθrdrd r r f sin ,cos ，因为()y x f ,在有界闭区域D 上有界，在上式中令0→ε即得()⎰⎰Ddxdy y x f ,=()⎰⎰∆θθθrdrd r r f sin ,cos .若D 是一般的有界区域，则取足够大的0>R ，使D 包含在圆域R D =(){}222,Ry x y x ≤+内，并且在R D 上定义函数()y x f ,=()()()⎩⎨⎧∉∈D y x D y x y x f ,,0,,,， （ⅰ）若原点D O ∉,xy 平面上射线θ=常数与D 的边界至多交于两点.∆表示为()()βθαθθ≤≤≤≤,21r r r ，于是有()⎰⎰Ddxdy y x f ,=()()()⎰⎰βαθθθθθ21sin ,cos r r rdr r r f d .若原点D O ∉,xy 平面上的圆r =常数与D 的边界至多交于两点．∆表示为()()2121,r r r r r ≤≤≤≤θθθ，于是有()⎰⎰Ddxdy y x f ,=()()()⎰⎰2121sin ,cos r r r rd r r f rdr θθθθθ．（ⅱ）若原点O 为D 的内点，D 的边界方程表示为()θr r =，则∆表示为()πθθ20,0≤≤≤≤r r ，于是有()⎰⎰Ddxdy y x f ,=()()⎰⎰πθθθθ20sin ,cos r rdr r r f d .（ⅲ）若原点O 在D 的边界上，则∆为()βθαθ≤≤≤≤,0r r ，于是有()⎰⎰Ddxdy y x f ,=()()⎰⎰βαθθθθr rdr r r f d 0sin ,cos .例3 计算I =⎰⎰--Dd yx σ2211，其中为圆域122≤+y x .解⎰⎰--Dd yx σ2211=⎰⎰-πθ20121dr r rd =[]⎰--πθ202011d r =⎰πθ20d =π2. 例4 球2222R z y x =++被圆柱面Rx y x =+22所割下部分的体积．解 V =4⎰⎰--Dd y x R σ222=4⎰⎰-2cos 022πθθR rdr r R d =334R ()⎰-203sin 1πθθd=⎪⎭⎫⎝⎛-322343πR .例5 计算I =()⎰⎰+-Dy xd e σ22，其中D 为圆域：222R y x ≤+解 I =⎰⎰-πθ202Rrdr re d =()21Re --π，作广义极坐标变换T :⎩⎨⎧==θθsin cos br y ar x ,πθ20,0≤≤+∞<≤r ，()abr r J =θ,，例6 求椭球体1222222≤++c z b y a x 的体积.解 V =8⎰⎰--D dxdy b y a x c 22221,广义极坐标变换V =8⎰⎰-201021πθabrdr r c d =abc π34，当R c b a ===时得到球的体积为334R π.作业1，2，3，4，5，6.。
第二十一章 重积分 4二重积分的变量变换一、二重积分的变量变换公式定积分的变量变换：设f(x) 在[a,b]上连续，x=φ(t)当t 从α变到β时，严格单调地从a 变到b ，且φ(t)连续可导，则⎰b a dx x f )(=⎰'βαϕϕdt t t f )())((. 当α<β(即φ’(t)>0)时，记X=[a,b], Y=[α,β]，则X=φ(Y), Y=φ-1(X)，则 上面的公式可以写成⎰X dx x f )(=⎰-')(1)())((X dt t t f ϕϕϕ.当α>β(即φ’(t)<0)时，又可改写成⎰X dx x f )(=-⎰-')(1)())((X dt t t f ϕϕϕ，即当φ(t)严格单调且连续可微时，有⎰X dx x f )(=⎰-')(1)())((X dt t t f ϕϕϕ.引理：设变换T ：x=x(u,v), y=y(u,v)将uv 平面上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域△一对一地映成xy 平面上的闭区域D ，函数x(u,v), y(u,v)在△内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式 J(u,v)=),(),(v u y x ∂∂≠0, (u,v)∈△,则区域D 的面积μ(D)=⎰⎰∆dudv v u J ),(. 证：当y(u,v)在△内具有二阶连续偏导数时， (后面章节证明只具有一阶连续导数的情况)∵T 为一对一变换, 且J(u,v)≠0, ∴T 把△的内点变成D 的内点， △的按段光滑边界曲线L △变换到D 时，其边界曲线L D 也按段光滑. 设曲线L △的参数方程为u=u(t), v=v(t) (α≤t ≤β), 由L △光滑知， u ’(t), v ’(t)在[α,β]上至多除去有限个第一类间断点外，在其他点上连续. ∵L D =T(L △), ∴x=x(t)=x(u(t),v(t)), y=y(t)=y(u(t),v(t)) (α≤t ≤β). 若规定t 从α变到β时，对应于L D 的正向，则根据格林公式，取P(x,y)=0, Q(x,y)=x, 有 μ(D)=⎰DL xdy =⎰'βαdt t y t x )()( =⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡'∂∂+'∂∂βαdt t v v y t u u y t v t u x )()())(),((, 又在uv 平面上，⎰∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂L dv v y du u y v u x ),(=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡'∂∂+'∂∂±βαdt t v v y t u u y t v t u x )()())(),((, 其中t 从α变到β时，对应于L △的方向决定了上式的符号性质. ∴μ(D)=⎰∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂±L dv v y du uy v u x ),(=⎰∆∂∂+∂∂±L dv v y v u x du u y v u x ),(),(. 令P(u,v)=x(u,v)u y ∂∂, Q(u,v)=x(u,v)vy∂∂, 在uv 平面上应用格林公式，得 μ(D)=⎰⎰∆⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂±dudv v P u Q , 又y(u,v)具有二阶连续偏导数，即有 u v y v u y ∂∂∂=∂∂∂22，∴v P u Q ∂∂-∂∂=J(u,v). ∴μ(D)=⎰⎰∆±dudv v u J ),(. 又μ(D)非负，而J(u,v)在△上不为零且连续，即其函数值在△上不变号， ∴μ(D)=⎰⎰∆dudv v u J ),(.定理21.13：设f(x,y)在有界闭域D 上可积，变换T ：x=x(u,v), y=y(u,v)将uv 平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域△一对一地映成xy 平面上的闭区域D ，函数x(u,v), y(u,v)在△内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式J(u,v)=),(),(v u y x ∂∂≠0, (u,v)∈△,则 ⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰∆dudv v u J v u y v u x f ),()),(),,((.证：用曲线网把△分成n 个小区域△i ,在变换T 作用下，区域D 也相应地被分成n 个小区域D i . 记△i 及D i 的面积为μ(△i )及μ(D i ) (i=1,2,…,n).由引理及二重积分中值定理，有μ(D i )=⎰⎰∆idudv v u J ),(=|J(u i ,v i )|μ(△i ),其中(u i ,v i )∈△i (i=1,2,…,n). 令ξi =x(u i ,v i ), ηi =y(u i ,v i ), 则 (ξi ,ηi )∈D i (i=1,2,…,n). 作二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(的积分和，则得△上f(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|的积分和，即σ=)(),(1i ni i i D f μηξ∑==)(),()),(),,((1i ni i i i i i i v u J v u y v u x f ∆∑=μ. 由变换T 连续知，当区域△的分割T △：{△1,△2,…,△n }的细度∆T →0时， 区域D 相应的分割T D ：{D 1,D 2,…,D n }的细度D T →0. ∴⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰∆dudv v u J v u y v u x f ),()),(),,((.例1：求⎰⎰+-Dyx y x dxdy e，其中D 是由x=0, y=0, x+y=1所围区域.解：令u=x-y, v=x+y, 则得变换T ：x=21(u+v), y=21(v-u), 且J(u,v)=),(),(v u y x ∂∂=v y uyv x ux∂∂∂∂∂∂∂∂=21212121- =21>0. 在变换T 的作用下，得 区域D={(x,y)|x ≥0, y ≥0, x+y ≤1}的原象△={(u,v)|-v ≤u ≤v, 0≤v ≤1}, ∴⎰⎰+-Dyx y x dxdy e=⎰⎰∆⋅dudv e vu21=⎰⎰-v v v udu e dv 1021=⎰--101)(21vdv e e =)(411--e e .例2：求抛物线y 2=mx, y 2=nx 和直线y=ax, y=bx 所围区域D 的面积μ(D) (0<m<n, 0<a<b). 解：D={(x,y)|2b m ≤x ≤2a n ,ax ≤y ≤bx,nx ≤y 2≤mx}.作变换x=2v u , y=v u ,把D 对应到uv 平面上的△=[m,n]×[a,b]且J(u,v)=232121vu vv uv--=4v u >0. ∴μ(D)=⎰⎰Ddxdy =⎰⎰∆dudv v u4=⎰⎰n m b a du v u dv 4=⎰-b a dv v m n 42221 =3333226))((b a a b m n --.二、用极坐标计算二重积分定理21.14：设f(x,y)满足定理21.13的条件，且有极坐标变换 T ：⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x , 0≤r<+∞, 0≤θ≤2π, 则J(r,θ)=θθθθcos sin sin cos r r -=r>0.xy 平面上的有界闭域D 与r θ平面上区域△对应，则成立⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰∆θθθrdrd r r f )sin ,cos (.证：若D 为圆域{(x,y)|x 2+y 2≤R 2}, 则△为r θ平面上的区域[0,R]×[0,2π]. 设D ε为在圆环{(x,y)|0<ε2≤x 2+y 2≤R 2}中除去圆心角为ε的扇形所得 区域BB ’A ’A(如图1)，则在变换T 下，D ε对应r θ平面上的矩形区域 △ε=[ε,R] ×[0,2π-ε](如图2). T 在D ε与△ε之间为一一变换，且J(r,θ)>0. 由定理21.13，有⎰⎰εD dxdy y x f ),(=⎰⎰∆εθθθrdrd r r f )sin ,cos (.∵f(x,y)在有界闭域D 上有界，令ε→0即得⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰∆θθθrdrd r r f )sin ,cos (.若D 是一般的有界闭区域，则取足够大的R>0，使D 包含在圆域D R ={(x,y)|x 2+y 2≤R 2}内, 并在D R 上定义函数： F(x,y)=⎩⎨⎧∉∈D y x ，Dy x ，y x f ),(0),(),( ,F 在D R 内至多在有限条按段光滑曲线上间断， ∴⎰⎰RD dxdy y x F ),(=⎰⎰∆Rrdrd r r F θθθ)sin ,cos (, 其中△R 为r θ平面上的矩形区域[0,R] ×[0,2π]. 由F 的定义即得：⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰∆θθθrdrd r r f )sin ,cos (.二重积分在极坐标下化为累次积分.1、若原点O ∉D ，且xy 平面上射线θ=常数与D 的边界至多交于两点(如图1)，则△必可表示为r 1(θ)≤r ≤r 2(θ), α≤θ≤β, 于是有⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰)()(21)sin ,cos (θθβαθθθr r rdr r r f d .同理，若xy 平面上的圆r=常数与D 的边界至多交于两点(如图2)，则△必可表示为θ1(r)≤θ≤θ2(r),r 1≤r ≤r 2, 于是有⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰)()(2121)sin ,cos (r r r r d r r f rdr θθθθθ.(2)若原点为D 的内点(如图3)，D 的边界的极坐标方程为r=r(θ)，则 △必可表示为0≤r ≤r(θ),0≤θ≤2π, 于是有⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰)(020)sin ,cos (θπθθθr rdr r r f d .(3)若原点O 在D 的边界上(如图4)，则 △可表示为0≤r ≤r(θ),α≤θ≤β, 于是有⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰)(0)sin ,cos (θβαθθθr rdr r r f d .例3：计算I=⎰⎰--Dy x d 221σ, 其中D 为圆域x 2+y 2≤1.解：∵原点是D 的内点， ∴⎰⎰--Dy x d 221σ=⎰⎰--1222220sin cos 1dr r r rd θθθπ=⎰πθ20d =2π.例4：求球体x 2+y 2+z 2≤R 2被圆柱面x 2+y 2=Rx 所割下部分的体积(称为维维安尼体)解：由对称性，求出第一卦限内的部分体积，就能得到所求立体体积. 第一卦限内底为D={(x,y)|y ≥0, x 2+y 2≤Rx}, 曲顶方程：z=222y x R --. ∴V=4⎰⎰--Dd y x R σ222=4⎰⎰-θπθcos 02220R drr R r d=⎰-2033)sin 1(34πθθd R =)322(343-πR .例5：计算I=⎰⎰+-Dy x d eσ)(22，其中D 为圆域x 2+y 2≤R 2.解：I=⎰⎰+-Dy x d e σ)(22=⎰⎰-Rr dr re d 0202πθ=⎰--πθ20)1(212d e R =)1(2R e --π.注：与极坐标类似的，可作以下广义极坐标变换： T ：⎩⎨⎧==θθsin cos br y ar x , 0≤r<+∞, 0≤θ≤2π，则J(r,θ)=θθθθcos sin sin cos br b ar a -=abr>0.例6：求椭球体222222cz b y a x ++≤1的体积.解：第一卦限部分是以z=c 22221by a x --为曲顶，D={(x,y)|0≤y ≤b 221ax -, 0≤x ≤a}为底的曲顶柱体，由对称性得：V=8c ⎰⎰--Dd by a x σ22221=8c ⎰⎰-102201abrdr r d πθ=38abc ⎰20πθd =34πabc.注：当a=b=c=R 时，得到球体的体积公式：34πR 3.习题1、对⎰⎰Dd y x f σ),(进行极坐标变换并写出变换后不同顺序的累次积分：(1)当D 为由不等式a 2≤x 2+y 2≤b 2, y ≥0所确定的区域； (2)D={(x,y)|x 2+y 2≤y, x ≥0}； (3)D={(x,y)|0≤x ≤1, 0<x+y ≤1}.解：(1)当D 为由不等式a 2≤x 2+y 2≤b 2, y ≥0所确定的区域时，⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰b adr r r rf d )sin ,cos (0θθθπ=⎰⎰πθθθ0)sin ,cos (d r r rf dr b a.(2)当D={(x,y)|x 2+y 2≤y, x ≥0}时，⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰θπθθθsin 20)sin ,cos (adr r r rf d =⎰⎰2arcsin 1)sin ,cos (πθθθrd r r rf dr .(3)当D={(x,y)|0≤x ≤1, 0<x+y ≤1}时，⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰-θπθθθsec 004)cos ,cos (dr r r rf d +⎰⎰+θθπθθθsin cos 1020)cos ,cos (drr r rf d=⎰⎰-24220)sin ,cos (ππθθθd r r rf dr +⎰⎰--rd r r rf dr 21arccos44122)sin ,cos (ππθθθ+⎰⎰+221arccos4122)sin ,cos (ππθθθrd r r rf dr +⎰⎰--r d r r rf dr 1arccos421)sin ,cos (πθθθ.2、用极坐标计算下列二重积分：(1)⎰⎰+Dd y x σ22sin , 其中D={(x,y)|π2≤x 2+y 2≤4π2}；(2)⎰⎰+Dd y x σ)(, 其中D={(x,y)|x 2+y 2≤x+y}；(3)⎰⎰Dd xy σ, 其中D 为圆域x 2+y 2≤a 2；(4)⎰⎰+'Dd y x f σ)(22, 其中D 为圆域x 2+y 2≤R 2.解：(1)当D={(x,y)|π2≤x 2+y 2≤4π2}时，⎰⎰+Dd y x σ22sin =⎰⎰πππθ220sin rdr r d =⎰-πθπ203d =-6π2.(2)当D={(x,y)|x 2+y 2≤x+y}时，应用极坐标变换后积分区域为： D ’={(r,θ)|-45π≤θ≤-4π, r ≤cos θ+sin θ}，即有 ⎰⎰+Dd y x σ)(=⎰⎰+--+θθππθθθsin cos 02445)sin (cos dr r d =⎰--+4454)sin (cos 31ππθθθd =2π.(3)当D 为圆域x 2+y 2≤a 2时，根据D 的对称性，有⎰⎰Dd xy σ=4⎰⎰adr r d 032sin cos θθθπ=θθπd a ⎰2042sin 2=24a .(4)当D 为圆域x 2+y 2≤R 2时，有⎰⎰+'Dd y x f σ)(22=⎰⎰'πθ2020)(d r f r dr R =π⎰'Rdr r f 022)(=π[f(R 2)-f(0)].3、在下列积分中引入新变量u,v 后，试将它化为累次积分. (1)⎰⎰--xx dy y x f dx 2120),(, 若u=x+y, v=x-y ；(2)⎰⎰D d y x f σ),(, 其中D={(x,y)|x +y ≤a }, 若x=ucos 4v, y=usin 4v ；(3)⎰⎰Dd y x f σ),(, 其中D={(x,y)|x+y ≤a, x ≥0, y ≥0}, 若x+y=u, y=uv.解：(1)若u=x+y, v=x-y ，则x=2v u +, y=2vu -, J(u,v)=21212121-=-21<0. 又变换后的区域D ’={(u,v)|1≤u ≤2, -u ≤v ≤4-u}, 如图：∴⎰⎰--xx dy y x f dx 2120),(=⎰⎰---+uu dv vu v u f du 421)2,2(21=⎢⎣⎡-+⎰⎰---212)2,2(21v du v u v u f dv+⎰⎰-+-2121)2,2(du v u v u f dv +⎥⎦⎤-+⎰⎰-v du v u v u f dv 4132)2,2(. (2)若x=ucos 4v, y=usin 4v, 则u=(x +y )2, v=arctan 41⎪⎭⎫⎝⎛x y ,∴变换后的区域D ’={(u,v)|0≤u ≤a, 0≤v ≤2π},又J(u,v)=vv u v v v u v cos sin 4sin sin cos 4cos 3434-=4usin 3vcos 3v>0，∴⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰2044330)sin ,cos (cos sin 4πdvv u v u vf v u du a=⎰⎰adu v u v u vf v u dv 0443320)sin ,cos (cos sin 4π. (3)若x+y=u, y=uv, 即x=u(1-v)，则u=x+y, v=yx y +, ∴变换后的区域D ’={(u,v)|0≤u ≤a, 0≤v ≤1}, 又J(u,v)=uvu v --1=u ，∴⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰-100),(dv uv uv u uf du a=⎰⎰-adu uv uv u uf dv 010),(.4、试作适当变换，计算下列积分.(1)⎰⎰-+Dd y x y x σ)sin()(, D={(x,y)|0≤x+y ≤π, 0≤x-y ≤π}；(2)⎰⎰+Dyx y d eσ, 其中D={(x,y)|x+y ≤1, x ≥0, y ≥0}.解：(1)令u=x+y, v=x-y ，则x=2v u +, y=2vu -, J(u,v)=21212121-=-21<0. 又变换后的区域D ’={(u,v)|0≤u ≤π, 0≤v ≤π},∴⎰⎰-+Dd y x y x σ)sin()(=⎰⎰ππ00sin 21vdv u du =⎰π0udu =22π.(2)令u=x+y, v=y ，则x=u-v, y=v, J(u,v)=111-= 1>0.又变换后的区域D ’={(u,v)|0≤u ≤1, 0≤v ≤u}, ∴⎰⎰+Dyx yd eσ=⎰⎰uuv dv e du 010=⎰-1)1(du e u =21-e .5、求由下列曲面所围立体V 的体积：(1)V 是由z=x 2+y 2和z=x+y 所围的立体；(2)V 是由曲面z 2=42x +92y 和2z=42x +92y 所围的立体.解：(1)由z=x 2+y 2和z=x+y 得x 2+y 2=x+y ，∴积分区域D ：221⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +221⎪⎭⎫⎝⎛-y ≤21.作变换T ：x=21+rcos θ, y=21+rsin θ，得V=()[]⎰⎰+-+Dd y x y x σ22)(=⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-22022021rdr r d πθ=⎰πθ20161d =8π. (2)由z 2=2z, 得z 1=0, z 2=2. 所得立体V 在xoy 平面上的投影为42x +92y ≤4，立体顶面为z=9422y x +, 底面为z=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+942122y x , 作变换x=2rcos θ, y=3rsin θ，则J(r,θ)=θθθθcos 3sin 3sin 2cos 2r r -=6r>0.∴V=⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+D d y x y x σ9421942222=⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2022026rdr r r d πθ=4⎰πθ20d =8π.6、求由下列曲线所围的平面图形面积： (1)x+y=a, x+y=b, y=αx, y=βx (0<a<b, 0<α<β)；(2)22222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b y a x =x 2+y 2； (3)(x 2+y 2)2=2a 2(x 2-y 2) (x 2+y 2≥a 2). 解：(1)令u=x+y, v=xy, 则x=v u +1, y=vuv +1, 变换后的区域D ’={(u,v)|a ≤u ≤b, α≤v ≤β},又J(r,θ)=22)1(1)1(11v u vv v uv+++-+=2)1(v u +>0. ∴曲线所围的平面图形面积 S D =⎰⎰Dd σ=⎰⎰+ba du v u dv 2)1(βα=⎰+-βαdv v a b 222)1(12=)1)(1(2))((22βααβ++--a b .(2)令x=arcos θ, y=brcos θ，则方程变换为r 4=a 2r 2cos 2θ+b 2r 2sin 2θ, 即 r=θθ2222sin cos b a +，又J=abr>0，∴曲线所围的平面图形面积 S D =⎰⎰+θθπθ2222sin cos 020b a rdr d ab =⎰+πθθθ202222)sin cos (2d b a ab =2)(22πb a ab +. (3)x=rcos θ, y=rcos θ，则方程变换为r 4=2a 2r 2cos2θ, 即r=θ2cos 2a . 当cos2θ=21, 即θ=±6π时，r=a. 由图形的对称性可知 S D =4⎰⎰θπθ2cos 260a a rdr d =2a2⎰-60)12cos 2(πθθd =(3-3π)a 2.7、设f(x,y)为连续函数，且f(x,y)=f(y,x). 证明：⎰⎰xdy y x f dx 010),(=⎰⎰--xdy y x f dx 010)1,1(.证：作变换：x=1-u, y=1-v, 则J(u,v)=101--=1>0, 又f(x,y)=f(y,x)，∴⎰⎰xdy y x f dx 010),(=⎰⎰--vdu v u f dv 010)1,1(=⎰⎰--vdu u v f dv 010)1,1(=⎰⎰--xdy y x f dx 010)1,1(.8、试作适当变换，把下列二重积分化为单重积分： (1)⎰⎰+D d y x f σ)(22, D 为圆域x 2+y 2≤1；(2)⎰⎰+Dd y x f σ)(22, D={(x,y)||y|≤|x|, |x|≤1}；(3)⎰⎰+Dd y x f σ)(, D={(x,y)||x|+|y|≤1}；(4)⎰⎰Dd xy f σ)(, 其中D={(x,y)|x ≤y ≤4x, 1≤xy ≤2}.解：(1)作极坐标变换得：⎰⎰+D d y x f σ)(22=⎰⎰1020)(rdr r f d πθ=2π⎰10)(rdr r f .(2)如图，根据区域D 和被积函数的对称性知， 积分值是第一象限部分D 1上积分的4倍. D 1={(x,y)|y ≤x ≤1, y ≥0}，作极坐标变换得：⎰⎰+1)(22D d y x f σ=⎰⎰4010)(πθrd r f dr +⎰⎰41arccos21)(πθrrd r f dr=⎰1)(4rdr r f π+⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-21)(1arccos 4rdr r f r π=⎰20)(4rdr r f π-⎰21)(1arccos dr r f r r . ∴⎰⎰+Dd y x f σ)(22=π⎰20)(rdr r f -4⎰21)(1arccos dr r f rr .(3)令u=x+y, v=x-y, 则x=2v u +, y=2vu -, J(u,v)=21212121-=-21<0. 原积分区域变换为：D ’={(u,v)|-1≤u ≤1, -1≤v ≤1}. ∴⎰⎰+Dd y x f σ)(=⎰⎰--1111)(21dv u f du =⎰-11)(du u f . (4)令u=xy, v=x y, 则x=v u , y=uv , J(u,v)=vuuv v uv vu 212121121-=v 21>0.原积分区域变换为：D ’={(u,v)|1≤u ≤2, 1≤v ≤4}. ∴⎰⎰Dd xy f σ)(=⎰⎰41211)(21dv vu f du =ln2⎰21)(du u f .。
第三节 二重积分的变量变换在重积分的计算过程中，有一种方法可以简化计算，这就是变量变换。
我们从简单的开始。
定理 12. 10 U 是uv 平面R 2的区域，D =[a,b ]×[c,d ] 是U 子集，T 是U 到xy 平面R 2上的一一的映射（或变换），T 的表达式为：,),(,),(U v u v u y y ux ∈⎩⎨⎧== (如图)如果y (u, v )有连续偏导数，那么像集T (D )={T (u,v )| (u,v )∈U }是可求面积的，并存在(u 0, v 0)∈D 使得mD v u y x D mT v u ),(00),(),()(∂∂=， 这里vy uy v x u xv u y x ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂),(),(. 证明 从条件可知道, T (D )由 x =a , x =b , y = y (u, c ), y = y (u,d ) , u ∈[a,b ]所围成的. 即不妨设0>∂∂vy,即{}),(),(,|),()(,d x y y c x y b x a y x D T ≤≤≤≤=, 因此T (D )是可求面积的. 它的面积为 ⎰-=badx c x y d x y D mT )),(),(()(,由积分中值定理得,))((),()),(),(()(0000a b c d vv x y dx c x y d x y D mT ba--∂∂=-=⎰因x = u ,记x 0= u 0 ,又v y vy uy v u y x ∂∂=∂∂∂∂=∂∂01),(),(,mD =(b-a )(d-c ),故得证.类似的,我们有,定理 12. 11 U 是uv 平面R 2的区域，D =[a,b ]×[c,d ] 是U 子集，T 是U 到xy 平面R 2上的一一的映射（或变换），T 的表达式为：,),(,),(U v u v y v u x x ∈⎩⎨⎧==如果x (u, v )有连续偏导数，那么像集T (D )是可求面积的，并存在(u 0, v 0)∈D 使得mD v u y x D mT v u ),(00),(),()(∂∂=， 这里vy u y v x u xv u y x ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂),(),(. 定义 定理12.10和12.11中的映射称为本原映射或本原变换.定理 12.12 设D 是uv 平面R 2中的有界可求面积的闭区域， T 是[a,b ]×[c,d ]⊃D 到xy 平面R 2上的本原映射，x=x (u, v ), y=y (u, v ), 且作为向量值函数时有连续偏导数. 如果f (x, y )是T (D ) 上的连续函数, 那么⎰⎰⎰⎰∂∂=DD T dudv v u y x v u y v u x f dxdy y x f ),(),()),(),,((),()(.证明 设D 包含于[a,b ]×[c,d ]之中（如图12-3-2）。
对任取正整数n , 分别将[a,b ]和[c,d ]作 n2等分，过分点分别作坐标轴的平行线. 这样得到D 的分划. 这些小矩形中,包含于D 之中的小矩形全体的并记为A n , 而与D 相交不空小矩形全体的并记为B n . 显然n n n n B B A A ⊂⊂⊂++11.记on n n A B C -=, 那么C n 也是小矩形的并,且包含了D 的边界. 因为可求面积, 所以0lim ,lim lim ===∞→∞→∞→n n n n n n mC mD mB mA .上面的分划,将D 分成若干个小的区域,记为D 1, D 2, D 3,……, D N . 显然有),,2,1(N i B D n i Λ=⊂.如果n i A D ⊂,那么D i 是个小矩形,. 由定理12.10和12.11知,存在i i i D v u ∈),(**,使得i v u i mD v u y x D mT i i ),(**),(),()(∂∂=, 设),(),,(******i i i i i i v u y y v u x x ==,注意到, T (D 1), T (D 2), T (D 3),……, T (D N ) 是T (D )的分划. 相应的Riemann 和为()()()∑∑∑+==ii ii ni iiiD mT y x f D mT y xf D mT y x f i i ii )(,)(,)(,*****1. 其中∑i*表示所有满足n i A D ⊂的i 求和,∑i**表示所有满足on A D D i -⊂的i 求和,并当n i A D ⊂时,取),(),(**ii y x y x i i =. 为了方便,当o n A D D i -⊂时,任取i i i D v u ∈),(**, 同样记)),(),,((),(),(******ii i i i i v u y v u x y x y x i i ==, 这时有 ()()()∑∑∑+∂∂==ii ii v u ni i i i D mT y x f mD v u y x v u y v u x f D mT y x f i i i i i i i i )(,),(),(),(),,()(,**),(*****1**()()()()∑∑∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-+∂∂+∂∂=ii v u i iiv u ii v u mD v u y x v u y v u x f D mT y x f mD v u y x v u y v u x f mD v u y x v u y v u x f i i i i i i i i i i ii i i i i ii i i ),(******),(******),(***********),(),(),(),,()(,),(),(),(),,(),(),(),(),,(()()()∑∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-+∂∂==ii v u i Ni iv u mD v u y x v u y v u x f D mT y x f mD v u y x v u y v u x f i i i i i i i i i i ii i i ),(******1),(********),(),(),(),,()(,),(),(),(),,(.又因为),(),(v u y x ∂∂在有界闭集上连续，所以存在常数K ，使得K v u y x ≤∂∂≤),(),(0， 从而)()(n n C Km C mT ≤，而∑i**求和中的n i C D ⊂以及),(y x f 连续，所以存在常数H ，使得|),(|y x f ≤H . 故()()∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-ii v u i mD v u y x v u y v u x f D mT y x f i i i i i i i i ),(********),(),(),(),,()(,()∑≤+≤in i i HKmC KmD D mT H 2)(**.因此,当n 趋于无穷大时,⎰⎰⎰⎰∂∂=DD T dudv v u y x v u y v u x f dxdy y x f ),(),()),(),,((),()(.引理 设D 是uv 平面R 2中的有界可求面积的闭区域，T 是 D 到xy 平面R 2上的一一映射，x=x (u, v ), y=y (u, v )., 作为向量值函数时有连续偏导数, 且0),(),(≠∂∂v u y x ,则对任意D v u Q ∈=),(000,存在0Q 的邻域使得T 在该邻域可以表达成两个具有连续偏导数的、一一的本原映射的复合.证明 记),(),,(),,(000000000y x P v u y y v u x x ===. 由于0),(),(),(00≠∂∂v u v u y x ,此行列式中的四个数至少有一个不为0.不妨设0),(00≠∂∂v u ux,作本原映射,),(:1⎩⎨⎧==v v u x T ηξ它的Jacobi 行列式0),(),(),(),(0000≠∂∂=∂∂v u v u uxv u ηξ, 由隐函数存在定理(或逆映射定理)得, 在D v u Q ∈=),(000的某个邻域内,有逆映射使得, ,),(⎩⎨⎧==ηηξv g u ),(ηξg 在T 1),(00v u 的某个邻域内有连续偏导数. 再作⎩⎨⎧==)),,((:2ηηξξg y y x T , 则有()),v u x x ==ξ,),()),),,(((v u y v v v u x g y y ==,即T T T =12ο 由12T T T ο=容易知道1T 和2T 是一一的.现在给出一般的二重积分的变换公式.定理 12.13 设D 是uv 平面R 2中的有界可求面积的闭区域， T 是（a,b ）×（c,d ）⊃D到xy 平面R 2上的一一映射，x=x (u, v ), y=y (u, v ), 且作为函数时有连续偏导数,并0),(),(≠∂∂v u y x .如果f (x, y )是T (D )上的连续函数, 那么⎰⎰⎰⎰∂∂=DD T dudv v u y x v u y v u x f dxdy y x f ),(),()),(),,((),()(.证明 对每一点Q =(u,v )∈D , 存在它的一个邻域}|||{)(δδ<=PQ P Q U , T 在这个邻域上可以表达成两个一一本原映射的复合. 注意到⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈D Q Q U |)(2δ是D 的开覆盖,由Heine-Borel 有限覆盖定理得,存在其中有限多个领域:)(121Q U δ,)(222Q U δ,…, )(2s Q U s δ,是D 的覆盖. 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧=2.,2,2min 21*s δδδδΛ,那么对正整数n ,由 [a,b ]和[c,d ]的 n2等分,得到D 的分划, 当n 充分大时, 每个小矩形的对角线的长度一定小于*δ, 那么每个与D o 相交不空的小矩形一定包含于某个),,2,1)((s j Q U j j Λ=δ中, 所以这样D 的分划得到的小区域: D 1, D 2, D 3,……, D N 中每个必包含于某个),,2,1)((s j Q U j j Λ=δ中., 即在每个D j 上有12T T T ο=.1T 和2T 都是本原一一映射.设 ,,(),(:1⎩⎨⎧==v u v u T ηηξξ ,),(),(:2⎩⎨⎧==ηξηξy y x x T故有),(),(),(),(),(),(v u y x v u y x ∂∂∂∂=∂∂ηξηξ. 由定理12.12 .⎰⎰⎰⎰∂∂=)()(1),(),()),(),,((),(i i D T D T d d y x y x f dxdy y x f ηξηξηξηξ⎰⎰∂∂∂∂=iD dudv v u y x v u v u y v u v u x f ),(),(),(),())),(),,(()),,(),,(((ηξηξηξηξ⎰⎰∂∂=iD dudv v u y x v u y v u x f ),(),()),(),,((因此,∑⎰⎰⎰⎰==Ni D T D T i dxdy y x f dxdy y x f 1)()(),(),(=∑⎰⎰=∂∂Ni D idudv v u y x v u y v u x f 1),(),()),(),,((⎰⎰∂∂=Ddudv v u y x v u y v u x f ),(),()),(),,((.得证.例 1 极坐标变换θϑsin ,cos r y r x ==, 它是R 2 到R 2的一一映射，这时的Jacobi 是.cos sin sin cos ),(),(r r r r y x =-=∂∂θθθθθ一般情况下，在极坐标的变换之后，可以认为是在极坐标系中的二重积分.所以二重积分中，()⎰⎰Dd y x f σ,可以写成()⎰⎰Drdrd r r f θθθsin ,cos .即()()⎰⎰⎰⎰=DDrdrd r r f d y x f θθθσsin ,cos ,.这就是极坐标系中的二重积分的表达式．其计算方法也是化为二次积分来计算．设积分区域D 可以用不等式：()()θθβθα21,r r r ≤≤≤≤来表示（如下图1２-3-3(a)），图12-3-4图12-3-3则此时二次积分化为()()()()⎰⎰⎰⎰=θθβαθθθθθθ21sin ,cos sin ,cos r r Drdrr r f d rdrd r r f若积分区域是如上图12-3-3(b)表示的区域，即可以用不等式()θβθαr r ≤≤≤≤0,表示，则()()()⎰⎰⎰⎰=θβαθθθθθθr Drdr r r f d rdrd r r f 0sin ,cos sin ,cos .若积分区域是如图12-3-4所示的区域，即能用不等式()θπθr r ≤≤≤≤0,20表示，则()()()⎰⎰⎰⎰=θπθθθθθθr Drdr r r f d rdrd r r f 020sin ,cos sin ,cos例2 求二重积分⎰⎰++Dy x d 221σ，其中区域D 是由,122≤+y x 0,0≥≥y x 围成的．()()-=--=-=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰sin 138]431[44203320cos 202322cos 2022202221θθθθσππθθπd a d r a rdrr a d d y x a V a a D解 用极坐标计算，此时积分区域用不等式20,1πθ≤≤≤r 表示，所以()12212111102122022-=+=+=++⎰⎰⎰⎰ππθσπr rdr rd yx d D．例3 计算二重积分⎰⎰--D y x d eσ22，其中D 为圆222a y x =+的内部．解 用极坐标计算，区域可以表示为a r ≤≤≤≤0,20πθ．所以,()222221020a a r ar Dy x e erdr ed d e------=-==⎰⎰⎰⎰ππθσπ．例4 计算圆柱面ax y x 222=+所围的空间区域被球面22224a z y x =++所截的部分的立体的体积．解 根据对称性，只要计算出此立体在第一卦限的体积，就可以得到立体体积．此立体在第一卦限的部分可以看成是以xoy 坐标面上的半圆区域D 为底，以曲面2224y x a z --=为顶的曲顶柱体．其体积为⎰⎰--=Dd y x a V σ22214区域D 在极坐标系下可以表示为θπθcos 20,0a r ≤≤2≤≤，如下图12-3-6．所以图12-3-5yxz2|a|⎰⎰=D dxdy mD ⎪⎩⎪⎨⎧==x y v xy u vv u y x 21),(),(=∂∂2ln 21212121==⎰⎰⎰⎰dv v du dxdy D所以所求的空间立体的体积为⎪⎭⎫⎝⎛-==322332431πa V V .例5 求由曲线xy=1, xy =2, y=x, y =2x 解 记该区域为D,作变换 T 的逆变化T -1:因为 T 将[1,2]×[1,2]映射为D , 所以 .习题 12-31. 求下列积分1)dxdy y x D⎰⎰42 , D : 122≤+y x . 2) dxdy b y ax D ⎰⎰+)(2222 , D : 12222≤+b y a x .3)dxdy y x D ⎰⎰+)(22 , D : 42,91,0,022≤≤≤-≤>>xy y x y x . 4)++⎰⎰⎰⎰-x x x xydy dx xydy dx 02111212⎰⎰-21022x xydy dx5)⎰⎰--+22022)(y a aadx y x dy6)σ⎰⎰++Dd y x)1ln(22,其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的第一象限内的闭区域； 7)σ⎰⎰Dd xyarctan, 其中D 是由圆周1,42222=+=+y x y x 及直线x y y ==,0所 围成的第一象限内的闭区域.8)σ⎰⎰Dd yx 22，其中D 是x y x ==,2及1=xy 所围成的闭区域； 9)σ⎰⎰++--Dd yx y x 222211，其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的第一象限内的闭区域．2.求下列给定区域的体积1)由xy 平面 和222y x z --= 所围成的有界区域; 2) 由222a y x =+ 和222a z x =+ 所围成的有界区域;。
