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第三节 三重积分㈠本课的基本要求理解三重积分的概念，会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）㈡本课的重点、难点三重积分在直角坐标、柱面坐标中的计算为本课的重点、球面坐标中的计算为难点 ㈢教学内容一．三重积分的概念定积分及二重积分作为和的极限的概念，可以很自然地推广到三重积分。
定义 设),,(z y x f 是空间有界区域Ω上的有界函数。
将Ω任意分成n 个小闭区域n v v v ∆∆∆,,,21 ，其中i v ∆表示第i 个小闭区域，也表示它的体积。
在每个i v ∆上任取一点),,(i i i ζηξ，作乘积),,2,1(),,(n i v f i i i i =∆ζηξ，并作和i i i i ni v f ∆∑=),,(1ζηξ。
如果当各小闭区域直径中的最大值λ趋于零时这和的极限总存在，则称此极限为函数),,(z y x f 在闭区域Ω上的三重积分。
记作⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(，即 ∑⎰⎰⎰-→Ω∆=n i i i i i v f dv z y x f 10),,(),,(lim ζηξλ ⑴其中dv 叫做体积元素。
在直角坐标系中，有dxdydz dv =，称dxdydz 叫做直角坐标系中的体积元素。
当函数),,(z y x f 在闭区域Ω上连续时，⑴式右端的和的极限必定存在，也就是函数),,(z y x f 在闭区域Ω上的三重积分必定存在。
以后我们总假定函数),,(z y x f 在闭区域Ω上是连续的。
关于二重积分的一些术语也可相应地用到三重积分上。
三重积分的性质也与二重积分的性质类似，请同学们自己对比写出。
如果),,(z y x f 表示某物体在点),,(z y x 处的密度，Ω是该物体所占有的空间闭区域，),,(z y x f 在Ω上连续，则三重积分⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(表示该物体的质量M 。
二．三重积分的计算计算三重积分的基本方法是将三重积分化为三次积分来计算。
三重积分的计算及重积分的应用三重积分是在三维空间中计算一些函数在一个有界区域内的体积的方法。
它是对二重积分的一种扩展，可以应用于多种问题中，包括物理、工程和数学等领域。
本文将从三重积分的计算方法开始，然后介绍一些三重积分的应用，以及如何解决这些应用问题。
一、三重积分的计算方法要计算三重积分，首先需要定义积分的坐标系和被积函数。
常用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。
选择合适的坐标系可以简化计算过程。
被积函数通常是一个连续函数或分段连续函数，也可以是具有一些特殊性质的函数，如奇函数或偶函数。
在直角坐标系中，三重积分的一般形式为∭f(x,y,z)dV，其中f(x,y,z)是被积函数，dV表示元体积元素。
元体积元素可以表示为dx dy dz，也可以写成其他坐标系对应的形式。
根据积分的定义，三重积分可以分解为对三个变量的依次积分。
具体方法为，先对z进行积分，然后再对y进行积分，最后对x进行积分。
以直角坐标系为例，三重积分可以表示为∭f(x,y,z)dxdydz。
其中，积分范围为对每个变量的积分范围进行限定。
对被积函数的积分范围的限定可以通过对空间区域的几何性质进行分析得到。
常见的限定方式有矩形区域和曲线边界。
根据具体问题，可以采用不同的方法来确定积分限定条件。
计算三重积分时，可以选择适当的计算工具，如数值积分、符号计算软件或计算机程序，并利用计算机进行数值计算。
三重积分在许多领域都有广泛的应用。
以下将介绍几个常见的应用以及解决这些应用问题的方法。
1.计算物体体积三重积分可以用于计算复杂形状的物体的体积。
通过将物体分解为无穷小的体积元素，然后对每个体积元素进行积分，最后将所有体积元素的积分结果相加，就可以得到整个物体的体积。
例如，计算一个以球面为上下界的圆锥体的体积。
首先可以选择球坐标系，然后确定积分限定条件，如半径和角度范围。
然后将球坐标系下的体积元素转换为直角坐标系下的体积元素进行积分。
最后将所有体积元素的积分结果相加，即可得到圆锥体的体积。
