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第三节三重积分的应用

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[理学]三重积分的应用

[理学]三重积分的应用

zdxdydz 0 zdz dxdy,

Dz
1
Dz {( x , y ) | x y 1 z }
o
1
y
法1： dxdy SD
Dz
z
1 (1 z )(1 z ) 2
x
1
1 1 2 原式 z (1 z ) dz . 0 2 24
1
(3) 计算二重积分 f ( x , y , z )dxdy
Dz
z
z 的函数 F ( z ) ； 其结果为
(4)最后计算单积分 F ( z )dz 即得三重积分值.
c1 c2
例3
为三个 计算三重积分 zdxdydz ，其中

坐标面及平面 x y z 1所围成的闭区域 . z 解法 1（坐标轴投影法） 1

即
f ( i , i , i ) vi . f ( x , y , z )dv lim 0 i 1

n
其中 dv 叫做体积元素 .
在直角坐标系中，如果用平行于坐标面 的平面来划分 , 则 vi x j yk zl .
三重积记为
f ( i , i , i ) vi . f ( x , y, z )dxdydz lim 0 i 1
第三节

三重积分的 计算
一、三重积分的定义 二、三重积分的计算
三、小结
一、三重积分的定义
上的有界 设 f ( x , y , z ) 是空间有界闭区域 任意分成 n 个小闭区域v1 ， 函数，将闭区域 i 个小闭区域，也 v2 ,, v n ，其中v i 表示第 表示它的体积, 在每个vi 上任取一点( i , i , i ) 作乘积 f ( i , i , i ) vi ，( i 1,2,, n) ，并作和, 如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 上的三重积分，记为 f ( x , y , z ) 在闭区域 f ( x , y , z )dv ,

10.3三重积分

10.3三重积分

M =lim∑µ(ξi ,ηi ,ζi )∆vi
λ→0 i=1 =
n
∆vi
o x
(ξi ,ηi ,ζ i ) y
定义 设 f ( x, y, z)(( x, y, z)∈Ω) 若对 Ω 作任意分割: 任意分割: 任意取点 积和式” 极限 积和式”
lim∑ f (ξi ,ηi ,ζ i )∆vi
λ→0
n
i
)∆v i .
∫∫∫ f ( x, y, z )dv = lim ∑ f (ξ ,η , ζ λ
Ω →0 i =1 i i
n
i
)∆v i .
说明 (1) 在直角坐标系下常写作 dv = dxdydz. (2) 三重积分的性质与二重积分相似. 三重积分的性质与二重积分相似. 例如 线性性质、对积分区域的可加性、比较性质、 线性性质、对积分区域的可加性、比较性质、 估值性质、中值定理，还有 估值性质、中值定理，
1
D xy o
y
= ∫ dx ∫
−1
1− x
2 2
− 1− x
dy ∫
2− x − y
2
2
x
x +y
2
2
f ( x , y , z )dz
方法2 方法2 截面法 (“先二后一”) (“先二后一 先二后一”
(1) 将Ω向 z 轴投影，得投影区间[c1 , c2 ].
z
(2) 任取z ∈ [c1 , c2 ]，过 z作平行于xoy坐标 z 面的平面去截Ω，得截面Dz c1 ( x , y ) ∈ Dz o 则 Ω c1 ≤ z ≤ c2 x
例2 化 ∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz为三次积分，其中Ω为由

三重积分的计算与应用

三重积分的计算与应用

三重积分的计算与应用积分是高等数学中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

三重积分是对三维空间中的函数进行积分运算的一种方法，它可以用于计算三维体积、质心位置、质量、物理场的通量等问题。

在本文中，我们将介绍三重积分的计算方法以及一些常见的应用。

一、三重积分的计算方法三重积分在直角坐标系中的计算方法可以分为直角坐标系下的直接计算和变量替换法两种。

1. 直接计算直接计算是指根据积分的定义，将积分区域划分为许多小的体积元，然后对每个小体积元进行积分的方法。

在直角坐标系中，三重积分的计算公式为：∬∬∬_V f(x,y,z) dxdydz其中f(x,y,z)为被积函数，V为积分区域，dxdydz表示三维空间中的体积元。

通过将积分区域V划分成小的立方体，求解每个小立方体的体积和函数值的乘积，再将所有小立方体的贡献相加，即可得到三重积分的结果。

2. 变量替换法当被积函数的积分区域V的形状比较复杂时，直接计算的方法可能比较繁琐。

这时可以利用变量替换法来简化计算。

变量替换法是通过引入新的变量替换积分变量，使得积分区域转化为更简单的形式。

常用的变量替换方法包括球坐标系变换、柱坐标系变换和曲线坐标系变换等。

二、三重积分的应用三重积分在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。

1. 计算体积三重积分可以用来计算三维空间中各种复杂形体的体积。

通过将被积函数设为1，即可计算出积分区域的体积。

2. 质心位置质心是一个物体的重心位置，对于具有连续分布质量的物体，其质心位置可以通过三重积分来计算。

通过将被积函数分别为x、y、z乘以质量密度，然后对三重积分进行计算，即可得到质心位置的坐标。

3. 质量如果一个物体的质量分布在三维空间中不均匀，可以通过三重积分来计算其质量。

将被积函数设为质量密度，然后对积分区域进行三重积分，即可得到质量的大小。

4. 物理场的通量物理场的通量表示单位时间通过单位面积的物理量。

第三节 三重积分

第三节 三重积分
z
规定： 0 r ,
0 2,
z .
2020/3/11
第十章 第三节
• M(x, y,z)
o

x
r
y
•
P(r, )
24
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数
z 为常数
圆柱面； 半平面； 平 面．
z
• M (x, y, z)
z
or
• P(r, )
f (i ,i , i )vi .
其中dxdydz 叫做直角坐标系中的体积元素.
2020/3/11
第十章 第三节
4
当函数f(x,y,z)在Ω上连续时,(1)式右端的和式极限
必定存在,也就是函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分必
定存在,以后我们总假设函数f(x,y,z)在Ω上是连续的,
关于二重积分的一些概念都可相应地用于三重积分.
(1 x4)dydz
D
2
y2 z2x2

4 (1 x4 )x2dx [ x3
2
3

x7 7
]42
( 43 23 47 27 ) 2340 20
3
7
21
2020/3/11
第十章 第三节
19
例题: 求曲面z 4a2 x2 y2与 z x2 y2 所围立体体积。
d
x
f (r cos ,r sin , z)rdrddz.
2020/3/11
第十章 第三节
26
一般适用情形
1 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单,当积分 区域为柱体，椎体，或由柱面，锥面，旋转抛物 面与其他曲面所围形体；

三重积分的计算及重积分的应用

三重积分的计算及重积分的应用

三重积分的计算及重积分的应用三重积分是在三维空间中计算一些函数在一个有界区域内的体积的方法。

它是对二重积分的一种扩展，可以应用于多种问题中，包括物理、工程和数学等领域。

本文将从三重积分的计算方法开始，然后介绍一些三重积分的应用，以及如何解决这些应用问题。

一、三重积分的计算方法要计算三重积分，首先需要定义积分的坐标系和被积函数。

常用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。

选择合适的坐标系可以简化计算过程。

被积函数通常是一个连续函数或分段连续函数，也可以是具有一些特殊性质的函数，如奇函数或偶函数。

在直角坐标系中，三重积分的一般形式为∭f(x,y,z)dV，其中f(x,y,z)是被积函数，dV表示元体积元素。

元体积元素可以表示为dx dy dz，也可以写成其他坐标系对应的形式。

根据积分的定义，三重积分可以分解为对三个变量的依次积分。

具体方法为，先对z进行积分，然后再对y进行积分，最后对x进行积分。

以直角坐标系为例，三重积分可以表示为∭f(x,y,z)dxdydz。

其中，积分范围为对每个变量的积分范围进行限定。

对被积函数的积分范围的限定可以通过对空间区域的几何性质进行分析得到。

常见的限定方式有矩形区域和曲线边界。

根据具体问题，可以采用不同的方法来确定积分限定条件。

计算三重积分时，可以选择适当的计算工具，如数值积分、符号计算软件或计算机程序，并利用计算机进行数值计算。

三重积分在许多领域都有广泛的应用。

以下将介绍几个常见的应用以及解决这些应用问题的方法。

1.计算物体体积三重积分可以用于计算复杂形状的物体的体积。

通过将物体分解为无穷小的体积元素，然后对每个体积元素进行积分，最后将所有体积元素的积分结果相加，就可以得到整个物体的体积。

例如，计算一个以球面为上下界的圆锥体的体积。

首先可以选择球坐标系，然后确定积分限定条件，如半径和角度范围。

然后将球坐标系下的体积元素转换为直角坐标系下的体积元素进行积分。

最后将所有体积元素的积分结果相加，即可得到圆锥体的体积。

三重积分的计算及重积分的应用

三重积分的计算及重积分的应用

三重积分的计算及重积分的应用三重积分是多元函数积分中的一种，用于计算三维空间内的体积、质量、重心、转动惯量等物理量。

在实际应用中，三重积分可以用于求解物体的质心、转动惯量、力矩等问题，对于解决工程问题具有重要的应用价值。

一、三重积分的计算方法1.直接计算法直接计算法是指直接根据题目给出的积分区域及被积函数的表达式，逐步求解三个方向上的单重积分，然后相乘求和得到最终结果。

以计算空间区域内的体积为例，设被积函数为f(x,y,z)，积分区域为D。

则三重积分的计算公式为：V=∬∬∬_Df(x,y,z)dV其中dV表示体积元素，其表达式为：dV = dx dy dz通过逐步计算对应方向上的单重积分，并依次相乘求和，即可得到最终结果。

2.换元积分法换元积分法是指通过变换坐标系，使得原三重积分的积分区域变得简单，从而通过较简单的计算求解三重积分。

例如，对于柱坐标系下的三重积分计算，可以通过将空间直角坐标系(x,y,z)转换为柱坐标系(ρ,θ,z)，从而简化积分区域的描述。

然后，利用变量替换求解对应的柱坐标系下的三重积分。

1.质心的求解质心是物体在三维空间中的一个特殊点，对于均匀物体而言，质心位于其几何中心。

通过三重积分，可以求解复杂物体的质心位置。

设物体的质量密度函数为ρ(x,y,z)，则质心的坐标(x₀,y₀,z₀)可以通过以下公式计算得到：x₀=∬∬∬_Dxρ(x,y,z)dV/my₀=∬∬∬_Dyρ(x,y,z)dV/mz₀=∬∬∬_Dzρ(x,y,z)dV/m其中m表示物体的总质量，D表示物体的几何形状。

2.转动惯量的求解转动惯量是刻画物体对转动运动的惯性特征，通过三重积分可以求解物体的转动惯量。

设物体的质量密度函数为ρ(x,y,z)，则绕一些轴旋转的转动惯量I 可以通过以下公式计算得到：I=∬∬∬_D(y²+z²)ρ(x,y,z)dV3.力矩的求解力矩是物体受力后产生的力矩矩阵，通过三重积分可以计算物体受力后的力矩。

8-3(1)三重积分

1 ∫∫ dxdy = 2(1 − z )(1 − z ) D 1 1 1 2 . 原式= ∫ z ⋅ (1 − z ) dz = 0 2 24
z
Dz
o
1
y
x
1
Dz的面积
22
解法2 解法2：
z
∫∫∫ zdxdydz = ∫0 zdz ∫0 dy ∫0
Ω
1
1− z
1− y − z
1
dx
o
y
= ∫0 zdz ∫0 (1 − y − z )dy
∑ µ(ξk ,ηk ,ζ k )∆vk
k=1
n
∆vk
(ξk ,ηk ,ζ k )
2
2、三重积分的定义
上的有界函数， 设 f ( x , y , z ) 是空间有界闭区域 Ω 上的有界函数， 将闭区域 Ω 任意分成 n个小闭区域 ∆v1， ∆v2 ,⋯, ∆v n ， 个小闭区域，也表示它的体积, 其中 ∆v i 表示第 i 个小闭区域，也表示它的体积, 在每 个 ∆vi 上任取一点 (ξ i ,η i , ζ i ) 作乘积 f (ξ i ,η i , ζ i ) ⋅ ∆vi ， ( i = 1,2,⋯, n) ，并作和, 如果当各小闭区域的直径中 并作和, 趋近于零时，这和式的极限存在， 的最大值 λ 趋近于零时，这和式的极限存在，则称此 极限为函数 f ( x , y , z ) 在闭区域 Ω 上的三重积分， 上的三重积分， 三重积分 记为 ∫∫∫ f ( x , y , z )dv ,
(3)计算二重积分 ∫∫ f ( x , y , z )dxdy 计算二重积分
Dz
z
其结果为 z 的函数 F (z ) ； (4)最后计算单积分 ∫ F ( z )dz 即得三重积分值 最后计算单积分 即得三重积分值.

第九章,第三节、三重积分

z2 S2

z1 S1
z z1( x, y)
D
(x, y) y y1( x)
y
y y2( x)
f ( x, y, z)dv


d
Dxy
zz12((xx,,yy))
f
( x,
y,
z)dz
将三重积分化为一个定积分和一个二重积分来计算
积分次序是先定积分，后二重积分
（3）进一步，若 Dxy是 X 型区域

y2 b2

z2 c2

1所成的空间闭区域.
解：被积函数为 z 的一元函数
Dz

{
( x,
y) |
x2 a2

y2 b2

1
z c
2 2
}
cz
Dz
z
o
y
原式 cc dz z2dxdy
Dz
x c
cc z2dz dxdy cc z2SDz dz
Dz
SDz
a
y
Dx
12(1 x2 )d x dydz 12(1 x2 )SDx d x
Dx
12(1 x2 ) x2d x
430
21
2、利用柱面坐标计算三重积分
柱面坐标：设 M ( x, y, z) 为空间内一点，
点 M 在xoy 面上的投影 为P ( x, y)
设点 P 的极坐标为 ( , )，
D
(x, y) y y1( x)
y
y y2( x)


f
(
x,
y,
z)dv

abdx

y2( x) y1( x)

第十章第三节三重积分教学内容

方法3 . 三次积分法
先假设连续函数
并将它看作某物体
通过计算该物体的质量引出下列各计算
最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
的密度函数 ,
方法:
*
优学课堂
方法1. 投影法 (“先一后二” )
该物体的质量为
细长柱体微元的质量为
微元线密度≈
记作
*
优学课堂
方法2. 截面法 (“先二后一”)
由柱面
围成半圆柱体.
*
优学课堂
例4. 计算三重积分
解: 在柱面坐标系下
所围成 .
与平面
其中 由抛物面
原式 =
*
优学课堂
3. 利用球坐标计算三重积分
就称为点M 的球坐标.
直角坐标与球面坐标的关系
坐标面分别为
球面
半平面
锥面
*
优学课堂
如图所示, 在球面坐标系中体积元素为
因此有
其中
适用范围:
1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;
一、三重积分的概念
类似二重积分解决问题的思想, 采用
引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的
物质,
求分布在 内的物质的
可得
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
解决方法:
质量 M .
密度函数为
*
优学课堂
定义. 设
存在,
称为体积元素,
若对 作任意分割:
任意取点
则称此极限为函数
方法2. “先二后一”
方法3. “三次积分”
具体计算时应根据
三种方法(包含12种形式)各有特点,
被积函数及积分域的特点灵活选择.

第三节 三重积分

第三节 三重积分
一、三重积分的概念 三重积分的概念 二、三重积分的计算 1.直角直角坐标系下 直角直角坐标系下 直角 2.柱坐标下计算三重积分 柱坐标下计算三重积分 3.球坐标下计算三重积分 球坐标下计算三重积分
第十章
1
一、三重积分的概念
引例: 引例 设在空间有限闭区域 Ω 内分布着某种不均匀的 物质, 物质 密度函数为 µ( x, y, z) ∈C,求分布在 Ω 内的物质的 质量 M . 解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 解决方法 类似二重积分解决问题的思想 采用 “大化小 常代变 近似和 求极限” 大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 大化小 可得 Ω
a
b
DZ
f ( x, y, z)dxdy
z2 ( x, y)
方法3. 三次积分 三次积分” 方法 “三次积分”
= ∫ d x∫
a
b
y2 ( x)
y1 ( x)
d y∫
z1 ( x, y)
f ( x, y, z)d z
三种方法(包含 种形式 各有特点, 三种方法 包含12种形式 各有特点 具体计算时应根据 包含 种形式)各有特点 被积函数及积分域的特点灵活选择. 被积函数及积分域的特点灵活选择
D
1
z2 ( x , y )
Ω
z1(x,y)
M
0
. .
y
D
x
P
10
2.计算三重积分 2.计算三重积分
I = ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz
Ω
积分区域是曲顶柱体
z
z2(x,y)
Ω为图示曲顶柱体
I =∫∫ dxdy∫z ( x , y ) f ( x , y , z )dz
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y
f ( x, y, z )dv f (r cos , r sin , z )rdrd dz
在柱面坐标系下
f (x, y, z)dv f (r cos , r sin , z)rdrd dz
设 : z1 x, y z z2 x, y , x, y Dxy
2 2
例6 计算 I ( x y )dv 其中
2 2 2
和z a a 0 所围成第一卦限 部分.
解 采用柱面坐标
2 2 2
z
za
x y z
z r,
a
x
: r z a, r, Dr ,
Dr
y
0 r a, 0 2

三次积分，其中 是由平面 x＋y＋z＝1， x＋y＝1，x＝0，y＝0，z＝1围成的区域。
解
的投影 Dxy 是x+y=1， y
Dxy
x=0，y=0围成的三角形域， 的下底是x＋y＋z＝1， 上底是z＝1，
x y 1
0
1
x
0 y 1 x :1 x y z 1, Dxy : 0 x 1 f ( x , y , z ) dv
2
所以
zdxdydz rdrd zdz 2

4
d rdr 2 zdz
0 0 r
2 1 2 2 d r (16 r )dr 0 2 0 2 1 r 2 64 2 2 [8r ]0 2 6 3
2
2
D
r
4
由锥面x y z , x 0, y 0
c 2 4
2
2
二
用柱面坐标计算三重积分
z
M ( x, y, z )
设M（x,y,z）为空间
一点，如果将x，y，z 改用另外三个数r， ,z
z
来表示，则称（r, ,z）
为点M的柱面坐标。
O
r

y
P(r , )
x
在xoy面上 r , 就是极坐标
由图可知柱面与直角坐标的关系是 x r cos y r sin (0 r ,0 2 , z ) z z z

y
d
x 积分元素 2 v dv r sin drdd
r sin d
dr
rd
体积元素 dv r sin drdd
2
三重积分在球面坐标系下的形式：
f ( x, y, z)dv F (r,, )r

2
sin drdd
其中F (r, , ) f (r sin cos , r sin cos , r cos )
一 利用直角坐标计算三重积分
体积元素
dv dxdydz



f ( x, y, z)dv f ( x, y, z)dxdydz
设 如图,将 向xoy面投影， z 得 Dxy ,以 Dxy的边界为 z 准线母线平行于z轴 的柱面把 分为下上 z 两个边界：
2 1
z z2 ( x, y) S2
三组坐标面：
r＝常数 （圆柱面）
＝常数 （半平面）
O
M (r , , z )
z

r
P(r , )
y
z＝常数 （水平平面）
x
三组坐标面族去分割空间区域
任一小块的体积 v可以
近似看成以 rdrd 为底，
z
，其
rd
dr
dz
r
dz 为高的柱体体积。
体积元素
o
x d
dv rdrd dz

dxdy
Dxy
1
1
1 x y
1
f ( x, y, z )dz
f ( x, y, z)dz
dx
0
1 x
0
dy
1 x y
1）投影法（先一后二）


f ( x, y, z )dv [
D
z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
f ( x, y, z )dz ]dxdy

d


r2
r1
rdr
2 ( r , )
1 ( r , )
f ( r cos , r sin , z )dz
例4 计算 zdv,其中 是由上半球面

x y z 4 ( z 0) 和旋转抛物面
2 2 2
x y 3z
z
OP r sin
M
r

z
O
y y
(0 r ,0 , x A x 0 2 )

P
分割空间区域 ，其任一小块的体积 v
可以近似地看成是
长为 rd 、 宽为 r sin d 、
d
z
dr
r sin d rd
d
r sin
r

高为 dr 的长方体体积 o
则


f ( x , y , z )dv
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
(先一后二）

D xy
[
f ( x , y , z )dz ]dxdy
f ( x, y, z )dv [
Dxy
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x , y, z )dz ]dxdy
: r z a, 0 r a, 0
I ( x y )dv
2 2

2
,
d rdr r dz 0 r a 3
2 0 2

a
a

a a 5 [a ] a. 2 4 5 40

2
0
r (a r )dr
4 5
S1
z z1 x, y
O
a
z z1 ( x, y)
z z 2 x, y
y
y y1 ( x)
x
b
Dxy ( x, y )
y y2 ( x)
x, y Dxy , z从z1 x, y 变到z2 x, y ,
于是，积分区域可表示为
: z1 x, y z z2 x, y , x, y Dxy
2
2
解 z的最小值和最大值为
x y z 面 所围成的空间闭区域。 1 2 2 2 z a b c c
z
O
D0
b
2
Dz
c和 c ，即
y
c z c
2 2 2
x
a
c
x y z Dz : 2 2 1 2 （- c z c ) a b c
z dxdydz dz z dxdy z dz dxdy
2 2 2 c
c
c
dxdy D
Dz
z
的面积为
2
Dz
c
Dz
z z z a 1 2 b 1 2 ab(1 2 ) c c c 2 c z 2 2 z dxdydz z ab(1 2 )dz c c
z 4 3 ab ( z 2 )dz ab c c 15
2 2
所围成的区域.
解 将积分区域 向xoy面投影，得
Dxy : x y 3
2 2
z 4 x y
2
2
z 4r
2
r z 3
2
2
x y z 3
2
2
D
2
x y 2 2 2 2 ： z 4 x y , Dxy : x y 3 3 2 r 0 r 3 2 柱面坐标 ： z 4 - r , Dr : , 3 0 2
2
4
6
例5 计算
2
zdxdydz , 其中 是由曲面

z x y 与平面 z 4 围成的区域.
2
解 在xoy面上的投影区域为圆域:
Dxy : x y 4
2 2
z4
2 2
z
zx y
0 r 2,0 2
zr
2
x
y
D
: r z 4,0 r 2,0 2
r 2 ： z 4 - r , 0 r 3, 0 2 3
2 zdv zrdrd dz d rdr r
2
2
3
4 r 2


0
0
zdz
3
1 r 2 d (4 r )rdr 0 2 0 9
2 3
4
r r 3 13 [2r ]0 4 54 4
z 作单积分，然后在投
影区域 Dxy上用极坐标作二重积分呢？
答：可以
三
用球面坐标计算三重积分
z r

M
设M（x,y,z）为空间一点， 如果将x，y，z改用另外 三个数r， ， 来表示,
z
O
， 则称（r， ）为点M的
球面坐标。
x
y y
x
P
球面坐标与直角坐标的关系是
x r sin cos y r sin sin z r cos
根据D是X型域或Y型域确定二重积分的
积分限，就得到三重积分公式.