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专题04 相似三角形的判定（基础）【目标导向】1、了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法；2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【知识点梳理】要点一、相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的判定定理1．判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.3．判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.4．判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：【精讲例题】类型一、相似三角形1. 下列能够相似的一组三角形为( ).A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形【答案】C【解析】A中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；B中什么条件都不满足；D中只有一条对应边的比相等；C中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C.【总结升华】根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.举一反三：【变式】给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有（填序号）．【答案】①②④⑤.类型二、相似三角形的判定2. 如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.【思路点拨】充分利用平行寻找等角，以确定相似三角形的个数.【答案与解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC，∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.∴△BEF∽△CDF∽△AED.∴当△BEF∽△CDF时，相似比；当△BEF∽△AED时，相似比；当△CDF∽△AED时，相似比.【总结升华】此题考查了相似三角形的判定（有两角对应相等的两三角形相似）与性质（相似三角形的对应边成比例）.解题的关键是要仔细识图，灵活应用数形结合思想.举一反三：【变式】如图，AD、CE是△ABC的高，AD和CE相交于点F，求证：AF·FD=CF·FE．【答案】∵ AD、CE是△ABC的高,∴∠AEF=∠CDF=90°, 又∵∠AFE=∠CFE,∴△AEF∽△CDF.∴AF EFCF FD, 即AF·FD=CF·FE．3.（福州）如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．【思路点拨】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC•CD的值，从而可得到AD2与AC•CD的关系；（2）由（1）可得到BD2=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．【答案与解析】解：（1）∵AD=BC=1，BC=，∴AD=，DC=1﹣=．∴AD2==，AC•CD=1×=．∴AD2=AC•CD．（2）∵AD=BC，AD2=AC•CD，∴BC2=AC•CD，即．又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB．∴，∠DBC=∠A．∴DB=CB=AD．∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°．解得：x=36°．∴∠ABD=36°．【总结升华】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得△BCD∽△ABC是解题的关键．4. 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP2＝PE·PF．【思路点拨】从求证可以判断是运用相似，再根据BP2＝PE·PF，可以判定所给的线段不能组成相似三角形，这就需要考虑线段的等量转移了.【答案与解析】连接，，，是的中垂线，，，，．，．又，∽，，．【总结升华】根据求证确定相似三角形，是解决此类题型的捷径. 举一反三：【变式】如图，F 是△ABC 的AC 边上一点，D 为CB 延长线一点，且AF=BD,连接DF,交AB 于E. 求证：DE ACEF BC=.【答案】过点F 作FG ∥BC,交AB 于G.则△DBE ∽△FGE △AGF ∽△ABC∵DE DBEF GF=, 又∵AF=BD,∴.DE AFEF GF= ∵△AGF ∽△ABC∴AF ACGF BC =, 即DE ACEF BC=.【精练巩固】一、选择题1. 下列判断中正确的是( ).A.全等三角形不一定是相似三角形B.不全等的三角形一定不是相似三角形C.不相似的三角形一定不全等D.相似三角形一定不是全等三角形 2．已知△ABC 的三边长分别为、、 2, △A′B′C′的两边长分别是1和, 如果△ABC 与△A′B′C′ 相似, 那么△A′B′C′ 的第三边长应该是 ( ).A. B. C. D.3．（大庆校级模拟）如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．4. （盐城）如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF＝90°，则一定有（）.A．ΔADE∽ΔAEF B．ΔECF∽ΔAEF C．ΔADE∽ΔECF D．ΔAEF∽ΔABF 6. 如图所示在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为( ).A. B.8 C.10 D.16二、填空题7.（上海闵行一模）如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）8如图所示，∠C=∠E=90°，AD=10，DE=8，AB=5，则AC=________.9.如图所示，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为________或________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似(至少找出两个满足条件的点的坐标).10.如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=__________.11.如图，CD∥AB，AC、BD相交于点O,点E、F分别在AC、BD上，且EF∥AB,则图中与△OEF相似的三角形为_________.12．如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE交CD于点F,则图中相似三角形共有_________对.三．解答题13. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3，AE＝2，BD＝4，求的值及AC、EC的长度．14. 如图在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，且，求证：BD⊥CD．15.如图，在△ABC中，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AB上一点，AF⊥CE于F，AD交CE于G 点，（1）求证：AC2=CE•CF；（2）若∠B=38°，求∠CFD的度数．【精练答案与解析】一．选择题1.【答案】C.2.【答案】A.【解析】根据三边对应成比例，可以确定3==226第三边，所以第三边是3.【答案】B.【解析】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．故选B．4.【答案】C．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC，∴与△AEF相似的三角形有2个．5.【答案】C.【解析】∵∠AEF＝90°, ∴∠1+∠2=90°，又∵∠D=∠C=90°，∴∠3+∠2=90°，即∠1=∠3，∴△ADE∽△ECF.6.【答案】C.【解析】∵ EF∥AB，∴，∵，∴，，∴ CD=10，故选C.二. 填空题7.【答案】AB∥DE．【解析】∵∠A=∠D，∴当∠B=∠DEF时，△ABC∽△DEF，∵AB∥DE时，∠B=∠DEF，∴添加AB∥DE时，使△ABC∽△DEF．8.【答案】 3 .【解析】∵∠C=∠E，∠CAB=∠EAD，∴△ACB∽△AED，∴，BC=4，在Rt△ABC中，.9．【答案】；.10.【答案】4.【解析】∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B=∠D=90°，又∵AC⊥CE，∴∠BCA+∠DCE=90°，∴∠BCA=∠E,∴△ABC∽△CDE.∵C是线段BD的中点，ED=1，BD=4∴BC=CD=2∴AB CDCD DE,即AB=4.11.【答案】△OAB,△OCD.12.【答案】3.【解析】∵平行四边形ABCD，∴AD∥BE.AB∥CD∴△EFC∽△EAB; △EFC∽△AFD; △AFD∽△EAB.三综合题13.【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵，，∴，∴AC＝，∴EC＝AC－AE＝．14.【解析】∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，又∵，∴△ABD∽△DCB，∴∠A＝∠BDC，∵∠A＝90°，∴∠BDC＝90°，∴BD⊥CD ．15.【解析】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠CFA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠CFA=∠BAC，∵∠ACF=∠FCA，∴△CAF∽△CEA，∴=，∴CA2=CE•CF；（2）∵∠CAB=∠CDA，∠ACD=∠BCA，∴△CAD∽△CBA，∴=，∴CA2=CB×CD，同理可得：CA2=CF×CE，∴CD•BC=CF•CE，∴=，∵∠DCF=∠ECB，∴△CDF∽△CEB，∴∠CFD=∠B，∵∠B=38°，∴∠CFD=38°．。
第十五章相似三角形的运用本章进步目标★★★★★☆Level 5通过对本节课的学习，你能够：1．对相似三角形的运用达到【高级运用】级别。
2．对位似的理解达到【初级理解】级别。
VISIBLE PROGRESS SYSTEM进步可视化教学体系189VISIBLE PROGRESS SYSTEM190 VISIBLE PROGRESS SYSTEM第一关相似三角形的周长与面积★★★★☆☆Level 4本关进步目标★★★★☆☆你能够解决相似三角形中的周长面积问题。
.191VISIBLE PROGRESS SYSTEM192VISIBLE PROGRESS SYSTEM学习重点：周长面积在相似中的应用。
1．两个相似三角形的相似比是1∶3，周长差是60，则这两个相似三角形的周长分别是 。
2．如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（ ） A.32B.33C.34D.363．在一张比例尺为1:500的建筑图纸上，一个多边形花坛画在图上的周长是3.6cm ，则花坛的实际周长是多少？若花坛地基的面积是202m ，则画在图上的面积是多少？相似三角形的周长和面积相似三角形的性质三角形周长面积公式关卡1-1ABCD E相似三角形的周长和面积过关指南Tips笔记★★★★☆☆ 初级运用例题193VISIBLE PROGRESS SYSTEM顺次连接三角形三边的中点，所构成的三角形与原三角形对应高的比是（ ） A ．1:4 B ．1:3 C ．1:2 D ．1:2在相似三角形中,已知其中一个三角形三边的长是4,6,8,另一个三角形的一边长是2,则另一个 三角形的周长是 ( )A. 4.5B. 6C. 9D. 以上答案都有可能如图，在△ABC 中，D ，E 是AB 边上的点，且AD=DE=EB ，DF ∥EG ∥BC ，则△ABC 被分成三部分，S △ADF ：S 四边形DEGF ：S 四边形EBCG 等于（ ）．A ．1：1：1B ． 1：2：3C ． 1：4：9 D. 1：3：5如图，在△ABC 中，DE ∥AC ，AD ：DB=2：1，F 为AC 上任意一点，△DEF 的面积为4，则S △ABC = ．如图DE 是△ABC 的中位线，M 是DE 的中点， CM 交AB 于N 则S DMN ：S 四边形ANME =_______A ．51B ．41C ．52D ．72过关练习错题记录Exercise 1错题记录Exercise 2错题记录Exercise 3错题记录Exercise 4错题记录Exercise 5第二关相似三角形的运用★★★★★☆Level 5本关进步目标★★★★★☆你会全面应用相似三角形的性质和判定。
教学过程前课回顾1. 相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 2. 相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方错题重现1．若3x-7y=0, 则y∶x=_______, =________。
2．若a=7, b=4, c=5, 则b, a, c 的第四比例项d=_______。
3.若线段a=4, b=6, 则a, b 的比例中项为________。
4.已知：===, 则=______，=_________。
5.已知：a∶b∶c=3∶4∶5, a+b -c=4, 则4a+2b-3c=________。
知识详解知识点二：相似三角形的判定 相似三角形的几种基本图形：A C E DB①E DCB A ②A③C BDE D BCA⑥A CB④D A CDBP⑤图①为“A ”型图，条件是DE ∥BC ，基本结论是△ADE ∽△ABC ； 图②为“X ”型图，条件是ED ∥BC ，基本结论是△ADE ∽△ABC ； 图③，图④是图①的变式；图⑤是图②的变式；图⑥是“母子”型图，条件是CD 为斜边上的高，基本结论是△ACD ∽△ABC ∽△CBD 。
典型例题作辅助线构造“A ”“X ”型例1、如图，1==DEAECD BD ，求BF AF 。
（试用多种方法解）方法一：方法二：方法三：例2、如图，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 上的一点，且AE=31AD ，CE 交AB 于点F ，若AF=1.2cm ，求AB 的长。
相似三角形的判定--知识讲解（提高）责编:康红梅【学习目标】1、了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法；2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的判定定理【高清课堂：相似三角形的判定（1）高清ID号：394497关联的位置名称：相似三角形的判定】1．判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似；2．判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；3．判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.4．判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：【典型例题】类型一、相似三角形1. 判断对错：(1)两个直角三角形一定相似吗？为什么？(2)两个等腰三角形一定相似吗？为什么？(3) 两个等边三角形一定相似吗？为什么？【思路点拨】注意相似三角形判定定理的灵活运用.【答案与解析】(1).不一定相似，反例：直角三角形只确定一个直角，其他的两对角可能相等，也可能不相等.所以直角三角形不一定相似.(2)不一定相似，反例：等腰三角形中只有两边相等，而底边不固定.因此两个等腰三角形中有两边对应成比例，两底边的比不一定等于对应腰的比，所以等腰三角形不一定相似.(3) 一定相似.因为等边三角形各边都相等，各角都等于60度，所以两个等边三角形对应角相等，对应边成比例，因此两个等边三角形一定相似.【总结升华】要说明两个三角形相似，要同时满足对应角相等，对应边成比例.要说明不相似，则只要否定其中的一个条件.举一反三：【变式】下列说法错误的是（）．A．有一对锐角对应相等的两个直角三角形相似B．全等的两个三角形一定相似C．对应角相等的两个多边形相似D．两条邻边对应成比例的两个矩形相似【答案】C.类型二、相似三角形的判定2. （2016•兴化市校级二模）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．【思路点拨】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．【答案与解析】（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，∵DF=DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．【总结升华】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．举一反三：【变式】（2015•大庆模拟）如图，△ABC中，AB=5，BC=3，CA=4，D为AB的中点，过点D 的直线与BC交于点E，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE= ．【答案】解：∵D为AB的中点，∴BD=AB=，∵∠DBE=∠ABC，∴当∠DBE=∠ACB时，△BDE∽△BAC时，如图1，则=，即=，解得DE=2；当∠BDE=∠ACB时，如图2，DE交AC于F，∵∠DAF=∠CAB，∴△ADF∽△ACB，∴△BDE∽△BCA，∴DE BDAC BC=，即2.543DE=，解得DE=10.3综上所述，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE=2或10. 3【高清课程名称：相似三角形的判定（1）高清ID号： 394497关联的位置名称（播放点名称）：练习4】3.如图，小正方形边长均为1，则图中的三角形（阴影部分）与相似的是哪一个？图（1）图（2）图（3）图（4）【答案与解析】图中的三角形为格点三角形，可根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度的比是否相等来判断哪两个三角形相似．由勾股定理知，，．图（1）中，三角形的三边长分别为1，，．图（2）中，三角形的三边长分别为1，，．图（3）中，三角形的三边长分别为，，3．图（4）中，三角形的三边长分别为2，，．由于，故图（2）中的三角形和相似．【总结升华】判断三边是否成比例，应先将三边按大小顺序排列，然后分别计算它们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似．4. 已知：如图，，，，当BD与a、b之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？【答案与解析】由于两个三角形是直角三角形，所以只要有夹直角两边的比相等，就有两个三角形相似．，∴（1）当时，∽．此时，，即，．即当时，∽．（2）当时，∽．此时，，即，．即当时，∽．综上所述，当或时，这两个三角形相似．【总结升华】本题仍是考虑两个三角形有一个角相等时，夹这两个角两边的比相等时有两种情况．举一反三：【变式】如图，正方形ABCD和等腰Rt，其中，G是CD与EF的交点．（1）求证：≌．（2）若，，，求的值．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，，．是等腰直角三角形，，，，≌．（2）解：在中，，，，．≌，∴DE=BF=4，∠DEC=∠BFC=90°.∵∠EDC+∠DCE=90°，∠FCD+∠DCE=90°.∴∠EDC=∠FCD.∴∴∽,．。
相似三角形的性质一、知识点回顾1、相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
（3）相似三角形周长的比等于相似比。
以上各条可以概括为：相似三角形的对应线段之比等于相似比。
（4）相似三角形面积之比等于相似比的平方。
二、例题：例1、如图，在Rt △ABC 内有三个内接正方形，DF=9cm ，GK=6cm ，求第三个正方形的边长PQ 。
解： 设PQ=xcm ，则PK=6－x 。
∵GF=9-6=3cmRt △FGK ∽ Rt △KPQ ∴PQPKGK GF = 即：xx -=663∴x =4cm即：正方形的边长为4cm例2、如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，且EF=32BC=2cm ，△AEF 的周长为10cm ，求梯形BCFE 的周长。
解：∵EF ∥BC∴△AEF ∽ △ABC ∴BCEFABC AEF =∆∆周长周长（相似三角形的周长之比等于相似比）∴△ABC 的周长为15cm∴梯形BCFE 的周长=△ABC 的周长－△AEF 周长+2EF=9cm例3、如图，△ABC 被DE 、FG 分成面积相等的三部分，且DE ∥FG ∥BC 。
求DE ：FG ：BC 。
解：∵DE ∥FG ∴△ADE ∽ △AFG∴2⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆FG DE S S AFG ADE （相似三角形的面积之比等于相似比的平方）。
∵S 1=S 2∴212=⎪⎭⎫⎝⎛FG DE 即：21=FG DE 同理31=BC DE ∴DE ：FG ：BC=1：2：3例4、如图，矩形FGHN 内接于△ABC ，F 、G 在BC 上，N 、H 分别在AB 、AC 上，且AD ⊥BC 于D ，交NH 于E ，AD=8cm ，BC=24cm ，NF ：NH=1：2，求此矩形的面积。
解：∵NH ∥BC ∴△ANH ∽ △ABC 又∵AD ⊥BC ，NH ∥FG ∴AE ⊥NHD∴BCNHAD AE =（相似三角形的对应边上的高之比等于相似比） 设NF=x ，则NH=2x ，AE=AD －ED=8－x ∴24288xx =- ∴x =4.8 ∴S 矩形FGHN =NF×NH=46.08答：矩形的面积为46.08cm 2三、训练题： 【基础与巩固】1.等腰三角形ABC 的腰的长为12，底的长为10，等腰三角形A ′B ′C•′的两边长分别为5和6，且△ABC ∽△A ′B ′C ′，则△A ′B ′C ′的周长为（ ）．（A ）17 （B ）16 （C ）17或16 （D ）342.两个相似多边形的一组对应边分别为3cm•和4.5cm ，•如果它们的面积和为78cm 2，那么较大的多边形面积为（ ）．（A ）46.8cm 2 （B ）42cm 2 （C ）52cm 2 （D ）54cm 23.顺次连接三角形三边的中点，所成的三角形与原三角形的对应高的比是（ ）． （A ）1：4 （B ）1：3 （C ）1：2 （D ）1：24.已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，且AB=2A ′B ′，如果△ABC 的周长是26cm ，•那么△A ′B ′C ′的周长是______cm ；5.把一个四边形放大成与其相似的四边形，如果边长扩大为原来的10倍，•那么面积扩大为原来的________倍，如果面积扩大为原来的25倍，那么边长扩大为原来的_________倍；6.要把一根1m 长的铜丝截成两段，用它们围成两个相似三角形，且相似比为35，那么截成的两段铜丝长度的差应是______m ．7.如果两个相似三角形对应高的比是1：2，那么它们的面积比是______；8.如果两个相似三角形对应中线的比等于5：6，•那么这两个相似三角形的相似比为_______；9.如果两个相似三角形的周长分别为9cm 和15cm ，•那么这两个相似三角形的对应角平分线的比为________；10.若△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD 、A ′D ′分别是△ABC 、△A ′B ′C ′的高，AD ： A ′D ′=3：4，△A ′B ′C ′的一条中线B ′E ′=16cm ，则△ABC 的中线 BE=_______cm ．11.在一张比例尺为1：5 000•的地图上，•一块多边形区域的周长是72cm ，•面积是320cm 2，求这个区域的实际周长和面积．12.已知△ABC 的三边长分别为3，4，5，与它相似的△A ′B ′C ′的最大边长为15，•求△A ′B ′C ′的面积．13.如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD 、A ′D ′分别是这两个三角形的高，EF 、E•′F ′分别是这两个三角形的中位线．''''AD EFA D F F 与相等吗？为什么？14. 如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=3cm ，AC=4cm ，以斜边BC 上距点B3cm 的点P•为中心，把AB C F G HND E这个三角形按逆时针方向旋转90°成图中的△DEF位置，•求旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是多少？15. 如图，△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC、△A′B′C′的角平分线，BE、B′E′分别是△ABC、△A′B′C′的中线，AD、BE相交于点O，A′D′、B′E′相交于点O′．△AOE与△A′O′E′相似吗？为什么？16. 如图，在矩形FGHN中，点F、G在边BC上，点N、H分别在边AB、AC上，且AD⊥BC，•垂足为D，AD交NH于点E，AD=8cm，BC=24cm，NF：NH=1：2，求此矩形的面积．17. 一块直角三角形木块的面积为1.5m2，直角边AB长1.5m，想要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲、乙两人的加工方法分别如图①、图②所示．你能用所学的知识说明谁的加工方法更符合要求吗？（加工损耗忽略不计）【拓展与延伸】1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD分成两部分面积的比是1：2，EF是中位线，则被EF分成的两部分面积之比为S AEFD：S BCFE=（）A、3：4B、4：5 C：5：7 D、7：92、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若S△AOD:S△ACD=1：3，则S△AOD:S△BOC 等于（）A、1：6 B、1：3 C、1：4 D、1：63、如图，DE∥BC，DE把△ABC的面积分成相等的两部分，那么DE：BC等于（）A、1：2B、1：4C、2：2D、2：24、如图，将△ABC的高AD三等分，过每一个分点作底边的平行线，这样把三角形分成三部分，设这三部分的面积为S1，S2，S3，则S1：S2：S3=（）A 、1：2：3B 、2：3：4C 、1：3：5D 、3：5：75、如图，在△ABC 中，∠CBA=90°，BD ⊥AC 于D ，则下面关系式中错误的是（ ）A 、AB 2=AD×AC B 、BD 2=AD×DC C 、AB 2=AC 2－BC 2 D 、AB 2=AC×DC6、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，PQMN 为正方形，且顶点在△ABC 各边上，BC=60cm ，AD=40cm ，则正方形边长为（ ）A 、12cmB 、16cmC 、20cmD 、24cm7、如果两个相似三角形的对应边的比是4：5，周长的和为18cm ，那么这两个三角形的周长分别为_______________。
相似三角形的判定是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形的定义、相似三角形判定定理1和相似三角形判定定理2；重点是根据已知条件灵活运用这两种判定定理，以及这两者之间的相互结合．1、相似三角形的定义如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．如图，DE是ABC∆的中位线，那么在ADE∆与ABC∆中，A A∠=∠，ADE B∠=∠，AED C∠=∠；12AD DE AEAB BC AC===．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作ADE∆∽ABC∆，其中点A与点A、点D与点B、点E与点C分别是对应顶点；符号“∽”读作“相似于”．用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“∆”后相应的位置上．相似三角形的判定（一）内容分析知识结构模块一：相似三角形判定定理1知识精讲DAB CEABCA1B1C 1根据相似三角形的定义，可以得出：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）．（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 2、相似三角形的预备定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． 如图，已知直线l 与ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线分别交于点D 和点E ，则ADE ∆∽ABC ∆．3、相似三角形判定定理1如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果1A A ∠=∠、1B B ∠=∠，那么ABC ∆∽111A B C ∆．常见模型如下：【例1】根据下列条件判定ABC ∆与DEF ∆是否相似，并说明理由；如果相似，那么用符号 表示出来．（1）70A D ∠=∠=︒，60B ∠=︒，50E ∠=︒；（2）40A ∠=︒，80B ∠=︒，80E ∠=︒，60F ∠=︒．【难度】★【答案】（1）相似，ABC ∆∽DFE ∆；（2）相似，ABC ∆∽DEF ∆．【解析】（1）根据三角形内角和180︒，可得50C E ∠=︒=∠，又70A D ∠=∠=︒，根据相似三角形判定定理1，确立对应关系，即可判定ABC ∆∽DFE ∆；（2）根据三角形内角和180︒，可得60C F ∠=︒=∠，又80B E ∠=∠=︒，根据相似三角形判定定理1，确立对应关系，即可判定ABC ∆∽DEF ∆【总结】考查相似三角形判定定理1，部分角度一定的情况下，可根据三角形内角和180︒进行求解．【例2】如图，E 是平行四边形ABCD 的边BA 延长线上的一点，CE 交AD 于点F ．图中有哪几对相似三角形？【难度】★【答案】EAF ∆∽EBC ∆，EAF ∆∽CDF ∆，EBC ∆∽CDF ∆．【解析】由////AB CD AD BC ，，可得： ////AE CD AF BC ，，根据相似三角形预备定理， 可得：EAF ∆∽EBC ∆，EAF ∆∽CDF ∆，进而可得：EBC ∆∽CDF ∆，即这三个三角形两两相似．【总结】考查相似三角形预备定理，同时考查相似三角形的传递性．例题解析ABCDEF【例3】如图，1=2=3∠∠∠，那么图中相似的三角形有哪几对？ 【难度】★【答案】ADE ∆∽ABC ∆，ADE ∆∽ACD ∆，ABC ∆∽ACD ∆，BCD ∆∽CDE ∆．【解析】根据1=2=3∠∠∠，同时有A ∠公共角必相等， 根据相似三角形判定定理1，可得ADE ∆∽ABC ∆， ADE ∆∽ACD ∆，ABC ∆∽ACD ∆；同时由1=3∠∠， 可得：//DE BC ，进而EDC DCB ∠=∠，又23∠=∠，根据相似三角形判定定理1，可得：BCD ∆∽CDE ∆．【总结】考查相似三角形判定定理1，同时要注意根据题目条件推出一些其它角相等的条件，注意不要遗漏．【例4】如图，D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、AC 上的点，且AED B ∠=∠．求证：AE AC AD AB =g g ．【难度】★ 【答案】略．【解析】证明：AED B A A ∠=∠∠=∠Q ，， AED ∴∆∽ABC ∆，AD AEAC AB∴=，即AE AC AD AB =g g ．【总结】考查相似三角形判定定理1和相似三角形的定义，各边对应成比例，先判定再应用即可得出结论．ABCD E 12 3ABCDEABD CABCD E【例5】如图，Rt ABC ∆在中，90C ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，且:9:4AD BD =，求:AC BC 的值．【难度】★ 【答案】3:2．【解析】90ACB ∠=︒Q ，即90ACD BCD ∠+∠=︒， 又CD AB ⊥，可得90ACD A ∠+∠=︒． A BCD ∴∠=∠．又90ADC BDC ∠=∠=︒，ACD ∴∆∽CBD ∆， AD DC ACDC BD BC∴==． Q :9:4AD BD =，设()90AD k k =>，则4BD k =，代入可得：6DC k =． ::9:63:2AC BC AD DC k k ∴===．【总结】考查基本模型的建立，直角三角形斜边上的高线分出的两个三角形与原三角形两两相似，称作“子母三角形”，是一种常用的数学模型．【例6】如图，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，D 是BC 中点，AE AD ⊥交CB 延长线于点E ，则BAE ∆相似于．【难度】★★ 【答案】ACE ∆．【解析】Q 90BAC ∠=︒，即90BAD CAD ∠+∠=︒， 又AE AD ⊥，即90BAD BAE ∠+∠=︒， CAD BAE ∴∠=∠．又D 为Rt ABC ∆斜边BC 中点，12AD BC CD ∴==．BAE C ∴∠=∠，由E E ∠=∠， BAE ∴∆∽ACE ∆．【总结】对于相等有公共角的两角，可推出相等，同时注意直角三角形斜边中线的应用把直角三角形分成了两个等腰三角形．A BCD E 【例7】如图，90ACB CED ∠=∠=︒，CD AB ⊥于点D ，3AC =，4BC =，求ED 的长． 【难度】★★【答案】3625．【解析】Q 3AC =，4BC =，=90ACB ∠︒， 225AB AC BC ∴=+=．根据面积法，可知CD AB AC BC ⋅=⋅，解得125CD =． 又CD AB ⊥，=90ACB ∠︒，可得ADC ∆∽ACB ∆．AD AC AC AB ∴=，代入可得：95AD =． Q 90ACB CED ∠=∠=︒，//DE BC ∴，925DE AD BC AB ∴==． 代入得：3625ED =． 【总结】考查对于“子母三角形”的认识，初步建立可将相似三角形中可将对应边之比转化为 同一三角形中边长比的思想，实际上这个这个图形中包含5个直角三角形，全部都是两 两相似．【例8】如图，AB BD ⊥，ED BD ⊥，点C 在线段BD 上运动，1ED =，4BD =，4AB =，若ABC ∆与CDE ∆相似，求BC 的值．【难度】★★【答案】165或2．【解析】（1）ABC ∆∽EDC ∆时，则应有4BC ABCD DE==．由4BD =，可得：41655BC BD ==；（2）ABC ∆∽CDE ∆时，则应有BC ABDE CD=． 由4BD =，代入得：44BC BC=-，解得：2BC =．【总结】解决三角形相似问题时，一定要注意确立好对应关系，题目没有明确说明的前提下，则需要进行分类讨论．AB C DEABCDEEMDCBA【例9】如图，ABC ∆是等边三角形，120DAE ∠=︒，求证AD AE AB DE =g g ． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：Q ABC ∆是等边三角形， 60BAC ACB ∴∠=∠=︒．Q 120DAE ∠=︒，60DAB CAE ∴∠+∠=︒．又60ACB E CAE ∠=∠+∠=︒，DAB E ∴∠=∠．D D ∠=∠Q ，DAB ∴∆∽DEA ∆，AD ABDE AE ∴=， 即AD AE AB DE =g g ．【总结】考查相似三角形的性质和相关相似三角形判定定理1，先判定再应用．【例10】正方形ABCD 中，E 是AD 中点，BM CE ⊥于点M ，6AB =厘米，求BM 的长． 【难度】★★1255cm ．【解析】Q 四边形ABCD 是正方形，690//BC CD AD AB cm D AD BC ∴====∠=︒，，． DEC BCM ∴∠=∠， 又90BMC D ∠=∠=︒， BMC ∴∆∽CDE ∆，BM DCBC EC ∴=， ∵E 是AD 中点，∴132DE AD cm ==． 由勾股定理可得：2235CE DE CD cm =+=， 代入可得：BM =1255cm ． 【总结】考查正方形背景下的直角三角形相似，实际上由直角和平行很容易得到相等的角，根据相似三角形判定定理1可证相似．ABCD EFOABC P【例11】如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，点O 是AC 边上一点，联 结BO 交AD 于点F ，OE OB ⊥交BC 边于点E ．求证：ABF ∆∽COE ∆．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：Q 90BAC ∠=︒， ∴90BAD CAD ∠+∠=︒，90ABO AOB ∠+∠=︒，又AD BC ⊥，OE OB ⊥，9090C CAD AOB EOC ∴∠+∠=︒∠+∠=︒，． BAD C ABO EOC ∴∠=∠∠=∠，．∴ABF ∆∽COE ∆．【总结】考查利用“子母三角形”基础模型证明角相等，根据同角的余角相等，证明角相等， 再利用相似三角形判定定理1即可证明．【例12】如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，P 是ABC ∆内一点， 且135APB APC ∠=∠=︒．求证：CPA ∆∽APB ∆．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：Q 90ACB ∠=︒，AC BC =， 45CAB ∴∠=︒． 即45CAP PAB ∠+∠=︒． 135APB ∠=︒Q ， 45CAP ACP ∴∠+∠=︒． ACP PAB ∴∠=∠． Q 135APB APC ∠=∠=︒， ∴CPA ∆∽APB ∆．【总结】考查相似三角形的判定定理1，需要根据三角形内角和进行等角转化．ABCDE FG【例13】如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，且2AB CD =，点E 、F 分别是AB 、BC 的 中点，EF 与BD 相交于点M ． （1）求证：EDM ∆∽FBM ∆；（2）若6DB =，求BM ．【难度】★★【答案】（1）略；（2）2BM =．【解析】（1）证明：Q 2AB CD =，E 是AB 的中点， BE CD ∴=，又AB //CD ，∴四边形EBCD 是平行四边形．//BC DE ∴，∴EDM ∆∽FBM ∆．（2）解：Q //BF DE ，F 为BC 中点，2DM DE BC MB BF BF ∴===，13BM BD ∴=．代入可得：2BM =．【总结】考查相似三角形的预备定理，同时与三角形一边平行线性质定理结合运用．【例14】如图，在ABC ∆中，AB AC =，DE //BC ，点F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点 G ，且EDF ABE ∠=∠．（1）求证：DEF ∆∽BDE ∆；（2）DG DF DB EF =g g ．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：（1）Q DE //BC ，ADE ABC AED ACB ∴∠=∠∠=∠，． Q AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，ADE AED ∴∠=∠，BDE FED ∴∠=∠，Q EDF ABE ∠=∠，∴DEF ∆∽BDE ∆．（2）Q DEF ∆∽BDE ∆，EF DEDE BD ∴=，DEB DFE ∠=∠，即2DB EF DE ⋅=． EDG EDF ∠=∠Q ，DGE ∴∆∽DEF ∆，DG DEDE DF∴=，即2DG DF DE ⋅=． DG DF DB EF ∴⋅=⋅．【总结】考查相似三角形判定定理1，根据题目所求进行相应比例线段的转化．A BCDE FMABCDE F GHAB C DEFO【例15】如图，已知ABC ∆、DEF ∆均为等边三角形，D 、E 分别在边AB 、BC 上，请找出一个与BDE ∆相似的三角形，并加以证明．【难度】★★【答案】BDE ∆∽CEH ∆．【解析】Q ABC ∆、DEF ∆是等边三角形， 60B C DEF ∴∠=∠=∠=︒．DEC DEF HEC BDE B ∠=∠+∠=∠+∠Q ， HEC BDE ∴∠=∠， ∴BDE ∆∽CEH ∆．同理可证得：BDE ∆∽AGD ∆∽FGH ∆．【总结】考查“一线三等角”模型的建立，根据外角可证相似．【例16】如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，OF BD ⊥于点O ，交CD 于点 E ，交BC 的延长线于点F ．求证：2AO OE OF =g ．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】证明：Q 四边形ABCD 是矩形， 90AO BO CO BCD ∴==∠=︒，， 90OCB OBC OCB OCE ∴∠=∠∠+∠=︒，， 又OF BD ⊥， 90OBC F ∴∠+∠=︒， OCE F ∴∠=∠． COE COF ∠=∠Q ， ∴OCE ∆∽OFC ∆， OC OEOF OC ∴=， 22OE OF OC AO ∴⋅==．【总结】考查相似三角形判定定理1，根据题目所给条件综合分析．ABCD EF【例17】如图，ABC ∆中，AB AC =，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF //AB ， 延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F ．求证：2BP PE PF =g ．【难度】★★★ 【答案】略【解析】证明：连结PC ．Q AB AC =，AD 是底边中线， BAP CAP ∴∠=∠． AP AP =Q ， BAP CAP ∴∆≅∆． BP CP ABP ACP ∴=∠=∠，．Q CF //AB ，ABP F ∴∠=∠，ACP F ∴∠=∠．EPC CPF ∠=∠Q ，PEC ∴∆∽PCF ∆，PE PCPC PF ∴=． 22PE PF PC BP ∴⋅==．【总结】考查相似三角形判定定理1，在有同角的情况下，再找出一个容易证明相等的角即可．【例18】如图，在ABC ∆中，12AB AC ==，6BC =，点D 在边AB 上，点E 在线段CD 上， 且BEC ACB ∠=，BE 的延长线与边AC 相交于点F ． （1）求证：BE CD BD BC =g g ；（2）设AD x =，AF y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域．【难度】★★★【答案】（1）略；（2）361212y x =--．【解析】（1）证明：AB AC =Q ，ABC ACB ∴∠=∠． Q BEC ACB ∠=， BEC ABC ∴∠=∠． BCE BCD ∠=∠Q ， BCD ∴∆∽ECB ∆，BD CDBE BC ∴=，即BE CD BD BC =g g ． （2）Q BCD ∆∽ECB ∆， CBE BDC ∴∠=∠． 又DBC BCF ∠=∠， BCD ∴∆∽CFB ∆， BC BDCF BC∴=． 即612126x y -=-，整理得：361212y x=--． 【总结】考查相似三角形判定定理1，往往由一对相似三角形性质可推出其它相似的三角形，注意性质与判定的转换应用．ABDEFPABCA 1B 1C 1ABCDO1、相似三角形判定定理2如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，1A A ∠=∠，1111AB ACA B AC =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．【例19】如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，2OA =，3OB =，6OC =， 4OD =．求证：OAD ∆与OBC ∆是相似三角形．【难度】★ 【答案】略．【解析】证明：Q 2OA =，3OB =，6OC =，4OD =，242363OA OD OB OC ∴===，， OA OCOB OD ∴=．AOD BOC ∠=∠Q ，∴OAD ∆与OBC ∆是相似三角形．【总结】考查相似三角形判定定理2，对应边成比例且夹角相等．模块二：相似三角形判定定理2知识精讲例题解析ABCDABCDE【例20】如图，点D 是ABC ∆的边AB 上的一点，且2AC AD AB =g ．求证：ACD ∆∽ABC ∆．【难度】★ 【答案】略．【解析】证明：Q 2AC AD AB =g ，AD ACAC AB ∴=， A A ∠=∠Q ，∴ACD ∆∽ABC ∆．【总结】考查相似三角形判定定理2，根据题目条件进行比例变形，对应边成比例夹角相等．【例21】如图，在ABC ∆与AED ∆中，AB ACAE AD=，BAD CAE ∠=∠．求证：ABC ∆∽AED ∆．【难度】★ 【答案】略．【解析】证明：Q BAD CAE ∠=∠， BAD CAD CAD CAE ∴∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠．Q AB AC AE AD=，∴ABC ∆∽AED ∆． 【总结】有公共角的两角，加上或减去公共部分，仍相等，根据判定定理2，可判定相似．【例22】下列说法一定正确的是（）（A ）有两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似 （B ）对应角相等的两个三角形不一定相似（C ）有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 （D ）一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似 【难度】★ 【答案】C【解析】根据判定定理2可知A 错误，C 正确；根据判定定理1可知B 错误，根据相似三角形预备定理可知只有直线与底边平行时才相似．【总结】考查相似三角形的判定定理掌握情况和相关条件．ABCDEABCE FG【例23】在ABC ∆和DEF ∆中，由下列条件不能推出ABC ∆∽DEF ∆的是（ ）（A ）AB ACDE DF =，B E ∠=∠ （B ）AB AC =，DE DF =，B E ∠=∠（C ）AB ACDE DF=，A D ∠=∠ （D ）AB AC =，DE DF =，C F ∠=∠【难度】★★ 【答案】A【解析】C 选项根据相似三角形判定定理2可知，B 和D 选项中三角形都是等腰三角形，一底角相等，可推知顶角相等，即两腰夹角相等，根据相似三角形判定定理2可推知．【总结】考查相似三角形判定定理2的运用．【例24】如图，D 是ABC ∆内一点，E 是ABC ∆外一点，EBC DBA ∠=∠，ECB DAB ∠=∠，求证：BDE BAC ∠=∠．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：Q EBC DBA ∠=∠，ECB DAB ∠=∠， BAD ∴∆∽BCE ∆，ABC DBE ∠=∠． BA BD BC BE ∴=， 即BA BCBD BE=，BAC ∴∆∽BDE ∆，∴BDE BAC ∠=∠．【总结】考查相似三角形判定定理2，先判定相似再应用性质得出相关结论证明相似，进行性质和判定的相互转化．【例25】已知，在ABC ∆中，BE 、CF 是ABC ∆的两条高，BE 、CF 交于点G ．求证：（1）AC CE CF GC =g g ；（2）AFE ACB ∠=∠． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：（1）Q 90AFC BEC ∠=∠=︒，ACF GCE ∠=∠，GCE ∴∆∽ACF ∆，GC CEAC CF ∴=，即AC CE CF GC =g g ． （2）Q 90AFC AEB ∠=∠=︒，A A ∠=∠，ABE ∴∆∽ACF ∆． AE AB AF AC ∴=，即AE AFAB AC =，又A A ∠=∠，AEF ∴∆∽ABC ∆，∴AFE ACB ∠=∠．【总结】考查“双高型”模型的建立，该图中共有8对相似三角形．ABCDEOABCB ’C ’【例26】如图，点O 是ABC ∆的垂心（垂心即三角形三条高所在直线的交点），联结AO 交 CB 的延长线于点D ，联结CO 交的AB 延长线于点E ，联结DE ．求证：ODE ∆∽OCA ∆．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：Q O 是ABC ∆的垂心， 90AEO CDO ∴∠=∠=︒． O O ∠=∠Q ， AOE ∴∆∽COD ∆，AO OECO OD ∴=， 即AO CO OE OD =． O O ∠=∠Q ，∴ODE ∆∽OCA ∆．【总结】考查“双高型”模型的建立，在钝角三角形中仍成立，该图中共有8对相似三角形，注意进行相似三角形性质和判定的转换．【例27】如图，ABC ∆∽''AB C ∆，点'B 、'C 分别对应点B 、C ．求证：'ABB ∆∽'ACC ∆．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：Q ABC ∆∽''AB C ∆，''''AB ACBAC B AC AB AC ∴=∠=∠，，''''AB AB BAB CAC AC AC ∴=∠=∠，，∴'ABB ∆∽'ACC ∆．【总结】考查相似三角形性质和判定的转换，题目中出现一对相似三角形往往与之关联的三角形也是一对相似三角形．NEFMDCBA【例28】如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，以M 为顶点作BMN MBC ∠=∠，MN交CD 于点N ，求证：2DNCN =．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：延长MN 、BC 相交于点E ，过点E 作EF BM ⊥ 交BM 于点F ，Q 四边形ABCD 是正方形，90//AD BC AB ABC AD BC ∴==∠=︒，，．设AB a =，则152AM DM a BM ===，，Q BMN MBC ∠=∠， BN MN ∴=， 152BM FM BM ∴===． 又90A BFE ∠=∠=︒，AM B M BE ∠=∠， ABM ∴∆∽MEB ∆，5BE BMBF AM∴==554BE BF a ∴=，14CE BE BC a ∴=-=．又//AD BC ，2DN DMCN CE∴==．【总结】考查正方形和相似三角形的性质，由对应边比例关系转化到一个三角形中边的比例关系，推导结论．【例29】如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD 是边BC 上的高，点E 在线段DC 上，EF AB ⊥， EG AC ⊥，垂足分别为F 、G ．求证：（1）EG CGAD CD=；（2）FD DG ⊥． 【难度】★★ 【答案】略． 【解析】证明：（1）Q EG AC ⊥，AD 是边BC 上的高， 90ADC EGC ∴∠=∠=︒．Q C C ∠=∠，EGC ∴∆∽ADC ∆，∴EG CG AD CD=． （2）Q 90BAC ∠=︒，EF AB ⊥，EG AC ⊥， ∴四边形是AFEG 矩形，AF EG ∴=． Q EG CG AD CD =， AF ADCG CD∴=． Q EG AC ⊥，AD 是边BC 上的高，即有9090DAC DAF DAC C ∠+∠=︒∠+∠=︒，，DAF C ∴∠=∠， FAD ∴∆∽GCD ∆，FDA GDC ∴∠=∠，FDA GDA GDC GDA ∴∠+∠=∠+∠，即FDG ADC ∠=∠，∴FD DG ⊥．【总结】考查相似三角形判定定理1与定理2和相似三角形性质综合题，需要根据题目需求进行变形，找准题目所求结论，然后根据性质和判定进行灵活转换．AB CD E FGABCE F GH【例30】如图，在ABC ∆中，正方形EFGH 内接于ABC ∆，点E 、F 在边AB 上，点G 、H 分别在BC 、AC 上，且2EF AE FB =g ．求证：（1）90C ∠=︒；（2）AH CG AE FB =g g ．【难度】★★★ 【答案】略． 【解析】证明：（1）Q 四边形EFGH 是正方形， 90EF EH FG HEF EFG ∴==∠=∠=︒，．Q 2EF AE FB =g ， EH FBAE FG∴=， AEH ∴∆∽GFB ∆， AHE B ∴∠=∠，90A B A AHE ∴∠+∠=∠+∠=︒，()18090C A B ∴∠=︒-∠+∠=︒．（2）Q 四边形EFGH 是正方形， CGH B ∴∠=∠．又90C GFB ∠=∠=︒，CHG ∴∆∽FGB ∆， CG HG FGBF BG BG∴==． 由（1）可得AEH ∆∽GFB ∆， FG AEBG AH∴=， CG AEBF AH∴=，即AH CG AE FB =g g ．【总结】过点D 向AB 作垂线，也可解答，可视作考查“子母三角形”与正方形性质相结合题型，出现两两相似．ABCPQ ABCD PH【例31】如图，PH 是Rt ABC ∆斜边AC 上的垂直平分线，垂直为点H ，并交直角边AB 于 点P ，D 是PH 上一点，且AD 是AP 与AB 的比例中项． 求证：（1）AP AB AH AC =g g ；（2）ACD ∆是等腰直角三角形．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】证明：（1）90B AHP PAH BAC ∠=∠=︒∠=∠Q ，，PAH ∴∆∽CAB ∆，AP AHAC AB ∴=，即AP AB AH AC =g g ．（2）Q AP AB AH AC =g g ，2AD AP AB =⋅，2AH AC AD ∴⋅=，即AH ADAD AC=． HAD CAD ∠=∠Q ，AHD ∴∆∽ADC ∆，90ADC AHD ∴∠=∠=︒．又PH 是AC 的垂直平分线，AD CD ∴=，即证ADC ∆是等腰直角三角形．【总结】考查三角形中的等比例转化，根据判定证明相似再根据相似的性质得出结论再证明相似，先判定再应用．【例32】如图，16AB =厘米，12AC =厘米，动点P 、Q 分别以2厘米/秒和1厘米/秒的 速度同时开始运动，其中点P 从点A 出发沿AC 边一直移动到点C 为止，点Q 从点B 出发沿BA 边一直移动到点A 为止．经过多长时间后，APQ ∆与ABC ∆相似？【难度】★★★【答案】4811s 或325s ．【解析】设两动点运动时间为t ，则2AP t =，BQ t =，16AQ t =-． （1）AQP ∆∽ABC ∆时，则有AQ APAB AC=，即1621612t t -=，解得：4811t s =． （2）APQ ∆∽ABC ∆时，则有AP AQAB AC=，即2161612t t -=，解得：325t s =． 【总结】解决三角形相似问题时，一定要注意确立好对应关系，题目没有明确说明的前提下，则需要进行分类讨论，三角形比例关系不确定，且有相等夹角时，实际上只需要将相应比例关系顺序变换一下即可．ABCDE FA BCD【习题1】如图，在ABC ∆中，如果EF //AB ，DE //BC ，那么你能找出哪几对相似三角形？ 【难度】★【答案】ADE ∆∽ABC ∆，EFC ∆∽ABC ∆，EFC ∆∽ADE ∆． 【解析】Q DE //BC ，∴ADE ∆∽ABC ∆．Q EF //AB ，∴EFC ∆∽ABC ∆，∴EFC ∆∽ADE ∆． 【总结】考查相似三角形预备定理，同时建立两两相似的概念．【习题2】如图，在ABC ∆中，D 为边AC 上一点，DBC A ∠=∠，6BC =，3AC =，则CD的长为．【难度】★ 【答案】2．【解析】Q DBC A ∠=∠，C C ∠=∠，ABC ∴∆∽BDC ∆．AC BCBC CD ∴=，代入可得：2CD = 【总结】考查相似三角形的判定定理1并进行相似三角形性质应用．【习题3】根据下列条件，判断和是否是相似三角形；如果是，那么用符号表示出来． （1）45A ∠=︒，12AB cm =，15AC cm =， 45D ∠=︒，16DE cm =，20DF cm =； （2）45A ∠=︒，12AB cm =，15AC cm =， 45E ∠=︒，20ED cm =，16EF cm =； （3）45A ∠=︒，12AB cm =，15AC cm =， 45D ∠=︒，16ED cm =，20EF cm =． 【难度】★【答案】（1）相似，ABC ∆∽DEF ∆；（2）相似，ABC ∆∽EFD ∆；（3）不相似 【解析】根据相似三角形判定定理2即可知对应边成比例，且夹角相等即相似，（1）（2）均 符合题意，但需确立好对应关系；（3）中相等两角非夹角，不相似． 【总结】考查相似三角形判定定理2的条件，尤其注意是对应成比例边的夹角．随堂检测A B CDE A BCDEABCDOM S【习题4】如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥，若6BC =，8AC =，则CD =．【难度】★★ 【答案】3．【解析】Q BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥，90C ∠=︒， BD BD =，BCD BED ∴∆≅∆，CD ED ∴=．同时又Q A A ∠=∠，ADE ∴∆∽ABC ∆，DE ADBC AB ∴=，由勾股定理可得：2210AB AC BC =+=，代入即为：8610DE DE-=，解得：3DE =，∴CD =3． 【总结】考查相似三角形判定定理1和相似三角形的性质，注意根据对应边相似关系转化到一个三角形中边的对应比例关系．【习题5】如图，AB //CD ，图中共有对相似三角形．【难度】★★ 【答案】6．【解析】根据AB //CD ，由相似三角形预备定理，可知图中有6对相似三角形，分成“A ”字型和“X ”字型两个类别．【总结】考查相似三角形的一些常见模型，由相似三角形预备 定理可推知，如“A ”字型和“X ”字型．【习题6】如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，且DE AC ⊥，那么:CD AD =．【难度】★★ 22．【解析】Q 四边形ABCD 是矩形， //90AD BC AD BC ADC BCD ∴=∠=∠=︒，，．Q DE AC ⊥，EDC DAC ∴∠=∠．ADC ∴∆∽DCE ∆，AD CDCD CE∴=．设AD a =，则1122CE BC a ==，由此可得：2CD =，∴2::22CD AD a =． 【总结】考查“子母三角形”基本图形，同时考查比例中项比值的求法．AB C DEF【习题7】如图，ABC ∆是直角三角形，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，E 是AC 的中点， ED 的延长线与CB 的延长线交于点F ．求证：FB FDFD FC=． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：Q 90ACB ∠=︒，CD AB ⊥， 即9090A ACD BCD ACD ∠+∠=︒∠+∠=︒，A BCD ∴∠=∠Q CD AB ⊥，E 是AC 中点，12DE AC AE ∴==A ADE ∴∠=∠ BDF ADE ∠=∠QBDF BCD ∴∠=∠ F F ∠=∠QCDF ∴∆∽DBF ∆∴FB FD FD FC= 【总结】考查“子母三角形”基本模型的建立，同时与直角三角形斜边中线分直角三角形为两等腰三角形知识点相结合，推出角相等，根据相似三角形判定定理1可证相似．ABCDE【习题8】如图，在ABC ∆中，点E 在中线BD 上，DAE ABD ∠=∠． 求证：（1）2AD DE DB =g ；（2）DEC ACB ∠=∠．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：（1）Q DAE ABD ∠=∠，ADE ADB ∠=∠，ADE ∴∆∽BDA ∆，AD DEDB AD ∴=，即2AD DE DB =g ． （2）Q 2AD DE DB =g ，AD CD =，2CD DE BD ∴=⋅，即DE CDCD BD =．EDC BDC ∠=∠Q ，CDE ∴∆∽BDC ∆，∴DEC ACB ∠=∠．【总结】考查相似三角形的判定定理2和相似三角形的性质，证明过程中注意公共线段的充分利用，往往可以作为中间量．【习题9】如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，M 是边AB 的中点，E 、G分别是边AC 、BC 上的一点，45EMG ∠=︒，AC 与MG 的延长线相交于点F ．（1）在不添加字母和线段的情况下，写出图中一定相似的三角形，并证明其中的一对； （2）联结EG ，当3AE =时，求EG 的长． 【难度】★★★【答案】（1）AMF ∆∽MEF ∆，AEM ∆∽BMG ∆；（2）53EG =．【解析】（1）例证AEM ∆∽BMG ∆，证明过程如下； 证明：Q 90ACB ∠=︒，AC BC =，45A B ∴∠=∠=︒．Q 45EMG ∠=︒，EMB EMG GMB AEM A ∴∠=∠+∠=∠+∠． GMB AEM ∴∠=∠，∴AEM ∆∽BMG ∆． （2）Q 4AC BC ==，2242AB AC BC ∴=+=． 又M 为AB 中点， 1222AM BM AB ∴===． 由（1）得AEM ∆∽BMG ∆，AE AM BM BG ∴=，即2222=，解得：83BG =． 413CE CG ∴==，，根据勾股定理得：2253EG CE CG =+=．【总结】考查“一线三等角”基本模型的建立，由外角可证相似三角形．ABC EFMGABCDEF【习题10】如图，ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，交AC 于点D ，点E 在BD 的延长线上， BA BD BC BE =g g ．（1）求证：AE AD =；（2）如果点F 在BD 上，CF CD =，求证：2BD BE BF =g ．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】证明：（1）Q BA BD BC BE =g g ，BA BEBC BD ∴=， 又BD 平分ABC ∠，ABE CBD ∴∠=∠， ABE ∴∆∽CBD ∆，AEB BDC ∴∠=∠． ADE BDC ∠=∠Q ， ADE AEB ∴∠=∠，∴AE AD =．（2）Q CF CD =， FDC DFC ∴∠=∠， BFC ADB ∴∠=∠．又Q ABE CBD ∠=∠，ABD ∴∆∽CBF ∆， BA BDBC BF∴=． 又BA BD BC BE =g g ， BA BEBC BD∴=， BD BEBF BD∴=．即2BD BE BF =g ．【总结】考查相似三角形判定定理1和2综合题型，再运用相似三角形性质进行证明．A BCD【作业1】如图，已知AD BC ⊥，CE AB ⊥，且交AD 于点P ，试写出图中所有的相似三角形．【难度】★【答案】BAD ∆∽BCE ∆∽PCD ∆∽PAE ∆．【解析】根据垂直和共用一个角，由相似三角形判定定理1 可知这4个直角三角形两两相似，共形成6对相似三角形．【总结】考查相似三角形中的基本模型，“双高形”，也可称作“飞镖形”，分出的4个三角形两两相似．【作业2】如图，在ABC ∆中，3AB =，3AC =，D 是边AC 上一点，且:1:2AD DC =， 联结BD ．求证：ABD ∆∽ACB ∆．【难度】★ 【答案】略．【解析】证明：Q :1:2AD DC =，3AC =， 1AD ∴=．Q 3AB =，33AD AB AB AC ∴==． A A ∠=∠Q ，∴ABD ∆∽ACB ∆．【总结】考查相似三角形的判定定理2，根据题目条件变形应用．课后作业ABCDEPA BCDEF 【作业3】如图，ABC ∆中，P 为AB 上一点，在下列四个条件下，①ACP B ∠=∠；② APC ACB ∠=∠；③2AC AP AB =g ；④AB CP AP CB =g g ，组合起来能得出：ABC ∆∽ACP ∆的是（）（A ）①、②、④ （B ）①、③、④ （C ）②、③、④ （D ）①、②、③【难度】★★ 【答案】D【解析】由相似三角形判定定理1，加上公共角A ∠，可知①②可判断相似；由相似三角形判定定理2，③变形即为AP ACAC AB =，加上公共夹角A ∠，可知③正确，④不正确．【总结】考查相似三角形的判定定理的掌握，考查判定定理2的条件．【作业4】如图，在ABC ∆中，15AB =厘米，12AC =厘米，AD 是BAC ∠的外角平分线，DE //AB 交AC 的延长线于点E ，求CE 的长．【难度】★★ 【答案】48CE cm =．【解析】Q AD 是BAC ∠的外角平分线， FAD EAD ∴∠=∠．Q DE //AB ，FAD ADE ∴∠=∠， EAD ADE ∴∠=∠， AE DE ∴=．又由DE //AB ，可得AB AC DE CE =， 即151212CE CE=+，解得48CE cm =．【总结】考查平行线与角平分线一起出现等腰三角形的基本模型，同时根据平行即可判定对应线段成比例即可．AB CPAB CD E ABCD E【作业5】如图，在Rt ABC ∆中，AB AC =，45DAE ∠=︒． 求证：（1）ABE ∆∽DCA ∆；（2）22BC BE CD =g ．【难度】★★ 【答案】略【解析】证明：（1）90AB AC BAC =∠=︒Q ，，45B C ∴∠=∠=︒． Q 45DAE ∠=︒，AED AEB ∠=∠，ABE ∴∆∽DAE ∆，同理可证DAE ∆∽DCA ∆，∴ABE ∆∽DCA ∆．（2）Q ABE ∆∽DCA ∆，AB BECD AC∴=，即CD BE AB AC ⋅=⋅． 90AB AC BAC =∠=︒Q ，，22222BC AB AC AB AC CD BE ∴=+=⋅=⋅．【总结】考查相似三角形的判定和相关性质，注意相似的传递性，先判定相似再应用相似性质证明相关题目．【作业6】如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 是AB 上的动点，作EDC ∆∽ABC ∆．求证：（1）ACE ∆∽BCD ∆；（2）AE //BC ．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：（1）Q EDC ∆∽ABC ∆，EC DCAC BC ∴=，DCE ACB ∠=∠， 即EC ACDC BC=，ACE ACD ACD BCD ∠+∠=∠+∠，∴ACE BCD ∠=∠，∴ACE ∆∽BCD ∆．（2）Q AB AC =，B ACB ∴∠=∠． Q ACE ∆∽BCD ∆，CAE B ∴∠=∠．CAE ACB ∴∠=∠，∴AE //BC ．【总结】由一对三角形的相似，根据相似三角形的性质，往往能推出其它的三角形的相似，注意多观察题目需要证明的结论，运用性质往结论方向综合证明．AB CDE【作业7】如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD AB ⊥于点A ，交BC 边于点E ，DC BC ⊥于 点C ，与AD 交于点D ． （1）求证：ACE ∆∽ADC ∆；（2）如果1CE =，2CD =，求AC 的长．【难度】★★★【答案】（1）略；（2）25AC =． 【解析】（1）证明：Q AD AB ⊥，DC BC ⊥，AEB CED ∠=∠， ∴AEB ∆∽CED ∆，B D ∴∠=∠．Q AB AC =，B ACE ∴∠=∠， D ACE ∴∠=∠． CAE CAD ∠=∠Q ，∴ACE ∆∽ADC ∆．（2）解：由（1）可知AEB ∆∽CED ∆，AE ABCE CD ∴=． Q 1CE =，2CD =，25AB AE AC DE ∴==，Q ACE ∆∽ADC ∆， AC CEAD CD∴=．即11252AC AC =+、 解得：25AC =． 【总结】考查对相似三角形性质的综合应用，进行比例转化，也可通过点A 向BC 作垂线构造“字母三角形”求得．AB CD EFM【作业8】如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB CD BC ==．点M 为边BC 的中点，以 点M 为顶点作EMF B ∠=∠，射线ME 交边AB 于点E ，射线MF 交边CD 于点F ，联结EF ．指出图中所有与BEM ∆相似的三角形，并加以证明．【难度】★★★【答案】BEM ∆∽CMF ∆；BEM ∆∽MEF ∆． 【解析】证明：//AD BC AB CD =Q ， B C ∴∠=∠．EMC EMF CMF BEM B ∠=∠+∠=∠+∠Q ，又EMF B ∠=∠，BEM CMF ∴∠=∠．∴BEM ∆∽CMF ∆． ∴BE EM CM MF=． Q M 是BC 中点，BM CM ∴=， BE EMBM MF ∴=， 即BE BM EM FM=． Q EMF B ∠=∠，∴BEM ∆∽MEF ∆．【总结】考查“一线三等角”基本模型，根据内角可证相似，同时根据相似的性质加以题目条件可证其它相似三角形，注意不要遗漏．。
黄金比例？？漫画释义满分晋级4相似三角形的 性质与判定三角形11级 特殊三角形 之直角三角形三角形12级 相似三角形的 性质与判定 三角形13级 相似三角形的 简单模型秋季班 第十二讲暑期班 第四讲暑期班 第五讲中考内容中考要求A B C图形的相似了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，会判断四条线段是否成比例，会利用线段的比例关系求未知线段；了解黄金分割；知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似；了解图形的位似关系会用比例的基本性质解决有关问题；会利用图形的相似解决一些简单的实际问题；能利用位似变换将一个图形放大或缩小相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题三角形的相似是平面几何中极为重要的内容，是北京中考数学中的重点考察内容，近几年的中考题虽然以直接证相似为结论的题目在减少，但作为一种解决问题的工具，在解题中必不可少。
相似性应用广泛，与三角形、平行四边形联系紧密。
估计北京中考的填空题、选择题将注重“相似三角形的判定与性质”等基础知识的考查，将在圆的有关计算等解答题中加大知识的横向与纵向联系的力度。
年份2010年2011年2012年题号 3 4，20 11，20分值4分9分9分考点相似三角形的简单计算根据三角形相似求比例；三角形相似与圆、解直角三角形的综合根据三角形相似求比例；三角形相似与圆、解直角三角形的综合中考考点分析中考内容与要求知识互联网一、比例的性质比例的性质 示例剖析（1）基本性质：(0)a cad bc bd b d =⇔=≠3223a ba b =⇔= （2）反比性质：(0)a c b dabcd b d a c =⇔=≠()23023a b ab a b =⇔=≠ （3）更比性质：a c a b b d c d =⇔=、(0)d cabcd b a =≠2233a b a b =⇔=或()302b ab a =≠※（4）合比性质：(0)a c a b c dbd b d b d ++=⇔=≠22555a a b b b ++=⇔=()0b ≠ （5）分比性质：(0)a c a b c dbd b d b d --=⇔=≠44333a a b b b --=⇔=()0b ≠ （6）合分比性质：()a c a b c d c d a b b d a b c d++=⇔=≠≠-- 443343a ab b a b ++=⇔=--()0,0b a b ≠-≠ ※（7）等比性质：312123k ka a a ab b b b ====121121k k a a a a b b b b +++⇒=+++ （其中k 为正整数，且1230k b b b b ++++≠）①12345123451a b c d e a b c d e a ++++====⇒=++++ ②345a b c==，当0a b c ++≠时 345345a b c a b c++===++ 二、成比例线段及相关概念概 念1．两条线段的比：选用同一长度单位量得的两条线段的长度的比，叫做这两条线段的比．2．成比例线段：如果线段a 和b 的比等于线段c 和d 的比，那么线段a ，b ，c ，d 叫模块一 成比例线段知识导航做成比例线段，记作a cb d =或ab c d =∶∶． 3．比例中项：若a bb c=，则称b 是a ，c 的比例中项．4．黄金分割点：如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），若AC BCAB AC=，则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，即512AC AB -=．CBA注意：线段的黄金分割点有两个．三、平行线分线段成比例定理及推论定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．如图1，所示，如果123l l l ∥∥，则AB DE BC EF =，AB DE AC DF =，BC EFAC DF=． 推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图2，所示，若DE BC ∥，则有AD AE DB EC =，AD AE AB AC =，DB ECAB AC =． 如图3，若AB DE ∥，则有AB AC BCDE CE CD==． l 3l 2l 1ED FCA BEDCABED CB A图⑴ 图⑵ 图⑶建议老师使用面积法证明相关结论.（学生版不加这句话）【例1】 ⑴ 若(0)23x y x =≠，则2x y x +=（ ） A ．12 B ．83 C ．73 D ．72⑵ 已知(0)a cabcd b d =≠，则下列等式中不成立的是（ ）A ．b d a c =B ．a b c d b d --=C ．a c a b c d =++ (0a b +≠且0c d +≠)D ．a d a b c b+=+⑶ 已知457x y z==，则x y y z +=+ ．⑷ 在比例尺为1︰2000的地图上测得AB 两地间的图上距离为5cm ，则AB 两地间的实际距离为 m ．⑸ 已知b 是a 、c 的比例中项，且cm a 3=，cm c 6=，则=b _____cm .【解析】 ⑴ D ．⑵ D ．⑶ ∵457x y z ==，∴4557x y y z++=++，∴93124x y y z +==+．⑷ 100；⑸32. 【例2】 ⑴ 在ABC △中，DE BC ∥交AB 于D ，交AC 于E ，下列不能成立的比例式是（ ）A ．AD AE DB EC = B ．AB AC AD AE = C ．AC EC AB DB = D ．AD AE EC DB=⑵ 如图，已知32AB AC BC AD AE DE ===，则 ①CE AE= ； ②若10cm BD =，则AD = cm ，③若ADE △的周长为16cm ，则ABC △的周长为 ． ⑶ 如图，ABC △中有菱形AMPN ，如果12AM MB =，则BP BC 的 值为 ． ⑷ 如图，已知DE BC ∥，EF AB ∥，现得到下列结论：①AE BF EC FC =；②AD AB BF BC =；③EF DE AB BC =；④CE EA CF BF =， 其中正确比例式的个数有（ ） A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个【解析】 ⑴ D ；⑵ 52；4；24cm ；⑶ 23；⑷ B.模块二 相似的相关知识点夯实基础F E D CB AP NMC B AE D A B C定 义示例剖析相似图形：形状相同的图形叫做相似图形． 两个正方形是相似图形相似多边形：我们把形状相同，大小不同的多边形，叫做相似多边形．放大后的图形和放大前的图形是相似多边形．相似三角形： 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）相似三角形的性质：⑴ 相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 相似三角形对应的高线、中线、角平分线的 比等于相似比；（需要证明）⑵ 相似三角形的周长之比等于相似比.⑶ 相似三角形的面积比等于相似比的平方．若ABC DEF △∽△， 则AB BC AC k DE EF DF ===（k 为相似比） ABC DEF C k C =△△，2ABC DEFSk S =△△【例3】 ⑴ 手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中每个图案花 边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是 （ ）A B C D⑵ 如图，ABC △中，点D 在线段BC 上，且ABC DBA △∽△， 则下列结论一定正确的是（ ）A ．AB AD AD CD ⋅=⋅ B ．2AB AC BD =⋅ C ．2AB BC BD =⋅ D ．AB AD BD BC ⋅=⋅⑶ 如图，在平行四边形ABCD 中，10AB =，6AD =，E是AD 的中点，在AB 上取一点F ，使CBF CDE △∽△， 则BF 的长是（ ） A. 5 B. 8.2 C. 6.4 D. 1.8夯实基础知识导航D CB ACBF DEA⑷如图，ABC AED △∽△，点D 、E 分别在AB 、AC 上， 且∠ABC =∠AED ．若DE =4，AE =5，BC =8；则AB 的长 为 ．(2012湖北随州)【解析】 ⑴ D. ⑵ C. ⑶ D. ⑷10．相似三角形的判定定理⑴有两个角对应相等的两个三角形相似；⑵两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似； ⑶三边对应成比例的两个三角形相似.由⑴得到① 任何两个等边三角形都相似;② 任何顶角相等的两个等腰三角形都相似;③ 三角形的中位线截三角形得到的小三角形与原三角形相似; ④ 一个锐角相等的两个直角三角形相似．【例4】 ⑴如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确．．．的是（ ） A ．∠ABD =∠C B ．∠ADB =∠ABC C ．CD CB BD AB = D ．ACABAB AD =(2012海南)⑵ 给出以下条件：①ABC △的两个角分别是58°和70°，A B C '''△的两个角分别是58°和52°.②ABC △的两边长分别为4cm 和3cm 2，夹角为40°，A B C '''△的两边长分别为4cm 3和1cm 2，夹角为40°. ③ABC △的边长分别是5cm 、6cm 、8cm ，A B C '''△的边长分别是5cm 2、3cm 、4cm . 夯实基础知识导航模块三 相似三角形的判定DCBAE D B AADECB④ABC △中，90C ∠=°，3AC =，4BC =，A B C '''△中，90C '∠=°，6A C ''=，8B C ''=.其中能判定ABC △和A B C '''△相似的条件有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4 个（北京三帆中学期中试题）【解析】 ⑴ ADC ACB ∠=∠或ACD B ∠=∠或AB ACAC AD=（答案不唯一）； ⑵ D .【例5】 ⑴ 如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①ABC △，②BCD △，③BDE △，④BFG △，⑤FGH △，⑥EFK △，其中②～⑥中，与三角形①相似的是（ ）A ．②③④B ．③④⑤C ．④⑤⑥D ．②③⑥⑵ 如图，在已建立直角坐标系的4×4正方形方格纸中， ABC △是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P 、A 、B 为顶点的三角形与ABC △相似（全等除外），则格点P 的坐标是 ．⑶ ︒=∠=∠90E C ，3=AC ，4=BC ，2=AE ，则=AD ．(2012新疆)【解析】 ⑴ B ；⑵()114P ，、()234P ，. ⑶310．【例6】 如图，E 是矩形ABCE 的边BC 上一点，EF ⊥AE ，EF 分别交AC 、CD 于点M 、F ，BG ⊥AC ，垂足为G ，BG 交AE 于点H ． (1) 求证：△ABE ∽△ECF ；(2) 找出与△ABH 相似的三角形，并证明；(3) 若E 是BC 中点，AB BC 2=，2=AB ，求EM 的长．（2012山东泰安）能力提升4321CB A xK H GF EDCBA ⑥⑤④③②①C BEH MG FD ARCB EHM G FD A【解析】(1) 证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABE =∠ECF =90°．∵AE ⊥EF ，∠AEB +∠FEC =90°．∴∠AEB +∠BEA =90°，∴∠BAE =∠CEF ，∴△ABE ∽△ECF ． (2) △ABH ∽△ECM ．证明：∵BG ⊥AC ，∴∠ABG +∠BAG =90°，∴∠ABH =∠ECM ，由(1)知，∠BAH =∠CEM ，∴△ABH ∽△ECM ． (3) 解：作MR ⊥BC ，垂足为R ，∵AB =BE =EC =2，∴AB ：BC =MR ：RC =2，∠AEB =45°，∴∠MER =45°，CR =2MR ，∴21==ER MR ，32=RC ，∴3222==MR EM ．【备选1】 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°．点E 为底AD 上一点，将△ABE沿直线BE 折叠，点A 落在梯形对角线BD 上的G 处，EG 的延长线交直线BC 于点F ．(1) 求证：△ABG ∽△BFE ；(2) 设AD =4，AB =3，当四边形EFCD 为平行四边形时，求BC 的长度．（2012湖北宜昌）【解析】 (1) 证明：∵AD ∥BC ；∴∠AEB =∠EBF ；∵由折叠知△EAB ≌△EGB ， ∴∠AEB =∠BEG ，∠EBF =∠BEF ； ∴FE =FB ，△FEB 为等腰三角形；∵∠ABG +∠GBF =90°，∠GBF +∠EFB =90°；EGDCFBA∴∠ABG =∠EFB ； 在等腰△ABG 和△FEB 中，()2180÷∠-︒=∠ABG BAG ，()2180÷∠-︒=∠EFB FBE ；∴∠BAG =∠FBE ； ∴△ABG ∽△BFE ；(2) ∵四边形EFCD 为平行四边形， EF ∥DC ；∵由折叠知，∠DAB =∠EGB =90°，∠DAB =∠BDC =90°； 又∵AD ∥BC ，∴∠ADB =∠DBC ； ∴△ABD ∽△DCB ； ∴CBDBDB AD =； ∵AD =4，AB =3， ∴BD =5；∴BC554=； 即BC=425.【备选2】 如图，直角梯形ABCD 中，90ADC =︒∠，AD BC ∥，点E 在BC 上，点F 在AC 上，DFC AEB =∠∠．⑴求证：ADF CAE △∽△．⑵当8AD =，6DC =，点E 、F 分别是BC 、AC 的中点时，求直角梯形ABCD 的面积．【解析】 ⑴ 在梯形ABCD 中，AD BC ∥∴DAF ACE =∠∠∵DFC AEB =∠∠ ∴DFA AEC ∠=∠ ∴ADF CAE △∽△⑵ ∵8AD =，6DC =，90ADC =︒∠∴10AC =又∵F 是AC 的中点，∴5AF =FEDCBA11初三暑期·第4讲·提高班·教师版 ∵ADF CAE △∽△ ∴AD AF CA CE= ∴8510CE =，∴254CE = ∵E 是BC 的中点∴252BC =∴直角梯形ABCD 的面积12512386222⎛⎫=⨯+⨯=⎪⎝⎭.【例7】 类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．(1) 如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ．若m EF AF =，求CGCD的值． (2) 拓展迁移：如图2，梯形ABCD 中，DC //AB ，点E 是BC 的延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ．若a CD AB =，b BE BC =()0 0＞，＞b a ，则EFAF的值是__________(用含a ，b 的代数式表示) ． （2012河南）【解析】 (1)2m作EH ∥AB 交BG 于点H ，则EFH ∆∽AFB ∆∴,AB AF m AB mEH EH EF=== ∵AB =CD ，∴CD mEH = EH ∥AB ∥CD ，∴BEH ∆∽BCG ∆∴2CG BCEH BE==，∴CG =2EH ∴.22CD mEH mCG EH == (2) ab ，过点E 作EH ∥AB 交BD 的延长线于点H ．探索创新图1D GF CE A图2BAFCE D H图3D GF C E BAH图4BA FCE D12初三暑期·第4讲·提高班·教师版FA BCDE MMECB A【备选3】⑴ 如图所示，AD 是ABC △的中线，点E 在AD 上，F 是BE 的延长线与AC 的交点．① 如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =；② 由①知，当E 是AD 的中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（如图所示，E 与A 、D 不重合），上述结论是否成立？若成立，请写出证明；若不成立，请说明理由．CDEFBAABFEDC⑵ 如图所示，在ABC △中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于点D ，求BCCD 的值． （北京师范大学附属中学期中测试）【解析】 ⑴过点D 、E 、F 作平行线均可构造出平行线的基本图形，然后利用这些基本图形的性质来解题．①如图所示，过点D 作BF 的平行线，交AC 于点H ． 由BD DC =可得FH HC =，由AE ED =可得AF FH =，则12AF FC =； ②结论依然成立，解法同上．⑵ 如图所示，过点C 作DE 的平行线交AB 于点F ．因为AM MC =，CF DE ∥， 则AE EF =．而14AE AB =，故2BF EF=． 又因为CF DE ∥，H A BCDE F13初三暑期·第4讲·提高班·教师版则2BC BFCD EF==.下列命题中，假命题是 （ ）A ．若两个直角三角形中，各有一个角是50°，则两三角形相似B ．若两个等腰三角形中，各有一个角是60°，则两三角形相似C ．若两个等腰三角形中，各有一个角是70°，则两三角形相似D ．若两个等腰三角形中，各有一个角是110°，则两三角形相似（北京八中期中试题）【解析】 C ._____________________如图，F 是ABC △的AB 边上一点，那么下面四个命题中错误的命题是（ ）A ．若AFC ACB ∠=∠，则ACF ABC △∽△B ．若ACF B ∠=∠，则ACF ABC △∽△ C ．若2AC AF AB =⋅，则ACF ABC △∽△D ．若::AC CF AB BC =，则ACF ABC △∽△【解析】 D ._____________________F CBA14初三暑期·第4讲·提高班·教师版第04讲精讲：作平行线构造相似三角形方法探究 引入新的概念：线段的分点与公共分点；线段的分点：已知线段AB ，在直线AB 上有一点C ，若AC 与BC 之间具有特殊的比例关系，则将点A 、B 、C 称为线段AB 的三个不同的分点；公共分点：不在同一条直线上的具有特殊比例关系的两条线段的共同的分点； 过公共分点作平行线，构造基本相似模型，来沟通题设所给的两个特殊比例关系是常见的相似解题方法；基本相似模型为“A 字型”和“8字型”.【探究1】如图，一条直线与△ABC 的边AB 、AC 及BC 的延长线交于D 、E 、F 三点.若CFBFEC AE =，试说明：D 是AB 的中点.【分析】结论AD =BD ，我们可视A 、B 、D 为线段AB 的三个不同的分点；条件CFBFEC AE =，我们可视A 、E 、C 为线段AC 的三个不同的分点.两者结合可得：A 为公共分点，过A 作BF 的平行线交FD 的延长线于点G .图中就可以出现与条件和结论都有密切联系的两个“8字型”的基本构图，如下图所示；GBE DAGBE DA类似地：过点A 作DF 的平行线交BF 的延长线于点H ，我们可以得到两个“A 字型”的基本构图，如下图所示；BE DABE DAFCBE DA15初三暑期·第4讲·提高班·教师版【探究2】已知：如图，在△ABC 中，3:2:=DB AD ，E 为CD的中点，AE 的延长线交BC 于点F .求BFFC.【分析】由3:2:=DB AD 可知：A 、D 、B 为线段AB 的三个分点；由CE =DE 可知：C 、D 、E 为线段CD 的三个分点； 由BFFC可知：B 、C 、F 为线段BC 的三个分点， 故此共有三个公共分点：点D 、点B 、点C .过这三个公共分点均可作两条平行线构造与条件和结论有联系的基本构图， 因此本题至少共有六种不同的求法. 辅助线如下图所示；方法一：过点D 作AC 的平行线交BC 与点G ； 方法二：过点D 作BC 的平行线交AF 与点G ； 方法三：过点B 作AF 的平行线交CD 的延长线于点G ； 方法四：过点B 作DC 的平行线交AF 的延长线于点G ； 方法五：过点C 作AB 的平行线交AF 的延长线于点G ； 方法六：过点C 作AF 的平行线交BA 的延长线于点G .G FEDA GFEDA GFEDAFEDCBA16初三暑期·第4讲·提高班·教师版GFEDCBAGFEDCBAG FE DCBA17初三暑期·第4讲·提高班·教师版训练1. ⑴ 已知243a b c b c a c a b+-+-+-==，则4::2a b c = ． ⑵ 已知：a b b c c ax c a b+++===，求x 的值．【解析】 ⑴ 设243a b c b c a c a bk +-+-+-===，∴243a b c k b c a k c a b k +-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩①②③ ∴①+②+③:9a b c k ++= ∴52372a k b k c k⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩∴4::210:3:7a b c =. ⑵因为等比性质的条件是“0b d n +++>”，所以要分“0c a b ++=”和“0c a b ++≠”两种情况讨论．当0c a b ++≠时，()22c a b a b b c c a x c a b c a b+++++=====++；当0c a b ++=时，有a b c +=-，所以1a b cx c c+-===-.点评：在运用等比性质时，要注意“0b d n +++=”，否则会造成错误．训练2. 如图所示，在ABC △中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ． ⑴当12AE AC =时，求AO AD的值； ⑵当13AE AC =、14时，求AO AD的值； ⑶试猜想11AE AC n =+时AOAD的值，并证明你的猜想．【解析】 ⑴ 过点D 作DF BE ∥交AC 于F ，∴1CD CFBD EF ==当12AE AC =时，∴1AE EC =，∴23AE AF =，23AO AD =． ⑵ 过点D 作DF BE ∥交AC 于F ，∴1CD CFBD EF== 当13AE AC =时，∴12AE EC =，∴1AE EF =，12AO AD =． 当14AE AC =时，∴13AE EC =，∴11.5AE EF =，25AO AD =． 思维拓展训练(选讲)E D C BAO F ED C B AO18初三暑期·第4讲·提高班·教师版BE CA D⑶ 当11AE AC n =+时，22AO AD n=+， 如图所示，过点D 作DF BE ∥交AC 于点F ．因为DF BE ∥，BD CD =，则EF FC =．因为11AE AC n =+，故CE nAE =，122n EF CE AE ==． 因为DF BE ∥，故222AO AE AO OD EF n AD n==⇒=+．训练3. 已知：如图，Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，DE ∥AB ． ⑴ 当△CDE 的面积与四边形DABE 的面积相等时，求CD 的长； ⑵ 当△CDE 的周长与四边形DABE 的周长相等时，求CD 的长． 【解析】 ⑴ ;22 ⑵ ⋅724训练4. 已知：AD 平分BAC ∠，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 延长线于F ，求证：2FD FB FC =⋅．EFC D B AAB DC FE【解析】 连接AF ．∵EF 为AD 的中垂线 ∴AF DF =，ADF DAF =∠∠又∵BAD ABD ADF +=∠∠∠，DAC FAC DAF +=∠∠∠ 又∵AD 平分BAC ∠ ∴ABD CAF =∠∠ 在ACF △和BAF △中AFC BFA CAF ABF=⎧⎨=⎩∠∠∠∠∴ACF BAF △∽△∴CF AF AF BF=，即2AF BF CF =⋅ ∴2FD FB FC =⋅．19初三暑期·第4讲·提高班·教师版知识模块一 成比例线段 课后演练【演练1】 如图，在ABC △中，AB AC <，延长AB 到D ，在AC 上取CE BD =，连结DE 与BC交于F ，求证：AB EFAC FD=． AB CEDFF DH E CBA【解析】 过E 作EH BC ∥交AD 于H ．在DHE △中，有EF BH FD BD =， EC BD =，∴EF BHFD EC=①． 在ABC △中，∵EH BC ∥，∴BH ABEC AC=②． 由①②得AB EFAC FD=．知识模块二 相似的相关知识点 课后演练【演练2】 如图，在ABC △中，D 、E 两点分别在AB 、AC 边上，DE BC ∥．若23DE BC =∶∶，则ADE ABC S S △△∶为（ ）A ．49∶B ．94∶C ．23∶D ．32∶【解析】 A .知识模块三 相似三角形的判定 课后演练【演练3】 如图，D 、E 是ABC △的边AC 、AB 上的点，且AD AC ⋅=AE AB ⋅，求证：ADE B ∠=∠.【解析】 ∵AD AC AE AB ⋅=⋅，∴AD AEAB AC=∵DAE BAC ∠=∠∴DAE △∽BAC △，∴ADE B ∠=∠.【演练4】 梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AB DC =，E 、F 分别为AB实战演练E DCBAMF D CBE AED CBA20初三暑期·第4讲·提高班·教师版与BC 中点．求证：⑴ EDM FBM △∽△； ⑵ 9BD =，求BM 的长．【解析】 ⑴ ∵E 为AB 的中点，且2AB DC =∴CD BE = 又∵CD BE ∥∴四边形BCDE 是平行四边形 ∴BC DE ∥ ∴DEM MFB =∠∠ 又∵DME BMF =∠∠ ∴EDM FBM △∽△; ⑵ 由⑴知2DE BC BF ==由∵EDM FBM △∽△∴12BF BM DE DM == ∵9BD =，∴133BM BD ==.【演练5】 直线DE 与ABC △的AB 边相交于点D ，与AC 边相交于点E ，下列条件：①DE BC ∥；②AED B ∠=∠；③AE AC AD AB ⋅=⋅；④AE EDAC BC=中，能使ADE △与ABC △相似的条件有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 C.21初三暑期·第4讲·提高班·教师版测试1. 已知：()20a c e b d f b d f ===++≠，则a c eb d f ++++= ；⑵2323ac eb d f -+-+= . 【解析】 ∵2ac eb d f===，∴2a b =，2c d =，2e f =∴⑴()22222b d f a c e b d f b d f b d f b d f++++++===++++++ ⑵()223232462232323b d f a c e b d f b d f b d f b d f-+-+-+===-+-+-+.测试2. 如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上一点，连接DE ，交BC 于F ，交AC 于G ，那么图中相似三角形（不含全等三角形）共有（ ）对. A. 6 B. 5 C. 4 D. 3【解析】 B .测试3. 如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且AFE B =∠∠． ⑴ 求证：ADF DEC △∽△．⑵ 若4AB =，33AD =，3AE =，求AF 的长． 【解析】 ⑴ ∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD BC ∥，AB CD ∥∴ADF CED =∠∠，180B C +=︒∠∠ ∵180AFE AFD +=︒∠∠，AFE B =∠∠ ∴AFD C =∠∠∴ADF DEC △∽△; ⑵ ∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD BC ∥，4CD AB == 又∵AE BC ⊥ ∴AE AD ⊥在Rt ADE △中，()22223336DE AD AE =+=+=∵ADF DEC △∽△ ∴AD AF DE CD = ∴3364AF =∴23AF =.课后测F EDCBAGFEDC B A第十七种品格：成就奥伦索•辛浦森与他的橄榄球梦一个生长于旧金山贫民区的小男孩，从小因为营养不良而患有软骨症，在6岁时双腿变成“弓”字型，小腿严重萎缩。
