学而思初三数学暑假班第5讲.相似三角形的简单模型.提高班.学生版

第十五章相似三角形的运用本章进步目标★★★★★☆Level 5通过对本节课的学习，你能够：1．对相似三角形的运用达到【高级运用】级别。

2．对位似的理解达到【初级理解】级别。

VISIBLE PROGRESS SYSTEM进步可视化教学体系189VISIBLE PROGRESS SYSTEM190 VISIBLE PROGRESS SYSTEM第一关相似三角形的周长与面积★★★★☆☆Level 4本关进步目标★★★★☆☆你能够解决相似三角形中的周长面积问题。

.191VISIBLE PROGRESS SYSTEM192VISIBLE PROGRESS SYSTEM学习重点：周长面积在相似中的应用。

1．两个相似三角形的相似比是1∶3，周长差是60，则这两个相似三角形的周长分别是 。

2．如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（ ） A.32B.33C.34D.363．在一张比例尺为1:500的建筑图纸上，一个多边形花坛画在图上的周长是3.6cm ，则花坛的实际周长是多少？若花坛地基的面积是202m ，则画在图上的面积是多少？相似三角形的周长和面积相似三角形的性质三角形周长面积公式关卡1-1ABCD E相似三角形的周长和面积过关指南Tips笔记★★★★☆☆ 初级运用例题193VISIBLE PROGRESS SYSTEM顺次连接三角形三边的中点，所构成的三角形与原三角形对应高的比是（ ） A ．1:4 B ．1:3 C ．1:2 D ．1:2在相似三角形中,已知其中一个三角形三边的长是4,6,8,另一个三角形的一边长是2,则另一个 三角形的周长是 ( )A. 4.5B. 6C. 9D. 以上答案都有可能如图，在△ABC 中，D ，E 是AB 边上的点，且AD=DE=EB ，DF ∥EG ∥BC ，则△ABC 被分成三部分，S △ADF ：S 四边形DEGF ：S 四边形EBCG 等于（ ）．A ．1：1：1B ． 1：2：3C ． 1：4：9 D. 1：3：5如图，在△ABC 中，DE ∥AC ，AD ：DB=2：1，F 为AC 上任意一点，△DEF 的面积为4，则S △ABC = ．如图DE 是△ABC 的中位线，M 是DE 的中点， CM 交AB 于N 则S DMN ：S 四边形ANME =_______A ．51B ．41C ．52D ．72过关练习错题记录Exercise 1错题记录Exercise 2错题记录Exercise 3错题记录Exercise 4错题记录Exercise 5第二关相似三角形的运用★★★★★☆Level 5本关进步目标★★★★★☆你会全面应用相似三角形的性质和判定。

初三寒假·第1讲·尖子班·学生版考试内容考试要求层次ABC三角形了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会按边和角对三角形进行分类；理解三角形的内角和、外角和及三边关系；会画三角形的主要线段；知道三角形的内心、外心和重心会用尺规作给定条件的三角形；掌握三角形内角和定理及推论；会按要求解决三角形的边、角的计算问题；能用三角形的内心、外心的知识解决简单问题；会证明三角形的中位线定理，并会应用三角形中位线性质解决有关问题等腰三角形和直角三角形了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题 全等三角形 了解全等三角形的概念，了解相似三角形与全等三角形之间的关系 掌握两个三角形全等的条件和性质；会应用全等三角形的性质与判定解决有关问题 会运用全等三角形的知识和方法解决有关问题勾股定理及其逆定理 已知直角三角形的两边长，会求第三边长会用勾股定理及其逆定理解决简单问题相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题锐角三角函数了解锐角三角函数（sin cos tan A A A ，，）；知道304560︒︒︒，，角的三角函数值由某个角的一个三角函数值，会求这个角的其余两个三角函数值；会计算含有 304560︒︒︒，，角的三角函数式的值能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题解直角三角形知道解直角三角形的含义会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题能综合运用直角三角形的性质解决有关问题本讲结构中考大纲剖析1中考第一轮复习三角形初三寒假·第1讲·尖子班·学生版一、等腰三角形二、直角三角形1．直角三角形的边角关系．①．直角三角形的两锐角互余． ②．三边满足勾股定理． ③．边角间满足锐角三角函数．知识导航初三寒假·第1讲·尖子班·学生版45°60°2．特殊直角三角形“等腰直角三角形”“含30︒和60︒的直角三角形”边的比：112∶∶边的比：132∶∶3．直角三角形中的特殊线．d cba“直角三角形斜边中线2c d =” acbh “直角三角形斜边高abh c=”三.尺规构造等腰三角形和直角三角形问题作图求点坐标 “万能法”其他方法 等腰三角形 lAB已知点A 、B 和直线l ，在l 上求点P ，使PAB △为等腰三角形lP 4P 5P 3P 2P 1BA“两圆一垂”分别表示出点A 、B 、P 的坐标，再表示出线段AB 、BP 、AP 的长度，由①AB=AP ②AB=BP③BP=AP 列方程解出坐标 作等腰三角形底边的高，用勾股或相似建立等量关系直角三角形lAB已知点A 、B 和直线l ，在l 上求点P ，使PAB △为直角三角形BA P 1P 2P 3P 4l“两垂一圆”分别表示出点A 、B 、P 的坐标，再表示出线段AB 、BP 、AP 的长度，由①222AB BP AP =+ ②222BP AB AP =+ ③222AP AB BP =+ 列方程解出坐标作垂线，用勾股或相似建立等量关系四.全等三角形全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 全等三角形的判定：⑴SSS ；⑵SAS ；⑶ASA ；⑷AAS ；⑸HL ．在证明图形的线或角关系时，通常需要将全等与图形变换（旋转、平移、轴对称等）相结合.初三寒假·第1讲·尖子班·学生版五.相似三角形相似三角形的性质：⑴ 相似三角形的对应角相等，对应边成比例，其比值称为相似比．⑵ 相似三角形对应高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 相似三角形的判定：⑴ 平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似； ⑵ 两角对应相等，两三角形相似；⑶ 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ⑷ 三边对应成比例，两三角形相似． 相似三角形的基本模型：(1)EDC BA(3)ED CBA(4)D CBADCBA(6)EDCBA(2)EDCBA(5)EDCBA（10）（9）（8）A BDEABC DEEDBA【例1】 （1）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC △为等腰三角形，则点C 的个数是（ ） A.6 B.7 C.8 D.9（2）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4)，0，点B 的坐标为(410)，，点C 在y 轴上，且ABC △是直角三角形，则满足条件的C 点的坐标为 ．（3）如图所示，在△ABC 中，BC =6，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P在射线EF 上，BP 交CE 于D ，点Q 在CE 上且BQ 平分∠CBP ，设BP =y ，PE =x .当CQ =21CE 时，y 与x 之间的函数关系式是 ； 当CQ =n1CE （n 为不小于2的常数）时， y 与x 之间的函数关系式是 .模块一 特殊三角形夯实基础初三寒假·第1讲·尖子班·学生版（4）已知：如图，在ABC △中，B ACB ∠=∠，点D 在AB 边上，点 E 在AC 边的延长线上，且BD CE =，连接DE 交BC 于F ． 求证：DF EF =．【例2】 （1）如图，正方形ABCD 的边长为2, 将长为2的线段QF 的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿 图中所示方向按A D C B A →→→→滑动到点A 为止，同时点 F 从点B 出发，沿图中所示方向按B A D C B →→→→滑动到 点B 为止，那么在这个过程中，线段QF 的中点M 所经过的路线围 成的图形的面积为（ ）A. 2B. 4－πC.πD.1π-（2）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =2，点A 、C 分别在x轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动， 在 运动过程中，点B 到原点的最大距离是（ ）A. 222+ B ．52 C ．62 D ． 6以下探究主题为：几何最值问题【探究1】如图，在ABC △中，∠C =90°，AC =4，BC =3，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程 中，点B 到原点的最小距离是__________.【探究2】如图，在Rt ABC △ 中，∠C =90°，tan 12BAC ∠=，BC =6，点D在边AC 上，且23AD AC =，连结BD ，F 为BD 中点，将线段AD 绕 点A 旋转，在旋转过程中线段CF 长度的最大值为________，最小值 为_______.能力提升ACFEDB BC 第8题图QFMABC y xO CBA C BAO y x初三寒假·第1讲·尖子班·学生版【探究3】 如图，在Rt ABC △中，∠ACB =90°，∠B =30°，CB =33，点D 是平面上一点且CD =2，点P 为线段AB 上一动点，当△ ABC 绕点C 任意旋转时，在旋转过程中线段DP 长度的最大值 为_______，最小值为_______.【探究4】如图，Rt ABC △中，∠C =90°，∠ABC =30°，AB =6．点D 在AB 边上，点E 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合）， 且DA =DE ，则AD 的取值范围是___________________．【例3】 在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α（︒<<︒600α），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD .图1图2A BCDEDCBA（1）如图1，直接写出∠ABD 的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE =150°，∠ABE =60°，判断△ABE 的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结DE ，若∠DEC =45°，求α的值.夯实基础模块二 全等三角形PDCBACDABE初三寒假·第1讲·尖子班·学生版【例4】 等边三角形ABO 的边长为2个单位长度，点P 、Q 分别从点B 、O 同时出发，以每秒1个单位长度向点O 、A 运动．（到达点O 、A 时停止运动）⑴ 如图1，连接AP 、BQ 相交于点C ．证明：AP BQ =，60ACQ =︒∠． ⑵ 如图2，连接PQ ，探讨2PQ 与AB 之间的大小关系并证明你的结论．QA图1ACP QQP A图2夯实基础模块三 相似三角形能力提升初三寒假·第1讲·尖子班·学生版图3图2图12n-1B 2C 2A B CB 1C 1C 1B1C B A【例5】 （1）已知在△ABC 中，BC=a .如图1，点B 1 、C 1分别是AB 、AC 的中点，则线段B 1C 1的长是_______；如图2，点B 1 、B 2 ，C 1 、C 2分别是AB 、AC 的三等分点，则线段B 1C 1 + B 2C 2的值是__________；如图3, 点12......、、、n B B B ，12......、、、n C C C 分别是AB 、AC 的（n +1）等分点，则线段B 1C 1 + B 2C 2+……+ B n C n 的值是 ______.（2）如图,在正方形ABCD 中，AB =1，E 、F 分别是BC 、CD 边上点，① 若CE =12CB ，CF =12CD ，则图中阴影部分的面积是________；② 若CE =1n CB ，CF =1nCD ，则图中阴影部分的面积是_________.（用含n 的式子表示，n 是正整数）．（3）如图，在矩形ABCD 中， AB =4，BC =6，当直角三角板MPN 的直角顶点P 在BC 边上移动时，直角边MP 始终经过点A ，设直角 三角板的另一直角边PN 与CD 相交于点Q ．BP =x ，CQ=y ，那么y 与x 之间的函数图象大致是（ ）A能力提升【例6】如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点E是BC边上一点，∠DEF=45°且角的两边分别与边AB，射线CA交于点P，Q.（1）如图2，若点E为BC中点，将∠DEF绕着点E逆时针旋转，DE与边AB交于点P，EF与CA 的延长线交于点Q.设BP为x，CQ为y，试求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如图3，点E在边BC上沿B到C的方向运动（不与B，C重合），且DE始终经过点A,EF与边AC交于Q点．探究：在∠DEF运动过程中，△AEQ能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．初三寒假·第1讲·尖子班·学生版初三寒假·第1讲·尖子班·学生版【例7】 在△ABC 中，AB =4，BC =6，∠ACB =30°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1． （1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数； （2）如图2，连接AA 1，CC 1．若△CBC 1的面积为3，求△ABA 1的面积；（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转的过程中，点P 的对应点是点P 1，直接写出线段EP 1长度的最大值与最小值．C 1C BA 1A图2A 1C 1ABC图1图3A模块一 特殊三角形 课后演练【演练1】 ⑴如图，等腰ABC △中，AB AC =，20A =︒∠，线段AB 的垂直平分 线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则CBE ∠等于（ ） A ．80° B ． 70° C ．60° D ．50°实战演练图1EDBA11初三寒假·第1讲·尖子班·学生版⑵ 在等腰ABC △中，AB AC =，中线BD 将这个三角形的周长分别为15和 12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为______________．⑶ 如图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB 、BC 边上的点，AD BE =， AE 与CD 交于点F ，AG CD ⊥于点G ，则AGAF = ．【演练2】 如图，P 为边长为2的正三角形中任意一点，连接P A 、PB 、P C ，过P 点分别做三边的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则PD+PE+PF= ；阴影部分的面积为__________．模块二 全等三角形 课后演练 【演练3】 ⑴如图1，已知矩形ABCD 中，点E 是BC 上的一动点，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥AC于点G ，CH ⊥BD 于点H ，试证明CH =EF +EG ；图3GEFL ABCDABCD EFGH图2图1H GFE DCBA⑵ 若点E 在BC 的延长线上，如图2，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥AC 的延长线于点G ，CH ⊥BD 于点H ， 则EF 、EG 、ＣH 三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；⑶ 如图3，BD 是正方形ABCD 的对角线，L 在BD 上，且BL =BC ， 连接CL ，点E 是CL 上任一点， EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥BC 于点G ，猜想EF 、EG 、BD 之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；⑷ 观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF 、EG 、CH 这样的线段，并满足⑴或⑵的结论，写出相关题设的条件和结论．GFED CBAP F EA12初三寒假·第1讲·尖子班·学生版E 3E 2E 1D 4D 3D 2D 1CBA 【演练4】 图中是一副三角板，45︒的三角板Rt DEF △的直角顶点D 恰好在30︒的三角板Rt ABC △斜边AB 的中点处，304590A E EDF ACB ∠=︒∠=︒∠=∠=︒，，，DE 交AC 于点G ，GM AB ⊥ 于M ．⑴ 如图1，当DF 经过点C 时，作CN AB ⊥于N ，求证：AM DN =．⑵ 如图2，当DF AC ∥时，DF 交BC 于H ，作HN AB ⊥于N ，⑴的结论仍然成立，请 你说明理由．图2图1EHABCD FGN NMGF ED CBA模块三 相似三角形 课后演练【演练5】 如图，已知Rt ABC △，1D 是斜边AB 的中点，过1D 作11D E AC ⊥于1E ，连接1BE 交1CD 于2D ；过2D 作22D E AC ⊥ 于2E ，连接2BE 交1CD 于3D ；过3D 作33D E AC ⊥于3E ，…， 如此继续，可以依次得到点45n D D D ，，…，，分别记11BD E △， 22BD E △，33BD E △，…，n n BD E △的面积为123S S S ，，，…n S ．则n S =_________ABC S △（用含n 的代数式表示）．第十八种品格：坚持品格教育—坚持有些人，做事是怕别人说失败，为不失败而坚持。

第八讲 相 似知识点睛一、相似的性质和判定 二、等腰三角形和相似 三、全等和相似相关知识点1．相似形：形状相同的图形叫做相似形。

2．相似三角形：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。

3．相似三角形的判定定理⑴有两个角对应相等的两个三角形相似；一个三角形与另一个三角形的两个角对应相等，则这两个三角形相似，这是判定三角形相似的重要方法之一，由此可知：① 任何两个等边三角形都相似。

② 任何顶角相等的两个等腰三角形都相似。

③ 三角形的中位线截三角形得到的小三角形与原三角形相似。

④ 一个锐角相等的两个直角三角形相似。

⑵ 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似； ⑶ 三边对应成比例的两个三角形相似； 4．相似三角形的性质⑴ 相似三角形对应的高线、中线、角平分线的比等于相似比； ⑵ 相似三角形的周长之比等于相似比； ⑶ 相似三角形的面积比等于相似比的平方。

5．两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形。

6．复习春季和暑期学习过的相关模型练习： ⑴（2010北京）如图，在ABC △中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE BC ∥，若:3:4AD AB =，6AE =，则AC 等于（ ）A ． 3B ．4C ． 6D ． 8⑵（2010陕西省）如图在ABC △中D 是AB 边上一点，连接CD ，要使ADC △与ABC △相似，应添加的条件是 。

⑶（2010宁夏）关于对位似图形的表述，下列命题正确的是 。

（只填序号）①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； ②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比。

⑷（2010山东烟台）手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ）A B C D⑸（2010燕山一模）已知ABC △中，D 、E 分别是两边AB 和AC 的中点，若ABC △的周长是8cm ，则ADE △的周长是 cm 。

中考说明：函数图象上因动点产生的特殊三角形（包括等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形）. 解决此类问题可分三步：找点—求点—定点.找点可利用尺规作图；求点需利用等量关系或联立解析式；定点指依题意确定符合要求的点坐标.【例1】 抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B 在点A 的左侧），抛物线223y x x =--+的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使CMP △为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．典题精练5第二轮复习之函数图像上点的存在性问题中的特殊三角形与特殊四边形题型一：存在问题中的三角形【例2】 抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B 在点A 的左侧），在抛物线223y x x =--+上是否存在一点Q ，使得△BCQ 为直角三角形？若存在，请用尺规作出所有符合条件的点Q ，并求出以BC 为直角边时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】 抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B 在点A 的左侧），设J 为y 轴正半轴上的一个动点，请在抛物线223y x x =--+上求一点K ，使得OKJ △为等腰直角三角形.中考说明：函数图象上因动点产生的特殊四边形（包括平行四边形、梯形）问题.解决此类问题可分三步：找点—求点—定点.找点可利用尺规作图；求点需利用等量关系或联立解析式；定点指依题意确定符合要求的点坐标.【例4】 已知抛物线： ⑴ 求抛物线的顶点坐标.⑵ 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线，求抛物线的解析式.⑶ 如下图，抛物线的顶点为P ，轴上有一动点M ，在、这两条抛物线上是否存在点N ，使O （原点）、P 、M 、N 四点构成以OP 为一边的平行四边形，若存在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由.x x y 22121+-=1y 1y 2y 2y 2y x 1y 2y 典题精练题型二：存在问题中的四边形xyy 12345678954321-1-2-3-41y 2-1【例5】 抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B 在点A 的左侧），抛物线223y x x =--+的对称轴与x 轴交于点M ，设R 为抛物线223y x x =--+上一个动点，则以点M 、R 、B 、C 为顶点的四边形能否是梯形？若能，请求出所有符合条件的点R 的坐标；若不能，请说明理由.【例6】如图，在平面直角坐标系xOy中，点,1)A关于x轴的对称点为C，AC与x轴交于点B，将△OCB沿OC翻折后，点B落在点D处．⑴求点C、D的坐标；⑵求经过O、D、B三点的抛物线的解析式；⑶若抛物线的对称轴与OC交于点E，点P为线段OC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q．①当四边形EDQP为等腰梯形时，求出点P的坐标；②当四边形EDQP为平行四边形时，直接写出点P的坐标．（昌平一模）题型一 存在问题中的三角形 巩固练习 【练习1】 在如图的直角坐标系中，已知点()10A ，，()02B -，，将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90︒至AC ． ⑴求点C 的坐标；⑵若抛物线2122y x ax =-++经过点C ．①求抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在点P （点C 除外），使ABP △是以AB 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（重庆綦江）题型二 存在问题中的四边形 巩固练习复习巩固CBAOyx【练习2】 如图，已知抛物线23y x bx a =+-过点()10A ，，()03B -，，与x 轴交于另一点C ．⑴求抛物线的解析式；⑵若在第三象限的抛物线上存在点P ，使PBC △为以点B 为直角顶点的直角三角形，求点P 的坐标；⑶在⑵的条件下，在抛物线上是否存在一点Q ，使以P ，Q ，B ，C 为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（山东烟台）第十八种品格：坚持愚公移山太行、王屋两座大山，四周各七百里，高七八百千丈。

学而思初中数学课程规划初中数学的学习不同于小学小学是课内知识过于简单，课外的奥数较难，而且整个社会没有统一的教材，基本上都是各自研发，比如学而思的十二级体系。

而初中最终目标是中考，有明确的方向性，同时有统一规划的课本，知识体系非常完整。

因此整个初中的学习更适合在一个合理而科学的体系下学习，唯一不同就在于不同的孩子可以选择不同的进度和难度。

初中班型设置介绍初一年级：基础班，提高班，尖子班，竞赛班，联赛班初二年级：基础班，提高班，尖子班，竞赛班，联赛班初三年级：基础班，提高班，尖子班，目标班联赛班走联赛体系，一年半学完初中数学知识；竞赛班走竞赛体系，两年学完初中数学知识；基础班，提高班，尖子班走领先中考培优体系，两年半学完初中数学知识。

到初三不再设竞赛班和联赛班，统一回归到目标班，冲击中考。

下面就各个班型的定位和适合什么样的学生做一个对比说明：2015年学而思初中教学体系体系联赛体系竞赛体系领先中考培优体系班型定位数学超常发展冲击竞赛一等奖中考满分兼顾竞赛同步提高冲击中考满分学制设计一年半学完初中内容两年学完初中内容两年半学完初中内容课程容量每节课的课程容量与难度比竞赛班大1.2-1.5倍每节课的容量与难度比尖子班大1.5-1.8倍每节课的容量是校内课程的3-5倍难度比校内课程高1.5-2倍适合学生课内知识掌握非常扎实，发展方向为冲击初中数学联赛，希望在数学方面有独特发展，例如未来参加IMO或CMO比赛，高中数学联赛冲击一等奖。

课内知识学习轻松，在保证中考路径的同时兼顾拔高与竞赛。

未来目标为冲击中考满分，同时参加一些数学竞赛，激发兴趣，锻炼思维。

从课内知识上夯实基础、同步提高，同时拓宽视野，系统化学习，目标冲击中考满分入学体系10次课学完初一----预备班选拔考试----联赛竞赛预备班----参加入学选拔考试----通过后选择联赛体系---开始学习10次课学完初一----预备班选拔考试----联赛竞赛预备班----参加入学选拔考试----通过后选择竞赛体系---开始学习10次课学完初一----入学测试题----领先中考培优体系---开始学习班次安排联赛1班、联赛2班竞赛班基础班、提高班、尖子班，初三加开目标班学而思的初中数学有一套非常成熟的教学体系，既能满足我们的终极目标——中考，同时还能兼顾一些希望走竞赛路线的孩子。

相似三角形题型讲解相似三角形是初中几何的重要容，包括相似三角形的性质、判定定理及其应用，是中考必考容，以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型，所以掌握好相似三角形的基础知识至关重要，本讲就如何判定三角形相似，以及应用相似三角形的判定、性质来解决与比例线段有关的计算和证明的问题进行探索。

一、如何证明三角形相似例1、如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽∽。

分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。

本例除公共角∠G外,由BC∥AD可得∠1=∠2，所以△AGD∽△EGC。

再∠1=∠2（对顶角），由AB∥DG可得∠4=∠G，所以△EGC∽△EAB。

评注：（1）证明三角形相似的首选方法是“两个角对应相等的两个三角形相似”。

（2）找到两个三角形中有两对角对应相等，便可按对应顶点的顺序准确地把这一对相似三角形记下来。

例2、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。

借助于计算也是一种常用的方法。

证明：∵∠A=36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72°又BD平分∠ABC，则∠DBC=36°在△ABC和△BCD中，∠C为公共角，∠A=∠DBC=36°∴△ABC∽△BCD例3：已知，如图，D为△ABC一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD求证：△DBE∽△ABC分析：由已知条件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用。

所以∠DBE=∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。

从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。

1初三暑期·第5讲·提高班·教师版抄作业风波漫画释义满分晋级5相似三角形的 简单模型三角形12级 相似三角形的 性质与判定三角形13级 相似三角形 的简单模型 三角形14级 锐角三角函数暑期班 第四讲暑期班 第五讲暑期班 第六讲中考内容中考要求A B C图形的相似了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，会判断四条线段是否成比例，会利用线段的比例关系求未知线段；了解黄金分割；知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似；了解图形的位似关系会用比例的基本性质解决有关问题；会利用图形的相似解决一些简单的实际问题；能利用位似变换将一个图形放大或缩小相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题三角形的相似是平面几何中极为重要的内容，是北京中考数学中的重点考察内容，近几年的中考题虽然以直接证相似为结论的题目在减少，但作为一种解决问题的工具，在解题中必不可少。

相似性应用广泛，与三角形、平行四边形联系紧密。

估计北京中考的填空题、选择题将注重“相似三角形的判定与性质”等基础知识的考查，将年份2010年2011年2012年题号 3 4，20 11，20分值4分9分9分考点相似三角形的简单计算根据三角形相似求比例；三角形相似与圆、解直角三角形的综合根据三角形相似求比例；三角形相似与圆、解直角三角形的综合中考考点分析中考内容与要求知识互联网2 初三暑期·第5讲·提高班·教师版3初三暑期·第5讲·提高班·教师版位似图形：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线，像这样的两个图形叫做位似图形． 位似中心：对应顶点的连线相交于一点，这个点叫做位似中心．位似比：相似比叫做位似比．位似图形的性质：位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．如图所示，已知ABC △与A B C '''△是位似图形，点O 为位似中心， 那么OA OB OC AB AC BC k OA OB OC A B A C B C ======'''''''''（k 为位似比） C'B'A'OC BA【例1】 ⑴如图，正方形ABCD 的两边BC ，AB 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上，正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 是以AC 的中点O ′为中心的位似图形，已知AC =23，若点A ′的坐标为(1，2)，则正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 的相似比是（ ）模块一 位似知识导航夯实基础O'A'D'C'B'B (O )C DA4初三暑期·第5讲·提高班·教师版C 1B 1A 1OCB A（2012广西玉林）A.61 B. 31 C. 21 D. 32 ⑵三角尺在灯泡O 的照射下在墙上形成的影子如图所示.若cm OA 20=，cm 'OA 50=，则这个三角尺的周长 与它在墙上形成的影子的周长的比是（ ）A ．5∶2B ．2∶5C ．4∶25D ．25∶4（2013西城期末）⑶如图，△ABC 与△111C B A 为位似图形，点O 是它们的位似中心，位似比是1：2，已知△ABC 的面 积为3，那么△111C B A 的面积是 ．（2012辽宁阜新）【解析】⑴B ⑵B ⑶12图形重要结论EDCBAAD AE DEDE BC ADE ABC AB AC BC⇔⇔==∥△∽△ ODCBAAB OA OBAB CD AOB COD CD OC OD⇔⇔==∥△∽△ 知识导航模块二 相似三角形的两种基本模型三角尺灯泡O A5初三暑期·第5讲·提高班·教师版【例2】 ⑴ 如图，在△ABC 中，BC DE ∥，BD AD 2=，6=DE ，则BC = ．（2013石景山期末）⑵ 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，21=AB AD ，8=BCED S 四边形， 则ABC S ∆的面积为（ ）（2012贵州遵义）A ．9B ．10C ．12D ．13【解析】⑴9 ⑵A【例3】 若D 为BC 中点，ED 交AB 于点F ，且EF ：FD =2：3，试求AF ：FB 的值．B D CA FE【解析】如下图，作平行线，构造基本相似模型，AF ：FB=1：4．MB DC A FE M B D C AFE MB D CAFEMB DC A FE M B D C A FE MB D CA FE夯实基础E D CBAEDCB A6初三暑期·第5讲·提高班·教师版【例4】 如图，AD 和BC 相交于点E ，AB CD EF ∥∥.⑴求证：ABC FEC △∽△，ACD AFE △∽△.⑵求证：111AB CD EF+=. 【解析】 ⑴ ∵AB CD EF ∥∥∴BAC EFC ABC FEC ∠=∠∠=∠，ACD AFE ADC AEF ∠=∠∠=∠，∴ABC FEC △∽△，ACD AFE △∽△ ⑵ 由⑴可知ABC FEC △∽△，ACD AFE △∽△∴EF CF EF AFAB AC CD AC ==， ∴EF EF CF AF AB CD AC AC+=+ 即111CF AF EF AB CD AC +⎛⎫+== ⎪⎝⎭∴111AB CD EF +=【例5】 一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求(加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留)．（2013大兴期末）(甲)CEDBF A (乙)DEF GC A BMN(乙)DEF G CA B【解析】 甲同学的加工方法好∵S △ABC =AB ·BC =23，∵AB =23， ∴BC =2 .∵∠B =90°，能力提升FEDCBA7初三暑期·第5讲·提高班·教师版∴AC 22A B B C+=25. 如图甲∵四边形DBFE 是正方形， ∴DE ∥AB .∴△CDE ∽△CBA . ∴D E C DAB C B=. 设DE =x ,则CD =2-x ， ∴2322x x -= .∴x= . 如图乙过B 点作BM ⊥AC 于点M 交DE 于点N ， 由S △ABC =AB ·BC =AC ·BM ， 可得BM =.∵DE ∥AC ，∴BN ⊥DE . ∴△BDE ∽△BAC .∴DE BNAC BM=. 设DE =y ，∴655625y y -= ∴y =3037 . ∵＞3037， ∴甲同学的正方形面积大.【例6】在ABC △中，BD CE =，DE 的延长线交BC 的延长线于P ，过C 作CM AB ∥交DP 于M ，求证：AD BP AE CP ⋅=⋅.【解析】∵CM AB ∥，∴PCM PBD △∽△，∴CM PCBD PB=， ∵CM AB ∥，∴CEM AED △∽△， ∴CM AD CE AE =，∵BD CE =， MPE D CBA∴CM CMCE BD=，∴PC ADPB AE=，∴AD BP AE CP⋅=⋅【例7】如图，1n+个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上.D1D2D3D4B5B4B3B2B1C5C4C3C2C1A⑴证明：2233AC D AC B△∽△，并写出2233C DC B的值.⑵设211B D C△的面积为1S，322B D C△的面积为2S，…，1n n nB D C+△的面积为nS，则2S=；nS=（用含n的式子表示）．【解析】⑴∵122C C B△和233C C B△都是等边三角形∴12223360C C B C C B∠=∠=︒又∵2233C AD C AB∠=∠∴2233AC D AC B△∽△∴2223334263C D ACC B AC===⑵23331nn+，.下列说法正确的是.⑴有两个角对应相等的两个三角形相似；⑵ 两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似；⑶ 三边对应成比例的两个三角形相似.【解析】⑴⑶._____________________ 探索创新8 初三暑期·第5讲·提高班·教师版9初三暑期·第5讲·提高班·教师版第05讲精讲：三角形内接正方形问题探究；三角形的内接正方形是指正方形四个顶点都在三角形边上的正方形，正方形有4个顶点，而三角形只有3条边，所以，正方形一定有两个顶点在同一条边上，即正方形一定有一条边落在三角形的边上.【变式1】如图，Rt △ABC （∠C =90°）中有三个内接正方形，DF =9厘米，GK =6厘米，猜想第三个正方形的边长PQ 的长． 【解析】369=-=-=EG EF GF ，设x PQ =，∵PQ GK ∥，∴∠FKG =∠KQP ．又∵∠FGK =∠KPQ =90°，∴△FGK ∽△KPQ ．∴ PQ GKKP FG =． ∴ x x 663=-．解得4=x ．答：第三个正方形的边长为4厘米．【变式3】如图所示，四边形EFGH 是三角形ABC 的内接矩形，AD ⊥BC ，垂足为D ，BC =21cm ，AD =14cm ， EF ：FG =1：2，求矩形EFGH 的面积． 【解析】如图，设矩形的边长EF =x ，则FG =2x ，∵四边形EFGH 是三角形ABC 的内接矩形， ∴EH ∥BC ，EH =FG ， ∴△AEH ∽△ABC ，又∵AD ⊥BC ，则ID =x ，ID AD AI -=，∴AD AIBC EH =，BC =21cm ，AD =14cm ， ∴ 1414212x x -=， 解得，x =6cm ，即2x =12cm ，∴S 矩形EFGH =EF ×FG =6×12=72cm 2．答：矩形EFGH 的面积为72cm 2．【变式4】四边形ABCD 为正方形，D E ，在线段AC BC ，上，F G ，在AB 上，如果1ADF CDE S S ∆∆==， 3BEG S ∆=，求ABC ∆的面积．【解析】 辅助线同变式2．设正方形边长为x ，则226AF CI BG x x x===，，．由CDE CAB ∆∆∽，得CI DECH AB=， G F EDCBA PQK FGDA IHG D F EA10初三暑期·第5讲·提高班·教师版∴228x xx x xx=++，解得2x =，∴63AB CH ==，， ∴192ABCS AB CH ∆=⋅=【变式5】如图，在△ABC 中，AB=5，BC=3，AC=4，动点E (与点A 、C 不重合)在AC 边上， EF ∥AB 交BC 于F 点．试问在AB 上是 否存在点P ，使得EFP ∆为等腰直角三角 形？若不存在，请简要说明理由；若存在， 请求出EF 的长．【解析】① 如图过E (或F )，分别作AB 垂线，垂足为1P (或2P )，当 1EF FP =(或2EF FP =)时，(或2EFP ∆)为等腰直角三角形．过C 作CH AB ⊥于H ，交EF 于Q ，则EF QH =，设EF QH x ==，AB CH AC BC ⋅=⋅，得 2.4CH = ∵ABC ∆∽EFC ∆ ∴EF CQ AB CH =，即 2.45 2.4x x-= ∴6037x =，∴6037EF x ==② 作EF 的中垂线DP ，交AB 于P ，当2DP EF =时EFP ∆为等腰直角三角形． 设EF x =，则0.5DP x =． ∵ABC ∆∽EFC ∆ ∴EF CQ AB CH =，即 2.40.55 2.4x x -= 解得12049x =，即12049EF x ==．IHGFEDCBAP2P 1H QFEC BAD P HQFEC BAF E CBA【变式6】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，若设正方形的边长为x，容易算出x的长为60 37．探究与计算：（1）如图13—2，若三角形内有并排的两个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长为；（2）如图13—3，若三角形内有并排的三个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长为．猜想与证明：如图13—4，若三角形内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，请你猜想正方形的边长是多少？并对你的猜想进行证明．【解析】探究与计算：（1）6049；（2）6061．猜想与证明：若三角形内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，正方形的边长是602512n+．证明如下：如图2，过点C作CN⊥AB，垂足为N，交GF于点M．设小正方形的边长为x．∵四边形GDEF为矩形，∴GF∥AB．CM⊥GF．容易算出125CD=．∴CM GFCN AB=．即1251255xnx-=．∴x=602512n+．即小正方形的边长是602512n+．图13—1ACDFG图13—2C 图13—3ACGGFFDDEE图13—4ACG FD E图2ACG FD ENM训练1. 如图，正方形ABCD 中，过点D 作DP 交AC 于点M 、交AB 于点N 、交CB 延长线于点P 使PB BC =，若1MN =，3PN =，则DM 的长为 ． 【解析】 2.训练2. 三个边长分别为2、3、5的正方形，则EKMG S = ．【解析】 154.训练3. 如图，已知平行四边形ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ，若5BE =，2EF =，则FG 的长是 ．【解析】10.5训练4. 如图，已知ABC △中，四边形DEGF 为正方形，D E ，在线段AC BC ，上，F G ，在AB上，如果1ADF CDE S S ==△△，3BEG S =△，求ABC △的面积．GFED CB AIH G F EDCBA【解析】 过点C 作CH AB ⊥于点H ，交DE 于I .设正方形边长为x ，则226AF CI BG x x x ===，，．由CDE CAB △∽△，得CI DECH AB=， ∴228xx x x x x=++，解得2x =，∴63AB CH ==，， ∴192ABC S AB CH =⋅=△.思维拓展训练(选讲)NMPDCB A K MHG F E DBEFGDC AB知识模块一 位似 课后演练【演练1】 如图，在119⨯的正方形网格中，TAB △的顶点坐标分别为()11T ，，()23A ，， ()42B ，． 以点()11T ，为位似中心，按:3:1TA TA =′在位似中心的同侧将TAB △放大为TA B ''△′′，放大后点A B 、的对应点分别为A B 、′′．画出TA B ''△′′，并写出点A B 、′′的坐标. T BAOyx x yOABA'B'T【解析】 如图所示，点A B 、′′的坐标分别为()()47104，、，. 知识模块二 相似三角形的两种基本模型 课后演练【演练2】 已知：如图，直线DE 和BC 的延长线相交于P ，AD AE =.求证：BP BDCP CE=【解析】 如图，过C 作CM AB ∥交DP 于M ，∵CM AB ∥ ∴PBD PCM △∽△，∴BP BDCP CM=， ∵CM AB ∥，∴14∠=∠， 又∵AD AE =，∴12∠=∠，∴24∠=∠， ∵23∠=∠，∴34∠=∠， ∴CM CE =实战演练PEDCBA4321PME DCBA∴BP BDCP CE=.【演练3】 如图，已知DE AB ∥，2OA OC OE =⋅，求证：AD BC ∥. 【解析】∵DE AB ∥，∴AOB EOD △∽△，OE ODOA OB=， 又∵2OA OC OE =⋅，∴OE OA OA OC =， ∴OD OAOB OC=， ∵AOD COB ∠=∠， ∴AOD COB △∽△， ∴DAO BCO ∠=∠， ∴AD BC ∥【演练4】 如图1，图2，两个全等的等腰直角三角形中，各有一个内接正方形．如果图1中正方形的面积是81，求图2中正方形的面积．图1EFCBD A图2E'D'F'G'C'B'A'【解析】 正方形AEDF 的面积为81，所以正方形AEDF 的边长为9．又∵ABC △为等腰直角三角形 ∴45B C ==︒∠∠故BDE △和CDF △是等腰直角三角形 ∴9BE DE DF CF ====∴18AB AC ==∵90A B D G ''''==︒∠∠，45A G F B ''''==︒∠∠ 故A G F '''△和B D G '''△都是等腰直角三角形 设A G x ''=，则18B G x ''=-，2F G x ''=，)218D G x ''=- DOECB A∴()2218x x =-，解得6x = ∴62F G ''=∴图2中正方形的面积为72．【演练5】 ABC △中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，15BC =,BC 边上的高10AD =,求EFGH S 正方形.【解析】设正方形EFGH 的边长为x ，AD 、HG 的交点为M ，则有AM HG AD BC =，即101015x x -= 解得，6x = 故2636EFGH S ==四边形训练1. 如图，矩形ABCD 中，BE AC ⊥于点F ，点E 恰是CD 的中点，下列式子成立的是（ ）A ．12EF AF =B ．1EF CF=C ．12CF AC =D ．12CF AF =【解析】D.训练2. 如图，已知平行四边形ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ， 若5BE =，2EF =，则FG 的长是 ． 【解析】10.5训练3. 如图，把PQR △沿着PQ 的方向平移到P Q R '''△的位置，它们重叠部分的面积是PQR △面积的一半，若2PQ =，则此三角形移动的距离PP '是（ ）A ．12B ．2C ．1D ．21-【解析】 D ．课后测F E DC A EFGDC ABQ′R′PR H G FEDCBA第十七种品格：成就雷妮与DOB美国DOB公司总裁雷妮女士从小生活经历比较坎坷，她幼年就失去了双亲，被一位亲戚抚养，但她的监护人却将她作为一个女佣来对待，她的童年浸满了辛酸。

第05讲 相似三角形的判定（二）掌握相似三角形判定定理3和直角三角形相似判定定理重点是灵活运用相似三角形的各个判定定理难点是相似三角形与分类讨论及函数思想的互相结合．模块一：相似三角形判定定理31、相似三角形判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果111111AB BC CA A B B C C A ==，那么ABC ∆∽111A B C ∆．【例1】1. 如图，D 、E 、F 分别是ABC 的三边BC,CA,AB 的中点．求证：DEF ABC ∽△△．的【例2】2. ABC ∆的边长分别为111,,,a b c A B C ∆，则ABC ∆与111A B C ∆____________（选填“一定”“不一定” “一定不”）相似【例3】3. 如图，D 为△ABC 内一点，E 为△ABC 外一点，且满足AB BC AC AD DE AE ==，求证：△ABD ∽△ACE ．【例4】4. 如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，90,2,3,1A AB BC CD ∠=︒===，E 是AD 的中点．（1）求证：CDE EAB ∽；（2）CDE 与CEB 有可能相似吗？若相似，请给出证明过程；若不相似，请简述理由．模块二：直角三角形相似的判定定理1、直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．如图，在Rt ABC ∆和111Rt A B C ∆中，如果190C C ∠==∠︒，1111AB BC A B B C =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．【例5】5. 在Rt ABC △和Rt DEF △中，90C F ∠=∠=︒．依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似，并说明理由．（1）55A ∠=︒，35D ∠=︒；（2）9AC =，12BC =，6DF =，8EF =；（3）3AC =，4BC =，6DF =，8DE =；（4）10AB =，8AC =，15DE =，9EF =．6. 如图，已知AB AD ⊥，BD DC ⊥，且2BD AB BC =⋅，求证：ABD DBC ∠=∠．【例7】7. 如图，在ABC 中，CD AB ⊥于D ，DF AC ⊥于F ，DG BC ⊥于G ．求证：CF CA CG CB ⋅=⋅．【例8】8. 求证：如果一个三角形的两边和第三边的中线与另一个三角形的对应线段成比例，那么这两个三角形相似．模块三：相似三角形的判定综合1、相似三角形判定定理1：两角对应相等，两个三角形相似．2、相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．3、相似三角形判定定理3：三边对应成比例，两个三角形相似．4、直角三角形相似的判定定理：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．9. 根据下列条件，能判定ABC 和DEF 相似的个数是（ ）（1）35ABC ∠=︒，75ACB ∠=︒，80EDF ∠=︒，35DEF ∠=︒；（2）3AB =，2BC =，30ABC ∠=︒，6DE =，4EF =，30EDF ∠=︒；（3）2AB =，3BC =，4AC =，12DE =，13EF =，14DF =；（4）AB =CB =2AC =，DE =，1EF =，DF =．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【例10】10. 如图，正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件中，不能推出ABP 与ECP △相似的是（ ）A. APB EPC ∠=∠B. 90APE ∠=C. P 是BC 的中点D. :2:3BP BC =【例11】 11. 如图，AB AC =，2·AC AD AE =，求证：BC 平分DBE ∠．【例12】12. 在ABC 和DEF 中，90A D ∠=∠= ，3AB DE ==，24AC DF ==．（1）判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？（2）能否分别过A D ，在这两个三角形中各作一条辅助线，使ABC 分割成的两个三角形与DEF 分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．【例13】13. 如图，在ABC 中，3AB AC ==，2BC =，点D 、E 、F 分别在AC AB BC 、、边上，BEF △沿着直线EF 翻折后与DEF 重合，设CD x =，BF y =．试问DFC △是否有可能与ABC 相似，如有可能，求出CD 的长；如不可能，说明理由．一、单选题（2022春普陀九下月考精选）14. 如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB AC 、上，DE 与边BC 不平行，那么下列条件中，能判定AED ABC △∽△是（ ）A. B ADE ∠=∠B. C AED ∠=∠C. AD AB AE AC⋅=⋅ D. DE AB AE CB⋅=⋅（2022春上海模拟精选）15. 如图，在四边形ABCD 中，连接AC BD 、交于点O ，分别以下列选项作为一个已知条件，不一定能得到AOB 与COD △相似的是（ ）A. BAC BDC ∠=∠B.AO DO BO CO = C. AO BO CO DO = D. AO DO CO BO=（2022春上海模拟精选）16. 如图，正方形ABCD 与EFG 在方格纸中，正方形和三角形的顶点都在格点上，那么与EFG 相似的是（ ）A. 以点E 、F 、A 为顶点的三角形B. 以点E 、F 、B 为顶点的三角形C. 以点E 、F 、C 为顶点的三角形D. 以点E 、F 、D 为顶点的三角形17. 张老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（ ）已知：如图，在ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE BC ∥，DF AC ∥．求证：ADE DBF ∽．证明：①又∵DF AC ∥，②∵DE BC ∥，③∴∠=∠A BDF ，④∴ADE B ∠=∠，⑤∴ADE DBF ∽．A. ③②④①⑤B. ②④①③⑤C. ③①④②⑤D. ②③④①⑤18. 如图，已知12∠=∠，添加下列条件后，仍无法判定ABC ADE 的是（ ）A. AB AC AD AE =B. B D ∠=∠C. C AED ∠=∠D. AB BC AD DE =（2022春上海华育校内模拟精选）19. 含60︒角的直角三角板6)0(ABC A ∠=︒与含45︒角的直角三角板BCD 如图放置，它们的斜边AC 与斜边BD 相交于点E ．下列结论正确的是（ ）A. ABE CDE∽ B. ABE BCE △∽△C. BCE DCE△∽△ D. ABC DCB∽△△（2022春普陀九下月考精选）20. 如图，在ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，那么下列条件中，不能判断ADE ACB ∽的是（ ）A. ADE C ∠=∠B. AED B ∠=∠C. AE DE AB BC =D. AD AE AC AB=21. 如图，ABC 中，78A ∠=︒，4AB =，6AC =．将ABC 沿图中的虚线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的阴影三角形一定与原三角形相似的是（ ）A. ①②③B. ③④C. ①②③④D. ①②④二、填空题（2022春上海华育校内模拟精选）22. 已知D 、E 分别是ABC 的边AB 、AC 上的点，若要使ABC 与ADE 相似，则只需添加一个条件：_____即可（只需填写一个）．（2022春上海张江校内模拟精选）23. 如图，正方形ABCD 的边长为8，AE EB =，MN =，线段MN 的两端在CB 、CD 上滑动，当CM =______时，ADE 与CMN 相似.24. 如图，在ABC 中，点D 为AC 上一点，请添加一个条件：_____________，使BDC ABC ∽．（2022春上海浦东统考模拟精选）25. 如图，在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的高，DE BC ⊥于点E ．除Rt ABC △自身外，图中与Rt ABC △相似的三角形的个数是___________．（2022春上海浦东统考模拟精选）26. 如图，在△ABC 中，D 是线段AB 上的一点（不与点A ，B 重合），连接CD ．请添加一个条件使△ABC 与△DBC 相似，这个条件可以是_______（写出一个即可）．（2022春上海张江校内模拟精选）27. 已知：如图，点D 在边AB 上，若1∠=∠______时，则ADC ACB ．（2022春上海浦东统考模拟精选）28. 如图，已知：在ABC 和DEF 中，若A D ∠=∠，请添加一个条件______，使ABC DEF △△∽．（写一个即可）29. 已知D 、E 分别是ABC 的边AB 、AC 上的点，若要使ABC 与ADE 相似，则只需添加一个条件：_____即可（只需填写一个）．三、解答题（2022春上海青浦统考模拟精选）30. 如图，在ABC 中和A B C ''' 中，50A ∠=︒，60B B '∠=∠=︒，70C '∠=︒，ABC 和A B C ''' 相似吗？为什么？31. 如图，ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在CB 、AC 的延长线上，60ADE ∠=︒．（1）请找出图中相似的三角形；（2）请选择其中一对说明理由．（2022春上海青浦统考模拟精选）32. 如图1，在ABC 中，AC BC =，将线段CB 绕点C 逆时针旋转90︒，得到线段CD ，连接AD ，BD ．（1）求BAD ∠的度数；（2）如图2，若ACD ∠的平分线CE 交AD 于点F ，交AB 的延长线于点E ，连结DE ．①证明：BCD AED △∽△；DE BE =+．33. 甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）A. 两人都对B. 两人都不对C. 甲对，乙不对D. 甲不对，乙对34. 新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知ABC 是66⨯的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与ABC 相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 435. P 是ABC 边上的任一点（P 不与A 、B 、C 重合），过点P 的一条直线截ABC ，如果截得的三角形与ABC 相似，我们称这条直线为过点P 的△ABC 的“相似线”．Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，当点P 是边BC 上一个三等分点时（PB PC >），过点P 的ABC 的“相似线”最多有___________条．36. 如图，矩形ABCD 的两条对角线AC BD ，相交于点O ，OE AB ⊥，垂足为E ，F 是OC 的中点，连接EF 交OB 于点P ，那么OP PB=______．37. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 上一点，连接DE AE 、，F 在线段DE 上且满足AFE ADC ∠=∠，求证ADF DEC ∽△△．38. 如图，AC 为菱形ABCD 的对角线，点E 在AC 的延长线上，且E ABC ∠=∠．求证：ACD ABE ∽△△．第05讲 相似三角形的判定（二）掌握相似三角形判定定理3和直角三角形相似的判定定理重点是灵活运用相似三角形的各个判定定理难点是相似三角形与分类讨论及函数思想互相结合．模块一：相似三角形判定定理31、相似三角形判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果111111AB BC CA A B B C C A ==，那么ABC ∆∽111A B C ∆．【例1】【1题答案】【答案】证明见解析【解析】【分析】首先可判断EF 、FD 、DE 为ABC ∆的中位线，根据平行线分线段成比例的知识，可判断DEF ∆与ABC ∆的对应边成比例，继而可得出结论．的【详解】解：D ，E ，F 分别是ABC ∆的三边BC ，CA ，AB 的中点，EF ∴、FD 、DE 为ABC ∆的中位线，12EF DF DE BC AC AB ∴===，DEF ABC ∴∆∆∽．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定方法，本题用到的是三边法．【例2】【2题答案】【答案】不一定【解析】【分析】先求出两个三角形三边的比，再根据三边对应成比例判断两个三角形相似即可．【详解】解：∵ABC ∆的边长分别为111,,,a b c A B C ∆∴两个三角形对应边的比分别为：===当a=b=c ==，这两个三角形相似，当a ≠b ≠c ≠≠∴ABC ∆与111A B C ∆不一定相似，故答案为：不一定．【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键．【例3】【3题答案】【答案】见解析．【解析】【分析】根据已知条件证明△ADE ∽△ABC ，得到∠DAB=∠EAC ，即可得到结果；【详解】∵AB BC AC AD DE AE==，∴△ADE ∽△ABC ，∴∠DAE=∠BAC ，∴∠DAB=∠EAC ，∵AB AD AC AE=，∴△ABD ∽△ACE ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，准确判断是解题的关键．【例4】【4题答案】【答案】（1）见解析；（2）相似，理由见解析【解析】【分析】（1）过点C 作CF ⊥AB 于F ，先证明四边形ADCF 是矩形，得到AF =CD =1,AD =CF ，BF =AB -AF =1，然后利用勾股定理求出CF ==1122AE DE AD CF ====，再证明AE AB CD DF=即可；（2）利用勾股定理求出CE ==BE ==,然后证明BC BE CE CE DE CD==即可.【详解】解：（1）过点C 作CF ⊥AB 于F ，∴∠A =∠CFA =∠CFB =90°，∵AB ∥CD ，∴∠A +∠D =180°，∴∠D =90°，∴四边形ADCF 是矩形，∴AF =CD =1,AD =CF ，∴BF =AB -AF =1，∴CF ==∵E 是AD 的中点，∴1122AE DE AD CF ====，∴AE CD ==，AB DF ==∴AE AB CD DF =，又∵∠D =∠A =90°，∴△CDE ∽△EAB ；（2）△CDE ∽△CEB 相似，理由如下：∵CE ==BE ==,∴BE DE==，CE CD ==BC CE ==，∴BC BE CE CE DE CD== ，∴△CDE ∽△CEB .【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，相似三角形的判定，勾股定理，平行的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.模块二：直角三角形相似的判定定理1、直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．如图，在Rt ABC ∆和111Rt A B C ∆中，如果190C C ∠==∠︒，1111AB BC A B B C =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．【例5】【5题答案】【答案】（1）相似，两三角形有两组角对应相等（2）相似，两三角形两边对应成比例且夹角相等（3）不相似，两三角形两边对应成比例且有一角相等，但此角不是夹角 （4）相似，斜边和直角边对应成比例【解析】【分析】（1）证明B D ∠=∠，即可求解；（2）证明AC BC DF EF=，且90C F ∠=∠=︒，即可证明结论；（3）证明AC BC DF DE =，但C D ∠≠∠，则Rt ABC △和Rt DEF △不相似；（4）利用斜边和直角边对应成比例，证明Rt ABC △和Rt DEF △相似.【小问1详解】解：在Rt ABC △和Rt DEF △中，90C F ∠=∠=︒．∵55A ∠=︒，∴9035B A ∠=︒-∠=︒，∴B D ∠=∠，∴Rt ABC △和Rt DEF △相似，理由是：有两组角对应相等的两个三角形相似；【小问2详解】解：在Rt ABC △和Rt DEF △中，90C F ∠=∠=︒．∵9362AC DF ==，12382BC EF ==，则AC BC DF EF =，∴Rt ABC △和Rt DEF △相似，理由是：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；【小问3详解】解：在Rt ABC △和Rt DEF △中，90C F ∠=∠=︒．∵3162AC DF ==，4182BC DE ==，则AC BC DF DE=，但C D ∠≠∠，∴Rt ABC △和Rt DEF △不相似，理由是：有两边对应成比例且夹角不相等的两个三角形不相似；【小问4详解】解：在Rt ABC △和Rt DEF △中，90C F ∠=∠=︒．在Rt ABC △中，10AB =，8AC =，∴6BC ==，∵102153AB DE ==，6293BC EF ==，则AB BC DE EF =，∴Rt ABC △和Rt DEF △相似，理由是：有斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似；【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定定理：两角对应相等，两组边对应成比例且夹角相等；斜边和直角边对应成比例．【例6】【6题答案】【答案】见解析.【解析】【分析】由2BD AB BC =⋅可得AB BD =BD BC，可判定Rt △ABD ∽Rt △DBC ，然后由相似三角形对应角相等可得∠ABD=∠DBC.【详解】证明：∵2BD AB BC=⋅∴AB BD =BD BC∴Rt △ABD ∽Rt △DBC∴∠ABD=∠DBC【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握直角三角形的斜边直角边对应成比例即可判定相似是解决本题的关键.【例7】【7题答案】【答案】见解析【解析】【分析】通过证明A DCF CD ∽△△和DCG BCD △∽△，然后利用相似三角形的性质分析求证．【详解】证明：∵CD AB ⊥，DF AC ⊥，∴90ADC CFD ∠=∠= ．又∵DCF DCA ∠=∠，∴A DCF CD ∽△△．∴DC CF AC DC=，即2DC CA CF =⋅．同理可得DCG BCD △∽△，∴DC CG BC DC=，即2DC CG CB =⋅，∴CF CA CG CB ⋅=⋅．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质正确推理论证是解题关键．【例8】【8题答案】【答案】见解析【解析】【分析】写出已知和求证，分别延长AD 、11A D 到点1E E 、，证明ADB EDC ≌，111111A D B E D C ≌△△，再根据三边对应成比例证明111AEC A E C ∽△△，据此即可证明111ABC A B C ∽△△．【详解】已知：如图，AD 、11A D 分别是ABC 、111A B C △边BC 、11B C 上的中线，且111111AC AB AD A C A B A D ==．求证：111ABC A B C ∽△△．证明：分别延长AD 、11A D 到点1E E 、．使得1111DE AD D E A D ==，．∴111122AE AD A E A D ==，．∵AD 、11A D 分别是ABC 、111A B C △边BC 、11B C 上的中线，∴1111BD DC B D D C ==，．∵111111ADB ADC A D B A D C ∠=∠∠=∠， ，∴ADB EDC ≌，111111A D B E D C ≌△△，∴1111BAD E B A D E ∠=∠∠=∠，．∵111111AC AB AD A C A B A D ==，∴111111AC AB AE A C A B A E ==．∴111AEC A E C ∽△△，∴1111E E CAD C A D ∠=∠∠=∠，∴111BAD B A D ∠=∠，∴111BAC B AC ∠=∠．又∵1111AB AC A B A C =，∴111ABC A B C ∽△△．【点睛】本题考查了三角形相似的判定方法，并且考查学生通过倍长中线来转化边角的方法．模块三：相似三角形的判定综合1、相似三角形判定定理1：两角对应相等，两个三角形相似．2、相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．3、相似三角形判定定理3：三边对应成比例，两个三角形相似．4、直角三角形相似的判定定理：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．【例9】【9题答案】【答案】A【解析】【分析】根据两三角形相似的判定定理，对各选项依次判断即可．【详解】解：（1）ABC 和DEF 中，35ABC ∠=︒，75ACB ∠=︒，80EDF ∠=︒，35DEF ∠=︒，∴70A EDF ∠=︒≠∠，∴ABC 和DEF 不相似；（2）ABC 和DEF 中，∵3162AB DE ==，2142BC EF ==，但ABC ∠与DEF ∠不一定相等，∴ABC 和DEF 不相似；（3）∵2412AB DE ==，3913BC EF ==，41614AC DF ==，∴AB BC AC DE EF DF≠≠，∴ABC 和DEF 不相似；（4）∵AB DE ==BC EF ==AC DF ==∴AB BC AC DE EF DF==，∴ABC 和DEF 相似；综上，只有（4）相似，故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．【例10】【10题答案】【答案】C【解析】【分析】利用两三角形相似的判定定理逐一判断即可．【详解】A ．APB EPC ∠=∠，根据正方形性质得到∠B =∠C ，可以得到ABP ∆∽ECP △，不合题意；B.90APE ︒∠=，根据正方形性质得到∠B =∠C ，根据同角的余角相等，得到APB PEC ∠=∠，从而有ABP ∆∽PCE ，不合题意；C ．P 是BC 的中点，无法判断ABP ∆与ECP △相似，符合题意；D ．:2:3BP BC = ，根据正方形性质得到::3:2AB BP EC PC ==，又∵∠B =∠C ，则ABP ∆∽ECP △，不合题意．故选：C【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题关键．【例11】【11题答案】【答案】见解析【解析】【分析】根据已知条件推出ABD AEB ∽，得到ABD E ∠=∠，根据等腰三角形的性质得到ABD DBC ACB ∠+∠=∠，然后由角的和差即可得到结论．【详解】证明： AB AC =，2AC AD AE =⋅，∴2AB AD AE =⋅，即AB AE AD AB=．又 A A ∠=∠，∴ABD AEB ∽．∴ABD E ∠=∠．又 AB AC =，∴ABD DBC ACB ∠+∠=∠．又 CBE E ACB ∠+∠=∠，∴CBD CBE ∠=∠．即BC 平分DBE ∠．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．【例12】【12题答案】【答案】（1）不相似．理由见解析.（2）能作如图所示的辅助线进行分割．具体做法见解析.【解析】【分析】（1）根据两个直角相等但两直角的两边的比不相等，可判定这两个三角形不相似；（2）作BAM E ∠=∠，交BC 于M ；作NDE B ∠=∠，交EF 于N ．由作法和已知条件可知BAM DEN ≌．再证明，即可判断AMC FND ∽．【详解】（1）不相似．在Rt BAC 中，90A ∠=︒，34AB AC ==，；在Rt EDF 中，90D ∠=︒，32DE DF ==，，12AB AC DE DF∴==，．AB AC DE DF∴≠．Rt BAC ∴ 与Rt EDF 不相似．（2）能作如图所示的辅助线进行分割．具体作法：作BAM E ∠=∠，交BC 于M ；作NDE B ∠=∠，交EF 于N ．由作法和已知条件可知BAM DEN ≌．BAM E ∠=∠ ，NDE B ∠=∠，AMC BAM B ∠=∠+∠，FND E NDE ∠=∠+∠，BAM DEN ≌．90FDN NDE ∠=︒-∠ ，BAM E ∠=∠ ，BAM E ∠=∠ ．∴AMC FND ∽．考点：相似三角形的判定及性质．【例13】【13题答案】【答案】DFC △有可能与ABC 相似，此时65CD =或23【解析】【分析】分DFC ABC △∽△和DFC ACB ∽△△两种情况讨论，根据相似三角形的性质求出CD 的长．【详解】解：翻折后，BF DF =．当DFC ABC △∽△时，DFC C B ∠=∠=∠．BF DF CD x ∴===，2CF x =-．CD CF CA CB ∴=，即232x x -=．65x ∴=；当DFC ACB ∽△△时，FDC C B ∠=∠=∠，1BF DF CF ∴===．CD CF CB CA ∴=，即213x =．23x ∴=．综上，65CD =或23．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、翻折变换，掌握相似三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．一、单选题（2022春普陀九下月考精选）【14题答案】【答案】C【解析】【分析】根据相似三角形的判定进行判断即可．【详解】解：由题意知，DAE CAB ∠=∠，B ADE ∠≠∠，C AED ∠≠∠，选项A 、B 错误，故不符合题意；∵AD AB AE AC ⋅=⋅，∴AD AE AC AB=，又∵DAE CAB∠=∠∴AED ABC △∽△，C 正确，故符合题意；∵DE AB AE CB ⋅=⋅，∴DE AE BC AB=，但无法判定AED ABC △∽△，D 不符合要求；故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定条件是解题的关键．（2022春上海模拟精选）【15题答案】【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的判定方法对各选项进行判定即可得出答案．【详解】解：在四边形ABCD 中，连接AC BD 、交于点O ，∴AOB DOC ∠=∠，A 、若BAC BDC ∠=∠，结合AOB DOC ∠=∠，可得BAO CDO ∽△△，本选项不符合题意；B 、若AO DO BO CO =，结合AOB DOC ∠=∠，可得BAO CDO ∽△△，本选项不符合题意；C 、若AO BO CO DO =，结合AOB DOC ∠=∠，可得BAO DCO ∽△△，本选项不符合题意；D 、若AO DO CO BO=，结合AOB DOC ∠=∠，不符合两边对应成比例及其夹角相等的判定，不一定能得到AOB 与COD △相似，，本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键熟练掌握相似三角形的三种判定方法．（2022春上海模拟精选）【16题答案】【答案】C【解析】【分析】EFG 中135EGF ∠=︒，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判断A 、B 、D ；根据三组对应边的比相等的两个三角形相似判断C ．【详解】解：由题意可得，EFG 中135EGF ∠=︒，2EG =，GF =，EF =．A 、EFA 中，135AEF ∠>︒，则EFA 与EFG 不相似，故本选项不符合题意；B 、EFB 中，135BEF ∠>︒，则EFB 与EFG 不相似，故本选项不符合题意；C 、EFC 中，EF =，CE =，5CF =，∵EG GF EF EF CE CF ===，∴EFG FCE ∽，即EFC 与EFG 相似，故本选项符合题意；D 、EFD 中，90135DEF ∠︒︒＜＜，则EFD 与EFG 不相似，故本选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握判定两个三角形相似的方法是解题的关键．两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，三组对应边的比相等的两个三角形相似．【17题答案】【答案】B【解析】【分析】由DE BC ∥，DF AC ∥，得出ADE B ∠=∠，∠=∠A BDF ，证出ADE DBF ∽．【详解】证明：②∵DE BC ∥，④∴ADE B ∠=∠，①又∵DF AC ∥，③∴∠=∠A BDF ，⑤∴ADE DBF ∽．故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；关键是证明三角形相似．【18题答案】【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的判定方法逐一判断即可．【详解】解∵12∠=∠，∴DAE BAC ∠=∠，若AB AC AD AE=，DAE BAC ∠=∠，∴()SAS ABC ADE ，故A 不符合题意；若DAE BAC ∠=∠，B D ∠=∠，∴~ABC ADE ，故B 不符合题意；若C AED ∠=∠，DAE BAC ∠=∠，∴~ABC ADE ，故C 不符合题意；∵AB BC AD DE=，DAE BAC ∠=∠，∴无法判断ABC 与ADE 相似，故D 符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的判定方法，熟记知识点是解题关键．（2022春上海华育校内模拟精选）【19题答案】【答案】A【解析】【分析】根据相似三角形的判定方法，进行判断即可．【详解】解：由图可知：90ABC BCD ∠=∠=︒，∴AB CD ，∴,ABE CDE BAE DCE ∠=∠∠=∠，∴ABE CDE ∽；故选A ．【点睛】本题考查相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．（2022春普陀九下月考精选）【20题答案】【答案】C【解析】【分析】根据已知条件可知A A ∠=∠，再利用相似三角形的判定定理依次判断即可得到答案．【详解】解：A 、ADE C ∠=∠，A A ∠=∠，可根据两角相等证明ADE ACB ∽，不符合题意；B 、ADE B ∠=∠，A A ∠=∠，，可根据两角相等证明ADE ACB ∽，不符合题意；C 、AE DE AB BC=，A A ∠=∠，不能证明ADE ACB ∽，符合题意；D 、AD AE AC AB =，A A ∠=∠，可根据两边对应成比例，夹角相等证明ADE ACB ∽，不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理并应用解决问题是解题关键．【21题答案】【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似；②阴影部分的三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似；③两三角形虽然满足2436=，但两边所夹的角不一定相等，故两三角形不一定相似；④两三角形对应边成比例41641642--==且夹角相等，故两三角形相似．故正确的有①②④，故选：D ．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．二、填空题（2022春上海华育校内模拟精选）【22题答案】【答案】DE BC ∥(答案不唯一)【解析】【分析】根据DE BC ∥可以求得ADE ABC ∠∠＝，AEDACB ∠∠＝，即可求证ABC ADE ∽△△，即可解题．【详解】解：添加条件为：DE BC ∥．理由：∵DE BC ∥，∴ADE ABC ∠∠＝，AEDACB ∠∠＝，∴ABC ADE ∽△△，∴添加条件DE BC ∥，即可证明ABC ADE ∽△△，故答案为：DE BC ∥ (答案不唯一)．【点睛】本题考查了平行线同位角相等的性质，相似三角形的证明，本题中添加条件DE BC ∥，并证明ABC ADE ∽△△是解题的关键．（2022春上海张江校内模拟精选）【23题答案】【答案】2或4##4或2【解析】【分析】根据AE EB =，AED △中2AD AE =，所以在MNC 中，分CM 与AE 和AD 是对应边两种情况利用相似三角形对应边成比例求出CM 与CN 的关系，然后利用勾股定理列式计算即可．【详解】解：AE EB = ，2AD AE ∴=，又AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似，∴分两种情况：①CM 与AD 是对应边时，2CM CN =，22220CM CN MN ∴+==，即221204CM CM +=，解得：4CM =；②CM 与AE 是对应边时，12CM CN =，22220CM CN MN ∴+==，即22420CM CM +=，解得：2CM =．综上所述：当CM 为4或2时，AED △与CMN 相似．故答案是：4或2．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定；利用相似三角形对应边成比例的性质和直角三角形勾股定理求解是解题的关键．【24题答案】【答案】∠=∠BDC ABC （答案不唯一）【解析】【分析】已知有一个公共角，则可以再添加一个角从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定．【详解】解：∵C C ∠=∠，∴根据两角相等的两个三角形相似，可添加条件∠=∠BDC ABC 或CBD A ∠=∠证ADE ABC △△∽相似；根据两边对应成比例且夹角相等，可添加条件CD BC BC AC=或2BC CD AC =⋅，可以证ADE ABC △△∽相似．故答案为∶①∠=∠BDC ABC ；②CBD A ∠=∠；③CD BC BC AC=；④2BC CD AC =⋅（写出其中一个即可）．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．（2022春上海浦东统考模拟精选）【25题答案】【答案】4【分析】根据CD 是斜边AB 上的高，DE BC ⊥于点E ，得90CDA CDB ∠=∠=︒，90CED BED ∠=∠=︒，再根据相似三角形的判定，即可．【详解】∵CD 是斜边AB 上的高，DE BC ⊥于点E ，∴90CDA CDB ∠=∠=︒，90CED BED ∠=∠=︒，在Rt ABC △和Rt ACD △中，∵90A A ADC ACB ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩，∴Rt Rt ABC ACD ；在Rt ABC △和Rt CBD △中，∵B B CDB ACB ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，∴Rt Rt ABC CBD ；∵DE BC ⊥，∴AC DE ∥，∴Rt Rt ABC DBE ；∵A B ∠∠=︒+90，90B DCB ∠+∠=︒，∴A DCB ∠=∠，在Rt ABC △和Rt CDE △中，A DCB ACB CED ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，∴Rt Rt ABC CDE ；∴图中与Rt ABC △相似的三角形有4个．故答案为：4．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．（2022春上海浦东统考模拟精选）【26题答案】【答案】∠BCD ＝∠A 或∠CDB ＝∠BCA 或BC BD AB BC=【分析】因为已知一个公共角，根据有两个角相等的两个三角形相似可添加BCD A ∠=∠或CDB BCA ∠=∠，根据有两组边成比例且夹角相等的两个三角形相似可添加BC BD AB BC=．【详解】解：在ABC ∆和ABC ∆中，∵B B ∠=∠，∴添加BCD A ∠=∠或CDB BCA ∠=∠或BC BD AB BC=，BCD BAC ∆∆∽．故答案为：BCD A ∠=∠或CDB BCA ∠=∠或BC BD AB BC =．【点睛】本题主要考查三角形相似的判定，熟知相似三角形判定定理是解题的关键．（2022春上海张江校内模拟精选）【27题答案】【答案】B【解析】【分析】根据相似三角形的判定条件求解即可．【详解】解：当1B ∠=∠时，ADC ACB ，理由如下，∵A A ∠=∠，1B ∠=∠，∴ADC ACB ，故答案为：B ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知两个角对应相等的三角形相似是解题的关键．（2022春上海浦东统考模拟精选）【28题答案】【答案】B E ∠=∠或C F ∠=∠或AB AC DE DF=（答案不唯一）【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理作答即可．【详解】解：由两角对应相等，两个三角形相似，可添加B E ∠=∠或C F ∠=∠；由两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似，可添加AB AC DE DF=；故答案为：B E ∠=∠或C F ∠=∠或AB AC DE DF=（答案不唯一）．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【29题答案】【答案】DE BC ∥(答案不唯一)【解析】【分析】根据DE BC ∥可以求得ADE ABC ∠∠＝，AEDACB ∠∠＝，即可求证ABC ADE ∽△△，即可解题．【详解】解：添加条件为：DE BC ∥．理由：∵DE BC ∥，∴ADE ABC ∠∠＝，AEDACB ∠∠＝，∴ABC ADE ∽△△，∴添加条件DE BC ∥，即可证明ABC ADE ∽△△，故答案为：DE BC ∥ (答案不唯一)．【点睛】本题考查了平行线同位角相等的性质，相似三角形的证明，本题中添加条件DE BC ∥，并证明ABC ADE ∽△△是解题的关键．三、解答题（2022春上海青浦统考模拟精选）【30题答案】【答案】ABC 和A B C ''' '相似，理由见解析【解析】【分析】根据三角形相似的判定计算判定即可．【详解】ABC 和A B C ''' 相似．理由如下：∵50A ∠=︒，60B B '∠=∠=︒，∴18070C B A ∠=︒-∠-∠=︒，∵70C '∠=︒，∴70C C '∠=∠=︒，∴ABC A B C '''∽△△．【点睛】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法解题的关键．【31题答案】【答案】（1）ACD ADE △∽△，ABD DCE ∽△△（2）理由见解析【解析】【分析】（1）利用相似三角形的定义解答即可；（2）利用等边三角形的性质和相似三角形的判定解答即可．【小问1详解】解：相似三角形有：ACD ADE △∽△，ABD DCE ∽△△；【小问2详解】ACD ADE △∽△的理由：∵ABC 是等边三角形，∴60ACD ABC ∠=∠=︒，∵ACD CDE E ∠=∠+∠，∴60CDE E ∠+∠=︒，∵60ADE ∠=︒，∴60ADC CDE ∠+∠=︒，∴ADC E ∠=∠，∵DAC EAD ∠=∠，∴ACD ADE △∽△；ABD DCE ∽△△的理由：∵ABC 是等边三角形，∴60ACD ABC ∠=∠=︒，∴120ABD DCE ∠=∠=︒，∵ACD CDE E ∠=∠+∠，∴60CDE E ∠+∠=︒，∵60ADE ∠=︒，∴60ADC CDE ∠+∠=︒，∴ADC E ∠=∠，∴ABD DCE ∽△△．。

第5讲相似三角形知识点1相似三角形的判定相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.相似三角形的判定：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成三角形与原三角形相似.（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似. （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似. （4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.直角三角形相似判定定理斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似.【典例】1.如图，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2，当AB的长为时，△ACB与△ADC 相似．【答案】4【解析】解：∵∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2，∴△ADC是等腰直角三角形，AC==2，∵△ACB与△ADC相似，∴△ACB是等腰直角三角形，BC=AC=2，∴AB==4，即当AB的长为4时，△ACB与△ADC相似；故答案为：4．2.如图，点P是⊙O的直径AB延长线上一点，且AB=4，点M为上一个动点（不与A，B重合），射线PM与⊙O交于点N（不与M重合）．（1）当M在什么位置时，△MAB的面积最大，并求出这个最大值；（2）求证：△PAN∽△PMB．【解析】解：（1）当点M在的中点处时，△MAB面积最大，此时OM⊥AB，∵OM=AB=×4=2，∴S△ABM=AB•OM=×4×2=4；（2）∵∠PMB=∠PAN，∠P=∠P，∴△PAN∽△PMB．3.如图，已知O 是△ABC 内一点，D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点．求证：△ABC∽△DEF．【解析】证明：∵D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点，∴DE= AB，EF= BC，DF= AC，即= = ，∴△ABC∽△DEF4.如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F．（1）求证：△PFA∽△ABE；（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．【解析】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠PAF=∠AEB．∵∠PFA=∠ABE=90°，∴△PFA∽△ABE．（2）若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB．∴PE∥AB．∴四边形ABEP为矩形．∴PA=EB=2，即x=2．若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB．∵∠PAF=∠AEB，∴∠PEF=∠PAF．∴PE=PA．∵PF⊥AE，∴点F为AE的中点．∵AE=，∴EF=AE=．∵，即，∴PE=5，即x=5．∴满足条件的x的值为2或5．【方法总结】（1）在有一组对应角相等的情况下，可以从两个方面选择突破口：①寻找另一组对应角相等：②寻找两个三角形中这个已知角的两边的比相等.（2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形都与原三角形相似（此知识常用，但是有时需要证明）（3）若两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，或斜边和一条直角边成比例，则这两个直角三角形相似.【随堂练习】1．（2018•襄州区模拟）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，DP=_______．【解答】解：①当△APD∽△PBC时，=，即=，解得：PD=1，或PD=4；②当△PAD∽△PBC时，=，即=，解得：DP=2.5．综上所述，DP的长度是1或4或2.5．故答案是：1或4或2.5．2．（2018•扬中市二模）如图，▱ABCD的对角线交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．（1）求证：△BDE是直角三角形；（2）如果OE⊥CD，试判断△BDE与△DCE是否相似，并说明理由．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，∵OE=OB，∴OE=OD，∴∠OBE=∠OEB，∠ODE=∠OED，∵∠OBE+∠OEB+∠ODE+∠OED=180°，∴∠BED=∠OEB+∠OED=90°，∴DE⊥BE，即△BDE是直角三角形；（2）解：△BDE与△DCE相似．∵OE⊥CD，∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，∴∠CEO=∠CDE，∵∠OBE=∠OEB，∴∠DBE=∠CDE，∵∠BED=∠DEC=90°，∴△BDE∽△DCE．知识点2 相似三角形的性质相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．【典例】1.如图所示，已知△AOB∽△DOC，OA=2，AD=9，OB=5，DC=12，∠A=58°，求AB、OC 的长和∠D的度数．【解析】解：∵OA=2，AD=9，∴OD=9﹣2=7，∵AB∥CD，∵△AOB∽△DOC，∴==，∵OA=2，OB=5，DC=12，∴==，解得OC=，AB=，∵△AOB∽△DOC，∴∠D=∠A=58°．2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求△DMN的面积．【答案】【解析】解（1）∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，∴△MND∽△CNB，∴=，∵M为AD中点，∴MD=AD=BC，即=，∴=，即BN=2DN，设OB=OD=x，则有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x﹣1，∴x+1=2（x﹣1），解得：x=3，∴BD=2x=6；（2）∵△MND∽△CNB，且相似比为1：2，∴MN：CN=1：2，∵△DCN的面积为2，∴△MND面积为1（高相同的两个三角形面积比等于底边长度比）【方法总结】1对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．2顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．3两个三角形形状一样，但大小不一定一样．4全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．5相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等【随堂练习】1．（2018•安徽）矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为____．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=90°，∴BD==10，当PD=DA=8时，BP=BD﹣PD=2，∵△PBE∽△DBC，∴=，即=，解得，PE=，当P′D=P′A时，点P′为BD的中点，∴P′E′=CD=3，故答案为：或3．2．（2018•六安模拟）如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB=3，BC=4，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S1，S2，S3，S4，以下判断：①PA+PB+PC+PD的最小值为10；②若△PAB≌△PCD，则△PAD≌△PBC；③若S1=S2，则S3=S4，④若△PAB∽△PDA，则PA=2其中正确的是______（把所有正确的结论的序号都填在横线上）【解答】解：①当点P是矩形ABCD两对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，根据勾股定理得，AC=BD=5，所以PA+PB+PC+PD的最小值为10，故①正确；②若△PAB≌△PCD，则PA=PC，PB=PD，所以P在线段AC、BD的垂直平分线上，即P是矩形ABCD两对角线的交点，所以△PAD≌△PBC，故②正确；③若S1=S2，易证S1+S3=S2+S4，则S3=S4，故③正确；④若△PAB～△PDA，则∠PAB=∠PDA，∠PAB+∠PAD=∠PDA+∠PAD=90°，∠APD=180°﹣（∠PDA+∠PAD）=90°，同理可得∠APB=90°，那么∠BPD=180°，B、P、D三点共线，P是直角△BAD斜边上的高，根据面积公式可得PA=2，故④错误．故答案为①②③．3．（2017秋•临清市期末）如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C 以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ 与△ABC相似？试说明理由．【解答】解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，则AP=2xcm，BQ=4xcm，∵AB=8cm，BC=16cm，∴BP=AB﹣AP=（8﹣2x）cm，∵∠B是公共角，∵①当，即时，△PBQ∽△ABC，解得：x=2；②当，即时，△QBP∽△ABC，解得：x=0.8，∴经2或0.8秒钟△PBQ与△ABC相似．知识点3相似三角形的综合应用【典例】1.如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小亮在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD 方向从D后退4米到G处，测得自己的影长GH=5，如果小亮的身高为1.7m，求路灯杆AB 的高度．【解析】解得BD=6，解：∵CD⊥BF，AB⊥BF，∴CD∥AB，∴△CDF∽△ABF，∴=，同理可得=，∴=，∴=，∴=，解得AB=5.1．答：路灯杆AB高5.1m．2.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=4米，BP=6米，PD=24米，求该古城墙CD的高度．【解析】解：由题意知∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP，∴△ABP∽△CDP，∴=，得=，解得：CD=16，∴该古城墙CD的高度为16米．3.小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为．（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示）【解析】解：（1）设灯泡离地面的高度为xcm，∵AD∥A′D′，∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．∴△PAD∽△PA′D′．根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得，∴=，解得x=180．（2）设横向影子A′B，D′C的长度和为ycm，同理可得∴=，解得y=12cm；（3）记灯泡为点P，如图：∵AD∥A′D′，∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．∴△PAD∽△PA′D′．根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得（直接得出三角形相似或比例线段均对）设灯泡离地面距离为x，由题意，得PM=x，PN=x﹣a，AD=na，A′D′=na+b，∴=1﹣=1﹣x=【方法总结】相似三角形的应用，类型较多，主要集中在测高和测距；此类题目解题时，要把实际问题转化成几何图形，构造相似，利用相似三角形对应边成比例，对应角相等的性质去求解；解题时对应边一定要找对，否则就会事倍功半【随堂练习】1．（2018•大连）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．【解答】解：（1）如图，连接BD，∵∠BAD=90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°，∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°，∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）∵DE∥AC，∵∠BDE=90°，∴∠BFC=90°，∴CB=AB=8，AF=CF=AC，∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°，∴∠CDE=∠CBD，∵∠DCE=∠BCD=90°，∴△BCD∽△DCE，∴，∴，∴CD=4，在Rt△BCD中，BD==4同理：△CFD∽△BCD，∴，∴，∴CF=，∴AC=2AF=．2．（2018•滨州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB，求证：（1）直线DC是⊙O的切线；（2）AC2=2AD•AO．【解答】解：（1）如图，连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠OAC=∠DAC，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，又∵AD⊥CD，∴OC⊥DC，∴DC是⊙O的切线；（2）连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴AB=2AO，∠ACB=90°，∵AD⊥DC，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠DAC=∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴=，即AC2=AB•AD，∵AB=2AO，∴AC2=2AD•AO．综合运用：相似三角形1.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F．（1）求证：DF是BF和CF的比例中项；（2）在AB上取一点G，如果AE•AC=AG•AD，求证：EG•CF=ED•DF．【解析】证明：（1）∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠BCD=∠A，∠ADC=90°．∵E是AC的中点，∴DE=AE=CE，∴∠ADE=∠A，∴∠BCD=∠ADE．又∠ADE=∠FDB，∴∠FCD=∠FDB．∵∠CFD=∠DFB，∴△CFD∽△DFB，∴DF2=BF•CF．（2）∵AE•AC=AG•AD，∴=．∵∠A=∠A，∴△AEG∽△ADC，∴EG∥BC，∴△EGD∽△FBD，∴=．由（1）知：△CFD∽△DFB，∴=，∴=，∴EG•CF=ED•DF．2.如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H分别在AB，AC上，已知BC=40cm，AD=30cm，求这个正方形的边长．【解析】解：∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC，∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，∴△AEH∽△ABC．如图，设AD与EH交于点M．∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，∴四边形EFDM是矩形，∴EF=DM，设正方形EFGH的边长为xcm，∵△AEH∽△ABC，∴=，∴=，∴x=，∴正方形EFGH的边长为cm．3.在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：△DEF∽△EBD．【解析】证明：∵AC⊥BE，∴∠AFB=∠AFE=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE=90°，又∵∠AEF=∠BEA，∴△AEF∽△BEA，∴=，∵点E是AD的中点，∴AE=ED，∴=，又∵∠FED=∠DEB，∴△DEF∽△BED．4.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长120mm，高AD为80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．（Ⅰ）图中与△ABC相似的三角形是，说明理由；（Ⅱ）这个正方形零件的边长为多少？【解析】解：（Ⅰ）∵正方形EGHF，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，故答案为：△AEF；（Ⅱ）设EG=EF=x∵△AEF∽△ABC∴=，∴=，∴x=48，∴正方形零件的边长为48mm．5.如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．（1）△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由．（2）求∠1+∠2的度数．【解析】解：（1）相似．理由：设正方形的边长为a，AC==a，∵==，==，∴=，∵∠ACF=∠ACF，∴△ACF∽△GCA；（2）∵△ACF∽△GCA，∴∠1=∠CAF，∵∠CAF+∠2=45°，∴∠1+∠2=45°．6.【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：△ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点，延长DE、AC交于点F，DE=EF，AB=5，求AE的长．小白的想法是：过点E作EH∥BC交AC于H，再通过相似三角形的性质得到AE、BE的比，从而得出AE的长，请你按照小白的思路完成解答．【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，E为AB边上一点，AE=AD，H、Q为BC上两点，CQ=DH，DQ=mDH，G为AC上一点，连接EQ交HG、AD于F、P，∠EFG+∠EAD=180°，猜想并验证EP与GH的数量关系．【解析】解：如图1，过点E作EH∥BC交AC于H，∴∠FEH=∠FDC，∠FHE=∠C，∴△FEH∽△FDC，∴，∵DE=EF，∴，∵BD=DC，∴，同理得：△AEH∽△ABC，∴，∵AB=5，∴AE=；【解决问题】猜想：=，理由是：如图2，过D作DM∥GH，交AC于M，∴∠CMD=∠CGH，∠CDM=∠CHG，∴△CDM∽△CHG，∴，设DH=CQ=x，则DQ=mx，∴==，∵AD平分∠BAC，∴∠EAP=∠DAM，∵∠EFG+∠EAD=180°，∴∠AEP+∠ANF=180°，∵GH∥DM，∴∠ADM+∠DNG=∠ADM+∠ANF=180°，∴∠ADM=∠AFP，∵AE=AD，∴△AEP≌△ADM，∴EP=DM，∴=．。

精锐教育学科教师辅导教案相似三角形中有哪些性质？如何证明？问题1：如图，△ABC ∽△'''A B C ，相似比为k ，AD ⊥BC 于D ，''A D ⊥''B C 于'D ，你能发现图中还有其他的相似三角形吗？''ADA D 等于什么？问题2：如图，△ABC ∽△'''A B C ，相似比为k ，如果AD 和''A D 是它们的对应角平分线，那么''AD A D 等于多少？ D'DABC C'B'A'问题3：如图，△ABC ∽△'''A B C ，相似比为k ，如果AD 和''A D 是它们的对应中线，那么''ADA D 等于多少？知识点一：相似三角形性质相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.D'DABC C'B'A'D'DABC C'B'A'练习讨论练习3．ABC ∆∽111A B C ∆，相似比为34，且两个三角形的面积之差为228cm ，则ABC ∆的面积为 2cm ， 111A B C ∆的面积为 2cm ．4．如图，梯形ABCD 中，AD BC ，,AC BD 交于点O ，4,9AOD BOC S S ∆∆==,则ADBC= ．第2题图 第4题图 第5题5. 如图,将△ABC 沿射线BC 方向平移得到△DEF ，边DE 与AC 相交于点G ，如果3BC cm =，△ABC 的面积为29cm ，△GEC 的面积等于24cm ，那么CFBE EC+ cm .例题1：如图，已知：在ABC ∆与CAD ∆中，//DA BC ，CD 交AB 于E ，且:1:2AE EB =，//EF BC 交AC 于F ，1ADE S ∆=。

初三兴趣班讲义（寒假班）专题十 相似三角形一、典型例题1．如图1，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，过点E 作AB 的垂线，过点F 作CD 的垂线，两垂线交于点G ，连接AG 、BG 、CG 、DG ，且∠AGD=∠BGC ．（1）求证：AD=BC ；（2）求证：△AGD ∽△EGF ；（3）如图2，若AD 、BC 所在直线互相垂直，求的值．2. 如图，抛物线与x 轴交与A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C. 点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称，直线AD 与y 轴相交于点E.（1）求直线AD 的解析式；（2）如图1，直线AD 上方的抛物线上有一点F ，过点F 作FG ⊥AD 于点G ，作FH 平行于x 轴交直线AD 于点H ，求△FGH 的周长的最大值；（3）点M 是抛物线的顶点，点P 是y 轴上一点，点Q 是坐标平面内一点，以A ，M ，P ，Q为顶点的四边形是AM 为边的矩形，若点T 和点Q 关于AM 所在直线对称，求点T 的坐标. 223y x x =-++3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（0，4）和C（8，0），P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB，过点B作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两直线交于点D．（1）求b、c的值；（2）当t为何值时，点D落在抛物线上；（3）是否存在t，使得以A，B，D为顶点的三角形与△AOP相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由．二、巩固练习4．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F．（1）求证：FE⊥AB；（2）当EF=6，=时，求DE的长．5．某兴趣小组开展课外活动．如图，A，B两地相距12米，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续按原速行走2秒到达点F，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H，此时他（GH）在同一灯光下的影长为BH（点C，E，G在一条直线上）．（1）请在图中画出光源O点的位置，并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM（不写画法）；（2）求小明原来的速度．6. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，D为AC延长线上一点，AC=3CD，过点D作DH∥AB，交BC的延长线于点H．(1）求BD•cos∠HBD的值；(2）若∠CBD=∠A，求AB的长．7．已知，如图①，在▱ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为t（s）（0＜t＜4），连接PQ，MQ，MC，解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥MN？（2）设△QMC的面积为y（cm2），求y与x之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S△QMC：S四边形ABQP=1：4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（4）是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．。

ABCA 1B 1C 1相似三角形的判定是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形判定定理3和直角三角形相似的判定定理，并进行了相似三角形判定的相关综合练习．重点是灵活运用相似三角形的各个判定定理，难点是相似三角形与分类讨论及函数思想的互相结合．1、相似三角形判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果111111AB BC CAA B B C C A ==，那么ABC ∆∽111A B C ∆．相似三角形的判定（二）内容分析知识结构模块一：相似三角形判定定理3知识精讲步同级年九2 / 22ABCDEABC D【例1】 ABC ∆的边长分别为a 、b 、c ，111A B C ∆的边长分别为a 、b 、c ，则ABC ∆与111A B C ∆（选填“一定”、“不一定”或“一定不”）相似．【难度】★★ 【答案】不一定．【解析】若a b c ==时，相似；若a 、b 、c 中有两个不等，那么它们就不相似． 【总结】本题考查相似三角形的判定定理3，同时穿插了分类讨论的思想．【例2】 如图，点D 为ABC ∆内一点，点E 为ABC ∆外一点，且满足AB BC ACAD DE AE ==．求证：ABD ∆∽ACE ∆．【答案】略．【解析】AB BC ACAD DE AE == ∴ABC ADE ∆∆∽． ∴BAC DAE ∠=∠， 即BAD DAC CAE DAC ∠+∠=∠+∠．∴BAD CAE ∠=∠．AB ACAD AE= ∴ABD ∆∽ACE ∆． 【总结】本题考查相似三角形的判定定理3和相似三角形的性质知识．【例3】 如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，2AC =，23CD =，4AD =．求证：ABC ∆∽ACD ∆．【答案】略． 【解析】90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，2AC =．∴112AB AC ==，∴在Rt ABC ∆中，3BC =．23CD =，4AD =， ∴12AB AC BC AC AD CD ===，∴ABC ∆∽ACD ∆． 【总结】本题考查相似三角形的判定定理3和直角三角形的勾股定理知识．例题解析ABCDEF【例4】 已知：如图，在t R ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2AC =，4BC =，点D 在BC 边上，且CAD B ∠=∠． （1）求AD 的长；（2）取AD 、AB 的中点E 、F ，联结CE 、CF 、EF ．求证：CEF ∆∽ADB ∆． 【答案】略． 【解析】（1）90ACB ∠=︒，CAD B ∠=∠，CAD CBA ∴∆∆∽ ∴CD AC AD AC CB AB==． ∴2AC CD CB =• ∴1CD =．∴在Rt ADC ∆中，AD（2）点E F 、分别是AD 、AB 的中点，∴12EF BD =． 在Rt ADC ∆、Rt ABC ∆中，12CE AD =，12CF AB =． ∴12CE CF EF AD AB BD ===，∴CEF ∆∽ADB ∆．【总结】本题考查相似三角形的判定定理3、直角三角形的性质和三角形中位线等知识．步同级年九4 / 22【例5】 如图，在梯形ABCD 中，AB // CD ，90A ∠=︒，2AB =，3BC =，1CD =，点E是AD 的中点．（1）求证：CDE ∆∽EAB ∆；（2）CDE ∆与CEB ∆有可能相似吗？若相似，请证明；若不相似，请说明理由． 【答案】略．【解析】（1）证明：过点C 作CF AB ⊥，垂足为F ，如图． 9090A CFB ∠=∠=，，//AD CF ∴．又//AB CD ，∴四边形AFCD 是平行四边形．又90A ∠=，∴平行四边形AFCD 是矩形． 1AF CD AD CF ∴===，，1BF ∴=．在Rt FBC ∆中，2222CF BC BF =-=，22AD ∴=． 点E 是AD 的中点 2ED EA ∴==．∴22DE CD AB AE ==又90D A ∠=∠=，∴CDE ∆∽EAB ∆．（本题还可用其它方法证明）（2）CDE ∆与CEB ∆相似．在Rt DCE ∆中，223CE DC DE =+=， 在Rt CBF ∆中，226BE AE AB =+=，3CE BE CBCD DE CE===， ∴CDE ∆∽CEB ∆． 【总结】本题考查了梯形及相似三角形的判定，着重考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用能力．本题实际上是“一线三直角”模型．模块二：直角三角形相似的判定定理ABCD EFABCDFG1、直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．如图，在Rt ABC ∆和111Rt A B C ∆中，如果190C C ∠=∠=︒，1111AB BCA B B C =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．【例6】 如图，在ABC ∆中，CD AB ⊥于D ，DF AC ⊥于F ，DG BC ⊥于G ．求证：CF CA CG CB =．【答案】略． 【解析】证明：CD AB ⊥，DF AC ⊥，∴90ADC CFD ∠=∠=．又DCF DCA ∠=∠， ∴DCF ACD ∆∆∽． ∴DC CF AC DC=，即2DC CA CF =•．同理可得：2DC CG CB =•， ∴CF CA CG CB =． 【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法，同时考查了相似三角形的性质等知识．【例7】 已知直角三角形斜边上的高为12，并且斜边上的高把斜边分成3:4两段，则 斜边上的中线长是．【答案】73．知识精讲例题解析ABC A 1B 1C 1A BCDEFA BCDEFM【解析】解：如右图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=， CD AB ⊥于点D ，AE EB =．设3AD x =，4BD x =，12CD =．易证Rt ADC Rt CDB ∆∆∽，得DC BDAD DC=，得2DC AD DB =•，所以21234x x =•解得x =7AB x ==，而12CE AB =，所以CE = 【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法，同时考查了直角三角形斜边上的中线等相关知识．【例8】 如图，直角梯形ABCD 中，90BCD ∠=︒，AD // BC ，BC CD =，E 为梯形内 一点，且90BEC ∠=︒．将BEC ∆绕点C 旋转90°使BC 与DC 重合，得到DCF ∆，连接 EF 交CD 于点M ．已知5BC =，3CF =，求:DM MC 的值．【答案】43．【解析】解：由旋转的性质得：BEC DFC ∆≅∆， 且90BCD ECF ∠=∠=．903BEC ECF EC FC ∴∠=∠===，，5BC CD ==．∴180ECF DFC ∠+∠=， ∴//EC DF ．∴DM DFMC EC =．在Rt DCF ∆中，4DF =．∴43DM MC =． 【总结】本题考查了旋转的性质，三角形一边的平行线等相关知识．【例9】 如图，在ABC ∆中，CD AB ⊥于D ，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ，求证：CEF ∆∽CBA ∆．【答案】略． 【解析】证明：CD AB ⊥，DE AC ⊥，∴90ADC CED ∠=∠=．又DCE DCA ∠=∠， ∴DCE ACD ∆∆∽． ∴DC CF AC DC=，即2DC CA CE =•．同理，可得：2DC CF CB =•．A BCD EF∴CA CE CF CB •=•， 即CF CEAC CB=．又FCE BCA ∠=∠， ∴CEF CBA ∆∆∽．【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、相似三角形的性质等知识．【例10】 在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，E 是AC 边上的一个动点（不与A 、C 重合），CF BE ⊥于点F ，连接DF ． （1）求证：2CB BF BE =； （2）求证：BF AE FD BA =．【答案】略． 【解析】证明：（1）90ACB ∠=，CF BE ⊥，∴90ACB CFB ∠=∠=．又CBF CBE ∠=∠，∴CBF EBC ∆∆∽． ∴CB BEBF CB=，∴2CB BF BE =•．（2）90ACB ∠=，CD BA ⊥，∴90ACB CDB ∠=∠=．又CBD CBA ∠=∠，∴CBD ABC ∆∆∽． ∴CB ABBD CB=，即2CB BD BA =•． ∴BF BE BD BA •=•， ∴FB BD BA BE=又ABE FBD ∠=∠，∴FBD ABE ∆∆∽． ∴FB FDBA AE=．∴BF AE FD BA •=•．【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、相似三角形的性质等知识．步同级年九8 / 22【例11】 求证：如果一个三角形的两边和第三边的中线与另一个三角形的对应线段成比例，那么这两个三角形相似．【答案】略．【解析】已知：如图，AD 、11A D 分别是ABC ∆、111A B C ∆边BC 、11B C 上的中线，且111111AC AB ADAC A B A D ==．求证：ABC ∆∽111A B C ∆． 证明：分别延长AD 、11A D 到点1E E 、． 使得1111DE ADD E A D ==，． ∴111122AE AD A E A D ==，．AD 、11A D 分别是ABC ∆、111A BC ∆边BC 、11B C 上的中线，∴1111BD DC B D D C ==，．111111ADB ADC A D B A D C ∠=∠∠=∠， ， ∴ADB EDC ∆≅∆，111111A D BE D C ∆≅∆ ∴1111BAD E B A D E ∠=∠∠=∠，．111111AC AB AD AC A B A D ==，∴111111AC AB AEAC A B A E ==． ∴111AEC A E C ∆∆∽，∴1111E E CAD C A D ∠=∠∠=∠，∴111BAD B A D ∠=∠ ，∴111BAC B AC ∠=∠．又1111AB ACA B AC =， ∴111ABC A B C ∆∆∽． 【总结】本题考查了三角形相似的判定方法，并且考查学生通过倍长中线来转化边角的方法．ABCD EF【例12】 如图，在Rt BDC ∆中，点E 在CD 上，DF BC ⊥于F ，DG BE ⊥于G ．求证：FG BC CE BG =．【答案】略．【解析】证明：联结GF ．90BDC ∠=，DF BC ⊥， ∴90BDC DFB ∠=∠=．又CBD FBD ∠=∠， ∴DBF CBD ∆∆∽． ∴DB BF BC DB=， ∴2DB BF BC =•．90EDB ∠=，GD BE ⊥， ∴90DGB EDB ∠=∠=．又EBD GBD ∠=∠， ∴GBD DBE ∆∆∽． ∴DB EBBG DB=， ∴2DB BG BE =•． ∴BF BC BG BE •=•， 即FB BGBE BC=．又GBF EBC ∠=∠， ∴GBF CBE ∆∆∽．∴GB FG BC CE=， ∴FG BC CE BG •=•． 【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、相似三角形的性质等知识，综合性较强，需要通过多次相似证的结论成立．【例13】 如图，90CAB ∠=︒，AD CB ⊥，ACE ∆、ABF ∆是正三角形．求证：DE DF ⊥．【答案】略． 【解析】证明：ACE ∆、ABF ∆是正三角形，∴AC CE AB AF ==，，6060FAB ACE ∠=∠=，．AD BC ⊥， ∴90BDA ADC ∠=∠=． ∴90CAD ACD ∠+∠=．90BAC ∠=， ∴90BAD DAC ∠+∠=． BAD DCA ∴∠=∠．∴DBA DAC ∆∆∽． ∴CD AC AD AB =． ∴CD ECAD AF=．FAB BAD DCA ACE ∠+∠=∠+∠， ∴FAD DCE ∠=∠．∴FAD ECD ∆∆∽． ∴ADF EDC ∠=∠．90ADE EDC ∠+∠=， ∴90ADF EDA ∠+∠=． ∴DE DF ⊥．BCD EFG步同级年九10 / 22AB CD EFGH1 23【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、等边三角形的性质等知识．1、相似三角形判定定理1：两角对应相等，两个三角形相似．2、相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．3、相似三角形判定定理3：三边对应成比例，两个三角形相似．4、直角三角形相似的判定定理：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．【例14】 在ABC ∆中，12AB =，15AC =，D 为AB 上一点，3ABBD=，在AC 上取一点E ，得到ADE ∆，若ADE ∆与ABC ∆相似，则AE =．【答案】10或325．【解析】若ADE ∆与ABC ∆相似，则分两种情况：ABC ADE ∆∆∽或ABC AED ∆∆∽，得AD AE AB AC =或AD AEAC AB =，即可得解． 【总结】灵活运用相似三角形的性质定理是解本题的重点，注意分类讨论．【例15】 如图，四边形ABDC 、CDFE 、EFGH 是三个正方形，则123∠+∠+∠的值为多少？【答案】90．【解析】解：设正方形ABDC 、CDFE 、 EFHG 的边长为1．则2AD =，5AF =，1DF =，2HD =，10AH =． ∴2AD DH AHDF AD AF===， ∴ADH FDA ∆∆∽． ∴3DAF ∠=∠． 四边形ABDC 是正方形， ∴AB BD =． ∴145∠=．又21DAF ∠+∠=∠， ∴231∠+∠=∠． ∴12390∠+∠+∠=．【总结】灵活运用相似三角形的判定定理来转化角度是解本题的关键．模块三：相似三角形的判定综合知识精讲例题解析ABCDEAB CDEN M【例16】 如图，正方形ABCD 的边长为2，AE EB =，1MN =，线段MN 的两端在CB 、CD 上滑动，当CM 为何值时，AED ∆与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似．【答案】当CM 525时，ADE ∆与以 M 、N 、C 为顶点的三角形相似． 【解析】解：四边形ABDC 是正方形， ∴2AB AD ==． 又AE EB =， ∴1AE =．在Rt CMN ∆中，222MN CM CN =+． ① 当5CM = 时，25CN ，∴5AE AD CM CN = ∴ADE CNM ∆∆∽；② 当25CM =时，5CN =，∴5AE AD CN CM = ∴ADE CMN ∆∆∽． 【总结】本题考查了相似三角形的判定及正方形的性质相关知识点．【例17】如图，AB AC =，2AC AD AE =，求证：BC 平分DBE ∠．【答案】略． 【解析】证明：AB AC =，2AC AD AE =•，∴2AB ADAE =•， 即AB AEAD AB=．又A A ∠=∠， ∴ABD AEB ∆∆∽．∴ABD E ∠=∠． 又AB AC =， ∴ABD DBC ACB ∠+∠=∠．又CBE E ACB ∠+∠=∠， ∴CBD CBE ∠=∠．即BC 平分DBE ∠．【总结】本题考查了相似三角形的判定及三角形外角的性质．【例18】如图，在ABC ∆中，M 在AB 上，且8MB =，12AB =，16AC =，在AC 上步同级年九12 / 22AD求作一点N ，使AMN ∆与原三角形相似，并求AN 的长．【答案】3AN =或163．【解析】解：如右图，要使AMN ∆与原三角形相似，有两种情况：128AB BM ==，，∴4AM =．① 当//MN BC 时，AMN ABC ∆∆∽． ∴AM AN AB AC =，即41216AN =，∴163AN =． ② 当MN 与BC 不平行时，ANM ABC ∆∆∽． ∴AM AN AC AB =，即41612AN=，∴3AN =．∴3AN =或163． 【总结】灵活运用相似三角形的性质定理是解本题的重点．【例19】如图，EM AM ⊥，CE DE =．求证：2ED DM AD CD =．【答案】略．【解析】证明：过点E 作EH CD ⊥于点H ，得90EHD ∠=．EC ED =，EHCD ⊥，∴12DH CD =．EM AM ⊥，∴90M ∠=． ∴EHD M ∠=∠． 又EDH MDA ∠=∠， ∴EHD AMD ∆∆∽． ∴DM AD DH ED=， 即DM ED DA HD •=•．∴12DM ED DA CD •=•，即2ED DM DA CD •=•．【总结】本题考查了相似三角形的判定及等腰三角形的性质等相关知识．【例20】如图，在ABC ∆和DEF ∆中，90A D ∠=∠=︒，3AB DE ==，24AC DF ==．（1）判断这两个三角形是否相似，并说明为什么；（2）能否分别过点A 、D 在这两个三角形中各作一条辅助线，使ABC ∆分割成的两个AB CDEF 三角形与DEF ∆分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．【答案】（1）不相似，一组角相等，但夹它的两边不对应成比例，故不相似；（2）能，理由略．【解析】（2）题分割如下：作BAM E ∠=∠交BC 于点M ，作EDN B ∠=∠交EF 于点N ，可证明BAM DEN ∆∆∽，再证明另一对也相似即可．【总结】本题考查了相似三角形的判定知识．【例21】 如图，在ABC ∆中，3AB AC ==，2BC =，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC边上，BEF ∆沿着直线EF 翻折后与DEF ∆重合，设CD x =，BF y =．试问DFC ∆是否有可能与ABC ∆相似，如有可能，求出CD 的长；如不可能，说明理由．【答案】DFC ∆有可能与ABC ∆相似，此时65CD =或23．【解析】解：翻折后，BF DF =．当DFC ABC ∆∆∽时，DFC C B ∠=∠=∠． BF DF CD x ∴===，2CF x =-． CD CF CA CB ∴=，即232x x -=． 65x ∴=； 当DFC ACB ∆∆∽时，FDC C B ∠=∠=∠，1BF DF CF ∴===．CD CF CB CA ∴=，即213x =． 23x ∴=． ∴65CD =或23．【总结】本题考查了相似三角形的判定、翻折变换（折叠问题）等的相关知识． 【例22】 如图，ABC ∆是等边三角形，D 是AC 上的一点，BD 的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于F ．（1）当点D 在边AC 上移动时，DEF ∆中哪一个角的大小始终保持不变？并求出它的度数；（2）当点D 在边AC 上移动时，ADE ∆与哪一个三角形始终相似？并写出证明过程．又AB CDEF 问：当点D移动到什么位置时，这两个三角形的相似比为1？（3）若等边三角形ABC的边长为6，2AD=，试求:BE BF的值．【答案】（1）EDF∠始终不变，且等于60；（2）ADE CFD∆∆∽．证明略；当点D移动到AC中点处时，这两个三角形的相似比为1；（3）45BEBF=．【解析】（1）翻折前后对应角相等；（2）相似比为1，说明ADE CFD∆≅∆，得DE DF=．又DB EF⊥，所以DB垂直平分EF，得BD平分ABC∠，则ABC∆是等边三角形，进而得出结论；（3）45AEDCFDCBE DEBF DF C∆∆===．【总结】本题考查了相似三角形的判定、翻折变换（折叠问题）、相似三角形的性质等的相关知识．ABC DEF ABCDE【习题1】 在ABC ∆中，点G 为重心，若BC 边上的高为6，求点G 到BC 的距离． 【答案】2．【解析】解：如图，联结AG 并延长交BC 于点D ，分别作GE BC ⊥、 AF BC ⊥于点E 、F ．由题知，6AF =．点G 为重心， ∴13DG DA =． 又//GE AF ， ∴GE DGAF DA=． ∴2GE =． 【总结】本题考查了重心的知识，构造相似形来解答问题．【习题2】 如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，E 为AC 上一点，CF BE ⊥ 于F ，联结DF ．求证：BD DFBE AE=． 【答案】略． 【解析】证明：90ACB ∠=，CF BE ⊥， ∴90ACB CFB ∠=∠=．又CBF CBE ∠=∠， ∴CBF EBC ∆∆∽． ∴CB BE BF CB=，即2CB BF BE =•． 同理，得：2CB BD BA =•． ∴BF BE BD BA •=•， ∴FB BDBA BE=． 又ABE FBD ∠=∠， ∴FBD ABE ∆∆∽． ∴BD FDBE AE=． 【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、相似三角形的性质等知识．【习题3】 已知梯形ABCD 中，AB // CD ，90B ∠=︒，3AB =，6CD =，12BC =，点E在BC 边上自B 点向C 点移动，求使得ABE ∆与ECD ∆相似的BE 的值．【答案】4或632±．【解析】解：由题知：90B C ∠=∠=． ABE ∆与ECD ∆相似，分两种情况：设BE x =．（1）ABE DCE ∆∆∽，得：AB BEDC CE=， 即3612x x=-，解得4x =；（2）ABE ECD ∆∆∽，得：AB BEEC DC=， 随堂检测ABC DEOAB CPQ 即3126xx=-，得212180x x-+=，解得6x=±综上：BE=4或6±【总结】本题考查了相似三角形的性质，着重考查学生分类讨论思想的应用．【习题4】如图，梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD相交于点O，过点B作BE//CD交CA的延长线于点E，求证：2OC OA OE=．【答案】略．【解析】//AD CB，∴CO BOOA OD=．//BE CD，∴CO DOOE OB=．∴CO OAOE OC=，∴2OC OA OE=•．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理的应用．【习题5】如图，在ABC∆中，90C∠=︒，8BC cm=，6AC cm=，点P从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动到C点，点Q从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动到A点．若点P、Q分别同时从B、C出发，经过多少时间CPQ∆与CBA∆相似？【答案】125t=或3211时，CPQ∆与CBA∆相似．【解析】设经过t秒CPQ∆与CBA∆相似，则2BP t=，CQ t=，∴82CP t=-．要使CPQ∆与CBA∆相似，有两种情况：①当CPQ CBA∆∆∽，∴CP CQCB CA=，即8286t t-=，∴125t=；ABCDEO②当CPQ CAB ∆∆∽，∴CP CQCA CB=， 即8268t t -=。

初三数学暑期辅导5 相似三角形初三数学暑期辅导5相似三角形初中暑期数学辅导（五）一、知识概要1、比例的性质：交流电？，然后ad=BC；bdaca？卑诗省？DAC（2）开闭比定理：如果？，然后BDB？公元卡西亚？CE（3）等距定理：如果？？？？，然后（b？d？f？？？0）。

bdfb?d?f??b2、相似三角形的判定：（1）有两个角对应于相等的三角形；(2)两边对应成比例且夹角相等的三角形相似.(3)三组边对应成比例的三角形相似。

3、一些基本图形：（1）比例的基本性质：如果二、问题解决1.将三个全等的正方形组合成一个矩形，并求出∠ DAE+∠ DAF+∠ 达格hgfea2.如图所示，在梯形ABCD中，ad‖BC、AC和BD在点O处相交，be‖CD的延长线在点E处与Ca相交。

验证：oc2=OA？oe。

bcd3.如图所示，在等边三角形ABC中，P是BC上方的点，D是AC上方的点，以及∠ APD=600，BP=1，CD=2/3，计算△ 基础知识ad23b1pc一4、如果一个矩形有一边在三角形的边上，另外两个顶点分别在三角形的其他两边上，则称该矩形为三角形的内接矩形，如图所示.请思考：如何做出三角形的内接正方形？阿德亚abbd5、证明角平分线定理：ad是∠bac的内角平分线，则.?acdcabgfcbc12bdc6、如图，梯形abcd中，ab∥cd,对角线相交于点o，过o作ab的平行线交两腰于m、n，112验证：？？abcdmnamobndc三、课后练习1.如果一个正方形oefg和一个正方形ABCD是同态的，点F的坐标是（1,1），点C的坐标是（4,2），那么两个正方形的同态中心的坐标是2、点m是△abc内一点，过点m分别作直线平行于△abc的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△abc的面积是．二3、如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为s1，s2，则s1+s2的值为（）a、 16b.17c.18d.194、如图，d是△abc的边bc上一点，已知ab=4，ad=2．∠dac=∠b，若△abd的面积为a，则△acd的面积为（）a、 ab．c。

1如图为斜“ A ”字型基本图形. A当 AED 则有生 AB 探 AE ACB 时，△ ABCAED AD DE AC BC .AD AB .\ECB如图所示， 当E 点与C 点重合时，为其常见的一个变形./\当 ACDB 时，△ ABCACD/则有竺AD CD \ AB AC BCA探 AC AD AB .BCA A如图所示， 当E 点在AC 的延长线上时，为另/\一个常见的变形. /\当 AEDB 时，△ ABCAED则有些AD DE\AB AC BCrvX —S■\介探 AE AC AD AB .2第5讲 相似三角形（三）模块一斜“ A ”和斜“ 8”模型 当 A D 时， △ AOB s^ DOC则有AOBO ABDO CO CD .如图为斜“ 8”字型基本图形. 探 AO OC BO OD .在 Rt △ ABC 中， BAC , AD BC 于 D .射影定理：(1) AD BD CD ；(2) AB BD BC ； (3) AC CD CB .BA LxD C注意：(1)射影定理可以直接用，是用 △ ABD CAD CBA 来证明的.(2)射影图形中，另外有下面的关系.① 角的相等关系： B CAD , C BAD .② 冋一二角形中二边的平方关系：AB AD BD 、ACAD CD 、BC AB AC .模块一斜“ A ”和斜“ 8”模型图1-1 图1-2 图1-3(1)如图 1-1, C E AC , BC , AE ，贝U AD(2)女口图1-2，点D 、E 分另U 在AB 、AC 上，且 ABC AED ,若DE 则AB 的长为 ___________ . ,AE , BC例3D ,E 分别在 BC , AC 上，且BD CE , AD 与BE AD DF :② AF AD AE AC :③ BF BE BD BC .(1)如图，△ ABC 是等边三角形，点 相交于点F .求证：①BD (2)如图，四边形ABCD 是菱形，AFAD 交BD 于E ,交BC 于F.求证：AD -DE DB .例3如图，在△ ABC中，AD的垂直平分线交AD于E,交BC的延长线于F , FD 求证：AD平分BAC .(1)如图3-1，四边形ABCD中，AC与BD交于点0,若1 2，求证：3(2)如图3-2，在△ ABC 中，AD BC于D，在AB上找到一点E使得EDB4 .BAC ,连接CE,求证:FB FC , CE AB.B图3-1 图3-2例5在等边△ ABC中，点D为AC上一点，连结BD，直线I与AB, BD, BC分别相交于点E、P、F，且BPF .(1)如图5-1,写出图中所有与△ BPF相似的三角形，并选择其中一对给予证明(2)若直线I向右平移到图5-2、图5-3的位置时(其它条件不变) 然成立？若成立，请写出来(不证明) ，若不成立，请说明理由(3)探究：如图5-1，当BD满足什么条件时(其它条件不变)结果，并说明理由.(说明：结论中不得含有未标识的字母),(1 )中的结论是否仍PF -PE ?请写出探究I图图11CB B例6模块二射影定理例7图7-1 图7-2例8已知，平面直角坐标系中，直线 y x 与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ，若坐标轴上存在一点C ,使得△ ABC 是直角三角形，则 C 点坐标为 _______________________(1)如图6-1，已知AD 是Rt △ ABC 斜边上的高，则下列各式中不正确的是( ).2 2A . BA BD CB B . AD BD CD 2C . AC CD CBD . BA CD AC BD(2)如图6-2, AD 是Rt △ ABC 斜边上的高，已知 AD 6 , BD4 , CD ______ AB______ , AC _________(1)如图 7-1，在△ ABC 中，CD AB 于 D , DEAC 于 E , DF BC 于F .求证:△ CEF CBA .(2)如图7-2，在Rt △ ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，DE AC 于 E , DF AB 于 F , 求图6-1 A图6-2证：竺皀豆A模块一斜“A”和斜“8”模型且AE，贝U AB的长为复习巩固(1)如图1-1, △ ABC 中，DE II BC , ACD B，则图中共有 ______ 对相似三角形.(2)如图1-2, M是Rt△ ABC的斜边BC上异于B、C的一定点, 过M点作直线截△ ABC , 使截得的三角形与△ ABC相似，这样的直线有( )A . 1条B . 2条C . 3条(1)如图2-1，在△ ABC中，D是BC边上一点，且满足AD AB , ADE C，若ADES ACDE(2)如图2-2, CD是Rt△ ABC斜边上的高, 证：FD FB FC . E为AC的中点，ED交CB的延长线于F .求演练1图1-1 图1-2 图2-1 图2-2竝■演练3_ _________________ 2BP 交AC 于E ,交CF 于F .求证：BP PE PF .如图，在 △ ABC 中，AD BC 于D , CEAB 于E , △ ABC 的面积是 A BDE 面积的4倍,AC 6，求DE 的长.已知如图，在 △ ABC 中，AB AC , AD 是垂线,P 为AD 上一点，过 C 做CF//AB ，延长演练5如图，在四边形ABCD 中，BAD BCD .过C 点做对角线BD 的垂线，分别交BD ,AD 于点 E 、F ，连接 AC ,求证：△ DCF DAC .如图，已知 AD 、CF 是厶ABC 的两条高, 求证：EF EH EG .演练6D模块射影定理EF AC 与E ,交CB 延长线于G ,交AD 于H ,。