八年级上册数学同步培优：第1讲 三角形--提高班

浙教版八年级上培优(1) 认识三角形浙教版八年级上培优(1)--认识三角形教育个性化咨询学习计划授课日期：2021年月日学生年级的学科老师给八年级的学科老师发了一条信息。

邵先生在数学教学期间就知道这个三角形，道路崎岖不平，无法阻挡前进的步伐；一路努力，倾注着胜利的信心！教学内容一、知识要点1.三角形的定义2.三角形按边分类：按角度：3.三角形的三边关系4.三角形角度之间的关系5.三角形的三条线和两条线。

例1有四条线段，长度分别为4cm、8cm、10cm和12cm。

选择其中三个形成三角形。

可以形成多少个三角形？例2.认真阅读，并回答下面问题：如图，ad为△abc的中线，s△abd与s△adc相等吗？(友情提示：s△表示三角形面积)解：过a点作bc边上的高h，∵ad为△abc的中线∴bd=dc∵s△abd=11bd?h,s△adc=dc?h22∴s△abd=s△adc(1)用一句简洁的文字表示上面这段内容的结论：_____(2)利用上面所得的结论，用不同的割法分别把下面两个三角形面积4等分，(只要割线不同就算一种)(3)已知：ad为△abc的中线，点e为ad边上的中点，若△abc的面积为20，bd=4，求点e到bc边的距离为多少？例3如图所示，∠ AOB=90°，c点和D点分别位于射线OA和ob上，CE是射线的平分线∠ ACD，CE的反向扩展与∠cdo的平分线交于点f．（1）什么时候∠ OCD=50°（图1），试着找到∠ F（2）当c、d在射线oa、ob上任意移动时（不与点o重合）（图2），∠f的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠f．已知示例4：如图1所示，线段AB和CD在点O处相交，并连接AD和CB。

我们将图1中的数字称为“图8”解答下列问题：（1）在图1中，请写下∠ A.∠ B∠ C和∠ D直接（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：（3）在图2中，如果∠ d=40°，∠ B=36°，∠ 轻拍∠ BCD分别与m和N相交，试图找到∠ P利用（1）的结论；ap和cp相交于点p，并且与cd、（4）（4）如果∠ D和∠ 图2中的B是任意角度，其他条件不变，两者之间的定量关系是什么∠ P和∠ D和∠ （直接写下结论）例5..如图①,△abc中，dc,bd分别是∠acb和∠abc的平分线，且∠a=α(1)、用含α的代数式表示∠cdb;(2)、若图②中dc为∠acb的外角的平分线，怎样用含α的代数式表示∠cdb?(3)、若把图①中“dc,db分别是∠acb和∠abc的平分线”改成“dc,bd分别是∠acb和∠abc的外角的平分线”，(如图③),怎样用含α的代数式别是∠cdb?知识巩固1.在△abc中，∠a:∠b:∠c=1：2：3，则△abc是（）a.钝角三角形b.锐角三角形c.直角三角形d.不能确定形状2.一个等腰三角形的一条高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底度数是3.已知：如图所示，在△abc中，点d，e，f分别为bc，ad，ce的中且s△abc=4cm，则阴影部分的面积为______cm．22角的点，4.如图，在△abc中e是bc上的一点，ec＝2be，点d是ac的中点，设△abc、△adf、△bef的面积分别为s△abc，s△adf，s△bef，且s△abc＝12，则s△adf－s△bef＝。

知识导图第一讲：三角形概述教学内容本讲内容涉及三角形角度计算的知识点，在人教版课本第十一章中学习，在本系列教材初二第1册第一节中已学习过．专题1 三角形角度转换基本图形的应用专题2 三角形角平分线基本模型专题3 三角形内、外角度转换专题4 角度转换基本模型与平面直角坐标系综合应用专题讲解专题1：角形角度转换基本图形的应用【例1】如图所示，已知∠C＝54°，∠E＝30°，∠BDF＝130°，求∠A的度数．AECFB D（2012，江岸区期末）【解析】【归纳总结】①题型特征： ②方法与技巧：练1．1：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，P 为线段AD 上的一个动点，PE ⊥AD 交直线BC 于点E ． （1）若∠B ＝35°，∠ACB ＝85°，求∠E 的度数；（2）当P 点在线段AD 上运动时，猜想∠E 与∠B 、∠ACB 的数量关系，写出结论无需证明．BC AD P练1．2：如图，已知∠CGE ＝120°，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数．αBCGEAFD练1．3：如图，求：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝ 度．A CD EF B PI专题2：三角形角平分线的基本模型【例2】如图，△ABC 中，∠A ＝50°，点P 是∠ABC 与∠ACB 平分线的交点．AC B PAC BDEP AC B FP图1 图2 图3（1）求∠P 的度数；（2）猜想∠P 与∠A 有怎样的大小关系？（3）若点P 是∠CBD 与∠BCE 平分线的交点，∠P 与∠A 又有怎样的大小关系？ （4）若点P 是∠ABC 与∠ACF 平分线的交点，∠P 与∠A 又有怎样的大小关系？ 【解析】【归纳总结】①题型特征： ②方法与技巧：练2．1：如图，BE 是∠ABD 的角平分线，CF 是∠ACD 的角平分线，BE 与CF 交于点G ，∠BDC ＝140°，∠BGC ＝110°，求∠A 的度数．D BA CGEF练2．2：（1）如图1，有一块直角三角板XYZ 放置在△ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 分别经过点B 、C ．△ABC 中，∠A ＝30°，则∠ABC ＋∠ACB ＝ ，∠XBC ＋∠XCB ＝ ．B X ZYAC图1（2）如图2，改变直角三角板XYZ 的位置，使三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 仍然分别经过B 、C ，那么∠ABX ＋∠ACX 的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX ＋∠ACX 的大小．B X ZYAC图2练2．3：（1）如图1，求证：∠CDB ＝∠A ＋∠B ＋∠C ．C ABD图1（2）如图2，∠ACD 的平分线与∠ABD 的平分线交于点E ．试问∠A ，∠CEB 和∠CDB 有何数量关系？为什么？C ABD E图2（3）如图3，若∠ACE＝13∠ACD，∠ABE＝13∠ABD，猜想∠A，∠CEB和∠CDB之间的数量关系为．（写出结论，不必证明）E CD 图3【变式】已知△ABC中，∠BAC＝100°．B AOBAO1O图1 图2 图3（1）若∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，如图1所示，试求∠BOC的大小；（2）若∠ABC和∠ACB的三等分线（即将一个角平均分成三等分的射线）相交于O，O1，如图2所示，试求∠BOC的大小；（3）如此类推，若∠ABC和∠ACB的n等分线自下而上依次相交于O，O1，O2，…，如图3所示，试探求∠BOC的大小与n的关系，并判断当∠BOC＝170°时，是几等分线的交线所成的角．（2014，光谷实验10月月考）专题3：三角形内、外角度的转换【例3】将△ABC沿EF折叠，使点C落在点C′处．（1）如图1，试问∠1，∠2与∠C之间有何关系？为什么？（2）若点C′在△ABC的外部，如图2所示，试问∠1，∠2与∠C之间又有何关系？为什么？21AC FBEC'21ACFBE C'图1 图2（2014，江汉区期末）【解析】【归纳总结】①题型特征： ②方法与技巧：练3．1：如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ，D 为BC 边上一点，E 为直线AC 上一点，且∠ADE ＝∠AED ； （1）求证：∠BAD ＝2∠CDE ；BACDE（2）如图，若D 在BC 的反向延长线上，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论．BACDE【例4】如图，BP 是∠ABC 的平分线，DP 是∠CDA 的平分线，BP 与DP 交于P ，右∠A ＝40°，∠C ＝76°，求∠P 的大小．ABDCP【解析】【归纳总结】①题型特征： ②方法与技巧：练3．2：如图，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD ，AB 分别相交于M ，N ．在图中，（1）若∠D ＝40°，∠B ＝36°，试求∠P 的度数；（2）—般性结论：若∠D 的度数为x ，∠B 的度数为y ，则∠P 的度数为 ．ABDCMP N【例5】如图，△ABC 中，∠B ＞∠C ，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线．求证：∠DAE ＝12(∠B －∠C )．BCAD E【解析】【归纳总结】①题型特征：②方法与技巧：练3．3：如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．（1）若∠C＝80°，∠B＝50°，求∠DAE的度数．（2）若∠C＞∠B，试说明∠DAE＝12(∠C－∠B)．（3）如图（2）若将点A在AD上移动到A′处，A′E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA′E，（2）中的结论还正确吗？为什么？BACD E BACDA'E图1 图2专题4：角度的综合和实际应用【例6】上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里每小时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝43°，∠NBC＝86°，则海岛B与灯塔C相距海里．BCAN【解析】【归纳总结】①题型特征：②方法与技巧：练4．1：（1）如图，B处在A处的南偏西65°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东85°方向，则∠ACB 的度数是（ ）．ACB北南A ．80°B ．75°C ．85°D ．70° （2）如图，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方向，从C 岛看A ，B 两岛的视角∠ACB 是多少度？【原题40°，个人认为改为80°更适合．】D ABC E北北（2014，光谷实验10月月考）【例7】如图，△ABC 中，AD 是高，AE ，BF 是角平分线，BF 交AE ，AD 于点G ，H ，∠C ＞∠ABC ，下列结论：①∠AGB ＝90°＋12∠C ； ②∠C －∠ABC ＝2∠EAD ； ③∠BFC ＋∠AEC ＝180°；④∠AGB ＋∠BHD －∠EAD ＝180°， 其中正确的有（ ）． BACE D GHFA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【解析】【归纳总结】①题型特征： ②方法与技巧：练4．2：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝20°，∠ACB 的平分线与外角∠ABD 的平分线交于点E ，连接AE ，则∠AEC 的度数为（ ）．C DA EA．10°B．30°C．35°D．45°（青山，13－14期中考试）专题5：角度转换基本模型与平面直角坐标系综合应用【例8】如图1，△AOB与△COD是两个可以完全重合的直角三角形，其中A，B，C，D四点均在坐标轴上．（1）如果B（0，一3），S△COD＝9，请写出点A，C，D的坐标；（2）如图2，∠ADC的平分线DE所在直线与∠OAB的平分线交于F，求∠F的度数；（3）如图3，M是线段AD上任意一点（不同于点A，D），作MN⊥x轴交AF于点N，作∠ADE与∠ANM 的平分线交于点P，在（2）的条件下，能否求出∠P的度数？说出你的理由，若能求出，请写出解答过程；若不能，请说明理由．图1 图2 图3（2013，江岸区期末）【解析】（1）∵△COD与△AOB完全重合，∴OB＝OD，OC＝OA；∵B（0，一3），∴OB＝3，则OD＝3，∴D（3，0）；∵S△COD＝9＝12·OD·OC，∴OC＝6，∴C（0，6），A（6，0）．（2）∵DE平分∠ADC，AF平分∠OAB，∴设∠CDE＝∠EDA＝x，∠DAF＝∠BAF＝y；∵x＝y＋∠F，而∠OAB＝∠OCD＝2y，∴2x＝2y＋90°，∴x＝y＋45°，∴∠F＝45°．（3）∵DP平分∠EDA，PN平分∠MNA，∴设∠EDP＝∠PDA＝x，∠MNP＝∠PNA＝y，则∠P＝90°－x－y；而∠F＋180°－2x＋180°－2y＋90°＝360°，∴2x＋2y＝90°＋45°＝135°，∴x＋y＝67.5°，∴∠P＝90°－67.5°＝22.5°．【归纳总结】①题型特征：②方法与技巧：练5．1：如图1，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（4，1），C为x轴正半轴上一点，且AC平分∠OAB．（1）求证：∠OAC＝∠OCA；图1（2）如图2，若分别作∠AOC的三等分线及∠OCA的外角的三等分线交于点P，即满足∠POC＝13∠AOC，∠PCE＝13∠ACE，求∠P的大小；图2（3）如图3，若射线OP，CP满足∠POC＝1n∠AOC，∠PCE＝1n∠ACE，猜想∠OPC的大小，并证明你的结论（用含n的式子表示）．图3 （2013，江岸区期末）分级检测 A 级1．画△ABC 的BC 边上的高AD ，下列画法中正确的是（ ）．ACDA BC DD A BCABCDA B C D2．如果在△ABC 中，∠A ＝70°－∠B ，则∠C 等于（ ）． A ．35° B ．70° C ．110° D ．140°3．多边形内角和是1080°，则这个多边形的边数为（ ）． A ．6 B ．7 C ．8 D ．94．如图，△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝75°，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，则∠DAE 的值为（ ）．BD ACEA ．15°B ．30°C ．45°D ．25°5．如果一个三角形的两边长分别是2 cm 和7 cm ，且第三边边长为奇数，则三角形的周长是 cm ． 6．（1）在△ABC 中，∠C ＝60°，∠A ＝3∠B ，则∠A ＝ ，∠B ；（2）已知一个等腰三角形两内角的度数比为1∶7，则这个等腰三角形的顶角的度数为 ； （3）在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶3∶5，则∠A ＝ ，∠B ，∠C ．7．一个多边形的内角和与外角和之比是5∶2，则这个多边形的边数为 ．8．如图，△ACD 的外角是∠ ＝∠ ＋∠ ，△ABD 的外角是∠ ＝∠ ＋∠ ．AB CD9．如图，∠ABC ＝40°，∠ACB ＝60°，BO ，CO 平分∠ABC 和∠ACB ，DE 过O 点，且DE ∥BC ，则∠BOC ＝ °．BACOD E10．如图，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数．A BCD EF11．如图，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数．A B EDF HCG IB 级1．（1）在图1中，猜想∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＝ °； （2）试说明你猜想的理由．（3）如果把图1称为二环三角形，则它的内角和为∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠A 1＋∠B 1＋∠C 1；把图2称为二环四边形，则它的内角和为∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＋∠D 1；把图3称为二环五边形，则它的内角和为∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＋∠D 1＋∠E 1，请你猜一猜，二环n 边形的内角和为 ．（只写结果）BCA 1B 1C 1A AB CDA 1B 1C 1D 1A B DE A 1B 1C 1D 1E 1图1 图2 图32．如图1，△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于A 1． （1）分别计算出当∠A 为70°，80°时∠A 1的度数；（2）根据（1）中的计算结果写出∠A 与∠A 1之间的数量关系： （不需证明）； （3）∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于A 2，∠A 2BC 与∠A 2CD 的平分线交于A 3，如此继续下去可得A 4，…，A n ，请写出∠A 6与∠A 之间的数量关系： （不需证明）； （4）如图2，若E 为BA 延长线上一动点，连EC ，∠AEC 与∠ACE 的平分线交于Q ，求∠Q ＋∠A 1的度数．BC AD A 1B C A DA 1EQ图1 图2课后反馈1．一个三角形的两个内角分别是55°和65°，不可能是这个三角形外角的是（ ）． A ．115° B ．120° C ．125° D ．130°2．如图，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A ＝35°，则∠BDC 的度数为（ ）．21DAB A ．50°B ．80°C ．70°D ．60°3．下列语句中，正确的是（ ）． A ．三角形的外角大于它的内角 B ．三角形的一个外角等于它的两个内角 C ．三角形的一个内角小于和它不相邻的外角 D ．三角形的外角和为180°4．如图，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2＝ ．215．如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝（ ）．40°3421BC EAD A ．100°B ．200°C ．280°D ．300°6．如图，AC ，BD 相交于点O ，BP ，CP 分别平分∠ABD ，∠ACD ，且交于点P ． （1）若∠A ＝70°，∠D ＝60°，求∠P 的度数； （2）试探索∠P 与∠A ，∠D 间的数量关系； （3）若∠A ∶∠D ∶∠P ＝2∶4∶x ，求x 的值．AD COPE F B7．如图1，已知在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，∠C ＞∠B ，F 为AE 上一点．且FD ⊥BC 于D ． （1）试推导∠EFD 与∠B ，∠C 的大小关系；DBCA E F图1（2）如图2，当点F 在AE 的延长线上时，图1的其余条件都不变，你在（1）中推导的结论是否仍然成立？BCAD FE图2下次课必背1．三角形内角和度数：三角形三个内角的和等于180°．外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和． 2．基本图形的结论．3．两内角角平分线夹角与顶角的关系、一内角一外角平分线的夹角与顶角的关两外角平分线夹角与顶角的关系．4．三角形中共一个顶点的角平分线与高线夹角、另两个内角的关系． 5．多边形内角和：n 边形内角和＝(n —2)×180°； 外角和：多边形外角和＝360°． 6．从一个顶点引出的对角线条数为n －3，所有对角线条数为(3)2n n ．。

八年级培优教案一：三角形一、三角形的认识定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。

例题1 下列说法正确的是（）A.三角形分为等边三角形和三边不相等三角形B.等边三角形不是等腰三角形C.等腰三角形是等边三角形D.三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形例题2已知a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足(b-2)2＋|c－3|=0，且a为方程|a－4|=2的解.求△ABC的周长，并判断△ABC的形状.二、与三角形有关的边三边的关系：三角形的两边和大于第三边，两边的差小于第三边。

例题1 以下列各组数据为边长，能够成三角形的是（）A.3，4，5B.4，4，8C.3，7，10D.10，4，5例题2 已知三角形的两边边长分别为4、5，则该三角形周长L的范围是（）A.1<L<9B.9<L<14C.10<L<18D.无法确定课后练习：1、若三角形的两边长分别为5、8，则第三边可能是（）A.2B. 6C.13D.182、等腰三角形的两边长分别为6、13，则它的周长为。

3、等腰三角形的两边长分别为4、5，则第三边长为。

4、已知三角形的两边长为2和4，为了使其周长是最小的整数，则第三边的为。

5、若等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则等腰三角形的底边为（）A.3cmB.7C.7cmD.7cm或3cm6、根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（）A.AB=3，BC=4，AC=8B.AB=4，BC=3，∠A=30°C.∠A=60°，∠B=45°，AB=4D.∠C=90°，AB=67、小刚准备用一段长50米的篱笆围成一个三角形的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为m米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的3倍少2米。

（1）请用含m的式子表示第三条边长.（2）第一条边长能否为10米？为什么？（3）求m的取值范围.三、三角形的高、中线、角平分线例题1 在下列各图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（）例题2 如图1，AD⊥BC于点D，GC⊥BC于点C，CF⊥AB于点F，下列关于高的说法错误的是（）A.△ABC中，AD是BC边上的高B.△GBC中，CF是BG边上的高C.△ABC中，GC是BC边上的高D.△GBC中，GC是BC边上的高图1例题3 能将三角形面积平分的是三角形的（）A.角平分线B.高C.中线D.外角平分线课后练习：1、如图2，AD是△ABC的中线，CF是△ACD的中线，且△ACF的面积是1，求△ABC的面积。

八年级(上)培优班第01讲全等三角形全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点，运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题．1.判定三角形全等的方法：SAS,ASA,AAS,SSS.2.实际问题中，常将待证的线段相等、角相等、两直线垂直等转化为证明三角形全等，要注意添加适当的辅助线.3.发现或构造全等三角形是利用三角形全等证明问题的关键，一般是从发现两个三角形的对应元素相等入手，逐步发现或推出结论来“凑齐”三角形全等的条件.4.证明一条线段等于两条线段之和，一般有两种基本方法：（1）通过添辅助线“构造”一条线段等于求证中的两条线段之和，再证明所构造的线段与求证的那一条线段相等；（2）通过添辅助线先在求证的长线段上截取与两条线段中的某一条相等的线段，再证明剩下的部分与两条线段中的另一条相等.走进优高【例1】（江西南昌中考）如图，AB=AE,∠ABC=∠AED,BC=ED,F是CD的中点，试说明AF⊥CD.A【例2】（诸暨中学提前招生）如图，点D在边BC上，点E在△ABC外部，DE交AC于F，若AB=AD，∠BAD=∠CAE=∠CDE.求证：BC=DE. CDFAB E瞄准重高【例1】如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AC＝AB，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN，其中正确的结论是 (把你认为所有正确结论的序号填上).(广州市中考题)思路点拨对一个复杂的图形，先找出比较明显的一对全等三角形，并发现有用的条件，进而判断推出其他三角形全等．注两个三角形的全等是指两个图形之间的一种‘对应”关系，“对应’两字，有“相当”、“相应”的含意，对应关系是按一定标准的一对一的关系，“互相重合”是判断其对应部分的标准．实际遇到的图形，两个全等三角形并不重合在一起，但其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻拆、旋转等方法得到，这种改变位置，不改变形状大小的图形变动叫三角形的全等变换．【例2】在△ABC中，AC＝5，中线AD＝4，则边AB的取值范围是( ) (连云港市中考题)A．1<AB<9 B．3<AB<13 C．5<AB<13 D．9<AB<13思路点拨线段AC、AD、AB不是同一个三角形的三条边，通过中线倍长将分散的条件加以集中．【例3】(江苏省竞赛题) 如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP＝A C，点Q在CE上，CQ=AB.求证：(1)AP=AQ；(2)AP⊥AQ．思路点拨 (1)证明对应的两个三角形全等；(2)在(1)的基础上，证明∠PAQ=90°善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键，需要注的是，通常面临以下情况时，我们才考虑构造全等三角形：(1)给出的图形中没有全等三角形，而证明结论需要全等三角形；(2)从题设条件无法证明图形中的三角形全等，证明需要另行构造全等三角形．学力训练1． 如图，AD 、A ′D ′分别是锐角△ABC 和△A ′B ′C ′中BC 、B ′C 边上的高，且AB= A ′B ′，AD ＝A ′D ，若使△ABC ≌△A ′B ′C ′，请你补充条件(只需要填写一个你认为适当的条件) (黑龙江省中考题)．2．如图，在△ABD 和△ACE 中，有下列4个论断：①AB=AC ；②AD ＝AE ；③∠B=∠C ；④BD=CE ，请以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个真命题(用序号○○○→○的形式写出) ． (海南省中考题)3．如图，已知在等边△ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于P ，则∠APE 的度数是4．如图，DA ⊥AB ，EA ⊥AC ，AB ＝AD ，AC ＝AE ，BE 和CD 相交于O ，则∠DOE 的度数是．5．如图，已知OA=OB ，OC=OD ，下列结论中：①∠A=∠B ；②DE ＝CE ；③连OE ，则OE 平分∠O ，正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③6．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC=CE ，∠1＝∠2＝∠3，则DE 的长等于( ) A ．DC B ． BC C ．AB D ．AE+AC (武汉市选拔赛试题)7．如图，AB ∥CD ，AC ∥DB ，AD 与BC 交于O ，AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ，那么图中全等的三角形有( )B对A ．5B ．6C ． 7D ．88．如图，把△A BC 绕点C 顺时针旋转35°，得到△A ′B ′C ′，A ′B ′交AC 于点D ，已知∠A ′DC=90°，求∠A 的度数．(贵州省中考题)9．如图，在△ABE 和△ACD 中，给出以下4个论断：①AB=AC ；②AD ＝AE ；③AM ＝AN ；④AD ⊥DC ，AE ⊥BE ．以其中3个论断为题设，填人下面的“已知”栏中，一个论断为结论，填人下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程．(荆州市中考题) 已知： 求证：10．如图，已知∠1=∠2，EF ⊥AD 于P ，交B C 延长线于M ， 求证：∠M=（∠ACB －∠B ）． (天津市竞赛题)11．在△ABC 中，高AD 和BE 交于H 点，且BH ＝AC ，则∠ABC ＝．12．如图，已知AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE 于E ，ED ∥AC ，∠BAE ＝36°，那么∠BED ．(河南省竞赛题) 13．如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，DF 交A C 于点F ，给出3个论断：①DE=FE ；②AE ＝CE ；③FC ∥AB ，以其中一个论断为结论，其余两个论断为条件，可作出3个命题，其中正确命题的个数是．(武汉市选拔赛试题)14．如图，AD ∥BC ，∠1＝∠2，∠3＝∠4，AD=4，BC=2，那么AB=．2115．如图，在△ABC 中，AD 是∠A 的外角平分线，P 是AD 上异于A 的任意一点，设PB ＝m ，PC ＝n ，AB=c ，AC=b ，则（m+n ）与(b+c)大小关系是( )A ．m+n> b+cB ． m+n<b+cC ．m+n= b+cD ．不能确定16．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，AB>AD ，下列结论中正确的是( ) (江苏省竞赛题) A ．A B －AD>CB －CD B ．AB －AD ＝CB —CDC ．AB —AD<CB —CD D ．AB －AD 与CB —CD 的大小关系不确定． 17．考查下列命题( )(1) 全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；(2) 两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等； (3) 两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等； (4)两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等． 其中正确命题的个数有( )A ．4个B ．3个C ． 2个D ．1个18．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，并且AE=(AB+AD)，求∠ABC+∠ADC 的度数．(上海市竞赛题)19．如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥DF ，试判断BE+CF 与EF 的大小关系，并证明你的结论． 20．如图，已知AB=CD=AE ＝BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五边形ABCDC 的面积．(江苏省竞赛题)2121．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD．(武汉市选拔赛试题)参考答案走进优高例1 如右图例2 （1）（2）（3）（4）都不正确.例3 证明△ABC≌△ADE.瞄准重高。

学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：八年级(上) 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数 学学科教师：授课主题 第01讲-勾股定理授课类型 T 同步课堂P 实战演练S 归纳总结教学目标① 了解勾股定理的内容；② 掌握勾股定理的判别条件； ③ 掌握勾股定理的应用。

授课日期及时段T （Textbook-Based ）——同步课堂一、 知识梳理1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果用,a b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么有：222a b c += 。

体系搭建2、勾股定理的常见证明：3、勾股数：我们把满足勾股定理的这样一组数称为勾股数。

常见的勾股数有：3、4 、5；5、12、13 ；6、8、10 ；7、24、25；8、15、17；9、12、15；4、直角三角形的判定：若三角形的三条边满足两边的平方等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形。

其中第三边所对的角是直角。

5、勾股定理的应用（1）在直角三角形中，已知两边长求第三边长；（2）求立体图形表面上的两点间的最短距离。

考点一：勾股定理例1、如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（）A．5个B．4个C．3个D．2个例2、如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6．其中S1=16，S2=45，S5=11，S6=14，则S3+S4=（）A．86 B．64C．54 D．48例3、如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB=5，BC=12，则AD的长为．例4、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，对角线AC⊥CD，点E在边BC上，且∠AEB=45°，CD=10．（1）求AB的长；（2）求EC的长．考点二：勾股定理的判定例1、△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：2：3C．a2=c2﹣b2 D．a：b：c=3：4：6例2、一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则∠NOF的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°例3、在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（a﹣b）=c2，则（）A．∠A为直角B．∠C为直角C．∠B为直角D．不是直角三角形例4、下面的三角形中：①△ABC中，∠C=∠A﹣∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3③△ABC中，a：b：c=13：5：12④△ABC中，三边长分别为8，15，17其中是直角三角形的个数有个．例5、如图，三个正方形的面积分别为S1=3，S2=2，S3=1，则分别以它们的一边为边围成的三角形中，∠1+∠2=度．例6、有一组勾股数，其中的两个分别是8和17，则第三个数是．例7、如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°，求四边形ABCD 的面积．考点三：勾股定理的应用例1、如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（）A．60海里B．45海里C．20海里D．30海里例2、长方体敞口玻璃罐，长、宽、高分别为16cm、6cm和6cm，在罐内E处有一小块饼干碎末，此时一（）只蚂蚁正好在罐外壁，在长方形ABCD中心的正上方2cm处，则蚂蚁到达饼干的最短距离是多少cm．A．7B．C．24 D．例3、有一棵大树在离地面高9m处断裂，大树顶部在离其底部12m处，大树折断之前的高度是（）A．16m B．20mC．3m D．24m例4、一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？例5、校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路1旁选取一点A，在公路1上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米．已知本路段对校车限速是50千米/时，测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒．（1）求CD的长．（结果保留根号）（2）问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：=1.414，=1.73）P(Practice-Oriented)——实战演练➢课堂狙击1、如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．5 B．6C．8 D．102、在△ABC中，AB=2，BC=，AC=，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形3、下列各组数是三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（）A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=5实战演练4、如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，那么所需彩带最短的是（）A．13cm B．4cmC．4cm D．52cm5、从电杆上离地面5m的C处向地面拉一条长为7m的钢缆，则地面钢缆A到电线杆底部B的距离是（）A．24 B．12C．D．26、小红在荷塘边观看荷花，突然想测试池塘的水深，她把一株竖直的荷花（如图）拉到岸边，花柄正好与水面成60°夹角，测得AB长1m，则荷花处水深OA为（）A．1m B．2mC．3m D．m7、如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了米．8、已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=2，CD=3，AD=1，求∠DAB的度数．9、如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙ON上，这时梯足B到墙底端O的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？10、如图是某学校主楼梯从底楼到二楼的楼梯截面图，已知BC=7米，AB=6+3米，中间平台DE与地面AB平行，且DE的长度为2米，DM、EN为平台的两根支柱，DM、EN垂直于AB，垂足分别为M、N，∠EAB=30°，∠CDF=45°，楼梯宽度为3米．（1）若要在楼梯上（包括平台DE）铺满地毯，求地毯的长度；（2）沿楼梯从A点到E点铺设价格为每平方米100元的地毯，从E点到C点铺设价格为每平方米120元的地毯，求用地毯铺满整个楼梯共需要花费多少元钱？➢课后反击1、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值为（）A．13 B．19C．25 D．1692、在△ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（）A．10 B．8C．6或10 D．8或103、在△ABC中，已知AB=1，BC=2，AC=，则（）A．∠A=90°B．∠B=90°C．∠C=90°D．∠A=60°4、如图，长方体的底面边长为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要（）A．12cm B．11cmC．10cm D．9cm5、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（）A．小于1m B．大于1mC．等于1m D．小于或等于1m6、如图是一块地，已知AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，且CD⊥AD，求这块地的面积．7、探索：如图①，以△ABC的边AB、AC为直角边，A为直角顶点，向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，连结BE、CD，试确定BE与CD有怎样数量关系，并说明理由．应用：如图②，要测量池塘两岸B、E两地之间的距离，已知测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．8、某单位有一块四边形的空地，∠B=90°，量得各边的长度如图（单位：米）．现计划在空地内种草，若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费用是多少元？直击中考1、【2016•凉州】如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为3m，梯子的顶端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于4m，同时梯子的顶端B下降至B′，求BB′的长（梯子AB的长为5m）．2、【2016•云溪】若a、b、c为△ABC三边长，且a、b、c满足（a﹣5）2+（b﹣12）2+|c﹣13|=0，△ABC 是直角三角形吗？请说明理由．3、【（2016•咸丰】在△ABC中，a=m2﹣n2，b=2mn，c=m2+n2，其中m、n都是正整数；且m＞n，试判断△ABC是否为直角三角形？重点回顾1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

第1讲三角形知识点1 三角形的三边关系1、三角形三条边之间的关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边．2、解题技巧：“当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形”【典例】1.已知a、b、c为△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|+|a﹣b+2c|=________．【方法总结】本题是三角形三边关系与绝对值的性质的综合问题：1、怎样判断绝对值内三边运算值的正负：①当绝对值内有一个减号时，三边运算值是正，例如|a+b﹣c|= a+b﹣c②有绝对值内有两个或三个减号时，三边运算值是负，例如|a﹣b﹣c|=-（a﹣b﹣c）2、注意“-|a﹣b﹣c|”在去绝对值符号的时候，为避免错误，可写成-[-（a﹣b﹣c）]的形式，再去括号。

a ﹣b+2c 可看做（a ﹣b+c ）+c ，再判断正负。

【随堂练习】1．（2018•杭州二模）四根长度分别为3，4，6，x （x 为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，则（ ）A ．组成的三角形中周长最小为9B ．组成的三角形中周长最小为10C ．组成的三角形中周长最大为19D ．组成的三角形中周长最大为162．（2018•芦淞区一模）已知关于x 的不等等式组至少有两个整数解，且存在以3，a ，7为边的三角形，则a 的整数解有（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个知识点2 三角形的中线 三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点与它的对边中点的线段，叫做三角形的中线． 三角形的中线将三角形分成两个等底同高的三角形，这两个三角形的面积相等。

【典例】1.如图，A 、B 、C 分别是线段A 1B 、B 1C 、C 1A 的中点，若的面积是14，求△ABC 的面积？111A B C【方法总结】本题已知：A 、B 、C 分别是线段A 1B 、B 1C 、C 1A 的中点，所以我们连接AB 1，BC 1，CA 1，使A 1B 、B 1C 、C 1A 成为三角形的中线，寻找三角形面积的关系，从而得到与△ABC 面积的关系。

第01讲认识三角形考点·方法·破译1．了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，会画出任意三角形的高、中线、角平分线.2．知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边.3．了解与三角形有关的角(内角、外角) .4．掌握三角形三内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.5．会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题.6．会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法.经典·考题·赏析【例１】若的三边分别为4，x，9，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________；当周长为奇数时，x＝______________.【解法指导】运用三角形三边关系，即第三边小于两边之和而大于两边之差故5＜x＜13，18＜l＜26；周长为19时，x＝6，周长为21时，x ＝8，周长为23时，x＝10，周长为25时，x＝12，【变式题组】01．若△ABC的三边分别为4，x，9，且9为最长边，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________.02．设△ABC三边为a，b，c的长度均为正整数，且a＜b＜c，a+b+c＝13，则以a，b，c为边的三角形，共有______________个.03．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是().A．1B．2C．3D．4【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm，周长为58cm，试求三角形三边的长.【解法指导】对等腰三角形，题目没有交代底边和腰，要给予讨论.当18cm为腰时，底边为58－18×2＝22，则三边为18，18，22. 当18cm为底边时，腰为58182＝20，则三边为20，20，18.此两种情况都符合两边之和大于第三边.解：18cm，18cm，22cm或18cm，20，20cm.【变式题组】01．已知等腰三角形两边长分别为6cm，12cm，则这个三角形的周长是()A．24cm B．30cm C．24cm或30cm D．18cm02．已知三角形的两边长分别是4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是()A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm03．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为______________.【例３】如图AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，EF是△DEC的中线，FG是△EFC的中线，若S△GFC＝1cm2，则S△ABC＝______________.【解法指导】中线将原三角形面积一分为二，由FG为△EFC的中线，知S△EFC＝2S△GFC＝2.又由EF为△DEC中线，S△DEC＝2S△EFC＝4.同理S△ADC＝8，S△ABC＝16.【变式题组】01．如图，已知点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，S△ABC＝4，则S△EFC＝______________.02．如图，点D是等腰△ABC底边BC上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若一腰上的高为4cm，则DE+DF＝______________.03．如图，已知四边形ABCD是矩形(AD＞AB) ，点E在BC上，且AE＝AD，DF⊥AE于F，则DF与AB的数量关系是______________.【例４】已知，如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝______________.【解法指导】这是本章的一个基本图形，其基本方法为构造三角形或四边形内角和，结合八字形角的关系即，∠A+∠B＝∠C+∠D．故连结BC有∠A+∠D＝∠DBC+∠ACB，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°【变式题组】01．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝______________.02．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F＝______________.03．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F＝______________.【例５】如图，已知∠A＝70°，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．则∠BOC ＝______________.【解法指导】这是本章另一个基本图形，其结论为∠BOC＝12∠A+90°.证法如下: ∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCBC D (第2题图)C＝180°－12∠ABC －12∠ACB ＝180°－12(180°－∠A )＝ 90°+12∠A ．所以∠BOC ＝125°. 【变式题组】01．如图，∠A ＝70°，∠B ＝40°，∠C ＝20°，则∠BOC ＝______________. °，点P 、O 分别是∠ABC 、∠ACB 的三等分线的交点，则∠OPC ＝______________.03．如图，∠O ＝140°，∠P ＝100°，BP 、CP 分别平分∠ABO 、∠ACO ，则∠A ＝______________.【例６】如图，已知∠B ＝35°，∠C ＝47°，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，则∠EAD ＝______________.【解法指导】∵∠EAD ＝90°－∠AED ＝90°－(∠B +∠BAE )＝ 90°－∠B －12(180°－∠B －∠C )＝ 90°－∠B －90°+12∠B + 12∠C ＝12(∠C －∠B ) ，故∠EAD ＝6°.【变式题组】01.如图，已知∠B ＝39°，∠C ＝61°，BD ⊥AC ，AE 平分∠BAC ，则∠BFE ＝__________.02．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝40°，AD 平分∠BAC ，∠ACB 的外角平分线交AD 的延长线于点P ，点F 是BC 上一动点(F 、D 不重合) ，过点F 作EF ⊥BC 交于点E ，下列结论:①∠P +∠DEF 为定值，②∠P －∠DEF 为定值中，有且只有一个答案正确，请你作出判断，并说明理由.【例７】如图，在平面内将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AB ′C ′，使CC ′∥AB ，若∠BAC ＝70°，则旋转角α＝______________.【解法指导】利用平移、旋转不改变图形的形状这条性质来解题.∵CC ′∥AB ，∴∠C ′CA ＝∠CAB ＝70°，又AC ＝AC ′，∴∠C ′AC ＝180°－2×70°＝40°【变式题组】01如图，用等腰直角三角形板画∠AOB ＝45°，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线后绕点M 逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA 的直角α＝______________.02．如图，在平面内将△AOB 绕点O 顺时针旋转α角度得到△OA ′B ′，若点A ′在AB 上时，则旋转角α＝______________.(∠AOB ＝90°，∠B ＝30°)3．如图，△ABE 和△ACD 是△ABC 沿着AB 边，AC 边翻折180°形成的，若∠BAC ＝130°，则∠α＝______________.演练巩固·反馈提高01．如图，图中三角形的个数为( )(例6题图)E DA．5个B．6个C．7个D．8个02．如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不确定03．有4条线段，长度分别是4cm，8cm，10cm，12cm，选其中三条组成三角形，可以组成三角形的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个04．下列语句中，正确的是()A．三角形的一个外角大于任何一个内角B．三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和C．三角形的外角中，至少有两个钝角D．三角形的外角中，至少有一个钝角05．若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法确定06．若一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法确定07．如果等腰三角形的一边长是5cm，另一边长是9cm，则这个三角形的周长是______________.08．三角形三条边长是三个连续的自然数，且三角形的周长不大于18，则这个三角形的三条边长分别是______________.09．如图，在△ABC中，△A＝42°，△B与△C的三等分线，分别交于点D、E，则△BDC的度数是______________.10．如图，光线l照射到平面镜上，然后在平面镜△、△之间来回反射，已知△α＝55，△γ＝75°，△β＝______________.11．如图，点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，且S△EFC＝1，则S△ABC＝______________.12．如图，已知: △1＝△2，△3＝△4，△BAC＝63°，则△DAC＝______________.13．如图，已知点D、E是BC上的点，且BE＝AB，CD＝CA，△DAE＝13△BAC，求△BAC的度数培优升级·奥赛检测01．在△ABC中，2△A＝3△B，且△C－30°＝△A+△B，则△ABC是()(第13题图)D ECA．锐角三角形B．钝角三角形C．有一个角是30°的直角三角形D．等腰直角三角形B．C．02．已知三角形的三边a、b、c的长都是整数，且a≤b≤c，如果b＝7，则这样的三角形共有() A．21个B．28个C．49个D．54个03．在△ABC中，△A＝50°，高BE、CF交于O点，则△BOC＝______________.04．在等腰△ABC中，一腰上的高与另一腰的夹角为26°，则底角的度数为______________.＝______________.06．周长为30，且各边长互不相等且都是整数的三角形有多少个?07．设△ABC三边a、b、c的长度均为自然数，且周长不大于30，并满足(a－b) 2+(a－c) 2+(b－c) 2＝26，问满足条件的三角形有多少个?(注:全等三角形只算一个)08．在一次数学小组活动后，小明清理课桌上的三角形模型，经清点，共有11个钝角，15个直角，100个锐角，于是他把这些数据写在“数学园地”上征答:“共有多少个锐角三角形?”你能回答这个问题吗?09．现有长为150cm的铁丝，要截成n(n＞2)小段，每段的长为不小于1cm的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段?10．如图，在△BCD中，BE平分△DBC交CD于F，延长BC至G，CE平分△DCG，且EC、DB的延长线交于A点，若△A＝30°，△DFE＝75°.(1)求证: △DFE＝△A+△D+△E；(2)求△E的度数；。

第一讲内角和初步一、【基础回顾】（一）三角形三边间关系：1．若△ABC中，AB=40，BC=50，第三边长为x，则x的范围是__________。

2．已知等腰△ABC的周长为20，一边长为5，求另两边的长。

3．如图，AB=AC，△ABC的周长为16cm，中线BD将△ABC分成的两个三角形周长差为2cm ，求△ABC三边的长。

4．已知等腰三角形一边长3cm，另一边长6cm，求三角形的周长。

5．已知△ABC，AB=3，AC=8，BC长为奇数，求BC的长。

（二）三条重要线段（1）．中线6．如图，AD为△ABC的中线，点E为AD上一点，求证：S△BD B7．如图，AD 、BE 、CF 为△ABC 的三条中线，求证：S △BOD = 16S △ABC.。

（2）．高 8．（1）如图，作出△ABC 三边上的高AD 、CE 、BF ；（2）若AB=2AC ，求BFCE的值。

二、【方法运用】9.如图，△ABC 中，D 是BC 上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC 的度数。

10．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是AB 边上的高，AB=10cm,BC=8cm,AC=6cm,求：（1）CD 的长；（2）△ABC 的角平分线AE 交CD 于点F ，交BC 于E 点，求证：∠CFE=∠CEF 。

DBCB CB CB A11.如图，∠A=40°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BPC12.如图，在△ABC 中，∠A+∠B=2∠C ，AD 、BE 为角平分线， （1）求∠C ； （2）求∠APE 。

13.如图，∠A=∠ABD ，∠C=∠BDC=∠ABC ，求∠A.14.如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的外角平分线相交于P 点，若∠P=80°，求∠A.AB A D P三、【问题探究】15.如图，在直角坐标系中，已知B （b ，0），C （0，c ）,且3b ++ ()228c - =0(1)求B 、C 的坐标；（2）点A 、D 是第二象限的点，点M 、N 分别是x 轴和yCD ∥AB ，MC 、NB 所在直线分别交AB 、CD 于E 、F ，若∠MEA=70°，∠NFC=30°， 求∠CMB-∠CNF 的值；（3）如图，AB ∥CD ，Q 是CD 上一动点，CP 平分∠DCB ，BQ 与CP 交于点P ，求DQB QBCQPC∠+∠∠的值。

第1讲三角形的初步知识1（认识三角形、定义与命题、证明）一、知识建构1. 三角形按角分类：（1）锐角三角形：三角形的，这样的三角形称之为锐角三角形（2）直角三角形：三角形有，这样的三角形称之为直角三角形（3）钝角三角形：三角形有，这样的三角形称之为钝角三角形2. 三角形的角平分线：在三角形中，，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

3.三角形的中线：在三角形中，，叫做这个三角形的中线。

（1）三角形的中线的形状也是一条；（2）三角形的三条角中线.4.三角形高的定义：从三角形的一个顶点线，的线段叫做三角形的高。

5.三角形三边之间的关系为：6.能清楚地规定某一名称或术语的句子叫做该名称或术语的______．7．对某一件事情作出_______判断的句子叫做命题．•每个命题都是由______•和______两部分组成的．8.思考下列命题的条件和结论分别是什么？并判断那些命题正确? 那些命题不正确?(1)相等的角是对顶角。

(2)直角三角形两锐角互余。

(3)同位角相等。

(4)一个角的补角一定大于这个角的余角。

9. 阅读教材内容后请回答：(1)怎样判断一个命题是真命题还是假命题？(1)真命题、公理、定理三者的区别与联系各是什么？10.判断下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请说明理由；如果是真命题，请用推理的方法来说明.（1）如果ab=0，那么a=b=0；（2）如图，若AC∥DE，∠1=∠2，则AB∥CD.二、经典例题例1．对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列5个判断：①a∥b②b∥c；•③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c．请以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题（至少写两个命题）．例2.如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=22°，则∠BDC等于（）A．44°B．60°C．67°D．77°例3. 如图，已知∠AOB=α，在射线OA、OB上分别取点OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2=B1A2，连接A2B2…按此规律下去，记∠A2B1B2=θ1，∠A3B2B3=θ2，…，∠A n+1B n B n+1=θn，则（1）θ1= , （2）θn= .例4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为．图1图2DC EA B例5. 一个三角形的三条边长分别为1、2、x ，则x 的取值范围是（ ）A ．1≤x ≤3B ．1＜x ≤3C ．1≤x ＜3D ．1＜x ＜3例6. 已知实数x ，y 满足，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是 ．例7. 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连结DC ．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：DC BE ．例8.如图，已知AB ∥CD ，直线EF 分别截AB 、CD 于 点M 、N ，MG 、NH 分别是∠EMB 与∠END 的平分线.求证：MG ∥NH . 请根据分析思路，写出证明过程.三、基础演练1.在△ABC 中，若∠A +∠B =88°，则∠C =_______，这个三角形是______ 三角形.∠EMG=12∠∠ENH=12∠END可证∠EMG=∠MNH要证MG ∥NH 只需证：∠EMB=∠END已知AB ∥CDABCDE FHMN2.直角三角形的一个锐角为42°，则另一个锐角为_________.3.在△ABC 中，若∠A =35°，∠B =68°，则与∠C 相邻的外角等于_______ °.4．若5条线段长分别为1cm ，2cm ，3cm , 4cm ，5cm ，则以其中3条线段为边长可以构成三角形的个数是___________ .5．一木工师傅有两根70，100长的木条，他要选择第三根木条，将它们钉成三角形木架，则第三根木条取值范围_____________ ，木架周长的取值范围_____________ . 6. 如图所示，下面的推理中正确的是 ( ) A ．∵∠1＝∠2，∴AB ∥CDB ．∵∠ABC ＋∠BCD ＝180°，∴AD ∥BC C ．∵AD ∥BC ，∴∠3＝∠4D ．∵∠ABC ＋∠DAB ＝180°，∴AD ∥BC 7.命题“若a b >，则1ab>”是真命题还是假命题？请说明理由.8．若等腰三角形腰长为6,则底边x 的取值范围是 （ ） A . 6<x <12 B . 0<x <6 C . 0<x <12 D . 无法确定9. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .锐角三角形 10.如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，过点D 作DE ∥BC •交AB 于点E ，过点D 作DF ⊥AB 于点F .求证：BC ＝DE ＋EF .四、直击中考1. （2013广西）一个三角形的周长是36cm ，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是（ ）A ．6cmB ．12cmC ．18cmD ．36cm2．（2013衡阳）如图，∠1=100°，∠C =70°，则∠A 的大小是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．80°3241D CBA B CE DF A3．（2013鄂州）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（ ）A ．165°B ．120°C ．150°D ．135°4.（2013黔东南州）在△ABC 中，三个内角∠A 、∠B 、∠C 满足∠B ﹣∠A =∠C ﹣∠B ，则∠B = 度．5.（2013温州）如图，直线a ，b 被直线c 所截，若a ∥b ，∠1=40°，∠2=70°，则∠3= 度．6.（2013雅安）若（a ﹣1）2+|b ﹣2|=0，则以a 、b 为边长的等腰三角形的周长为 ．7．（2013东城）.如图，∠ACD 是△ABC 的外角，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，1A BC ∠的平分线与1A CD ∠的平分线交于点2A ，…，1n A BC -∠的平分线与1n A CD -∠的平分线交于点n A . 设A θ∠=,则1A ∠＝ ；n A ∠＝ 8.(2014杭州)下列命题中，正确的是（ ）A .梯形的对角线相等B . 菱形的对角线不相等C . 矩形的对角线不能互相垂直D . 平行四边想的对角线可以互相垂直五、能力拓展1.如图，OB 、OC 是∠AOD 的任意两条射线，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠DOC ，若∠MON =α，∠BOC =β，则∠AOD 可表示为（ ）A . 2α－βB . α－βC . α+βD . 2α2.如图，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC上的高，•且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（）A．150°B．130°C．120°D．1003.已知等腰三角形的周长为14cm，底边与腰的比为3：2，求各边长.4. 已知a,b,c是一个三角形的三条边长,则化简|a+b－c|－|b－a－c|的结果是多少?5.如图所示，已知等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线L经过点C，•AD•⊥L，BE⊥L，垂足分别为D，E．（1）证明：△ACD≌△CBE；（2）求证：DE=AD+BE；（3）当直线L经过△ABC内部时，其他条件不变，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，猜想这时DE，AD，BE有什么关系？证明你的猜想．六、挑战竞赛1. 在△ABC中,∠A= 50°, 高BE，CF所在的直线相交于点Ｏ，求∠BOC.FEC AB2.△ABC 中,已知∠ABC = 74°, ∠A = 56°, BE 是AC 边上的高,CF 是△ ABC 的角平分线,求∠ACF 和∠BFC .4.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AD 的中点，S △ABC =4cm 2，求S △ABE ．5．如图，45AOB ∠=，过OA 上到点O 的距离分别为1，4，7，10，13，16，…的点作OA 的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为,,,321s s s …，观察图中的规律，第4个黑色梯形的面积=4S ，第n (n 为正整数)个黑色梯形的面积=n S ．6.在△ABC 中，AC AB =,D 是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点,且∠BAC CED BED ∠=∠=2．(1) 如图1,若∠︒=90BAC ,猜想DB 与DC 的数量关系为 ； (2) 如图2,若∠︒=60BAC ，猜想DB 与DC 的数量关系，并证明你的结论； （3）若∠︒=αBAC ，请直接写出DB 与DC 的数量关系.OA BCDEA EBCD图1 图2。

第一章三角形综合第一部分：补救练习第一关：三角形的有关线段和角关卡1-1 三角形有关的线段1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A．2cm、2cm、4cm B．8cm、6cm、3cmC．2cm、6cm、3cm D．11cm、4cm、6cm2．长度为1cm、2cm、3cm、4cm、5cm的五条线段，若以其中的三条线段为边构成三角形，可以构成不同的三角形共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个3．若三角形三边的长分别为整数，周长为13，且一边长为4，则这个三角形最长边长的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．44. 在三角形ABC中，画出边AC上的高，下面4幅图中画法正确的是（）A．B．C．D．5．如图，在△ABC中，若AD⊥BC，点E是BC边上一点，且不与点B、C、D重合，则AD是几个三角形的高线（）A．4个B．5个C．6个D．8个6．如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，则下列说法错误的是（）A．DE是△BCD的中线B．BD是△ABC的中线C．AD=DC，BE=EC D．∠C的对边是DE(第5题图) (第6题图)7．三角形的三边长分别是3，1﹣2a，8,则数a的取值范围是_____________.8．已知a，b，c是三角形的三条边，则|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的化简结果为_____________.9 .已知在△ABC中，AB=AC，周长为16cm，AC边上的中线BD把△ABC分成周长差为2cm的两个三角形，求△ABC各边长．关卡1-2三角形的内角与外角1．如图，是三个等边三角形随意摆放的图形，则∠1+∠2+∠3等于（）A．90°B．120°C．150°D．180°2．如图，∠x的两条边被一直线所截，用含α和β的式子表示∠x为（）A．α﹣βB．β﹣αC．180°﹣α+βD．180°﹣α﹣β(第1题图) (第2题图)3．三角形的所有外角（每个顶点只取一个外角）中，锐角最多有（）A．0个B．1个C．2个D．3个4．三角形的一个外角等于与它不相邻的一个内角的4倍，等于与它相邻的内角的2倍，则该三角形各角的度数为（）A．45、45、90 B．30、60、90 C．25、25、130 D．36、72、72 5．如果一个三角形中的其中一个外角等于与它相邻的内角，那么这个三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法确定6．如果一个三角形的各内角与一个外角的和是225°，则与这个外角相邻的内角是_____度. 7．已知一个三角形三个外角之比为3：4：5，求三个内角之比是______________。

D C B AE D FC B A 八年级（上）《数学》提高班讲义（一）班级 姓名一、倍长中线（线段）造全等（遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”）例1、已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.例2、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是BC 中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.练习1．将直角三角形（∠ACB 为直角）沿线段CD 折叠使B 落在B ’处，若∠ACB ’=60°，则∠ACD 度数为______．2．如图，△ABE 和△ACD 是△ABC 分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的，若∠BAC=150°，则∠EFC 的度数为_________．3．已知△ABC 中，∠ABC=45°，AC=4，H 是高AD 和BE 的交点，则线段BH 的长度为_______．4.如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.题图第2题图第1CCB AB A 二、截长补短(长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目)例1、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC例2、如图，已知在ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。

求证：BQ+AQ=AB+BP例3、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB-AC ＞PB-PC练习：1、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠，求证： 0180=∠+∠C AC B A 2、如图，AC∥BD ，AE, BE 分别平分∠CAB,∠DBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AC+BD三、借助角平分线造全等（遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理）例1、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.（1）说明BE=CF 的理由；（2）如果AB=a ，AC=b ，求AE 、BE 的长.例2、如图所示，已知∠1=∠2，EF ⊥AD 于P ，交BC 延长线于M ，求证：2∠M=（∠ACB-∠B ）练习1．如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O ，求证：OE=ODEDG F CB AF E D C B A B C四、旋转例1 正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数.例2、 如图，ABC ∆是边长为3的等边三角形，BDC ∆是等腰三角形，且0120BDC ∠=，以D 为顶点做一个060角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，则AMN ∆的周长为 ；练习1、 D 为等腰Rt ABC ∆斜边AB 的中点，DM ⊥DN,DM,DN 分别交BC,CA 于点E,F 。

第1章三角形的初步认识章末复习知识提要一、三角形的内角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．2.三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．3.要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：（1）在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；（2）已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；（3）求一个三角形中各角之间的关系．二、三角形的三边关系1.定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

2.要点诠释：（1）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（2）证明线段之间的不等关系．3.三角形的重要线段：（1）重心（补充点）：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这点称为三角形的重心．（2）中线：三角形与中线相交的边，可把一个三角形分为两个面积相等的三角形。

（3）角平分线：角平分线上的点到角两边距离相等；一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．（4）高线：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.（5）垂直平分线：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

三、命题、定理与证明1.命题：判断一件事件的句子叫命题.其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题.2.要点诠释：（1）对于命题的定义要正确理解，也即是通过这句话可以确定一件事是发生了还是没发生，如果这句话不能对于结果给予肯定或者否定的回答，那它就不是命题；（2）每一个命题都可以写成“如果…,那么…”的形式，“如果”后面为题设部分，“那么”后面为结论部分；3.定理：如果一个命题是真命题（正确的命题），那就可以称它为定理.4.证明从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明．四、全等三角形的性质与判定1.全等三角形的性质全等三角形对应边相等，对应角相等.2.全等三角形的判定定理1.判定方法：边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）.边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 角角边：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）HL：两个直角三角形的斜边和任意一条直角边相等的两个三角形全等。

三角形有关线段一、三角形的基本概念⑴三角形的定义：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形．⑵三角形的内角：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角．在同一个三角形内，大边对大角．⑶三角形的外角：三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角．二、与三角形相关的边⑴三角形中的三种重要线段①三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注：每个三角形都有三条角平分线且相交于一点，这个点叫做三角形的内心，而且它一定在三角形内部．②三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注：每个三角形都有三条中线，且相交于一点，这个点叫做三角形的中心，而且它一定在三角形内部．③三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线．注：每个三角形都有三条高且三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心．锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部，直角三角形有两条高分别与两条直角边重合．反之也成立．画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足的线段就是该边的高．三角形的分类：()()():⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形:三角形中有一个角是直角三角形按角分锐角三角形:三角形中三个角都是锐角斜三角形钝角三角形:三角形中有一个角是钝角不等边三角形:三边都不相等的三角形三角形按边分底边和腰不相等的等腰三角形:有两条边相等的三角形等腰三角形等边三角形正三角形有三边相等的三角形注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角．三角形三边关系：①三角形任何两边的和大于第三边．②三角形三边关系定理的推论：三角形任何两边之差小于第三边．即a 、b 、c 三条线段可组成三角形⇔b c a b c -<<+⇔两条较小的线段之和大于最大的线段．注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形．三角形具有稳定性【例1】一扇窗户打开后，用床钩将其固定，这里所运用的集合知识是（）A.三角形的稳定性B.两点之间线段最短C.两点确定一条直线D.垂线段最短【巩固】下列图形中哪些具有稳定性？（1）（2）（3）（4）（5）（6）【例2】（1）如图所示，以AB 为一边的三角形有（）A.3个B.4个C.5个D.6个（2）如图所示，其中共有多少个不同的三角形？（3）如图中有______________条线段，有___________个三角形。

第1章三角形的初步认识章末复习知识提要一、三角形的内角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．2.三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．3.要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：（1）在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；（2）已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；（3）求一个三角形中各角之间的关系．二、三角形的三边关系1.定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

2.要点诠释：（1）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（2）证明线段之间的不等关系．3.三角形的重要线段：（1）重心（补充点）：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这点称为三角形的重心．（2）中线：三角形与中线相交的边，可把一个三角形分为两个面积相等的三角形。

（3）角平分线：角平分线上的点到角两边距离相等；一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．（4）高线：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.（5）垂直平分线：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

三、命题、定理与证明1.命题：判断一件事件的句子叫命题.其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题.2.要点诠释：（1）对于命题的定义要正确理解，也即是通过这句话可以确定一件事是发生了还是没发生，如果这句话不能对于结果给予肯定或者否定的回答，那它就不是命题；（2）每一个命题都可以写成“如果…,那么…”的形式，“如果”后面为题设部分，“那么”后面为结论部分；3.定理：如果一个命题是真命题（正确的命题），那就可以称它为定理.4.证明从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明．四、全等三角形的性质与判定1.全等三角形的性质全等三角形对应边相等，对应角相等.2.全等三角形的判定定理1.判定方法：边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）.边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 角角边：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）HL：两个直角三角形的斜边和任意一条直角边相等的两个三角形全等。

J定义示例剖析三角形的定义：由三条不在冋一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形•三角形具有稳定性•表示法及读法：三角形用付号△ 表示，顶点疋A、B、C的三角形记作“ △ ABC ”读作“三角形ABC” △ ABC的三边有时也用a, b, c表示.△B a C顶点A的对边a ( BC) 顶点B的对边b (AC) 顶点C的对边c (AB)三角形的内角：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角•△B CA ,B ,C 疋△ ABC 的内角三角形的外角：三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角•如图，BAD , ACF , CBE是厶ABC的外角•E第1讲三角形的初步认识三角形的分类:直角三角形：有一个内角是直角三角形（按角分类）锐角三角形：三个内角都是锐角‘ 钝角三角形：有一个内角是钝角三角形不等边三角形：三条边都不相等（按边分类）等腰三角形：有两条边相等的三角形注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角.三角形的三个内角中，最大的一个内角是锐角角或钝角）时，该三角形即为锐角三角形（直角三角形或钝角三角形）. 直角三角形不等边三角形△等边三角形三角形的分类:直角三角形：有一个内角是直角 注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角.三角形的三个内角中， 最大的一个内角是锐角 （直 角或钝角）时，该三角形即为锐角三角形（直角三角形 或钝角三角形）.等腰三角形等边三角形三角形（按角分类） 锐角三角形：三个内角都是锐角 ‘ 钝角三角形：有一个内角是钝角锐角三角形三角形 不等边三角形：三条边都不相等（按边分类）等腰三角形：有两条边相等的三角形 锐角二角形直角三角形不等边三角形三角形的分类:直角三角形：有一个内角是直角 注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角.三角形的三个内角中， 最大的一个内角是锐角 （直 角或钝角）时，该三角形即为锐角三角形（直角三角形 或钝角三角形）.等腰三角形等边三角形三角形（按角分类） 锐角三角形：三个内角都是锐角 ‘ 钝角三角形：有一个内角是钝角锐角三角形三角形 不等边三角形：三条边都不相等（按边分类）等腰三角形：有两条边相等的三角形 锐角二角形直角三角形不等边三角形三角形的分类:直角三角形：有一个内角是直角 注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角.三角形的三个内角中， 最大的一个内角是锐角 （直 角或钝角）时，该三角形即为锐角三角形（直角三角形 或钝角三角形）.等腰三角形等边三角形三角形（按角分类） 锐角三角形：三个内角都是锐角 ‘ 钝角三角形：有一个内角是钝角锐角三角形三角形 不等边三角形：三条边都不相等（按边分类）等腰三角形：有两条边相等的三角形 锐角二角形直角三角形不等边三角形三角形的分类:直角三角形：有一个内角是直角 注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角.三角形的三个内角中， 最大的一个内角是锐角 （直 角或钝角）时，该三角形即为锐角三角形（直角三角形 或钝角三角形）.等腰三角形等边三角形三角形（按角分类） 锐角三角形：三个内角都是锐角 ‘ 钝角三角形：有一个内角是钝角锐角三角形三角形 不等边三角形：三条边都不相等（按边分类）等腰三角形：有两条边相等的三角形 锐角二角形直角三角形不等边三角形三角形的分类:直角三角形：有一个内角是直角 注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角.三角形的三个内角中， 最大的一个内角是锐角 （直 角或钝角）时，该三角形即为锐角三角形（直角三角形 或钝角三角形）.等腰三角形等边三角形三角形（按角分类） 锐角三角形：三个内角都是锐角 ‘ 钝角三角形：有一个内角是钝角锐角三角形三角形 不等边三角形：三条边都不相等（按边分类）等腰三角形：有两条边相等的三角形 锐角二角形直角三角形不等边三角形三角形的分类:注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角.三角形的三个内角中， 最大的一个内角是锐角 （直 角或钝角）时，该三角形即为锐角三角形（直角三角形 或钝角三角形） .等腰三角形等边三角形三角形 按角分类）直角三角形：有一个内角是直角锐角三角形：三个内角都是锐角 ‘ 钝角三角形：有一个内角是钝角 锐角三角形 三角形 不等边三角形：三条边都不相等 按边分类）等腰三角形：有两条边相等的三角形 锐角三角形直角三角形不等边三角形三角形的分类:注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角.三角形的三个内角中， 最大的一个内角是锐角 （直 角或钝角）时，该三角形即为锐角三角形（直角三角形 或钝角三角形） .等腰三角形等边三角形三角形 按角分类）直角三角形：有一个内角是直角锐角三角形：三个内角都是锐角 ‘ 钝角三角形：有一个内角是钝角 锐角三角形 三角形 不等边三角形：三条边都不相等 按边分类）等腰三角形：有两条边相等的三角形 锐角三角形直角三角形不等边三角形三角形的分类:注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角.三角形的三个内角中， 最大的一个内角是锐角 （直 角或钝角）时，该三角形即为锐角三角形（直角三角形 或钝角三角形） .等腰三角形等边三角形三角形 按角分类）直角三角形：有一个内角是直角锐角三角形：三个内角都是锐角 ‘ 钝角三角形：有一个内角是钝角 锐角三角形 三角形 不等边三角形：三条边都不相等 按边分类）等腰三角形：有两条边相等的三角形 锐角三角形直角三角形不等边三角形三角形的分类:注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角.三角形的三个内角中， 最大的一个内角是锐角 （直 角或钝角）时，该三角形即为锐角三角形（直角三角形 或钝角三角形） .等腰三角形 等边三角形三角形 按角分类） 直角三角形：有一个内角是直角 锐角三角形：三个内角都是锐角 ‘ 钝角三角形：有一个内角是钝角锐角三角形 三角形 不等边三角形：三条边都不相等按边分类）等腰三角形：有两条边相等的三角形 锐角三角形 直角三角形 不等边三角形。