学而思初三数学暑假班第5讲.相似三角形的简单模型.提高班.教师版

第05讲 相似三角形的判定（二）掌握相似三角形判定定理3和直角三角形相似判定定理重点是灵活运用相似三角形的各个判定定理难点是相似三角形与分类讨论及函数思想的互相结合．模块一：相似三角形判定定理31、相似三角形判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果111111AB BC CA A B B C C A ==，那么ABC ∆∽111A B C ∆．【例1】1. 如图，D 、E 、F 分别是ABC 的三边BC,CA,AB 的中点．求证：DEF ABC ∽△△．的【例2】2. ABC ∆的边长分别为111,,,a b c A B C ∆，则ABC ∆与111A B C ∆____________（选填“一定”“不一定” “一定不”）相似【例3】3. 如图，D 为△ABC 内一点，E 为△ABC 外一点，且满足AB BC AC AD DE AE ==，求证：△ABD ∽△ACE ．【例4】4. 如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，90,2,3,1A AB BC CD ∠=︒===，E 是AD 的中点．（1）求证：CDE EAB ∽；（2）CDE 与CEB 有可能相似吗？若相似，请给出证明过程；若不相似，请简述理由．模块二：直角三角形相似的判定定理1、直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．如图，在Rt ABC ∆和111Rt A B C ∆中，如果190C C ∠==∠︒，1111AB BC A B B C =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．【例5】5. 在Rt ABC △和Rt DEF △中，90C F ∠=∠=︒．依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似，并说明理由．（1）55A ∠=︒，35D ∠=︒；（2）9AC =，12BC =，6DF =，8EF =；（3）3AC =，4BC =，6DF =，8DE =；（4）10AB =，8AC =，15DE =，9EF =．6. 如图，已知AB AD ⊥，BD DC ⊥，且2BD AB BC =⋅，求证：ABD DBC ∠=∠．【例7】7. 如图，在ABC 中，CD AB ⊥于D ，DF AC ⊥于F ，DG BC ⊥于G ．求证：CF CA CG CB ⋅=⋅．【例8】8. 求证：如果一个三角形的两边和第三边的中线与另一个三角形的对应线段成比例，那么这两个三角形相似．模块三：相似三角形的判定综合1、相似三角形判定定理1：两角对应相等，两个三角形相似．2、相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．3、相似三角形判定定理3：三边对应成比例，两个三角形相似．4、直角三角形相似的判定定理：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．9. 根据下列条件，能判定ABC 和DEF 相似的个数是（ ）（1）35ABC ∠=︒，75ACB ∠=︒，80EDF ∠=︒，35DEF ∠=︒；（2）3AB =，2BC =，30ABC ∠=︒，6DE =，4EF =，30EDF ∠=︒；（3）2AB =，3BC =，4AC =，12DE =，13EF =，14DF =；（4）AB =CB =2AC =，DE =，1EF =，DF =．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【例10】10. 如图，正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件中，不能推出ABP 与ECP △相似的是（ ）A. APB EPC ∠=∠B. 90APE ∠=C. P 是BC 的中点D. :2:3BP BC =【例11】 11. 如图，AB AC =，2·AC AD AE =，求证：BC 平分DBE ∠．【例12】12. 在ABC 和DEF 中，90A D ∠=∠= ，3AB DE ==，24AC DF ==．（1）判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？（2）能否分别过A D ，在这两个三角形中各作一条辅助线，使ABC 分割成的两个三角形与DEF 分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．【例13】13. 如图，在ABC 中，3AB AC ==，2BC =，点D 、E 、F 分别在AC AB BC 、、边上，BEF △沿着直线EF 翻折后与DEF 重合，设CD x =，BF y =．试问DFC △是否有可能与ABC 相似，如有可能，求出CD 的长；如不可能，说明理由．一、单选题（2022春普陀九下月考精选）14. 如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB AC 、上，DE 与边BC 不平行，那么下列条件中，能判定AED ABC △∽△是（ ）A. B ADE ∠=∠B. C AED ∠=∠C. AD AB AE AC⋅=⋅ D. DE AB AE CB⋅=⋅（2022春上海模拟精选）15. 如图，在四边形ABCD 中，连接AC BD 、交于点O ，分别以下列选项作为一个已知条件，不一定能得到AOB 与COD △相似的是（ ）A. BAC BDC ∠=∠B.AO DO BO CO = C. AO BO CO DO = D. AO DO CO BO=（2022春上海模拟精选）16. 如图，正方形ABCD 与EFG 在方格纸中，正方形和三角形的顶点都在格点上，那么与EFG 相似的是（ ）A. 以点E 、F 、A 为顶点的三角形B. 以点E 、F 、B 为顶点的三角形C. 以点E 、F 、C 为顶点的三角形D. 以点E 、F 、D 为顶点的三角形17. 张老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（ ）已知：如图，在ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE BC ∥，DF AC ∥．求证：ADE DBF ∽．证明：①又∵DF AC ∥，②∵DE BC ∥，③∴∠=∠A BDF ，④∴ADE B ∠=∠，⑤∴ADE DBF ∽．A. ③②④①⑤B. ②④①③⑤C. ③①④②⑤D. ②③④①⑤18. 如图，已知12∠=∠，添加下列条件后，仍无法判定ABC ADE 的是（ ）A. AB AC AD AE =B. B D ∠=∠C. C AED ∠=∠D. AB BC AD DE =（2022春上海华育校内模拟精选）19. 含60︒角的直角三角板6)0(ABC A ∠=︒与含45︒角的直角三角板BCD 如图放置，它们的斜边AC 与斜边BD 相交于点E ．下列结论正确的是（ ）A. ABE CDE∽ B. ABE BCE △∽△C. BCE DCE△∽△ D. ABC DCB∽△△（2022春普陀九下月考精选）20. 如图，在ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，那么下列条件中，不能判断ADE ACB ∽的是（ ）A. ADE C ∠=∠B. AED B ∠=∠C. AE DE AB BC =D. AD AE AC AB=21. 如图，ABC 中，78A ∠=︒，4AB =，6AC =．将ABC 沿图中的虚线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的阴影三角形一定与原三角形相似的是（ ）A. ①②③B. ③④C. ①②③④D. ①②④二、填空题（2022春上海华育校内模拟精选）22. 已知D 、E 分别是ABC 的边AB 、AC 上的点，若要使ABC 与ADE 相似，则只需添加一个条件：_____即可（只需填写一个）．（2022春上海张江校内模拟精选）23. 如图，正方形ABCD 的边长为8，AE EB =，MN =，线段MN 的两端在CB 、CD 上滑动，当CM =______时，ADE 与CMN 相似.24. 如图，在ABC 中，点D 为AC 上一点，请添加一个条件：_____________，使BDC ABC ∽．（2022春上海浦东统考模拟精选）25. 如图，在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的高，DE BC ⊥于点E ．除Rt ABC △自身外，图中与Rt ABC △相似的三角形的个数是___________．（2022春上海浦东统考模拟精选）26. 如图，在△ABC 中，D 是线段AB 上的一点（不与点A ，B 重合），连接CD ．请添加一个条件使△ABC 与△DBC 相似，这个条件可以是_______（写出一个即可）．（2022春上海张江校内模拟精选）27. 已知：如图，点D 在边AB 上，若1∠=∠______时，则ADC ACB ．（2022春上海浦东统考模拟精选）28. 如图，已知：在ABC 和DEF 中，若A D ∠=∠，请添加一个条件______，使ABC DEF △△∽．（写一个即可）29. 已知D 、E 分别是ABC 的边AB 、AC 上的点，若要使ABC 与ADE 相似，则只需添加一个条件：_____即可（只需填写一个）．三、解答题（2022春上海青浦统考模拟精选）30. 如图，在ABC 中和A B C ''' 中，50A ∠=︒，60B B '∠=∠=︒，70C '∠=︒，ABC 和A B C ''' 相似吗？为什么？31. 如图，ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在CB 、AC 的延长线上，60ADE ∠=︒．（1）请找出图中相似的三角形；（2）请选择其中一对说明理由．（2022春上海青浦统考模拟精选）32. 如图1，在ABC 中，AC BC =，将线段CB 绕点C 逆时针旋转90︒，得到线段CD ，连接AD ，BD ．（1）求BAD ∠的度数；（2）如图2，若ACD ∠的平分线CE 交AD 于点F ，交AB 的延长线于点E ，连结DE ．①证明：BCD AED △∽△；DE BE =+．33. 甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）A. 两人都对B. 两人都不对C. 甲对，乙不对D. 甲不对，乙对34. 新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知ABC 是66⨯的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与ABC 相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 435. P 是ABC 边上的任一点（P 不与A 、B 、C 重合），过点P 的一条直线截ABC ，如果截得的三角形与ABC 相似，我们称这条直线为过点P 的△ABC 的“相似线”．Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，当点P 是边BC 上一个三等分点时（PB PC >），过点P 的ABC 的“相似线”最多有___________条．36. 如图，矩形ABCD 的两条对角线AC BD ，相交于点O ，OE AB ⊥，垂足为E ，F 是OC 的中点，连接EF 交OB 于点P ，那么OP PB=______．37. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 上一点，连接DE AE 、，F 在线段DE 上且满足AFE ADC ∠=∠，求证ADF DEC ∽△△．38. 如图，AC 为菱形ABCD 的对角线，点E 在AC 的延长线上，且E ABC ∠=∠．求证：ACD ABE ∽△△．第05讲 相似三角形的判定（二）掌握相似三角形判定定理3和直角三角形相似的判定定理重点是灵活运用相似三角形的各个判定定理难点是相似三角形与分类讨论及函数思想互相结合．模块一：相似三角形判定定理31、相似三角形判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果111111AB BC CA A B B C C A ==，那么ABC ∆∽111A B C ∆．【例1】【1题答案】【答案】证明见解析【解析】【分析】首先可判断EF 、FD 、DE 为ABC ∆的中位线，根据平行线分线段成比例的知识，可判断DEF ∆与ABC ∆的对应边成比例，继而可得出结论．的【详解】解：D ，E ，F 分别是ABC ∆的三边BC ，CA ，AB 的中点，EF ∴、FD 、DE 为ABC ∆的中位线，12EF DF DE BC AC AB ∴===，DEF ABC ∴∆∆∽．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定方法，本题用到的是三边法．【例2】【2题答案】【答案】不一定【解析】【分析】先求出两个三角形三边的比，再根据三边对应成比例判断两个三角形相似即可．【详解】解：∵ABC ∆的边长分别为111,,,a b c A B C ∆∴两个三角形对应边的比分别为：===当a=b=c ==，这两个三角形相似，当a ≠b ≠c ≠≠∴ABC ∆与111A B C ∆不一定相似，故答案为：不一定．【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键．【例3】【3题答案】【答案】见解析．【解析】【分析】根据已知条件证明△ADE ∽△ABC ，得到∠DAB=∠EAC ，即可得到结果；【详解】∵AB BC AC AD DE AE==，∴△ADE ∽△ABC ，∴∠DAE=∠BAC ，∴∠DAB=∠EAC ，∵AB AD AC AE=，∴△ABD ∽△ACE ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，准确判断是解题的关键．【例4】【4题答案】【答案】（1）见解析；（2）相似，理由见解析【解析】【分析】（1）过点C 作CF ⊥AB 于F ，先证明四边形ADCF 是矩形，得到AF =CD =1,AD =CF ，BF =AB -AF =1，然后利用勾股定理求出CF ==1122AE DE AD CF ====，再证明AE AB CD DF=即可；（2）利用勾股定理求出CE ==BE ==,然后证明BC BE CE CE DE CD==即可.【详解】解：（1）过点C 作CF ⊥AB 于F ，∴∠A =∠CFA =∠CFB =90°，∵AB ∥CD ，∴∠A +∠D =180°，∴∠D =90°，∴四边形ADCF 是矩形，∴AF =CD =1,AD =CF ，∴BF =AB -AF =1，∴CF ==∵E 是AD 的中点，∴1122AE DE AD CF ====，∴AE CD ==，AB DF ==∴AE AB CD DF =，又∵∠D =∠A =90°，∴△CDE ∽△EAB ；（2）△CDE ∽△CEB 相似，理由如下：∵CE ==BE ==,∴BE DE==，CE CD ==BC CE ==，∴BC BE CE CE DE CD== ，∴△CDE ∽△CEB .【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，相似三角形的判定，勾股定理，平行的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.模块二：直角三角形相似的判定定理1、直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．如图，在Rt ABC ∆和111Rt A B C ∆中，如果190C C ∠==∠︒，1111AB BC A B B C =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．【例5】【5题答案】【答案】（1）相似，两三角形有两组角对应相等（2）相似，两三角形两边对应成比例且夹角相等（3）不相似，两三角形两边对应成比例且有一角相等，但此角不是夹角 （4）相似，斜边和直角边对应成比例【解析】【分析】（1）证明B D ∠=∠，即可求解；（2）证明AC BC DF EF=，且90C F ∠=∠=︒，即可证明结论；（3）证明AC BC DF DE =，但C D ∠≠∠，则Rt ABC △和Rt DEF △不相似；（4）利用斜边和直角边对应成比例，证明Rt ABC △和Rt DEF △相似.【小问1详解】解：在Rt ABC △和Rt DEF △中，90C F ∠=∠=︒．∵55A ∠=︒，∴9035B A ∠=︒-∠=︒，∴B D ∠=∠，∴Rt ABC △和Rt DEF △相似，理由是：有两组角对应相等的两个三角形相似；【小问2详解】解：在Rt ABC △和Rt DEF △中，90C F ∠=∠=︒．∵9362AC DF ==，12382BC EF ==，则AC BC DF EF =，∴Rt ABC △和Rt DEF △相似，理由是：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；【小问3详解】解：在Rt ABC △和Rt DEF △中，90C F ∠=∠=︒．∵3162AC DF ==，4182BC DE ==，则AC BC DF DE=，但C D ∠≠∠，∴Rt ABC △和Rt DEF △不相似，理由是：有两边对应成比例且夹角不相等的两个三角形不相似；【小问4详解】解：在Rt ABC △和Rt DEF △中，90C F ∠=∠=︒．在Rt ABC △中，10AB =，8AC =，∴6BC ==，∵102153AB DE ==，6293BC EF ==，则AB BC DE EF =，∴Rt ABC △和Rt DEF △相似，理由是：有斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似；【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定定理：两角对应相等，两组边对应成比例且夹角相等；斜边和直角边对应成比例．【例6】【6题答案】【答案】见解析.【解析】【分析】由2BD AB BC =⋅可得AB BD =BD BC，可判定Rt △ABD ∽Rt △DBC ，然后由相似三角形对应角相等可得∠ABD=∠DBC.【详解】证明：∵2BD AB BC=⋅∴AB BD =BD BC∴Rt △ABD ∽Rt △DBC∴∠ABD=∠DBC【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握直角三角形的斜边直角边对应成比例即可判定相似是解决本题的关键.【例7】【7题答案】【答案】见解析【解析】【分析】通过证明A DCF CD ∽△△和DCG BCD △∽△，然后利用相似三角形的性质分析求证．【详解】证明：∵CD AB ⊥，DF AC ⊥，∴90ADC CFD ∠=∠= ．又∵DCF DCA ∠=∠，∴A DCF CD ∽△△．∴DC CF AC DC=，即2DC CA CF =⋅．同理可得DCG BCD △∽△，∴DC CG BC DC=，即2DC CG CB =⋅，∴CF CA CG CB ⋅=⋅．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质正确推理论证是解题关键．【例8】【8题答案】【答案】见解析【解析】【分析】写出已知和求证，分别延长AD 、11A D 到点1E E 、，证明ADB EDC ≌，111111A D B E D C ≌△△，再根据三边对应成比例证明111AEC A E C ∽△△，据此即可证明111ABC A B C ∽△△．【详解】已知：如图，AD 、11A D 分别是ABC 、111A B C △边BC 、11B C 上的中线，且111111AC AB AD A C A B A D ==．求证：111ABC A B C ∽△△．证明：分别延长AD 、11A D 到点1E E 、．使得1111DE AD D E A D ==，．∴111122AE AD A E A D ==，．∵AD 、11A D 分别是ABC 、111A B C △边BC 、11B C 上的中线，∴1111BD DC B D D C ==，．∵111111ADB ADC A D B A D C ∠=∠∠=∠， ，∴ADB EDC ≌，111111A D B E D C ≌△△，∴1111BAD E B A D E ∠=∠∠=∠，．∵111111AC AB AD A C A B A D ==，∴111111AC AB AE A C A B A E ==．∴111AEC A E C ∽△△，∴1111E E CAD C A D ∠=∠∠=∠，∴111BAD B A D ∠=∠，∴111BAC B AC ∠=∠．又∵1111AB AC A B A C =，∴111ABC A B C ∽△△．【点睛】本题考查了三角形相似的判定方法，并且考查学生通过倍长中线来转化边角的方法．模块三：相似三角形的判定综合1、相似三角形判定定理1：两角对应相等，两个三角形相似．2、相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．3、相似三角形判定定理3：三边对应成比例，两个三角形相似．4、直角三角形相似的判定定理：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．【例9】【9题答案】【答案】A【解析】【分析】根据两三角形相似的判定定理，对各选项依次判断即可．【详解】解：（1）ABC 和DEF 中，35ABC ∠=︒，75ACB ∠=︒，80EDF ∠=︒，35DEF ∠=︒，∴70A EDF ∠=︒≠∠，∴ABC 和DEF 不相似；（2）ABC 和DEF 中，∵3162AB DE ==，2142BC EF ==，但ABC ∠与DEF ∠不一定相等，∴ABC 和DEF 不相似；（3）∵2412AB DE ==，3913BC EF ==，41614AC DF ==，∴AB BC AC DE EF DF≠≠，∴ABC 和DEF 不相似；（4）∵AB DE ==BC EF ==AC DF ==∴AB BC AC DE EF DF==，∴ABC 和DEF 相似；综上，只有（4）相似，故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．【例10】【10题答案】【答案】C【解析】【分析】利用两三角形相似的判定定理逐一判断即可．【详解】A ．APB EPC ∠=∠，根据正方形性质得到∠B =∠C ，可以得到ABP ∆∽ECP △，不合题意；B.90APE ︒∠=，根据正方形性质得到∠B =∠C ，根据同角的余角相等，得到APB PEC ∠=∠，从而有ABP ∆∽PCE ，不合题意；C ．P 是BC 的中点，无法判断ABP ∆与ECP △相似，符合题意；D ．:2:3BP BC = ，根据正方形性质得到::3:2AB BP EC PC ==，又∵∠B =∠C ，则ABP ∆∽ECP △，不合题意．故选：C【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题关键．【例11】【11题答案】【答案】见解析【解析】【分析】根据已知条件推出ABD AEB ∽，得到ABD E ∠=∠，根据等腰三角形的性质得到ABD DBC ACB ∠+∠=∠，然后由角的和差即可得到结论．【详解】证明： AB AC =，2AC AD AE =⋅，∴2AB AD AE =⋅，即AB AE AD AB=．又 A A ∠=∠，∴ABD AEB ∽．∴ABD E ∠=∠．又 AB AC =，∴ABD DBC ACB ∠+∠=∠．又 CBE E ACB ∠+∠=∠，∴CBD CBE ∠=∠．即BC 平分DBE ∠．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．【例12】【12题答案】【答案】（1）不相似．理由见解析.（2）能作如图所示的辅助线进行分割．具体做法见解析.【解析】【分析】（1）根据两个直角相等但两直角的两边的比不相等，可判定这两个三角形不相似；（2）作BAM E ∠=∠，交BC 于M ；作NDE B ∠=∠，交EF 于N ．由作法和已知条件可知BAM DEN ≌．再证明，即可判断AMC FND ∽．【详解】（1）不相似．在Rt BAC 中，90A ∠=︒，34AB AC ==，；在Rt EDF 中，90D ∠=︒，32DE DF ==，，12AB AC DE DF∴==，．AB AC DE DF∴≠．Rt BAC ∴ 与Rt EDF 不相似．（2）能作如图所示的辅助线进行分割．具体作法：作BAM E ∠=∠，交BC 于M ；作NDE B ∠=∠，交EF 于N ．由作法和已知条件可知BAM DEN ≌．BAM E ∠=∠ ，NDE B ∠=∠，AMC BAM B ∠=∠+∠，FND E NDE ∠=∠+∠，BAM DEN ≌．90FDN NDE ∠=︒-∠ ，BAM E ∠=∠ ，BAM E ∠=∠ ．∴AMC FND ∽．考点：相似三角形的判定及性质．【例13】【13题答案】【答案】DFC △有可能与ABC 相似，此时65CD =或23【解析】【分析】分DFC ABC △∽△和DFC ACB ∽△△两种情况讨论，根据相似三角形的性质求出CD 的长．【详解】解：翻折后，BF DF =．当DFC ABC △∽△时，DFC C B ∠=∠=∠．BF DF CD x ∴===，2CF x =-．CD CF CA CB ∴=，即232x x -=．65x ∴=；当DFC ACB ∽△△时，FDC C B ∠=∠=∠，1BF DF CF ∴===．CD CF CB CA ∴=，即213x =．23x ∴=．综上，65CD =或23．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、翻折变换，掌握相似三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．一、单选题（2022春普陀九下月考精选）【14题答案】【答案】C【解析】【分析】根据相似三角形的判定进行判断即可．【详解】解：由题意知，DAE CAB ∠=∠，B ADE ∠≠∠，C AED ∠≠∠，选项A 、B 错误，故不符合题意；∵AD AB AE AC ⋅=⋅，∴AD AE AC AB=，又∵DAE CAB∠=∠∴AED ABC △∽△，C 正确，故符合题意；∵DE AB AE CB ⋅=⋅，∴DE AE BC AB=，但无法判定AED ABC △∽△，D 不符合要求；故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定条件是解题的关键．（2022春上海模拟精选）【15题答案】【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的判定方法对各选项进行判定即可得出答案．【详解】解：在四边形ABCD 中，连接AC BD 、交于点O ，∴AOB DOC ∠=∠，A 、若BAC BDC ∠=∠，结合AOB DOC ∠=∠，可得BAO CDO ∽△△，本选项不符合题意；B 、若AO DO BO CO =，结合AOB DOC ∠=∠，可得BAO CDO ∽△△，本选项不符合题意；C 、若AO BO CO DO =，结合AOB DOC ∠=∠，可得BAO DCO ∽△△，本选项不符合题意；D 、若AO DO CO BO=，结合AOB DOC ∠=∠，不符合两边对应成比例及其夹角相等的判定，不一定能得到AOB 与COD △相似，，本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键熟练掌握相似三角形的三种判定方法．（2022春上海模拟精选）【16题答案】【答案】C【解析】【分析】EFG 中135EGF ∠=︒，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判断A 、B 、D ；根据三组对应边的比相等的两个三角形相似判断C ．【详解】解：由题意可得，EFG 中135EGF ∠=︒，2EG =，GF =，EF =．A 、EFA 中，135AEF ∠>︒，则EFA 与EFG 不相似，故本选项不符合题意；B 、EFB 中，135BEF ∠>︒，则EFB 与EFG 不相似，故本选项不符合题意；C 、EFC 中，EF =，CE =，5CF =，∵EG GF EF EF CE CF ===，∴EFG FCE ∽，即EFC 与EFG 相似，故本选项符合题意；D 、EFD 中，90135DEF ∠︒︒＜＜，则EFD 与EFG 不相似，故本选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握判定两个三角形相似的方法是解题的关键．两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，三组对应边的比相等的两个三角形相似．【17题答案】【答案】B【解析】【分析】由DE BC ∥，DF AC ∥，得出ADE B ∠=∠，∠=∠A BDF ，证出ADE DBF ∽．【详解】证明：②∵DE BC ∥，④∴ADE B ∠=∠，①又∵DF AC ∥，③∴∠=∠A BDF ，⑤∴ADE DBF ∽．故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；关键是证明三角形相似．【18题答案】【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的判定方法逐一判断即可．【详解】解∵12∠=∠，∴DAE BAC ∠=∠，若AB AC AD AE=，DAE BAC ∠=∠，∴()SAS ABC ADE ，故A 不符合题意；若DAE BAC ∠=∠，B D ∠=∠，∴~ABC ADE ，故B 不符合题意；若C AED ∠=∠，DAE BAC ∠=∠，∴~ABC ADE ，故C 不符合题意；∵AB BC AD DE=，DAE BAC ∠=∠，∴无法判断ABC 与ADE 相似，故D 符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的判定方法，熟记知识点是解题关键．（2022春上海华育校内模拟精选）【19题答案】【答案】A【解析】【分析】根据相似三角形的判定方法，进行判断即可．【详解】解：由图可知：90ABC BCD ∠=∠=︒，∴AB CD ，∴,ABE CDE BAE DCE ∠=∠∠=∠，∴ABE CDE ∽；故选A ．【点睛】本题考查相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．（2022春普陀九下月考精选）【20题答案】【答案】C【解析】【分析】根据已知条件可知A A ∠=∠，再利用相似三角形的判定定理依次判断即可得到答案．【详解】解：A 、ADE C ∠=∠，A A ∠=∠，可根据两角相等证明ADE ACB ∽，不符合题意；B 、ADE B ∠=∠，A A ∠=∠，，可根据两角相等证明ADE ACB ∽，不符合题意；C 、AE DE AB BC=，A A ∠=∠，不能证明ADE ACB ∽，符合题意；D 、AD AE AC AB =，A A ∠=∠，可根据两边对应成比例，夹角相等证明ADE ACB ∽，不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理并应用解决问题是解题关键．【21题答案】【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似；②阴影部分的三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似；③两三角形虽然满足2436=，但两边所夹的角不一定相等，故两三角形不一定相似；④两三角形对应边成比例41641642--==且夹角相等，故两三角形相似．故正确的有①②④，故选：D ．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．二、填空题（2022春上海华育校内模拟精选）【22题答案】【答案】DE BC ∥(答案不唯一)【解析】【分析】根据DE BC ∥可以求得ADE ABC ∠∠＝，AEDACB ∠∠＝，即可求证ABC ADE ∽△△，即可解题．【详解】解：添加条件为：DE BC ∥．理由：∵DE BC ∥，∴ADE ABC ∠∠＝，AEDACB ∠∠＝，∴ABC ADE ∽△△，∴添加条件DE BC ∥，即可证明ABC ADE ∽△△，故答案为：DE BC ∥ (答案不唯一)．【点睛】本题考查了平行线同位角相等的性质，相似三角形的证明，本题中添加条件DE BC ∥，并证明ABC ADE ∽△△是解题的关键．（2022春上海张江校内模拟精选）【23题答案】【答案】2或4##4或2【解析】【分析】根据AE EB =，AED △中2AD AE =，所以在MNC 中，分CM 与AE 和AD 是对应边两种情况利用相似三角形对应边成比例求出CM 与CN 的关系，然后利用勾股定理列式计算即可．【详解】解：AE EB = ，2AD AE ∴=，又AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似，∴分两种情况：①CM 与AD 是对应边时，2CM CN =，22220CM CN MN ∴+==，即221204CM CM +=，解得：4CM =；②CM 与AE 是对应边时，12CM CN =，22220CM CN MN ∴+==，即22420CM CM +=，解得：2CM =．综上所述：当CM 为4或2时，AED △与CMN 相似．故答案是：4或2．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定；利用相似三角形对应边成比例的性质和直角三角形勾股定理求解是解题的关键．【24题答案】【答案】∠=∠BDC ABC （答案不唯一）【解析】【分析】已知有一个公共角，则可以再添加一个角从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定．【详解】解：∵C C ∠=∠，∴根据两角相等的两个三角形相似，可添加条件∠=∠BDC ABC 或CBD A ∠=∠证ADE ABC △△∽相似；根据两边对应成比例且夹角相等，可添加条件CD BC BC AC=或2BC CD AC =⋅，可以证ADE ABC △△∽相似．故答案为∶①∠=∠BDC ABC ；②CBD A ∠=∠；③CD BC BC AC=；④2BC CD AC =⋅（写出其中一个即可）．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．（2022春上海浦东统考模拟精选）【25题答案】【答案】4【分析】根据CD 是斜边AB 上的高，DE BC ⊥于点E ，得90CDA CDB ∠=∠=︒，90CED BED ∠=∠=︒，再根据相似三角形的判定，即可．【详解】∵CD 是斜边AB 上的高，DE BC ⊥于点E ，∴90CDA CDB ∠=∠=︒，90CED BED ∠=∠=︒，在Rt ABC △和Rt ACD △中，∵90A A ADC ACB ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩，∴Rt Rt ABC ACD ；在Rt ABC △和Rt CBD △中，∵B B CDB ACB ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，∴Rt Rt ABC CBD ；∵DE BC ⊥，∴AC DE ∥，∴Rt Rt ABC DBE ；∵A B ∠∠=︒+90，90B DCB ∠+∠=︒，∴A DCB ∠=∠，在Rt ABC △和Rt CDE △中，A DCB ACB CED ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，∴Rt Rt ABC CDE ；∴图中与Rt ABC △相似的三角形有4个．故答案为：4．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．（2022春上海浦东统考模拟精选）【26题答案】【答案】∠BCD ＝∠A 或∠CDB ＝∠BCA 或BC BD AB BC=【分析】因为已知一个公共角，根据有两个角相等的两个三角形相似可添加BCD A ∠=∠或CDB BCA ∠=∠，根据有两组边成比例且夹角相等的两个三角形相似可添加BC BD AB BC=．【详解】解：在ABC ∆和ABC ∆中，∵B B ∠=∠，∴添加BCD A ∠=∠或CDB BCA ∠=∠或BC BD AB BC=，BCD BAC ∆∆∽．故答案为：BCD A ∠=∠或CDB BCA ∠=∠或BC BD AB BC =．【点睛】本题主要考查三角形相似的判定，熟知相似三角形判定定理是解题的关键．（2022春上海张江校内模拟精选）【27题答案】【答案】B【解析】【分析】根据相似三角形的判定条件求解即可．【详解】解：当1B ∠=∠时，ADC ACB ，理由如下，∵A A ∠=∠，1B ∠=∠，∴ADC ACB ，故答案为：B ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知两个角对应相等的三角形相似是解题的关键．（2022春上海浦东统考模拟精选）【28题答案】【答案】B E ∠=∠或C F ∠=∠或AB AC DE DF=（答案不唯一）【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理作答即可．【详解】解：由两角对应相等，两个三角形相似，可添加B E ∠=∠或C F ∠=∠；由两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似，可添加AB AC DE DF=；故答案为：B E ∠=∠或C F ∠=∠或AB AC DE DF=（答案不唯一）．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【29题答案】【答案】DE BC ∥(答案不唯一)【解析】【分析】根据DE BC ∥可以求得ADE ABC ∠∠＝，AEDACB ∠∠＝，即可求证ABC ADE ∽△△，即可解题．【详解】解：添加条件为：DE BC ∥．理由：∵DE BC ∥，∴ADE ABC ∠∠＝，AEDACB ∠∠＝，∴ABC ADE ∽△△，∴添加条件DE BC ∥，即可证明ABC ADE ∽△△，故答案为：DE BC ∥ (答案不唯一)．【点睛】本题考查了平行线同位角相等的性质，相似三角形的证明，本题中添加条件DE BC ∥，并证明ABC ADE ∽△△是解题的关键．三、解答题（2022春上海青浦统考模拟精选）【30题答案】【答案】ABC 和A B C ''' '相似，理由见解析【解析】【分析】根据三角形相似的判定计算判定即可．【详解】ABC 和A B C ''' 相似．理由如下：∵50A ∠=︒，60B B '∠=∠=︒，∴18070C B A ∠=︒-∠-∠=︒，∵70C '∠=︒，∴70C C '∠=∠=︒，∴ABC A B C '''∽△△．【点睛】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法解题的关键．【31题答案】【答案】（1）ACD ADE △∽△，ABD DCE ∽△△（2）理由见解析【解析】【分析】（1）利用相似三角形的定义解答即可；（2）利用等边三角形的性质和相似三角形的判定解答即可．【小问1详解】解：相似三角形有：ACD ADE △∽△，ABD DCE ∽△△；【小问2详解】ACD ADE △∽△的理由：∵ABC 是等边三角形，∴60ACD ABC ∠=∠=︒，∵ACD CDE E ∠=∠+∠，∴60CDE E ∠+∠=︒，∵60ADE ∠=︒，∴60ADC CDE ∠+∠=︒，∴ADC E ∠=∠，∵DAC EAD ∠=∠，∴ACD ADE △∽△；ABD DCE ∽△△的理由：∵ABC 是等边三角形，∴60ACD ABC ∠=∠=︒，∴120ABD DCE ∠=∠=︒，∵ACD CDE E ∠=∠+∠，∴60CDE E ∠+∠=︒，∵60ADE ∠=︒，∴60ADC CDE ∠+∠=︒，∴ADC E ∠=∠，∴ABD DCE ∽△△．。

专题04 相似三角形的判定（基础）【目标导向】1、了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法；2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【知识点梳理】要点一、相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的判定定理1．判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.3．判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.4．判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：【精讲例题】类型一、相似三角形1. 下列能够相似的一组三角形为( ).A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形【答案】C【解析】A中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；B中什么条件都不满足；D中只有一条对应边的比相等；C中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C.【总结升华】根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.举一反三：【变式】给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有（填序号）．【答案】①②④⑤.类型二、相似三角形的判定2. 如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.【思路点拨】充分利用平行寻找等角，以确定相似三角形的个数.【答案与解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC，∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.∴△BEF∽△CDF∽△AED.∴当△BEF∽△CDF时，相似比；当△BEF∽△AED时，相似比；当△CDF∽△AED时，相似比.【总结升华】此题考查了相似三角形的判定（有两角对应相等的两三角形相似）与性质（相似三角形的对应边成比例）.解题的关键是要仔细识图，灵活应用数形结合思想.举一反三：【变式】如图，AD、CE是△ABC的高，AD和CE相交于点F，求证：AF·FD=CF·FE．【答案】∵ AD、CE是△ABC的高,∴∠AEF=∠CDF=90°, 又∵∠AFE=∠CFE,∴△AEF∽△CDF.∴AF EFCF FD, 即AF·FD=CF·FE．3.（福州）如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．【思路点拨】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC•CD的值，从而可得到AD2与AC•CD的关系；（2）由（1）可得到BD2=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．【答案与解析】解：（1）∵AD=BC=1，BC=，∴AD=，DC=1﹣=．∴AD2==，AC•CD=1×=．∴AD2=AC•CD．（2）∵AD=BC，AD2=AC•CD，∴BC2=AC•CD，即．又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB．∴，∠DBC=∠A．∴DB=CB=AD．∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°．解得：x=36°．∴∠ABD=36°．【总结升华】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得△BCD∽△ABC是解题的关键．4. 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP2＝PE·PF．【思路点拨】从求证可以判断是运用相似，再根据BP2＝PE·PF，可以判定所给的线段不能组成相似三角形，这就需要考虑线段的等量转移了.【答案与解析】连接，，，是的中垂线，，，，．，．又，∽，，．【总结升华】根据求证确定相似三角形，是解决此类题型的捷径. 举一反三：【变式】如图，F 是△ABC 的AC 边上一点，D 为CB 延长线一点，且AF=BD,连接DF,交AB 于E. 求证：DE ACEF BC=.【答案】过点F 作FG ∥BC,交AB 于G.则△DBE ∽△FGE △AGF ∽△ABC∵DE DBEF GF=, 又∵AF=BD,∴.DE AFEF GF= ∵△AGF ∽△ABC∴AF ACGF BC =, 即DE ACEF BC=.【精练巩固】一、选择题1. 下列判断中正确的是( ).A.全等三角形不一定是相似三角形B.不全等的三角形一定不是相似三角形C.不相似的三角形一定不全等D.相似三角形一定不是全等三角形 2．已知△ABC 的三边长分别为、、 2, △A′B′C′的两边长分别是1和, 如果△ABC 与△A′B′C′ 相似, 那么△A′B′C′ 的第三边长应该是 ( ).A. B. C. D.3．（大庆校级模拟）如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．4. （盐城）如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF＝90°，则一定有（）.A．ΔADE∽ΔAEF B．ΔECF∽ΔAEF C．ΔADE∽ΔECF D．ΔAEF∽ΔABF 6. 如图所示在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为( ).A. B.8 C.10 D.16二、填空题7.（上海闵行一模）如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）8如图所示，∠C=∠E=90°，AD=10，DE=8，AB=5，则AC=________.9.如图所示，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为________或________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似(至少找出两个满足条件的点的坐标).10.如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=__________.11.如图，CD∥AB，AC、BD相交于点O,点E、F分别在AC、BD上，且EF∥AB,则图中与△OEF相似的三角形为_________.12．如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE交CD于点F,则图中相似三角形共有_________对.三．解答题13. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3，AE＝2，BD＝4，求的值及AC、EC的长度．14. 如图在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，且，求证：BD⊥CD．15.如图，在△ABC中，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AB上一点，AF⊥CE于F，AD交CE于G 点，（1）求证：AC2=CE•CF；（2）若∠B=38°，求∠CFD的度数．【精练答案与解析】一．选择题1.【答案】C.2.【答案】A.【解析】根据三边对应成比例，可以确定3==226第三边，所以第三边是3.【答案】B.【解析】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．故选B．4.【答案】C．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC，∴与△AEF相似的三角形有2个．5.【答案】C.【解析】∵∠AEF＝90°, ∴∠1+∠2=90°，又∵∠D=∠C=90°，∴∠3+∠2=90°，即∠1=∠3，∴△ADE∽△ECF.6.【答案】C.【解析】∵ EF∥AB，∴，∵，∴，，∴ CD=10，故选C.二. 填空题7.【答案】AB∥DE．【解析】∵∠A=∠D，∴当∠B=∠DEF时，△ABC∽△DEF，∵AB∥DE时，∠B=∠DEF，∴添加AB∥DE时，使△ABC∽△DEF．8.【答案】 3 .【解析】∵∠C=∠E，∠CAB=∠EAD，∴△ACB∽△AED，∴，BC=4，在Rt△ABC中，.9．【答案】；.10.【答案】4.【解析】∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B=∠D=90°，又∵AC⊥CE，∴∠BCA+∠DCE=90°，∴∠BCA=∠E,∴△ABC∽△CDE.∵C是线段BD的中点，ED=1，BD=4∴BC=CD=2∴AB CDCD DE,即AB=4.11.【答案】△OAB,△OCD.12.【答案】3.【解析】∵平行四边形ABCD，∴AD∥BE.AB∥CD∴△EFC∽△EAB; △EFC∽△AFD; △AFD∽△EAB.三综合题13.【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵，，∴，∴AC＝，∴EC＝AC－AE＝．14.【解析】∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，又∵，∴△ABD∽△DCB，∴∠A＝∠BDC，∵∠A＝90°，∴∠BDC＝90°，∴BD⊥CD ．15.【解析】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠CFA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠CFA=∠BAC，∵∠ACF=∠FCA，∴△CAF∽△CEA，∴=，∴CA2=CE•CF；（2）∵∠CAB=∠CDA，∠ACD=∠BCA，∴△CAD∽△CBA，∴=，∴CA2=CB×CD，同理可得：CA2=CF×CE，∴CD•BC=CF•CE，∴=，∵∠DCF=∠ECB，∴△CDF∽△CEB，∴∠CFD=∠B，∵∠B=38°，∴∠CFD=38°．。

第十五章相似三角形的运用本章进步目标★★★★★☆Level 5通过对本节课的学习，你能够：1．对相似三角形的运用达到【高级运用】级别。

2．对位似的理解达到【初级理解】级别。

VISIBLE PROGRESS SYSTEM进步可视化教学体系189VISIBLE PROGRESS SYSTEM190 VISIBLE PROGRESS SYSTEM第一关相似三角形的周长与面积★★★★☆☆Level 4本关进步目标★★★★☆☆你能够解决相似三角形中的周长面积问题。

.191VISIBLE PROGRESS SYSTEM192VISIBLE PROGRESS SYSTEM学习重点：周长面积在相似中的应用。

1．两个相似三角形的相似比是1∶3，周长差是60，则这两个相似三角形的周长分别是 。

2．如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（ ） A.32B.33C.34D.363．在一张比例尺为1:500的建筑图纸上，一个多边形花坛画在图上的周长是3.6cm ，则花坛的实际周长是多少？若花坛地基的面积是202m ，则画在图上的面积是多少？相似三角形的周长和面积相似三角形的性质三角形周长面积公式关卡1-1ABCD E相似三角形的周长和面积过关指南Tips笔记★★★★☆☆ 初级运用例题193VISIBLE PROGRESS SYSTEM顺次连接三角形三边的中点，所构成的三角形与原三角形对应高的比是（ ） A ．1:4 B ．1:3 C ．1:2 D ．1:2在相似三角形中,已知其中一个三角形三边的长是4,6,8,另一个三角形的一边长是2,则另一个 三角形的周长是 ( )A. 4.5B. 6C. 9D. 以上答案都有可能如图，在△ABC 中，D ，E 是AB 边上的点，且AD=DE=EB ，DF ∥EG ∥BC ，则△ABC 被分成三部分，S △ADF ：S 四边形DEGF ：S 四边形EBCG 等于（ ）．A ．1：1：1B ． 1：2：3C ． 1：4：9 D. 1：3：5如图，在△ABC 中，DE ∥AC ，AD ：DB=2：1，F 为AC 上任意一点，△DEF 的面积为4，则S △ABC = ．如图DE 是△ABC 的中位线，M 是DE 的中点， CM 交AB 于N 则S DMN ：S 四边形ANME =_______A ．51B ．41C ．52D ．72过关练习错题记录Exercise 1错题记录Exercise 2错题记录Exercise 3错题记录Exercise 4错题记录Exercise 5第二关相似三角形的运用★★★★★☆Level 5本关进步目标★★★★★☆你会全面应用相似三角形的性质和判定。

ABCA 1B 1C 1相似三角形的判定是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形判定定理3和直角三角形相似的判定定理，并进行了相似三角形判定的相关综合练习．重点是灵活运用相似三角形的各个判定定理，难点是相似三角形与分类讨论及函数思想的互相结合．1、相似三角形判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果111111AB BC CAA B B C C A ==，那么ABC ∆∽111A B C ∆．相似三角形的判定（二）内容分析知识结构模块一：相似三角形判定定理3知识精讲步同级年九2 / 22ABCDEABC D【例1】 ABC ∆的边长分别为a 、b 、c ，111A B C ∆的边长分别为a 、b 、c ，则ABC ∆与111A B C ∆（选填“一定”、“不一定”或“一定不”）相似．【难度】★★ 【答案】不一定．【解析】若a b c ==时，相似；若a 、b 、c 中有两个不等，那么它们就不相似． 【总结】本题考查相似三角形的判定定理3，同时穿插了分类讨论的思想．【例2】 如图，点D 为ABC ∆内一点，点E 为ABC ∆外一点，且满足AB BC ACAD DE AE ==．求证：ABD ∆∽ACE ∆．【答案】略．【解析】AB BC ACAD DE AE == ∴ABC ADE ∆∆∽． ∴BAC DAE ∠=∠， 即BAD DAC CAE DAC ∠+∠=∠+∠．∴BAD CAE ∠=∠．AB ACAD AE= ∴ABD ∆∽ACE ∆． 【总结】本题考查相似三角形的判定定理3和相似三角形的性质知识．【例3】 如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，2AC =，23CD =，4AD =．求证：ABC ∆∽ACD ∆．【答案】略． 【解析】90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，2AC =．∴112AB AC ==，∴在Rt ABC ∆中，3BC =．23CD =，4AD =， ∴12AB AC BC AC AD CD ===，∴ABC ∆∽ACD ∆． 【总结】本题考查相似三角形的判定定理3和直角三角形的勾股定理知识．例题解析ABCDEF【例4】 已知：如图，在t R ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2AC =，4BC =，点D 在BC 边上，且CAD B ∠=∠． （1）求AD 的长；（2）取AD 、AB 的中点E 、F ，联结CE 、CF 、EF ．求证：CEF ∆∽ADB ∆． 【答案】略． 【解析】（1）90ACB ∠=︒，CAD B ∠=∠，CAD CBA ∴∆∆∽ ∴CD AC AD AC CB AB==． ∴2AC CD CB =• ∴1CD =．∴在Rt ADC ∆中，AD（2）点E F 、分别是AD 、AB 的中点，∴12EF BD =． 在Rt ADC ∆、Rt ABC ∆中，12CE AD =，12CF AB =． ∴12CE CF EF AD AB BD ===，∴CEF ∆∽ADB ∆．【总结】本题考查相似三角形的判定定理3、直角三角形的性质和三角形中位线等知识．步同级年九4 / 22【例5】 如图，在梯形ABCD 中，AB // CD ，90A ∠=︒，2AB =，3BC =，1CD =，点E是AD 的中点．（1）求证：CDE ∆∽EAB ∆；（2）CDE ∆与CEB ∆有可能相似吗？若相似，请证明；若不相似，请说明理由． 【答案】略．【解析】（1）证明：过点C 作CF AB ⊥，垂足为F ，如图． 9090A CFB ∠=∠=，，//AD CF ∴．又//AB CD ，∴四边形AFCD 是平行四边形．又90A ∠=，∴平行四边形AFCD 是矩形． 1AF CD AD CF ∴===，，1BF ∴=．在Rt FBC ∆中，2222CF BC BF =-=，22AD ∴=． 点E 是AD 的中点 2ED EA ∴==．∴22DE CD AB AE ==又90D A ∠=∠=，∴CDE ∆∽EAB ∆．（本题还可用其它方法证明）（2）CDE ∆与CEB ∆相似．在Rt DCE ∆中，223CE DC DE =+=， 在Rt CBF ∆中，226BE AE AB =+=，3CE BE CBCD DE CE===， ∴CDE ∆∽CEB ∆． 【总结】本题考查了梯形及相似三角形的判定，着重考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用能力．本题实际上是“一线三直角”模型．模块二：直角三角形相似的判定定理ABCD EFABCDFG1、直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．如图，在Rt ABC ∆和111Rt A B C ∆中，如果190C C ∠=∠=︒，1111AB BCA B B C =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．【例6】 如图，在ABC ∆中，CD AB ⊥于D ，DF AC ⊥于F ，DG BC ⊥于G ．求证：CF CA CG CB =．【答案】略． 【解析】证明：CD AB ⊥，DF AC ⊥，∴90ADC CFD ∠=∠=．又DCF DCA ∠=∠， ∴DCF ACD ∆∆∽． ∴DC CF AC DC=，即2DC CA CF =•．同理可得：2DC CG CB =•， ∴CF CA CG CB =． 【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法，同时考查了相似三角形的性质等知识．【例7】 已知直角三角形斜边上的高为12，并且斜边上的高把斜边分成3:4两段，则 斜边上的中线长是．【答案】73．知识精讲例题解析ABC A 1B 1C 1A BCDEFA BCDEFM【解析】解：如右图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=， CD AB ⊥于点D ，AE EB =．设3AD x =，4BD x =，12CD =．易证Rt ADC Rt CDB ∆∆∽，得DC BDAD DC=，得2DC AD DB =•，所以21234x x =•解得x =7AB x ==，而12CE AB =，所以CE = 【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法，同时考查了直角三角形斜边上的中线等相关知识．【例8】 如图，直角梯形ABCD 中，90BCD ∠=︒，AD // BC ，BC CD =，E 为梯形内 一点，且90BEC ∠=︒．将BEC ∆绕点C 旋转90°使BC 与DC 重合，得到DCF ∆，连接 EF 交CD 于点M ．已知5BC =，3CF =，求:DM MC 的值．【答案】43．【解析】解：由旋转的性质得：BEC DFC ∆≅∆， 且90BCD ECF ∠=∠=．903BEC ECF EC FC ∴∠=∠===，，5BC CD ==．∴180ECF DFC ∠+∠=， ∴//EC DF ．∴DM DFMC EC =．在Rt DCF ∆中，4DF =．∴43DM MC =． 【总结】本题考查了旋转的性质，三角形一边的平行线等相关知识．【例9】 如图，在ABC ∆中，CD AB ⊥于D ，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ，求证：CEF ∆∽CBA ∆．【答案】略． 【解析】证明：CD AB ⊥，DE AC ⊥，∴90ADC CED ∠=∠=．又DCE DCA ∠=∠， ∴DCE ACD ∆∆∽． ∴DC CF AC DC=，即2DC CA CE =•．同理，可得：2DC CF CB =•．A BCD EF∴CA CE CF CB •=•， 即CF CEAC CB=．又FCE BCA ∠=∠， ∴CEF CBA ∆∆∽．【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、相似三角形的性质等知识．【例10】 在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，E 是AC 边上的一个动点（不与A 、C 重合），CF BE ⊥于点F ，连接DF ． （1）求证：2CB BF BE =； （2）求证：BF AE FD BA =．【答案】略． 【解析】证明：（1）90ACB ∠=，CF BE ⊥，∴90ACB CFB ∠=∠=．又CBF CBE ∠=∠，∴CBF EBC ∆∆∽． ∴CB BEBF CB=，∴2CB BF BE =•．（2）90ACB ∠=，CD BA ⊥，∴90ACB CDB ∠=∠=．又CBD CBA ∠=∠，∴CBD ABC ∆∆∽． ∴CB ABBD CB=，即2CB BD BA =•． ∴BF BE BD BA •=•， ∴FB BD BA BE=又ABE FBD ∠=∠，∴FBD ABE ∆∆∽． ∴FB FDBA AE=．∴BF AE FD BA •=•．【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、相似三角形的性质等知识．步同级年九8 / 22【例11】 求证：如果一个三角形的两边和第三边的中线与另一个三角形的对应线段成比例，那么这两个三角形相似．【答案】略．【解析】已知：如图，AD 、11A D 分别是ABC ∆、111A B C ∆边BC 、11B C 上的中线，且111111AC AB ADAC A B A D ==．求证：ABC ∆∽111A B C ∆． 证明：分别延长AD 、11A D 到点1E E 、． 使得1111DE ADD E A D ==，． ∴111122AE AD A E A D ==，．AD 、11A D 分别是ABC ∆、111A BC ∆边BC 、11B C 上的中线，∴1111BD DC B D D C ==，．111111ADB ADC A D B A D C ∠=∠∠=∠， ， ∴ADB EDC ∆≅∆，111111A D BE D C ∆≅∆ ∴1111BAD E B A D E ∠=∠∠=∠，．111111AC AB AD AC A B A D ==，∴111111AC AB AEAC A B A E ==． ∴111AEC A E C ∆∆∽，∴1111E E CAD C A D ∠=∠∠=∠，∴111BAD B A D ∠=∠ ，∴111BAC B AC ∠=∠．又1111AB ACA B AC =， ∴111ABC A B C ∆∆∽． 【总结】本题考查了三角形相似的判定方法，并且考查学生通过倍长中线来转化边角的方法．ABCD EF【例12】 如图，在Rt BDC ∆中，点E 在CD 上，DF BC ⊥于F ，DG BE ⊥于G ．求证：FG BC CE BG =．【答案】略．【解析】证明：联结GF ．90BDC ∠=，DF BC ⊥， ∴90BDC DFB ∠=∠=．又CBD FBD ∠=∠， ∴DBF CBD ∆∆∽． ∴DB BF BC DB=， ∴2DB BF BC =•．90EDB ∠=，GD BE ⊥， ∴90DGB EDB ∠=∠=．又EBD GBD ∠=∠， ∴GBD DBE ∆∆∽． ∴DB EBBG DB=， ∴2DB BG BE =•． ∴BF BC BG BE •=•， 即FB BGBE BC=．又GBF EBC ∠=∠， ∴GBF CBE ∆∆∽．∴GB FG BC CE=， ∴FG BC CE BG •=•． 【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、相似三角形的性质等知识，综合性较强，需要通过多次相似证的结论成立．【例13】 如图，90CAB ∠=︒，AD CB ⊥，ACE ∆、ABF ∆是正三角形．求证：DE DF ⊥．【答案】略． 【解析】证明：ACE ∆、ABF ∆是正三角形，∴AC CE AB AF ==，，6060FAB ACE ∠=∠=，．AD BC ⊥， ∴90BDA ADC ∠=∠=． ∴90CAD ACD ∠+∠=．90BAC ∠=， ∴90BAD DAC ∠+∠=． BAD DCA ∴∠=∠．∴DBA DAC ∆∆∽． ∴CD AC AD AB =． ∴CD ECAD AF=．FAB BAD DCA ACE ∠+∠=∠+∠， ∴FAD DCE ∠=∠．∴FAD ECD ∆∆∽． ∴ADF EDC ∠=∠．90ADE EDC ∠+∠=， ∴90ADF EDA ∠+∠=． ∴DE DF ⊥．BCD EFG步同级年九10 / 22AB CD EFGH1 23【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、等边三角形的性质等知识．1、相似三角形判定定理1：两角对应相等，两个三角形相似．2、相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．3、相似三角形判定定理3：三边对应成比例，两个三角形相似．4、直角三角形相似的判定定理：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．【例14】 在ABC ∆中，12AB =，15AC =，D 为AB 上一点，3ABBD=，在AC 上取一点E ，得到ADE ∆，若ADE ∆与ABC ∆相似，则AE =．【答案】10或325．【解析】若ADE ∆与ABC ∆相似，则分两种情况：ABC ADE ∆∆∽或ABC AED ∆∆∽，得AD AE AB AC =或AD AEAC AB =，即可得解． 【总结】灵活运用相似三角形的性质定理是解本题的重点，注意分类讨论．【例15】 如图，四边形ABDC 、CDFE 、EFGH 是三个正方形，则123∠+∠+∠的值为多少？【答案】90．【解析】解：设正方形ABDC 、CDFE 、 EFHG 的边长为1．则2AD =，5AF =，1DF =，2HD =，10AH =． ∴2AD DH AHDF AD AF===， ∴ADH FDA ∆∆∽． ∴3DAF ∠=∠． 四边形ABDC 是正方形， ∴AB BD =． ∴145∠=．又21DAF ∠+∠=∠， ∴231∠+∠=∠． ∴12390∠+∠+∠=．【总结】灵活运用相似三角形的判定定理来转化角度是解本题的关键．模块三：相似三角形的判定综合知识精讲例题解析ABCDEAB CDEN M【例16】 如图，正方形ABCD 的边长为2，AE EB =，1MN =，线段MN 的两端在CB 、CD 上滑动，当CM 为何值时，AED ∆与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似．【答案】当CM 525时，ADE ∆与以 M 、N 、C 为顶点的三角形相似． 【解析】解：四边形ABDC 是正方形， ∴2AB AD ==． 又AE EB =， ∴1AE =．在Rt CMN ∆中，222MN CM CN =+． ① 当5CM = 时，25CN ，∴5AE AD CM CN = ∴ADE CNM ∆∆∽；② 当25CM =时，5CN =，∴5AE AD CN CM = ∴ADE CMN ∆∆∽． 【总结】本题考查了相似三角形的判定及正方形的性质相关知识点．【例17】如图，AB AC =，2AC AD AE =，求证：BC 平分DBE ∠．【答案】略． 【解析】证明：AB AC =，2AC AD AE =•，∴2AB ADAE =•， 即AB AEAD AB=．又A A ∠=∠， ∴ABD AEB ∆∆∽．∴ABD E ∠=∠． 又AB AC =， ∴ABD DBC ACB ∠+∠=∠．又CBE E ACB ∠+∠=∠， ∴CBD CBE ∠=∠．即BC 平分DBE ∠．【总结】本题考查了相似三角形的判定及三角形外角的性质．【例18】如图，在ABC ∆中，M 在AB 上，且8MB =，12AB =，16AC =，在AC 上步同级年九12 / 22AD求作一点N ，使AMN ∆与原三角形相似，并求AN 的长．【答案】3AN =或163．【解析】解：如右图，要使AMN ∆与原三角形相似，有两种情况：128AB BM ==，，∴4AM =．① 当//MN BC 时，AMN ABC ∆∆∽． ∴AM AN AB AC =，即41216AN =，∴163AN =． ② 当MN 与BC 不平行时，ANM ABC ∆∆∽． ∴AM AN AC AB =，即41612AN=，∴3AN =．∴3AN =或163． 【总结】灵活运用相似三角形的性质定理是解本题的重点．【例19】如图，EM AM ⊥，CE DE =．求证：2ED DM AD CD =．【答案】略．【解析】证明：过点E 作EH CD ⊥于点H ，得90EHD ∠=．EC ED =，EHCD ⊥，∴12DH CD =．EM AM ⊥，∴90M ∠=． ∴EHD M ∠=∠． 又EDH MDA ∠=∠， ∴EHD AMD ∆∆∽． ∴DM AD DH ED=， 即DM ED DA HD •=•．∴12DM ED DA CD •=•，即2ED DM DA CD •=•．【总结】本题考查了相似三角形的判定及等腰三角形的性质等相关知识．【例20】如图，在ABC ∆和DEF ∆中，90A D ∠=∠=︒，3AB DE ==，24AC DF ==．（1）判断这两个三角形是否相似，并说明为什么；（2）能否分别过点A 、D 在这两个三角形中各作一条辅助线，使ABC ∆分割成的两个AB CDEF 三角形与DEF ∆分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．【答案】（1）不相似，一组角相等，但夹它的两边不对应成比例，故不相似；（2）能，理由略．【解析】（2）题分割如下：作BAM E ∠=∠交BC 于点M ，作EDN B ∠=∠交EF 于点N ，可证明BAM DEN ∆∆∽，再证明另一对也相似即可．【总结】本题考查了相似三角形的判定知识．【例21】 如图，在ABC ∆中，3AB AC ==，2BC =，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC边上，BEF ∆沿着直线EF 翻折后与DEF ∆重合，设CD x =，BF y =．试问DFC ∆是否有可能与ABC ∆相似，如有可能，求出CD 的长；如不可能，说明理由．【答案】DFC ∆有可能与ABC ∆相似，此时65CD =或23．【解析】解：翻折后，BF DF =．当DFC ABC ∆∆∽时，DFC C B ∠=∠=∠． BF DF CD x ∴===，2CF x =-． CD CF CA CB ∴=，即232x x -=． 65x ∴=； 当DFC ACB ∆∆∽时，FDC C B ∠=∠=∠，1BF DF CF ∴===．CD CF CB CA ∴=，即213x =． 23x ∴=． ∴65CD =或23．【总结】本题考查了相似三角形的判定、翻折变换（折叠问题）等的相关知识． 【例22】 如图，ABC ∆是等边三角形，D 是AC 上的一点，BD 的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于F ．（1）当点D 在边AC 上移动时，DEF ∆中哪一个角的大小始终保持不变？并求出它的度数；（2）当点D 在边AC 上移动时，ADE ∆与哪一个三角形始终相似？并写出证明过程．又AB CDEF 问：当点D移动到什么位置时，这两个三角形的相似比为1？（3）若等边三角形ABC的边长为6，2AD=，试求:BE BF的值．【答案】（1）EDF∠始终不变，且等于60；（2）ADE CFD∆∆∽．证明略；当点D移动到AC中点处时，这两个三角形的相似比为1；（3）45BEBF=．【解析】（1）翻折前后对应角相等；（2）相似比为1，说明ADE CFD∆≅∆，得DE DF=．又DB EF⊥，所以DB垂直平分EF，得BD平分ABC∠，则ABC∆是等边三角形，进而得出结论；（3）45AEDCFDCBE DEBF DF C∆∆===．【总结】本题考查了相似三角形的判定、翻折变换（折叠问题）、相似三角形的性质等的相关知识．ABC DEF ABCDE【习题1】 在ABC ∆中，点G 为重心，若BC 边上的高为6，求点G 到BC 的距离． 【答案】2．【解析】解：如图，联结AG 并延长交BC 于点D ，分别作GE BC ⊥、 AF BC ⊥于点E 、F ．由题知，6AF =．点G 为重心， ∴13DG DA =． 又//GE AF ， ∴GE DGAF DA=． ∴2GE =． 【总结】本题考查了重心的知识，构造相似形来解答问题．【习题2】 如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，E 为AC 上一点，CF BE ⊥ 于F ，联结DF ．求证：BD DFBE AE=． 【答案】略． 【解析】证明：90ACB ∠=，CF BE ⊥， ∴90ACB CFB ∠=∠=．又CBF CBE ∠=∠， ∴CBF EBC ∆∆∽． ∴CB BE BF CB=，即2CB BF BE =•． 同理，得：2CB BD BA =•． ∴BF BE BD BA •=•， ∴FB BDBA BE=． 又ABE FBD ∠=∠， ∴FBD ABE ∆∆∽． ∴BD FDBE AE=． 【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、相似三角形的性质等知识．【习题3】 已知梯形ABCD 中，AB // CD ，90B ∠=︒，3AB =，6CD =，12BC =，点E在BC 边上自B 点向C 点移动，求使得ABE ∆与ECD ∆相似的BE 的值．【答案】4或632±．【解析】解：由题知：90B C ∠=∠=． ABE ∆与ECD ∆相似，分两种情况：设BE x =．（1）ABE DCE ∆∆∽，得：AB BEDC CE=， 即3612x x=-，解得4x =；（2）ABE ECD ∆∆∽，得：AB BEEC DC=， 随堂检测ABC DEOAB CPQ 即3126xx=-，得212180x x-+=，解得6x=±综上：BE=4或6±【总结】本题考查了相似三角形的性质，着重考查学生分类讨论思想的应用．【习题4】如图，梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD相交于点O，过点B作BE//CD交CA的延长线于点E，求证：2OC OA OE=．【答案】略．【解析】//AD CB，∴CO BOOA OD=．//BE CD，∴CO DOOE OB=．∴CO OAOE OC=，∴2OC OA OE=•．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理的应用．【习题5】如图，在ABC∆中，90C∠=︒，8BC cm=，6AC cm=，点P从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动到C点，点Q从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动到A点．若点P、Q分别同时从B、C出发，经过多少时间CPQ∆与CBA∆相似？【答案】125t=或3211时，CPQ∆与CBA∆相似．【解析】设经过t秒CPQ∆与CBA∆相似，则2BP t=，CQ t=，∴82CP t=-．要使CPQ∆与CBA∆相似，有两种情况：①当CPQ CBA∆∆∽，∴CP CQCB CA=，即8286t t-=，∴125t=；ABCDEO②当CPQ CAB ∆∆∽，∴CP CQCA CB=， 即8268t t -=。

学而思初中数学课程规划初中数学的学习不同于小学小学是课内知识过于简单，课外的奥数较难，而且整个社会没有统一的教材，基本上都是各自研发，比如学而思的十二级体系。

而初中最终目标是中考，有明确的方向性，同时有统一规划的课本，知识体系非常完整。

因此整个初中的学习更适合在一个合理而科学的体系下学习，唯一不同就在于不同的孩子可以选择不同的进度和难度。

初中班型设置介绍初一年级：基础班，提高班，尖子班，竞赛班，联赛班初二年级：基础班，提高班，尖子班，竞赛班，联赛班初三年级：基础班，提高班，尖子班，目标班联赛班走联赛体系，一年半学完初中数学知识；竞赛班走竞赛体系，两年学完初中数学知识；基础班，提高班，尖子班走领先中考培优体系，两年半学完初中数学知识。

到初三不再设竞赛班和联赛班，统一回归到目标班，冲击中考。

下面就各个班型的定位和适合什么样的学生做一个对比说明：2015年学而思初中教学体系体系联赛体系竞赛体系领先中考培优体系班型定位数学超常发展冲击竞赛一等奖中考满分兼顾竞赛同步提高冲击中考满分学制设计一年半学完初中内容两年学完初中内容两年半学完初中内容课程容量每节课的课程容量与难度比竞赛班大1.2-1.5倍每节课的容量与难度比尖子班大1.5-1.8倍每节课的容量是校内课程的3-5倍难度比校内课程高1.5-2倍适合学生课内知识掌握非常扎实，发展方向为冲击初中数学联赛，希望在数学方面有独特发展，例如未来参加IMO或CMO比赛，高中数学联赛冲击一等奖。

课内知识学习轻松，在保证中考路径的同时兼顾拔高与竞赛。

未来目标为冲击中考满分，同时参加一些数学竞赛，激发兴趣，锻炼思维。

从课内知识上夯实基础、同步提高，同时拓宽视野，系统化学习，目标冲击中考满分入学体系10次课学完初一----预备班选拔考试----联赛竞赛预备班----参加入学选拔考试----通过后选择联赛体系---开始学习10次课学完初一----预备班选拔考试----联赛竞赛预备班----参加入学选拔考试----通过后选择竞赛体系---开始学习10次课学完初一----入学测试题----领先中考培优体系---开始学习班次安排联赛1班、联赛2班竞赛班基础班、提高班、尖子班，初三加开目标班学而思的初中数学有一套非常成熟的教学体系，既能满足我们的终极目标——中考，同时还能兼顾一些希望走竞赛路线的孩子。

初三数学暑期辅导5 相似三角形初三数学暑期辅导5相似三角形初中暑期数学辅导（五）一、知识概要1、比例的性质：交流电？，然后ad=BC；bdaca？卑诗省？DAC（2）开闭比定理：如果？，然后BDB？公元卡西亚？CE（3）等距定理：如果？？？？，然后（b？d？f？？？0）。

bdfb?d?f??b2、相似三角形的判定：（1）有两个角对应于相等的三角形；(2)两边对应成比例且夹角相等的三角形相似.(3)三组边对应成比例的三角形相似。

3、一些基本图形：（1）比例的基本性质：如果二、问题解决1.将三个全等的正方形组合成一个矩形，并求出∠ DAE+∠ DAF+∠ 达格hgfea2.如图所示，在梯形ABCD中，ad‖BC、AC和BD在点O处相交，be‖CD的延长线在点E处与Ca相交。

验证：oc2=OA？oe。

bcd3.如图所示，在等边三角形ABC中，P是BC上方的点，D是AC上方的点，以及∠ APD=600，BP=1，CD=2/3，计算△ 基础知识ad23b1pc一4、如果一个矩形有一边在三角形的边上，另外两个顶点分别在三角形的其他两边上，则称该矩形为三角形的内接矩形，如图所示.请思考：如何做出三角形的内接正方形？阿德亚abbd5、证明角平分线定理：ad是∠bac的内角平分线，则.?acdcabgfcbc12bdc6、如图，梯形abcd中，ab∥cd,对角线相交于点o，过o作ab的平行线交两腰于m、n，112验证：？？abcdmnamobndc三、课后练习1.如果一个正方形oefg和一个正方形ABCD是同态的，点F的坐标是（1,1），点C的坐标是（4,2），那么两个正方形的同态中心的坐标是2、点m是△abc内一点，过点m分别作直线平行于△abc的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△abc的面积是．二3、如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为s1，s2，则s1+s2的值为（）a、 16b.17c.18d.194、如图，d是△abc的边bc上一点，已知ab=4，ad=2．∠dac=∠b，若△abd的面积为a，则△acd的面积为（）a、 ab．c。

九年级数学知识精讲数学相似形和解直角三角形首师大知识精讲【同步教育信息】一. 本周教学内容：相似形和解直角三角形（一）比例线段1. 有关概念：线段的比，成比例线段，比例外项，比例内项，第四比例项，比例中项。

2. 比例的基本性质3. 合比性质4. 等比性质5. 平行线分线段成比例定理及推论6. 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

7. 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

（二）相似三角形1. 三角形相似的判定2. 相似三角形的性质3. 相似多边形（三）锐角三角函数1. 锐角三角函数的定义2. 锐角三角函数值3. 互为余角的三角函数间的关系（四）解直角三角形1. 直角三角形的解法：解直角三角形有四种基本类型，解法如下表：2. 直角三角形的面积：二. 重点、难点：1. 重点是相似三角形判定及性质的应用，解直角三角形。

2. 难点是加辅助线的证明题及构造直角三角形解题。

【典型例题】例1.解：小结：此题设参数k比较简单。

例2. 已知：如图，△ABC中，D是BC中点，E是AD上一点，CE的延长线交AB于F。

证法一：取FB中点G，连结GD∵D是BC中点，∴GD是△BCF的中位线∴GD∥FC证法二：取FC中点P，连结DP∵D是BC中点，∴DP∥AB例3. 已知：如图△ABC中，D是AC上一点，延长CB到E，使EB＝AD，ED交AB 于F。

求证：AC·DF＝EF·BC分析：求证的四条线段所处位置不能构成相似形，可以适当添加辅助线，利用等线段代换或等比代换解决问题。

证明：过D作DM∥EC交AB于M即AC·DF＝EF·BC例4. 已知：如图ABCD是正方形，E是AB延长线上一点，DE交BC于F，FG∥BE交CE于G。

求证：FB＝FG分析：图中的平行线比较多，这就给得出相似形创造了条件，利用在比例中，如果两个比的前项相等，则后项也相等，反之也成立。

`中考说明：函数图象上因动点产生的特殊三角形（包括等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形）. 解决此类问题可分三步：找点—求点—定点.找点可利用尺规作图；求点需利用等量关系或联立解析式；定点指依题意确定符合要求的点坐标.【例1】 如图，抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B 在点A 的左侧），抛物线223y x x =--+的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使CMP △为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】 由等腰三角形两腰相等，线段MC 可分别充当“腰”与“底”的角色，分别以M 、C 为圆心，以MC 的长为半径画圆与对称轴的交点，以及线段MC 的垂直平分线与对称轴的交点为P 点.【解析】 存在符合条件的P 点由()03C ，，()10M -，， ∴10CM = ①当CM CP =时，()116P -，②当MC MP =时，典题精练5第二轮复习之函数图像上点的存在性问题中的特殊三角形与特殊四边形题型一：存在问题中的三角形D OMCBA P 3P 2P 1xy(2110P -，，()4110P -， ③当PC PM =时，连接3CP ，过C 作对称轴的垂线， 由勾股定理可得3513P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．综上所述，符合条件的点P 的坐标为()116P -，，(2110P -，，3513P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，(4110P -，.【例2】 如图，抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B 在点A 的左侧），在抛物线223y x x =--+上是否存在一点Q ，使得△BCQ 为直角三角形？若存在，请用尺规作出所有符合条件的点Q ，并求出以BC 为直角边时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】 由直角三角形一个角为直角，BC 可充当直角边和斜边的角色，当BC 为直角边，分别过B 、C 两点作线段BC 的垂线，与抛物线的交点即为Q 点；当BC 为斜边，以BC 为直径所画的圆与抛物线的交点即为Q 点.【解析】 存在符合条件的Q 点，所有符合条件的点Q 如图所示：由()14D -，，()03C ，可知，DC CB ⊥， ∴1Q 坐标为()14-，由()30B -，，()03C ，易得， 2BQ 的解析式为3y x =--，联立可得 2233y x x y x ⎧=--+⎨=--⎩解得25x y =⎧⎨=-⎩或30x y =-⎧⎨=⎩（舍） 可得2Q 坐标为()25-，．综上所述，以BC 为直角边时点Q 的坐标为1Q ()14-，，2Q ()25-，.【例3】 如图，抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B 在点A 的左侧），设J 为y 轴正半轴上的一个动点，请在抛物线223y x x =--+上求一点K ，使得OKJ △为等腰直角三角形.【分析】 线段OJ 可以充当“斜边”和“直角边”的角色．当OJ 为直角边时，又存在两种情况：90KJO ∠=︒或90KOJ ∠=︒．因此，共有6种情况．【解析】 ⑴当OJ 为直角边时，90KJO ∠=︒或90KOJ ∠=︒．若90KOJ ∠=︒，则K 与A 或B 重合， ∴()130K -，，()210K ，． 若90KJO ∠=︒，则45KOJ ∠=︒，分别作COB ∠与COA ∠的角平分线交抛物线于两点，即为34K K ，，直线3OK 与直线4OK 解析式分别为y x =-、y x =，Q 4Q 3Q 2D (Q 1)yBO AC xK 4K 3J 4J 3J 2J 1y B (K 1)A (K 2)C O x分别与抛物线解析式联立，可得3K 坐标为11311322⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭，，4K 坐标为32132122⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭，． ⑵当OJ 为斜边时，45KOJ ∠=︒，K 点坐标同上34K K ，． 综上所述，所求的点K 坐标为()130K -，，()210K ，，3K 11311322⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭，，4K 32132122⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭，.中考说明：函数图象上因动点产生的特殊四边形（包括平行四边形、梯形）问题.解决此类问题可分三步：找点—求点—定点.找点可利用尺规作图；求点需利用等量关系或联立解析式；定点指依题意确定符合要求的点坐标.【例4】 已知抛物线：x x y 22121+-= ⑴ 求抛物线1y 的顶点坐标.⑵ 将抛物线1y 向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线2y ，求抛物线2y 的解析式.⑶ 如下图，抛物线2y 的顶点为P ，x 轴上有一动点M ，在1y 、2y 这两条抛物线上是 否存在点N ，使O （原点）、P 、M 、N 四点构成以OP 为一边的平行四边形，若存 在，求出N典题精练题型二：存在问题中的四边形xyy 12345678954321-1-2-3-41y 2-1（2013南平）【解析】（1）依题意 0,2,21==-=c b a ∴2)21(222=-⨯-=-ab ，2)21(4204422=-⨯-=-ab ac ∴顶点坐标是（2，2） （2）根据题意可知y 2解析式中的二次项系数为21- 且y 2的顶点坐标是（4，3）∴y 2＝－3)4(212+-x ，即：y 2＝54212-+-x x（3）符合条件的N 点存在如图：若四边形OPMN 为符合条件的平行四边形，则OP ∥MN ，且MN OP = ∴BMN POA ∠=∠，作x PA ⊥轴于点A ，x NB ⊥轴于点B ∴090=∠=∠MBN PAO ，则有NMB POA ∆≅∆（AAS ） ∴BN PA = ∵点P 的坐标为（4,3）∴3==PA NB ……10分 ∵点N 在抛物线1y 、2y 上，且P 点为1y 、2y 的最高点 ∴符合条件的N 点只能在x 轴下方①点N 在抛物线1y 上，则有：32212-=+-x x xyy 12345678954321-1-2-3-41y 2-1解得：102-=x 或102+=x ②点N 在抛物线2y 上，则有：33)4(212-=+--x 解得：324-=x 或324+=x ∴符合条件的N 点有四个：)3,324();3,102();3,324();3,102(4321-+-+----N N N N【例5】 如图，抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B 在点A 的左侧），抛物线223y x x =--+的对称轴与x 轴交于点M ，设R 为抛物线223y x x =--+上一个动点，则以点M 、R 、B 、C 为顶点的四边形能否是梯形？若能，请求出所有符合条件的点R 的坐标；若不能，请说明理由.【分析】 由梯形为一组对边平行，另一组对边不平行.可分别过B 、C 、M 作对边的平行线与抛物线相交，当过B 、C 两点作平行线时，所形成的四边形恰为平行四边形，需舍去．【解析】 存在这样的R 点使得以点M 、R 、B 、C 为顶点的四边形是梯形．当过B 、C 两点作平行线时，所形成的四边形恰为平行四边形，需舍去.当过M 作BC 的平行线，与抛物线的交点即为R ，此时BC RM ≠， 四边形2BCR M 与1BCMR 均为梯形，如图.由MR 的解析式为1yx =+，与223y x x =--+联立， 可得1317117R ⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭，，2317117R ⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭，．【例6】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(3,1)A 关于x 轴的对称点为C ，AC 与x 轴交于点B ，将△OCB 沿OC 翻折后，点B 落在点D 处． ⑴求点C 、D 的坐标；⑵求经过O 、D 、B 三点的抛物线的解析式； ⑶若抛物线的对称轴与OC 交于点E ，点P 为线段OC 上一点，过点P 作y 轴的平行线， 交抛物线于点Q ．①当四边形EDQP 为等腰梯形时，求出点P 的坐标；②当四边形EDQP 为平行四边形时，直接写出点P 的坐标．（昌平一模）OyxA3478OyxM Q 1CD NB P 121P 2Q 2E6A【解析】 ⑴ 如图所示，∵点(3,1)A 关于x∴AC ⊥x 轴于B ，(30)B ，(31)C -．MD xyO C BAR 2R 1∴1,3BC AB OB === ∴2,130,360OC =∠=︒∠=︒，由题意可知 2130∠=∠=︒， 3OD OB =过点D 作DM x ⊥轴于M ，DN y ⊥轴于N ，∴30NOD ∠=︒． 在Rt OND △中，132DN OD ==，332ON DN =．由矩形ONDM 得3OM DN =．∵点D 在第四象限，∴332)D -．⑵ 设经过O 、D 、B 三点的抛物线的解析式为2y ax bx =+． 依题意得 33342330a a b ⎧+=-⎪⎨⎪+=⎩解得 223a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩∴此抛物线的解析式为2223y x x =-． ⑶ ∵22332232()2y x x x =-=-， ∴点D 为抛物线的顶点．∴直线DM 为抛物线的对称轴，交OC 于E ， 由题意可知 4360∠=∠=︒，90ODC ∠=︒， ∴60OEM ∠=︒， ∴660∠=︒， ∴760∠=︒，∴EDC △是等边三角形，830∠=︒． ∴112CE DE OE OC ====．①当点1P 在EC 上时，四边形11EDQ P 为等腰梯形． ∵11DM y PQ ∥∥，1EP 与1DQ 不平行， ∴四边形11EDQ P 为梯形．要使梯形11EDQ P 为等腰梯形，只需满足1660EDQ ∠=∠=︒． ∵760∠=︒， ∴点1Q 在DC 上．由(31)C -、33,2()D -求得直线CD 的解析式为32y -． 又∵点1Q 在抛物线上，∴232232x x -=-．解得12233,3x x ==D 重合，舍）．∴1P 233． 由(0,0)O 、(31)C -求得直线OC 的解析式为3y x =． ∵点1P 在OC 上，∴32323y ==- ，∴1232()3P -． ②当点2P 在OE 上时，四边形22EDQ P 为平行四边形，点2P 在点2Q 的上方，且22P Q ED =，22P Q ED ∥()232231x x --=解得13x =，23x =（与点D 重合，舍） 此时2P 点坐标为231()3P -．综上所述，当1232(,)3P -时，11EDQ P 为等腰梯形； 当231(,)3P -时，22EDQ P 为平行四边形．训练1. 如图，抛物线2y x bx c =++的顶点为(14)D --，，与y 轴相交点(03)C -，，与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左边）． ⑴求抛物线的解析式；⑵连接AC ，CD ，AD ，试证明ACD △为直角三角形；⑶若点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F ，使以A B E F ，，，四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．（广东湛江）【解析】 ⑴ 24(1)3b c c ⎧-=--+⎨=-⎩解得23b c =⎧⎨=-⎩，所以抛物线的解析式为223y x x =+-； ⑵ 因为223y x x =+-，可得(30)A -，，所以有222222222(03)(3)18(13)(4)20(01)(34)2AC AD DC =-+-==-++-==++-+= 所以222AD DC AC =+，所以ACD △为直角三角形； ⑶ 可知4AB =，下面需要分类讨论： 情况一：线段AB 为所求四边形的对角线， 因为平行四边形的对角线互相平分，点E 在对称轴上，点F 在抛物线上，且点A 、B 关于对称轴对称， 故EF 要平分线段AB ，故点F 为顶点()14--，满足条件. 情况二：线段AB 为所求四边形的边，则AB EF ∥且AB EF =假设存在这样的点F ，设2000(23)F x x x +-，，所以200(123)E x x -+-，， 要使以A B E F ，，，四点为顶点的四边形为平行四边形， 只需要4AB EF ==，即0|1|4x +=，所以03x =或05x =-，因此点F 的坐标为(312)，或(512)-，. 综上所述，符合条件的点F 为：()14--，，(312)，，(512)-，.思维拓展训练(选讲)yxO DC BA训练2. 已知：抛物线2(1)22y k x kx k =-++-与x 轴有两个不同的交点．⑴求k 的取值范围；⑵当k 为整数，且关于x 的方程31x kx =-的解是负数时，求抛物线的解析式；⑶在⑵的条件下，若在抛物线和x 轴所围成的封闭图形内画出一个最大的正方形，使得正方形的一边在x 轴上，其对边的两个端点在抛物线上，试求出这个最大正方形的边长．（顺义一模）-6-4-22-448642-2O yxx=2D CB AOyx【解析】 8k -， 依题意，得10k ⎨-≠⎩∴k 的取值范围是23k >且1k ≠． ①⑵ 解方程31x kx =-，得13x k-=-．∵方程31x kx =-的解是负数，∴30k ->． ∴3k <． ② 综合①②，及k 为整数，可得2k =． ∴抛物线解析式为24y x x =+．⑶ 如图，设最大正方形ABCD 的边长为m ，则B 、C 两点的纵坐标为m -，且由对称性可知：B 、C 两点关于抛物线对称轴对称． ∵抛物线的对称轴为：2x =-．∴点C 的坐标为(2,)2mm -+-．∵C 点在抛物线上，∴2(2)4(2)22m mm -++-+=-．整理，得24160m m +-=．∴4452252m -±==-± 1225m =-+，2225m =--（舍）∴252m =-．题型一 存在问题中的三角形 巩固练习【练习1】 在如图的直角坐标系中，已知点()10A ，，()02B -，，将线段AB 绕点A 按逆时针方 向旋转90︒至AC ．⑴求点C 的坐标；⑵若抛物线2122y x ax =-++经过点C ．①求抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在点P （点C 除外），使ABP △是以AB 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（重庆綦江）CBAOyxP 3P 2P 1DHLF ExyOABC【解析】 ⑴ 过点C 作CD x ⊥轴，垂足为D ，在ACD △和BAO △中，由已知有90CAD BAO ∠+∠=︒，, 而90ABO BAO ∠+∠=︒，∴CAD ABO ∠=∠， 又∵90CDA AOB ∠=∠=︒，且由已知有CA AB =， ∴ACD BAO △≌△，∴1CD OA ==，2AD BO ==， ∴点C 的坐标为()31-，⑵ ①∵抛物线2122y x ax =-++经过点()31C -，，∴2113322a -=-⨯++，解得12a =∴抛物线的解析式为211222y x x =-++.复习巩固② i) 当A 为直角顶点时 ，延长CA 至点1P ，使1AP AC AB ==, 则1ABP △是以AB 为直角边的等腰直角三角形,如果点1P 在抛物线上,则1P 满足条件，过点1P 作1PE x ⊥轴, ∵1AP AC =，1EAP DAC ∠=∠，190PEA CDA ∠=∠=︒ ∴1EP A DCA △≌△，∴2AE AD ==，11EP CD ==, ∴可求得1P 的坐标为()11-，， 经检验1P 点在抛物线上，因此存在点1P 满足条件； ii ）当B 点为直角顶点时，过点B 作直线L BA ⊥，在直线L 上分别取23BP BP AB ==， 得到以AB 为直角边的等腰直角2ABP △和等腰直角3ABP △， 作2P F y ⊥轴于点F ，同理可证2BP F ABO △≌△ ∴22P F BO ==，1BF OA ==，可得点2P 的坐标为()21--，，经检验2P 点在抛物线上, 因此存在点2P 满足条件． 同理可得点3P 的坐标为()23-，， 经检验3P 点不在抛物线上．综上：抛物线上存在点()111P -，，()221P --，两点，使得1ABP △和2ABP △是以AB为直角边的等腰直角三角形．题型二 存在问题中的四边形 巩固练习【练习2】 如图，已知抛物线23y x bx a =+-过点()10A ，，()03B -，，与x 轴交于另一点C ． ⑴求抛物线的解析式；⑵若在第三象限的抛物线上存在点P ，使PBC △为以点B 为直角顶点的直角三角形，求点P 的坐标；⑶在⑵的条件下，在抛物线上是否存在一点Q ，使以P ，Q ，B ，C 为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（山东烟台）yQOPB ACxOPEBADCyx【解析】 ⑴ ()()13033b a a +-=⎧⎨-=-⎩解得12a b =⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为223y x x =+- ⑵ 令0y =，得2230x x +-= 解得13x =-，21x = ∴点()30C -， ∵()03B -，∴BOC △为等腰直角三角形． ∴45CBO =︒∠过点P 作PD ⊥y 轴，垂足为D ． ∵PB BC ⊥，∴45PBD =︒∠，PD BD = 所以可设点()3P x x -+，则有2323x x x -+=+-，∴11x =-，20x =（舍） 所以P 点坐标为()14--，． ⑶ 由⑵知，BC BP ⊥当BP 为直角梯形一底时，由图象可知点Q 不可能在抛物线上， 若BC 为直角梯形一底，BP 为直角梯形腰时， ∵()30B -，，()30C -， ∴直线BC 的解析式为3y x =-- ∵直线PQ BC ∥，且()14P --，∴直线PQ 的解析式为5y x =--联立方程组得2523y x y x x =--⎧⎨=+-⎩得2523x x x --=+- 解得11x =-（舍），22x =- ∴2x =-，3y =-，即点()23Q --，∴符合条件的点Q 的坐标为()23--，．第十八种品格：坚持愚公移山太行、王屋两座大山，四周各七百里，高七八百千丈。

第5讲相似三角形知识点1相似三角形的判定相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.相似三角形的判定：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成三角形与原三角形相似.（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似. （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似. （4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.直角三角形相似判定定理斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似.【典例】1.如图，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2，当AB的长为时，△ACB与△ADC 相似．【答案】4【解析】解：∵∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2，∴△ADC是等腰直角三角形，AC==2，∵△ACB与△ADC相似，∴△ACB是等腰直角三角形，BC=AC=2，∴AB==4，即当AB的长为4时，△ACB与△ADC相似；故答案为：4．2.如图，点P是⊙O的直径AB延长线上一点，且AB=4，点M为上一个动点（不与A，B重合），射线PM与⊙O交于点N（不与M重合）．（1）当M在什么位置时，△MAB的面积最大，并求出这个最大值；（2）求证：△PAN∽△PMB．【解析】解：（1）当点M在的中点处时，△MAB面积最大，此时OM⊥AB，∵OM=AB=×4=2，∴S△ABM=AB•OM=×4×2=4；（2）∵∠PMB=∠PAN，∠P=∠P，∴△PAN∽△PMB．3.如图，已知O 是△ABC 内一点，D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点．求证：△ABC∽△DEF．【解析】证明：∵D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点，∴DE= AB，EF= BC，DF= AC，即= = ，∴△ABC∽△DEF4.如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F．（1）求证：△PFA∽△ABE；（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．【解析】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠PAF=∠AEB．∵∠PFA=∠ABE=90°，∴△PFA∽△ABE．（2）若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB．∴PE∥AB．∴四边形ABEP为矩形．∴PA=EB=2，即x=2．若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB．∵∠PAF=∠AEB，∴∠PEF=∠PAF．∴PE=PA．∵PF⊥AE，∴点F为AE的中点．∵AE=，∴EF=AE=．∵，即，∴PE=5，即x=5．∴满足条件的x的值为2或5．【方法总结】（1）在有一组对应角相等的情况下，可以从两个方面选择突破口：①寻找另一组对应角相等：②寻找两个三角形中这个已知角的两边的比相等.（2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形都与原三角形相似（此知识常用，但是有时需要证明）（3）若两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，或斜边和一条直角边成比例，则这两个直角三角形相似.【随堂练习】1．（2018•襄州区模拟）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，DP=_______．【解答】解：①当△APD∽△PBC时，=，即=，解得：PD=1，或PD=4；②当△PAD∽△PBC时，=，即=，解得：DP=2.5．综上所述，DP的长度是1或4或2.5．故答案是：1或4或2.5．2．（2018•扬中市二模）如图，▱ABCD的对角线交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．（1）求证：△BDE是直角三角形；（2）如果OE⊥CD，试判断△BDE与△DCE是否相似，并说明理由．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，∵OE=OB，∴OE=OD，∴∠OBE=∠OEB，∠ODE=∠OED，∵∠OBE+∠OEB+∠ODE+∠OED=180°，∴∠BED=∠OEB+∠OED=90°，∴DE⊥BE，即△BDE是直角三角形；（2）解：△BDE与△DCE相似．∵OE⊥CD，∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，∴∠CEO=∠CDE，∵∠OBE=∠OEB，∴∠DBE=∠CDE，∵∠BED=∠DEC=90°，∴△BDE∽△DCE．知识点2 相似三角形的性质相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．【典例】1.如图所示，已知△AOB∽△DOC，OA=2，AD=9，OB=5，DC=12，∠A=58°，求AB、OC 的长和∠D的度数．【解析】解：∵OA=2，AD=9，∴OD=9﹣2=7，∵AB∥CD，∵△AOB∽△DOC，∴==，∵OA=2，OB=5，DC=12，∴==，解得OC=，AB=，∵△AOB∽△DOC，∴∠D=∠A=58°．2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求△DMN的面积．【答案】【解析】解（1）∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，∴△MND∽△CNB，∴=，∵M为AD中点，∴MD=AD=BC，即=，∴=，即BN=2DN，设OB=OD=x，则有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x﹣1，∴x+1=2（x﹣1），解得：x=3，∴BD=2x=6；（2）∵△MND∽△CNB，且相似比为1：2，∴MN：CN=1：2，∵△DCN的面积为2，∴△MND面积为1（高相同的两个三角形面积比等于底边长度比）【方法总结】1对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．2顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．3两个三角形形状一样，但大小不一定一样．4全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．5相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等【随堂练习】1．（2018•安徽）矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为____．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=90°，∴BD==10，当PD=DA=8时，BP=BD﹣PD=2，∵△PBE∽△DBC，∴=，即=，解得，PE=，当P′D=P′A时，点P′为BD的中点，∴P′E′=CD=3，故答案为：或3．2．（2018•六安模拟）如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB=3，BC=4，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S1，S2，S3，S4，以下判断：①PA+PB+PC+PD的最小值为10；②若△PAB≌△PCD，则△PAD≌△PBC；③若S1=S2，则S3=S4，④若△PAB∽△PDA，则PA=2其中正确的是______（把所有正确的结论的序号都填在横线上）【解答】解：①当点P是矩形ABCD两对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，根据勾股定理得，AC=BD=5，所以PA+PB+PC+PD的最小值为10，故①正确；②若△PAB≌△PCD，则PA=PC，PB=PD，所以P在线段AC、BD的垂直平分线上，即P是矩形ABCD两对角线的交点，所以△PAD≌△PBC，故②正确；③若S1=S2，易证S1+S3=S2+S4，则S3=S4，故③正确；④若△PAB～△PDA，则∠PAB=∠PDA，∠PAB+∠PAD=∠PDA+∠PAD=90°，∠APD=180°﹣（∠PDA+∠PAD）=90°，同理可得∠APB=90°，那么∠BPD=180°，B、P、D三点共线，P是直角△BAD斜边上的高，根据面积公式可得PA=2，故④错误．故答案为①②③．3．（2017秋•临清市期末）如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C 以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ 与△ABC相似？试说明理由．【解答】解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，则AP=2xcm，BQ=4xcm，∵AB=8cm，BC=16cm，∴BP=AB﹣AP=（8﹣2x）cm，∵∠B是公共角，∵①当，即时，△PBQ∽△ABC，解得：x=2；②当，即时，△QBP∽△ABC，解得：x=0.8，∴经2或0.8秒钟△PBQ与△ABC相似．知识点3相似三角形的综合应用【典例】1.如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小亮在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD 方向从D后退4米到G处，测得自己的影长GH=5，如果小亮的身高为1.7m，求路灯杆AB 的高度．【解析】解得BD=6，解：∵CD⊥BF，AB⊥BF，∴CD∥AB，∴△CDF∽△ABF，∴=，同理可得=，∴=，∴=，∴=，解得AB=5.1．答：路灯杆AB高5.1m．2.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=4米，BP=6米，PD=24米，求该古城墙CD的高度．【解析】解：由题意知∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP，∴△ABP∽△CDP，∴=，得=，解得：CD=16，∴该古城墙CD的高度为16米．3.小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为．（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示）【解析】解：（1）设灯泡离地面的高度为xcm，∵AD∥A′D′，∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．∴△PAD∽△PA′D′．根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得，∴=，解得x=180．（2）设横向影子A′B，D′C的长度和为ycm，同理可得∴=，解得y=12cm；（3）记灯泡为点P，如图：∵AD∥A′D′，∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．∴△PAD∽△PA′D′．根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得（直接得出三角形相似或比例线段均对）设灯泡离地面距离为x，由题意，得PM=x，PN=x﹣a，AD=na，A′D′=na+b，∴=1﹣=1﹣x=【方法总结】相似三角形的应用，类型较多，主要集中在测高和测距；此类题目解题时，要把实际问题转化成几何图形，构造相似，利用相似三角形对应边成比例，对应角相等的性质去求解；解题时对应边一定要找对，否则就会事倍功半【随堂练习】1．（2018•大连）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．【解答】解：（1）如图，连接BD，∵∠BAD=90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°，∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°，∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）∵DE∥AC，∵∠BDE=90°，∴∠BFC=90°，∴CB=AB=8，AF=CF=AC，∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°，∴∠CDE=∠CBD，∵∠DCE=∠BCD=90°，∴△BCD∽△DCE，∴，∴，∴CD=4，在Rt△BCD中，BD==4同理：△CFD∽△BCD，∴，∴，∴CF=，∴AC=2AF=．2．（2018•滨州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB，求证：（1）直线DC是⊙O的切线；（2）AC2=2AD•AO．【解答】解：（1）如图，连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠OAC=∠DAC，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，又∵AD⊥CD，∴OC⊥DC，∴DC是⊙O的切线；（2）连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴AB=2AO，∠ACB=90°，∵AD⊥DC，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠DAC=∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴=，即AC2=AB•AD，∵AB=2AO，∴AC2=2AD•AO．综合运用：相似三角形1.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F．（1）求证：DF是BF和CF的比例中项；（2）在AB上取一点G，如果AE•AC=AG•AD，求证：EG•CF=ED•DF．【解析】证明：（1）∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠BCD=∠A，∠ADC=90°．∵E是AC的中点，∴DE=AE=CE，∴∠ADE=∠A，∴∠BCD=∠ADE．又∠ADE=∠FDB，∴∠FCD=∠FDB．∵∠CFD=∠DFB，∴△CFD∽△DFB，∴DF2=BF•CF．（2）∵AE•AC=AG•AD，∴=．∵∠A=∠A，∴△AEG∽△ADC，∴EG∥BC，∴△EGD∽△FBD，∴=．由（1）知：△CFD∽△DFB，∴=，∴=，∴EG•CF=ED•DF．2.如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H分别在AB，AC上，已知BC=40cm，AD=30cm，求这个正方形的边长．【解析】解：∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC，∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，∴△AEH∽△ABC．如图，设AD与EH交于点M．∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，∴四边形EFDM是矩形，∴EF=DM，设正方形EFGH的边长为xcm，∵△AEH∽△ABC，∴=，∴=，∴x=，∴正方形EFGH的边长为cm．3.在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：△DEF∽△EBD．【解析】证明：∵AC⊥BE，∴∠AFB=∠AFE=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE=90°，又∵∠AEF=∠BEA，∴△AEF∽△BEA，∴=，∵点E是AD的中点，∴AE=ED，∴=，又∵∠FED=∠DEB，∴△DEF∽△BED．4.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长120mm，高AD为80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．（Ⅰ）图中与△ABC相似的三角形是，说明理由；（Ⅱ）这个正方形零件的边长为多少？【解析】解：（Ⅰ）∵正方形EGHF，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，故答案为：△AEF；（Ⅱ）设EG=EF=x∵△AEF∽△ABC∴=，∴=，∴x=48，∴正方形零件的边长为48mm．5.如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．（1）△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由．（2）求∠1+∠2的度数．【解析】解：（1）相似．理由：设正方形的边长为a，AC==a，∵==，==，∴=，∵∠ACF=∠ACF，∴△ACF∽△GCA；（2）∵△ACF∽△GCA，∴∠1=∠CAF，∵∠CAF+∠2=45°，∴∠1+∠2=45°．6.【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：△ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点，延长DE、AC交于点F，DE=EF，AB=5，求AE的长．小白的想法是：过点E作EH∥BC交AC于H，再通过相似三角形的性质得到AE、BE的比，从而得出AE的长，请你按照小白的思路完成解答．【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，E为AB边上一点，AE=AD，H、Q为BC上两点，CQ=DH，DQ=mDH，G为AC上一点，连接EQ交HG、AD于F、P，∠EFG+∠EAD=180°，猜想并验证EP与GH的数量关系．【解析】解：如图1，过点E作EH∥BC交AC于H，∴∠FEH=∠FDC，∠FHE=∠C，∴△FEH∽△FDC，∴，∵DE=EF，∴，∵BD=DC，∴，同理得：△AEH∽△ABC，∴，∵AB=5，∴AE=；【解决问题】猜想：=，理由是：如图2，过D作DM∥GH，交AC于M，∴∠CMD=∠CGH，∠CDM=∠CHG，∴△CDM∽△CHG，∴，设DH=CQ=x，则DQ=mx，∴==，∵AD平分∠BAC，∴∠EAP=∠DAM，∵∠EFG+∠EAD=180°，∴∠AEP+∠ANF=180°，∵GH∥DM，∴∠ADM+∠DNG=∠ADM+∠ANF=180°，∴∠ADM=∠AFP，∵AE=AD，∴△AEP≌△ADM，∴EP=DM，∴=．。

相似三角形题型讲解相似三角形是初中几何的重要容，包括相似三角形的性质、判定定理及其应用，是中考必考容，以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型，所以掌握好相似三角形的基础知识至关重要，本讲就如何判定三角形相似，以及应用相似三角形的判定、性质来解决与比例线段有关的计算和证明的问题进行探索。

一、如何证明三角形相似例1、如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽∽。

分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。

本例除公共角∠G外,由BC∥AD可得∠1=∠2，所以△AGD∽△EGC。

再∠1=∠2（对顶角），由AB∥DG可得∠4=∠G，所以△EGC∽△EAB。

评注：（1）证明三角形相似的首选方法是“两个角对应相等的两个三角形相似”。

（2）找到两个三角形中有两对角对应相等，便可按对应顶点的顺序准确地把这一对相似三角形记下来。

例2、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。

借助于计算也是一种常用的方法。

证明：∵∠A=36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72°又BD平分∠ABC，则∠DBC=36°在△ABC和△BCD中，∠C为公共角，∠A=∠DBC=36°∴△ABC∽△BCD例3：已知，如图，D为△ABC一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD求证：△DBE∽△ABC分析：由已知条件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用。

所以∠DBE=∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。

从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。

1初三暑期·第5讲·提高班·教师版抄作业风波漫画释义满分晋级5相似三角形的 简单模型三角形12级 相似三角形的 性质与判定三角形13级 相似三角形 的简单模型 三角形14级 锐角三角函数暑期班 第四讲暑期班 第五讲暑期班 第六讲中考内容中考要求A B C图形的相似了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，会判断四条线段是否成比例，会利用线段的比例关系求未知线段；了解黄金分割；知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似；了解图形的位似关系会用比例的基本性质解决有关问题；会利用图形的相似解决一些简单的实际问题；能利用位似变换将一个图形放大或缩小相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题三角形的相似是平面几何中极为重要的内容，是北京中考数学中的重点考察内容，近几年的中考题虽然以直接证相似为结论的题目在减少，但作为一种解决问题的工具，在解题中必不可少。

相似性应用广泛，与三角形、平行四边形联系紧密。

估计北京中考的填空题、选择题将注重“相似三角形的判定与性质”等基础知识的考查，将年份2010年2011年2012年题号 3 4，20 11，20分值4分9分9分考点相似三角形的简单计算根据三角形相似求比例；三角形相似与圆、解直角三角形的综合根据三角形相似求比例；三角形相似与圆、解直角三角形的综合中考考点分析中考内容与要求知识互联网2 初三暑期·第5讲·提高班·教师版3初三暑期·第5讲·提高班·教师版位似图形：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线，像这样的两个图形叫做位似图形． 位似中心：对应顶点的连线相交于一点，这个点叫做位似中心．位似比：相似比叫做位似比．位似图形的性质：位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．如图所示，已知ABC △与A B C '''△是位似图形，点O 为位似中心， 那么OA OB OC AB AC BC k OA OB OC A B A C B C ======'''''''''（k 为位似比） C'B'A'OC BA【例1】 ⑴如图，正方形ABCD 的两边BC ，AB 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上，正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 是以AC 的中点O ′为中心的位似图形，已知AC =23，若点A ′的坐标为(1，2)，则正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 的相似比是（ ）模块一 位似知识导航夯实基础O'A'D'C'B'B (O )C DA4初三暑期·第5讲·提高班·教师版C 1B 1A 1OCB A（2012广西玉林）A.61 B. 31 C. 21 D. 32 ⑵三角尺在灯泡O 的照射下在墙上形成的影子如图所示.若cm OA 20=，cm 'OA 50=，则这个三角尺的周长 与它在墙上形成的影子的周长的比是（ ）A ．5∶2B ．2∶5C ．4∶25D ．25∶4（2013西城期末）⑶如图，△ABC 与△111C B A 为位似图形，点O 是它们的位似中心，位似比是1：2，已知△ABC 的面 积为3，那么△111C B A 的面积是 ．（2012辽宁阜新）【解析】⑴B ⑵B ⑶12图形重要结论EDCBAAD AE DEDE BC ADE ABC AB AC BC⇔⇔==∥△∽△ ODCBAAB OA OBAB CD AOB COD CD OC OD⇔⇔==∥△∽△ 知识导航模块二 相似三角形的两种基本模型三角尺灯泡O A5初三暑期·第5讲·提高班·教师版【例2】 ⑴ 如图，在△ABC 中，BC DE ∥，BD AD 2=，6=DE ，则BC = ．（2013石景山期末）⑵ 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，21=AB AD ，8=BCED S 四边形， 则ABC S ∆的面积为（ ）（2012贵州遵义）A ．9B ．10C ．12D ．13【解析】⑴9 ⑵A【例3】 若D 为BC 中点，ED 交AB 于点F ，且EF ：FD =2：3，试求AF ：FB 的值．B D CA FE【解析】如下图，作平行线，构造基本相似模型，AF ：FB=1：4．MB DC A FE M B D C AFE MB D CAFEMB DC A FE M B D C A FE MB D CA FE夯实基础E D CBAEDCB A6初三暑期·第5讲·提高班·教师版【例4】 如图，AD 和BC 相交于点E ，AB CD EF ∥∥.⑴求证：ABC FEC △∽△，ACD AFE △∽△.⑵求证：111AB CD EF+=. 【解析】 ⑴ ∵AB CD EF ∥∥∴BAC EFC ABC FEC ∠=∠∠=∠，ACD AFE ADC AEF ∠=∠∠=∠，∴ABC FEC △∽△，ACD AFE △∽△ ⑵ 由⑴可知ABC FEC △∽△，ACD AFE △∽△∴EF CF EF AFAB AC CD AC ==， ∴EF EF CF AF AB CD AC AC+=+ 即111CF AF EF AB CD AC +⎛⎫+== ⎪⎝⎭∴111AB CD EF +=【例5】 一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求(加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留)．（2013大兴期末）(甲)CEDBF A (乙)DEF GC A BMN(乙)DEF G CA B【解析】 甲同学的加工方法好∵S △ABC =AB ·BC =23，∵AB =23， ∴BC =2 .∵∠B =90°，能力提升FEDCBA7初三暑期·第5讲·提高班·教师版∴AC 22A B B C+=25. 如图甲∵四边形DBFE 是正方形， ∴DE ∥AB .∴△CDE ∽△CBA . ∴D E C DAB C B=. 设DE =x ,则CD =2-x ， ∴2322x x -= .∴x= . 如图乙过B 点作BM ⊥AC 于点M 交DE 于点N ， 由S △ABC =AB ·BC =AC ·BM ， 可得BM =.∵DE ∥AC ，∴BN ⊥DE . ∴△BDE ∽△BAC .∴DE BNAC BM=. 设DE =y ，∴655625y y -= ∴y =3037 . ∵＞3037， ∴甲同学的正方形面积大.【例6】在ABC △中，BD CE =，DE 的延长线交BC 的延长线于P ，过C 作CM AB ∥交DP 于M ，求证：AD BP AE CP ⋅=⋅.【解析】∵CM AB ∥，∴PCM PBD △∽△，∴CM PCBD PB=， ∵CM AB ∥，∴CEM AED △∽△， ∴CM AD CE AE =，∵BD CE =， MPE D CBA∴CM CMCE BD=，∴PC ADPB AE=，∴AD BP AE CP⋅=⋅【例7】如图，1n+个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上.D1D2D3D4B5B4B3B2B1C5C4C3C2C1A⑴证明：2233AC D AC B△∽△，并写出2233C DC B的值.⑵设211B D C△的面积为1S，322B D C△的面积为2S，…，1n n nB D C+△的面积为nS，则2S=；nS=（用含n的式子表示）．【解析】⑴∵122C C B△和233C C B△都是等边三角形∴12223360C C B C C B∠=∠=︒又∵2233C AD C AB∠=∠∴2233AC D AC B△∽△∴2223334263C D ACC B AC===⑵23331nn+，.下列说法正确的是.⑴有两个角对应相等的两个三角形相似；⑵ 两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似；⑶ 三边对应成比例的两个三角形相似.【解析】⑴⑶._____________________ 探索创新8 初三暑期·第5讲·提高班·教师版9初三暑期·第5讲·提高班·教师版第05讲精讲：三角形内接正方形问题探究；三角形的内接正方形是指正方形四个顶点都在三角形边上的正方形，正方形有4个顶点，而三角形只有3条边，所以，正方形一定有两个顶点在同一条边上，即正方形一定有一条边落在三角形的边上.【变式1】如图，Rt △ABC （∠C =90°）中有三个内接正方形，DF =9厘米，GK =6厘米，猜想第三个正方形的边长PQ 的长． 【解析】369=-=-=EG EF GF ，设x PQ =，∵PQ GK ∥，∴∠FKG =∠KQP ．又∵∠FGK =∠KPQ =90°，∴△FGK ∽△KPQ ．∴ PQ GKKP FG =． ∴ x x 663=-．解得4=x ．答：第三个正方形的边长为4厘米．【变式3】如图所示，四边形EFGH 是三角形ABC 的内接矩形，AD ⊥BC ，垂足为D ，BC =21cm ，AD =14cm ， EF ：FG =1：2，求矩形EFGH 的面积． 【解析】如图，设矩形的边长EF =x ，则FG =2x ，∵四边形EFGH 是三角形ABC 的内接矩形， ∴EH ∥BC ，EH =FG ， ∴△AEH ∽△ABC ，又∵AD ⊥BC ，则ID =x ，ID AD AI -=，∴AD AIBC EH =，BC =21cm ，AD =14cm ， ∴ 1414212x x -=， 解得，x =6cm ，即2x =12cm ，∴S 矩形EFGH =EF ×FG =6×12=72cm 2．答：矩形EFGH 的面积为72cm 2．【变式4】四边形ABCD 为正方形，D E ，在线段AC BC ，上，F G ，在AB 上，如果1ADF CDE S S ∆∆==， 3BEG S ∆=，求ABC ∆的面积．【解析】 辅助线同变式2．设正方形边长为x ，则226AF CI BG x x x===，，．由CDE CAB ∆∆∽，得CI DECH AB=， G F EDCBA PQK FGDA IHG D F EA10初三暑期·第5讲·提高班·教师版∴228x xx x xx=++，解得2x =，∴63AB CH ==，， ∴192ABCS AB CH ∆=⋅=【变式5】如图，在△ABC 中，AB=5，BC=3，AC=4，动点E (与点A 、C 不重合)在AC 边上， EF ∥AB 交BC 于F 点．试问在AB 上是 否存在点P ，使得EFP ∆为等腰直角三角 形？若不存在，请简要说明理由；若存在， 请求出EF 的长．【解析】① 如图过E (或F )，分别作AB 垂线，垂足为1P (或2P )，当 1EF FP =(或2EF FP =)时，(或2EFP ∆)为等腰直角三角形．过C 作CH AB ⊥于H ，交EF 于Q ，则EF QH =，设EF QH x ==，AB CH AC BC ⋅=⋅，得 2.4CH = ∵ABC ∆∽EFC ∆ ∴EF CQ AB CH =，即 2.45 2.4x x-= ∴6037x =，∴6037EF x ==② 作EF 的中垂线DP ，交AB 于P ，当2DP EF =时EFP ∆为等腰直角三角形． 设EF x =，则0.5DP x =． ∵ABC ∆∽EFC ∆ ∴EF CQ AB CH =，即 2.40.55 2.4x x -= 解得12049x =，即12049EF x ==．IHGFEDCBAP2P 1H QFEC BAD P HQFEC BAF E CBA【变式6】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，若设正方形的边长为x，容易算出x的长为60 37．探究与计算：（1）如图13—2，若三角形内有并排的两个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长为；（2）如图13—3，若三角形内有并排的三个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长为．猜想与证明：如图13—4，若三角形内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，请你猜想正方形的边长是多少？并对你的猜想进行证明．【解析】探究与计算：（1）6049；（2）6061．猜想与证明：若三角形内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，正方形的边长是602512n+．证明如下：如图2，过点C作CN⊥AB，垂足为N，交GF于点M．设小正方形的边长为x．∵四边形GDEF为矩形，∴GF∥AB．CM⊥GF．容易算出125CD=．∴CM GFCN AB=．即1251255xnx-=．∴x=602512n+．即小正方形的边长是602512n+．图13—1ACDFG图13—2C 图13—3ACGGFFDDEE图13—4ACG FD E图2ACG FD ENM训练1. 如图，正方形ABCD 中，过点D 作DP 交AC 于点M 、交AB 于点N 、交CB 延长线于点P 使PB BC =，若1MN =，3PN =，则DM 的长为 ． 【解析】 2.训练2. 三个边长分别为2、3、5的正方形，则EKMG S = ．【解析】 154.训练3. 如图，已知平行四边形ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ，若5BE =，2EF =，则FG 的长是 ．【解析】10.5训练4. 如图，已知ABC △中，四边形DEGF 为正方形，D E ，在线段AC BC ，上，F G ，在AB上，如果1ADF CDE S S ==△△，3BEG S =△，求ABC △的面积．GFED CB AIH G F EDCBA【解析】 过点C 作CH AB ⊥于点H ，交DE 于I .设正方形边长为x ，则226AF CI BG x x x ===，，．由CDE CAB △∽△，得CI DECH AB=， ∴228xx x x x x=++，解得2x =，∴63AB CH ==，， ∴192ABC S AB CH =⋅=△.思维拓展训练(选讲)NMPDCB A K MHG F E DBEFGDC AB知识模块一 位似 课后演练【演练1】 如图，在119⨯的正方形网格中，TAB △的顶点坐标分别为()11T ，，()23A ，， ()42B ，． 以点()11T ，为位似中心，按:3:1TA TA =′在位似中心的同侧将TAB △放大为TA B ''△′′，放大后点A B 、的对应点分别为A B 、′′．画出TA B ''△′′，并写出点A B 、′′的坐标. T BAOyx x yOABA'B'T【解析】 如图所示，点A B 、′′的坐标分别为()()47104，、，. 知识模块二 相似三角形的两种基本模型 课后演练【演练2】 已知：如图，直线DE 和BC 的延长线相交于P ，AD AE =.求证：BP BDCP CE=【解析】 如图，过C 作CM AB ∥交DP 于M ，∵CM AB ∥ ∴PBD PCM △∽△，∴BP BDCP CM=， ∵CM AB ∥，∴14∠=∠， 又∵AD AE =，∴12∠=∠，∴24∠=∠， ∵23∠=∠，∴34∠=∠， ∴CM CE =实战演练PEDCBA4321PME DCBA∴BP BDCP CE=.【演练3】 如图，已知DE AB ∥，2OA OC OE =⋅，求证：AD BC ∥. 【解析】∵DE AB ∥，∴AOB EOD △∽△，OE ODOA OB=， 又∵2OA OC OE =⋅，∴OE OA OA OC =， ∴OD OAOB OC=， ∵AOD COB ∠=∠， ∴AOD COB △∽△， ∴DAO BCO ∠=∠， ∴AD BC ∥【演练4】 如图1，图2，两个全等的等腰直角三角形中，各有一个内接正方形．如果图1中正方形的面积是81，求图2中正方形的面积．图1EFCBD A图2E'D'F'G'C'B'A'【解析】 正方形AEDF 的面积为81，所以正方形AEDF 的边长为9．又∵ABC △为等腰直角三角形 ∴45B C ==︒∠∠故BDE △和CDF △是等腰直角三角形 ∴9BE DE DF CF ====∴18AB AC ==∵90A B D G ''''==︒∠∠，45A G F B ''''==︒∠∠ 故A G F '''△和B D G '''△都是等腰直角三角形 设A G x ''=，则18B G x ''=-，2F G x ''=，)218D G x ''=- DOECB A∴()2218x x =-，解得6x = ∴62F G ''=∴图2中正方形的面积为72．【演练5】 ABC △中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，15BC =,BC 边上的高10AD =,求EFGH S 正方形.【解析】设正方形EFGH 的边长为x ，AD 、HG 的交点为M ，则有AM HG AD BC =，即101015x x -= 解得，6x = 故2636EFGH S ==四边形训练1. 如图，矩形ABCD 中，BE AC ⊥于点F ，点E 恰是CD 的中点，下列式子成立的是（ ）A ．12EF AF =B ．1EF CF=C ．12CF AC =D ．12CF AF =【解析】D.训练2. 如图，已知平行四边形ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ， 若5BE =，2EF =，则FG 的长是 ． 【解析】10.5训练3. 如图，把PQR △沿着PQ 的方向平移到P Q R '''△的位置，它们重叠部分的面积是PQR △面积的一半，若2PQ =，则此三角形移动的距离PP '是（ ）A ．12B ．2C ．1D ．21-【解析】 D ．课后测F E DC A EFGDC ABQ′R′PR H G FEDCBA第十七种品格：成就雷妮与DOB美国DOB公司总裁雷妮女士从小生活经历比较坎坷，她幼年就失去了双亲，被一位亲戚抚养，但她的监护人却将她作为一个女佣来对待，她的童年浸满了辛酸。

精锐教育学科教师辅导教案建议5min相似三角形中有哪些性质？如何证明？建议10min问题1：如图，△ABC ∽△'''A B C ，相似比为k ，AD ⊥BC 于D ，''A D ⊥''B C 于'D ，你能发现图中还有其他的相似三角形吗？''ADA D 等于什么？问题2：如图，△ABC ∽△'''A B C ，相似比为k ，如果AD 和''A D 是它们的对应角平分线，那么''AD A D 等于多少？问题3：如图，△ABC ∽△'''A B C ，相似比为k ，如果AD 和''A D 是它们的对应中线，那么''ADA D 等于多少？ D'D ABC C'B'A'D'D ABC C'B'A'建议70min知识点一：相似三角形性质相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.1．已知ABC ∆∽'''A B C ∆，点,,,A B C 分别与点',','A B C 对应，,''AD A D 分别是ABC ∆，'''A B C ∆的角平分线，且3''2AD A D =，9AB =，则''A B = 2．已知ABC ∆∽DEF ∆，点,,,A B C 分别与点,,D E F 对应,且3BC =，6EF = ，DE 边上的中线为10，则AB 边上的中线为 ．3．已知ABC ∆∽DEF ∆，2,3,4,6,9,12AB BC AC DE EF DF ======,且,AM DN 分别是,BC EF 边上的高，求:AM DN 的值。