第五章 弹塑性模型理论5.1 概述弹塑性理论可以分为两种，塑性增量理论和塑性全量理论。
塑性增量理论又称塑性流动理论，塑性全量理论又称塑性形变理论。
在塑性增量理论中，将物体在弹塑性变形阶段的应变ij ε分为两部分：弹性应变e ij ε和塑性应变p ij ε。
塑性应变增量ij d ε的表达式为e p ij ij ij d d d εεε=+ (5.1.1)式中，弹性应变增量d e ij ε可以用广义虎克定律计算，塑性应变增量d p ij ε可以根据塑性增量理论计算。
塑性增量理论主要包括三部分：（1） 屈服面理论；（2） 流动规则理论；（3） 加工硬化（或软化）理论。
在塑性形变理论中是按全量来分析问题的。
它在盈利状态和相应的应变状态之间建立一一对应的关系。
塑性形变理论实质上是把弹塑性变形过程看成是非线性弹性变形过程。
严格说，在弹塑性变形理论的应用是有条件的。
严格讲，只有在等比例加载条件下，应用塑性变形理论可以得到精确解。
所谓等比例加载是指在加载过程中，各应力分量是按同一比例增加的。
严格的等比例加载是很难满足的，在土工问题中可以说是不可能的。
在简单加载条件下应用塑性形变理论分析有时也可以取得较好效果。
近些年来建立的土体弹塑性模型大部分是根据塑性增量理论建立的。
本章主要介绍塑性增量理论，在最后一节简要介绍塑性形变理论。
5.2 屈服面得概念首先讨论理想弹塑性材料。
理想弹塑性材料受力到什么程度才开始发生塑性变形呢？在简单拉伸时，问题是很明显的。
当应力等于屈服应力σs 时，塑性变形开始产生。
σs 值是可以在拉伸试验应力-应变曲线上找到的。
然而在复杂应力状态时，问题就不是这样简单了。
一点的应力状态由六个应力分量确定。
在复杂应力状态下，显然不能任意选取某一个应力分量的数值作为判断材料是否进入塑性状态的标准。
因此需要在应力空间或应变空间来考虑这一问题。
在土塑性力学中，常用的应力空间有三维主应力空间、p 、q （或σm ，σ1-σ3）应力平面、以及132σσ+，132σσ-应力平面等。
在主应力空间，通过原点O ，与三条坐标轴成相同夹角的直线L （图5-1）称为等倾线，或主对角线。
在等倾线上，各主应力间具有以下关系，即123σσσ== （5.2.1）包含等倾线的平面称为子午面。
通过原点O ，与等倾线垂直的平面称为π平面，其平面方程为：1230σσσ++= （5.2.2）与π平面平行地其它平面和π’平面，其方程为：123const σσσ++= （5.2.3）有时为简便，把π平面和π´平面统称为π平面。
图 5-1前面已经提到，物体中一点的应力状态可以用应力空间中的一点（应力点）来表示。
一点应力状态的变化可以用应力点在应力空间的运动轨迹来描述，应力点的运动轨迹称为应力路径。
根据不同的应力路径所进行的实验，可以在各自的应力路径上定出物体在荷载作用下从弹性阶段进入塑性阶段你的屈服应力点。
在应力空间中，将这些屈服应力点连接起来，就形成一个区分弹性区和塑性区的分界线，通常为一空间曲面，简称为屈服面。
当应力点σij 位于此曲面以内区域中，材料处于弹性状态。
当应力点σj 位于此曲面上，材料发生屈服，产生塑性变形。
描述这个屈服面得数学表达式称为屈服函数，或称为屈服条件、屈服准则等。
由于在弹性区内，应力与应变有唯一的关系，所以屈服条件既可以用应力的函数来表示，也可以用应变的函数来表示。
用应力的函数来表示，屈服条件的一般表达式为：()0ij F σ= （5.2.4）对于各向同性材料，屈服条件与坐标轴方向的选取无关，因此可以写成应力不变量1I ，2I ，3I 或1I ，2J ，3J 的函数。
例如，可表示为：()123,,0F I J J = （5.2.5）或者写成只是主应力的函数()123,,0F σσσ=（5.2.6） 因此，它可以用主应力空间中的一个曲面来表示。
在应力平面，π平面或子午面上常用屈服曲线来表示。
由于各项同性的假定，在π平面上，若（S 1，S 2，S 3）是屈服曲线上的一点，则（S 1,，S 3，S 2）也必然是屈服曲线上一点，因此屈服曲线对图5-2O1´轴对称（图5-2 ）。
同理，屈服曲线对02´轴及O3´轴也对称。
于是，π平面上的屈服曲线有三条对称线，我们只需用试验确定π平面上60°范围内的屈服曲线，然后利用对称性，就可确定π平面上的整条屈服曲线。
屈服曲线必然是封闭的，而且和从原点出发的射线只能交于一点，否则将导致同一应力状态既对应于弹性状态，又对应于塑性状态。
也可以采用应变的函数来表示材料的屈服条件，其一般表示式可记为：()0ij F ε*= （5.2.7）其次讨论加工硬化材料。
加工硬化材料在荷载作用下性状如何呢？当应力点σij 位于屈服面所包围的范围内，材料只产生弹性应变；当应力点σij 位于屈服面上，材料可能产生塑性变形。
继续加荷使材料同时引起了新的弹性变形和塑性变形。
随着塑性变形的发展屈服面不断变化，每一个应力状态对应有相应的屈服面，材料发生加工硬化。
换句话说，加工硬化材料的屈服面不是一个固定的面，而是随着塑性变形发展不断扩大着的，是连续变化的一系列屈服曲面。
从弹性变形状态进人弹塑性变形状态最初出现的屈服面称为初始屈服面，其数学表达式称为初始屈服条件。
随着塑性变形发生，屈服应力提高形成的新屈服面称为后继屈服面，或称加载曲面。
后继屈服面是随塑性变形不断变化的。
描述后继屈服面形状及其变化的数学表达式称为后继屈服条件，或称加载条件。
其一般表达式为：(),0ij a H σΦ= （5.2.8）式中 H ― 硬化参数，与塑性变形有关，一般可以表示为塑性变形的函数。
在应变空间，后继屈服条件一般可表示为：(),0ij a H ε*Φ= （5.2.9）如果把材料进入无限塑性状态时称作破坏。
加工硬化材料首先达到初始屈服，经过加工硬化阶段，最后达到破坏。
破坏面是极限状态的后继屈服面。
对理想弹塑性材料，随着加载，应力点到达屈服面，材料发生屈服，它没有加工硬化阶段，屈服面的形状、大小是不变的。
随着塑性变形的发展，材料发生破坏。
对理想弹塑性材料屈服条件和破坏条件是相同的。
在实际工程中通常把发生一定数量的变形作为破坏条件。
最后讨论加工软化材料。
加工软化材料在荷载作用下性状如何呢？当应力点σij 位于屈服面所包围的范围内，材料只产生弹性应变；当应力点σij 位于屈服面上，材料进人弹塑性变形阶段。
加工软化材料弹塑性变形阶段可分为硬化和软化两个阶段。
继续加荷使材料产生硬化。
在硬化阶段，其性状与加工硬化材料的相同，随着塑性变形发展后继屈服面是不断扩大的。
应力到达峰值后，继续加载材料开始进入软化阶段。
材料发生软化后，应力骤减，塑性变形继续发展。
在应力空间，软化阶段的后继屈服面是随着塑性变形的发展不断收缩的。
待收缩到最终屈服面时，材料进人无限流动状态，认为材料发生破坏。
此时的屈服面又称为破坏面，也称为残余破坏面。
在应变空间，无论是加工硬化材料，还是加工软化材料，还是理想弹塑性材料，其屈服面在变形过程中总是不断扩大的。
在应变空间描述屈服面的变化有时是比较方便的。
近年来有人开展了应变空间各种屈服条件表达式的研究。
为了叙述方便，有时把理想弹塑性材料的屈服面，加工硬化材料和加工软化材料的初始屈服面，后继屈服面统称为屈服面。
5.3 几种常用屈服条件在荷载作用下材料的屈服性状是很复杂的。
不同材料屈服性状不同。
同一材料，应力历史不同其屈服性状也可能有差异。
描述材料屈服性状的屈服条件很多，这里只介绍比较典型的，常用的屈服条件，包括Tresca 屈服条件和广义Tresca 屈服条件，von Mises 屈服条件和广义von Mises 屈服条件，Mohr 一Coulomb 屈服条件，双剪应力屈服条件，三剪应力屈服条件，Lade 屈服条件，修正剑桥模型屈服条件等。
5.3.1 Tresca 屈服条件和广义Tresca 屈服条件1864 年Tresca 根据金属挤压试验研究成果提出一个屈服条件。
他认为当最大剪应力达到某一极限值时，材料发生屈服。
如果规定σ1＞σ2 >σ3 ，则Tresca 屈服条件可表示为：132K σσ-= （5.3.1） 式中K ——常数。
如果不知道σ1，σ2 ，σ3的大小顺序，则此条件应写成： 122331max ,,2K σσσσσσ⎡---⎤=⎣⎦（5.3.2）或()()()2222221223314440K K K σσσσσσ⎡⎤⎡⎤⎡⎤------=⎣⎦⎣⎦⎣⎦（5.3.3） 在π平面上，Tresca 屈服条件是一个正六角形，如图5 一3 所示。
在主应力空间内，这个屈服曲面是一个正六角柱面，其中心轴与等倾线L 重合。
K 值可以由简单拉伸屈服试验或纯剪切屈服试验确定。
图5-3 Trosca 屈服条件在材料力学中对于塑性材料常用最大剪应力屈服条件作为强度理论来使用，通常称为第三强度理论。
Tresca 屈服条件不能反映球应力张量对材料屈服的影响。
为了反映球应力张量对材料屈服的影响，将Tresca 屈服条件推广为广义Tresoa 屈服条件。
广义Tresoa 屈服条件可用下式表示：()1312aI K σσ-+= （5.3.4）如果不清楚的顺序σ1，σ2 ，σ3，上式可改写成[][][]1212313112220aI K aI K aI K σσσσσσ-+--+--+-= （5.3.5）广义Tresca 屈服条件在π平面上的屈服曲线为正六角形，在应力空间的屈服曲面为一正六角棱锥体面（图5-4 ) ，中心轴线与等倾线重合。
5.3.2 von Mises 屈服条件和广义von Mises 屈服条件Tresca 屈服条件的缺点是，它不考虑中间主应力对屈服条件的影响；当应力处在屈服面的棱线上，在数学上处理时会遇到困难；另外，当主应力方向不清楚时，屈服条件又很复杂。
因此，von Mises 于图5-4 广义Tresca 屈服条件1913 年在实验研究基础上，提出了另一个屈服条件：2J C = （5.3.6）式中 J 2― 应力偏张量第二不变量；C ― 常数。
后来，人们发现Huber 于1904 年就曾经提出同样的意见。
人们把式5 . 3 . 6 称为Huber-von Mises 屈服条件，简称von Mises 屈服条件，式5 . 3 . 6 也可改写成()()()2221223316C σσσσσσ-+-+-= （5.3.7）在π平面上，von Mises 屈服条件是一个圆，如图5-5 所示。
在主应力空间，von Mises 屈服曲面是一个正圆柱面，其中心轴与等倾线重合。
常数C 也可以由简单拉伸屈服试验或纯剪切屈服试验确定。
在π平面上，如果我们用简单拉伸试验确定常数，在π平面上，01´ , 02´和03´轴上，Tresca 屈服条件和von Mises 屈服条件重合，于是Tresca 六边形将内接于von Mises 圆（图5-5 ) ，并有22max 32s s J σστ==（5.3.8）图5-5如果采用纯剪切实验确定常数，在π平面上，在01 ' , 02’和03’轴形成的角平分线上Tresca 屈服条件和von Mises 屈服条件重合，于是Tresca 六边形将外切于von Mises 圆（图5-5 ) ，并有22s J τ=对von Mises 屈服条件max s ττ=对Tresca 屈服条件（5.3.9）von Mises 条件也可以解释为：当材料八面体上的剪应力达到某一极限值时，材料开始屈服。
