2020高中数学 第2章 推理与证明 2.1.3 推理案例赏析(1)学案 苏教版选修1-2

2.1。

1 合情推理1．归纳推理（1）概念：由某类事物的□01部分对象具有某些特征，推出该类错误!全部对象都具有这些特征的推理,或由错误!个别事实概括出错误!一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳)．(2)特征：归纳推理是由错误!部分到错误!整体、由错误!个别到错误!一般的推理．（3）一般步骤：第一步，通过观察个别情况发现某些错误!相同性质；第二步，从已知的错误!相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想)．2．类比推理（1)概念：由两类对象具有某些□，11类似特征和其中一类对象的某些错误!已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．(2)特征：类比推理是由错误!特殊到错误!特殊的推理．(3)一般步骤：第一步，找出两类事物之间的错误!相似性或错误!一致性;第二步,用一类事物的错误!性质去推测另一类事物的错误!性质,得出一个明确的命题(猜想）．3．合情推理（1)含义归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过错误!观察、错误!分析、错误!比较、错误!联想，再进行错误!归纳、错误!类比，然后提出错误!猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．(2)合情推理的过程错误!→错误!→错误!→错误!归纳推理与类比推理的区别与联系区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真或可假．1．判一判(正确的打“√"，错误的打“×”）（1）统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．( )(2）类比推理得到的结论可以作为定理应用. （）(3)归纳推理是由个别到一般的推理．( )答案（1）×（2）×(3）√2．做一做（1)已知数列｛a n}中，a1＝1，a n＋1＝错误!(n∈N＊)，则可归纳猜想｛a n｝的通项公式为__________________．(2)数列5，9,17，33,x，…中的x等于________．(3）等差数列{a n｝中有2a n＝a n－1＋a n＋1（n≥2且n∈N＊）,类比以上结论,在等比数列{b n｝中类似的结论是__________．答案(1）a n＝错误!(n∈N＊) (2)65 （3)b错误!＝b n－1·b n＋1(n≥2且n∈N＊）探究1 数列中的归纳推理例1 已知数列{a n｝的首项a1＝1，且a n＋1＝错误!（n＝1,2,3,…)，试归纳出这个数列的通项公式．[解］当n＝1时，a1＝1，当n＝2时,a2＝错误!＝错误!，当n＝3时，a3＝错误!＝错误!，当n＝4时，a4＝错误!＝错误!,…通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出数列｛a n}的通项公式是a n＝错误!。

合情推理学习目标要点难点1．联合已学过的数学实例和生活中的要点：理解概括推理和类比推理的含实例，能解析合情推理的含义，能利义，并能利用概括推理和类比推理进用概括推理和类比等方法进行简单的行简单的推理．推理．难点： 1．能运用合情推理进行简单推2．会解析概括推理与类比推理的联系理．与差别，意会并认识合情推理在数学2．认识合情推理在数学发现中的作发现中的作用.用.1．推理从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思想过程称为________．任何推理都包括________和 ________两个部分， ________是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么； ________是依据 ________推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么．2．概括推理(1) 从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理平时称为________．其思想过程大体为 ________→ ________→ ____________.(2)概括推理的特色①概括推理的前提是几个已知的特别现象，概括所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所________．②由概括推理获得的结论拥有猜想的性质，结论能否真实，还需要经过逻辑证明和实践检验．所以，它不可以作为 ________的工具．③概括推理是一种拥有创办性的推理．经过概括法获得的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们 ________．预习交流1做一做：由三角形的内角和是 180°，凸四边形的内角和是 360°＝ 2×180°，凸五边形的内角和是 540°＝3×180°，概括出结论：__________________________________________.3．类比推理依据两个 ( 或两类 ) 对象之间在某些方面的相似或同样，推演出它们在其余方面也相似或同样，像这样的推理平时称为________，简称________．其思想过程大体为________→ ________→ __________.预习交流2做一做：对于平面几何中的命题：夹在两平行线之间的平行线段相等，在立体几何中，类比上述命题，可得命题为 ________________ ．4．合情推理合情推理是依据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程． ________和________都是数学活动中常用的合情推理．预习交流3合情推理拥有哪些特色？在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在以下表格中做个 忘吧！我的学困点我的学疑点答案： 引1．推理前提前提前提2． (1) 推理 、 察 概括、推行 猜 一般性 (2) ①包括的范②数学 明 ③ 和提出交流1：提示：凸 n 形的内角和是 ( n －2) ×180° 3． 比推理 比法 察、比 想、 推 猜 新的交流 2：提示： 在两平行平面之 的平行 段相等 4． 推理 比推理交流 3：提示：合情推理有以下特色：(1) 在数学研究中， 获得一个新 以前， 合情推理常常能帮助我 猜 和 ； (2) 明一个数学 以前，合情推理常常能 我 供给 明的思路和方向；(3) 一般来 ，合情推理所 得的 ， 是一种猜想，未必靠谱．一、 推理依据以下条件写出数列的前 4 ，并 猜想它 的通 公式：(1) a 1＝ 0，a n ＋ 1＝ a n ＋ (2 n － 1)( n ∈ N * ) ；1*(2) a 1＝ 1，a n ＋ 1＝ a n ( n ∈ N ) ．思路解析： 本 可利用 推理求出数列的通 公式． 推理拥有由特别到一般，由详尽到抽象的 功能，在得出前几 果后，要注意 一形式，以便 找 律，此后 猜想出 ．1． 察以下各式： 72＝ 49,7 3＝ 343,7 4 ＝2 041，⋯， 72 011 的末两位数字 __________ ．2． (2012 西高考 ) 察以下不等式1 3 1＋ 22＜ 2， 1＋1＋1 ＜5，22 32 31 1 1 71＋ 22 ＋ 32＋42＜ 4，⋯⋯ 照此 律，第五个 不等式 ____________________ ．．．． 14) 若 f ( n )n 2＋ 1 的各位数字之和，如 142＋ 13． (2012 山 省 中学 断，文 ＝ 197,1 ＋ 9＋ 7＝ 17， f (14) ＝ 17， f 1( n ) ＝f ( n ) ，f 2( n ) ＝f ( f 1( n )) ，f 3( n ) ＝ f ( f 2( n )) ，⋯，f k ＋ 1( ) ＝ ( k ( )) ， ∈N *，f 2 012(8) ＝ __________.n f f nk推理的一般步 是：(1) 通 察个 状况， 某些同样性 ；(2) 从已知的同样性 中推出一个明确表达的一般性的命 (猜想 )．二、 比推理在平面上，若两个正三角形的 比 1∶ 2， 它 的面 比 1∶4， 似地，在空 中，若两个正四周体的棱 比 1∶ 2， 它 的体 比 __________．思路解析： 两个正三角形是相似的三角形， ∴它 的面 之比是相似比的平方． 同理，两个正四周体是两个相似几何体，体 之比 相似比的立方，∴它 的体 比 1∶ 8.已知△ABC 的 分a ，b ，c ，内切 半径r ，用S △ABC 表示△ ABC 的面 ，S △ ABC1＝ 2r ( a ＋ b ＋ c ) ． 比 一 有：若三棱A － BCD 的内切球半径R ， 三棱 体V A－ BCD＝________.(1) 比定 ：本 型 解决的关 在于弄清两个看法的相似性和相异性．(2) 比性 ( 定理 ) ：本 型 解决的关 是要理解已知性 ( 定理 ) 的内涵及 用 境、使用方法，通研究已知性 ( 定理 ) ，刻画新性 ( 定理 ) 的“面貌”．(3) 比方法 ( 公式 ) ：本 型 解决的关 在于从解 方法 ( 或公式 ) 中， 得使用方法 ( 或公式 ) 的启示或推 方法 ( 或公式 ) 的手段，从而指 解决新 ．(4) 比模范： 有些供给模范的推理 ，解答 可依据所 的信息与所求 的相似性，运用 比的方法模拟模范，使 获得解决．1．在△ ABC 中， D BC 的中点， 1＝ 2( ＋) ，将命 比到四周体中去 获得一个 比命 ： _______________________________________________________________________________________________________________________________.2．若数列 { a n }( n ∈N *) 是等差数列， 数列 b n ＝a1＋a2＋a3＋⋯＋an( n ∈ N * ) 也是等差n数列．比上述性 ，相 地：**若数列 { c n }( n ∈ N ) 是等比数列，且 c n ＞ 0， 数列 d n ＝______( n ∈ N ) 也是等比数列．3． 平面内有n 条直 ( n ≥ 3) ，此中有且 有两条直 相互平行，任意三条直 不 同一点．若 f ( n ) 表示 n 条直 交点的个数， f (4) ＝ __________ ，当 n ＞ 4 ， f ( n ) ＝ __________( 用 n 表示 ) ．4． (2012 山 宁 城二中月考，文13) 出以下命 ：命 1：点 (1,1)是直 y ＝ x1与双曲 y ＝ 的一个交点；x8命 2：点 (2,4) 是直 y ＝ 2x 与双曲 y ＝ x 的一个交点；命 3：点 (3,9)是直 y ＝ 327 的一个交点；x 与双曲 y ＝x⋯⋯察上边命 ，猜想出命n ( n 正整数 ) ______________________________ ．5． 于大于 1 的自然数 m 的 n 次 可用奇数 行如 表示的“分裂” ． 53 的“分裂”中的最小数 ，而 52的“分裂”中最大数， a ＋ ＝__________.ab b6 ． (2012 湖北高考 ) 回文数是指从左到右 与从右到左 都一 的正整数．如22,121,3 443,94 249 等． 然 2 位回文数有 9 个： 11,22,33 ，⋯， 99；3 位回文数有 90个： 101,111,121 ，⋯， 191,202 ，⋯， 999. (1)4 位回文数有 ________个；(2)2 n ＋ 1( n ∈ N * ) 位回文数有 ________个．提示：用最精 的 言把你当堂掌握的中心知 的精 部分和基本技术的要 部分写下来并 行 .知 精 技术要答案： 活 与研究1：解： (1) 当 n ＝ 1 ， a 1＝ 0. 由 a n ＋ 1＝ a n ＋(2 n － 1)( n ∈ N*) ，得 a 2＝ a 1＋ 1＝1，a 3＝ a 2＋ 3＝ 4，a 4＝ a 3＋ 5＝ 9.由 a 1＝ 02， a 2＝ 12， a 3＝ 22， a 4＝32，n2可 出 a ＝ ( n － 1) .(2) 当n ＝1 ， a 1＝1，由a n ＋ 1＝ 1 ∈N*) 得 2＝11 11，11 n ( 1＝，3＝2＝4＝3＝.2a n a 2a2 a2a4 a2a81由 a 1 ＝ 20， a 2＝ ， a 3＝ ， a 4＝ ，可 猜想 ( n ∈ N*) ．迁徙与 用：1． 43 解析： 因 71 ＝7,7 2＝ 49,7 3＝ 343,7 4＝ 2 401， 75＝ 16 807， 76＝ 117 649，⋯，所以 些数的末两位数字呈周期性出 ，且周期T ＝4. 又 2 011 ＝4×50 2＋ 3，所以 72 011 的末两位数字与73 的末两位数字同样， 43.1 1 1 1 1 111112．1＋ 22＋32＋ 42＋ 52＋ 62＜6解析： 由前几个不等式可知1＋ 22＋ 32＋ 42＋⋯＋12n － 1＜.n2n1111111所以第五个不等式1＋ 22＋ 32＋ 42＋ 52＋62＜ 6.3． 5 解析： ∵ 82＋ 1＝ 65,6 ＋ 5＝ 11，∴ f (8) ＝ 11， f 1(8) ＝ f (8) ＝ 11. 又∵ 112＋ 1＝122,1 ＋ 2＋ 2＝ 5，∴ f 2(8) ＝ f ( f 1(8)) ＝ f (11) ＝ 5. 又 52＋ 1＝ 26， 2＋ 6＝8，∴ f 3(8) ＝f ( f 2(8)) ＝f (5) ＝8 ，⋯，同理有 f 4(8) ＝ 11，f 5(8) ＝ 5， f 6(8) ＝8，⋯，∴ f k (8) 的 呈周期性出 ，周期3. ∴ f 2 012 (8) ＝ f 2 (8) ＝ 5.活与研究2：1∶ 8迁徙与用：1△ ABC＋△ ACD＋△ BCD＋△ABD)解析：内切半径r 比，(――→ 内切球半径3RS SSS R比三角形的周：a＋ b＋ c――→三棱各面的面和：S△ABC＋ S△ACD＋ S△BCD＋ S△ABD，1 比1三角形面公式系数2――→三棱体公式系数3.∴ 比得三棱体1V A－BCD＝3R( S△ABC＋ S△ACD＋ S△BCD＋ S△ABD)．( 明，三角形的可用等面法，三棱的可用等体法)当堂1．在四周体A－BCD中，G是△BCD的重心，1＝3(＋＋) 解析：平面中段的中点比到空四周体中面的重心，点与中点的比点和重心的．nc1c2c3⋯cn解析：等差数列中，由 a1＋ a n＝ a2＋ a n－1＝⋯，得 b n＝2 ．a1＋ a2＋ a3＋⋯＋ an(a1 ＋ an)n a1＋ an a1＋ a1＋(n － 1)d dn＝2n＝2＝2＝ a1＋2( n－1)，仍等差数列．而等比数列中，由c1c n＝ c2c n－1＝⋯，得d n＝nc1c2c3⋯cn＝n⋯ (c1qn － 1) ＝，仍等比数列．c1(c1q)(c1q2)3． 51(n ＋1)(－ 2) 解析：如可得f(4) ＝ 5.2n∵f (3)＝2， f (4)＝5＝ f (3)＋3， f (5)＝9＝ f (4)＋4， f (6)＝14＝ f (5)＋5，⋯∴每增添一条直，交点增添的个数等于本来直的条数．累加，得∴ f ( n)＝f ( n－1)＋ n－1，f ( n)＝f (3)＋3＋4＋5＋⋯＋( n－1)＝ 2＋3＋ 4＋⋯＋ ( n－ 1)1＝ ( n＋ 1)(2n－2)．4．点 ( n，n2) 是直y＝ nx 与双曲y＝n3x的一个交点解析：由已知交点挨次写(1,1 2) ，(2,2 2) ，(3,3 n 中直的系数2)，∴命n 中交点n.双曲中系数挨次( n，n2) ．直中系数挨次1,2,3 ，⋯，∴命3, 3331 2 ，3 ，⋯，∴命n 中双曲系数n ，∴命题n 为：点 ( n ， n 2 ) 是直线y ＝ nx 与双曲线n3y ＝ x 的一个交点．5．303 个从解析： ∵ 22 的“分裂”中有连续 2 个从 1 开始的奇数， 32 的“分裂”中有连续2 21 开始的奇数， 4 的“分裂”中有连续 4 个从 1 开始的奇数， ∴ 5 的“分裂”中有连续 5 个从 1 开始的奇数，即，∴ ＝9.3, 3,33b的“分裂”挨次是从 3 开始的连续奇数， ∴ 521，又∵2 34 的“分裂”的第一个数为即 a ＝21.∴ ＋ ＝ 30.n2 位回文数均是不为 0a b6．(1)90解析： (1) 的自然数， 故有 9 个；而对于 (2)9 ×10 3 位回文数，首、末均同样且不为 0，故有 9 种，而对于中间一数可含有 0，故有 10 种，所以 3 位回文数有 90 种；对于 4 位回文数， 首、末均同样且不为 0，故有 9 种，对于中间两数则可含有 0，故有 10 种，所以也有 90 种；(2) 经概括可得 2n ＋ 1 位回文数有 9×10n 个．。

2.1.3 推理案例赏析1.进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的紧密联系.利用合情推理和演绎推理进行简单的推理.(重点、难点)2.两种推理形式的具体格式.(易混点)[小组合作型]归纳推理的应用观察如图2­1­14所示的“三角数阵”：图2­1­14记第n行的第2个数为a n(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出a n＋1与a n的关系式.【精彩点拨】(1)观察数阵，总结规律：除首末两数外，每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和，得出(1)的结果.(2)由数阵可直接写出答案.(3)写出a3-a2，a4-a3，a5-a4，从而归纳出(3)的结论.【自主解答】(1)由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数.【答案】6,16,25,25,16,6(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4，∴由此归纳：a n＋1＝a n＋n.归纳推理的一般步骤归纳推理的思想过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论.该过程包括两个步骤：(1)通过观察个别对象发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).[再练一题] 1.观察下列各式：13＋23＝1，73＋83＋103＋113＝12，163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，…. 则当n <m 且m ，n ∈N 时，3n ＋13＋3n ＋23＋…＋3m -23＋3m -13＝________.(最后结果用m ，n 表示)【解析】 当n ＝0，m ＝1时，对应第1个式子13＋23＝1，此时1＝12-0＝m 2-n 2；当n ＝2，m ＝4时，对应第2个式子73＋83＋103＋113＝12，此时12＝42-22＝m 2-n 2；当n ＝5，m ＝8时，对应第3个式子163＋173＋…＋233＝39，此时39＝82-52＝m 2-n 2.由归纳推理可知3n ＋13＋3n ＋23＋…＋3m -23＋3m -13＝m 2-n 2.【答案】 m 2-n 2类比推理的应用通过计算可得下列等式： 23-13＝3×12＋3×1＋1； 33-23＝3×22＋3×2＋1； 43-33＝3×32＋3×3＋1； …(n ＋1)3-n 3＝3×n 2＋3×n ＋1. 将以上各等式两边分别相加，得(n ＋1)3-13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋3＋…＋n )＋n ， 即12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1).类比上述求法，请你求出13＋23＋33＋…＋n 3的值.【精彩点拨】 解答本题要抓住各等式两边数的指数相类比. 【自主解答】 ∵24-14＝4×13＋6×12＋4×1＋1， 34-24＝4×23＋6×22＋4×2＋1， 44-34＝4×33＋6×32＋4×3＋1， … …(n ＋1)4-n 4＝4n 3＋6n 2＋4n ＋1.将以上各式两边分别相加，得(n ＋1)4-14＝4×(13＋23＋…＋n 3)＋6×(12＋22＋…＋n 2)＋4×(1＋2＋…＋n )＋n ， ∴13＋23＋…＋n 3＝14⎣⎢⎡n ＋14-14-6×16nn ＋1·2n ＋1-4×⎦⎥⎤n n ＋12-n ＝14n 2(n ＋1)2.1.解题方法的类比通过对不同题目条件、结论的类比，从而产生解题方法的迁移，这是数学学习中很高的境界，需要学习者熟练地掌握各种题型及相应的解题方法.2.类比推理的步骤与方法(1)弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的(细微)差别.(2)把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚.[再练一题]2.半径为r 的圆的面积S (r )＝π·r 2，周长C (r )＝2π·r ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(π·r 2)′＝2π·r ①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子②：________；②式可用语言叙述为________.【导学号：97220015】【解析】 因为半径为R 的球的体积V (R )＝43πR 3，表面积S (R )＝4πR 2，类比(πr 2)′＝2πr ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′＝4πR 2.因此②式应为：⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′＝4πR 2.且②式用语言叙述为：球的体积函数的导数等于球的表面积函数.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′＝4πR 2球的体积函数的导数等于球的表面积函数[探究共研型]合情推理与演绎推理的综合应用探究1 我们已经学过了等比数列，你有没有想到是否也有等积数列呢？类比“等比数列”，请你给出“等积数列”的定义.【提示】 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积.探究2 若{a n }是等积数列，且首项a 1＝2，公积为6，试写出{a n }的通项公式及前n 项和公式.【提示】 由于{a n }是等积数列，且首项a 1＝2，公积为6，所以a 2＝3，a 3＝2，a 4＝3，a 5＝2，a 6＝3，…，即{a n }的所有奇数项都等于2，所有偶数项都等于3，因此{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，3，n 为偶数.其前n 项和公式S n＝⎩⎪⎨⎪⎧5n2，n 为偶数，5n -12＋2＝5n -12，n 为奇数.探究3 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为A ，B ，C 三个城市中的哪一个？【提示】 由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A ，C 城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过城市A ，由此可知，乙去过的城市为A.如图2­1­17所示，三棱锥A ­BCD 的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两互相垂直，O 为点A 在底面BCD 上的射影.图2­1­17(1)求证：O 为△BCD 的垂心；(2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明.【精彩点拨】 (1)利用线面垂直与线线垂直的转化证明O 为△BCD 的重心. (2)先利用类比推理猜想出一个结论，再用演绎推理给出证明. 【自主解答】 (1)证明：∵AB ⊥AD ，AC ⊥AD ， ∴AD ⊥平面ABC ， ∴AD ⊥BC ， 又∵AO ⊥平面BCD ， ∴AO ⊥BC ， ∵AD ∩AO ＝A ， ∴BC ⊥平面AOD ，∴BC ⊥DO ，同理可证CD ⊥BO ， ∴O 为△BCD 的垂心.(2)猜想：S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ABD ＝S 2△BCD . 证明：连接DO 并延长交BC 于E ，连接AE ，BO ，CO ， 由(1)知AD ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，∴AD ⊥AE ，又AO ⊥ED ， ∴AE 2＝EO ·ED ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·AE 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·EO ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·ED ， 即S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BCD .同理可证：S 2△ACD ＝S △COD ·S △BCD ，S 2△ABD ＝S △BOD ·S △BCD .∴S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S △ABD ＝S △BCD ·(S △BOC ＋S △COD ＋S △BOD )＝S △BCD ·S △BCD ＝S 2△BCD .合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真.但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确前提和推理形式都正确的前提下.[再练一题]3.已知命题：“若数列{a n }是等比数列，且a n >0，则数列b n ＝na 1a 2…a n (n ∈N *)也是等比数列”.类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论.【解】 类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是： 若数列{a n }是等差数列，则数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn也是等差数列.证明如下：设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn＝na 1＋n n -1d 2n＝a 1＋d2(n -1)，所以数列{b n }是以a 1为首项，d2为公差的等差数列.[构建·体系]1.设k 棱柱有f (k )个对角面，则k ＋1棱柱对角面的个数为f (k ＋1)＝f (k )＋________. 【解析】 k 棱柱增加一条侧棱时，则这条侧棱和与之不相邻的k -2条侧棱可构成k -2个对角面，而增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面.所以f (k ＋1)＝f (k )＋k -2＋1＝f (k )＋k -1. 【答案】 k -12.如果一个凸多面体是n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条.这些直线中共有f (n )对异面直线，则f (4)＝________；f (n )＝________.(答案用数字或含n 的式子表示)【解析】 所有顶点确定的直线共有：棱数＋底边数＋对角线数， 即n ＋n ＋n n -32＝n 2＋n2.f (4)＝4×2＋4×12×2＝12， f (n )＝n (n -2)＋n n -32×(n -2)＝n n -1n -22.【答案】n 2＋n212n n -1n -223.下面几种推理是合情推理的是________.(填序号) ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n -2)·180°.【解析】 ①是类比推理；②是归纳推理；④是归纳推理.所以①、②、④是合情推理. 【答案】 ①②④4.(2016·深圳二模)如图2­1­18所示，我们知道，圆环也可以看作线段AB 绕圆心O 旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S ＝π(R 2-r 2)＝(R -r )×2π×R ＋r2，图2­1­18所以，圆环的面积等于以AB ＝R -r 为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成圆的周长2π×R ＋r2为长的矩形面积.请你将上述想法拓展到空间，并解决以下问题：若将平面区域M ＝{(x ，y )|(x -d )2＋y 2≤r 2}(其中0<r <d )绕y 轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积为________.【解析】 已知图中圆环的面积等于以AB ＝R -r 为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成圆的周长2π×R ＋r2为长的矩形面积，由此拓展到空间，可知：将平面区域M ＝{(x ，y )|(x -d )2＋y 2≤r 2}(其中0<r <d )绕y 轴旋转一周所形成的旋转体积的体积应等于以圆(x -d )2＋y 2＝r 2围成的圆面为底面，以圆心(d,0)绕y 轴旋转一周所形成的圆的周长2π×d 为高的圆柱的体积.故该旋转体的体积V ＝πr 2·2πd ＝2π2r 2d .【答案】 2π2r 2d5.在△ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想.【解】 由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥P ­ABC 中，三个侧面PAB ，PBC ，PCA 两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1”.证明：设P 在平面ABC 的射影为O ，延长CO 交AB 于M ，记PO ＝h ， 由PC ⊥PA ，PC ⊥PB ，得PC ⊥面PAB ， 从而PC ⊥PM ，又∠PMC ＝α，cos α＝sin∠PCO ＝hPC ，cos β＝h PA ，cos γ＝h PB. ∵V P ­ABC ＝16PA ·PB ·PC＝1312PA ·PB cos α＋12PB ·PC cos β＋12PC ·PA cos γ·h ， ∴⎝⎛⎭⎪⎫cos αPC ＋cos βPA ＋cos γPB h ＝1，即cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。

第2章推理与证明一、合情推理和演绎推理1．归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理．2．从推理所得结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得．合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．二、直接证明和间接证明1．直接证明包括综合法和分析法：(1)综合法是“由因导果”．它是从已知条件出发，顺着推证，用综合法证明命题的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒B n⇒B(A为已经证明过的命题，B为要证的命题)．它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．(2)分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，包括学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐B n⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．2．间接证明主要是反证法：反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明的一种方法．反证法主要适用于以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．(考试时间：120分钟试卷总分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．(新课标Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市．由此可判断乙去过的城市为________．解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市．答案：A2．周长一定的平面图形中圆的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是________________________________________________________________________．解析：平面图形中的图类比空间几何体中的球，周长类比表面积，面积类比体积．故可以得到的结论是：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大．答案：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大3．下列说法正确的是________．(写出全部正确命题的序号)①演绎推理是由一般到特殊的推理②演绎推理得到的结论一定是正确的③演绎推理的一般模式是“三段论”形式 ④演绎推理得到的结论的正误与大、小前提和推理形式有关解析：如果演绎推理的大前提和小前提都正确，则结论一定正确．大前提和小前提中，只要有一项不正确，则结论一定也不正确．故②错误．答案：①③④4．(陕西高考)观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中F ，V ，E 所满足的等式是_________________．解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F ＋V －E ＝2.答案：F ＋V －E ＝25．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.答案：1∶86．设函数f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．解析：∵f (x )＝12x＋2，f (1－x )＝121－x ＋2＝2x2＋2·2x ＝12·2x2＋2x .∴f (x )＋f (1－x )＝1＋12·2x2＋2x＝22， 发现f (x )＋f (1－x )正好是一个定值， ∴2S ＝22×12.∴S ＝3 2.答案：3 27．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的一个性质为________________________________________________________________________．解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心，故可猜想：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心．答案：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心8．已知x ，y ∈R ＋，当x 2＋y 2＝________时，有x 1－y 2＋y 1－x 2＝1. 解析：要使x 1－y 2＋y 1－x 2＝1， 只需x 2(1－y 2)＝1＋y 2(1－x 2)－2y 1－x 2， 即2y 1－x 2＝1－x 2＋y 2. 只需使(1－x 2－y )2＝0， 即1－x 2＝y ，∴x 2＋y 2＝1. 答案：19．设数列{a n }的前n 项和为S n ，令T n ＝S 1＋S 2＋…＋S nn，称T n 为数列a 1，a 2，…，a n 的“理想数”．已知数列a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为2 004，那么数列3，a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为________．解析：由题意知T 500＝2 004＝S 1＋S 2＋…＋S 500500，则T 501＝3＋（S 1＋3）＋（S 2＋3）＋…＋（S 500＋3）501＝500×2 004＋3×501501＝2 003.答案：2 003 10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内切于正方形ABCD ，任取圆上一点P ，若OP ―→＝mOA ―→＋nOB ―→ (m ，n ∈R )，则14是m 2，n 2的等差中项；现有一椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)内切于矩形ABCD ，任取椭圆上一点P ，若OP ―→＝mOA ―→＋nOB ―→ (m ，n ∈R )，则m 2，n 2的等差中项为________．解析：如图，设P (x ，y )，由x 2a 2＋y 2b2＝1知A (a ，b )，B (－a ，b )，由OP ―→＝mOA ―→＋nOB ―→可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝（m －n ）a ，y ＝（m ＋n ）b ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1可得(m －n )2＋(m ＋n )2＝1，即m 2＋n 2＝12，所以m 2＋n 22＝14，即m 2，n 2的等差中项为14.答案：1411．(安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________．解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，A 1A 2＝a 3＝1，…，A 5A 6＝a 7＝a 1×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.法二：求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22n ，故a 7＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.答案：1412．已知x >0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋axn ≥n ＋1，则a 的值为________．解析：由x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x ＋22x 2≥3，x ＋27x 3＝x ＋33x 3≥4，…，可推广为x ＋nnxn ≥n ＋1，故a ＝n n.答案：n n13．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1，2，3，…)，则第n 个图形中共有______________个顶点．解析：设第n 个图形中有a n 个顶点， 则a 1＝3＋3×3，a 2＝4＋4×4，…，a n －2＝n ＋n ·n ，a n ＝(n ＋2)2＋n ＋2＝n 2＋5n ＋6.答案：n 2＋5n ＋614．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为n （n ＋1）2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n ，3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n ，4)＝n 2， 五边形数 N (n ，5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n ，6)＝2n 2－n ， ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10，24)＝________．解析：N (n ，k )＝a k n 2＋b k n (k ≥3)，其中数列{a k }是以12为首项，12为公差的等差数列；数列{b k }是以12为首项，－12为公差的等差数列；所以N (n ，24)＝11n 2－10n ，当n ＝10时，N (10，24)＝11×102－10×10＝1 000.答案：1 000二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(本小题满分14分)设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab≥8.证明：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1. ∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab ≥4⎝ ⎛⎭⎪⎫当a ＝12，b ＝12时等号成立，又1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥4.(当a ＝12，b ＝12时等号成立)∴1a ＋1b ＋1ab≥8.16．(本小题满分14分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15n(n ∈N *)，若T n ＝a 1＋a 2·5＋a 3·52＋…＋a n ·5n －1，b n ＝6T n －5na n ，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，求数列{b n }的通项公式．解：因为T n ＝a 1＋a 2·5＋a 3·52＋…＋a n ·5n －1，①所以5T n ＝a 1·5＋a 2·52＋a 3·53＋…＋a n －1·5n －1＋a n ·5n，②由①＋②得：6T n ＝a 1＋(a 1＋a 2)·5＋(a 2＋a 3)·52＋…＋(a n －1＋a n )·5n －1＋a n ·5n＝1＋15×5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫152×52＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15n －1×5n －1＋a n ·5n＝n ＋a n ·5n， 所以6T n －5n a n ＝n ，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝n .17．(本小题满分14分)观察 ①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两式的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想． 解：观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34.证明：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α(cos 30°cos α－sin 30°sin α) ＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋32sin αcos α－12sin 2α＝12sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋34sin 2α ＝1－cos 2α4＋1＋cos （60°＋2α）2＋34sin 2α ＝1－cos 2α4＋12＋14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α ＝34. 18．(本小题满分16分)若a ＞b ＞c ＞d ＞0且a ＋d ＝b ＋c ，求证：d ＋a ＜b ＋c . 证明：要证d ＋a ＜b ＋c ，只需证(d ＋a )2＜(b ＋c )2，即a ＋d ＋2ad ＜b ＋c ＋2bc .因a ＋d ＝b ＋c ，则只需证ad ＜bc ，即证ad ＜bc .设a ＋d ＝b ＋c ＝t ，则ad －bc ＝(t －d )d －(t －c )c ＝(c －d )·(c ＋d －t )＜0. 故ad ＜bc 成立，从而d ＋a ＜b ＋c 成立．19．(本小题满分16分)设f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，已知a ＋b ＋c ＝0，f (0)＞0，f (1)＞0.求证：(1)a ＞0，且－2＜b a＜－1；(2)方程f (x )＝0在(0，1)内有两个实数根．证明：(1)因为a ＋b ＋c ＝0，f (0)＝c ＞0，f (1)＝3a ＋2b ＋c ＝2a ＋b ＞0， 而b ＝－a －c ，则a －c ＞0，所以a ＞c ＞0. 又2a ＞－b ，所以－2＜b a，而a ＋b ＜0，则b a ＜－1，因此有－2＜b a＜－1.(2)Δ＝(2b )2－12ac ＝4[(a ＋c )2－3ac ]＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12c 2＋3c 2，则Δ＞0，f (x )的对称轴为x ＝－b 3a ，由(1)可得13＜－b 3a ＜23，又f (0)＞0，f (1)＞0且a ＞0，故方程f (x )＝0在(0，1)内有两个实数根． 20．(本小题满分16分)已知数列{a n }满足a 1＝12，2a n ＋1＝a n a n ＋1＋1.(1)猜想数列{a n }的通项公式(不用证明)；(2)已知数列{b n }满足b n ＝(n ＋1)a n ＋2，求证：数列{b n }中的任意不同的三项都不可能成等比数列．证明：(1)由条件可得：a 1＝12，a 2＝23，a 3＝34，……猜想：a n ＝nn ＋1.(2)由(1)可知：b n ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在不同的三项b p ，b q ，b r 使其成等比数列，则b 2q ＝b p ·b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)，则有q 2＋2＋22q ＝pr ＋2＋2(p ＋r )， 化简得q 2＋22q ＝pr ＋2(p ＋r )．因为p ，q ，r ∈N *，所以有⎩⎪⎨⎪⎧q 2＝pr ，2q ＝p ＋r ，消去q 得(p ＋r )2＝4pr ，即(p －r )2＝0，所以p＝r .这与假设b p ，b q ，b r 为不同的三项矛盾，所以数列{b n }中的任意不同的三项都不可能成等比数列．。

2019-2020学年苏教版数学精品资料教学目标：1．了解合情推理和演绎推理的含义．2．能正确地运用合情推理和演绎推理进行简单的推理．3．了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别．教学重点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别．教学难点：了解合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的．教学过程：一、知识回顾从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．合情推理和演绎推理之间具有怎样的联系和差异？合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的？三个推理案例的共同点是它们都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是在推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可以分为合情推理与演绎推理．二、数学运用例1正整数平方和公式的推导．分析提出问题：我们知道，前n 个正整数的和为11()123(1)2S n n n n ＝＋＋＋＋＝＋①那么，前n 个正整数的和22222()123S n n ＝＋＋＋＋＝？②数学活动思路1（归纳的方案）如表2-1-5所示，列举出)(2n S 的前几项，希望从中归纳出一般的结论．表2-1-5n 123456…)(2n S 1514305591…但是，从表2-1-5的数据中并没有发现明显的关系．这时我们可能会产生一个念头：)(1n S 与)(2n S 会不会有某种联系？如表2-1-6所示，进一步列举出)(1n S 的值，比较)(1n S 与)(2n S ，希望能有所发现．尝试计算，终于在计算)(1n S 和)(2n S 的比时，发现“规律”了（表2-1-7）．表2-1-7n 123456…)(1n S 136101521…)(2n S 1514305591…)()(12n S n S 33353739311313…从表2-1-7中发现21()21()3S n n S n ＋＝，于是，猜想2(1)(21)()6n n n S n ＋＋＝．公式③的正确性还需要证明．思考上面的数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥什么作用？思路2（演绎的方案）尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和．（1）把正整数的平方表示出来，有12＝1，22＝22(11)1211＋＝＋×＋，32＝22(21)2221＋＝＋×＋，42＝22(31)3231＋＝＋×＋，…n 2＝2(1)2(1)1n n －＋－＋，左右两边分别相加，得2221()[()][2()2]S n S n n S n n n ＝－＋－＋，等号两边的)(2n S 被消去了，所以无法从中求出)(2n S 的值，尝试失败了！（2）从失败中汲取有用信息，进行新的尝试．前面的失败尝试还是有意义的，因为尽管我们没有求出)(2n S ，但是却求出了)(1n S 的表达式，即212(1)()22n n nn n S n ＋－＋＝＝．它启示我们：既然能用上面的方法求出)(1n S ，那么我们也应该可以用类似的方法求出)(2n S ．（3）尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式．具体方法如下：13＝1，23＝332(11)131311＋＝＋×＋×＋，33＝332(21)232321＋＝＋×＋×＋，43＝332(31)333331＋＝＋×＋×＋，…43＝32(1)3(1)3(1)1n n n －＋－＋－＋．左右两边分别相加，得23321()[()3]3[()]3[()]S n S n n S n n S n n n ＝－＋－＋－＋．由此可知322323()()3n n n S n S n ＋＋－＝＝32236n n n＋＋＝(1)(21)6n n n ＋＋，终于导出了公式．思考上面的数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用？例2棱台体积公式的推导．提出问题能通过类比推测出棱台的体积公式吗？数学活动思路：试图以四棱台为例，通过和梯形的类比推测公式．（1）确定类比对象．对梯形和四棱台作比较，如表2-1-8所示．表2-1-8梯形四棱台上、下底平行上、下底面平行另外两边不平行另外4个面不平行两腰延长后交于一点4个侧面伸展后交于一点中位线平行于上、下底中截面平行于上、下底面据此，使我们产生了把梯形选为类比对象的念头．（2）对类比对象的进一步分析．梯形可以认为是用平行于三角形一边的直线截去一个小三角形后得到的，而棱台侧可认为是用平行于棱锥底面的平面截去一个小棱锥后得到的，据此，应该有如下的对应关系：直线平面，三解形棱锥，梯形棱台．进而有梯形底边长棱台底面积，三角形面积棱锥体积，梯形面积棱台体积．（3）通过类比推理，建立猜想．求棱台的体积的方法与求梯形面积的方法是类似的，棱台的体积公式与梯形的面积公式是类似的．于是由梯形的面积公式1()2S h a b 梯形＝＋④其中b a,分别表示梯形上、下底的长度，h 表示高，猜想棱台的体积公式可能具有如下的形式1()2V h S S 下棱台上＝＋⑤其中S S 下上，分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高．（4）验证猜想．⑤式的正确性要通过严格的证明来确认．在作出正式的证明之前，可以先通过具体的例子加以检验．把棱锥看成棱台的特例．此时，公式⑤中的0S 上＝，因此有12V hS 下＝，这与实际结果1S 3h 下不符，这表明，猜想⑤是错误的，需要修正．于是设想公式具有01()3V h S S S 下棱台上＝＋＋⑥的形式，其中0S 应该是表示面积的量．它究竟是多少还有待进一步确定．与⑤式相比，公式⑥的分母从2变为3，相应的分子从2项变为3项，这些都恰如其分地反映了2维和3维的差异．因此，公式⑥从整体结构上就给人以一种协调的美感．应该说，公式⑥比公式⑤更合理．既然⑥式被认为是合理的，那么下一步的行动就是要具体的确定公式中0S 的意义和大小了．容易看出：第一，由于从棱锥的体积公式可知，当0S 上＝时，0S ＝0，因此，0S 应含有S 上的因子．第二，棱台的上底和下底具有同等地位，因此S 上和S 下在公式中应该具有同等地位，据此，我们可以猜想0S 具有k S S 下上的形式．第三，进一步确定k 的值．仍然作用特殊化的方法，当S 上＝S 下时，棱台变为棱柱，则01()3V h S k S S S hS 下下棱台上上＝＋＋＝.此时S 上＝S 下＝0S ，所以有k ＝1，因此，0S ＝S S 下上，⑥式即为1()3V h S S S S 下下棱台上上＝＋＋⑦思考数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用？三、学生探究上面的案例说明：1．数学发现活动是一个探索创造的过程．这是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程．合情推理和演绎推理相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程．2．合理推理是富于创造性的或然推理．在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用．3．演绎推理是形式化程度较高的必然推理．在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据．四、课堂总结对这两种推理在数学活动中的作用，著名的数学教育家G.波利亚作了精辟的论述：“数学的创造过程与任何其他知识的创造过程一样，在证明一个数学定理之前，先得猜测这个定理的内容；在完成详细的证明之前，先得到推测证明的思路．创造过程是一个艰苦曲折的过程．数学家创造性的工作是论证推理，即证明，但这个证明是通过合情推理、通过猜想而发现的．”五、课后作业教材第81页习题2.1第1题，第2题，第3题，第5题，第6题，第7题.。

2.1.1 合情推理
教学目标：
1.了解合情推理的含义；理解归纳推理的概念，能利用归纳的方法进行一些简单的推理.
2.培养学生的归纳探索能力，提高学生的创新意识.
3.培养学生勇于创新而又不失严谨的思维习惯和在探索真理时锲而不舍的钻研精神.
重点与难点：
本节课的教学重点是归纳推理的概念理解和应用；教学难点是提高学生从特殊到一般的归纳能力.
教学方式：
本节课采用的是启发式教学，综合使用了讲授、问答、活动等多种教学方式.
教学工具：
多媒体、圆纸片、硬币.
教学过程：
问题引入，激发兴趣
事先准备好两顶白帽子，
最后让学生睁开眼睛，
引导学生这种前提为真时，
而且
思考：在没有实物的情况下，如何简捷地表示移动过程，总结归纳推理的一般步骤：22223333n n =个2个3. *41,N n n ++∈，计算)10(,),f 的值，并归纳一般性结论
以问题的方式引导学生思考“推理”与“证明。

2.1.3 推理案例赏析教学目标：1. 了解合情推理和演绎推理的含义;2. 能正确地运用合情推理和演绎推理进行简单的推理;3. 了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别. 教学重点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别教学难点：了解合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的. 教学过程： 一.问题情境复习合情推理和演绎推理 二.数学运用例1. 正整数平方和公式的推导.(课本P40例1) 提出问题我们知道，前n 个正整数的和为),1(21321)(1+=++++=n n n n S ① 那么，前n 个正整数的平方和=)(2n S ?3212222=++++n ②数学活动思路1(归纳的方案） (参见课本)思考 ：上面的数学活动是由哪些环节构成的？ 在这个过程中提出了哪些猜想？ 提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用？ 思路2 （演绎的方案）(参见课本)思考： 上面的数学活动是由哪些环节构成的？ 在这个过程中提出了哪些猜想？ 提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用。

例2.棱台体积公式的推导.(课本P43阅读探究)例3. 已知表中的对数值有且只有两个是错误的．给出判断过程；（2）试将两个错误的对数值均指出来并加以改正．（不要求证明）答案：（1）由lg5=a+c，得lg2=1-a-c．∴lg6=lg2+lg3=1-a-c+2a-b=1+a-b-c，满足表中数值，也就是lg6在假设下是正确的．（2）lg1.5是错误的，正确值应为3a-b+c-1．lg7是错误的，正确值应为2b+c．注意: 表中的数据，lg5与lg7至少有一个错误的．本题旨在考查数据处理、推理与证明的能力，考查对数的运算。

问题背景新颖，具有公平性，体现新课标的理念，体现创新性．三.回顾小结：（1）数学发现过程是一个探索创造的过程.是一个不断地提出猜想验证猜想的过程，合情推理和论证推理相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程. （2）合情推理是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论，提供思路的作用.（3）演绎推理是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据.四. 推理与证明作业:1、在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中"( )"内. 140, 852.由数列的前四项:2,1 ,8,8,……归纳出通项公式na=___ _.n23.在下列表格中,每格填上一个数字后,使每一行成等差数列,每一列成等比数列,则a+b+c 的值是___ . 14.由“等腰三角形的两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是 . 侧面都是全等的三角形5.下列推理中属于合情推理的序号是_____________.(2)(3)(1)小孩见穿"白大褂"就哭； (2)凡偶数必能被2整除，因为0能被2整除，所以0是偶数； (3)因为光是波，所以光具有衍射性质； (4)鲁班被草划破了手而发明了锯.6．将正偶数按下表排成5列，则2006在第 行、第 列. 第251行、第4列7.===，．．．,)a b R =∈ 试推测=a ，=b . 6，358.数列{}n a 中，a 1=1，S n 表示前n 项和，且S n ，S n+1，2S 1成等差数列，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想当n≥1时，S n = . 1212--n n9. 如图，已知P 为正△ABC 内部一点，P 到边BC 、AC 、AB 的距离分别为a p ，b p ，c p ，正△ABC 的高为h.（1）求证：h=a p +b p +c p ，（2）试通过类比,写出在空间中的类似结论, 并证明之. 解（1）连PA,PB,PC,设正三角形ABC 的边长为a ， ∵ ABC PBC PAC PAB S S S S ∆∆∆∆=++ ∴11112222a b c a h a p a p a p ⋅=⋅+⋅+⋅ ∴ h=a p +b p +c p .（2）如图，设P 为正四面体内部一点，P 到面BCD 、面ACD 、面ABD 、面ABC 的距离分别为,,,a b c d p p p p ，正四面体的高为h ， 猜想：h=a p +b p +c p +d p .证明：连PA,PB,PC,PD ，设正四面体各个面的面积为S ，则： 由P ABC P BCD P ACD P ABD P ABC V V V V V -∆-∆-∆-∆-∆=+++ 得：1111133333a b c d S h S p S p S p S p ⋅=⋅+⋅+⋅+⋅ ∴ h=a p +b p +c p +d p .。

高二数学：第2章《推理与证明》教案苏教版一、考点、要点、疑点：考点：1、明白得合情推理与演绎推理； 2、了解分析法和综合法； 3、了解反证法。

要点：1、合情推理〔归纳和类比〕在数学发觉中的作用。

2、演绎推理的差不多模式〔三段论〕。

3、证明的三种差不多方法〔分析法、综合法、反证法〕各自的摸索过程、特点。

二、典型例题解析：例1、观看以下两等式的规律，请写出一个〔包含下面两命题〕一样性的命题：①23150sin 90sin 30sin 020202=++； ② 23125sin 65sin 5sin 020202=++例2、ABC ∆中，假设a BC b AC BC AC ==⊥,,，那么ABC ∆的外接圆半径2r =，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S ABC -中，假设SA SB SC 、、两两垂直，,,SA a SB b SC c ===，那么四面体S ABC -的外接球半径R =____________．例3、表中的对数值有且只有两个是错误的．〔给出判定过程；〔2〕试将两个错误的对数值均指出来并加以改正．〔不要求证明〕三、课堂练习：1、观看以下两等式的规律，请写出一个〔包含下面两命题〕一样性的命题：①4330sin 30sin 30sin 30sin 000202=⋅++；②4320sin 40sin 20sin 40sin 000202=⋅++2、假设三角形内切圆的半径为r ，三边长分不为c b a ,,，那么三角形的面积)(21c b a r S ++=。

依照类比推理的方法，假设一个四面体的内切球的半径为R ，四个面的面积分不为4321,,,S S S S ，那么四面体的体积=V 。

3、设),()(,sin )(010x f x f x x f '==Nn x f x f x f x f n n ∈'='=+),()(,),()(112 ，那么)(2008x f ＝ 。