2020高考数学一轮复习课时分层训练27平面向量的基本定理及坐标表示理北师大版

课时分层训练(二十四) 平面向量基本定理及坐标表示A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．如图4­2­2，设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组：图4­2­2①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.其中可作为该平面内其他向量的基底的是( ) A ．①② B ．①③ C ．①④D ．③④B [①中AD →，AB →不共线；③中CA →，DC →不共线．]2．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( ) 【导学号：00090132】 A ．－12a ＋32bB ．12a －32bC ．－32a －12bD ．－32a ＋12bB [设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝－32，∴c ＝12a －32B ．]3．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向 D [由题意可得c 与d共线，则存在实数λ，使得c ＝λd ，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝－λ，解得k ＝－1.c ＝－a ＋b ＝－(a －b )＝－d ，故c 与d 反向．]4．如图4­2­3，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2PA →，则 ( )图4­2­3A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14A [由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2PA →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13.]5．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( ) A ．(－2,7) B ．(－6,21) C ．(2，－7)D ．(6，－21)B [AQ →＝PQ →－PA →＝(－3,2)，∵点Q 是AC 的中点，∴AC →＝2AQ →＝(－6,4)，PC →＝PA →＋AC →＝(－2,7)，∵BP →＝2PC →，∴BC →＝3PC →＝(－6,21)．] 二、填空题6．(2017·陕西质检(二))若向量a ＝(3,1)，b ＝(7，－2)，则与向量a －b 同方向单位向量的坐标是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 [由题意得a －b ＝(－4,3)，则|a －b |＝－2＋32＝5，则a －b 的单位向量的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35.] 7．已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且A (1,1)，C (2,3)，|BC →|＝2|AC →|，则向量OB →的坐标是________．(4,7) [由点C 是线段AB 上一点，|BC →|＝2|AC →|，得BC →＝－2AC →.设点B 为(x ，y )，则(2－x,3－y )＝－2(1,2)，即⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝－2，3－y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝7.所以向量OB →的坐标是(4,7)．]8．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________．m ≠54[由题意得AB →＝(－3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，若A ，B ，C 能构成三角形，则AB →，AC→不共线，则－3×(1－m )≠1×(2－m )，解得m ≠54.]三、解答题9．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b ). (1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标. 【导学号：00090133】 [解] (1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1). 2分∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →.∵2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2. 5分 (2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2). 7分∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3，∴点C 的坐标为(5，－3).12分10．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .[解] (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，2分所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.5分(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，7分 由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2018·宁波模拟)已知O ，A ，B 是平面上不共线的三个点，直线AB 上有一点C 满足2AC →＋CB →＝0，则OC →＝( ) A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB →C ．23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB →A [由2AC →＋CB →＝0得AC →＋AB →＝0，即AC →＝－AB →，则OC →＝OA →＋AC →＝OA →－AB →＝OA →－(OB →－OA →)＝2OA →－OB →.]2．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图4­2­4所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.图4­2­44 [以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，∴a ＝AO →＝(－1,1)，b ＝OB →＝(6,2)，c ＝BC →＝(－1，－3)． ∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)， 即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3， 解得λ＝－2，μ＝－12，∴λμ＝4.]3．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →.(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线. 【导学号：00090134】 [解] (1)OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4) ＝(4t 2,2t 1＋4t 2).2分当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.5分 (2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2). 7分∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →， 10分∴AM →与AB →共线，又有公共点A ，∴A ，B ，M 三点共线.12分。

【2019最新】精选高考数学一轮复习课时分层训练27平面向量的基本定理及坐标表示理北师大版A 组 基础达标一、选择题1．下列各组向量中，可以作为基底的是( )A ．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)B ．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)C ．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D ．e1＝(2，－3)，e2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34B [两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.]2．(2018·贵州适应性考试)已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，c ＝(2,3)，若a ＋λb 与c 共线，则实数λ＝( ) A. B ．－25 C.D ．－35B [由已知得a ＋λb ＝(2－λ，4＋λ)，因为向量a ＋λb 与c 共线，设a ＋λb ＝mc ，所以解得故选B.]3．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )【导学号：79140153】A ．－a ＋bB ．a －bC ．－a －bD ．－a ＋bB [设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)， ∴∴∴c＝a －b.]4．已知点A(－1,5)和向量a ＝(2,3)，若＝3a ，则点B 的坐标为( )A ．(7,4)B ．(7,14)C ．(5,4)D ．(5,14)D [设点B 的坐标为(x ，y)，则＝(x ＋1，y －5)．由＝3a ，得解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝14.故点B 的坐标为(5,14)．]5．(2017·江西南昌十校二模)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x,3y －5)，且a∥b，若x ，y 均为正数，则xy 的最大值是( ) A ．2 B ．2512 C ．D ．256C [∵a∥b，∴(3y－5)×1＋2x ＝0，即2x ＋3y ＝5. ∵x＞0，y ＞0，∴5＝2x ＋3y≥2，∴xy≤，当且仅当3y ＝2x 时取等号．] 二、填空题6．向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，则b 为________．(－3,4) [由a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，得2b ＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，∴b＝(－6,8)＝(－3,4)．]7．已知向量a ＝(3cos α，2)与向量b ＝(3,4sin α)平行，则锐角α等于________.【导学号：79140154】π4[因为a ＝(3cos α，2)，b ＝(3,4sin α)，且a∥b，所以3cos α·4sin α－2×3＝0，解得sin 2α＝1. 因为α∈，所以2α∈(0，π)， 所以2α＝，即α＝.]8．如图4­2­3，已知▱ABCD 的边BC ，CD 上的中点分别是M ，N ，且＝e1，＝e2，若＝xe2＋ye1(x ，y∈R)，则x ＋y ＝________.图4­2­3...23 [设＝a ，＝b ，则＝a ，＝－b. 由题意得解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43e2－23e1，b ＝43e1－23e2.∴＝e2－e1. 故x ＝，y ＝－， ∴x＋y ＝.]三、解答题9．如图4­2­4，在梯形ABCD 中，AD∥BC，且AD ＝BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设＝a ，＝b ，试用a ，b 为基底表示向量，，.图4­2­4[解] ＝＋＋＝－b －a ＋b ＝b －a ，DF →＝＋＝－b ＋＝b －a ， CD →＝＋＝－b －＝a －b.10．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ； (2)若(a ＋kc)∥(2b－a)，求实数k.[解] (1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，所以解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k)，2b －a ＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k ＝－.B 组 能力提升11．已知点A(2,3)，B(4,5)，C(7,10)，若＝＋λ(λ∈R)，且点P 在直线x －2y ＝0上，则λ的值为( )A. B ．－23 C.D ．－32B [设P(x ，y)，则由＝＋λ，得(x －2，y －3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，∴x＝5λ＋4，y ＝7λ＋5.又点P 在直线x －2y ＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－.故选B.] 12．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且＝3，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若＝x ＋(1－x)，则x 的取值范围是( ) A. B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C.D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 D [法一：依题意，设＝λ，其中1＜λ＜，则有＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.又＝x ＋(1－x)·，且、不共线，于是有x ＝1－λ∈，即x 的取值范围是，选D.法二：∵＝x ＋－x ，∴－＝x(－)，即＝x ＝－3x ，∵O 在线段CD(不含C 、D 两点)上，∴0＜－3x ＜1，∴－＜x ＜0.]13．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．k≠1 [若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量，不共线．∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝－＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.]14．已知三点A(a,0)，B(0，b)，C(2,2)，其中a ＞0，b ＞0.(1)若O 是坐标原点，且四边形OACB 是平行四边形，试求a ，b 的值； (2)若A ，B ，C 三点共线，试求a ＋b 的最小值.【导学号：79140155】[解] (1)因为四边形OACB 是平行四边形，所以＝，即(a,0)＝(2,2－b)，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，2－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.故a ＝2，b ＝2.(2)因为＝(－a ，b)，＝(2,2－b)， 由A ，B ，C 三点共线，得∥，所以－a(2－b)－2b ＝0，即2(a ＋b)＝ab ， 因为a ＞0，b ＞0， 所以2(a ＋b)＝ab≤， 即(a ＋b)2－8(a ＋b)≥0， 解得a ＋b≥8或a ＋b≤0. 因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b≥8，即a ＋b 的最小值是8. 当且仅当a ＝b ＝4时，“＝”成立．。

一、知识梳理１．平面向量基本定理如果e１，e２是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ１，λ２，使a＝λ１e１＋λ２e２．其中，不共线的向量e１，e２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．２．平面向量的坐标运算（１）向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），则a＋b＝（x１＋x２，y１＋y２），a—b＝（x１—x２，y１—y２），λa＝（λx１，λy１），|a|＝错误!．（２）向量坐标的求法１若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；２设A（x１，y１），B（x２，y２），则错误!＝（x２—x１，y２—y１），|错误!|＝错误!．３．平面向量共线的坐标表示设a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），其中b≠0，a∥b⇔x１y２—x２y１＝0．常用结论１．基底需要的关注三点（１）基底e１，e２必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．（２）基底给定，同一向量的分解形式唯一．（３）如果对于一组基底e１，e２，有a＝λ１e１＋λ２e２＝μ１e１＋μ２e２，则可以得到错误!２．共线向量定理应关注的两点（１）若a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），则a∥b的充要条件不能表示成错误!＝错误!，因为x２，y２有可能等于0，应表示为x１y２—x２y１＝0．（２）判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定．３．两个结论（１）已知P为线段AB的中点，若A（x１，y１），B（x２，y２），则P点坐标为错误!.（２）已知△ABC的顶点A（x１，y１），B（x２，y２），C（x３，y３），则△ABC的重心G的坐标为错误!.二、教材衍化１．若P１（１，３），P２（４，0）且P是线段P１P２的一个三等分点，则点P的坐标为（）Ａ．（２，２）Ｂ．（３，—１）Ｃ．（２，２）或（３，—１）Ｄ．（２，２）或（３，１）解析：选Ｄ．由题意得错误!＝错误!错误!或错误!＝错误!错误!，错误!＝（３，—３）．设P（x，y），则错误!＝（x—１，y—３），当错误!＝错误!错误!时，（x—１，y—３）＝错误!（３，—３），所以x ＝２，y＝２，即P（２，２）；当错误!＝错误!错误!时，（x—１，y—３）＝错误!（３，—３），所以x ＝３，y＝１，即P（３，１）．故选Ｄ．２．已知▱ABCD的顶点A（—１，—２），B（３，—１），C（５，6），则顶点D的坐标为________．解析：设D（x，y），则由错误!＝错误!，得（４，１）＝（５—x，6—y），即错误!解得错误!答案：（１，５）３．已知向量a＝（２，３），b＝（—１，２），若m a＋n b与a—２b共线，则错误!＝________．解析：由向量a＝（２，３），b＝（—１，２），得m a＋n b＝（２m—n，３m＋２n），a—２b＝（４，—１）．由m a＋n b与a—２b共线，得错误!＝错误!，所以错误!＝—错误!.答案：—错误!一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．（）（２）若a，b不共线，且λ１a＋μ１b＝λ２a＋μ２b，则λ１＝λ２，μ１＝μ２.（）（３）平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．（）（４）若a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），则a∥b的充要条件可表示成错误!＝错误!.（）答案：（１）×（２）√（３）√（４）×二、易错纠偏错误!错误!（１）忽视基底中基向量不共线致错；（２）弄不清单位向量反向的含义出错；（３）不正确运用平面向量基本定理出错．１．给出下列三个向量：a＝（—２，３），b＝错误!，c＝（—１，１）．在这三个向量中任意取两个作为一组，能构成基底的组数为________．解析：易知a∥b，a与c不共线，b与c不共线，所以能构成基底的组数为２．答案：２２．已知A（—５，8），B（7，３），则与向量错误!反向的单位向量为________．解析：由已知得错误!＝（１２，—５），所以|错误!|＝１３，因此与错误!反向的单位向量为—错误!错误!＝错误!.答案：错误!３．如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若错误!＝λ错误!＋μ错误!，则λ＋μ的值为________．解析：因为E为DC的中点，所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!，即错误!＝—错误!错误!＋错误!，所以λ＝—错误!，μ＝１，所以λ＋μ＝错误!.答案：错误!平面向量基本定理的应用（师生共研）（１）（一题多解）如图，在直角梯形ABCD中，AB＝２AD＝２DC，E为BC边上一点，错误!＝３错误!，F为AE的中点，则错误!＝（）Ａ．错误!错误!—错误!错误!Ｂ．错误!错误!—错误!错误!Ｃ．—错误!错误!＋错误!错误!Ｄ．—错误!错误!＋错误!错误!（２）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝２CD，M，N分别为CD，BC的中点．若错误!＝λ错误!＋μ错误!，则λ＋μ＝________．【解析】（１）法一：如图，取AB的中点G，连接DG，CG，则易知四边形DCBG为平行四边形，所以错误!＝错误!＝错误!—错误!＝错误!—错误!错误!，所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!，于是错误!＝错误!—错误!＝错误!错误!—错误!＝错误!错误!—错误!＝—错误!错误!＋错误!错误!，故选Ｃ．法二：错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝—错误!＋错误!错误!＝—错误!＋错误!错误!＝—错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＋错误!（错误!＋错误!＋错误!）＝—错误!错误!＋错误!错误!.（２）因为错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋（错误!＋错误!）＝２错误!＋错误!＋错误!＝２错误!—错误!错误!—错误!，所以错误!＝错误!错误!—错误!错误!，所以λ＝—错误!，μ＝错误!，所以λ＋μ＝错误!.【答案】（１）C （２）错误!错误!平面向量基本定理应用的实质和一般思路（１）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．（２）用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．[提醒] 在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．１．（２0２0·宝鸡一模）在△ABC中，O为△ABC的重心，若错误!＝λ错误!＋μ错误!，则λ—２μ＝（）Ａ．—错误!Ｂ．—１Ｃ．错误!Ｄ．—错误!解析：选Ｄ．设AC的中点为D，因为O为△ABC的重心，所以错误!＝错误!错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝—错误!错误!＋错误!×错误!错误!＝—错误!错误!＋错误!错误!，所以λ＝—错误!，μ＝错误!，所以λ—２μ＝—错误!，故选Ｄ．２．已知点A，B为单位圆O上的两点，点P为单位圆O所在平面内的一点，且错误!与错误!不共线．（１）在△OAB中，点P在AB上，且错误!＝２错误!，若错误!＝r错误!＋s错误!，求r＋s的值；（２）已知点P满足错误!＝m错误!＋错误!（m为常数），若四边形OABP为平行四边形，求m的值．解：（１）因为错误!＝２错误!，所以错误!＝错误!错误!，所以错误!＝错误!（错误!—错误!）＝错误!错误!—错误!错误!，又因为错误!＝r错误!＋s错误!，所以r＝错误!，s＝—错误!，所以r＋s＝0．（２）因为四边形OABP为平行四边形，所以错误!＝错误!＋错误!，又因为错误!＝m错误!＋错误!，所以错误!＝错误!＋（m＋１）错误!，依题意错误!，错误!是非零向量且不共线，所以m＋１＝0，解得m＝—１．平面向量的坐标运算（多维探究）角度一已知向量的坐标进行坐标运算（１）已知向量a＝（５，２），b＝（—４，—３），c＝（x，y），若３a—２b＋c＝0，则c＝（）Ａ．（—２３，—１２）Ｂ．（２３，１２）Ｃ．（7，0）Ｄ．（—7，0）（２）平面直角坐标系xOy中，已知A（１，0），B（0，１），C（—１，c）（c>0），且|错误!|＝２，若错误!＝λ错误!＋μ错误!，则实数λ＋μ的值为________．【解析】（１）３a—２b＋c＝（２３＋x，１２＋y）＝0，故x＝—２３，y＝—１２，故选A.（２）因为|错误!|＝２，所以|错误!|２＝１＋c２＝４，因为c>0，所以c＝错误!.因为错误!＝λ错误!＋μ错误!，所以（—１，错误!）＝λ（１，0）＋μ（0，１），所以λ＝—１，μ＝错误!，所以λ＋μ＝错误!—１．【答案】（１）A（２）错误!—１角度二解析法（坐标法）在向量中的应用（１）向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb（λ，μ∈R），则错误!＝________．（２）在矩形ABCD中，AB＝１，AD＝２，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若错误!＝λ错误!＋μ错误!，则λ＋μ的最大值为________．【解析】（１）以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系（设每个小正方形边长为１），则A（１，—１），B（6，２），C（５，—１），所以a＝错误!＝（—１，１），b＝错误!＝（6，２），c＝错误!＝（—１，—３）．因为c＝λa＋μb，所以（—１，—３）＝λ（—１，１）＋μ（6，２），即错误!解得λ＝—２，μ＝—错误!，所以错误!＝４．（２）以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（１，0），C（１，２），D（0，２），可得直线BD的方程为２x＋y—２＝0，点C到直线BD的距离为错误!＝错误!，圆C：（x—１）２＋（y—２）２＝错误!，因为P在圆C上，所以P（１＋错误!cos θ，２＋错误!sin θ），错误!＝（１，0），错误!＝（0，２），错误!＝λ错误!＋μ错误!＝（λ，２μ），所以错误!λ＋μ＝２＋错误!cos θ＋错误!sin θ＝２＋sin（θ＋φ）≤３，tan φ＝２．【答案】（１）４（２）３错误!（１）向量坐标运算的策略１向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行；２若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标；３解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．（２）向量问题坐标化当题目条件中所给的几何图形方便建立平面直角坐标系（如矩形、等腰三角形等）时，可建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为代数问题，更便于计算求解．１．已知平行四边形ABCD中，错误!＝（３，7），错误!＝（—２，３），对角线AC与BD交于点O，则错误!的坐标为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．因为错误!＝错误!＋错误!＝（—２，３）＋（３，7）＝（１，１0），所以错误!＝错误!错误!＝错误!，所以错误!＝错误!.２．给定两个长度为１的平面向量错误!和错误!，它们的夹角为错误!.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧错误!上运动．若错误!＝x错误!＋y错误!，其中x，y∈R，则x＋y的最大值为________．解析：以O为坐标原点，错误!所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A（１，0），B错误!，设∠AOC＝α错误!，则C（cos α，sin α），由错误!＝x错误!＋y错误!，得错误!所以x＝cos α＋错误!sin α，y＝错误!sin α，所以x＋y＝cos α＋错误!sin α＝２sin错误!，又α∈错误!，所以α＋错误!∈错误!，所以sin错误!∈错误!，故x＋y的最大值为２．答案：２平面向量共线的坐标表示（多维探究）角度一利用两向量共线求参数或坐标（１）（２0２0·开封模拟）已知平面向量a，b，c，a＝（—１，１），b＝（２，３），c＝（—２，k），若（a＋b）∥c，则实数k＝________．（２）已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝２AB，三个顶点A（１，２），B（２，１），C（４，２），则点D的坐标为________．【解析】（１）由题意，得a＋b＝（１，４），由（a＋b）∥c，得１×k＝４×（—２），解得k＝—8．（２）因为在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝２AB，所以错误!＝２错误!.设点D的坐标为（x，y），则错误!＝（４，２）—（x，y）＝（４—x，２—y），错误!＝（２，１）—（１，２）＝（１，—１），所以（４—x，２—y）＝２（１，—１），即（４—x，２—y）＝（２，—２），所以错误!解得错误!故点D的坐标为（２，４）．【答案】（１）—8 （２）（２，４）角度二利用向量共线求解三点共线问题已知向量错误!＝（k，１２），错误!＝（４，５），错误!＝（—k，１0），且A，B，C三点共线，则k的值是（）Ａ．—错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!【解析】错误!＝错误!—错误!＝（４—k，—7），错误!＝错误!—错误!＝（—２k，—２）．因为A，B，C三点共线，所以错误!，错误!共线，所以—２×（４—k）＝—7×（—２k），解得k＝—错误!.【答案】A错误!（１）两平面向量共线的充要条件有两种形式：１若a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），则a∥b的充要条件是x１y２—x２y１＝0；２已知b≠0，则a∥b的充要条件是a＝λb（λ∈R）．（２）利用向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均为非零实数时，也可以利用坐标对应成比例来求解．１．已知向量a＝（１，２），b＝（２，—２），c＝（１，λ）．若c∥（２a＋b），则λ＝________．解析：２a＋b＝（４，２），因为c＝（１，λ），且c∥（２a＋b），所以１×２＝４λ，即λ＝错误!.答案：错误!２．已知a＝（１，0），b＝（２，１）．（１）当k为何值时，k a—b与a＋２b共线？（２）若错误!＝２a＋３b，错误!＝a＋m b且A，B，C三点共线，求m的值．解：（１）k a—b＝k（１，0）—（２，１）＝（k—２，—１），a＋２b＝（１，0）＋２（２，１）＝（５，２）．因为k a—b与a＋２b共线，所以２（k—２）—（—１）×５＝0，即２k—４＋５＝0，得k＝—错误!.（２）法一：因为A，B，C三点共线，所以错误!＝λ错误!，即２a＋３b＝λ（a＋m b），所以错误!，解得m＝错误!.法二：错误!＝２a＋３b＝２（１，0）＋３（２，１）＝（8，３），错误!＝a＋m b＝（１，0）＋m（２，１）＝（２m＋１，m）．因为A，B，C三点共线，所以错误!∥错误!.所以8m—３（２m＋１）＝0，即２m—３＝0，所以m＝错误!.平面向量与三角形的“四心”设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c则（１）O为△ABC的外心⇔|错误!|＝|错误!|＝|错误!|＝错误!.（２）O为△ABC的重心⇔错误!＋错误!＋错误!＝0．（３）O为△ABC的垂心⇔错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!·错误!.（４）O为△ABC的内心⇔a错误!＋b错误!＋c错误!＝0．一、平面向量与三角形的“重心”问题已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足错误!＝错误![（１—λ）错误!＋（１—λ）错误!＋（１＋２λ）·错误!]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过（）Ａ．△ABC的内心Ｂ．△ABC的垂心Ｃ．△ABC的重心Ｄ．AB边的中点【解析】取AB的中点D，则２错误!＝错误!＋错误!，因为错误!＝错误![（１—λ）错误!＋（１—λ）错误!＋（１＋２λ）错误!]，所以错误!＝错误![２（１—λ）错误!＋（１＋２λ）错误!]＝错误!错误!＋错误!错误!，而错误!＋错误!＝１，所以P，C，D三点共线，所以点P的轨迹一定经过△ABC的重心．【答案】C二、平面向量与三角形的“内心”问题在△ABC中，AB＝５，AC＝6，cos A＝错误!，O是△ABC的内心，若错误!＝x错误!＋y错误!，其中x，y∈[0，１]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!C．４错误!Ｄ．6错误!【解析】根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC面积的２倍．在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a２＝b２＋c２—２bc cos A，得a＝7．设△ABC的内切圆的半径为r，则错误!bc sin A＝错误!（a＋b＋c）r，解得r＝错误!，所以S△BOC＝错误!×a×r＝错误!×7×错误!＝错误!.故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为２S△BOC＝错误!.【答案】B三、平面向量与三角形的“垂心”问题已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足错误!＝错误!＋λ（错误!＋错误!），λ∈（0，＋∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）Ａ．重心Ｂ．垂心C．外心Ｄ．内心【解析】因为错误!＝错误!＋λ错误!，所以错误!＝错误!—错误!＝λ错误!，所以错误!·错误!＝错误!·λ错误!＝λ（—|错误!|＋|错误!|）＝0，所以错误!⊥错误!，所以点P在BC的高线上，即动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心．【答案】B四、平面向量与三角形的“外心”问题已知在△ABC中，AB＝１，BC＝错误!，AC＝２，点O为△ABC的外心，若错误!＝x错误!＋y错误!，则有序实数对（x，y）为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!【解析】取AB的中点M和AC的中点N，连接OM，ON，则错误!⊥错误!，错误!⊥错误!，错误!＝错误!—错误!＝错误!错误!—（x错误!＋y错误!）＝错误!错误!—y错误!，错误!＝错误!—错误!＝错误!错误!—（x错误!＋y错误!）＝错误!错误!—x错误!.由错误!⊥错误!，得错误!错误!２—y错误!·错误!＝0，１由错误!⊥错误!，得错误!错误!２—x错误!·错误!＝0，２又因为错误!２＝（错误!—错误!）２＝错误!２—２错误!·错误!＋错误!，所以错误!·错误!＝错误!＝—错误!，３把３代入１，２得错误!解得x＝错误!，y＝错误!.故实数对（x，y）为错误!.【答案】A[基础题组练]１．在平面直角坐标系中，已知向量a＝（１，２），a—错误!b＝（３，１），c＝（x，３），若（２a＋b）∥c，则x＝（）Ａ．—２Ｂ．—４C．—３Ｄ．—１解析：选Ｄ．因为a—错误!b＝（３，１），所以a—（３，１）＝错误!b，则b＝（—４，２）．所以２a＋b＝（—２，6）．又（２a＋b）∥c，所以—6＝6x，x＝—１．故选Ｄ．２．（２0２0·安徽合肥第一次质检）设向量a＝（—３，４），向量b与向量a方向相反，且|b|＝１0，则向量b的坐标为（）Ａ．错误!Ｂ．（—6，8）Ｃ．错误!Ｄ．（6，—8）解析：选Ｄ．因为向量b与向量a方向相反，所以可设b＝λa＝（—３λ，４λ），λ<0，则|b|＝错误!＝错误!＝５|λ|＝—５λ＝１0，所以λ＝—２，所以b＝（6，—8）．故选Ｄ．３．已知向量错误!，错误!和错误!在边长为１的正方形网格中的位置如图所示，若错误!＝λ错误!＋μ错误!，则λ＋μ等于（）Ａ．２Ｂ．—２Ｃ．３Ｄ．—３解析：选Ａ．如图所示，建立平面直角坐标系，则错误!＝（１，0），错误!＝（２，—２），错误!＝（１，２）．因为错误!＝λ错误!＋μ错误!，所以（２，—２）＝λ（１，２）＋μ（１，0）＝（λ＋μ，２λ），所以错误!解得错误!所以λ＋μ＝２．故选Ａ．４．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝（m，３m—４），b＝（１，２），且平面内的任一向量c 都可以唯一地表示成c＝λa＋μb（λ，μ为实数），则m的取值范围是（）Ａ．（—∞，４）Ｂ．（４，＋∞）Ｃ．（—∞，４）∪（４，＋∞）Ｄ．（—∞，＋∞）解析：选Ｃ．平面内的任意向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb，由平面向量基本定理可知，向量a，b可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a，b是不共线向量．又因为a＝（m，３m—４），b＝（１，２），则m×２—（３m—４）×１≠0，即m≠４，所以m的取值范围为（—∞，４）∪（４，＋∞）．５．在平面直角坐标系xOy中，已知A（１，0），B（0，１），C为坐标平面内第一象限内的点，且∠AOC＝错误!，|OC|＝２，若错误!＝λ错误!＋μ错误!，则λ＋μ＝（）Ａ．２错误!Ｂ．错误!Ｃ．２Ｄ．４错误!解析：选Ａ．因为|OC|＝２，∠AOC＝错误!，所以C（错误!，错误!），又因为错误!＝λ错误!＋μ错误!，所以（错误!，错误!）＝λ（１，0）＋μ（0，１）＝（λ，μ），所以λ＝μ＝错误!，λ＋μ＝２错误!.6．（２0２0·湖北荆门阶段检测）在△AOB中，错误!＝错误!错误!，D为OB的中点，若错误!＝λ错误!＋μ错误!，则λμ的值为________．解析：因为错误!＝错误!错误!，所以错误!＝错误!（错误!—错误!），因为D为OB的中点，所以错误!＝错误!错误!，所以错误!＝错误!＋错误!＝—错误!错误!＋（错误!＋错误!）＝—错误!错误!＋错误!＋错误!（错误!—错误!）＝错误!错误!—错误!错误!，所以λ＝错误!，μ＝—错误!，则λμ的值为—错误!.答案：—错误!7．已知O为坐标原点，向量错误!＝（１，２），错误!＝（—２，—１），若２错误!＝错误!，则|错误! |＝________.解析：设P点坐标为（x，y），错误!＝错误!—错误!＝（—２，—１）—（１，２）＝（—３，—３），错误!＝（x—１，y—２），由２错误!＝错误!得，２（x—１，y—２）＝（—３，—３），所以错误!解得错误!故|错误!|＝错误!＝错误!.答案：错误!8．已知A（—３，0），B（0，错误!），O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝３0°，错误!＝λ错误!＋错误!，则实数λ的值为________．解析：由题意知错误!＝（—３，0），错误!＝（0，错误!），则错误!＝（—３λ，错误!），由∠AOC＝３0°知，以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为１５0°，所以tan １５0°＝错误!，即—错误!＝—错误!，所以λ＝１．答案：１9．已知A（—２，４），B（３，—１），C（—３，—４）．设错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，且错误!＝３c，错误!＝—２b.（１）求３a＋b—３c；（２）求满足a＝m b＋n c的实数m，n；（３）求M，N的坐标及向量错误!的坐标．解：由已知得a＝（５，—５），b＝（—6，—３），c＝（１，8）．（１）３a＋b—３c＝３（５，—５）＋（—6，—３）—３（１，8）＝（１５—6—３，—１５—３—２４）＝（6，—４２）．（２）因为m b＋n c＝（—6m＋n，—３m＋8n），所以错误!解得错误!（３）设O为坐标原点，因为错误!＝错误!—错误!＝３c，所以错误!＝３c＋错误!＝（３，２４）＋（—３，—４）＝（0，２0）．所以M（0，２0）．又因为错误!＝错误!—错误!＝—２b，所以错误!＝—２b＋错误!＝（１２，6）＋（—３，—４）＝（9，２），所以N（9，２）．所以错误!＝（9，—１8）．１0．如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上的点，∠CBA＝60°，∠ABD＝４５°，错误!＝x错误!＋y错误!，求x＋y的值．解：不妨设⊙O的半径为１，以圆心O为坐标原点，以OB，OD为x，y轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系，则A（—１，0），B（１，0），D（0，１），C错误!.所以错误!＝错误!，错误!＝错误!.又错误!＝x错误!＋y错误!，所以错误!＝x（—１，0）＋y错误!.所以错误!解得错误!所以x＋y＝错误!—错误!＝—错误!.[综合题组练]１．已知P＝错误!，Q＝{b|b＝（１，１）＋n（—１，１），n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．设a＝（x，y），则所以集合P是直线x＝１上的点的集合．同理，集合Q是直线x＋y＝２上的点的集合，即P＝错误!，Q＝错误!，所以P∩Q＝错误!.故选Ａ．２．（２0２0·包河区校级月考）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，合得其中较长的一段AC是全长与另一段CB的比例中项，即满足错误!＝错误!＝错误!，后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点，在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，设错误!x１错误!＋y１错误!，错误!＝x２错误!＋y２错误!，则错误!＋错误!＝（）Ａ．错误!Ｂ．２Ｃ．错误!Ｄ．错误!＋１解析：选Ｃ．由题意，错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!（错误!—错误!）＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!，同理，错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!（错误!—错误!）＝错误!错误!＋错误!错误!.所以x１＝y２＝错误!，x２＝y１＝错误!.所以错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!.３．（创新型）若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ（x，y∈R），则称（x，y）为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝（１，—１），q＝（２，１）下的坐标为（—２，２），则a在另一组基底m＝（—１，１），n＝（１，２）下的坐标为________．解析：因为a在基底p，q下的坐标为（—２，２），即a＝—２p＋２q＝（２，４），令a＝x m＋y n＝（—x＋y，x＋２y），所以错误!即错误!所以a在基底m，n下的坐标为（0，２）．答案：（0，２）４．已知非零不共线向量错误!，错误!，若２错误!＝x错误!＋y错误!，且错误!＝λ错误!（λ∈R），则点P（x，y）的轨迹方程是________．解析：由错误!＝λ错误!，得错误!—错误!＝λ（错误!—错误!），即错误!＝（１＋λ）错误!—λ错误!.又２错误!＝x错误!＋y错误!，所以错误!消去λ得x＋y—２＝0．答案：x＋y—２＝0５．（一题多解）如图，在同一个平面内，向量错误!，错误!，错误!的模分别为１，１，错误!，错误!与错误!的夹角为α，且tan α＝7，错误!与错误!的夹角为４５°.若错误!＝m错误!＋n错误!（m，n∈R），求m＋n的值．解：法一：以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A（１，0），由tan α＝7，α∈错误!，得sin α＝错误!，cos α＝错误!，设C（x C，y C），B（x B，y B），则x C＝|错误!|cos α＝错误!×错误!＝错误!，y C＝|错误!|sin α＝错误!×错误!＝错误!，即C错误!.又cos（α＋４５°）＝错误!×错误!—错误!×错误!＝—错误!，sin （α＋４５°）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!，则x B＝|错误!|cos （α＋４５°）＝—错误!，y B＝|错误!|sin （α＋４５°）＝错误!，即B错误!，由错误!＝m错误!＋n错误!，可得错误!解得错误!所以m＋n＝错误!＋错误!＝３．法二：由tan α＝7，α∈错误!，得sin α＝错误!，cos α＝错误!，则cos（α＋４５°）＝错误!×错误!—错误!×错误!＝—错误!，错误!·错误!＝１×错误!×错误!＝１，错误!·错误!＝１×错误!×错误!＝错误!，错误!·错误!＝１×１×错误!＝—错误!，由错误!＝m错误!＋n错误!，得错误!·错误!＝m错误!２＋n错误!·错误!，即错误!＝m—错误!n１，同理可得错误!·错误!＝m错误!·错误!＋n错误!２，即１＝—错误!m＋n２，联立１２，解得错误!所以m＋n＝错误!＋错误!＝３．6．已知△ABC中，AB＝２，AC＝１，∠BAC＝１２0°，AD为角平分线．（１）求AD的长度；（２）过点D作直线交AB，AC的延长线于不同两点E，F，且满足错误!＝x错误!，错误!＝y错误!，求错误!＋错误!的值，并说明理由．解：（１）根据角平分线定理：错误!＝错误!＝２，所以错误!＝错误!，所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!（错误!—错误!）＝错误!错误!＋错误!错误!，所以错误!２＝错误!错误!２＋错误!错误!·错误!＋错误!错误!２＝错误!—错误!＋错误!＝错误!，所以AD＝错误!.（２）因为错误!＝x错误!，错误!＝y错误!，所以错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!，因为E，D，F三点共线，所以错误!＋错误!＝１，所以错误!＋错误!＝３．。

课后限时集训30平面向量的根本定理及坐标表示建议用时：45分钟一、选择题1．设平面向量a ＝(－1,0)，b ＝(0,2)，那么2a －3b 等于( )A ．(6,3)B ．(－2，－6)C ．(2,1)D ．(7,2)B [2a －3b ＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)．]2．平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m,3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，那么实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D [由题意可知a 与b 不共线，即3m －2≠2m ，∴m ≠2.应选D.]3．假设向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52，那么c 可用向量a ，b 表示为( ) A ．c ＝12a ＋b B ．c ＝－12a －b C ．c ＝32a ＋12b D ．c ＝32a －12b A [设c ＝x a ＋y b ，易知⎩⎪⎨⎪⎧ 0＝2x －y ，52＝x ＋2y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝1.∴c ＝12a ＋b .应选A.] 4.如下图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，假设DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，那么λ2＋μ2等于( )A.58B.14C.1D.516 A [法一：DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB → ＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58，应选A. 法二：此题也可以用特例法，如取ABCD 为正方形，解略．]5．(2022·东北三校二模)向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,2)，假设(a －b )∥(2a ＋t b )，那么t ＝( )A ．0B.12 C ．－2 D ．－3C [由题意得a －b ＝(2，－1)，2a ＋t b ＝(2－t,2＋2t )．因为(a －b )∥(2a ＋t b )， 所以2×(2＋2t )＝(－1)×(2－t )，解得t ＝－2，应选C.]6．如下图，AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，那么AD →＝( )A ．a －12b B.12a －b C ．a ＋12b D.12a ＋b D [连接CD (图略)，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ， 所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .] 7．(2022·厦门模拟)|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，那么m n的值为( ) A ．2B ．52C ．3D ．4 C [∵OA →·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，以OA →所在直线为x 轴，OB →所在直线为y 轴建立平面直角坐标系(图略)，OA →＝(1,0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n )．∵tan 30°＝3n m ＝33，∴m ＝3n ，即m n＝3，应选C.] 二、填空题8．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，那么向量BD →的坐标为________．(－3，－5) [∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，。

课时规范练25 平面向量基本定理及向量的坐标表示基础巩固组1.已知向量a=(2,3),b=(cosθ,sinθ),且a∥b,则tanθ= ()A. B.- C. D.-2.已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-7,-4),则向量=()A.(10,7)B.(10,5)C.(-4,-3)D.(-4,-1)3.已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则实数m的取值范围是()A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(-∞,+∞)D.(-∞,2)∪(2,+∞)4.在△ABC中,D为AB边上一点,+λ,则λ=()A.-1B.C.2-1D.25.已知向量在正方形网格中的位置如图所示,若=λ+μ,则λμ=()A.-3B.3C.-4D.46.如图,已知,用表示,则等于()A.B.C.-D.-7.在△ABC中,点P在边BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=(4,3),=(1,5),则等于()A.(-2,7)B.(-6,21)C.(2,-7)D.(6,-21)8.在△OAB中,=a,=b,=p,若p=t,t∈R,则点P在()A.∠AOB平分线所在直线上B.线段AB中垂线上C.AB边所在直线上D.AB边的中线上9.已知a=(1,-1),b=(t,1),若(a+b)∥(a-b),则实数t=.10.已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),则|λ|=.11.若平面向量a,b满足|a+b|=1,a+b平行于x轴,b=(2,-1),则a=.12.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).(1)求满足a=m b+n c的实数m,n;(2)若(a+k c)∥(2b-a),求实数k.综合提升组13.(2018河北衡水金卷调研五)已知直线2x+3y=1与x轴、y轴的正半轴分别交于点A,B,与直线x+y=0交于点C,若=λ+μ(O为坐标原点),则λ,μ的值分别为()A.λ=2,μ=-1B.λ=4,μ=-3C.λ=-2,μ=3D.λ=-1,μ=214.在Rt△ABC中,∠A=90°,点D是边BC上的动点,且||=3,||=4,=λ+μ(λ>0,μ>0),则当λμ取得最大值时,||的值为() A. B.3 C. D.15.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标.现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则向量a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为.创新应用组16.(2018辽宁重点中学协作体模拟)已知△OAB是边长为1的正三角形,若点P满足=(2-t)+t(t∈R),则||的最小值为()A. B.1 C. D.参考答案课时规范练25 平面向量基本定理及向量的坐标表示1.A由a∥b,可知2sinθ-3cosθ=0,解得tanθ=,故选A.2.C由点A(0,1),B(3,2),得=(3,1).又由=(-7,-4),得=+=(-4,-3).故选C.3.D由题意,得向量a,b不共线,则2m≠3m-2,解得m≠2.故选D.4.B由已知得=,则=+=+=+(-)=+,故λ=.5.A设小正方形的边长为1,建立如图所示的平面直角坐标系,则=(2,-2),=(1,2),=(1,0).由题意,得(2,-2)=λ(1,2)+μ(1,0),即解得所以λμ=-3.故选A.6.C=+=+=+(-)=-+,故选C.7.B如图,=3=3(2-)=6-3=(6,30)-(12,9)=(-6,21).8.A∵和是△OAB中边OA,OB上的单位向量,∴在∠AOB平分线所在直线上,∴t在∠AOB平分线所在直线上,∴点P在∠AOB平分线所在直线上,故选A.9.-1根据题意,a+b=(1+t,0),a-b=(1-t,-2),∵(a+b)∥(a-b),∴(1+t)×(-2)-(1-t)×0=0,解得t=-1,故答案为-1.10. |b|==.由λa+b=0,得b=-λa,故|b|=|-λa|=|λ||a|,所以|λ|===.11.(-1,1)或(-3,1)由|a+b|=1,a+b平行于x轴,得a+b=(1,0)或a+b=(-1,0),故a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1)或a=(-1,0)-(2,-1)=(-3,1).12.解(1)由题意,得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),所以得(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),由题意得2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0.∴k=-.13.C在直线2x+3y=1中,令x=0得y=,即B,令y=0,得x=,即A,联立解得所以C(-1,1).因为=λ+μ,所以(-1,1)=λ+μ,所以选C.14.C因为=λ+μ,而D,B,C三点共线,所以λ+μ=1,所以λμ≤=,当且仅当λ=μ=时取等号,此时=+,所以D是线段BC的中点,所以||=||=.故选C.15.(0,2)∵向量a在基底p,q下的坐标为(-2,2),∴a=-2p+2q=(2,4).令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),所以解得故向量a在基底m,n下的坐标为(0,2).16.C以O为原点,以OB为x轴,建立坐标系,∵△OAB是边长为1的正三角形,∴A,B(1,0),=(2-t)+t=1+t,-t,=-=t+,-t.∴||===≥,故选C.。

平面向量的基本定理及坐标表示授课提示：对应学生用书第317页〖A 组 基础保分练〗1．在平行四边形ABCD 中，AC 为对角线，若AB →＝（2，4），AC →＝（1，3），则BD →＝（ ） A ．（－2，－4） B ．（－3，－5） C ．（3，5） D ．（2，4）〖解 析〗由题意得BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝（AC →－AB →）－AB →＝AC →－2AB →＝（1，3）－2（2，4）＝（－3，－5）． 〖答 案〗B2．若向量a ＝（2，1），b ＝（－2，3），则以下向量中与向量2a ＋b 共线的是（ ） A ．（－5，2） B ．（4，10） C ．（10，4） D ．（1，2） 〖解 析〗因为向量a ＝（2，1），b ＝（－2，3），所以2a ＋b ＝（2，5）．因为4×5－10×2＝0，故向量（4，10）与向量2a ＋b 共线． 〖答 案〗B3．如图所示，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2P A →，则（ ）A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14〖解 析〗由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2P A →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23（OA →－OB →）＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13．〖答 案〗A4．已知在平面直角坐标系xOy 中，P 1（3，1），P 2（－1，3），P 1，P 2，P 3三点共线且向量OP 3→与向量a ＝（1，－1）共线，若OP 3→＝λOP 1→＋（1－λ）OP 2→，则λ＝（ ） A ．－3 B ．3 C ．1 D ．－1〖解 析〗设OP 3→＝（x ，y ），则由OP 3→∥a 知x ＋y ＝0，于是OP 3→＝（x ，－x ）．若OP 3→＝λOP 1→＋（1－λ）OP 2→，则有（x ，－x ）＝λ（3，1）＋（1－λ）（－1，3）＝（4λ－1，3－2λ），即⎩⎪⎨⎪⎧4λ－1＝x ，3－2λ＝－x ，所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1．〖答 案〗D5．在平面直角坐标系xOy 中，已知A （1，0），B （0，1），C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，且|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝（ ）A ．2 2B ． 2C ．2D ．4 2〖解 析〗因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C （2，2），又OC →＝λOA →＋μOB →，所以（2，2）＝λ（1，0）＋μ（0，1）＝（λ，μ），所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝22． 〖答 案〗A 6．（2021·合肥质检）已知向量a ＝（1，3），b ＝（－2，k ），且（a ＋2b ）∥（3a －b ），则实数k ＝_________．〖解 析〗a ＋2b ＝（－3，3＋2k ），3a －b ＝（5，9－k ），由题意可得－3（9－k ）＝5（3＋2k ），解得k ＝－6． 〖答 案〗－67．（2021·荆门阶段检测）在△AOB 中，AC →＝15AB →，D 为OB 的中点，若DC →＝λOA →＋μOB →，则λμ的值为_________．〖解 析〗因为AC →＝15AB →，所以AC →＝15（OB →－OA →），因为D 为OB 的中点，所以OD →＝12OB →，所以DC →＝DO →＋OC →＝－12OB →＋（OA →＋AC →）＝－12OB →＋OA →＋15（OB →－OA →）＝45OA →－310OB →，所以λ＝45，μ＝－310，则λμ的值为－625．〖答 案〗－6258．已知在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝120°，AD 为角平分线．（1）求AD 的长度；（2）过点D 作直线交AB ，AC 的延长线于不同两点E ，F ，且满足AE →＝xAB →，AF →＝yAC →，求1x＋2y的值，并说明理由． 〖解 析〗（1）根据角平分线定理：DB DC ＝AB AC ＝2，所以BD BC ＝23，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23（AC →－AB →）＝13AB →＋23AC →，所以AD →2＝19AB →2＋49AB →·AC →＋49AC →2＝49－49＋49＝49，所以AD ＝23．（2）因为AE →＝xAB →，AF →＝yAC →，所以AD →＝13AB →＋23AC →＝13x AE →＋23yAF →，因为E ，D ，F 三点共线，所以13x ＋23y ＝1，所以1x ＋2y＝3．9．已知A （－2，4），B （3，－1），C （－3，－4），设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ．求： （1）3a ＋b －3c ；（2）满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；（3）M ，N 的坐标及MN →的坐标．〖解 析〗由已知得a ＝（5，－5），b ＝（－6，－3），c ＝（1，8）．（1）3a ＋b －3c ＝3（5，－5）＋（－6，－3）－3（1，8）＝（15－6－3，－15－3－24）＝（6，－42）．（2）∵m b ＋n c ＝（－6m ＋n ，－3m ＋8n ）＝（5，－5），∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.（3）设O 为坐标原点， ∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝（3，24）＋（－3，－4）＝（0，20），∴M （0，20）．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ， ∴ON →＝－2b ＋OC →＝（12，6）＋（－3，－4）＝（9，2），∴N （9，2），∴MN →＝（9，－18）．〖B 组 能力提升练〗1．已知O 为△ABC 的外心，AB ＝2，AC ＝3，若AO →＝xAB →＋yAC →（xy ≠0），x ＋2y ＝1，则cos ∠BAC 的值为（ ）A ．34B ．74C ．14D ．154〖解 析〗设A （0，0），C （3，0），∠BAC ＝α，则B （2cos α，2sin α）．∵O 是△ABC 的外心，∴O 的横坐标是32，∵AO →＝xAB →＋yAC →，∴32＝x ·2cos α＋3y ，又x ＋2y ＝1，∴32x ＋3y ＝32，∴x ·2cosα＋3y ＝32x ＋3y ，∴2cos α＝32，即cos ∠BAC ＝34．〖答 案〗A2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝（a ，3b ）与n ＝（cos A ，sin B ）平行，则A ＝（ ）A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π3〖解 析〗因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝3，由于0＜A ＜π，所以A ＝π3．〖答 案〗B 3．（2021·衡水中学调研）直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于点E ，F ，交AC 于点M ，若AB →＝2AE →，AD →＝3AF →，AM →＝λAB →－μAC →（λ，μ∈R ），则52μ－λ＝（ ）A ．－12B ．1C ．32D ．－3〖解 析〗由题意及几何关系可得AM ＝15AC ，则AM →＝15AC →，即AM →＝0AB →－⎝⎛⎭⎫－15AC →，所以μ＝－15，λ＝0，则52μ－λ＝－12．〖答 案〗A4．已知a ＝（1，x ），b ＝（y ，1），x ＞0，y ＞0．若a ∥b ，则xyx ＋y的最大值为（ ）A ．12B ．1C ． 2D ．2〖解 析〗a ∥b ⇒xy ＝1，所以y ＝1x ，所以xy x ＋y ＝1x ＋y ＝1x ＋1x ≤12x ×1x＝12⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号，所以xy x ＋y 的最大值为12．〖答 案〗A5．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝（2，1），且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为_________． 〖解 析〗∵b ＝（2，1），且a 与b 的方向相反，∴设a ＝（2λ，λ）（λ＜0）． ∵|a |＝25，∴4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2．∴a ＝（－4，－2）． 〖答 案〗（－4，－2）6．设OA →＝（1，－2），OB →＝（a ，－1），OC →＝（－b ，0），a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b的最小值是_________．〖解 析〗据已知可知AB →∥AC →，又∵AB →＝（a －1，1），AC →＝（－b －1，2），∴2（a －1）－（－b －1）＝0，∴2a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝2a ＋b a ＋4a ＋2b b ＝4＋b a ＋4a b≥4＋2b a ·4a b ＝8，当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝14，b ＝12时取等号，∴1a ＋2b 的最小值是8． 〖答 案〗87．已知点A ，B 为单位圆O 上的两点，点P 为单位圆O 所在平面内的一点，且OA →与OB →不共线．（1）在△OAB 中，点P 在AB 上，且AP →＝2PB →，若AP →＝rOB →＋sOA →，求r ＋s 的值；（2）已知点P 满足OP →＝mOA →＋OB →（m 为常数），若四边形OABP 为平行四边形，求m 的值．〖解 析〗（1）因为AP →＝2PB →，所以AP →＝23AB →，所以AP →＝23（OB →－OA →）＝23OB →－23OA →，又因为AP →＝rOB →＋sOA →，所以r ＝23，s ＝－23，所以r ＋s ＝0．（2）因为四边形OABP 为平行四边形， 所以OB →＝OP →＋OA →，又因为OP →＝mOA →＋OB →，所以OB →＝OB →＋（m ＋1）OA →，依题意OA →，OB →是非零向量且不共线， 所以m ＋1＝0， 解得m ＝－1．〖C 组 创新应用练〗1．（2021·包河区校级月考）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB 分为两线段AC ，CB ，使得其中较长的一段AC 是全长与另一段CB 的比例中项，即满足AC AB ＝BCAC ＝5－12，后人把这个数称为黄金分割数，把点C 称为线段AB 的黄金分割点．在△ABC 中，若点P ，Q 为线段BC 的两个黄金分割点，设AP →＝x 1AB→＋y 1AC →，AQ →＝x 2AB →＋y 2AC →，则x 1x 2＋y 1y 2＝（ ）A ．5＋12 B ．2 C ． 5 D ．5＋1〖解 析〗由题意，AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5－12BC →＝AB →＋3－52（AC →－AB →）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3－52AB →＋3－52AC →＝5－12AB →＋3－52AC →，同理，AQ →＝AB →＋BQ →＝AB →＋5－12BC →＝AB →＋5－12（AC→－AB →）＝3－52AB →＋5－12AC →．所以x 1＝y 2＝5－12，x 2＝y 1＝3－52．所以x 1x 2＋y 1y 2＝5－13－5＋3－55－1＝5．〖答 案〗C2．已知Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，AC ＝5，I 是△ABC 的内心，P 是△IBC 内部（不含边界）的动点．若AP →＝λAB →＋μAC →（λ，μ∈R ），则λ＋μ的取值范围是_________． 〖解 析〗以B 为原点，BA ，BC 所在直线分别为x ，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B （0，0），A （3，0），C （0，4）．设△ABC 的内切圆的半径为r ，因为I 是△ABC 的内心，所以（5＋3＋4）×r ＝4×3，解得r ＝1，所以I （1，1）．设P （x ，y ），因为点P 在△IBC 内部（不含边界），所以0＜x ＜1．因为AB →＝（－3，0），AC →＝（－3，4），AP →＝（x －3，y ），且AP →＝λAB →＋μAC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－3λ－3μ，y ＝4μ，解得⎩⎨⎧λ＝1－13x －14y ，μ＝14y ，所以λ＋μ＝1－13x ，又0＜x ＜高中数学教学、学习精品资料1，所以λ＋μ∈⎝⎛⎭⎫23，1．〖答 案〗⎝⎛⎭⎫23，1。