高中数学选修2-2课时作业8：1.1.1 变化率问题

第一章 1.1 1.1.1请同学们认真完成练案[1]A 级 基础巩固一、选择题1.如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率等于( B )A ．1B ．－1C ．2D ．－2[解析] 平均变化率为1－33－1＝－1.2．函数y ＝2x 在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为( D ) A ．x 0＋Δx B ．1＋Δx C ．2＋ΔxD ．2[解析] 由题意，可得平均变化率 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝2(x 0＋Δx )－2x 0Δx ＝2，故选D ．3．已知函数y ＝f (x )＝2x 2的图象上的点P (1,2)及邻近点Q (1＋Δx,2＋Δy )，则ΔyΔx的值为( D )A ．4B ．4xC ．4＋2(Δx )2D ．4＋2Δx[解析] Δy Δx ＝2(1＋Δx )2－2×12Δx＝4＋2Δx .4．汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为( B )A ．v 1>v 2>v 3B ．v 3>v 2>v 1C ．v 2>v 1>v 3D ．v 2>v 3>v 1 [解析] v 1＝s (t 1)－s (t 0)t 1－t 0＝k OA ，v 2＝s (t 2)－s (t 1)t 2－t 1＝k AB ，v 3＝s (t 3)－s (t 2)t 3－t 2＝k BC ，由图象知k OA <k AB <k BC ，选B ．二、填空题5．函数f (x )＝x 2－1在区间[1，m ]上的平均变化率为3，则实数m 的值为__2__. [解析] 函数f (x )＝x 2－1在区间[1，m ]上的平均变化率为 f (m )－f (1)m －1＝m 2－1m －1＝m ＋1＝3，∴m ＝2.6．(2020·阿拉善左旗校级期末)若函数y ＝x 2－1的图象上的点A (1,0)，则当Δx ＝0.1时的平均变化率是__2.1__.[解析] Δy ＝(1＋Δx )2－1－(12－1)＝2Δx ＋Δx 2， ∴ΔyΔx＝2＋Δx ， 当Δx ＝0.1时，平均变化率为2.1. 三、解答题7．已知某质点的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)存在函数关系s ＝2t 2＋2t ，求： (1)该质点在前3 s 内的平均速度； (2)该质点在2 s 到3 s 内的平均速度． [解析] (1)∵Δs ＝s (3)－s (0)＝24，Δt ＝3， ∴Δs Δt ＝243＝8(m/s)． (2)∵Δs ＝s (3)－s (2)＝12，Δt ＝1， ∴Δs Δt ＝121＝12(m/s)． B 级 素养提升一、选择题1．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x 、②y ＝x 2、③y ＝x 3、④y ＝1x 中，平均变化率不是最大的是( ACD )A ．④B ．③C ．②D ．①[解析] Δx ＝0.3时，①y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率k 1＝1；②y ＝x 2在x ＝1附近的平均变化率k 2＝2＋Δx ＝2.3；③y ＝x 3在x ＝1附近的平均变化率k 3＝3＋3Δx ＋(Δx )2＝3.99；④y ＝1x 在x ＝1附近的平均变化率k 4＝－11＋Δx＝－1013.∴k 3＞k 2＞k 1＞k 4，故应选ACD ． 2．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则对ΔyΔx下述表达式错误的是( ACD )A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x[解析] Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2＋1＝2·(Δx )2＋4·Δx ，所以ΔyΔx ＝2Δx ＋4.二、填空题3．在北京奥运会上，牙买加飞人博尔特刷新了百米世界纪录9.69秒，通过计时器发现前50米用时5.50秒．那么在后50米他的平均速度是__11.93__米/秒．(最后结果精确到0.01)[解析] Δs ＝100－50＝50，Δt ＝9.69－5.50＝4.19，v ＝ΔsΔt≈11.93米/秒． 4．甲、乙两人的运动路程与时间的函数关系分别为s ＝s 1(t )，s ＝s 2(t )，图象如图，则在时间段[0，t 0]内甲的平均速度__小于__乙的平均速度．(填“大于”“小于”或“等于”)[解析] 由图象知s 1(t 0)＝s 2(t 0)，s 1(0)>s 2(0)， 所以s 1(t 0)－s 1(0)t 0<s 2(t 0)－s 2(0)t 0，即v甲<v 乙．三、解答题5．求出函数f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，若Δx 都为13，则在哪一点附近平均变化率最大？[解析] 在x ＝1附近的平均变化率 k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx ＝6＋Δx .若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.∵k 1＜k 2＜k 3，∴在x ＝3附近的平均变化率最大．6．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？[解析] 山路从A 到B 高度的平均变化率为k AB ＝Δy Δx ＝10－050－0＝15，山路从B 到C 高度的平均变化率为k BC ＝Δy Δx ＝20－1070－50＝12，∴k BC >k AB ，∴山路从B 到C 比从A 到B 陡峭．。

新课导入为什么在相同的时间内木块的位移不一样呢？动动脑观察观察为什么跳水运动员的速度越来越快呢？解决以上2个问题,就需要我们来学习一种新的函数来解释这种现象！平均速度瞬时速度平均变化率瞬时变化率割线斜率切线斜率导数基本初等函数导数公式导数运算法则导数的简单应用微积分基本定理定积分曲边体形的面积变速直线运动的路程定积分在几何、物理中的应用3.1变化率与导数3.1.1 变化率问题丰富多彩的变化率问题随处可见.让我们从其中的两个问题，开始变化率与导数的学习吧！教学目标知识与能力掌握平均变化率的概念，感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，体会数学的博大精深以及学习数学的意义.过程与方法(1) 体会平均变化率的思想及其内涵，通过分析实例，了解平均变化率的概念.(2)通过函数图象直观地理解平均变化率.情感态度与价值观让学生在知识的量上有所收获，体会到其中蕴含的丰富的思想，逐渐掌握数学研究的基本思考方式和方法.教学重难点重点体会平均变化率的思想及其内涵，求解步骤.难点平均变化率的概念及其意义.问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?● 气球的体积V(单位:L)与半径r 单位:(dm)之间的函数关系是 34V(r)=πr 3●如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么33V r(V)=4π●当V 从0增加到1时,气球半径增加 气球的平均膨胀率为 r(1)-r(0)0.62(dm)≈r(1)-r(0)(dm /L)1-00.62≈●当V 从1增加到2时,气球半径增加 气球的平均膨胀率为 r(2)-r(1)0.16(dm)≈r(2)-r(1)(dm /L)2-10.16≈ 显然0.62>0.16当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?2121()()r V r V V V --你想对了吗？问题2 高台跳水想想运动员跳水的过程？在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?请计算0≦t≦0.5和1≦t≦2时的平均速度在0≦t ≦0.5这段时间里h(0.5)-h(0)（v==4.05m/s)0.5-0在1≦t ≦2这段时间里h(2)-h(1)v==-8.2m/s)（2-1探究计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：650t49≤≤（1）运动员在这段时间里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员运动状态有什么问题？平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态.想一想同学们，从上面的问题中能够发现什么共同点呢？总结以上两个问题都是求变化率， 我们可以用函数关系式y=f(x)来表 示. 那么变化率为 2121f(x )-f(x )x -x知识要点上述问题中的变化率可用式子 表示称为函数f(x)从x 1到x 2的平均变化率. 2121f(x )-f(x )x -x 很重要！一般我们用Δx 表示 ， 即 .21x -x 21Δx =x -x ()()21类似地,Δf =f x -f x ..于是,平均变化率可示为Δf Δx表是一个整体符号，而不是 与 相乘. 注意！ x ∆∆x很重要！例题11、已知函数f(x)=-x2的图象上的一点A(-1,-1)及临近一点B(0,0),则Δy/Δx=( )cA. 3B. 4C. 1D. -1解： =0-(-1)=1；=0-（-1）=1；y x 1y x ∆∴=∆思考•观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?2121f(x)-f(x)x-xOABxyY=f(x)x1 x2f(x1)f(x2) X2-x1f(x2)-f(x1)直线AB 的斜率例题2汽车在前两秒内速度由0增加到10m/s,在后两秒内增至30m/s,其运动状态如何呢？如果我们用平均速度描述其运动状态，前两秒内: v=5 (m/s) 后两秒内：v=10 (m/s) 你想对了吗？例题3想一想你还能想到生活中类似的问题吗？举个例子吧！课堂小结我们把式子 称为函数 f(x)从 到 的平均变化 率 .（ average rate of change ） ()()2121f x -f x x -x 1x 2x平均变化率的求解步骤：（1）求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1); （2）计算平均变化率fx.2121f(x)-f(x) x-x1 、已知函数f(x)=-x 2+x 的图象上的一点A （-1,-2）及临近一点B （-1+Δx,-2+Δy ），则Δy/Δx =（ ）A . 3 B. 3Δx -(Δx)2C. 3-(Δx)2D. 3-ΔxD 随堂练习2 、函数 在区间 上的平均变化率是（ ） ()2f x =x[]-1,3A.4 B.2 1434C. D. B2Δy 3-1解：==2Δx 3-(-1)3、函数 在区间[1，1.5]上的平均变化率为_______________. 2y =2x 222-1.1 5.1.5-1y x ∆⨯==∆ 得（1.5）5解：由平均变化率的公式4、已知函数 ,则变化率可用式子_____________，此式称之为函数从 到的___________. 平均变化率可以表示为_____________. ()f x ()()2121fx -f x x -x 1x 2x 平均变化率 ΔyΔx你做对了吗？5、过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q （1+Δx,1+Δy）作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.解：K=3Δx+(Δx)2=3+3×0.1+(0.1)2=3.31.y=f(x)6、已知一次函数在区间[-2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点（0，2），试求此一次函数的表达式.解：由平均变化率的含义可知该直线的斜率为2，设直线方程为y=2x+b,又因为直线经过点（0，2），代入方程得b=2.则直线方程为：y=2x+2.。

1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念[学习目标]1．了解导数概念的实际背景．2．会求函数在某一点附近的平均变化率．3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．[知识链接]很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？答气球的半径r(单位：dm)与体积V(单位：L)之间的函数关系是r(V)＝33V4π，(1)当V从0增加到1 L时，气球半径增加了r(1)－r(0)≈0.62 (dm)，气球的平均膨胀率为r(1)－r(0)1－0≈0.62(dm/L)．(2)当V从1 L增加到2 L时，气球半径增加了r(2)－r(1)≈0.16 (dm)，气球的平均膨胀率为r(2)－r(1)2－1≈0.16(dm/L)．可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了．[预习导引] 1．函数的变化率函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.要点一求平均变化率例1已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01.(2)根据(1)中的计算，当|Δx|越来越小时，函数h(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解(1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h (1)＝－4.9 (Δx)2－3.3Δx，∴ΔyΔx＝－4.9Δx－3.3.①当Δx＝2时，ΔyΔx＝－4.9Δx－3.3＝－13.1；②当Δx ＝1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－8.2； ③当Δx ＝0.1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－3.79； ④当Δx ＝0.01时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－3.349.(2)当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.规律方法 求平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪演练1 求函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值．解 函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为 f (x 0＋Δx )－f (x 0)(x 0＋Δx )－x 0＝[3(x 0＋Δx )2＋2]－(3x 20＋2)Δx＝6x 0·Δx ＋3(Δx )2Δx＝6x 0＋3Δx .当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.要点二 物体运动的瞬时速度例2 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，求运动员在t ＝6598 s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况． 解令t 0＝6598，Δt为增量．则h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt＝－4.9×⎝ ⎛⎭⎪⎫6598＋Δt 2＋6.5×⎝ ⎛⎭⎪⎫6598＋Δt ＋10Δt＋4.9×⎝ ⎛⎭⎪⎫65982－6.5×6598－10Δt＝－4.9Δt ⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5ΔtΔt ＝－4.9⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5， ∴lim Δt →0 h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt ＝lim Δt →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4.9⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5＝0， 即运动员在t 0＝6598 s 时的瞬时速度为0 m/s.说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处．规律方法 求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近”的方法得到的，其求解步骤如下：(1)由物体运动的位移s 与时间t 的函数关系式求出位移增量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)； (2)求时间t 0到t 0＋Δt 之间的平均速度v ＝Δs Δt ； (3)求lim Δt →0 ΔsΔt的值，即得t ＝t 0时的瞬时速度． 跟踪演练2 一质点按规律s (t )＝at 2＋1作直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值． 解 ∵Δs ＝s (2＋Δt )－s (2) ＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1 ＝4a Δt ＋a (Δt )2， ∴ΔsΔt ＝4a ＋a Δt .在t ＝2 s 时，瞬时速度为lim Δx →0 ΔsΔt ＝4a ，即4a ＝8，∴a ＝2. 要点三 函数在某点处的导数例3 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．解 Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1)＝3(Δx )2＋4Δx ，∵Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx＝3Δx ＋4，∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4. 规律方法 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx；(3)取极限，得导数f′(x0)＝limΔx→0Δy Δx.跟踪演练3利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．解由导数的定义知，函数在x＝2处的导数f′(2)＝limΔx→0f(2＋Δx)－f(2)Δx，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2) ＝－(Δx)2－Δx，于是f′(2)＝limΔx→0－(Δx)2－ΔxΔx＝limΔx→0(－Δx－1)＝－1.1．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是()A．4 B．4.1C．0.41 D．3答案 B解析v＝(3＋2.12)－(3＋22)0.1＝4.1.2．函数f(x)在x0处可导，则limΔx→0f(x0＋h)－f(x0)h()A．与x0、h都有关B．仅与x0有关，而与h无关C．仅与h有关，而与x0无关D．与x0、h均无关答案 B3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则Δy Δx等于()A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2答案 C解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－1＝2(Δx )2＋4Δx ，∴ΔyΔx ＝2Δx ＋4. 4．已知函数f (x )＝1x，则f ′(1)＝________. 答案 －12解析 f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 11＋Δx－1Δx＝lim Δx →0－11＋Δx (1＋1＋Δx )＝－12.利用导数定义求导数三步曲：(1)作差求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)作比求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx ， 简记为一差，二比，三极限.一、基础达标1．函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 中，Δx 不可能是( ) A ．大于0B．小于0 C ．等于0 D ．大于0或小于0答案 C 2．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2答案 B解析 Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1.3．如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2) (s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( ) A ．－4.8 m/s B ．－0.88 m/s C ．0.88 m/s D ．4.8 m/s 答案 A解析 物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得．4．设函数f (x )可导，则lim Δx →0 f (1＋3Δx )－f (1)3Δx 等于( ) A ．f ′(1) B ．3f ′(1) C ．13f ′(1) D ．f ′(3) 答案 A 解析 lim Δx →0f (1＋3Δx )－f (1)3Δx＝f ′(1)．5．已知函数y ＝2x ＋3，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝________. 答案 13解析 Δy ＝f (1.5)－f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21.5＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋3＝43－1＝13.6．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________．答案 3解析 v 初＝s ′|t ＝0＝lim Δx →0s (0＋Δt )－s (0)Δt＝lim Δx →0 (3－Δt )＝3. 7．利用定义求函数y ＝－2x 2＋5在x ＝2处的瞬时变化率．解 因为在x ＝2附近，Δy ＝－2(2＋Δx )2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx －2(Δx )2，所以函数在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率为Δy Δx ＝－8Δx －2(Δx )2Δx ＝－8－2Δx .故函数y ＝－2x 2＋5在x ＝2处的瞬时变化率为lim Δx →0 (－8－2Δx )＝－8. 二、能力提升 8.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是( ) A ．甲 B ．乙 C ．相同 D ．不确定答案 B解析 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)， 但是，在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1(t 0)－W 1(t 0－Δt )Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2(t 0)－W 2(t 0－Δt )Δt ，所以，在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好．9．过曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝________，当Δx ＝0.001时，割线的斜率k ＝________. 答案 2.1 2.001解析 ∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2， ∴ΔyΔx ＝2＋Δx ，∴割线斜率为2＋Δx ，当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.1＝2.1. 当Δx ＝0.001时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.001＝2.001.10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为________． 答案 2解析 由导数的定义， 得f ′(0)＝lim Δx →0f (Δx )－f (0)Δx＝lim Δx →0 a (Δx )2＋b (Δx )＋c －cΔx ＝lim Δx →0[a ·(Δx )＋b ]＝b ＞0. 又⎩⎨⎧Δ＝b 2－4ac ≤0a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0. ∴f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2b b ＝2.11．求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数． 解 Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ，∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx＝2Δx ＋16.∴y ′|x ＝3＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0(2Δx ＋16)＝16. 12．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值． 解 ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c ＝a (Δx )2＋2a Δx .∴f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 a (Δx )2＋2a Δx Δx ＝lim Δx →0 (a Δx ＋2a )＝2a ，即2a ＝2，∴a ＝1. 三、探究与创新13．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求满足f ′(x )＋2＝g ′(x )的x 的值． 解 由导数的定义知， f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ， g ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－x 3Δx＝3x 2.∵f′(x)＋2＝g′(x)，∴2x＋2＝3x2.即3x2－2x－2＝0，解得x＝1－73或x＝1＋73.。

§1.1.1变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念．教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣。

【教师引入】：“生活中存在大量变化快慢的量，如我国国内生产总值在不同年内的增长、某一股票在某一时间内的价格、去年上海商品房在不同月内的价格（幻灯片展示）。

如何从数学的角度解释量的变化快慢问题呢？这节课我们一起学习与变化率有关的问题。

板书课题《变化率问题》【教师过渡】：“为解决这一问题，我们先研究一些生活中的具体实例”(二)、探究新知，揭示概念实例一：气温的变化问题现有南京市某年3月18日-4月20日每天气温最高温度统计图：（注：3月18日为第一天）1、你从图中获得了哪些信息？2 、在“4月18日到20日”，该地市民普遍感觉“气温骤增”，而在“3月18日到4月18日”却没有这样的感觉，这是什么原因呢?3、怎样从数学的角度描述“气温变化的快慢程度”呢？师生讨论，教师板书总结：分析：这一问题中，存在两个变量“时间”和“气温”，当时间从1到32，气温从3.5o C 增加到18.6o C ，气温平均变化当时间从32到34，气温从18.6o C 增加到33.4o C ，气温平均变化因为7.4>0.5, 所以，从32日到34日，气温变化的更快一些。

【教师过渡】:“18.6 3.50.5321-≈- 表示时间从“3月18日到4月18日”时，气温的平均变化率。

提出问题：先说一说“平均”的含义，再说一说你对 “气温平均变化率”的理解。

实例二：气球的平均膨胀率问题。

【提出问题】：回忆吹气球的过程，随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的快慢相同吗? 学生思考回答。

假设每次吹入气球内的空气容量是相等的，如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？思考：1、 这一问题与“气温的变化问题”有哪些相同的地方？你打算怎样做呢？2、如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？先独立思考，再在小组内交流你的想法。

1．1.1 变化率问题 1．1.2 导数的概念[目标] 1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念.2.掌握函数平均变化率的求法.3.掌握导数的概念，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数．[重点] 理解导数的概念．[难点] 理解导数与瞬时变化率的关系．知识点一 平均变化率[填一填]1．平均变化率的定义对于函数f (x )，当自变量x 从x 1变到x 2时，函数值从f (x 1)变到f (x 2)，则称式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率．2．符号表示习惯上，自变量的改变量用Δx 表示，即Δx ＝x 2－x 1，函数值的改变量用Δy 表示，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，于是平均变化率可以表示为ΔyΔx .3．平均变化率的几何意义如图所示，函数f (x )的平均变化率的几何意义是：直线AB 的斜率．事实上，k AB ＝y A －y B x A －x B ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝ΔyΔx .根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率．[答一答]1．若函数在某区间上的平均变化率为零，能否说明此函数在此区间上的函数值都相等？提示：不能．比如，f(x)＝x2在[－2,2]上的平均变化率为0，但其图象在[－2,2]上先下降后上升，值域是[0,4]．2．一次函数f(x)＝ax＋b从x1到x2的平均变化率有什么特点？提示：一次函数的图象为直线，图象上任意两点间连线的斜率固定不变，故一次函数定义域内的任意两个自变量之间的平均变化率等于常数a.知识点二导数的概念[填一填]1．导数的定义一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx，称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．2．导数的符号表示用f′(x0)或y′|x＝x表示函数f(x)在x＝x0处的导数，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.[答一答]3．根据平均速度与瞬时速度的定义探究以下问题： (1)物体的平均速度能反映它在某一时刻的瞬时速度吗？ (2)如何计算物体的平均速度和瞬时速度？提示：(1)不能，物体的瞬时速度是指某一时刻的速度，而平均速度是指某一段时间或一段路程的速度．(2)平均速度：一物体的运动方程为s ＝s (t )，则它在[t 1，t 2]这个时间段内的平均速度为s (t 2)－s (t 1)t 2－t 1.瞬时速度：一物体的运动方程为s ＝s (t )，则它在t 0时刻的瞬时速度为lim Δt →0s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt. 4．根据函数的瞬时变化率与在某点处导数的定义，回答下列问题： (1)瞬时变化率与平均变化率的关系是什么？它们的物理意义分别是什么？(2)瞬时变化率与函数在某点处导数的关系是什么？(3)设函数f (x )在x ＝x 0处可导，则导数值与x 0，Δx 都有关吗？ 提示：(1)瞬时变化率是平均变化率在Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近的值，瞬时变化率的物理意义是指物体运动的瞬时速度，平均变化率的物理意义是指物体运动的平均速度．(2)函数在某点处的瞬时变化率就是函数在此点处的导数． (3)导数是一个局部性的概念，它与函数y ＝f (x )在x 0及附近的函数值有关，与Δx 无关．1．对Δx ，Δy 的理解(1)Δx ，Δy 是一个整体符号，而不是Δ与x ，y 相乘．(2)x 1，x 2是定义域内不同的两点，因此Δx ≠0，但Δx 可正也可负；Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是Δx ＝x 2－x 1相应的改变量，Δy 的值可正可负，也可为零，因此平均变化率可正、可负、也可为零．2．导数概念的解读(1)导数是一个局部概念，它只与函数y ＝f (x )在x ＝x 0处及其附近的函数值有关，与Δx 无关．(2)f ′(x 0)是一个常数，即当Δx →0时，存在一个常数与f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx无限接近．如果当Δx →0时，lim Δx →0ΔyΔx 不存在，则称函数f (x )在x ＝x 0处不可导．类型一 求函数的平均变化率【例1】 已知函数f (x )＝2x 2＋1. (1)求函数f (x )在[2,2.01]上的平均变化率； (2)求函数f (x )在[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率．【思路分析】 先求Δx ，Δy ，再利用平均变化率的定义求解． 【解】 (1)由f (x )＝2x 2＋1， 得Δy ＝f (2.01)－f (2)＝0.080 2，Δx ＝2.01－2＝0.01，∴Δy Δx ＝0.080 20.01＝8.02. (2)∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝2Δx (2x 0＋Δx )，∴Δy Δx ＝2Δx (2x 0＋Δx )Δx＝4x 0＋2Δx .求函数平均变化率的步骤(1)求自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1；(2)求函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)；(3)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.分别计算下列三个图象表示的函数h (t )在区间[0,3]上的平均变化率．解：对于(1)，Δh ＝h (3)－h (0)＝10－0＝10，∴Δh Δt ＝103－0＝103，即平均变化率为103.同理可以算得(2)(3)中函数h (t )在区间[0,3]上的平均变化率均为103.类型二 求瞬时速度【例2】 已知s (t )＝5t 2(s 单位：m)． (1)求t 从3 s 到3.1 s 的平均速度； (2)求t 从3 s 到3.01 s 的平均速度； (3)求t ＝3 s 时的瞬时速度．【解】 (1)当3≤t ≤3.1时，Δt ＝0.1， Δs ＝s (3.1)－s (3)＝5×(3.1)2－5×32 ＝5×(3.1－3)×(3.1＋3)，∴Δs Δt ＝5×0.1×6.10.1＝30.5(m/s)． (2)当3≤t ≤3.01时，Δt ＝0.01， Δs ＝s (3.01)－s (3)＝5×(3.01)2－5×32 ＝5×(3.01－3)×(3.01＋3)， ∴Δs Δt ＝5×0.01×6.010.01＝30.05(m/s)． (3)在t ＝3附近取一个时间段Δt ， 即3≤t ≤3＋Δt (Δt >0)，∴Δs ＝s (3＋Δt )－s (3)＝5×(3＋Δt )2－5×32 ＝5·Δt ·(6＋Δt )，∴Δs Δt ＝5Δt (6＋Δt )Δt ＝30＋5Δt . 当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于30. ∴在t ＝3时的瞬时速度为30 m/s.瞬时速度即是平均速度\x\to(v )在Δt →0时的极限值，为此，要求瞬时速度，应先求出平均速度，再求\x\to(v )在Δt →0时的极限值.甲、乙两工厂经过排污治理，污水的排放流量(W )与时间(t )的关系如图所示，则治污效率较高的是甲．解析：在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)，然而W 2(t 0－Δt )<W 1(t 0－Δt )(Δt >0)，所以|W 1(t 0)－W 1(t 0－Δt )Δt |>|W 2(t 0)－W 2(t 0－Δt )Δt|， 所以在相同时间内甲比乙的平均治污效率高． 类型三 求函数在某点处的导数【例3】 (1)设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b(2)求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数．【思路分析】 按导数的定义：①求Δy 与Δx ；②求ΔyΔx ；③求lim Δx →0Δy Δx .【解析】 (1)f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0(a ＋b ·Δx )＝a . (2)解：由导数的定义知，函数在x ＝1处的导数f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ，而 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， 又lim Δx →011＋Δx ＋1＝12，所以f ′(1)＝12.【答案】 (1)C (2)见解析由导数的定义知，求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下：,(1)求函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx .简认为：一差，二比，三趋近.求函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数．解：∵Δy ＝3(1＋Δx )2－3×12＝6Δx ＋3(Δx )2， ∴ΔyΔx ＝6＋3Δx ，∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(6＋3Δx )＝6.理解导数概念不到位导致出错【例4】 设函数f (x )在点x 0处可导，且f ′(x 0)已知，求下列各式的极限值．(1)lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx； (2)lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h. 【错解】 (1)lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)． (2)lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h＝12lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )h＝12f ′(x 0)． 【错因分析】 在导数的定义中，增量Δx 的形式是多种多样的，但不论Δx是哪种形式，Δy必须选择相对应的形式．如(1)中Δx的改变量为Δx＝x0－(x0－Δx)，(2)中Δx的改变量为2h＝(x0＋h)－(x0－h)．【正解】(1)limΔx→0f(x0－Δx)－f(x0)Δx＝－limΔx→0f(x0)－f(x0－Δx)Δx＝－f′(x0)．(2)limh→0f(x0＋h)－f(x0－h)2h＝f′(x0)．若函数f(x)在x＝a的导数为m，那么lim Δx→0f(a＋2Δx)－f(a－2Δx)Δx的值为4m.解析：limΔx→0f(a＋2Δx)－f(a－2Δx)Δx＝limΔx→0f(a＋2Δx)－f(a)＋f(a)－f(a－2Δx)Δx＝limΔx→0f(a＋2Δx)－f(a)Δx＋limΔx→0f(a)－f(a－2Δx)Δx＝2limΔx→0f(a＋2Δx)－f(a)2Δx＋2limΔx→0f(a－2Δx)－f(a)－2Δx＝2m＋2m＝4m.1．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( D )A ．2Δt ＋4B ．－2Δt ＋4C ．2Δt －4D ．－2Δt －4解析：v ＝Δs Δt ＝4－2(1＋Δt )2－4＋2×12Δt ＝－4Δt －2(Δt )2Δt＝－2Δt －4. 2．物体自由落体运动的方程为s ＝s (t )＝12gt 2(g ＝9.8 m/s 2)．若v ＝lim Δt →0s (1＋Δt )－s (1)Δt＝9.8 m/s ，那么说法正确的是( C ) A ．9.8 m/s 是在0～1 s 这段时间内的速率 B ．9.8 m/s 是从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速率 C ．9.8 m/s 是物体在t ＝1 s 这一时刻的速率D ．9.8 m/s 是物体在1 s 到(1＋Δt ) s 这段时间内的平均速率 解析：v ＝lim Δt →0s (1＋Δt )－s (1)Δt＝s ′(1)，即s (t )在t ＝1 s 时的导数值．由导数的物理意义，得9.8 m/s 是物体在t ＝1 s 这一时刻的速率．故选C.3．一物体的运动方程是s (t )＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为4.1.解析：v ＝s (2.1)－s (2)2.1－2＝(3＋2.12)－(3＋22)0.1＝4.1. 4．如果质点按规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为18. 解析：v ＝lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →03(3＋Δt )2－3×32Δt＝lim Δt →0(3Δt ＋18)＝18. 5．利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数．解：由导数的定义知，函数在x＝2处的导数f′(2)＝limΔx→0 f(2＋Δx)－f(2)Δx，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－2＝－(Δx)2－Δx，于是f′(2)＝limΔx→0－(Δx)2－ΔxΔx＝limΔx→0(－Δx－1)＝－1.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

1.1.1 变化率问题教学目标 通过大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵。

重点难点 平均变化率的意义教学过程一、问题情境1、情境：某市2008年4月20日最高气温为33.4℃，而4月19日和4月18日的最高气温分别为24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温陡增14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”时间4月18日 4月19日 4月20日 日最高气温 18.6℃ 24.4℃ 33.4℃该市2007年3月18日到4月18日的日最高气温变化曲线:问题1：你能说出A 、B 、C 三点的坐标所表示意义吗？问题2：分别计算AB 、BC 段温差结论：气温差不能反映气温变化的快慢程度问题3：如何“量化”（数学化）曲线上升的陡峭程度？曲线AB 、BC 段几乎成了“直线”， 由此联想如何量化直线的倾斜程度？二、建构数学一般地,函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为： 说明： t (d)20 30 34 210 20 30A (1, 3.5)B (32, 18.6)0 C (34, 33.4) T (℃)2 10 2121()()f x f x x x--x y ∆∆=(1)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线的陡峭程度是平均变化率的“视觉化” (2)用平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当x2—x1很小时，这种量化便由“粗糙”逼近“精确”。

例1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率；由此你能得到什么结论？(1)1kg/月(2)0.4kg/月结论：该婴儿从出生到第3个月体重增加的速度比第6个月到第12个月体重增加的速度要快。

例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积 （单位： ）计算第一个10s 内V 的平均变化率。

第二章DIERZHANG变化率与导数§1变化的快慢与变化率课后篇巩固提升1.函数y=x2在区间[x0,x0+Δx](Δx>0)上的平均变化率为k1,在[x0-Δx,x0]上的平均变化率为k2,则( )A.k1>k2B.k1<k2C.k1=k2D.k1与k2的大小关系不确定k1=f(x0+Δx)-f(x0)Δx =(x0+Δx)2-x02Δx=2x0+Δx,k2=f(x0)-f(x0-Δx)Δx =x02-(x0-Δx)2Δx=2x0-Δx,则k1-k2=4Δx.因为Δx>0,所以k1>k2.故选A.2.一个物体的运动方程为s=t2-t+1,其中s的单位是米,t的单位是秒.则物体在3秒末的瞬时速度是( )A.7米/秒B.6米/秒C.5米/秒D.4米/秒解析∵Δs Δt=(3+Δt )2-(3+Δt )+1-(32-3+1)Δt=5Δt+Δt 2Δt=5+Δt,∴当Δt→0时,Δs Δt→5.3.将半径为R 的球加热,若球的半径增加ΔR,则球的表面积增量ΔS 等于( ) A.8πRΔRB.8πRΔR+4π(ΔR)2C.4πRΔR+4π(ΔR)2D.4π(ΔR)22-4πR 2=8πRΔR+4π(ΔR)2,故选B.4.物体甲,乙在时间0到t 1范围内路程的变化情况如图所示,下列说法正确的是( )A.在0到t 0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度B.在0到t 0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度C.在t 0到t 1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度D.在t 0到t 1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度0到t0范围内,甲,乙所走的路程相同,时间相同,所以平均速度相同,在t0到t1范围内,时间相同,而甲走的路程比乙的大,所以甲的平均速度大.5.已知曲线y=2的坐标为( )A.(1,3)B.(-4,33)C.(-1,3)D.不确定M的坐标为(t0,2t02+1),则Δy Δx =2(t0+Δx)2+1-2t02-1Δx=4t0Δx+2(Δx)2Δx=4t0+2Δ的坐标为(-1,3).6.已知函数y=f(x)=-x2+x在区间[t,1]上的平均变化率为2,则t= .Δy=f(1)-f(t)=(-12+1)-(-t2+t)=t2-t,所以ΔyΔx =t2-t1-t=-t.又因为ΔyΔx=2,所以t=-2.7.一物体的运动曲线为s=3t-t2,则该物体的初速度为.-(0+Δt)2-(3×0-02)=3Δt -(Δt)2,∴当Δt 趋于0时,Δs Δt=3Δt -(Δt )2Δt=3-Δt 趋于3.8.已知甲厂生产一种产品,产品总数y 与时间x(1≤x≤12,单位:月)的图像如图所示,则下列说法正确的是 . ①前3个月内增长越来越快. ②前3个月内增长越来越慢. ③产品数量一直增加. ④第3个月到第8个月内停产.3个月内函数图像越来越平,增长越来越慢,第3个月到第8个月内总数未变化,所以这段时间内停产;第8个月到第12个月内总数增加越来越快,故正确的应为②④.9.已知函数f(x)=2x在区间[1,t]上的平均变化率为-23,则t= .y=k x(k≠0)在区间[m,n]上的平均变化率为-kmn,∴-21×t=-23,解得t=3.10.设某产品的总成本函数为C(x)=1 100+x 21200,其中x 为产量数,则生产900个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为 .=C (1000)-C (900)1000-900=1100+100021200-(1100+90021200)100=1912.11.已知函数y=f(x)=3x 2+2,求该函数在x 0=1,2,3附近Δx 取12时的平均变化率k 1,k 2,k 3,并比较大小.y=f(x)=3x 2+2在区间[x 0,x 0+Δx]上的平均变化率为f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx=[3(x 0+Δx )2+2]-(3x 02+2)Δx=6x 0+3Δx.当x 0=1,Δx=12时,函数在区间[1,1.5]上的平均变化率k 1=6×1+3×0.5=7.5;当x 0=2,Δx=12时,函数在区间[2,2.5]上的平均变化率k 2=6×2+3×0.5=13.5;当x 0=3,Δx=12时,函数在区间[3,3.5]上的平均变化率k 3=6×3+3×0.5=19.5.∵7.5<13.5<19.5,∴k 1<k 2<k 3.12.航天飞机升空后一段时间内,第t s时的高度h(t)=5t3+30t2+45t+4,其中h的单位为m,t的单位为s.(1)h(0),h(1),h(2)分别表示什么?(2)求前2 s内的平均速度;(3)求第2 s末的瞬时速度.表示航天飞机发射前的高度;h(1)表示航天飞机升空1s后的高度;h(2)表示航天飞机升空2s后的高度.(2)航天飞机升空后前2s内的平均速度为v=h(2)-h(0)2-0=5×23+30×22+45×2+4-42=125(m/s).故航天飞机升空后前2s内的平均速度为125m/s.(3)∵航天飞机升空后在t=2s时的位移增量与时间增量的比值为v=ℎ(2+Δt)-ℎ(2)Δt=5(2+Δt)3+30(2+Δt)2+45(2+Δt)+4-(5×23+30×22+45×2+4)Δt=5(Δt)3+60(Δt)2+225ΔtΔt=5(Δt)2+60Δt+225,∴当Δt→0时,v→225,因此第2s末的瞬时速度为225m/s. ∴航天飞机升空第2s末的瞬时速度为225m/s.13.柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的,铺路工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变成黏稠状液体.如果开始加热后第x 小时的沥青温度(单位:℃)满足y=f(x)={80x 2+20,0≤x ≤1,-2049(x 2-2x -244),1<x ≤8.(1)求开始加热后15分钟时沥青温度的瞬时变化率; (2)求开始加热后第4小时沥青温度的瞬时变化率.因为0≤x≤1时,f(x)=80x 2+20,15分钟=0.25小时.Δy Δx =f (0.25+Δx )-f (0.25)Δx=80(0.25+Δx )2+20-(80×0.252+20)Δx=80[0.5Δx+(Δx )2]Δx=40+80Δx,当Δx 趋于0时,Δy Δx趋于40.故开始加热后15分钟时的瞬时变化率为40. (2)因为1<x≤8时, f(x)=-2049(x 2-2x-244),当x=4时,ΔyΔx=-2049[(4+Δx )2-2(4+Δx )-244]+2049(42-2×4-244)Δx=-2049[6Δx+(Δx )2]Δx=-2049(6+Δx),当Δx趋于0时,ΔyΔx 趋于-12049,即开始加热后第4小时的瞬时变化率为-120 49.。

1. 1.1变化率问题 课前预习学案预习目标：“变化率问题”，课本中的问题1,2。

知道平均变化率的定义。

预习内容： 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢？气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π= 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 在吹气球问题中，当空气容量V 从0增加到1L 时，气球的平均膨胀率为__________ 当空气容量V 从1L 增加到2L 时，气球的平均膨胀率为__________________ 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率为_____________ 问题2 高台跳水在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态? 在5.00≤≤t 这段时间里，v =_________________ 在21≤≤t 这段时间里，v =_________________ 问题3 平均变化率已知函数()x f ，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数()x f 从1x 到2x ___________.习惯上用x ∆表示12x x -，即x ∆=___________,可把x ∆看做是相对于1x 的一个“增量”，可用+1x x ∆代替2x ，类似有=∆)(x f __________________,于是，平均变化率可以表示为_______________________提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案学习目标 1.理解平均变化率的概念;2.了解平均变化率的几何意义;3.会求函数在某点处附近的平均变化率.h to学习重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率. 学习难点：平均变化率的概念.学习过程一：问题提出问题1气球膨胀率问题：气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是__________. 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么___________.⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了___________. 气球的平均膨胀率为___________.⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了___________. 气球的平均膨胀率为___________.可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,? ___________.问题2 高台跳水问题：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在怎样的函数关系？在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系___________.）如何计算运动员的平均速度？并分别计算０≤t ≤０.5，1≤t ≤2，1.8≤t ≤2，2≤t ≤2.2，时间段里的平均速度.思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v 在5.00≤≤t 这段时间里，___________.； 在21≤≤t 这段时间里，___________. 探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以___________.虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （1）计算和思考，展开讨论；（2）说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上.（3）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态； 二平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化h to率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆xf x y ___________. 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆xf1212)()(x x x f x f --表示什么? （1） 一起讨论、分析，得出结果；（2） 计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x 2-x 1；②求函数的增量Δf=f(x 2)-f(x 1)；③求平均变化率2121()()f x f x f x x x -∆=∆-. 注意：①Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘；②x 2= x 1+Δx ； ③Δf=Δy=y 2-y 1； 三．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy． 解：例2．求2x y =在0x 附近的平均变化率。

姓名，年级：时间：第一章1。

1 1。

1.1请同学们认真完成练案[1]A级基础巩固一、选择题1.如图，函数y＝f(x）在A,B两点间的平均变化率等于（ B )A．1 B．－1C．2 D．－2[解析］平均变化率为错误!＝－1。

2．函数y＝2x在区间［x0，x0＋Δx］上的平均变化率为（ D )A．x0＋Δx B．1＋ΔxC．2＋Δx D．2[解析］由题意，可得平均变化率f x＋Δx－f x0＝错误!＝2，Δx故选D．3．已知函数y＝f(x)＝2x2的图象上的点P（1,2)及邻近点Q（1＋Δx，2＋Δy)，则错误!的值为( D )A．4 B．4xC．4＋2（Δx）2D．4＋2Δx［解析］错误!＝错误!＝4＋2Δx。

4．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段［t0，t1],[t1，t],［t2，t3］上的平均速度分别为错误!，错误!，错误!，则三者的大小关系为2（ B )A．错误!〉错误!>错误!B．错误!>错误!〉错误!C．错误!〉错误!〉错误!D．错误!〉错误!〉错误!［解析］错误!＝错误!＝k OA，错误!＝错误!＝k AB,错误!＝错误!＝k BC，由图象知k OA<k AB〈k BC，选B．二、填空题5．函数f（x）＝x2－1在区间［1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为__2__。

[解析] 函数f（x)＝x2－1在区间［1，m］上的平均变化率为错误!＝错误!＝m＋1＝3,∴m＝2.6．(2020·阿拉善左旗校级期末）若函数y＝x2－1的图象上的点A（1,0），则当Δx＝0.1时的平均变化率是__2。

1__.[解析］Δy＝(1＋Δx)2－1－(12－1）＝2Δx＋Δx2，∴错误!＝2＋Δx,当Δx＝0。

1时,平均变化率为2。

1.三、解答题7．已知某质点的运动路程s(单位：m）与时间t(单位：s)存在函数关系s ＝2t2＋2t，求：(1）该质点在前3 s内的平均速度；(2）该质点在2 s到3 s内的平均速度．［解析］（1)∵Δs＝s(3)－s(0）＝24，Δt＝3,∴错误!＝错误!＝8(m/s)．（2)∵Δs＝s（3）－s(2）＝12，Δt＝1,∴错误!＝错误!＝12（m/s）．B级素养提升一、选择题1．在x＝1附近,取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④y ＝错误!中，平均变化率不是最大的是( ACD )A．④B．③C．②D．①［解析] Δx＝0。