高中数学1.1.1变化率问题课时作业(含解析)新人教A版选修22

第五章一元函数的导数及其应用5.1导数的概念及其意义5.1.1变化率问题课后篇巩固提升必备知识基础练1.质点运动规律S(t)=t2+3,则从t=3到t=3.3内,质点运动的平均速度为()A.6.3B.36.3C.3.3D.9.3(3)=12,S(3.3)=13.89,则平均速度v=S(3.3)-S(3)3.3-3=1.890.3=6.3,故选A.2.lim Δx→0(1+Δx)2-1Δx表示()A.曲线y=x2切线的斜率B.曲线y=x2在点(1,1)处切线的斜率C.曲线y=-x2切线的斜率D.曲线y=-x2在(1,-1)处切线的斜率y=f(x)=x2时,lim Δx→0(1+Δx)2-1Δx=limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx,可知limΔx→0(1+Δx)2-1Δx表示y=f(x)=x2在点(1,1)处的切线的斜率.故选B.3.已知函数f(x)=x2图象上四点A(1,f(1)),B(2,f(2)),C(3,f(3)),D(4,f(4)),割线AB,BC,CD的斜率分别为k1,k2,k3,则()A.k1<k2<k3B.k2<k1<k3C.k3<k2<k1D.k1<k3<k21=f(2)-f(1)2-1=4-1=3,k2=f(3)-f(2)3-2=9-4=5,k3=f(4)-f(3)4-3=16-9=7,∴k1<k2<k3.故选A.4.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在函数y=f(x)的图象上,若函数f(x)从x1到x2的平均变化率为√3,则下面叙述正确的是()A.曲线y=f (x )的割线AB 的倾斜角为π6B.曲线y=f (x )的割线AB 的倾斜角为π3 C.曲线y=f (x )的割线AB 的斜率为-√3D.曲线y=f (x )的割线AB 的斜率为-√33f (x )从x 1到x 2的平均变化率就是割线AB 的斜率,所以k AB =√3,割线AB 的倾斜角为π3,故选B .5.(多选)已知物体做自由落体运动的方程为s=s (t )=12gt 2,当Δt 无限趋近于0时,s (1+Δt )-s (1)Δt 无限趋近于9.8 m/s,那么下列说法不正确的是( )A .9.8 m/s 是在0~1 s 这段时间内的平均速度B .9.8 m/s 是在1~(1+Δt ) s 这段时间内的速度C .9.8 m/s 是物体在t=1 s 这一时刻的瞬时速度D .9.8 m/s 是物体从1~(1+Δt ) s 这段时间内的平均速度Δt 趋近于0时,平均速度s (1+Δt )-s (1)Δt 趋近于该时刻的瞬时速度.故选ABD. 6.已知曲线y=1x 2上一点P (1,1),则曲线在点P 处的切线的斜率为 .2y=1x 2上一点P (1,1),在点P 处的切线的斜率为limΔx →01(1+Δx )2-112Δx =lim Δx →0-(Δx )2-2Δx (1+Δx )2Δx =lim Δx →0-Δx -2(1+Δx )2=-2,所以点P 处的切线的斜率为-2.7.一个物体做直线运动,位移s (单位:m)与时间t (单位:s)之间的函数关系为s (t )=5t 2+mt ,且这一物体在2≤t ≤3这段时间内的平均速度为26 m/s,则实数m 的值为 .,得s (3)-s (2)3-2=26,所以(5×32+3m )-(5×22+2m )=26,解得m=1.8.一个做直线运动的物体,其位移s 与时间t 的关系是s (t )=3t-t 2(s 的单位:m,t 的单位:s).(1)求此物体的初速度;(2)求此物体在t=2 s 时的瞬时速度;(3)求t=0 s 到t=2 s 的平均速度.(1)s (0+Δt )-s (0)Δt=3Δt -(Δt )2Δt =3-Δt. lim Δt →0(3-Δt )=3,所以物体的初速度v 0=3 m/s .(2)s (2+Δt )-s (2)Δt=3(2+Δt )-(2+Δt )2-(3×2-22)Δt=-Δt-1. lim Δt →0(-Δt-1)=-1,所以在t=2时的瞬时速度为-1 m/s .(3)v =s (2)-s (0)2-0=6-4-02=1(m/s). 关键能力提升练9.曲线y=x 3+x 2-2x 在x=-1处的切线斜率是( )A.1B.-1C.2D.3lim Δx →0[(-1+Δx )3+(-1+Δx )2-2(-1+Δx )]-[(-1)3+(-1)2-2(-1)]Δx=lim Δx →0[-1-2Δx+(Δx )2]=-1. 10.设曲线y=ax 2在点(1,a )处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a 等于( )A.1B.12C.-12D.-1lim Δx →0a (1+Δx )2-a×12Δx =lim Δx →02aΔx+a (Δx )2Δx =lim Δx →0(2a+a Δx )=2a ,所以2a=2,所以a=1. 11.(多选)在曲线y=13x 3-x+1的所有切线中,斜率的可能取值为( )A.-2B.-1C.1D.2y=13x 3-x+1=f (x ),所以k=lim Δx →013(x+Δx )3-(x+Δx )+1-(13x 3-x+1)Δx =x 2-1.当x=0时,k 有最小值-1,故只要k ≥-1即可,故选BCD.12.(多选)某物体的运动方程为s=s (t )={3t 2+1,0<t <3,28,t ≥3,下列说法正确的是( ) A.此物体在t 0=1到t 1=1+Δt (0<Δt<2)这段时间内的平均速率v 是常数B.此物体在t 0=1到t 1=1+Δt (0<Δt<2)这段时间内的平均速率v 与Δt 有关C.此物体在t 0=1时的瞬时速度为6D.此物体在t 0=1时的瞬时速度为280<Δt<2,1<t 1=1+Δt<3时,s=3t 2+1,所以v =s (1+Δt )-s (1)Δt =3Δt+6. lim Δt →0s (1+Δt )-s (1)Δt =6,即在t 0=1时的瞬时速度为6.故选BC .13.已知汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图所示,在时间段[t 0,t 1],[t 1,t 2],[t 2,t 3]上的平均速度分别为v 1,v 2,v 3,则三者的大小关系为 .(由大到小排列)>v 2>v 1 ∵v 1=s (t 1)-s (t 0)t 1-t 0=k OA , v 2=s (t 2)-s (t 1)t 2-t 1=k AB ,v 3=s (t 3)-s (t 2)t 3-t 2=k BC , 又由图象得k OA <k AB <k BC ,∴v 3>v 2>v 1. 学科素养创新练14.在曲线y=13x 3-x 2+3x-13的所有切线中,斜率最小的切线方程为 .x-y=(x 0,f (x 0))的切线斜率为 lim Δx →0[13(x 0+Δx )3-(x 0+Δx )2+3(x 0+Δx )-13]-(13x 03-x 02+3x 0-13)Δx=lim Δx →013(Δx )2+x 0Δx+x 02-2x 0+3-Δx=x 02-2x 0+3,故当x 0=1时,切线斜率最小为2.∴y=13×13-12+3×1-13=2,故斜率最小的切线方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0.。

1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念[学习目标]1．了解导数概念的实际背景．2．会求函数在某一点附近的平均变化率．3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．[知识链接]很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？答气球的半径r(单位：dm)与体积V(单位：L)之间的函数关系是r(V)＝33V4π，(1)当V从0增加到1 L时，气球半径增加了r(1)－r(0)≈0.62 (dm)，气球的平均膨胀率为r(1)－r(0)1－0≈0.62(dm/L)．(2)当V从1 L增加到2 L时，气球半径增加了r(2)－r(1)≈0.16 (dm)，气球的平均膨胀率为r(2)－r(1)2－1≈0.16(dm/L)．可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了．[预习导引] 1．函数的变化率函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.要点一求平均变化率例1已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01.(2)根据(1)中的计算，当|Δx|越来越小时，函数h(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解(1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h (1)＝－4.9 (Δx)2－3.3Δx，∴ΔyΔx＝－4.9Δx－3.3.①当Δx＝2时，ΔyΔx＝－4.9Δx－3.3＝－13.1；②当Δx ＝1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－8.2； ③当Δx ＝0.1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－3.79； ④当Δx ＝0.01时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－3.349.(2)当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.规律方法 求平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪演练1 求函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值．解 函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为 f (x 0＋Δx )－f (x 0)(x 0＋Δx )－x 0＝[3(x 0＋Δx )2＋2]－(3x 20＋2)Δx＝6x 0·Δx ＋3(Δx )2Δx＝6x 0＋3Δx .当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.要点二 物体运动的瞬时速度例2 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，求运动员在t ＝6598 s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况． 解令t 0＝6598，Δt为增量．则h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt＝－4.9×⎝ ⎛⎭⎪⎫6598＋Δt 2＋6.5×⎝ ⎛⎭⎪⎫6598＋Δt ＋10Δt＋4.9×⎝ ⎛⎭⎪⎫65982－6.5×6598－10Δt＝－4.9Δt ⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5ΔtΔt ＝－4.9⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5， ∴lim Δt →0 h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt ＝lim Δt →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4.9⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5＝0， 即运动员在t 0＝6598 s 时的瞬时速度为0 m/s.说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处．规律方法 求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近”的方法得到的，其求解步骤如下：(1)由物体运动的位移s 与时间t 的函数关系式求出位移增量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)； (2)求时间t 0到t 0＋Δt 之间的平均速度v ＝Δs Δt ； (3)求lim Δt →0 ΔsΔt的值，即得t ＝t 0时的瞬时速度． 跟踪演练2 一质点按规律s (t )＝at 2＋1作直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值． 解 ∵Δs ＝s (2＋Δt )－s (2) ＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1 ＝4a Δt ＋a (Δt )2， ∴ΔsΔt ＝4a ＋a Δt .在t ＝2 s 时，瞬时速度为lim Δx →0 ΔsΔt ＝4a ，即4a ＝8，∴a ＝2. 要点三 函数在某点处的导数例3 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．解 Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1)＝3(Δx )2＋4Δx ，∵Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx＝3Δx ＋4，∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4. 规律方法 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx；(3)取极限，得导数f′(x0)＝limΔx→0Δy Δx.跟踪演练3利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．解由导数的定义知，函数在x＝2处的导数f′(2)＝limΔx→0f(2＋Δx)－f(2)Δx，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2) ＝－(Δx)2－Δx，于是f′(2)＝limΔx→0－(Δx)2－ΔxΔx＝limΔx→0(－Δx－1)＝－1.1．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是()A．4 B．4.1C．0.41 D．3答案 B解析v＝(3＋2.12)－(3＋22)0.1＝4.1.2．函数f(x)在x0处可导，则limΔx→0f(x0＋h)－f(x0)h()A．与x0、h都有关B．仅与x0有关，而与h无关C．仅与h有关，而与x0无关D．与x0、h均无关答案 B3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则Δy Δx等于()A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2答案 C解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－1＝2(Δx )2＋4Δx ，∴ΔyΔx ＝2Δx ＋4. 4．已知函数f (x )＝1x，则f ′(1)＝________. 答案 －12解析 f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 11＋Δx－1Δx＝lim Δx →0－11＋Δx (1＋1＋Δx )＝－12.利用导数定义求导数三步曲：(1)作差求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)作比求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx ， 简记为一差，二比，三极限.一、基础达标1．函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 中，Δx 不可能是( ) A ．大于0B．小于0 C ．等于0 D ．大于0或小于0答案 C 2．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2答案 B解析 Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1.3．如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2) (s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( ) A ．－4.8 m/s B ．－0.88 m/s C ．0.88 m/s D ．4.8 m/s 答案 A解析 物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得．4．设函数f (x )可导，则lim Δx →0 f (1＋3Δx )－f (1)3Δx 等于( ) A ．f ′(1) B ．3f ′(1) C ．13f ′(1) D ．f ′(3) 答案 A 解析 lim Δx →0f (1＋3Δx )－f (1)3Δx＝f ′(1)．5．已知函数y ＝2x ＋3，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝________. 答案 13解析 Δy ＝f (1.5)－f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21.5＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋3＝43－1＝13.6．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________．答案 3解析 v 初＝s ′|t ＝0＝lim Δx →0s (0＋Δt )－s (0)Δt＝lim Δx →0 (3－Δt )＝3. 7．利用定义求函数y ＝－2x 2＋5在x ＝2处的瞬时变化率．解 因为在x ＝2附近，Δy ＝－2(2＋Δx )2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx －2(Δx )2，所以函数在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率为Δy Δx ＝－8Δx －2(Δx )2Δx ＝－8－2Δx .故函数y ＝－2x 2＋5在x ＝2处的瞬时变化率为lim Δx →0 (－8－2Δx )＝－8. 二、能力提升 8.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是( ) A ．甲 B ．乙 C ．相同 D ．不确定答案 B解析 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)， 但是，在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1(t 0)－W 1(t 0－Δt )Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2(t 0)－W 2(t 0－Δt )Δt ，所以，在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好．9．过曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝________，当Δx ＝0.001时，割线的斜率k ＝________. 答案 2.1 2.001解析 ∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2， ∴ΔyΔx ＝2＋Δx ，∴割线斜率为2＋Δx ，当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.1＝2.1. 当Δx ＝0.001时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.001＝2.001.10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为________． 答案 2解析 由导数的定义， 得f ′(0)＝lim Δx →0f (Δx )－f (0)Δx＝lim Δx →0 a (Δx )2＋b (Δx )＋c －cΔx ＝lim Δx →0[a ·(Δx )＋b ]＝b ＞0. 又⎩⎨⎧Δ＝b 2－4ac ≤0a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0. ∴f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2b b ＝2.11．求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数． 解 Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ，∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx＝2Δx ＋16.∴y ′|x ＝3＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0(2Δx ＋16)＝16. 12．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值． 解 ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c ＝a (Δx )2＋2a Δx .∴f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 a (Δx )2＋2a Δx Δx ＝lim Δx →0 (a Δx ＋2a )＝2a ，即2a ＝2，∴a ＝1. 三、探究与创新13．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求满足f ′(x )＋2＝g ′(x )的x 的值． 解 由导数的定义知， f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ， g ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－x 3Δx＝3x 2.∵f′(x)＋2＝g′(x)，∴2x＋2＝3x2.即3x2－2x－2＝0，解得x＝1－73或x＝1＋73.。

课时作业(一)一、选择题1．函数y ＝x 2＋x 在x ＝1到x ＝1＋Δx 之间的平均变化率为( ) A ．Δx ＋2 B ．2Δx ＋(Δx )2 C ．Δx ＋3 D ．3Δx ＋(Δx )2 答案 C2．物体做直线运动所经过的路程s 可表示为时间t 的函数s ＝s (t )＝2t 2＋2，则在一小段时间[2,2＋Δt ]上的平均速度为( )A ．8＋2ΔtB ．4＋2ΔtC ．7＋2ΔtD ．－8＋2Δt答案 A3．设函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0) 答案 D4．已知函数f (x )＝2x 2－4的图像上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2 答案 C解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝[2(1＋Δx )2－4]－(2·12－4)＝[2(Δx )2＋4Δx －2]－(－2) ＝2(Δx )2＋4Δx .∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋4Δx Δx＝2Δx ＋4. 5．某质点沿直线运动的方程为y ＝－2t 2＋1，则该质点从t ＝1到t ＝2时的平均速度为( )A ．－4B ．－8C ．6D ．－6答案 D解析 v ＝y 2－y 1t 2－t 1＝－6.6．已知函数f (x )＝－x 2＋x ，则f (x )从－1到－0.9的平均变化率为( )A ．3B ．0.29C ．2.09D ．2.9答案 D7．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x 、②y ＝x 2、③y ＝x 3、④y ＝1x 中，平均变化率最大的是( )A ．④B ．③C ．②D ．①答案 B8．已知曲线y ＝14x 2和这条曲线上的一点P (1，14)，Q 是曲线上点P 附近的一点，则点Q 的坐标为( )A ．(1＋Δx ，14(Δx )2) B ．(Δx ，14(Δx )2) C ．(1＋Δx ，14(Δx ＋1)2) D ．(Δx ，14(1＋Δx )2) 答案 C 二、填空题9．将半径为R 的球加热，若球的半径增加ΔR ，则球的表面积增加量ΔS 等于________．答案 8πRΔR ＋4π(ΔR )210．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1,1＋Δt ]上相应的平均速度v 与Δt 满足的关系式为________．答案 v ＝－2Δt －4解析 Δs ＝[4－2(1＋Δt )2]－(4－2·12) ＝4－2－4Δt －2(Δt )2－4＋2 ＝－4Δt －2(Δt )2，v ＝Δs Δt ＝－4Δt －2(Δt )2Δt＝－4－2Δt . 11．某物体按照s (t )＝3t 2＋2t ＋4的规律作直线运动，则自运动始到4 s 时，物体的平均速度为________．答案 15解析 v (t )＝s (t )t ＝3t ＋2＋4t ， ∴v (4)＝3×4＋2＋44＝15.12．已知函数f (x )＝1x ，则此函数在[1,1＋Δx ]上的平均变化率为________．答案－11＋Δx解析ΔyΔx＝f(1＋Δx)－f(1)Δx＝11＋Δx－1Δx＝－11＋Δx.13．已知圆的面积S与其半径r之间的函数关系为S＝πr2，其中r∈(0，＋∞)，则当半径r∈[1,1＋Δr]时，圆面积S的平均变化率为________．答案2π＋πΔr三、解答题14.甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？解析由图像可知s1(t0)＝s2(t0)，s1(0)>s2(0)，则s1(t0)－s1(0)t0<s2(t0)－s2(0)t0，所以在从0到t0这段时间内乙的平均速度大．15.婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率．解析第一年婴儿体重平均变化率为11.25－3.75＝0.625(千克/月)；12－0第二年婴儿体重平均变化率为14.25－11.25＝0.25(千克/月)．24－1216．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算在下列区间上f(x)及g(x)的平均变化率．(1)[－3，－1]；(2)[0,5]．答案(1)f(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为2，g(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为－2.(2)f(x)在区间[0,5]上的平均变化率为2，g(x)在区间[0,5]上的平均变化率为－2.►重点班·选做题17．动点P沿x轴运动，运动方程为x＝10t＋5t2，式中t表示时间(单位：s)，x表示距离(单位：m)，求在20≤t≤20＋Δt时间段内动点的平均速度，其中(1)Δt＝1，(2)Δt＝0.1；(3)Δt＝0.01.答案(1)215 m/s(2)210.5 m/s(3)210.05 m/s。

2020-2021学年高二数学人教A 版选修1-1同步课时作业（18）变化率与导数1.若函数23(),(),()f x x g x x h x x ===在[]0,1上的平均变化率分别记为123,,m m m ,则下面结论正确的是( ) A.123m m m == B.123m m m >> C.213m m m >>D.123m m m << 2.函数()f x x =从1到a 的平均变化率为14,则实数a 的值为( ) A.10B.9C.8D.73.已知函数()f x 的图象如图所示，下列数值的排序正确的是( )A ．(2)(3)(3)(2)f f f f <'<-'B ．(3)(3)(2)(2)f f f f <-'<'C ．(3)(2)(3)(2)f f f f <'<-'D ．(3)(2)(2)(3)f f f f ''-<<4.已知曲线4ln (1)y a x x x=+>在每一点处的切线的斜率都小于1，则实数a 的取值范围是( )A.(,5)-∞B.(,4)-∞C.(,5]-∞D.(,4]-∞5.函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为( ) A.21y x =--B.21y x =-+C.23y x =-D.21y x =+6.曲线3222y x x =-+在点()1,1处的切线方程为( ) A ．2y x =-+B ．y x =-C ．2y x =-D ．y x =7.已知函数()223f x x ax ax b =+++的图像在点()()1,1f 处的切线方程为12y x m =-+.若函数()f x 至少有两个不同的零点,则实数b 的取值范围是( ) A.()5,27-B.[]5,27-C.(]1,3-D.[]1,3-8.已知()f x 为奇函数,当0x <时, ()2e e (e x f x x -=-是自然对数的底数),则曲线()y f x =在1x =处的切线方程是( )A. e e y x =-+B. e e y x =+C. e e y x =-D. 112e 2e+e e y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭9.函数()2ln 2f x x x x =++在点()(1,)1f 处的切线方程为( ) A.33y x =-B.3y x =C.31y x =+D.33y x =+10.若曲线()ln y x a =+的一条切线为e y x b =- (e 为自然对数的底数),其中,a b 为正实数,则11e a b+的取值范围是( ) A.[)2,e B.(]e,4C.[2,)+∞D.[e,)+∞11.函数2()3f x x =在[]2,6内的平均变化率为___________.12.函数()()sin 2f x a x a R =+∈在点()()0,0f 处的切线方程为2y x =-+，则a =__________． 13.曲线21()ln 2f x x x x =+在点()()1,1f 处的切线与直线10ax y --=垂直，则a =______. 14.曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 15.已知函数2()12f x x =-。

1．1变化率与导数1．1.1变化率问题1．理解平均变化率的概念．2．会求函数在某点附近的平均变化率．基础梳理平均变化率．(1)定义：对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为f（x2）－f（x1）x2－x1．其中自变量的变化x2－x1称作自变量的改变量，记作Δx，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作函数值的改变量，记作Δy．这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx＝f（x2）－f（x1）x2－x1．(2)作用：刻画函数在区间[x1，x2]上变化的快慢．想一想：函数f(x)＝2x2－x在区间[1，3]上的自变量的增量Δx＝______，函数值的改变量为Δy ＝______，平均变化率Δy Δx＝______． 解析：Δx ＝3－1＝2，Δy ＝2×32－3－(2×12－1)＝14，Δy Δx ＝142＝7答案：2 14 7 自测自评1．在求平均变化率时，自变量的增量Δx 满足(D )A ．Δx ＞0B ．Δx ＜0C ．Δx ＝0D ．Δx ≠0 2．函数y ＝1x 在[1，a ]上的平均变化率为－12，则a ＝(B ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：Δx ＝a －1，Δy ＝11＋Δx －11＝－Δx 1＋Δx ，所以Δy Δx ＝－11＋Δx ＝－1a＝－12，所以a ＝2.故选B. 3．将半径为R 的球加热，若球的半径增加ΔR ，则球的表面积的增加量ΔS 等于(B )A ．8πR ΔRB ．8πR ΔR ＋4π(ΔR )2C ．4πR ΔR ＋4π(ΔR )2D ．4π(ΔR )2解析：ΔS ＝4π(R ＋ΔR )2－4πR 2＝8πR ΔR ＋4π(ΔR )2，故选B.基础巩固1. 一物体的运动方程是s ＝2t 2，则从2 s 到3 s 这段时间内路程的增量为(C )A ．18B ．8C ．10D ．122．物体的运动规律是s ＝s (t )，物体在t 至t ＋Δt 这段时间内的平均速度是(C )A.v －＝s （t ）tB.v －＝s （Δt ）ΔtC.v －＝Δs ΔtD.v －＝s （t ＋Δt ）Δt解析：v －＝s （t ＋Δt ）－s （t ）Δt ＝Δs Δt.故选C. 3．某质点A 沿直线运动的方程为y ＝－2x 2＋1，则该质点从t ＝1到t ＝2时的平均速度为(C )A ．－4B ．－8C ．－6D ．6解析：ΔyΔx ＝（－2×22＋1）－（－2×12＋1）2－1＝－6. 4．y ＝1x2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为__________． 解析：因为Δy ＝1（x 0＋Δx ）2－1x 20，所以y ＝1x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为Δy Δx＝1（x 0＋Δx ）2－1x 20Δx ＝－2x 0＋Δx （x 0＋Δx ）2x 20. 答案：－2x 0＋Δx （x 0＋Δx ）2x 20能力提升5．一个做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则此物体在区间[0，0.001]内的平均变化率接近(B )A ．0B ．3C ．－2D ．3－2t6．下表为某大型超市一个月的销售收入情况表，则本月销售收入的平均增长率为(B)A.一样 B ．越来越大C ．越来越小D ．无法确定7．已知曲线y ＝1x －1上两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋Δx ，－12＋Δy ，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为________．解析：∵Δx ＝1，∴2＋Δx ＝3，Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝－16.∴k AB ＝ΔyΔx＝－16.答案：－168．设C 是成本，q 是产量，且C (q )＝3q 2＋10，若q ＝q 0，则产量增加量为10时，成本增加量为________．解析：ΔC ＝C (q 0＋10)－C (q 0)＝3(q 0＋10)2＋10－(3q 20＋10)＝3(q 20＋20q 0＋100)－3q 20＝60q 0＋300.答案：60q 0＋3009．比较函数f (x )＝2x 与g (x )＝3x ，当x ∈[1，2]时，平均增长率的大小．解析：设f (x )＝2x 在x ∈[1，2]时的平均增长率为k 1，则k 1＝f （2）－f （1）2－1＝2， 设g (x )＝3x 在x ∈[1，2]时的平均增长率为k 2，则k 2＝g （2）－g （1）2－1＝6. ∵k 1<k 2，故当x ∈[1，2]时，g (x )的平均增长率大于f (x )的平均增长率．10．若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2，2＋Δx ](Δx ＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的范围．解析：因为函数f (x )在[2，2＋Δx ]上的平均变化率为：ΔyΔx ＝f （2＋Δx ）－f （2）Δx＝－（2＋Δx）2＋（2＋Δx）－（－4＋2）Δx＝－4Δx＋Δx－（Δx）2Δx＝－3－Δx，所以由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.又因为Δx＞0，所以Δx的取值范围是(0，＋∞)．。

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姓名，年级：时间：第一章1。

1 1。

1.1请同学们认真完成练案[1]A级基础巩固一、选择题1.如图，函数y＝f(x）在A,B两点间的平均变化率等于（ B )A．1 B．－1C．2 D．－2[解析］平均变化率为错误!＝－1。

2．函数y＝2x在区间［x0，x0＋Δx］上的平均变化率为（ D )A．x0＋Δx B．1＋ΔxC．2＋Δx D．2[解析］由题意，可得平均变化率f x＋Δx－f x0＝错误!＝2，Δx故选D．3．已知函数y＝f(x)＝2x2的图象上的点P（1,2)及邻近点Q（1＋Δx，2＋Δy)，则错误!的值为( D )A．4 B．4xC．4＋2（Δx）2D．4＋2Δx［解析］错误!＝错误!＝4＋2Δx。

4．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段［t0，t1],[t1，t],［t2，t3］上的平均速度分别为错误!，错误!，错误!，则三者的大小关系为2（ B )A．错误!〉错误!>错误!B．错误!>错误!〉错误!C．错误!〉错误!〉错误!D．错误!〉错误!〉错误!［解析］错误!＝错误!＝k OA，错误!＝错误!＝k AB,错误!＝错误!＝k BC，由图象知k OA<k AB〈k BC，选B．二、填空题5．函数f（x）＝x2－1在区间［1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为__2__。

[解析] 函数f（x)＝x2－1在区间［1，m］上的平均变化率为错误!＝错误!＝m＋1＝3,∴m＝2.6．(2020·阿拉善左旗校级期末）若函数y＝x2－1的图象上的点A（1,0），则当Δx＝0.1时的平均变化率是__2。

1__.[解析］Δy＝(1＋Δx)2－1－(12－1）＝2Δx＋Δx2，∴错误!＝2＋Δx,当Δx＝0。

1时,平均变化率为2。

1.三、解答题7．已知某质点的运动路程s(单位：m）与时间t(单位：s)存在函数关系s ＝2t2＋2t，求：(1）该质点在前3 s内的平均速度；(2）该质点在2 s到3 s内的平均速度．［解析］（1)∵Δs＝s(3)－s(0）＝24，Δt＝3,∴错误!＝错误!＝8(m/s)．（2)∵Δs＝s（3）－s(2）＝12，Δt＝1,∴错误!＝错误!＝12（m/s）．B级素养提升一、选择题1．在x＝1附近,取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④y ＝错误!中，平均变化率不是最大的是( ACD )A．④B．③C．②D．①［解析] Δx＝0。

1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念课时目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．1．函数的变化率定义实例平均变化率函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为________，简记作：Δy Δx. ①平均速度；②曲线割线的斜率．瞬时 变化率函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限，即__________＝lim Δx →0 Δy Δx . ①瞬时速度：物体在某一时刻的速度 ②切线斜率.2.导数的概念：一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 ΔyΔx＝____________，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的________，记为____________，即f ′(x 0)＝li m Δx →0 ΔyΔx ______.一、选择题1．当自变量从x 0变到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化率 D ．以上都不对2．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则Δy Δx等于( )A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x3．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A ．1B ．－1C ．2D ．－24．设f (x )在x ＝x 0处可导，则li m Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx等于( )A ．－f ′(x 0)B ．f ′(－x 0)C ．f ′(x 0)D ．2f ′(x 0)5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( )A ．3B ．－3C ．2D ．－26．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是( )A ．at 0B ．－at 0 C.12at 0 D ．2at 0 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题7．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为________．8．过曲线y ＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______．9．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v (t )＝t 2＋2t ＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt ]内的平均加速度是________，在t ＝1时的瞬时加速度是________． 三、解答题10．已知函数f (x )＝x 2－2x ，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．11．用导数的定义，求函数y ＝f (x )＝1x在x ＝1处的导数．能力提升12．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为________． 13．枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a ＝5×105 m/s 2，枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10－3s ．求枪弹射出枪口时的瞬时速度．1．做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s (t )描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)，那么位移改变量Δs 与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝ΔsΔt＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.2．由导数的定义可得求导数的一般步骤(三步法)： (1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率ΔyΔx；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx. 答案知识梳理 1.定义 实例平均变化率 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，简记作：Δy Δx .①平均速度； ②曲线割线的斜率．瞬时变化率函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限， 即lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 Δy Δx . ①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率.2.lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 导数 f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0 lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 作业设计 1．A2．B [∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2×12＋1＝4Δx ＋2(Δx )2，∴Δy Δx ＝4Δx ＋2(Δx )2Δx＝4＋2Δx .] 3．B [Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1.]4．A [li m Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx＝li m Δx →0－f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝－li m Δx →0 f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝－f ′(x 0)．] 5．B [∵Δy Δx ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32Δx ＝－Δx －3，∴li m Δx →0 ΔyΔx＝－3.] 6．A [∵Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝12a Δt ＋at 0，∴li m Δt →0 ΔsΔt ＝at 0.] 7．0.41 8．1解析 由平均变化率的几何意义知k ＝2－11－0＝1.9．4＋Δt 4解析 在[1,1＋Δt ]内的平均加速度为Δv Δt ＝v (1＋Δt )－v (1)Δt＝Δt ＋4，t ＝1时的瞬时加速度是li m Δt →0 ΔvΔt ＝li m Δt →0(Δt ＋4)＝4. 10．解 函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为： f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)＝[(－1)2－2×(－1)]－[(－3)2－2×(－3)]2＝－6.函数f (x )在[2,4]上的平均变化率为： f (4)－f (2)4－2＝(42－2×4)－(22－2×2)2＝4.11．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝－Δx1＋Δx ·(1＋1＋Δx )∴Δy Δx ＝－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )， ∴li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )＝－11＋0·(1＋1＋0)＝－12，∴y ′|x ＝1＝f ′(1)＝－12.12．2解析 由导数的定义，得f ′(0)＝lim Δx →0 f (Δx )－f (0)Δx＝lim Δx →0 a (Δx )2＋b (Δx )＋c －c Δx ＝lim Δx →0[a ·(Δx )＋b ]＝b . 又⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≤0a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0.∴f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2bb＝2. 13．解 运动方程为s ＝12at 2.因为Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，所以Δs Δt ＝at 0＋12a Δt .所以li m Δt →0 Δs Δt ＝at 0. 由题意知，a ＝5×105 m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ，所以at 0＝8×102＝800 (m/s)．即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.。

第一章 1.1 1.1.1基础练习1．(2017年湖北咸宁月考)函数h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10从0到2的平均变化率为( ) A ．－2.2 B ．－3.3 C ．2.2 D ．3.2【答案】B2．(2018年浙江宁波高二检测)已知函数y ＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则ΔyΔx等于( )A ．2B ．2xC ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )2 【答案】C3．(2017年河北唐山月考)如果质点M 的运动方程是s ＝2t 2－2，则在时间段[2，2＋Δt ]内的平均速度是( )A ．8＋2ΔtB ．4＋2ΔtC ．7＋2ΔtD ．－8＋2Δt 【答案】A4．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2【答案】B5．函数y ＝f (x )的平均变化率的物理意义是指把y ＝f (x )看成物体运动方程时，在区间[t 1，t 2]内的________．【答案】平均速度6．在曲线y ＝x 2＋x 上取点P (2,6)及邻近点Q (2＋Δx,6＋Δy )，那么ΔyΔx ＝______.【答案】Δx ＋5【解析】Δy ＝(2＋Δx )2＋2＋Δx －(22＋2)＝(Δx )2＋5Δx ，则ΔyΔx＝Δx ＋5.7. 已知f (x )＝|x |(x ＋1)，则f (0＋Δx )－f (0)Δx 的值为______．【答案】±(Δx ＋1)【解析】由题意知，f (0＋Δx )＝|Δx |(Δx ＋1)，则f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝|Δx |(Δx ＋1)Δx ＝±(Δx ＋1)．8. 若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx ＞0)上的平均变化率不大于－5，求Δx 的取值范围． 【解析】由题意知，Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋2＋Δx －(－22＋2)＝－(Δx )2－3Δx . ∴函数f (x )在[2,2＋Δx ](Δx ＞0)上的平均变化率为ΔyΔx ＝－Δx －3.则－Δx －3≤－5，∴Δx ≥2. ∴Δx 的取值范围是[2，＋∞)．能力提升9.甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图，则在[0，t 0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是( )A ．v 甲＞v 乙B ．v 甲＜v 乙C ．v 甲＝v 乙D ．大小关系不确定【答案】B【解析】设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均变化率的几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 乙＝k BC .因为k AC ＜k BC ，所以v 甲＜v 乙．10．路灯距离地面8 m ，一个身高为1.6 m 的人以84 m/min 的速度从路灯在地面上的射影点O 沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率为( )A ．725 m/sB ．722 m/sC ．724 m/sD ．720m/s【答案】D【解析】如图，设S 为路灯，人的高度AB ，则AB ＝1.6m,84m/min ＝75 m/s ，t s 时人的影子长AC ＝h ，由直角三角形相似得1.68＝h h ＋75t ，h ＝720t m ．则人影长度的变化速率为Δh Δt ＝720ΔtΔt＝720.故选D ．11．函数y ＝3x 2－2x －8在x 1＝3处有增量Δx ＝0.5，则f (x )在x 1到x 1＋Δx 上的平均变化率是________．【答案】17.5【解析】x ＝3时，y ＝13，x ＝3＋0.5＝3.5时，y ＝21.75，故Δy Δx ＝21.75－130.5＝17.5.12．求函数f (x )＝x 2分别在[1,2]，[1,1.1]，[1,1.01]上的平均变化率．根据所得结果，你有何猜想？【解析】k 1＝Δy 1Δx 1＝f (2)－f (1)2－1＝22－121＝3；k 2＝Δy 2Δx 2＝f (1.1)－f (1)1.1－1＝1.12－120.1＝2.1；k 3＝Δy 3Δx 3＝f (1.01)－f (1)1.01－1＝1.012－120.01＝2.01.猜想：x 0＝1不变，Δx 越小，函数的平均变化率越接近于2.。

1．1.1变化率问题1．1.2导数的概念一、基础过关1．函数y＝x2－2x＋1在x＝－2附近的平均变化率为()A．－6 B．Δx－6C．－2 D．Δx－2[答案]B[解析]设y＝f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，Δy＝f(－2＋Δx)－f(－2)＝(－2＋Δx－1)2－(－2－1)2＝(－3＋Δx)2－9＝(Δx)2－6Δx，所以ΔyΔx＝Δx－6，所以函数y＝x2－2x＋1在x＝－2附近的平均变化率为Δx－6.2．函数y＝1在[2,2＋Δx]上的平均变化率是()A．0 B．1C．2 D．Δx[答案]A[解析]ΔyΔx＝1－1Δx＝0.3．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2 s末的瞬时速度为( )A ．－4.8 m /sB ．－0.88 m/sC ．0.88 m /sD ．4.8 m/s[答案] A[解析] 物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得．4．一质点按规律s (t )＝2t 3运动，则t ＝1时的瞬时速度为( )A ．4B ．6C ．24D ．48[答案] B[解析] ∵s ′(1)＝lim t →1 s (t )－s (1)t －1＝lim t →1 2t 3－2t －1＝lim t →12(t 2＋t ＋1)＝6. 5. 甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是( )A ．甲B ．乙C ．相同D ．不确定[答案] B[解析] 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)，但是，在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1(t 0)－W 1(t 0－Δt )Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2(t 0)－W 2(t 0－Δt )Δt ， 所以，在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好．6．已知函数y ＝2＋1x，当x 由1变到2时，函数的增量Δy ＝________. [答案] －12[解析] Δy ＝⎝⎛⎭⎫2＋12－(2＋1)＝－12. 7．求函数f (x )＝x ＋2x在x ＝1处的导数． 解 由导数定义得Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )＋21＋Δx－3＝(Δx )2－Δx 1＋Δx， ∴Δy Δx ＝Δx －11＋Δx， ∴f ′(1)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 Δx －11＋Δx＝－1. 二、能力提升8．过曲线y ＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝______，当Δx ＝0.001时，割线的斜率k ＝________.[答案] 2.1 2.001[解析] ∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2，∴Δy Δx＝2＋Δx ， ∴割线斜率为2＋Δx ，当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.1＝2.1.当Δx ＝0.001时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.001＝2.001.9．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________．[答案] 3[解析] v 初＝s ′|t ＝0＝li m Δt →0 s (0＋Δt )－s (0)Δt＝li m Δt →0(3－Δt )＝3. 10．求y ＝x 在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率．解 因为Δy ＝x 0＋Δx －x 0，所以y ＝x 在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为Δy Δx ＝x 0＋Δx －x 0Δx ＝1x 0＋Δx ＋x 0. 11．分别求下列函数的导函数及在x ＝1处的导数．(1)y ＝4x 2；(2)y ＝1x－x . 解 (1)∵Δy ＝4(x ＋Δx )2－4x 2＝－4Δx (2x ＋Δx )x 2(x ＋Δx )2， ∴Δy Δx ＝－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2， ∴y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0[－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2]＝－8x 3，∴y ′|x ＝1＝－8.(2)∵Δy ＝1x ＋Δx －x ＋Δx －1x ＋x ＝(1x ＋Δx －1x)＋(x －x ＋Δx ) ＝－Δx x (x ＋Δx )＋－Δx x ＋x ＋Δx， ∴Δy Δx ＝－1x (x ＋Δx )＋－1x ＋x ＋Δx， ∴y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0[－1x (x ＋Δx )＋－1x ＋x ＋Δx ] ＝－(1x 2＋12x)， ∴y ′|x ＝1＝－(1＋12)＝－32. 12．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值． 解 ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c ＝a (Δx )2＋2a Δx .∴f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 a (Δx )2＋2a Δx Δx＝lim Δx →0(a Δx ＋2a )＝2，即2a ＝2，∴a ＝1. 三、探究与拓展13．设函数f (x )在x ＝x 0处的导数为A ，试求下列各式的值．(1)lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx； (2)lim Δx →0 f (x 0＋4Δx )－f (x 0＋5Δx )2Δx. 解 (1)原式＝lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－(－Δx )＝－lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx＝－f ′(x 0)＝－A . (2)原式＝lim Δx →0 f (x 0＋4Δx )－f (x 0)＋f (x 0)－f (x 0＋5Δx )2Δx＝2lim Δx →0 f (x 0＋4Δx )－f (x 0)4Δx －52lim Δx →0 f (x 0＋5Δx )－f (x 0)5Δx ＝2A －52A ＝－12A .。

课时作业1 变化率与导数一、选择题1．已知函数y ＝3x －x 2在x 0＝2处的增量为Δx ＝0.1，则Δy 的值为( )A ．－0.11B ．1.1C ．3.89D ．0.29 f (2＋0.1)－f (2)＝3×2.1－2.12－6＋4＝－0.11.故应选A.A2．如果某物体作运动方程为s ＝2(1－t 2)的直线运动(s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( )A ．－4.8 m/sB ．－0.88 m/sC ．0.88 m/sD ．4.8 m/s物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得．故应选A.A3．设函数f (x )可导，则lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)3Δx 等于( ) A ．f ′(1) B ．不存在C.13f ′(1) D ．以上都不对 lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)3Δx＝13limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝13f′(1)．故应选C.C4．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(x)＝3，则a等于() A．2 B．－2 C．3 D．－3∵f′(x)＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx＝limΔx→0a(x＋Δx)＋3－(ax＋3)Δx＝a，∴f′(1)＝a＝3. 故应选C.C5．设函数f(x)＝1x，则limx→a f(x)－f(a)x－a等于()A．－1a B.2a C．－1a2 D.1a2lim x→a f(x)－f(a)x－a＝limx→a1x－1ax－a＝limx→a ⎝⎛⎭⎪⎫－1xa＝－1a2.故应选C.C6．函数y ＝－1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线方程是( ) A ．y ＝4x B ．y ＝4x －4C ．y ＝4x ＋4D ．y ＝2x －4∵y ′＝lim Δx →0 －1x ＋Δx ＋1x Δx ＝lim Δx →0Δx x (Δx ＋x )Δx ＝1x 2，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4.∴切线方程是y ＋2＝4⎝⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝4x －4. 故应选B.B7．曲线y ＝x 2在x ＝0处的( )A ．切线斜率为1B ．切线方程为y ＝2xC ．没有切线D ．切线方程为y ＝0∵f ′(0)＝lim Δx →0 f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝lim Δx →0 (Δx )2Δx ＝lim Δx →0Δx ＝0， ∴过点(0,0)的切线方程为：y －0＝0(x －0)，∴y ＝0.故应选D.D8．抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程为( ) A ．x －y －1＝0 B ．x ＋y －3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －1＝0∵Q (2,1)在抛物线y ＝14x 2上， ∴Q 本身是切点，∴切线斜率k＝f′(2)＝limΔx→014(Δx＋2)2－14×22Δx＝limΔx→014Δx2＋ΔxΔx＝limΔx→0⎝⎛14Δx＋1)＝1.∴切线方程为y－1＝1×(x－2)．故应选A.A二、填空题9．y＝x3－2x＋1在x＝2处的导数是________．f(2＋Δx)＝(2＋Δx)3－2(2＋Δx)＋1＝23＋3·22·Δx＋3·2·Δx2＋Δx3－4－2Δx＋1.∴f(2＋Δx)－f(2)＝8＋12Δx＋6·Δx2＋Δx3－2·Δx－3－(8－4＋1)＝Δx3＋6Δx2＋10Δx.∴lim Δx→0f(2＋Δx)－f(2)Δx＝limΔx→0(Δx2＋6Δx＋10)＝10.1010．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于________．lim Δx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝lim Δx →0a (1＋Δx )＋4－(a ＋4)Δx ＝lim Δx →0a ＝2.∴a ＝2.211．已知P (1,2)为函数f (x )＝1＋x 3图象上一点，以P 点为切点的切线的斜率为________．由定义可知f ′(1)＝3，所以切线斜率为3.312．曲线y ＝x 3－4x 在点(1,3)处的切线倾斜角为________．由导数定义知，k ＝－1，tan α＝－1，α＝34π. 34π 三、解答题13．求函数y ＝4x 2在x ＝2处的导数． ∵Δy ＝4(Δx ＋2)2－422 ＝4(Δx ＋2)2－1＝－(Δx )2＋4Δx (Δx ＋2)2， ∴Δy Δx ＝－Δx ＋4(Δx ＋2)2， ∴lim Δx →0 Δy Δx ＝－lim Δx →0Δx ＋4(Δx ＋2)2＝－1.14．求曲线y ＝x 2＋1过点P (1,2)的切线方程．(1,2)在曲线上，过点P (1,2)的切线的斜率为f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0(1＋Δx )2＋1－(12＋1)Δx ＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2.由直线方程的点斜式，得切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .15．已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切．(1)求a 的值；(2)求切点的坐标．(1)设直线l 与曲线C 相切于P (x 0，y 0)点，∵f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝ lim Δx →0 (x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx＝3x 2－4x ，由题意可知，k ＝4，即3x 20－4x 0＝4，解得x 0＝－23或x 0＝2， ∴切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2,3)． 当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927时，有4927＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋a ，即a ＝12127. 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，即a ＝－5.∴所求的a 的值为：(1)a ＝12127，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927； (2)a ＝－5，切点为(2,3)．16．已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线的方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？(1)将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，∴切点为P (1,1)．∵y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )3－x 3Δx ＝lim Δx →03x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3Δx ＝lim Δx →0[3x 2＋3xΔx ＋(Δx )2]＝3x 2，∴y ′|x ＝1＝3.∴过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎨⎧ y ＝3(x －1)＋1，y ＝x 3，可得(x －1)(x 2＋x －2)＝0，解得x1＝1，x2＝－2.从而求得公共点为P(1,1)或P(－2，－8)．说明切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另外的点．。