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课 题 §1.1.1-2变化率问题及导数的概念备课时间 年 月 日 上课时间 年 月 日 主备审核教 学 目 标知识技能1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；3.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；4.理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；5.会求函数在某点的导数．过程与方法通过典例分析让学生会求函数在某点处附近的平均变化率会求物体在某一时刻的瞬时速度,理解函数在某点的导数以及在某个区间内导函数的关系 情感价值让学生通过学习了解变化率的广泛应用,培养学生多方面素养教学重点 平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率、瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念教学难点平均变化率的概念、导数的概念教学步骤：（体现教学过程、时间安排、板书设计、学法指导、小结、作业布置、教后反思（实际教学效果及改进设想）等） 教学手段、方法 一．创设情景[来源:学&科&网Z&X&X&K][来源:学科网ZXXK]为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．二．新课讲授（一）问题提出问题1 气球膨胀率 （阅读课本P2）思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水（阅读课本P2） 探究：计算运动员在4965≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：[来源:学.科.网][来源:学,科, ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？ ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ （二）平均变化率概念: 1．上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x-=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f-=∆=∆)则平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212思考：观察函数f (x )的图象书本P4,平均变化率=∆∆xf 1212)()(x x x f x f --表示什么?（三）瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
1.1.1 变化率问题教学任务：1. 理解平均变化的概念2. 了解平均变化率的几何意义3. 会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点平均变化率的概念教学难点函数在某点处附近的平均变化率教学过程问题1 （教材P2）气球膨胀率问题思考：当气球容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？问题2（教材P3）高台跳水问题平均变化率问题：xx f x x f x x x f x f x y x x x x x x f x f y x x x x f y )()()()()()(),(12122111212-∆+=--=∆∆∆+∆-=∆-=∆=）则平均变化率为替代可用的一个增量，看作对于，（，若设对于函数思考：的几何意义是什么？的图像，平均变化率观察函数1212)()()(x x x f x f x y x f --=∆∆ .))(())(()(2211两点的割线的斜率，，，上的点它是曲线x f x x f x x f y =例题分析：.)21()21()(.12=∆∆∆+-∆+---+-=xy y x B A x x x f 则，，及附近一点，的图像上的一点已知函数例..202附近的平均变化率在求例x x x y ==练习.)33(312中相应的而平均速度为，，则在时间）质点运动规律为（t t s ∆++=.443)(22附近的平均变化率在的规律作直线运动，求）物体按（s t t t s ++=.1.0)11()1,1()(33割线的斜率时当，做曲线的割线，求出，和上两点）过曲线（=∆∆+∆+==xyxQPxxfy小结（1）平均变化率的概念（2）函数在某点处附近的平均变化率作业《习案》作业一。
赞皇中学高二年级数学学科导学案课型：新授课 主备人：李艳波 审核人：边二超 时间：2014 年---- 月 ---日班级------------姓名-----------小组------------课题：§1.1.1 变化率问题学习目标：1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程. 体会数学的博大精深以及学习数学的意义；2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景. 学习重点及难点：平均变化率的理解学习方法：自主学习，合作探究导学过程一、检测导学直线AB 的斜率计算公式为-------------二、新课导学（学生阅读教材）学习探究探究任务一：问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?问题2：高台跳水，求平均速度新知：平均变化率：2121()()f x f x f x x x-∆=-∆试试：设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ∆，即x ∆= 或者2x = ，x ∆就表示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为y ∆，即y ∆= ；如果它们的比值y x∆∆，则上式就表示为 ，此比值就称为平均变化率.反思：所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值.典型例题例1 过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +∆+∆作曲线的割线，则y x∆∆= 并求出当0.1x ∆=时割线的斜率.例2. 已知函数()21f x x =+，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 的平均变化率.（发现：y kx b =+在区间[m ，n]上的平均变化率有什么特点？三、总结反思学习小结1.函数()f x 的平均变化率是2.求函数()f x 的平均变化率的步骤：（1）求函数值的增量（2）计算平均变化率知识拓展平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”． 学习评价当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆为（ ）A ．0()f x x +∆B ．0()f x x +∆C ．0()f x x ∆D ．00()()f x x f x +∆-3. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ ）A ．6t +∆B ．96t t+∆+∆ C ．3t +∆ D ．9t +∆4.已知212s gt =，从3s 到3.1s 的平均速度是_______ 5. 223y x x =-+在2x =附近的平均变化率是____。
![1[1].1.1变化率问题](https://img.taocdn.com/s1/m/65a62c7df242336c1eb95e99.png)
课题：§1.1.1变化率及导数的概念三维目标： 1、 知识与技能⑴理解平均变化率的概念；⑵了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；⑶理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ⑷会求函数在某点的导数或瞬时变化率； ⑸理解导数的几何意义。
2、过程与方法⑴通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数；⑵通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；⑶通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。
3、情态与价值观⑴通过学生的积极参与、学习变化率与导数的知识，培养学生思维的科学性、严密性，不断认识数形结合和等价转化的数学思想；⑵通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念，从而激发学生学习数学的兴趣； ⑶通过对变化率与导数的学习，不断培养自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成，导数及几何意义的理解。
教学难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，导数及几何意义的理解。
教学过程：一、引入课题：为了描述现实世界中运动、过程等变化的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度。
二、讲解新课：【探究1】气球膨胀率同学们，相信大家都玩过气球吧,我们回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内气体的容量的增加,气球的半径增加的越来越慢, 从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是34()3V r r π=，如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么()r V 。
【分析】⑴当V 从0增加到1时,气球半径增加了(1)(0)0.62()r r dm -≈，气球的平均膨胀率为(1)(0)0.62(/)10r r dm L -≈-；⑵当V 从1增加到2时,气球半径增加了(2)(1)0.16()r r dm -≈，气球的平均膨胀率为(2)(1)0.16(/)21r r dm L -≈-。
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了。
【思考】当空气容量从1V 增加到2V 时,气球的平均膨胀率是多少? 【答案】2121()()r V r V V V --【探究2】高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系2() 4.9 6.510h t t t =-++，如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态? 【思考1】00.5t ≤≤和12t ≤≤的平均速度v 【分析】在00.5t ≤≤这段时间里，(0.5)(0)4.05(/)0.50h h v m s -==-；在12t ≤≤这段时间里，(2)(1)8.2(/)21h h v m s -==--◆ 平均变化率概念: 函数()y f x =在区间[]12,x x 上的平均变化率为2121()()f x f x x x --①本质：如果函数的自变量的“增量”为x ∆,且21x x x ∆=-,相应的函数值的“增量”为21,()()y y f x f x ∆∆=-, 则函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率为2121()()f x f x y x x x -∆=∆- ②几何意义：两点1122(,()),(,())x f x x f x 连线的斜率（割线的斜率）；③平均变化率反映了在函数在某个区间上平均变化的趋势（变化快慢），或说在某个区间上曲线陡峭的程度。
若设2121,()()x x x y f x f x ∆=-∆=-(这里x ∆看作是对于1x 的一个“增量”可用1x x +∆代替2x ,同样21()()y f x f x ∆=-；则平均变化率为2111()()()()f x f x f x x f x y y x x x x x -+∆-∆∆===∆∆-∆。
【理解】⑴平均变化率2121()()f x f x y x x x -∆=∆-表示两点1122(,()),(,())x f x x f x 连线的斜率，是曲线陡峭程度的数量化，此时12x x <或21x x <均可；⑵为求0x 附近的变化率，上述表达式常写为00()()f x x f x x+∆-∆的形式，需要注意的是，这里的x ∆可正可负，但不能为0，而y ∆是相应的函数值的改变量，它可以为正，也可以为负，也可以为零，特别是函数为常数函数时，0y ∆=；⑶平均变化率是函数值的增量与自变量的增量之比，注意分子和分母求差的一致性。
【思考3】观察函数()f x 的图象，平均变化率2121x x x =∆-表示什么?◆求函数()f x 在[]12,x x 上平均变化率的步骤：⑴求函数值的增量21()()y f x f x ∆=-； ⑵求自变量的增量21x x x ∆=-；⑶计算平均变化率2121()()f x f x y x x x -∆=∆-。
◆直线的斜率与平均变化率的联系：⑴若直线l 经过1122(,),(,)A x y B x y 两点，则直线l 的斜率为121212()y y k x x x x -=≠-；函数()y f x =在[]12,x x 上平均变化率为2121()()f x f x y x x x -∆=∆-； ⑵直线的斜率与函数的平均变化率是两个不同的概念，前者表示直线的倾斜程度，后者表示曲线的陡峭程度。
它们的联系在于函数()y f x =在[]12,x x 上平均变化率为2121()()f x f x y x x x -∆=∆-也就是过点1122(,()),(,())P x f x Q x f x 的直线的斜率，因此当平均变化率2121()()f x f x y x x x -∆=∆-的绝对值变大时，即直线PQ 的斜率的绝对值变大时，函数的图像变得陡峭；反之，函数的图像变得平缓时，直线PQ 的斜率的绝对值变小时，函数的图像变得平缓，即平均变化率（斜率）近似的刻画了曲线在某区间上的变化趋势。
【思考2】计算运动员在65049t ≤≤这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？【分析】如图是函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，结合图形可知，65()(0)49h h =，所以65()(0)490(/)65049h h v s m -==-，虽然运动员在65049t ≤≤这段时间里的平均速度为0(/)s m ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态。
【探究3】直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是21V t =-，求0t t =时的瞬时速度。
【分析】我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？【思想方法】局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
【解析】000()()2v t t v t V t t t t +∆-∆==+∆∆∆。
上述函数()V t 中，当t ∆无限趋近于0时，Vt∆∆都无限趋近于一个常数。
【定义】函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是0000()()lim limx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数,记作0()f x '或0|x x y ='，即00000()()()lim limx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'=∆∆=。
◆求导数的步骤：①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③取极限，得导数：00000()()()lim limx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'=∆∆=。
上述求导方法可简记为：一差、二化、三极限。
◆曲线的切线及切线的斜率：如图，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即0x ∆→时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线。
问题：⑴割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ ⑵切线PT 的斜率k 为多少？容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆。
【说明】⑴设切线的倾斜角为α,那么当0x ∆→时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率；这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数。
⑵曲线在某点处的切线:①与该点的位置有关;②要根据割线是否有极限位置来判断与求解。
如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;③曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个。
◆导数的几何意义：函数()y f x =在0x x =处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率， 即0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆，也就是说，曲线()y f x =在点00(,)p x y 处的切线斜率是()f x '，切线的方程为()()y y f x x x '-=-。
【总结】求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程。
