高中数学变化率问题、导数精选题目(附答案)

一、选择题1．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝（ ）A ．1B ．3C ．4D ．52．已知函数()2f x x bx =-的图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y -+=平行，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2019S 的值为（ ） A ．20192020 B ．20182019 C ．20172018 D ．20182017 3．若函数f （x ）＝alnx （a ∈R ）与函数g （x ）x =在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为（ ）A ．4B ．12C ．2eD ．e 4．函数()2221sin cos 622x x f x x =+-的导函数()y f x '=的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．5．已知()4cos 72f x ax b x x =++-.若()20186f '=，则()2018f '-=（ ） A ．6-B ．8-C ．6D ．86．函数22sin 22()([,0)(0,])133x x f x x x ππ=∈-+的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数()ln ln x x f x e x e a x =-+的图象在点()()1,1T f 处的切线经过坐标原点，则a=（ ）A ．e -B ．eC ．1e e ---D ．1e -8．函数()(cos )x f x a x e =+，若曲线()y f x =在点,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线垂直于y 轴，则实数a =（ ） A 31-B 13-C 31+ D ．31+9．已知(,()),(,())M t f t N s g s 是函数()ln f x x =，()21g x x =+的图象上的两个动点，则当MN 达到最小时,t 的值为 ( )A ．1B ．2C ．12D ．35510．对任意的a ∈R ，曲线y ＝e x (x 2+ax+1-2a)在点P(0，1-2a)处的切线l 与圆C ：(x-1)2+y 2＝16的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上均有可能 11．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ B ．[0，π) C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[0，4π]∪[2π，34π] 12．已知ln 0a b -=，1c d -=，则22()()a c b d -+-的最小值是（ ）.A ．1BC ．2D ．二、填空题13．设l 是2y x=图象的一条切线，问l 与坐标轴所围成的三角形面积为______. 14．已知223,1()ln ,1x x x f x x x ⎧--+≤=⎨>⎩，若函数1()2y f x kx =-+有4个零点，则实数k 的取值范围是______．15．已知函数32()1(0,0)32x b f x x ax a b =-++>>，则函数'()()ln f x g x a x a =+在点(,())b g b 处切线的斜率的最小值是________．16．已知曲线()32ln 3x f x x x=+在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则222sin cos 2sin cos cos ααααα-+= ____________ 17．已知函数1()f x x x=+和点(1,0)P ，过点P 作曲线()y f x =的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ，则直线MN 的斜率等于____.18．已知函数()'cos sin 4f x f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为__________． 19．已知()f x 的导函数为'()f x ，且满足关系式()3'(2)ln f x xf x =+，则(1)f '的值为___． 20．已知点P 在曲线sin y x =上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值范围是__________．三、解答题21．已知函数22()(2)ln 2f x x x x ax =-⋅++．（1）当1a =-时，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；（2）设函数()()2g x f x x =--，函数()g x 有且仅有一个零点．（i ）求a 的值；（ii ）若2e x e -<<时，()g x m ≤恒成立，求m 的取值范围．22．已知函数()1x f x e ax =+-（e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （Ⅱ）若2()f x x ≥在区间(0,1)上恒成立，求实数a 的取值范围．23．已知函数()()()11ln x ax a f x x x--+=-. （1）当1a =时，求曲线()y f x =在()(),e f e 处的切线方程；（2）当0x >且1x ≠，不等式()11ln 1a x x x x +-<-恒成立，求实数a 的值. 24．已知函数()()3123f x x ax a a R =-+∈． ()1当1a =时，求曲线()f x 在()()2,2f 处的切线方程；()2过点()2,0作()y f x =的切线，若所有切线的斜率之和为1，求实数a 的值．25．已知函数图象上一点，且在点处的切线与直线平行．(1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的最大值和最小值； (3)关于的方程在区间上恰有两个相异的实根，求实数的取值范围． 26．已知函数3()16f x x x =+-.（1）求曲线()y f x =在点(1,14)-处的切线方程；（2）直线l 为曲线()y f x =的切线且过原点，求直线l 方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C 【分析】根据切线的定义得到()13f =，()'11f =，相加得到答案.【详解】根据题意知：()1123f =+=，()'11f =，故()()'114f f +=. 故选：C.【点睛】本题考查了切线方程，属于简单题.2．A解析：A【分析】利用导数的几何意义，可求出直线l 的斜率，进而由l 与直线320x y -+=平行，可求出b ，从而可得到()1111f n n n =-+，进而求出2019S 即可. 【详解】由题意，()2f x x b '=-，则()12f b '=-，所以直线l 的斜率为2b -，又直线320x y -+=的斜率为3，所以23b -=，解得1b =-.则()2f x x x =+，故()211111f n n n n n ==-++， 所以201911111111201911223342019202020202020S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A.【点睛】 本题考查导数的几何意义的应用，考查平行直线的性质，考查利于裂项相消求和法求数列的前n 项和，属于中档题. 3．C解析：C【分析】根据公共点处函数值相等、导数值相等列出方程组求出a 的值和切点坐标，问题可解.【详解】由已知得()()a f x g x x ''==，， 设切点横坐标为t ，∴alnt a t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得22e t e a ==，. 故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，以及利用方程思想解决问题的能力，属于中档题.4．C解析：C【分析】将函数()y f x =的解析式化简，求出其导数()1sin 3f x x x '=+，，然后结合导函数的符号排除错误选项即可确定导函数的图像.【详解】因为()222211sin cos cos 6226x x f x x x x =+-=-，()1sin 3f x x x '∴=+. 当03x <≤时，103x >，sin 0x >，则()1sin 03f x x x '=+>； 当3x >时，113x >，1sin 1x -≤≤，则()1sin 03f x x x '=+>.所以，当0x >时，()1sin 03f x x x '=+>，排除ABD 选项， 故选：C.【点睛】 本题考查函数图象的识别，给定函数解析式，一般要结合函数的定义域、奇偶性、单调性（导数）、特殊值符号、零点等知识进行逐一排除，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5．D解析：D【分析】分析()f x 的导函数()f x '，构造关于()f x '的新函数，借助新函数奇偶性即可计算()2018f '-的值.【详解】因为()4cos 72f x ax b x x =++-，所以()34sin 7f x ax b x '=-+，所以()374sin f x ax b x '-=-，令()()374sin g x f x ax b x '=-=-，所以()()34sin g x ax x g x -=-+=-且函数()g x 定义域为R 关于原点对称， 所以()g x 是奇函数，所以()()201820180g g +-=，所以()()20187201870f f ''-+--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()20181468f '-=-=.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，难度一般.一般地，形如()()()0g x f x c c =+≠的函数中，已知()f x 为奇函数，根据()f a 的值求解()f a -的值的方法：构造新函数()g x c -，根据新函数的奇偶性求解()f a -的值.6．A解析：A【分析】 根据解析式判断函数的奇偶性，2f π⎛⎫⎪⎝⎭的正负，以及2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭'的正负，即可进行选择. 【详解】 因为()221x sinx f x x =+，()221x sinx f x x -=-+，且定义域关于原点对称， 故()f x 是奇函数，排除选项C ；因为2220212f πππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故排除选项D ； 因为()()()()223222121xsinx x cosx x x sinx f x x ++-=+'，故可得220212f πππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦' 故函数()f x 在点(),2f x π⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线的斜率为正数，故排除选项B ； 故选：A.【点睛】本题考查函数图像的识别，涉及函数的奇偶性，特值的把握，利用导数研究函数某点处切线的斜率，属综合中档题.7．A解析：A【分析】利用导数求出函数()y f x =在点()()1,1T f 处的切线方程，再将原点的坐标代入切线方程可求出实数a 的值.【详解】 ()ln ln x x f x e x e a x =-+，()1f e ∴=-，切点为()1,T e -，()ln x xx e a f x e x e x x '=+-+，()1f a '=， 所以，函数()y f x =的图象在点T 处的切线方程为()1y e a x +=-，由于该直线过原点，则a e -=，解得a e =-，故选A.【点睛】本题考查切线过点的问题，一般先利用导数求出切线方程，再将所过点的坐标代入切线方程求解，考查运算求解能力，属于中等题.8．A解析：A【解析】【分析】首先求得导函数的解析式，然后利用导数与函数切线的关系得到关于a 的方程，解方程即可确定a 的值.【详解】由函数的解析式可得：()(cos sin )x f x a x x e '=+-，曲线()y f x =在点,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线垂直于y 轴，则：310322f a e ππ'⎛⎛⎫=+-⋅= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得：a =. 故选A .【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导函数与函数切线的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．C解析：C【分析】求得()f x 图像上切线斜率为2的切点的横坐标，即是t 的值.【详解】依题意可知，当()f x 图像上的切线和()21g x x =+平行时，MN 取得最小值，令()'12f x x ==，解得12x =，故12t =，所以选C. 【点睛】本小题考查函数导数，考查切线斜率与导数的对应关系，属于基础题.10．A解析：A【解析】【分析】求出曲线y ＝e x （x 2+ax +1﹣2a ）在点P （0，1﹣2a ）处的切线l 恒过定点（﹣2，﹣1），代入：（x ﹣1）2+y 2﹣16，可得9+1﹣16＜0，即定点在圆内，即可得出结论．【详解】∵y=e x （x 2+ax+1-2a ），∴y′=e x （x 2+ax+2x+1-a ），x=0时，y′=1-a ，∴曲线y=e x （x 2+ax+1-2a ）在点P （0，1-2a ）处的切线y-1+2a=（1-a ）x ，恒过定点（-2，-1），代入：（x-1）2+y 2=16，可得9+1-16＜0，即定点在圆内， ∴切线l 与圆C ：（x-1）2+y 2=16的位置关系是相交．故选：A ．【点睛】本题考查导数的几何运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．A解析：A【解析】由题得cos y x '=，设切线的倾斜角为α，则，3tan cos 1tan 1[0,][,)44k x ππαααπ==∴-≤≤∴∈⋃，故选A. 12．C解析：C【分析】设点(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，点()d c ，是直线:1l y x =+上的点；()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方．然后将问题转化为求曲线C 上一点到直线l 距离的最小值的平方，直接对函数ln y x =求导，令导数为零，可求出曲线C 上到直线l 距离最小的点，然后利用点到直线的距离公式可求出最小距离，从而得出答案．【详解】设(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，()d c ，是直线:1l y x =+上的点；()()22a c b d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方． 对函数ln y x =求导得1y x '=，令1y '=，得1x =， 所以，曲线C 上一点到直线l 上距离最小的点为()10，， 该点到直线l的距离为 因此，()()22a c b d -+-的最小值为22＝． 故选C ． 【点睛】本题考查距离的最值问题，将问题进行转化是解本题的关键，属于中等题．二、填空题13．4【分析】根据导数的几何意义求出切线的方程进而求得轴上的截距即可求得结果【详解】因为故可得设切点为则过切点的切线方程为且则切线在轴上的截距分别为则与坐标轴所围成的三角形面积故答案为：4【点睛】本题考 解析：4【分析】根据导数的几何意义，求出切线的方程，进而求得,x y 轴上的截距，即可求得结果.【详解】 因为2y x =，故可得22y x'=-，设切点为()00,x y ， 则过切点的切线方程为()00202y y x x x -=--，且002x y =， 则切线在,x y 轴上的截距分别为0042,x x ，则l 与坐标轴所围成的三角形面积0014242S x x =⨯⨯=. 故答案为：4.【点睛】 本题考查利用导数的几何意义求切线的方程，属中档题.14．【分析】转化条件得有4个零点令画出两函数的图象后可得当函数过点和时函数与的图象相切时函数与的图象恰有3个交点；当在两者范围之间时满足条件利用导数的性质求出函数与的图象相切时的值即可得解【详解】由题意解析：1(2 【分析】 转化条件得1()2f x kx =-有4个零点,令()12g x kx =-，画出两函数的图象后可得当函数()g x 过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,0时、函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时，函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当k 在两者范围之间时，满足条件，利用导数的性质求出函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时k 的值即可得解.【详解】 由题意1()2y f x kx =-+有4个零点即1()2f x kx =-有4个零点, 设()12g x kx =-，则()g x 恒过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴函数()g x 与()f x 的图象有4个交点，在同一直角坐标系下作出函数()g x 与()f x 的图象，如图， 由图象可知，当12k <时，函数()g x 与()f x 的图象至多有2个交点； 当函数()g x 过点10,2⎛⎫-⎪⎝⎭和()1,0时，12k =，此时函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点； 当函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时，设切点为(),ln a a ，1y x'=， ∴1k a =，∴1ln 12a a a +=，解得a =∴e k e=，此时函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当ek e>时，两函数图象至多有两个交点； ∴若要使函数1()2y f x kx =-+有4个零点，则1(,)2k e e∈.故答案为：1(,)2ee.【点睛】本题考查了函数的零点问题和导数的几何意义，考查了数形结合思想，属于中档题.15．2【解析】【分析】根据已知条件得到的导函数根据限制性条件和基本不等式进行解答【详解】因为所以又因为所以（b ）所以斜率的最小值是2故答案是：2【点睛】本题主要考查导数的计算和基本不等式求最值根据导数的解析：2 【解析】 【分析】根据已知条件得到()()f x g x alnx a'=+的导函数，根据限制性条件0a >，0b >和基本不等式 进行解答． 【详解】 因为()()f x g x alnx a'=+， 所以2()a x b g x x a-'=+． 又因为0a >，0b >， 所以g '（b ）22a b b a ab a b b-=+=+， 所以斜率的最小值是2． 故答案是：2．【点睛】本题主要考查导数的计算和基本不等式求最值，根据导数的几何意义求出切线斜率是解决本 题的关键．16．【解析】【分析】根据导函数的几何意义得到【详解】曲线求导得到函数在点处的切线的倾斜角为则得到故答案为：【点睛】这个题目考查了导数的几何意义三角函数化简求值本题主要考察诱导公式同角三角函数的基本关系式解析：87【解析】 【分析】根据导函数的几何意义得到()tan 13f α'==，222sin cos 2sin cos cos ααααα-+2tan 18=2tan 17αα-=+. 【详解】曲线()32ln 3x f x x x =+，求导得到()221ln 2x f x x x -=+'，函数在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则得到()tan 13f α'==，222sin cos 2sin cos cos ααααα-+2tan 18=2tan 17αα-=+故答案为：87. 【点睛】这个题目考查了导数的几何意义，三角函数化简求值，本题主要考察诱导公式、同角三角函数的基本关系式的知识，注意切弦互化这一转化思想的应用；同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系求三角函数值,进行开方时要根据角的范围,判断符号后,正确取舍；注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.17．2【解析】设∵函数∴∵过点作曲线的两条切线∴∴直线的方程为直线的方程为∵∴∴即是方程的两根∴∴直线的斜率故答案为2点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率属于中档题应用导数的几何意义求切点处切线的斜率主解析：2 【解析】设11(,)M x y ，22(,)N x y . ∵函数()1f x x x=+ ∴21()1f x x =-' ∵过点P 作曲线()y f x =的两条切线PM ，PN∴2111PM k x =-，2211PNk x =- ∴直线PM 的方程为11211(1)()y y x x x -=--，直线PN 的方程为22221(1)()y y x x x -=--. ∵1111y x x =+，2221y x x =+ ∴11211110()(1)(1)x x x x -+=--，22222110()(1)(1)x x x x -+=-- ∴211210x x +-=，222210x x +-=，即1x ，2x 是方程2210x x +-=的两根. ∴122x x +=-，121x x ⋅=- ∴直线MN 的斜率12121212121211112MN x x y y x x k x x x x x x +---===-=--⋅.故答案为2.点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.18．【解析】解得故故答案为 解析：1【解析】()''sin cos 4f x f x x π⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，''sin cos 4444ff ππππ⎛⎫⎛⎫∴=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得'14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故)'cos sin 114444f f ππππ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为1.19．【分析】】根据导数的计算公式求出令可得然后把x=1代入即可【详解】由可得：∴解得：∴故答案为【点睛】本题考查函数的导数的应用属基础题解析：14【分析】】根据导数的计算公式求出()f x '，令2x =可得 ()124f '=-， 然后把x=1代入即可. 【详解】由()()3'2ln f x xf x =+，可得： ()()132f x f x''=+， ∴()()12322f f ''=+，解得： ()124f '=- ∴()()113214f f +'='=. 故答案为 14【点睛】本题考查函数的导数的应用，属基础题.20．【解析】由题意可得：即切线的斜率取值范围为据此可知倾斜角的取值范围是解析：3044πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，，【解析】由题意可得：[]'cos 1,1y x =∈-，即切线的斜率取值范围为[]1,1-，据此可知倾斜角a 的取值范围是3044πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，，. 三、解答题21．（1）340x y （2）（ⅰ）a=1（ⅱ）223m e e ≥-【解析】试题分析：（1）当a=﹣1时，函数f （x ）=（x 2﹣2x ）lnx+ax 2+2=（x 2﹣2x ）lnx ﹣x 2+2，求出f′（x ），则k=f′（1），代入直线方程的点斜式可得切线的方程． （2）①令g （x ）=f （x ）﹣x ﹣2=0，则（x 2﹣2x ）•lnx+ax 2+2=x+2，即()12ln x xa x--⋅=，构造函数h （x ）=()12ln x xx--⋅，确定h （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，可得h （x ）max =h （1）=1，即可求a 的值； ②当a=1时，g （x ）=（x 2﹣2x ）•lnx+x 2﹣x ，若2e x e -<<，g （x ）≥m ，只需g （x ）min ≥m ．试题（1）当1a =-时，()()222ln 2f x x x x x =--+,()0,x ∈+∞，∴()()()22ln 22f x x x x x =-+--' ()13f ∴'=-，又()11f = ∴()f x 在()()1,1f 处的切线方程340x y +-=.（2）（ⅰ）令()()20g x f x x =--=，则()222ln 22x x x ax x -++=+∴()12ln x xa x--⋅=令()()12ln x xh x x--⋅=， 则()2221122ln 12ln x x x h x x x x x ---=-+'-=. 令()12ln t x x x =--,则()221x t x x x'--=--= ()0,x ∈+∞， ()0t x '<，∴()t x 在()0,+∞上是减函数 又()()110t h '==，∴当01x <<时，()0h x '>，当1x <时，()0h x '<， ∴()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，()()max 11h x h ∴==，∴当函数()g x 有且只有一个零点时，1a =.（ⅱ）当1a =，()()222ln g x x x x x x =-+-，若2e x e -<<时，()g x m ≤恒成立，只需()max ,g x m ≤ ()()()132ln g x x x '=-+.令()0g x '=得1x =或32x e -=，2e x e -<<，∴函数()g x 在322,e e --⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在32,1e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,e 上单调递增.又∵33322122g e e e ---⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ()223g e e e =-()333322213222222g e e e e e e e g e ----⎛⎫⎛⎫=-+<<<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()32g e g e -⎛⎫< ⎪⎝⎭.∴()()2max 23g x g e e e ==-，223m e e ∴≥-.22．（Ⅰ）12(1)e +（Ⅱ）2a e ≥-【解析】试题分析：（I ）当a=1时，f （x ）=e x +x-1，根据导数的几何意义可求得在点（1，f （1））处的切线的斜率，再由点斜式即可得切线方程，分别求出切线与x 轴、y 轴的交点A 、B ，利用直角三角形的面积公式即可求得；（II ）将f （x ）≥x 2在（0，1）上恒成立利用参变量分离法转化为21xx ea x+-≥在（0，1）上恒成立，再利用导数研究不等式右边的函数的单调性，从而求出函数的最大值，即可求出a 的取值范围． 试题（Ⅰ）∵当1a =时，()1xf x e x =+-，()1111f e e =+-=，()'1x f x e =+，()1'111f e e =+=+，∴函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为()()11y e e x -=+-， 即()11y e x =+-．设切线与,x y 轴的交点分别为,A B ， 令0x =得，1y =-，令0y =得，11x e =+， ∴1,01A e ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，()0,1B -，∴()11112121OAB S e e ∆=⨯⨯=++， ∴函数()f x 在点()()1,1f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()121e +．（Ⅱ）由()()()20,1f x x x ≥∈得，21x x ea x+-≥．令()211x xx e e h x x x x x+-==+-，则()()2211'1x e x h x x x -=-- ()()211x x x ex-+-=， 令()1xk x x e =+-，则()'1xk x e =-．∵()0,1x ∈，∴()'10xk x e =-<，()k x 在区间()0,1上为减函数，∴()()00k x k <=．又10x -<，20x >，∴()()()211'0x x x e h x x-+-=>，∴()h x 在区间()0,1上为增函数，()()12h x h e <=-， 因此只需2a e ≥-即可满足题意． 点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x > ，若()0f x <恒成立max ()0f x ⇔<；（3）若()()f x g x > 恒成立，可转化为min max ()()f x g x >（需在同一处取得最值）. 23．（1）()10e x ey e -+-=（2）12a = 【解析】试题分析:（1）根据导数几何意义得切线斜率为()f e '，再根据点斜式得切线方程（2）根据分母符号转化为：1x >时()0max f x <，01x <<时()0min f x >，研究()f x ，其导函数有两个零点1x =或11x a =-，根据11a-与0,1大小分类讨论，确定函数单调性，进而确定函数最值,解对应不等式可得实数a 的值.试题（1）1a =时，()ln 1f x x x =-+，()2f e e =- ∴切点为(),2e e -()11f x x '=-，()11f e e '=- ∴切线方程为11e y x e-=+ 即曲线()y f x =在()(),e f e 处的切线方程()10e x ey e -+-= （2）∵当0x >且1x ≠时，不等式()11ln 1a x x x x+-<-恒成立 ∴x e =时()11ln 1a e e e e+-<- ∴()2101a e >>- 又()()111ln 01x ax a x x x ⎡⎤--+-<⎢⎥-⎣⎦即()101f x x <-对0x >且1x ≠恒成立 等价于1x >时()0f x <，01x <<时()0f x >恒成立 ∵()()0,11,x ∈⋃+∞()()()222111x ax a ax x af x x x --+-+-'-=-= 令()0f x '= ∵0a > ∴1x =或11x a=- ①111a ->时，即102a <<时，11,1x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '> ∴()f x 在11,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增∴()()10f x f >=，∴102a <<不符合题意②当111a -=时，即12a =时，()0,1x ∈时()0f x '<∴()f x 在()0,1单调递减 ∴()()10f x f >=；()1,x ∈+∞时()0f x '<∴()f x 在()1,+∞单调递减∴()()10f x f <= ∴12a =符合题意 ③当1011a <-<时，即112a <<时，11,1x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '> ∴()f x 在11,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增∴()()10f x f <=∴112a <<不符合题意④当110a-<时，即1a >时，()0,1x ∈时，()0f x '>∴()f x 在()0,1单调递增 ∴()()10f x f <= ∴1a >不符合题意 综上，12a =. 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 24．(I)93100x y --=；（Ⅱ）4. 【解析】试题分析：（1）根据曲线的解析式求出导函数，把P 的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率根据点斜式可得切线的方程；（2）设出曲线过点P 切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到（1）求出的导函数中即可表示出斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把P 的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，解方程方即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可的结果. 试题（Ⅰ）当a ＝1时，()3123f x x x =-+，∴f'（x ）＝x 2－1， ∴k 切＝f'（2）＝4－1＝3． ∵()823f =， 所以切线方程为()8323y x -=-，整理得9x －3y －10＝0． （Ⅱ）设曲线的切点为（x 0，y 0），则3212'3k x ax a x a ⎛⎫-+=-⎪⎝⎭切， 所以切线方程为()()202y x ax =--．又因为切点（x 0，y 0）既在曲线f （x ）上，又在切线上，所以联立得()()200030002,]123y x a x y x ax a⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩可得x 0＝0或x 0＝3，所以两切线的斜率之和为－a ＋（9－a ）＝9－2a ＝1，∴a ＝4．【方法点晴】本题主要考查导数的几何意义、利用导数求曲线切线，属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'00()()y y f x x x -=•-. 25．（1）（2）答案见解析 （3）【解析】 试题分析：（1）由及曲线在处的切线斜率为，即可求得，又函数过点，即可求的. （2）由（1）易知，令可得或，然后对进行分类讨论，确定函数在的单调性，即可求出函数在上的最大值和最小值； （3）构造函数，研究函数的单调性，列出该方程有两个相异的实根的不等式组，求出实数的取值范围.试题 (1)因为，曲线在处的切线斜率为，即，所以.又函数过点，即，所以.所以. (2)由，.由，得或. ①当时，在区间上，在上是减函数，所以，.②当时，当变化时，、的变化情况见下表：2－＋＋2－2，为与中较大的一个．. 所以.(3)令，． 在上，；在上，.要使在上恰有两个相异的实根，则解得．考点：利用导数求函数的最值；利用导数求参数的范围. 26．（1）4180x y --=；（2）130x y -=. 【分析】（1）求出原函数的导函数，得到函数在x ＝1时的导数，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案；（2）设出切点坐标，求出函数过切点的切线方程，由切线过原点求得切点横坐标，即可求得直线方程． 【详解】（1）(1)14f =-，2()31f x x '=+(1)4f '=，144(1)y x +=-所以曲线()y f x =在点(1,14)-处的切线方程为：4180x y --=（2）设直线l 与曲线()y f x =相切的切点坐标为()00,x y 即：()3000,16x x x +-则切线方程为()()()3200001631y x x x x x -+-=+-把(0,0)代入得308x =-，所以02x =-此时026y =-，切点(2,26)-- 所以直线l 方程为：130x y -= 【点睛】本题考查了利用导数研究在曲线上某点处的切线方程及过曲线上某点处的切线方程的求解方法，关键是区分切线所经过的点是否为切点，属于中档题.。

3.1.1变化率问题与导数的概念一、选择题1．在函数变化率的定义中，自变量的增量Δx满足()A．Δx＜0B．Δx＞0C．Δx＝0 D．Δx≠0[答案] D[解析]自变量的增量Δx可正、可负，但不可为0.2．函数在某一点的导数是()A．在该点的函数的增量与自变量的增量的比B．一个函数C．一个常数，不是变数D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率[答案] C[解析]由导数定义可知，函数在某一点的导数，就是平均变化率的极限值．3．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x②y＝x2③y＝x3④y＝1x中，平均变化率最大的是()A．④B．③C．②D．①[答案] B[解析]①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率为－0.77.4．质点M的运动规律为s＝4t＋4t2，则质点M在t＝t0时的速度为()A．4＋4t0B．0C．8t0＋4 D．4t0＋4t20[答案] C[解析]Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝4Δt2＋4Δt＋8t0Δt，ΔsΔt＝4Δt＋4＋8t0，lim Δt→0ΔsΔt＝limΔt→0(4Δt＋4＋8t0)＝4＋8t0.5．函数y＝x＋1x在x＝1处的导数是()A．2 B.5 2C．1 D．0[答案] D[解析] Δy ＝(Δx ＋1)＋1Δx ＋1－1－1＝Δx ＋－Δx Δx ＋1， Δy Δx ＝1－1Δx ＋1， lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎝⎛⎭⎫1－1Δx ＋1＝1－1＝0， ∴函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0. 6．函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，Δy ＝( )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0) [答案] D[解析] Δy 看作相对于f (x 0)的“增量”，可用f (x 0＋Δx )－f (x 0)代替．7．一个物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则物体在t ＝2时的瞬时速度为( )A ．3B ．4C ．5D ．7 [答案] B[解析] lim Δt →0 3＋(2＋Δt )2－3－22Δt＝lim Δt →0 Δt 2＋4Δt Δt＝lim Δt →0 (Δt ＋4)＝4. 8．f (x )在x ＝x 0处可导，则lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ( ) A ．与x 0，Δx 有关B ．仅与x 0有关，而与Δx 无关C ．仅与Δx 有关，而与x 0无关D ．与x 0，Δx 均无关[答案] B[解析] 式子lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx表示的意义是求f ′(x 0)，即求f (x )在x 0处的导数，它仅与x 0有关，与Δx 无关．9．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b [答案] C[解析]∵f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0aΔx＋b(Δx)2Δx＝limΔx→0(a＋bΔx)＝a.∴f′(x0)＝a.10．f(x)在x＝a处可导，则limh→0f(a＋3h)－f(a－h)2h等于()A．f′(a) B.12f′(a)C．4f′(a) D．2f′(a) [答案] D[解析]limh→0f(a＋3h)－f(a－h)2h＝limh→0f(a＋3h)－f(a)＋f(a)－f(a－h)2h＝32limh→0f(a＋3h)－f(a)3h＋12limh→0f(a)－f(a－h)h＝32f′(a)＋12f′(a)＝2f′(a)．二、填空题11．f(x0)＝0，f′(x0)＝4，则limΔx→0f(x0＋2Δx)－f(x0)Δx＝________.[答案]8[解析]limΔx→0f(x0＋2Δx)－f(x0)Δx＝2limΔx→0f(x0＋2Δx)－f(x0)2Δx＝2f′(x0)＝8.12．某物体做匀速运动，其运动方程是s＝v t＋b，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系是________．[答案]相等[解析]v0＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0s(t0＋Δt)－s(t0)Δt＝limΔt→0v(t0＋Δt)－v t0Δt＝limΔt→0v·ΔtΔt＝v.13．设x0∈(a，b)，y＝f(x)在x0处可导是y＝f(x)在(a，b)内可导的________条件．[答案]必要不充分[解析]y＝f(x)在x0∈(a，b)处可导不一定在(a，b)的所有点处可导，反之，y＝f(x)在(a，b)内可导，必然在(a，b)中的x0处可导．14．一球沿斜面自由滚下，其运动方程是S＝t2(S的单位：m，t的单位：s)，则小球在t ＝5时的瞬时速度为______．[答案] 10m/s[解析] v ＝S ′|t ＝5＝lim Δx →0S (5＋Δx )－S (5)Δxlim Δx →0 (10＋Δx )＝10(m/s)． 三、解答题15．一物体作自由落体运动，已知s ＝s (t )＝12gt 2. (1)计算t 从3秒到3.1秒、3.01秒，两段内的平均速度；(2)求t ＝3秒时的瞬时速度．[解析] (1)取一小段时间[3,3＋Δt ]，此时物体的位置改变量Δs ＝12g (3＋Δt )2－12g ·32＝12g (6＋Δt )Δt ，相应的平均速度v ＝Δs Δt ＝g 2(6＋Δt ) 当Δt ＝0.1时，即t 从3秒到3.1秒v ＝3.05g ；当Δt ＝0.01时，即t 从3秒到3.01秒v ＝3.005g .Δt 越小，v 就越接近时刻t 的速度．(2)v ＝lim Δt →0 Δs Δt＝lim Δt →0 g 2(6＋Δt )＝3g ＝29.4m/s. 16．若f ′(x )＝A ，求lim h →0f (x ＋h )－f (x －2h )h . [解析] 原式＝lim h →0 f (x ＋h )－f (x )＋f (x )－f (x －2h )h＝lim h →0 f (x ＋h )－f (x )h ＋lim h →02·f (x －2h )－f (x )－2h＝A ＋2A ＝3A .17．求函数y ＝x 在x ＝1处的导数．[解析] 解法一：(导数定义法)Δy ＝1＋Δx －1，Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， 所以lim Δx →0 11＋Δx ＋1＝12， 即y ′|x ＝1＝12. 解法二：(导函数的函数值法)Δy ＝x ＋Δx －x ，Δy Δx ＝x ＋Δx －x Δx ＝1x ＋Δx ＋x. 所以y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1x ＋Δx ＋x ＝12x， 故y ′|x ＝1＝12. 18．路灯距地面8m ，一个身高1.6m 的人以84m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影C 沿某直线离开路灯，(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式；(2)求人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率．[解析] (1)如图所示，设人从C 点运动到B 处的路程为x m ，AB 为身影长度，AB 的长度为y m.由于CD ∥BE ，则AB AC ＝BE CD， 即y y ＋x ＝1.68，所以y ＝14x . (2)∵84m/min ＝1.4m/s ，而x ＝1.4t .∴y ＝14x ＝14×1.4t ＝720t ， t ∈[0，＋∞)．Δy ＝720(10＋Δt )－720×10＝720Δt ， ∴y ′|t ＝10＝lim Δt →0 Δy Δt ＝720即人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率为720.。

一、选择题1．直线2y x b =+是曲线ln y x x =的一条切线，则实数b ＝（ ）A ．eB ．2eC ．e -D ．2e -2．如图，()y f x =是可导函数，直线l ：2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令2()()g x x f x =，()g x '是()g x 的导函数，则()3g '等于（ ）A ．3B ．0C ．2D ．4 3．设点P 是曲线()233x f x e x =-+上的任意一点，点P 处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20,,23πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭C ．50,,26πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭D ．5,26ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 4．已知()sin cos f x x x =-，定义1()()f x f x '=，[]'21()()f x f x =，…[]1()()n n f x f x '+=，（*n N ∈），经计算，1()cos sin f x x x =+，2()sin cos f x x x =-+，3()cos sin f x x x =--，…，照此规律，2019()f x =（ ） A ．cos sin x x -- B ．cos sin x x - C ．sin cos x x + D ．cos sin x x -+ 5．已知()ln f x x =，217()(0)22g x x mx m =++<，直线l 与函数()f x ，()g x 的图象都相切，且与()f x 图象的切点为(1,(1))f ，则m 的值为( ) A ．2-B ．3-C ．4-D ．1- 6．曲线2x y x =-在点()1,1-处的切线方程为 A ．21y x =-+B ．32y x =-+C ．23y x =-D ．2y x =- 7．直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则4a b +的值为（ ） A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－28．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2()f x xf e ='lnx +，则()f e =（ ） A ．e B ．1e - C ．1- D ．e -9．已知(,()),(,())M t f t N s g s 是函数()ln f x x =，()21g x x =+的图象上的两个动点，则当MN 达到最小时,t 的值为 ( ) A ．1 B ．2 C ．12 D ．35510．对任意的a ∈R ，曲线y ＝e x (x 2+ax+1-2a)在点P(0，1-2a)处的切线l 与圆C ：(x-1)2+y 2＝16的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上均有可能 11．设点P ，Q 分别是曲线x y xe -=（e 是自然对数的底数）和直线+3y x =上的动点，则P ，Q 两点间距离的最小值为（ ）A ．22B ．322C ．(41)22e -D ．(41)22e + 12．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2020S 的值为（ ）A ．20202021B ．20192020C ．20182019D ．20172018二、填空题13．已知函数()x f x e =，则过原点且与曲线()y f x =相切的直线方程为____________. 14．直线y b =分别与直线21y x =+和曲线2ln y x x =+相交于点A 、B ，则AB 的最小值为________.15．已知223,1()ln ,1x x x f x x x ⎧--+≤=⎨>⎩，若函数1()2y f x kx =-+有4个零点，则实数k 的取值范围是______．16．若直线y kx b =+是曲线ln 3y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b =______17．曲线21x y e -=+在点（0，2）处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为_____________.18．已知函数为偶函数，若曲线的一条切线的斜率为，则该切点的横坐标等于______．19．设曲线x y e =上点P 处的切线平行于直线10x y --=，则点P 的坐标是__________．20．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2()32(2)f x x xf ，则(3)f '=_______．三、解答题21．设函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+c 满足f'（0）=4，f'（-2）=0．（1）求a ，b 的值及曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）若函数f （x ）有三个不同的零点，求c 的取值范围．22．已知函数24(),(1)2,'(1)13f x ax ax b f f =-+==； (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在(1,2)处的切线方程．23．已知二次函数f （x ）=ax 2+ax ﹣2b ，其图象过点（2，﹣4），且f′（1）=﹣3． （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）设函数h （x ）=xlnx+f （x ），求曲线h （x ）在x=1处的切线方程．24．已知函数()x f x xe =.（1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图象在点1x =处的切线方程.25．设2012(21)...()n n n x a a x a x a x x R +=++++∈展开式中仅有第1011项的二项式系数最大．（1）求n ；（2）求0123...(1)n n a a a a a -+-+-；（3）求12323...n a a a na ++++26．求下列函数的导函数.（1）()521y x =+（2）1log 32a y x =+【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】求导得到()'ln 1fx x =+，计算切点为(),e e ，代入直线方程得到答案.【详解】 ()ln y f x x x ==，则()'ln 1f x x =+，取()'ln 12f x x =+=，解得x e =， 当x e =时，ln y e e e ==，故切点为(),e e ，代入直线得到2e e b =+，故b e =-. 故选：C.【点睛】本题考查了根据切线方程求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.2．A解析：A【分析】2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线求出=(3)k f ，由图(3)=1f ，对2()()g x x f x =求导取值可得.【详解】2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线,所以切点(3,1)代入切线方程得1=(3)=3k f ，又(3)=1f 2()()g x x f x =，2()2()+()g x xf x x f x ''=，(3)6(3)+9(3)=3g f f ''∴=故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义.根据导数的几何意义求参数值的思路根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点00)(P x y ，既在曲线上又在切线上构造方程组求解．3．B解析：B【分析】先对函数进行求导，然后表示出切线的斜率，求出斜率范围，再由切线的斜率与倾斜角之间的关系求倾斜角范围即可.【详解】由()23xf x e =+，所以()'=x f x e又P 是曲线()23x f x e =+上的任意一点，点P 处的切线的倾斜角为α，所以点P 处的切线的斜率为tan α==x k e 0x e >，所以tan α>所以角α的取值范围为20,,23πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题主要考查导数的几何意义及导数的求法，属于基础题 . 4．A解析：A【分析】根据归纳推理进行求解即可．【详解】解：由题意知：()sin cos f x x x =-，1()()cos sin f x f x x x '==+，[]1'2()()sin cos f x f x x x ==-+，[]'23()()cos sin f x f x x x ==--，[]'34()()sin cos f x f x x x ==-，照此规律，可知：[]'201923()()co )s (s in f x f x x x f x ==--=，故选：A.【点睛】本题考查函数值的计算，利用归纳推理是解决本题的关键． 5．A解析：A【分析】先利用导数求切线斜率,再根据点斜式方程得切线方程,最后根据判别式为零得结果.【详解】1()f x x'=， 直线l 是函数()f x lnx =的图象在点(1,0)处的切线，∴其斜率为k f ='（1）1=，∴直线l 的方程为1y x =-．又因为直线l 与()g x 的图象相切， ∴211722y x y x mx =-⎧⎪⎨=++⎪⎩，消去y ，可得219(1)022x m x +-+=， 得△2(1)902(4m m m =--=⇒=-=不合题意，舍去），故选A【点睛】本题主要考查函数导数的几何意义,考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识 的理解掌握水平和分析推理能力.6．A解析：A【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程.【详解】2x y x =-的导数为22'(2)y x =--， 可得曲线22y x =-在点()1,1-处的切线斜率为1'|2x k y ===-， 所以曲线2x y x =-在点()1,1-处的切线方程为12(1)y x +=--， 即21y x =-+，故选A.【点睛】该题考查的是有关曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到的知识点有求导公式，导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.7．A解析：A【解析】【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由切点满足切线的方程和曲线的方程，解方程即可求解，得到答案．【详解】由题意，直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则点(1,4)满足直线2y kx =+，代入可得412k =⨯+，解得2k =，又由曲线()32f x x ax b =++，则()232f x x a '=+， 所以()213122f a '=⨯+=，解得12a =-，即()3f x x xb =-+， 把点(1,4)代入()3f x x x b =-+，可得3411b =-+，解答4b =， 所以144()422a b +=⨯-+=，故选A ．【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟记导数的几何意义，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 8．C解析：C【分析】求得()12()f x f e x '='+，令x e =，解得1()f e e '=-，得到()2f x x lnx e=-+，即可求解()f e 的值，得到答案.【详解】由题意，函数()2()f x xf e ='lnx +，则()12()f x f e x '='+， 令x e =，则()12()f e f e e '='+，解得1()f e e '=-，即()2f x x lnx e =-+， 令x e =，则()2ln 1f e e e e=-⨯+=-，故选C. 【点睛】 本题主要考查了导数运算，以及函数值的求解，其中正确求解函数的导数，求得()f e '的值，得出函数的解析式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 9．C解析：C【分析】求得()f x 图像上切线斜率为2的切点的横坐标，即是t 的值.【详解】依题意可知，当()f x 图像上的切线和()21g x x =+平行时，MN 取得最小值，令()'12f x x ==，解得12x =，故12t =，所以选C. 【点睛】本小题考查函数导数，考查切线斜率与导数的对应关系，属于基础题.10．A解析：A【解析】【分析】求出曲线y ＝e x （x 2+ax +1﹣2a ）在点P （0，1﹣2a ）处的切线l 恒过定点（﹣2，﹣1），代入：（x ﹣1）2+y 2﹣16，可得9+1﹣16＜0，即定点在圆内，即可得出结论．【详解】∵y=e x （x 2+ax+1-2a ），∴y′=e x （x 2+ax+2x+1-a ），x=0时，y′=1-a ，∴曲线y=e x （x 2+ax+1-2a ）在点P （0，1-2a ）处的切线y-1+2a=（1-a ）x ，恒过定点（-2，-1），代入：（x-1）2+y 2=16，可得9+1-16＜0，即定点在圆内， ∴切线l 与圆C ：（x-1）2+y 2=16的位置关系是相交．故选：A ．【点睛】本题考查导数的几何运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．B解析：B【分析】对曲线y ＝xe ﹣x 进行求导，求出点P 的坐标，分析知道，过点P 直线与直线y ＝x +2平行且与曲线相切于点P ，从而求出P 点坐标，根据点到直线的距离进行求解即可．【详解】∵点P 是曲线y ＝xe ﹣x 上的任意一点，和直线y ＝x +3上的动点Q ，求P ，Q 两点间的距离的最小值，就是求出曲线y ＝xe ﹣x 上与直线y ＝x +3平行的切线与直线y ＝x +3之间的距离．由y ′＝（1﹣x ）e ﹣x ，令y ′＝（1﹣x ）e ﹣x ＝1，解得x ＝0，当x ＝0，y ＝0时，点P （0，0），P ，Q 两点间的距离的最小值，即为点P （0，0）到直线y ＝x +3的距离，∴d min故选B.【点睛】此题主要考查导数研究曲线上某点的切线方程以及点到直线的距离公式，利用了导数与斜率的关系，这是高考常考的知识点，是基础题． 12．A解析：A【分析】由2()f x x bx =+，求导得到()2f x x b '=+，再根据函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，由(1)23f b '=+=求解，从而得到()2()1f x x x x x =+=+，则()1111()11f n n n n n ==-++，再利用裂项相消法求解. 【详解】因为2()f x x bx =+，所以()2f x x b '=+，因为函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，所以(1)23f b '=+=，解得1b =，所以()2()1f x x x x x =+=+， 数列()1111()11f n n n n n ==-++， 所以202011111111...12233420202021S =-+-+-++-， 12020120212021=-=. 故选：A【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及数列的裂项法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】因为函数设切点坐标为利用导数求出曲线在切点的切线方程将原点代入切线方程求出的值即可求得所求的切线方程【详解】设切点坐标为则曲线在点处的切线方程为：由于该直线过原点则得则过原点且与曲线相切的直 解析：0ex y -=【分析】因为函数()x f x e =，设切点坐标为(),t t e ，利用导数求出曲线()y f x =在切点(),t t e 的切线方程，将原点代入切线方程，求出t 的值，即可求得所求的切线方程．【详解】设切点坐标为(),t t e ， ()x f x e =，()x f x e '∴=，()t f t e '=，则曲线()y f x =在点(),t t e 处的切线方程为：()t ty e e x t -=-， 由于该直线过原点，则t t e te -=-，得1t =，∴则过原点且与曲线()y f x =相切的直线方程为y ex =，故答案为：0ex y -=．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查求函数图象的切线方程，解题关键是掌握求过线外一点曲线切线方程的求法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.14．【分析】求出函数的斜率为2的切线方程与两条平行线的交点间的横坐标之差为的最小值【详解】如图作出函数的图象作直线平移到与函数图象相切由图象知直线与这两条平行线的交点的横坐标之差为所求最小值由得令得此时 解析：3ln 22- 【分析】求出函数2ln y x x =+的斜率为2的切线方程，y b =与两条平行线的交点间的横坐标之差为AB 的最小值．【详解】如图，作出函数2ln y x x =+的图象，作直线21y x =+，平移到与函数图象相切，由图象知直线y b =与这两条平行线的交点的横坐标之差为所求最小值．由2ln y x x =+得21y x '=+，令212y x'=+=得2x =，此时22ln 2y =+，即切点为(2,22ln 2)+，由22ln 221y y x =+⎧⎨=+⎩得1ln 2222ln 2x y ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，∴min 132(ln 2)ln 222AB =-+=-． 故答案为：3ln 22-．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数图象交点问题，解题关键是转化与化归思想的应用，把直线y b =与直线21y x =+和曲线2ln y x x =+交点间距离的最小值转化为直线21y x =+与函数图象的平行切线间的问题．利用导数几何意义即可迅速求解． 15．【分析】转化条件得有4个零点令画出两函数的图象后可得当函数过点和时函数与的图象相切时函数与的图象恰有3个交点；当在两者范围之间时满足条件利用导数的性质求出函数与的图象相切时的值即可得解【详解】由题意解析：1(2e 【分析】转化条件得1()2f x kx =-有4个零点,令()12g x kx =-，画出两函数的图象后可得当函数()g x 过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,0时、函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时，函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当k 在两者范围之间时，满足条件，利用导数的性质求出函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时k 的值即可得解.【详解】由题意1()2y f x kx =-+有4个零点即1()2f x kx =-有4个零点, 设()12g x kx =-，则()g x 恒过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴函数()g x 与()f x 的图象有4个交点，在同一直角坐标系下作出函数()g x 与()f x 的图象，如图，由图象可知，当12k <时，函数()g x 与()f x 的图象至多有2个交点； 当函数()g x 过点10,2⎛⎫-⎪⎝⎭和()1,0时，12k =，此时函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点； 当函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时，设切点为(),ln a a ，1y x'=， ∴1k a =，∴1ln 12a a a+=，解得a e =， ∴e k e=，此时函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点； 当e k e>时，两函数图象至多有两个交点； ∴若要使函数1()2y f x kx =-+有4个零点，则1(,)2k e e∈. 故答案为：1(,)2e e.【点睛】本题考查了函数的零点问题和导数的几何意义，考查了数形结合思想，属于中档题. 16．【分析】对两条曲线对应的函数求导设出两个切点的横坐标令它们的导数相等求出两条曲线在切点处的切线方程对比系数求得的值【详解】依题意设直线与相切切点的横坐标为即切点为设直线与相切切点的横坐标为即切点为令 解析：2ln 3-【分析】对两条曲线对应的函数求导，设出两个切点的横坐标，令它们的导数相等，求出两条曲线在切点处的切线方程，对比系数求得b 的值.【详解】依题意，()()''11ln 3,ln 11x x x x +=+=⎡⎤⎣⎦+，设直线y kx b =+与ln 3y x =+相切切点的横坐标为0x ，即切点为()00,ln 3x x +，设直线y kx b =+与()ln 1y x =+相切切点的横坐标为1x ，即切点为()()11,ln 1x x +，令01111x x =+，解得101x x =-，故直线y kx b =+与()ln 1y x =+相切切点为()001,ln x x -.由此求出两条切线方程为()()0001ln 3y x x x x -+=-和()0001ln 1y x x x x -=-+；即001ln 2y x x x =++和000111ln y x x x x =-++，故0001ln 21ln x x x +=-++，013x =，故0ln 22ln3b x =+=-.【点睛】本小题主要考查两条曲线共切线方程的问题，考查切线方程的求法，考查导数的运算，属于中档题.17．【分析】对函数求导求写出切线方程与y=0y=x 联立求交点的坐标即可求面积【详解】∵∴∴切线的斜率且过点（02）∴切线为∴∴切线与x 轴交点为（10）与的交点为∴切线与直线和围成的三角形的面积为故答案为 解析：13【分析】对函数求导，求()0f ' ，写出切线方程，与y=0,y=x 联立求交点的坐标，即可求面积.【详解】∵21x y e -=+，∴22x y e -=-'，∴切线的斜率02x k y ='==-，且过点（0，2），∴切线为22y x -=-，∴22y x =-+，∴切线与x 轴交点为（1，0），与y x =的交点为22,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为1211233S =⨯⨯=.故答案为1.3【点睛】本题考查了导数的几何意义，在某点处的切线，属于基础题.18．ln3【解析】【分析】函数f(x)=ex+ae-x 为偶函数利用f(-x)=f(x)可得：a=1f(x)=ex+e-x 利用导数的几何意义即可得出【详解】∵函数f(x)=ex+ae-x 为偶函数∴f(-x 解析：【解析】【分析】 函数为偶函数，利用，可得：，利用导数的几何意义即可得出． 【详解】 函数为偶函数， ，即， 可得：．，， 设该切点的横坐标等于，则， 令，可得，化为：，解得． ，解得． 则该切点的横坐标等于． 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用导数研究切线的斜率、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19．【解析】【详解】∵切线与直线平行∴斜率为∵∴∴∴∴切点为因此本题正确答案是：解析：(0,1)【解析】【详解】∵切线与直线10x y -+=平行，∴斜率为1，∵x y e =，e x y '=，∴0()1y x '=，∴01x e =，∴00x =，∴切点为(0,1)，因此，本题正确答案是：(0,1)．20．-6【解析】则解得则故答案为解析：-6【解析】()()()()232'2,'62'2f x x xf f x x f=+∴=+，则()()'2622'2f f=⨯+，解得()'212f=-，则()()'624,'318246f x x f=-∴=-=-，故答案为6- .三、解答题21．（1）a=b=4，y=4x+c；（2）（0，32 27）.【解析】试题分析：（1）求出f（x）的导数，由f'（0）=4，f'（-2）=0求得a，b的值，再求得切线的斜率和切点，进而得到所求切线的方程；（2）由f（x）=0，可得-c=x3+4x2+4x，由g（x）=x3+4x2+4x，求得导数，单调区间和极值，由-c介于极值之间，解不等式即可得到所求范围．试题(1)函数f(x)=x3+ax2+bx+c的导数为f′(x)=3x2+2ax+b，根据题意得：()()0421240f bf a b⎧==⎪⎨-=-+=''⎪⎩，解得4,4a b==.可得y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为k=f′(0)=b=4，切点为(0,c)，可得切线的方程为y=4x+c；(2)由（1）f(x)=x3+4x2+4x+c，由f(x)=0,可得−c= x3+4x2+4x，由g(x)= x3+4x2+4x的导数g′(x)=3x2+8x+4=(x+2)(3x+2)当23x>-或x<−2时,g′(x)>0,g(x)递增；当−2<x<−23时,g′(x)<0,g(x)递减.即有g(x)在x=−2处取得极大值，且为0；g(x)在x=−23处取得极小值,且为−3227，由函数f(x)有三个不同零点,可得−3227<−c<0，解得0<c<32 27，则c的取值范围是(0,32 27).22．（1）235()222f x x x =-+；（2）10x y －＋＝. 【解析】 试题分析： (1)由题意得到关于实数a,b 的方程组，求解方程组可得函数的解析式为()235222f x x x =-+ (2)利用导函数与切线方程的关系可得f (x )在(1,2)处的切线方程为x －y ＋1＝0.试题(1)f ′(x )＝2ax －a .由已知得解得∴f (x )＝x 2－2x ＋.(2)函数f (x )在(1,2)处的切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.23．（Ⅰ）a=b=﹣1；（Ⅱ）2x+y ﹣2=0．【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可得f （2）=﹣4，代入f （x ）解析式，求出f （x ）的导数，代入x=1，解方程可得a=b=﹣1；（Ⅱ）求出h （x ）的解析式，求得导数，可得切线的斜率，再由点斜式方程可得切线的方程．解：（Ⅰ）由题意可得f （2）=﹣4，即为4a+2a ﹣2b=﹣4，又f′（x ）=2ax+a ，可得f′（1）=3a=﹣3，解方程可得a=b=﹣1；（Ⅱ）函数h （x ）=xlnx+f （x ）=xlnx ﹣x 2﹣x+2，导数h′（x ）=lnx+1﹣2x ﹣1=lnx ﹣2x ，即有曲线h （x ）在x=1处的切线斜率为ln1﹣2=﹣2，切点为（1，0），则曲线h （x ）在x=1处的切线方程为y ﹣0=﹣2（x ﹣1），即为2x+y ﹣2=0．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算．24．（1）()x x f x e xe '=+；（2）.【分析】（1）因为()x f x xe =，则()()''()x x x x f x x e x e e xe =+=+'（2）因为(1)2k f e '==，过点（1，e ）,那么可知切线方程为2(1)y e e x -=-【详解】（1）()()''()x xx x f x x e x e e xe =+=+'.（2）(1)2k f e '==，当1x =时，y e =，因此，这个函数的图象在点1x =处的切线方程是2(1)y e e x -=-， 即. 本试题主要是考查了函数的导数的求解以及导数的几何意义的运用.25．(1) 2020;(2) 1;(3) 201940403⨯.【分析】(1)根据二项展开式的项数与指数n 的关系，再根据中间项的位置特点，就可以判断出展开 式中总共有多少项，从而可以求出指数n 的值；(2)根据(1)式求得的n 值，观察所求与2012(21)...n nn x a a x a x a x +=++++的特点，令1x =-，即可求得所需要的结果；(3) 根据(1)式求得的n 值，观察所求与2012(21)...n nn x a a x a x a x +=++++的特点，令 2012()(21)...n n n f x x a a x a x a x =+=++++，求出()f x '，再令1x =，即可求得所需要的结果.【详解】(1)根据二项式系数的对称性，2020n =；(2)由(1)及题意2020220200122020(21)...x a a x a x a x +=++++，∴令1x =-， 则[]20202020012301232020...(1)...(1)2(1)11n n a a a a a a a a a a -+-+-=-+-+-=⨯-+=；(3)由(1)及题意令2020220200122020()(21)...f x x a a x a x a x =+=++++，20192019122020()4040(21)2...2020f x x a a x a x '∴=+=+++，2019123123202023...23...2020(1)40403n a a a na a a a a f '∴++++=++++==⨯.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题. 26．（1）410(21)y x '=+；（2）3(32)ln y x a'=-+ 【分析】根据复合函数求导法则计算．【详解】（1）445(21)210(21)y x x '=+⨯=+；（2）log (32)a y x =-+，133(32)ln (32)ln y x a x a'=-⨯=-++． 【点睛】 本题考查复合函数求导法则，掌握复合函数的求导运算法则是解题基础．。

3.1变化率与导数、导数的计算1．函数f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，当Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在点x ＝x 0处可导，并称常数A为函数f (x )在x ＝x 0处的_________，记作f ′(x 0)．(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的_________相应的切线方程是_________ 2．基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝x n (n 为常数)f ′(x )＝_________ f (x )＝sin x f ′(x )＝_________ f (x )＝cos x f ′(x )＝_________f (x )＝a x (a >0且a ≠1)f ′(x )＝_________(a ＞0且a ≠1)f (x )＝e x f ′(x )＝_________ f (x )＝log a x f ′(x )＝_________ f (x )＝ln x f ′(x )＝_________3.导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝________；(2)[f (x )·g (x )]′＝________；(3)[f (x )g (x )]′＝________(g (x )≠0)．4．简单复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝_____________，． 若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝f ′(u )·u x ′，即y ′x ＝f ′(u )·a .1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别． [试一试]1．曲线C ：y ＝x ln x 在点M (e ，e)处的切线方程为__________________．2．过坐标原点作函数y ＝ln x 图像的切线，则切线斜率为________．3、函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8， 则f (5)＋f ′(5)＝________.4、．已知f (x )＝x ＋2sin x ，则f ′(0)＝________.5、若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________.考点一 导数的运算 例1、求下列函数的导数．(1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝e x ＋1e x －1； (3)y ＝ln(2x －5)．变式训练1、求下列函数的导数：①y ＝e x ＋1e x －1；②y ＝3x e x －ln x ＋e.考点二、导数的几何意义 角度一 求切线方程例2已知函数y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝2x －1，则函数g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为________．变式2设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．（1）若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程． (2)f ′(x )是函数f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，求f ′(－1)的值．角度二 求切点坐标例3在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．变式3若曲线y ＝x 2＋a ln x (a >0)上任意一点处的切线斜率为k ，若k 的最小值为4，则此时该切点的坐标为________．角度三 求参数的值例4在平面直角坐标系xOy 中，点P (0,1)在曲线C ：y ＝x 3－x 2－ax ＋b (a ，b 为实数)上，已知曲线C 在点P 处的切线方程为y ＝2x ＋1，则a ＋b ＝________.变式4(1)已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝________.(2)若曲线C1：y＝3x4－ax3－6x2与曲线C2：y＝e x在x＝1处的切线互相垂直，则实数a的值为________．3.1变化率与导数、导数的计算作业一、填空题1．求下列函数导数①(3x )′＝_________； ②(log 2x )′＝______； ③⎝⎛⎭⎫1ln x ′＝_______； ④(x ·e x )′＝_______.2．曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．3．设f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.4．y ＝x 3－3x ＋1的所有切线中，斜率最小的切线方程为________．5．曲线y ＝x ＋sin x 在点(0,0)处的切线方程是________．6．y ＝x 2e x ＋2x ＋1在P (0,1)处的切线与x 轴交点的横坐标________．7．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 的横坐标的取值范围是________．8．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为________．9．已知y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝2x －1，则函数g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为________．10．已知点A (1,1)和点B (－1，－3)在曲线C ：y ＝ax 3＋bx 2＋d (a ，b ，d 为常数)上，若曲线在点A 和点B 处的切线互相平行，则 a 3＋b 2＋d ＝________.11、y ＝1x和y ＝x 2在它们的交点处的两条切线与x 轴围成一个三角形，求三角形的面积．12．设函数y ＝x 2－2x ＋2的图象为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直．(1)求a ，b 之间的关系；(2)求ab 的最大值．13．已知曲线y ＝13x 3＋43，求(1)曲线在x ＝2处的切线方程；(2)曲线过点(2,4)的切线方程．3.1变化率与导数、导数的计算1．函数f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，当Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在点x ＝x 0处可导，并称常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应的切线方程是y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f (x )＝x n (n 为常数)f ′(x )＝n ·x n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a >0且a ≠1)f ′(x )＝a x ln_a (a ＞0且a ≠1)f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln a f (x )＝ln xf ′(x )＝1x3.导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．4．简单复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝f ′(u )·u x ′，即y ′x ＝f ′(u )·a .1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．[试一试]1．(2014·南通期末)曲线C ：y ＝x ln x 在点M (e ，e)处的切线方程为__________________． 解析：因为y ′＝ln x ＋1，故点M (e ，e)处的切线的斜率为2，所求切线方程为y ＝2x －e.答案：y ＝2x －e2．(2014·苏州质检)过坐标原点作函数y ＝ln x 图像的切线，则切线斜率为________． 解析：设切点为(x 0，y 0)，因为y ′＝1x ，所以切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)．因为切线过原点，故y 0＝1.又y 0＝ln x 0，得x 0＝e ，所以所求斜率为1e.答案：1e2．(教材习题改编)如图2-10-1，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.图2-10-1[解析] f (5)＝－5＋8＝3，而f ′(5)＝－1，∴f (5)＋f ′(5)＝2. [答案] 23．已知f (x )＝x ＋2sin x ，则f ′(0)＝________. [解析] f ′(x )＝1＋2cos x ，∴f ′(0)＝1＋2cos 0＝3. [答案] 34．(2014·广东高考)曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为______________________________．[解析] 因为y ′|x ＝0＝－5e 0＝－5，所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.[答案] 5x ＋y ＋2＝05．(2013·广东高考)若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________.[解析] 函数y ＝kx ＋ln x 的导函数为y ′＝k ＋1x ，由导数y ′|x ＝1＝0，得k ＋1＝0，则k ＝－1.[答案] －1考点一导数的运算[典例] 求下列函数的导数．(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1；(3)y ＝ln(2x －5)．[解] (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.(3)令u ＝2x －5，y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.[备课札记] [类题通法]1．求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．2．有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．3．复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导．【变式训练1】 (1)求下列函数的导数： ①y ＝e x ＋1e x －1；②y ＝3x e x －ln x ＋e.(2)f ′(x )是函数f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，求f ′(－1)的值． [解] (1)①∵y ＝e x ＋1e x －1＝1＋2e x －1，∴y ′＝－2e x(e x －1)2. ②y ′＝(3x)′e x＋3x(e x)′－1x＝3x e xln 3＋3x e x－1x＝3x e xln(3e)－1x .(2)f ′(x )＝x 2＋2，∴f ′(－1)＝(－1)2＋2＝3.导数的几何意义是每年高考的重点，求解时应把握导数的几何意义是切点处切线的斜率，利用这一点可以解决有关导数的几何意义等问题.归纳起来常见的命题角度有：(1)求切线方程； (2)求切点坐标； (3)求参数的值. 考点二、导数的几何意义 角度一 求切线方程例2(2014·镇江统考)已知函数y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝2x －1，则函数g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为________．解析：因为y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝2x －1，所以f ′(2)＝2，f (2)＝3.g (2)＝22＋f (2)＝7，即点(2，g (2))为(2,7)，由g (x )＝x 2＋f (x )得g ′(x )＝2x ＋f ′(x )，所以g ′(2)＝4＋f ′(2)＝6，所以g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为y －7＝6(x －2)，即6x －y －5＝0.答案：6x －y －5＝0变式2设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程． (2)当a ＝0时，f (x )＝x －1x ＋1，f ′(x )＝(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2， k ＝f ′(1)＝12，又f (1)＝0，即点(1,0)， ∴所求切线方程为y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0.角度二 求切点坐标例3在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．解析：由题知，k ＝f ′(x )＝3x 2－10＝2(x <0)，解得x ＝－2，所以y ＝(－2)3－10×(－2)＋3＝15，所以点P 的坐标为(－2,15)．答案：(－2,15)变式3若曲线y ＝x 2＋a ln x (a >0)上任意一点处的切线斜率为k ，若k 的最小值为4，则此时该切点的坐标为________．解析：y ＝x 2＋a ln x 的定义域为(0，＋∞)，由导数的几何意义知y ′＝2x ＋ax ≥22a ＝4，则a ＝2，当且仅当x ＝1时等号成立，代入曲线方程得y ＝1，故所求的切点坐标是(1,1)．答案：(1,1)角度三 求参数的值例4(2014·苏锡常镇二调)在平面直角坐标系xOy 中，点P (0,1)在曲线C ：y ＝x 3－x 2－ax ＋b (a ，b 为实数)上，已知曲线C 在点P 处的切线方程为y ＝2x ＋1，则a ＋b ＝________.解析：由P (0,1)在曲线C ：y ＝x 3－x 2－ax ＋b 上，且点P 处的切线方程为y ＝2x ＋1，对曲线C 关于x 求导得y ′＝3x 2－2x －a ，令y ＝f (x )，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝1，f ′(0)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，－a ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，所以a ＋b ＝－1. 答案：－1变式4 (1)(2013·全国大纲卷)已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝________.(2)(2014·常州调研)若曲线C 1：y ＝3x 4－ax 3－6x 2与曲线C 2：y ＝e x 在x ＝1处的切线互相垂直，则实数a 的值为________．[解析] (1)y ′＝4x 3＋2ax ，y ′|x ＝－1＝－4－2a ＝8， ∴a ＝－6(2)曲线C 1：y ＝3x 4－ax 3－6x 2，y ′＝12x 3－3ax 2－12x 当x ＝1时，k 1＝－3a .曲线C 2：y ＝e x ，y ′＝e x ，当x ＝1时，k 2＝e ∴k 1·k 2＝－3a ×e ＝－1，a ＝13e . [答案] (1)－6 (2)13e[类题通法]导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面 (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0求解．对应学生用书P30[课堂练通考点]1．已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝________. 解析：y ′＝4x 3＋2ax ，由导数的几何意义知在点(－1，a ＋2)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝－1＝－4－2a ＝8，解得a ＝－6.答案：－62．已知f (x )＝x (2 012＋ln x )，f ′(x 0)＝2 013，则x 0＝________.解析：由题意可知f ′(x )＝2 012＋ln x ＋x ·1x＝2 013＋ln x ．由f ′(x 0)＝2 013，得ln x 0＝0，解得x 0＝1.答案：13．若曲线y ＝x 2＋a ln x (a >0)上任意一点处的切线斜率为k ，若k 的最小值为4，则此时该切点的坐标为________．解析：y ＝x 2＋a ln x 的定义域为(0，＋∞)，由导数的几何意义知y ′＝2x ＋ax ≥22a ＝4，则a ＝2，当且仅当x ＝1时等号成立，代入曲线方程得y ＝1，故所求的切点坐标是(1,1)．答案：(1,1)4．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________. 解析：∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， ∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2. ∴f ′(x )＝2x －4.∴f ′(0)＝－4. 答案：－45．(2014·苏北四市统考)已知曲线f (x )＝x sin x ＋1在点⎝⎛⎭⎫π2，π2＋1处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0互相垂直，则实数a ＝________.解析：f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，由题意f ′⎝⎛⎭⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1＝1a ，所以a ＝1. 答案：16．(2013·扬州期末)已知函数f (x )＝x ln x . (1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )≥－x 2＋ax －6在(0，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围； (3)过点A ⎝⎛⎭⎫－1e 2，0作函数y ＝f (x )图像的切线，求切线方程． 解：(1)f ′(x )＝ln x ＋1.令f ′(x )<0得ln x <－1，所以0<x <1e ，故函数f (x )的单调减区间是⎝⎛⎭⎫0，1e . (2)因为f (x )≥－x 2＋ax －6，x >0，所以a ≤ln x ＋x ＋6x .设g (x )＝ln x ＋x ＋6x，则g ′(x )＝x 2＋x －6x 2＝(x ＋3)(x －2)x 2.当x ∈(0,2)时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减； 当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增．所以g (x )的最小值为g (2)＝5＋ln 2，故实数a 的取值范围是(－∞，5＋ln 2]． (3)设切点T (x 0，y 0)，则k AT ＝f ′(x 0)， 所以x 0ln x 0x 0＋1e2＝ln x 0＋1，即e 2x 0＋ln x 0＋1＝0.设h (x )＝e 2x ＋ln x ＋1，当x >0时，h ′(x )＝e 2＋1x >0，所以h (x )是单调递增函数，故h (x )＝0最多只有一个根．又h ⎝⎛⎭⎫1e 2＝e 2·1e 2＋ln 1e 2＋1＝0，所以x 0＝1e 2， 所以f ′(x 0)＝－1，所以所求切线方程为x ＋y ＋1e2＝0.[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·泰州期末)曲线y ＝2ln x 在点(e,2)处的切线(e 是自然对数的底)与y 轴交点的坐标为________．解析：由曲线y ＝2ln x 得y ′＝2x ，所以k ＝2e ，所以点(e,2)处的切线方程为y －2＝2e (x－e)，令x ＝0得y ＝0，所以曲线y ＝2ln x 在点(e,2)处的切线与y 轴交点的坐标为(0,0)．答案：(0,0)2．曲线y ＝x 3＋ax ＋1的一条切线方程为y ＝2x ＋1，则实数a ＝________.解析：由题知y ′＝3x 2＋a ，设切点为(x 0，x 30＋ax 0＋1)，则切线方程为y －(x 30＋ax 0＋1)＝(3x 20＋a )(x －x 0)，即y ＝(3x 20＋a )x ＋(－2x 30＋1)．又切线方程为y ＝2x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 20＋a ＝2，－2x 30＋1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，a ＝2.答案：23．(2014·常州模拟)已知点A (1,1)和B (－1，－3)在曲线C ：y ＝ax 3＋bx 2＋d (a ，b ，d 均为常数)上．若曲线C 在点A ，B 处的切线互相平行，则a 3＋b 2＋d ＝________.解析：由题意得y ′＝3ax 2＋2bx ，因为k 1＝k 2，所以3a ＋2b ＝3a －2b ，即b ＝0.又a ＋d ＝1，d －a ＝－3，所以d ＝－1，a ＝2，即a 3＋b 2＋d ＝7.答案：74．(2013·南通一模)曲线f (x )＝f ′(1)e ·e x －f (0)x ＋12x 2在点(1，f (1))处的切线方程为____________．解析：因为f ′(x )＝f ′(1)e·e x －f (0)＋x ，故有⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝f ′(1)e ，f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝1，f ′(1)＝e ，原函数表达式可化为f (x )＝e x －x ＋12x 2，从而f (1)＝e －12，所以所求切线方程为y －⎝⎛⎭⎫e －12＝e(x －1)，即y ＝e x －12. 答案：y ＝e x －125．(2013·南京、盐城三模)设点P 是曲线y ＝x 2上的一个动点，曲线y ＝x 2在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线y ＝x 2的另一交点为Q ，则PQ 的最小值为________．解析：设P (x 0，x 20)，又y ′＝2x ，则直线PQ 的方程为y ＝－x 2x 0＋12＋x 20.代入y ＝x 2得x 2＋x 2x 0－12－x 2＝0，3.1变化率与导数、导数的计算作业答案 一、填空题 1．求下列函数导数 ①(3x )′＝；②(log 2x )′＝；③⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x ′＝；④(x ·e x )′＝ [解析] ①(3x )′＝3x ln 3；②(log 2x )′＝1x ln 2；③⎝⎛⎭⎪⎫1ln x ′＝－1x (ln x )2＝－1x ·(ln x )2；④(x ·e x )′＝e x ＋x ·e x ＝e x (x ＋1)． 2．(2014·南京调研)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．[解析] ∵y ＝x (3ln x ＋1)， ∴y ′＝3ln x ＋1＋x ·3x ＝3ln x ＋4，∴k ＝y ′|x ＝1＝4，∴所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3. [答案] y ＝4x －33．(2013·江西高考)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.[解析] 令e x ＝t ，则x ＝ln t ，所以f (x )＝ln x ＋x . f ′(x )＝1＋1x ，则f ′(1)＝1＋1＝2. [答案] 24．在曲线y ＝x 3－3x ＋1的所有切线中，斜率最小的切线方程为________．[解析] 设切点为P (x 0，y 0)，∵y ′＝3x 2－3，∴切线斜率k ＝3x 20－3≥－3，当k ＝－3时，切点为P (0,1)．∴切线方程为y －1＝－3x ，即y ＝－3x ＋1. [答案] y ＝－3x ＋15．(2014·南京开学调研)曲线y ＝x ＋sin x 在点(0,0)处的切线方程是________．[解析] ∵y ＝x ＋sin x ，∴y ′＝1＋cos x ，当x ＝0时， y ′＝1＋cos 0＝2，故切线方程为y －0＝2(x －0)即y ＝2x . [答案] y ＝2x6．(2014·常州模拟)曲线y ＝x 2e x ＋2x ＋1在点P (0,1)处的切线与x 轴交点的横坐标是________．[解析] ∵y ′＝2x e x ＋x 2e x ＋2，∴y ′|x ＝0＝2， ∴曲线在点P (0,1)处的切线为y －1＝2x ，即y ＝2x ＋1. 令y ＝0得x ＝－12. [答案] －127．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 的横坐标的取值范围是________．[解析] 设点P 的横坐标为x 0，由y ′＝2x ＋2得y ′|x ＝x 0＝2x 0＋2，由题意知0≤2x 0＋2≤1，解得－1≤x 0≤－12. [答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 8．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为________．[解析] f ′(x )＝2x －2－4x >0，即x 2－x －2x>0， ∵x >0，∴(x －2)(x ＋1)>0，故x >2. [答案] (2，＋∞)9．(2014·镇江模拟)已知函数y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，则函数g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为________．[解析]由y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，得f′(2)＝2，f(2)＝3，于是由g(x)＝x2＋f(x)，得g′(x)＝2x＋f′(x)，从而g(2)＝22＋f(2)＝7，g′(2)＝2×2＋f′(2)＝6，∴y＝g(x)在点(2，g(2))处的切线方程为y－7＝6(x－2)，即6x－y －5＝0.[答案]6x－y－5＝010．(2014·泰州中学检测)已知点A(1,1)和点B(－1，－3)在曲线C：y＝ax3＋bx2＋d(a，b，d为常数)上，若曲线在点A和点B处的切线互相平行，则a3＋b2＋d＝________.[解析]设f(x)＝ax3＋bx2＋d，∵f′(x)＝3ax2＋2bx，∴f′(1)＝3a＋2b，f′(－1)＝3a－2b.根据题意得3a＋2b＝3a－2b，∴b＝0.又点A(1,1)和点B(－1，－3)在曲线C上，∴⎩⎨⎧ a ＋d ＝1，－a ＋d ＝－3，解得⎩⎨⎧ a ＝2，d ＝－1，a 3＋b 2＋d ＝7.二、解答题 11．曲线y ＝1x 和y ＝x 2在它们的交点处的两条切线与x 轴围成一个三角形，求三角形的面积．[解] y ＝1x 和y ＝x 2联立解得两曲线的交点为(1,1)，y ＝1x 的导函数为y ′＝－1x 2，∴它在交点处的切线斜率为－1，它在交点处的切线方程为y －1＝－(x －1)，它与x 轴交点的坐标为(2,0)，y ＝x 2的导函数为y ′＝2x ，∴它在交点处的切线斜率为2，它在交点处的切线方程为y －1＝2(x －1)，它与x 轴交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，∴两条切线与x 轴所围成的三角形的面积为12×⎝⎛⎭⎪⎫2－12×1＝34. 12．设函数y ＝x 2－2x ＋2的图象为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直．(1)求a ，b 之间的关系；(2)求ab 的最大值．[解] (1)对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2，对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ，设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，由题意知过交点(x 0，y 0)的两切线互相垂直．∴(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1，即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，故有⎩⎨⎧ y 0＝x 20－2x 0＋2y 0＝－x 20＋ax 0＋b⇒2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52.(2)由(1)知：b ＝52－a ，∴ab ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －542＋2516. ∴当a ＝54时，(ab )最大值＝2516.[答案] 713．已知曲线y ＝13x 3＋43，求(1)曲线在x ＝2处的切线方程；(2)曲线过点(2,4)的切线方程．[解] (1)∵y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.。

高中数学导数变化的快慢与变化率专题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 某运动物体的位移s（单位：米）关于时间t（单位：秒）的函数关系式为s=2t2−1，则该物体在t=1秒时的瞬时速度为()A.1米/秒B.2米/秒C.3米/秒D.4米/秒2. 某运动物体的位移s（单位：米）关于时间t（单位：秒）的函数关系式为s=2t2+ t，则该物体在t=2秒时的瞬时速度为()A.10米/秒B.9米/秒C.7米/秒D.5米/秒3. 某物体的运动方程为s=5−2t2，则该物体在时间[1,2]上的平均速度为( )A.−6B.2C.−2D.64. 一个物体的位移s（米）与时间t（秒）的关系为s=2+10t−t2，则该物体在4秒末的瞬时速度是( )A.2米/秒B.3米/秒C.4米/秒D.5米/秒5. 设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到x0+Δx时，函数值的改变量Δy为( )A.y0+ΔyB.f(x0+Δx)C.f(Δx)D.f(x0+Δx)−f(x0)6. 函数f(x)=x2+c(c∈R)在区间[1,3]上的平均变化率为( )A.2B.4C.cD.2c7. 已知函数f(x)＝−x2+2x，函数f(x)从2到2+Δx的平均变化率为( )A.2−ΔxB.−2−ΔxC.2+ΔxD.(Δx)2−2·Δx8. 某物体运动的位移s(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的函数关系为s=5−2t2，则该物体在t=2时的瞬时速度为( )A.−3米/秒B.−8米/秒C.8米/秒D.3米/秒9. 已知函数f(x)在x=x0处可导，若limΔx→0f(x0+3Δx)−f(x0−Δx)Δx=1，则f′(x0)=( )A.1B.13C.3 D.1410. 设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到x0+△x时，函数值的改变量△y等于（）A.f(x0+△x)B.f(x0)+△xC.f(x0)⋅△xD.f(x0+△x)−f(x0)11. 函数f(x)=sin 2xx的大致图象为（）A.B.C.D.12. 已知函数f(x)在x＝x0处可导，若lim △ x → 0f(x0 + 3 △ x) − f(x0 − △ x) △ x = 1，则f′(x0)＝（）A.1B.13C.3 D.1413. 若函数f(x)=x2−c在区间[1,m]上的平均变化率为4，则m等于________.14. 一质点的运动方程为S=t2+10（位移单位：m；时间单位：s），则该质点在t= 3时的瞬时速度为________m/s15. 函数f(x)=ln x在区间[1,e]上的平均变化率为________．16. 已知函数y＝3x，则函数在区间[1, 3]上的平均变化率为________．17. 水波的半径以2m/s的速度向外扩张，当半径为5m时，这水波面的圆面积的瞬时膨胀率是________m2/s．18. 在高台跳水运动中，t s时运动员相对水面的高度（单位：m）是ℎ(t)=−4.9t2+ 6.5t+10，高台跳水运动员在t=1s时的瞬时速度为________．19. 已知物体运动的方程为s(t)=vt−12gt2，则在t=1时的瞬时速度是________．20. 已知某质点的位移s（单位：m）与时间t（单位：s,t∈[1,5]）的关系式为t=t33+12bt2+t(b>0)，则该质点的瞬时速度的最小值为________m/s．（用含有b的式子表示）21. 如果质点A按规律S=2t2+1t运动，则在t=2秒的瞬时速度为________.22. 匀速运动物体的运动方程是s(t)＝s0+v0t，求物体在时刻t的瞬时速度．23. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离ℎ（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为ℎ=t2，求t=4s时此球在垂直方向的瞬时速度．24. 一种质量为1kg的物质，在化学分解中，经过时间t（单位：min）后，所剩的质量m（单位：kg）与时间t的关系可以表示为m＝e−2t．（1）求当t从1变到2时，质量m关于t的平均变化率．并解释它的实际意义；（2）求m′(2)并解释它的实际意义．25. 当ℎ无限趋近于0时，(3+ℎ)2−32ℎ无限趋近于多少？√3+ℎ−√3ℎ无限趋近于多少？26. 对于函数f(x)，若f′(x0)存在，则当ℎ无限趋近于0时，下列式子各无限趋近于何值？（1）f(x0+(−ℎ))−f(x0)；−ℎ（2）f(x0+ℎ)−f(x0−ℎ)．ℎ27. 求函数f(x)=−x2+x在x=3附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．28. 求函数f(x)=ax+b在区间[m, n]上的平均变化率．29. 如图，煤场的煤堆形如圆锥，设圆锥母线与底面所成的角为α．（α为常数）（1）高ℎ与底面半径r有什么关系？（2）传输带以0.3m3/min往煤场送煤形成新的煤堆，求当半径r＝1.7m时的r对于时间t的变化率．（参考数据：π取3.14，1.72＝2.89，1.73≈4.91，为计算方便可取3.14×2.89≈9，3.14×4.91≈15）30. 已知函数f(x)＝x−1+．(Ⅰ)若函数f(x)在点（1, f(1)）处的切线平行于x轴，求a的值；(Ⅱ)求函数f(x)的极值．31. 已知函数f(x)=ax+ln x，其中a为常数，设e为自然对数的底数．（1）当a=−1时，求f(x)的最大值；（2）若f(x)在区间(0, e]上的最大值为−3，求a的值；（3）若f(x)在x∈(1, e)有极值．函数g(x)=x3−x−2，证明：∀x1∈(1, e)，∃x0∈(1, e)，使得g(x0)=f(x1)成立．参考答案与试题解析高中数学导数变化的快慢与变化率专题含答案一、选择题（本题共计 12 小题，每题 3 分，共计36分）1.【答案】D【考点】变化的快慢与变化率导数的运算【解析】根据瞬时速度与导数的关系，先对s求导，再把t=1代入s′进行运算即可得解. 【解答】解：∵s=2t2−1，∴s′=4t，当t=1时，s′=4×1=4.故选D.2.【答案】B【考点】变化的快慢与变化率【解析】此题暂无解析【解答】解：由s(t)=2t2+t，得s′(t)=4t+1，则物体在t=2秒时的瞬时速度v=s′|t=2=9米/秒．故选B．3.【答案】A【考点】变化的快慢与变化率【解析】根据平均速度公式可得答案【解答】解：∵s=5−2t2，∴物体在时间[1,2]上的平均速度为=−6.v¯=(5−2×22)−(5−2×12)2−1故选A．4.【答案】A【考点】变化的快慢与变化率导数的运算【解析】此类运动问题中瞬时速度问题的研究一般借助函数的导数求其某一时刻的瞬时速度，解答本题可以先求s=2+10t−t2的导数，再求得t=4秒时的导数，即可得到所求的瞬时速度．【解答】解：∵一个物体的位移s（米）和与时间t（秒）的关系为s=2+10t−t2，∴s′=10−2t，∴该物体在4秒末的瞬时速度是10−2×4=2（米/秒）.故选A．5.【答案】D【考点】变化的快慢与变化率【解析】根据题意函数y=f(x)，我们知道当自变量x变化时，因变量也要发生变化，因此把x0和x0+△x分别代入函数y=f(x)，然后相减求出△y．【解答】解：∵自变量x由x0改变到x0+Δx，当x=x0，y=f(x0)，当x=x0+Δx，y=f(x0+Δx)，∴Δy=f(x0+Δx)−f(x0).故选D．6.【答案】B【考点】变化的快慢与变化率【解析】根据函数的平均变化率的公式ΔyΔx =f(x+Δx)−f(x)(x+Δx)−x，求解即可．【解答】解：ΔyΔx =f(3)−f(1)3−1=(32+c)−(12+c)2=4．故选B．7.【答案】B【考点】变化的快慢与变化率【解析】【解答】解：∵ f(2)=−22+2×2=0，∴f(2+Δx)=−(2+Δx)2+2(2+Δx)=−2Δx−(Δx)2，∴f(2+Δx)−f(2)Δx=−2−Δx.故选B．8.【答案】B【考点】变化的快慢与变化率导数的运算【解析】根据瞬时速度与导数的关系，先对s求导，再把t=2代入s′进行运算即可得解．【解答】解：∵ s=5−2t2，∴s′=−4t，当t=2时，s′=−4×2=−8．即该物体在t=2时的瞬时速度为−8米/秒．故选B．9.【答案】D【考点】极限及其运算导数的几何意义变化的快慢与变化率【解析】此题暂无解析【解答】解：limΔx→0f(x0+3Δx)−f(x0−Δx)Δx=1，∴4limΔx→0f(x0+3Δx)−f(x0−Δx)4Δx=1，∴limΔx→0f(x0+3Δx)−f(x0−Δx)4Δx=14，∵函数f(x)在x=x0处可导，∴f′(x0)=limΔx→0f(x0+3Δx)−f(x0−Δx)4Δx=14.故选D.10.【答案】D【考点】变化的快慢与变化率【解析】根据题意函数y =f(x)，我们知道当自变量x 变化时，因变量也要发生变化，因此把x 0和x 0+△x 分别代入函数y =f(x)，然后相减求出△y ． 【解答】解：∵ 自变量x 由x 0改变到x 0+△x ， 当x =x 0，y =f(x 0)，当x =x 0+△x ，y =f(x 0+△x)， ∴ △y =f(x 0+△x)−f(x 0)， 故选D ． 11.【答案】 B【考点】 函数的图象变化的快慢与变化率 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ 函数f(x)为奇函数，故排除A ，C . ∵ f ′(x)=2x sin x cos x−sin 2xx 2,∴ f ′(π2)=−4π2<0,故图象在x =π2处的切线斜率为负.故选B . 12.【答案】 D【考点】变化的快慢与变化率 【解析】根据题意，由极限的性质分析可得lim △ x → 0f(x 0 + 3 △ x) − f(x 0 − △ x)4 △ x = 14，由导数的定义分析可得答案． 【解答】 解：lim △ x→0limf(x 0 + 3 △ x) − f(x 0 − △ x) △ x = 1，∴ 4lim △ x→0f(x 0 + 3 △ x) − f(x 0 − △ x)4 △ x = 1，∴ lim△ x→0f(x 0 + 3 △ x) − f(x 0 − △ x)4 △ x = 14，∵ 函数f(x)在x =x 0处可导， ∴ f ′(x 0) =lim △ x→0f(x 0 + 3 △ x) − f(x 0 − △ x)4 △ x = 14.故选D .二、填空题（本题共计 9 小题，每题 3 分，共计27分）13.【答案】3【考点】变化的快慢与变化率【解析】此题暂无解析【解答】解：因为ΔyΔx =(m2−c)−(12−c)m−1=4，所以m=3.故答案为：3.14.【答案】6【考点】变化的快慢与变化率导数的运算【解析】由题意，根据导数的实际意义得到公式，再将值带入求解即可. 【解答】解：已知一质点的运动方程为S=t2+10则v=S′=2t，所以该质点在t=3时的瞬时速度为6m/s.故答案为：6.15.【答案】1e−1【考点】变化的快慢与变化率【解析】根据平均变化率的公式进行求解即可．【解答】解：函数f(x)=ln x在区间[1,e]上的平均变化率为：f(e)−f(1)e−1=1e−1．故答案为：1e−1．16.【答案】12【考点】变化的快慢与变化率【解析】利用函数解析式求出区间两个端点的函数值，再根据平均变化率公式求出函数在区间[1, 3]上的平均变化率． 【解答】因为y ＝f(x)＝3x ，且f(3)＝38＝27，f(1)＝3， 所以该函数在区间[1, 5]上的平均变化率为＝＝＝12．故答案为：12． 17.【答案】 20π【考点】导数的几何意义 变化的快慢与变化率【解析】 无【解答】解：因为水波的半径以v =2m/s 的速度向外扩张， 水波面的圆面积为S =πr 2=π(vt)2=4πt 2，所以水波面的圆面积在时刻t 0的瞬时膨胀率S ′(t =t 0)=8πt 0， 当半径为5m 时，t =52s ，所以S ′(t =52)=8π×52=20π，即半径为5m 时，该水波面的圆面积的瞬时膨胀率是20πm 2/s ． 故答案为：20π． 18.【答案】 −3.3 【考点】变化的快慢与变化率 【解析】根据导数的物理意义可知，ℎ(t)函数的导数即是t 时刻的瞬时速度．求导数即可． 【解答】解：∵ ℎ(t)=−4.9t 2+6.5t +10，∴ ℎ′(t)=−4.9×2t +6.5=−9.8t +6.5，∴ 在t =1s 时的瞬时速度为ℎ′(1)=−9.8+6.5=−3.3， 故答案为：−3.3． 19.【答案】 v −g 【考点】变化的快慢与变化率 【解析】利用导数的物理意义v =s′和导数的运算法则即可得出．gt2，解：∵s(t)=vt−12∴v=s′(t)=v−gt，把t=1代入可得t=1时的瞬时速度为v−g故答案为：v−g20.【答案】【考点】变化的快慢与变化率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答21.【答案】【考点】变化的快慢与变化率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本题共计 10 小题，每题 10 分，共计100分）22.【答案】∵s(t)＝s0+v0t，∴s′(t)＝v4，故物体在时刻t的瞬时速度为v0．【考点】变化的快慢与变化率【解析】根据瞬时速度与导数的关系，对s(t)求导可得s′(t)＝v0，此即为物体在时刻t的瞬时速度．【解答】∵s(t)＝s0+v0t，∴s′(t)＝v4，故物体在时刻t的瞬时速度为v0．23.【答案】解：∵球的运动方程为ℎ=t2，∴ℎ′=2t∴该球在t=4s的瞬时速度为2×4=8(m/s)．【考点】变化的快慢与变化率【解析】根据题意，对ℎ=t2进行求导，然后令t=2代入即可得到答案．解：∵ 球的运动方程为ℎ=t 2， ∴ ℎ′=2t∴ 该球在t =4s 的瞬时速度为2×4=8(m/s)． 24. 【答案】设平均变化率为y ¯，则y ¯=△m △t=e −2−e −41−2=1−e 2e 4，它的实际意义为在单位时间内质量平均减少为e 2−1e 4kg ．m′(t)＝e −2t ⋅(−2t)′＝−2e −2t ，所以m′(2)＝−2e −4．它的实际意义为在时间t ＝2时，瞬时质量减少2e −4kg ． 【考点】 导数的运算变化的快慢与变化率 【解析】（1）由平均变化率△m△t 代入即可； （2）利用复合函数求导，代入t ＝2即可． 【解答】设平均变化率为y ¯，则y ¯=△m △t=e −2−e −41−2=1−e 2e 4，它的实际意义为在单位时间内质量平均减少为e 2−1e 4kg ．m′(t)＝e −2t ⋅(−2t)′＝−2e −2t ，所以m′(2)＝−2e −4．它的实际意义为在时间t ＝2时，瞬时质量减少2e −4kg ． 25. 【答案】 根据题意，(3+ℎ)2−32ℎ=ℎ2+6ℎℎ=ℎ+6，则有limℎ→0(3+ℎ)2−32ℎ=lim ℎ→0(ℎ+6)＝6，故当ℎ无限趋近于0时，(3+ℎ)2−32ℎ无限趋近于6，√3+ℎ−√3ℎ=ℎ(√3+ℎ+√3)=√3+ℎ+√3，则有lim ℎ→0√3+ℎ−√3ℎ=lim ℎ→0(√3+ℎ+√3)=2√3=√36； 故当ℎ无限趋近于0时，(3+ℎ)2−32ℎ无限趋近于√36，【考点】变化的快慢与变化率 【解析】根据题意，先将式子变形，进而求出ℎ无限趋近于0时，式子的极限值，即可得答案． 【解答】 根据题意，(3+ℎ)2−32ℎ=ℎ2+6ℎℎ=ℎ+6，则有limℎ→0(3+ℎ)2−32ℎ=lim ℎ→0(ℎ+6)＝6，故当ℎ无限趋近于0时，(3+ℎ)2−32ℎ无限趋近于6，√3+ℎ−√3ℎ=ℎ(√3+ℎ+√3)=√3+ℎ+√3，则有limℎ→0√3+ℎ−√3ℎ=lim ℎ→0(√3+ℎ+√3)=2√3=√36； 故当ℎ无限趋近于0时，(3+ℎ)2−32ℎ无限趋近于√36，26. 【答案】f(x 0+(−ℎ))−f(x 0)−ℎ=f(x 0+(−ℎ))−f(x 0)(x 0+(−ℎ))−x 0，limℎ→0f(x 0+(−ℎ))−f(x 0)−ℎ=limℎ→0f(x 0+(−ℎ))−f(x 0)(x 0+(−ℎ))−x 0=f′(x 0)，则当ℎ无限趋近于0时，f(x 0+(−ℎ))−f(x 0)−ℎ无限趋近于f′(x 0)，f(x 0+ℎ)−f(x 0−ℎ)ℎ=2×f(x 0+ℎ)−f(x 0−ℎ)2ℎ，又由limℎ→0f(x 0+ℎ)−f(x 0−ℎ)ℎ=2limℎ→0f(x 0+ℎ)−f(x 0−ℎ)2ℎ=2f′(x 0)，则当ℎ无限趋近于0时，f(x 0+ℎ)−f(x 0−ℎ)ℎ无限趋近于2f′(x 0)．【考点】变化的快慢与变化率 【解析】根据题意，先将式子变形，结合导数的定义分析可得答案． 【解答】f(x 0+(−ℎ))−f(x 0)−ℎ=f(x 0+(−ℎ))−f(x 0)(x 0+(−ℎ))−x 0，limℎ→0f(x 0+(−ℎ))−f(x 0)−ℎ=limℎ→0f(x 0+(−ℎ))−f(x 0)(x 0+(−ℎ))−x 0=f′(x 0)，则当ℎ无限趋近于0时，f(x 0+(−ℎ))−f(x 0)−ℎ无限趋近于f′(x 0)，f(x 0+ℎ)−f(x 0−ℎ)ℎ=2×f(x 0+ℎ)−f(x 0−ℎ)2ℎ，又由limℎ→0f(x 0+ℎ)−f(x 0−ℎ)ℎ=2limℎ→0f(x 0+ℎ)−f(x 0−ℎ)2ℎ=2f′(x 0)，则当ℎ无限趋近于0时，f(x 0+ℎ)−f(x 0−ℎ)ℎ无限趋近于2f′(x 0)．27. 【答案】解：函数f(x)=−x 2+x 在x =0附近的平均变化率△y △x =f(3+△x)−f(3)△x=−(△x)2−5△x△x=−△x −5． 则f′(3)=lim△x →0(−△x −5)=−5．【考点】 导数的运算变化的快慢与变化率【解析】利用平均变化率公式，即可求出函数f(x)=−x 2+x 在x =3附近的平均变化率和导数 【解答】解：函数f(x)=−x 2+x 在x =0附近的平均变化率△y △x=f(3+△x)−f(3)△x=−(△x)2−5△x△x=−△x −5． 则f′(3)=lim△x →0(−△x −5)=−5．28. 【答案】解：函数f(x)=ax +b 在区间[m, n]上的平均变化率=f(n)−f(m)n−m=(an+b)−(am+b)n−m=a ．故其平均变化率为a ． 【考点】变化的快慢与变化率 【解析】利用平均变化率的公式即可得出． 【解答】解：函数f(x)=ax +b 在区间[m, n]上的平均变化率=f(n)−f(m)n−m =(an+b)−(am+b)n−m=a ．故其平均变化率为a ． 29. 【答案】由题意知，tan α=ℎr ，∴ ℎ＝r tan α记t min 时煤堆的体积为V ， 则V =13πr 2ℎ=13πr 3tan α=0.3t ① ∴ r =√0.9πtan α3t 13②②式两边对t 求导，得r ′(t)=13√0.9πtan α3t −23③（注：①式两边对t 求导，同样可得，只不过是隐函数求导了，教师可以作此理解） 设r ＝1.7m 时对应的时刻为t 0，由①得t 0=πtan α0.9×1.73∴ t 0−23=(πtan α0.9)−23×1.7−2⋯代入③式得， r ′(t)=13√0.9πtan α3t 0−23=13√0.9πtan α3⋅(πtan α0.9)−23×1.7−2 =0.3πtan α×1.7−2≈0.39tan α=0.033tan α(m/min )【考点】根据实际问题选择函数类型 变化的快慢与变化率 【解析】（1）由题意知，tan α=ℎr ，从而得出高ℎ与底面半径r 的关系．（2）记t min 时煤堆的体积为V ，写出圆锥的体积公式，求底面半径对于时间的变化率，即半径的函数式对于时间t 求微分，代入所给的数据做出结果． 【解答】由题意知，tan α=ℎr ，∴ ℎ＝r tan α 记t min 时煤堆的体积为V ， 则V =13πr 2ℎ=13πr 3tan α=0.3t ① ∴ r =√0.9πtan α3t 13②②式两边对t 求导，得r ′(t)=13√0.9πtan α3t −23③（注：①式两边对t 求导，同样可得，只不过是隐函数求导了，教师可以作此理解） 设r ＝1.7m 时对应的时刻为t 0，由①得t 0=πtan α0.9×1.73∴ t 0−23=(πtan α0.9)−23×1.7−2⋯代入③式得，r ′(t)=13√0.9πtan α3t 0−23=13√0.9πtan α3⋅(πtan α0.9)−23×1.7−2 =0.3πtan α×1.7−2≈0.39tan α=0.033tan α(m/min )30. 【答案】（1）由f(x)＝x −1+，得f′(x)＝1−由函数f(x)在点(7，得f′(1)＝1−，解得a＝e（2）f′(x)＝1−①当a≤2时，f′(x)>0，f(x)无极值②当a>0时，令f′(x)＝3，∴x∈(−∞, ln a)时，x∈(ln a, f′(x)>0，∴函数f(x)在(−∞, ln a)上单调递减，+∞)上单调递增．∴f(x)在x＝ln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)＝ln a综上，当a≤0时；当a>6时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a．【考点】变化的快慢与变化率利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】(Ⅰ)先求导，根据导数的几何意义即可求出，(Ⅱ)先求导，再根据导数和函数极值的关系即可求出．【解答】（1）由f(x)＝x−1+，得f′(x)＝1−由函数f(x)在点(7，得f′(1)＝1−，解得a＝e（2）f′(x)＝1−①当a≤2时，f′(x)>0，f(x)无极值②当a>0时，令f′(x)＝3，∴x∈(−∞, ln a)时，x∈(ln a, f′(x)>0，∴函数f(x)在(−∞, ln a)上单调递减，+∞)上单调递增．∴f(x)在x＝ln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)＝ln a综上，当a≤0时；当a>6时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a．31.【答案】（1）解：易知f(x)定义域为(0, +∞)，当a=−1时，f(x)=−x+ln x，f′(x)=1−xx，令f′(x)=0，得x=1．当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0．∴f(x)在(0, 1)上是增函数，在(1, +∞)上是减函数．f(x)max=f(1)=−1．∴函数f(x)在(0, +∞)上的最大值为−1．（2）解：∵f′(x)=a+1x ，x∈(0, e],1x∈[1e, +∞)①若a ≥−1e ，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0, e]上增函数，∴ f(x)max =f(e)=ae +1≥0，不合题意． ②若a <1e ，则由f′(x)>0得a +1x >0，即0<x <−1a 由f′(x)<0得a +1x<0，即−1a<x ≤e ．从而f(x)在(0, −1a )上增函数，在(−1a , e)为减函数 ∴ f(x)max =f(−1a)=−1+ln (−1a)令−1+ln (−1a)=−3，则ln (−1a)=−2∴ −1a =e −2，即a =−e 2．∵ −e 2<−1e ，∴ a =−e 2为所求． （3）证明：由g(x)=x 3−x −2求导可得g ′(x)=3x 2−1 令g ′(x)=3x 2−1=0，解得x =±√33 令g ′(x)=3x 2−1>0，解得x <−√33或x >√33又∵ x ∈(1, e)⊆(√33, +∞)∴ g(x)在(1, e)上为单调递增函数 ∵ g(1)=−2，g(e)=e 3−e −2∴ g(x)在x ∈(1, e)的值域为(−2, e 3−e −2) ∵ e 3−e −2>−1+ln (−1a )，−2<ae +1，−2<a∴ （ae +1, −1+ln (−1a )）⊆(−2, e 3−e −2)，（a, −1+ln (−1a )）⊆(−2, e 3−e −2)，∴ ∀x 1∈(1, e)，∃x 0∈(1, e)，使得g(x 0)=f(x 1)成立． 【考点】导数求函数的最值 变化的快慢与变化率 利用导数研究函数的极值【解析】（1）在定义域(0, +∞)内对函数f(x)求导，求其极大值，若是唯一极值点，则极大值即为最大值．（2）在定义域(0, +∞)内对函数f(x)求导，对a 进行分类讨论并判断其单调性，根据f(x)在区间(0, e]上的单调性求其最大值，并判断其最大值是否为−3，若是就可求出相应的最大值．（3）由：∀x 1∈(1, e)，∃x 0∈(1, e)，使得g(x 0)=f(x 1)f(x 1)即研究：f(x)的值域是g(x)的值域的子集，所以分别求得两函数的值域即可． 【解答】（1）解：易知f(x)定义域为(0, +∞)，当a =−1时，f(x)=−x +ln x ，f′(x)=1−x x，令f′(x)=0，得x =1．当0<x <1时，f′(x)>0；当x >1时，f′(x)<0． ∴ f(x)在(0, 1)上是增函数，在(1, +∞)上是减函数． f(x)max =f(1)=−1．∴ 函数f(x)在(0, +∞)上的最大值为−1． （2）解：∵ f′(x)=a +1x，x ∈(0, e],1x∈[1e, +∞)①若a ≥−1e ，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0, e]上增函数， ∴ f(x)max =f(e)=ae +1≥0，不合题意． ②若a <1e，则由f′(x)>0得a +1x>0，即0<x <−1a由f′(x)<0得a +1x <0，即−1a <x ≤e ． 从而f(x)在(0, −1a )上增函数，在(−1a , e)为减函数 ∴ f(x)max =f(−1a )=−1+ln (−1a ) 令−1+ln (−1a)=−3，则ln (−1a)=−2∴ −1a=e −2，即a =−e 2．∵ −e 2<−1e，∴ a =−e 2为所求．（3）证明：由g(x)=x 3−x −2求导可得g ′(x)=3x 2−1 令g ′(x)=3x 2−1=0，解得x =±√33 令g ′(x)=3x 2−1>0，解得x <−√33或x >√33又∵ x ∈(1, e)⊆(√33, +∞)∴ g(x)在(1, e)上为单调递增函数 ∵ g(1)=−2，g(e)=e 3−e −2∴ g(x)在x ∈(1, e)的值域为(−2, e 3−e −2) ∵ e 3−e −2>−1+ln (−1a )，−2<ae +1，−2<a∴ （ae +1, −1+ln (−1a)）⊆(−2, e 3−e −2)，（a, −1+ln (−1a)）⊆(−2, e 3−e −2)，∴ ∀x 1∈(1, e)，∃x 0∈(1, e)，使得g(x 0)=f(x 1)成立．。

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10. 一张正方形的边长为 5cm，在此正方形的四个角落各铺一只蚂蚁，当蚂蚁开始沿着正方形的边爬行时，正方形的面积的变化率是多少？
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考点13 变化率与导数、导数的运算1．设曲线（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在曲线上某点处的切线，使得，则实数的取值范围（）A．B．C．D．【答案】D2．已知函数在点处的切线为，动点在直线上，则的最小值是（）A．4 B．2 C．D．【答案】D【解析】由题得所以切线方程为即，故选D.3．函数，则在其图像上的点处的切线的斜率为A．B．C．D．【答案】D【解析】把点的坐标（1，-2）代入函数的解析式得-2=1+2a-3,所以a=0,所以f(x)=，所以，所以切线的斜率为-2.故答案为：D.学&科网4．将函数f(x)＝ln(x＋1)(x≥0)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0，α])，得到曲线C，若对于每一个旋转角θ，曲线C都仍然是一个函数的图像，则α的最大值为( )A．π B．C．D．【答案】D5．曲线在处的切线的倾斜角是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，，则倾斜角为故选.学科*网6．已知函数是定义在区间上的可导函数，为其导函数，当且时，，若曲线在点处的切线的斜率为，则的值为（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A7．已知函数的导函数为，且满足（其中为自然对数的底数），则（）A．B．C．-1 D．1【答案】B【解析】根据题意，f（x）=2xf'（e）+lnx，其导数，令x=e，可得，变形可得故选：B．8．已知函数，记是的导函数，将满足的所有正数从小到大排成数列，，则数列的通项公式是（）A．B．C．D．【答案】C9．已知函数，则的值为()A．B．0 C．D．【答案】D【解析】由题意，化简得，而，所以，得，故，所以，，所以,故选D.学科*网10．函数是定义在R上的可导函数,其图象关于轴对称,且当时,有则下列不等关系不正确的是A．B．C．D．【答案】A11．已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中不正确的是（）A．函数图象的对称轴方程为B．函数的最大值为C．函数的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线平行D．方程的两个不同的解分别为，，则最小值为【答案】C12．已知函数,则曲线在点处的切线倾斜角是_________。

第三章导数及其应用§3.1 变化率与导数3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念课时目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．1．函数的变化率定义实例平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为________________，简记作：ΔyΔx.①平均速度；②曲线割线的斜率.瞬时变化率函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即_______________＝limx→ΔyΔx①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率.2．导数的概念：一般地，函数y=f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limx→ΔyΔx＝____________，我们称它为函数y=f(x)在x＝x0处的，记为或即f′(x0) ＝limx→ΔyΔx一、选择题1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数()A．在[x0，x1]上的平均变化率B．在x0处的变化率C．在x1处的变化率D．以上都不对2．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则ΔyΔx等于()A．4 B．4＋2ΔxC．4＋2(Δx)2D．4x3．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是()A．1 B．－1 C．2 D．－24．设f(x)在x＝x0处可导，则limx→f(x0－Δx)－f(x0)Δx等于()A ．－f ′(x 0)B ．f ′(－x 0)C ．f ′(x 0)D ．2f ′(x 0)5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( )A ．3B ．－3C ．2D ．－26．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是( )A ．at 0B ．－at 0 C.12at 0 D ．2at 0题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题7．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为________． 8．过曲线y ＝2x 上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为________．9．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v (t )＝t 2＋2t ＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt ]内的平均加速度是________，在t ＝1时的瞬时加速度是________．三、解答题10．已知函数f (x )＝x 2－2x ，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．11．用导数的定义，求函数y ＝f (x )＝1x在x ＝1处的导数．能力提升 12．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为________． 13．枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a ＝5×105 m/s 2，枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10－3 s ．求枪弹射出枪口时的瞬时速度．1．做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s (t )描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)，那么位移改变量Δs与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.2．由导数的定义可得求导数的一般步骤(三步法)：(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx ；0 Δy Δx .→0 ΔyΔx.第三章 导数及其应用 §3.1 变化率与导数 3．1.1 变化率问题 3．1.2 导数的概念答案知识梳理 1．f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 2．lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 导数 f ′(x 0) y ′|x ＝x 0lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 作业设计 1．A2．B [∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2×12＋1＝4Δx ＋2(Δx )2， ∴Δy Δx ＝4Δx ＋2(Δx )2Δx＝4＋2Δx .] 3．B [Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1.]4．A [lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0－f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝－lim Δx →0f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝－f ′(x 0)．] 5．B [∵Δy Δx ＝f ⎝⎛⎭⎫32＋Δx －f ⎝⎛⎭⎫32Δx ＝－Δx －3，∴lim Δx →0Δy Δx＝－3.] 6．A [∵Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝12a Δt ＋at 0，∴lim Δt →0 Δs Δt ＝at 0.] 7．0.41 8．1解析 由平均变化率的几何意义知k ＝2－11－0＝1.9．4＋Δt 4解析 在[1,1＋Δt ]内的平均加速度为Δv Δt ＝v (1＋Δt )－v (1)Δt＝Δt ＋4，t ＝1时的瞬时加速度是li m Δt →0 ΔvΔt ＝li m Δt →0(Δt ＋4)＝4. 10．解 函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为： f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)＝[(－1)2－2×(－1)]－[(－3)2－2×(－3)]2＝－6.函数f (x )在[2,4]上的平均变化率为： f (4)－f (2)4－2＝(42－2×4)－(22－2×2)2＝4.11．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx－11＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝－Δx1＋Δx ·(1＋1＋Δx )，∴ΔyΔx ＝－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )， ∴lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )＝－11＋0·(1＋1＋0)＝－12，∴y ′|x ＝1＝f ′(1)＝－12.12．2解析 由导数的定义，得 f ′(0) ＝lim Δx →0 f (Δx )－f (0)Δx＝lim Δx →0 a (Δx )2＋b (Δx )＋c －cΔx ＝lim Δx →0[a ·(Δx )＋b ]＝b . 又⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≤0a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0.∴f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2bb ＝2.13．解 运动方程为s ＝12at 2.因为Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，所以Δs Δt ＝at 0＋12a Δt .所以0 Δv Δt＝li m Δt →0 ΔsΔt ＝at 0. 由题意知，a ＝5×105 m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ， 所以at 0＝8×102＝800 (m/s)．即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

一、选择题1．已知函数()()xx af x e a R e=+∈，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为（ ） A ．2y x =- B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =2．已知过点P 作曲线y ＝x 3的切线有且仅有两条，则点P 的坐标可能是( )A ．(0,1)B ．(0,0)C ．(1,1)D ．(－2，－1)3．若曲线21C y lnx ax =+：（a 为常数）不存在斜率为负数的切线,则实数a 的取值范围是 A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．()0,+∞D ．[)0,+∞ 4．已知函数()()221ln f x x f x '=+，则曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为（ ） A ．－2B ．－1C ．1D ．25．若曲线3222y x x =-+在点A 处的切线方程为46y x =-，且点A 在直线10mx ny +-=（其中0m >，0n >）上，则12m n+的最小值为（ ）A ．B ．3+C ．6+D ．6．已知函数()2bf x x ax =+的导数()23f x x '=+，则数列()()*12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭N 的前n项和是（ ）A ．1nn +B ．()121n n -+C ．()22n n +D ．()()12nn n ++7．若点P 在函数3()3f x x x =-+的图象上，且函数3()3f x x x =-+的图象在点P 处的切线平行于直线21y x =+，则点P 的坐标为（ ） A ．(1,3)B ．(1,3)-C ．(1,3)和(1,3)-D ．(1)3-， 8．在平面直角坐标系中，直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数，且直线l 与曲线ln y x =相切，则直线l 的方程为（ ）A ．y ex =B ．y x e =-C ．1y x e=或y x e =- D ．1y x e=或1y x =- 9．已知函数()ln 2f x x x =+，则其在1x =处的切线方程是（ ） A ．20x y -=B ．20x y +=C ．10x y -+=D ．10x y +-=10．已知函数()sin f x x =的图象与直线(0)y kx k =>有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，令1sin 2A α=，212B αα+=，则（ ）A ．AB > B ．A B <C ．A B =D ．A 与B 的大小不确定11．若直线y x =与曲线x m y e +=（m R ∈，e 为自然对数的底数）相切，则m =（ ） A ．1B ．2C ．-1D ．-212．设函数()f x 在R 上可导，()()2121f x x f x '=-+，则()22f a a -+与()1f 的大小关系是（ ）A ．()()221f a a f -+>B ．()()221f a a f -++C ．()()221f aa f -+<D ．不确定二、填空题13．已知函数()3ln f x x x =-与3()g x x ax =-，若函数()f x 图象上存在点P ，且点P 关于x 轴对称点Q 在函数()g x 图象上，则实数a 的取值范围为__.14．已知函数()ln x ax f x x-=，若有且仅有一个整数k ，使()()20f k f k -⎤⎣⎦>⎡，则实数a 的取值范围是__________．15．函数()ln 2f x a x ax b =-+，若()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，则ab =______.16．若直线y x b =+是曲线x y e =的一条切线，则实数b 的值是_____.17．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a=________． 18．曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 19．已知函数()f x 为R 上的奇函数，若当0x <，()22x f x e x --=-，则函数()f x 在2x =处的切线方程为______.20．已知函数f （x ）＝f '（1）e x +x 2﹣1，其中f '（x ）是f （x ）的导函数，则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为_____．三、解答题21．已知函数()2()1xf x eax=+，其中12a >. （1）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率；（2）记函数()()xg x f x xe =+的极大值为M ，若1M >，求实数a 的取值范围.22．已知函数1()ln f x x x b x=++的图像与直线2y =相切. （1）求b 的值；（2）当1[,]x e e∈时，()f x ax ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 23．设函数()()224ln ,R.f x x ax x a =-∈（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若对任意[)()21,,0x f x x a ∈+∞+->恒成立,求实数a 的取值范围.24．已知函数()x f x e =，x ∈R ．（Ⅰ）求()f x 的反函数的图象上点（1，0）处的切线方程； （Ⅱ）证明：曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点． 25．已知函数()x f x e ax =-．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）当12x ≥时，设21()12g x x =+，若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．26．已知函数31()43f x x x a =-++.（1）当4a =-时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程；（2）当函数()f x 只有一个零点时，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由函数()f x 为奇函数，解得1a =-，得到1()xx f x e e=-，求得(0)f '，得到切线的斜率，进而可求解切线的方程. 【详解】由题意，因为函数()()xxa f x e a R e=+∈为奇函数，则()0000a f e e =+=，解得1a =-，即1()xx f x e e =-，则1()x x f x e e +'=，所以1(0)2f e e '=+=，即2k =， 且当0x =时，01(0)0f e e =-=，即切点的坐标为(0,0)， 所以切线的方程为2y x =，故选C. 【点睛】本题主要考查了利用导数求解在某点处的切线方程，其中熟记导数的几何意义求解切线的斜率，再利用直线的点斜式求解切线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．C解析：C 【分析】求出函数的导数，设切点为3(,)m m ，求得切线的斜率，以及切线的方程，运用代入法，将选项代入切线的方程，解方程即可得到结论． 【详解】3y x =的导数为23y x '=，设切点为3(,)m m ，可得切线的斜率为23m ，切线的方程为323y m m x m -=-（），若(0,0)P ，则3230)(m m m -=-，解得0m =，只有一解；若(01)P ，，则32130)(m m m -=-，可得312m =-，只有一解； 若(1,1)P ，则32131m m m -=-（），可得322310m m -+=， 即为2(1)20(1)m m -+=，解得1m =或12-，有两解； 若(2,1)P --，则32132)m m m --=-(-， 可得322610m m +-=，由322()261()612f m m m f m m m '=-=++，，当20m -<<时，()f m 递减；当0m >或2m <-时，()f m 递增． 可得(0)1f =-为极小值，(2)7f -=为极大值， 则322610m m +-=有3个不等实数解． 故选：C ． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和设出切点是解题的关键，注意运用排除法，属于中档题．3．D解析：D 【解析】1'2,y ax x=+x ∈(0,+∞)， ∵曲线y =ln x +ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线， ∴120y ax x=+≥'在(0,+∞)上恒成立， ∴212a x-恒成立,x ∈(0,+∞). 令f (x )=212x -,x ∈(0,+∞),则f (x )在(0,+∞)上单调递增， 又f (x )=212x -<0， ∴a ⩾0. 故选D.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④讨论参数. 4．A解析：A 【分析】求得()f x 的导函数，令1x =求出(1)f '，则求得曲线()y f x =在1x =处的切线斜率． 【详解】()()221ln f x x f x '=+的导数为()()212f f x x x''=+令1x =可得()()121f f ''=+，解得()12f '=-， 曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为2- 故选A 【点睛】本题考查导数的几何意义，解题的关键是明确切点处的导函数值即为斜率，属于一般题．5．C解析：C 【分析】设点A 的横坐标为t ，利用切线斜率求得t 的值，可求得点A 的坐标为()2,2，可得出221m n +=，将代数式22m n +与12m n +相乘，展开后利用基本不等式可求得12m n+的最小值.【详解】设点A 的横坐标为t ，对函数3222y x x =-+求导得234y x x '=-， 由题意可得2344t t -=，即23440t t --=，解得2t =或23t =-. ①若2t =，则点A 的坐标为()2,2，此时点A 在直线46y x =-上，合乎题意； ②若23t =-，则点A 的坐标为222,327⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时点A 不在直线46y x =-上，不合乎题意.所以，点A 的坐标为()2,2，由于点A 在直线10mx ny +-=，可得221m n +=，0m >，0n >，()12124222666m n m n m n m n n m ⎛⎫∴+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭当且仅当n =时，等号成立，因此，12m n+的最小值为6+. 故选：C. 【点睛】本题考查利用曲线的切线方程求切点坐标，同时也考查了利用基本不等式求代数式的最值，考查计算能力，属于中等题.6．C解析：C 【分析】利用导数求得a 、b 的值，然后利用裂项求和法可求得数列()()*12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭N 的前n 项和. 【详解】()2b f x x ax =+，()21223b f x bx a x -'∴=+=+，则223b a =⎧⎨=⎩，得31a b =⎧⎨=⎩，()23f x x x ∴=+，()()()2111112321212f n n n n n n n ∴===-+++++++，因此，数列()()*12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭N 的前n 项和111111233412n S n n =-+-++-++()112222n n n =-=++. 故选：C. 【点睛】本题考查利用导数求参数，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题7．B解析：B 【分析】对()f x 求导，由于在点P 处的切线平行于直线21y x =+，故2312m -=，求解m ，又点(1,3)在直线21y x =+，排除即得解.【详解】设P 点坐标为(,)P m n ，则33n m m =-+2()31x f x '=-由于在点P 处的切线平行于直线21y x =+ 故2312m -=，1m ∴=±，代入33n m m =-+， 故点P 坐标为(1,3)和(1,3)-又点(1,3)在直线21y x =+，此时切线与21y x =+重合，排除 故点P 坐标为(1,3)- 故选：B 【点睛】本题考查了导数在曲线切线中的应用，考查了学生概念理解，数学运算，综合分析的能力，属于中档题.8．D解析：D 【分析】采用分类讨论的方法，可得直线过原点与不过原点的直线方程，然后利用曲线在某点处的切线方程，简单判断，可得结果. 【详解】①当直线l 过原点时，设直线l 的方程为(0)y kx k =≠， 设切点坐标为()00,x y有00000ln 1y x y kx k x ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得0011x e y k e ⎧⎪=⎪=⎨⎪⎪=⎩，此时直线l 的方程为1y x e=； ②当直线l 不过原点时，此时直线的斜率为1， 若切点为(),a b ，可得1a =，1b =-， 此时直线l 的方程为1y x =-；由①②知直线l 的方程为1y x e =或1y x =-. 故选：D 【点睛】本题主要考查曲线在某点处的切线方程，属基础题.9．C解析：C 【分析】求导得到()'ln 1f x x =+，计算()'11f =，()12f =得到切线方程. 【详解】()ln 2f x x x =+，则()'ln 1f x x =+，()'11f =，()12f =.故切线方程为：1y x =+，即10x y -+=. 故选：C . 【点睛】本题考查了切线方程，意在考查学生的计算能力.10．C解析：C 【分析】作出函数()sin f x x =的图象与直线(0)y kx k =>，由图可知，当直线(0)y kx k =>与 函数()sin f x x =在[],2ππ上的图象相切时，刚好有三个交点，根据导数的几何意义即可得到cos k α=-，以及sin k αα=-，得tan αα=，化简B ，即可得出答案． 【详解】作出函数()sin f x x =的图象与直线(0)y kx k =>，如图所示：当直线(0)y kx k =>与函数()sin f x x =在[],2ππ上的图象相切时，刚好有三个交点． 所以，cos k α=-，sin k αα=-即得tan αα=，222222sin 111tan sin cos 1cos sin 22tan 2sin cos sin 22cos B ααααααααααααα++++=====，故A B =． 故选：C ．【点睛】本题主要考查三角函数恒等变换，以及导数几何意义的应用，意在考查学生运用数形结合思想的能力和数学运算能力，属于中档题．11．C解析：C 【分析】 设切点坐标为()00,x mx e+，求得切线的方程()000x mx m y e e x x ++-=-，根据切线方程为y x =，分别代入(0,0),(1,1)点，即可求解.【详解】 设切点坐标为()00,x mx e +，由函数x my e+=，则x my e+'=，所以切线的斜率为0x m k e +=，所以切线方程为()000x mx m y ee x x ++-=-，又因为切线为y x =过(0,0)，代入切线方程，解得01x =， 即切线方程为()111m m y ee x ++-=-将(1,1)代入切线方程，可得11m e +=，解得1m =-， 故选C . 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟记导数的几何意义求得切线的方程，合理应用切线方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．A解析：A 【分析】对()f x 求导，令1x =可求出()12f '=，从而可得到()2221f x x x =-+，然后利用二次函数的单调性可比较出()22f a a -+与()1f 的大小关系.【详解】由题意，()()212f x f x ''=-，则()()1212f f ''=-，可得()12f '=，则()2221f x x x =-+，由二次函数性质可知，函数()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，因为2217121242a a a ⎛⎫-+=-+>> ⎪⎝⎭，所以()()221f a a f -+>，故答案为A.【点睛】本题考查了导数的计算，考查了函数单调性的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】由题意可知有解即与有交点根据导数的几何意义求出切点结合图象可知的范围【详解】函数与的图象上存在关于轴的对称点在上有解即在上有解在上有解分别设若为的切线则设切点为则结合图象可知故答案为：【点睛解析：1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】由题意可知()()f x g x =-有解，即y lnx =与y ax =有交点，根据导数的几何意义，求出切点，结合图象，可知a 的范围. 【详解】函数3()f x lnx x =-与3()g x x ax =-的图象上存在关于x 轴的对称点，()()f x g x ∴=-在(0,)+∞上有解，即33lnx x x ax -=-+在(0,)+∞上有解，lnx ax ∴=，在(0,)+∞上有解，分别设y lnx =，y ax =， 若y ax =为y lnx =的切线，则1y x'=， 设切点为0(x ，0)y ，则01a x =，00ax lnx =， 0x e ∴=，1a e∴=， 结合图象可知，1ae.故答案为：(-∞，1]e.【点睛】本题考查导数的几何意义，以及参数的取值范围问题，关键是转化为y lnx =与y ax =有交点，利用相切求出临界值，在求相切问题时，关键是设出切点，再建立各个量之间的联系，属于中档题.14．【解析】因故由题设问题转化为有且仅有一个整数使得或因为所以当时函数单调递增；当时函数单调递减即函数在处取最大值由于因此由题设可知解之得应填答案点睛：解答本题的关键是准确理解题设中条件有且仅有一个整数解析：11ln 21ln 3123a -≤<-【解析】 因ln ()xf x a x=-，故由题设问题转化为“有且仅有一个整数k 使得()1f k >或()0f k <”．因为21ln ()xf x x-'=，所以当0x e <<时，()0f x '>，函数ln ()x f x a x =-单调递增；当x e >时，()0f x '<，函数ln ()xf x a x=-单调递减，即函数ln ()xf x a x =-在x e =处取最大值，由于23e <<，因此由题设可知(2)1(3)1f f ≤⎧⎨>⎩，解之得11ln21ln3123a -≤<-，应填答案11ln21ln3123a -≤<-． 点睛：解答本题的关键是准确理解题设中条件“有且仅有一个整数k ，使()()20f k f k ⎡⎤->⎣⎦”．求解时先将问题进行等价转化为“有且仅有一个整数k 使得()1f k >或()0f k <”．进而将问题转化为断定函数图像的形状问题，然后先对函数进行求导，依据导数与函数的单调性之间的关系推断出该函数在在x e =处取最大值，从而借助题设条件得到不等式组(2)1(3)1f f ≤⎧⎨>⎩，通过解不等式组使得问题获解．15．【分析】由函数在处的切线方程为得出即可求解【详解】由题意函数则因为函数在处的切线方程为所以即解得所以故答案为：【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用其中解答中熟记利用导数研究曲线在某点处的切线方 解析：2【分析】由函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，得出()(1)213f f '=⎧⎨=⎩，即可求解.【详解】由题意，函数()ln 2f x a x ax b =-+，则()2af x a x'=-， 因为函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，所以()(1)212113f f =⎧⎨=⨯+='⎩，即2223a a a b -=⎧⎨-+=⎩，解得21a b =-⎧⎨=-⎩，所以2ab =.故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记利用导数研究曲线在某点处的切线方程的方法，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.16．1【解析】【分析】设出切点坐标P （x0ex0）利用导数的几何意义写出在点P 处的切线方程由直线y ＝x+b 是曲线y ＝ex 的切线根据对应项系数相等可求出实数b 的值【详解】∵y ＝ex ∴y′＝ex 设切点为P （解析：1 【解析】 【分析】设出切点坐标P （x 0，e x 0），利用导数的几何意义写出在点P 处的切线方程，由直线y ＝x +b 是曲线y ＝e x 的切线，根据对应项系数相等可求出实数b 的值． 【详解】∵y ＝e x ，∴y ′＝e x ， 设切点为P （x 0，e x 0），则在点P 处的切线方程为y ﹣e x 0＝e x 0（x ﹣x 0）， 整理得y ＝e x 0x ﹣e x 0•x 0+e x 0，∵直线是y ＝x +b 是曲线y ＝e x 的切线， ∴e x 0＝1，x 0＝0， ∴b ＝1． 故答案为1． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查曲线在某点处的切线方程的求法，属于基础题.17．8【解析】试题分析：函数在处的导数为所以切线方程为；曲线的导函数的为因与该曲线相切可令当时曲线为直线与直线平行不符合题意；当时代入曲线方程可求得切点代入切线方程即可求得考点：导函数的运用【方法点睛】解析：8 【解析】试题分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为111|1|2x x y x===+='，所以切线方程为；曲线2(2)1y ax a x =+++的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.考点：导函数的运用.【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．18．【解析】设则所以所以曲线在点处的切线方程为即点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一用导数求切线方程的关键在于求出斜率其求法为：设是曲线上的一点则以为切点的切线方程是若曲线在点处的切线平行于轴（即 解析：1y x =+【解析】设()y f x =，则21()2f x x x'=-，所以(1)211f '=-=， 所以曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+． 点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 为切点的切线方程是000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．19．【分析】先根据奇偶性得当时再根据导数的几何意义求解即可得答案【详解】解：因为是奇函数所以当时所以所以处的切线斜率因为时所以在处的切线的方程是即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义由奇偶性求函数解 解析：320x y +-=【分析】先根据奇偶性得当0x >时，()()22x f x e x -=-+，再根据导数的几何意义求解即可得答案. 【详解】解：因为()f x 是奇函数，所以当0x >时，()()()22x f x f x e x -=--=-+，所以()221x f x e-'=--，所以2x =处的切线斜率()222213k f e-'==--=-.因为2x =时()24f =-，所以()y f x =在2x =处的切线的方程是()432y x +=--，即320x y +-=. 故答案为：320x y +-= 【点睛】本题考查导数的几何意义，由奇偶性求函数解析式，考查运算能力，是中档题.20．2x+（e ﹣1）y+2e ﹣2＝0【分析】先求导可得则求得也为曲线在点处的切线的斜率且求得进而求解即可【详解】由题所以所以则曲线在点处的切线的斜率为所以当时所以切线方程为即故答案为:【点睛】本题考查在解析：2x +（e ﹣1）y +2e ﹣2＝0 【分析】先求导可得()()12xf x f e x ''=+,则()()1112f f e ''=+,求得()211f e'=-,也为曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率,且()2211xf x e x e=+--,求得()1f ,进而求解即可 【详解】由题,()()12xf x f e x ''=+,所以()()1112f f e ''=+,所以()211f e'=-, 则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为21e-, 所以()2211xf x e x e=+--, 当1x =时,()2211111e f e e e=+-=--, 所以切线方程为()22111e y x e e-=---,即()21220x e y e +-+-=, 故答案为:()21220x e y e +-+-= 【点睛】本题考查在某点处的切线方程,考查导函数的几何意义的应用三、解答题21．（1）7e ；（2）21,4e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）将2a =代入函数解析式，并求得导函数()f x '.代入(1)f '即可求得曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率；（2）将()f x 代入可得()g x ，并求得导函数'()g x .由12a >，列表讨论'(),()g x g x 的变化情况.即可求得()g x 的极大值，结合1M >即可求得a 的取值范围. 【详解】（1）当2a =时，()2()e 21xf x x=+，依题意()()22()214241xx x f x e xxe e x x '=++=++，故(1)7f e '=.（2）依题意，()2()()1,xxx g x f x xe e axxe =+=++则()(2)(1)xg x e x ax '=++ 当12a >时，当x 变化时，'(),()g x g x 的变化情况如下表：由上表可知，2(2)(41)1M g e a -=-=->，解得14e a +>，故实数a 的取值范围为21,4e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，利用导数分析函数的单调性与极值，根据极值的情况求参数的取值范围，属于中档题. 22．（1）b =1（2）2a 1e e ≥+- 【分析】（1）先求出函数的导函数，利用()'10f =，得到切点坐标，代入()f x 求b 的值； （2）由()1ln 1f x ax x x ax x ≤++≤得，211ln a x x x∴≥++ 设()211ln g x x x x =++（x ＞0），利用导函数求出g （x ）在x ∈[1e，e ]上的最大值即可求实数a 的取值范围． 【详解】（1）()21'ln 10f x x x=+-=()0x ∈+∞，，()'f x 在()0+∞，上为增函数，且()'10f =∴切点的坐标为()12，，将()12，代入()f x 得1+b =2，∴b =1(2)由()1ln 1f x ax x x ax x ≤++≤得，211ln a x x x∴≥++ 令()()232211*********ln '111g x x g x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++=--=-+-=-+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()()02'02'0x g x x g x ∴∈∈+∞，，，，，， 1x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦又，， 12x e ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭当，时，g(x)为减函数，(]2x e ∈，时，g(x)为增函数，()2211111g e e g e e e e ⎛⎫=-++=++ ⎪⎝⎭，，显然()1g g e e ⎛⎫> ⎪⎝⎭,21a e e ≥+-.【点睛】本题主要研究利用导数求切线方程以及函数恒成立问题．当a ≥g （x ）恒成立时，只需要求g （x ）的最大值；当a ≤h （x ）恒成立时，只需要求g （x ）的最小值，这种转化是解题的关键.23．（1）220x y +-=；（2）(),1-∞. 【分析】（1）求出函数的导数，计算f （1），f′（1），由点斜式可求切线方程；（2）g （x ）=f （x ）+x 2﹣a ，求出函数的导数，通过讨论a 的范围，得到函数g （x ）的单调性，求出g （x ）的最小值，从而求出a 的范围即可． 【详解】解：（1）当1a =时, ()10f =,()()()44ln 24f x x x x =+'--,()'12,f =- 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()21,y x =-- 即220x y +-=.（2）设()()()[)22224ln ,1,,g x f x x a x ax x x a x =+-=-+-∈+∞则()()()()()44ln 2424ln 1,1,g x x a x x a x x a x x =-+-+=-+≥' 当1a ≤时, ()g x 在[)1,+∞上单调递增,所以,对任意1x ≥,有()()110g x g a ≥=->,所以 1.a <当1a >时, ()g x 在[)1,a 上单调递减,在(),a +∞上单调递增,所以()()()2min 12ln g x g a a a a ==--,由条件知, ()212ln 0a a a -->,即()12ln 10.a a -->设()()12ln 1,1,h a a a a =-->则()12ln 0,1,h a a a =-'- 所以()h a 在()1,+∞上单调递减,又()10h =, 所以()()10h a h <=与条件矛盾. 综上可知,实数a 的取值范围为(),1.-∞ 【点睛】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题． 24．（1）1y x =-（2）见解析 【解析】试题分析：()1先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可()2法一：等价函数()2112x x e x x ϕ=---零点的个数，由()00ϕ=，求导()1x x e x ϕ='--，再次求导()1x h x e '=-，判定出单调性，()x ϕ在R 上是单调递增故()x ϕ在R 上有唯一的零点 法二：等价于曲线2112xx x y e ++=与1y =的公共点的个数，当0x =时，两曲线有公共点，求导得函数单调性进行判定（Ⅰ）()f x 的反函数为()ln g x x =，设所求切线的斜率为k ． ∵()1g x x'=，∴()11k g ='=，于是在点（1，0）处的切线方程为1y x =-（Ⅱ）证法一：曲线()xf x e =与曲线2112y x x =++公共点的个数等于函数()2112x x e x x ϕ=---零点的个数∵()0110ϕ=-=，∴()x ϕ存在零点0x =…又()1xx e x ϕ='--，令()()1xh x x e x ϕ==--'，则()1xh x e '=-． 当0x <时，()0h x '<，∴()x ϕ'在(),0-∞上单调递减； 当0x >时，()0h x '>，∴()x ϕ'在()0,+∞上单调递增，∴()x ϕ'在0x =处有唯一的极小值()00ϕ'=即()x ϕ'在R 上的最小值为()00ϕ'=． ∴()0x ϕ'≥（当且仅当0x =时等号成立），∴()x ϕ在R 上是单调递增的，∴()x ϕ在R 上有唯一的零点，故曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点 证法二：∵0x e >，21102x x ++>， ∴曲线x y e =与曲线2112y x x =++公共点的个数等于曲线2112xx x y e ++=与1y =的公共点的个数设()2112xx x x e ϕ++=，则()01ϕ=，即当0x =时，两曲线有公共点． 又()()2221111220x x x xx e x x e x x e e ϕ⎛⎫+-++-⎪⎝⎭='=≤（当且仅当0x =时等号成立），∴()x ϕ在R 上单调递减，∴()x ϕ与1y =有唯一的公共点，故曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点 点睛：本题考查了运用导数求两函数交点问题，在解析中给了两种方法，一种构造新函数解决函数零点问题，另一种转化为函数与直线的交点个数问题，在计算过程中注意二阶导数的应用。

5.1.1变化率问题要点一 平均速度与瞬时速度1．平均速度：时间段[1,1＋Δt ]内的平均速度 v －＝h (1＋Δt )－h (1)(1＋Δt )－1.2．瞬时速度：当Δt 无限趋近于0时， v －＝h (1＋Δt )－h (1)Δt的极限，记为lim Δt →h (1＋Δt )－h (1)Δt ，即为t ＝1时的瞬时速度．【重点小结】在t ＝1之后或之前，任意取一个时刻1 ＋Δt ，Δt 是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.当Δt >0时，1 ＋Δt 在1之后；当Δt<0时，1 ＋Δt 在1之前．当Δt 无限趋近于0，即无论t 从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度v 无限趋近v(1)，即为t ＝1时的瞬时速度． 要点二 抛物线的切线的斜率抛物线f (x )在点P (1,1)处的切线斜率为k ＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx.【重点小结】当Δx 无限趋近于0时，k ＝f (1 ＋Δx ) －f (1)Δx的极限，记为lim Δx →f (1 ＋Δx ) －f (1)Δx .Δx 可以是正值也可以是负值，但不为0.【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)Δx 趋近于0表示Δx ＝0.( )(2)平均速度与瞬时速度有可能相等．( )(3)平均变化率是刻画某函数在某区间上变化快慢的物理量．( )(4)一物体的运动方程是S ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是at 0.( )【答案】（1）× （2）√ （3）√ （4）√ 2．质点运动规律s (t )＝t 2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为( ) A ．6.3 B ．36.3 C ．3.3 D ．9.3 【答案】A【解析】s (3)＝12，s (3.3)＝13.89 ∴v －＝s (3.3)－s (3)3.3－3＝1.890.3＝6.3，故选A.3．如果质点M 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18 C ．54 D ．81【答案】B【解析】Δs Δt ＝3(3＋Δt )2－3×32Δt ＝18＋3Δt ，s ′＝li m Δt →0ΔsΔt ＝li m Δt →(18＋3Δt )＝18，故选B.4．抛物线f (x )＝x 2在点(－1,1)处切线的斜率为________．【答案】－2【解析】切线斜率为k ＝lim Δx →0 f (－1＋Δx )－f (－1)(－1＋Δx )－(－1)＝lim Δx →0 (－1＋Δx )2－1(－1＋Δx )－(－1)＝lim Δx →0(Δx －2)＝－2.题型一 求平均速度【例1】已知一物体的运动方程为s (t )＝t 2＋2t ＋3，求该物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度． 【解析】物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的位移增量Δs ＝s (1＋Δt )－s (1)＝[(1＋Δt )2＋2(1＋Δt )＋3]－(12＋2×1＋3) ＝(Δt )2＋4Δt .物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝(Δt )2＋4ΔtΔt＝4＋Δt .【方法归纳】求平均速度的一般步骤(1)作差，计算Δs ；(2)作商：计算ΔsΔt.【跟踪训练1】已知一物体的运动方程为s (t )＝3t －t 2，求t ＝0到t ＝2时平均速度．(s 的单位是m ，t 的单位是s)． 【答案】1 m/s【解析】v －＝Δs Δt ＝S (2)－S (0)2－0＝(3×2－22)－02＝1 (m/s)．题型二 求瞬时速度【例2】如果某物体的运动路程s 与时间t 满足函数s ＝2(1＋t 2)(s 的单位为m ，t 的单位为s)，求此物体在1.2 s 末的瞬时速度．【解析】Δs ＝2[1＋(1.2＋Δt )2]－2(1＋1.22)＝4.8Δt ＋2(Δt )2，li m Δt →0ΔsΔt ＝li m Δt →(4.8＋2Δt )＝4.8， 故物体在1.2 s 末的瞬时速度为4.8 m/s. 求物体在1.2 s 末的瞬时速度即求lim Δt →0ΔsΔt【方法归纳】(1)求运动物体瞬时速度的三个步骤①求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)．②求平均速度v ＝ΔsΔt.③求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于常数v ，即为瞬时速度．(2)求ΔyΔx(当Δx 无限趋近于0时)的极限的方法 ①在极限表达式中，可把Δx 作为一个数来参与运算．②求出ΔyΔx 的表达式后，Δx 无限趋近于0，可令Δx ＝0，求出结果即可．【跟踪训练2】一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s (t )＝3t －t 2. (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度．【解析】(1)t ＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt ]，即[0，Δt ]， 所以Δs ＝s (Δt )－s (0)＝[3Δt －(Δt )2]－(3×0－02) ＝3Δt －(Δt )2，Δs Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt＝3－Δt ， li m Δt →0＝ΔsΔt ＝li m Δt →(3－Δt )＝3.所以物体的初速度为3.(2)取一时间段[2,2＋Δt ]，所以Δs ＝s (2＋Δt )－s (2) ＝[3(2＋Δt )－(2＋Δt )2]－(3×2－22) ＝－Δt －(Δt )2，Δs Δt ＝－Δt －(Δt )2Δt＝－1－Δt ， li m Δt →0ΔsΔt ＝li m Δt →(－1－Δt )＝－1， 所以当t ＝2时，物体的瞬时速度为－1. 题型三 求在某点处的切线方程【例3】求抛物线y ＝2x 2＋4x 在点(3,30)处的切线方程． 【解析】Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx＝2Δx ＋16. ∴k ＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →(2Δx ＋16)＝16.∴在点(3,30)处的切线方程为：y －30＝16(x －3)即：16x －y －18＝0. 【方法归纳】求在某点处的切线方程(1)作差：Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． (2)作商：Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(3)取极限：k ＝lim Δx →0Δy Δx. (4)由点斜式写出切线方程．【跟踪训练3】求抛物线y ＝x 2＋3在点(2,7)处的切线方程． 【解析】Δy ＝[(2＋Δx )2＋3]－(22＋3)＝4Δx ＋(Δx )2 ∴ΔyΔx ＝4＋Δx ∴k ＝lim Δx →(4＋Δx )＝4. ∴在点(2,7)处的切线方程为：y －7＝4(x －2) 即：4x －y －1＝0.一、单选题1．函数()2f x x =，()2g x x =在[0，2]上的平均变化率分别记为1m ，2m ，则下列结论正确的是（ ）A ．12m m =B ．12m m >C ．21m m >D ．1m ，2m 的大小无法确定【答案】A 【分析】根据平均变化率的定义计算比较即可. 【解析】12220220m ⨯-⨯==-，22220220m -==-，故12m m =.故选：A.2．“天问一号”于2021年2月到达火星附近，实施火星捕获.2021年5月择机实施降轨，在距离火星表面100 m 时，“天问一号”进入悬停阶段，完成精避障和缓速下降后，着陆巡视器在缓冲机构的保护下，抵达火星表面，巡视器在9 min 内将速度从约20000 km ／h 降至0 km/h.若记与火星表面距离的平均变化率为v ，着陆过程中速度的平均变化率为a ，则（ ） A ．0.185m s v ≈/，210.288m s a ≈/ B ．0.185m s v ≈-/，210.288m s a ≈/ C ．0.185m s v ≈/，210.288m s a ≈-/ D ．0.185m s v ≈-/，210.288m s a ≈-/ 【答案】D 【解析】巡视器与火星表面的距离逐渐减小，所以01000.185m/s 960v -=≈-⨯. 巡视器在着陆过程中的速度逐渐减小，所以22000010000606010.288m/s 960a ⨯-⨯=≈-⨯. 故选：D.3．一物体的运动方程是23s t =+，则t 在[]2,2.1内的平均速度为（ ） A ．0.41 B ．4.1C ．0.3D ．3【答案】B 【分析】由平均速度的定义求解即可 【解析】2232132 4.12.12s v t ∆+⋅--===∆-，故选：B4．函数()221y f x x ==-在区间[]1,1x +∆上的平均变化率yx∆∆等于（ ）． A ．4 B ．42x +∆C ．()242x +∆D ．4x【答案】B 【分析】由给定条件求出函数增量y ∆，再根据平均变化率的意义列式化简即得. 【解析】因函数()221y f x x ==-，则()f x 在区间[]1,1x +∆上的函数增量y ∆有：()()()()()22112112142y f x f x x x ∆=+∆-+∆---=∆+∆=，于是有42yx x∆=+∆∆， 所以所求平均变化率yx∆∆等于42x +∆. 故选：B5．我们常用函数()y f x =的函数值的改变量与自变量的改变量的比值来表示平均变化率，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数值的改变量y ∆=（ ） A ．()0f x x +∆B ．()0f x x +∆C ．()0f x x ⋅∆D ．()()00f x x f x +∆-【答案】D 【分析】根据平均变化率的概念即可得出结果. 【解析】由题意知，当0x x =时，()0y f x =；当0x x x =+∆时，()0y f x x =+∆， 故()()00y f x x f x ∆=+∆-. 故选D.6．函数()y f x =，自变量x 由0x 改变到0x k x +∆（k 为常数）时，函数的改变量y ∆为（ ）． A ．()0f x k x +∆ B ．()0f x k x +∆ C ．()0f x k x ⋅∆ D ．()()00f x k x f x +∆-【答案】D 【分析】根据定义求解即可. 【解析】解：由变化率的关系，()()00y f x k x f x ∆=+∆-.故选：D ． 7．设()f x 为可导函数，且当0x ∆→时，()()1112f f x x--∆→-∆，则曲线()y f x =在点()() 1,1f 处的切线斜率为（ ） A ．2 B ．1- C ．1 D ．2-【答案】D 【分析】由导数的定义及导数的几何意义即可求解. 【解析】解：由导数的几何意义，点()() 1,1f 处的切线斜率为(1)f '， 因为0x ∆→时，()()1112f f x x--∆→-∆，所以()()()()11(1)liml 11222imx x f f x f f x xxf ∆→∆→--∆--∆='=-∆∆=，所以在点()() 1,1f 处的切线斜率为2-， 故选：D. 8．函数()12f x x=在2x =处的导数为（ ） A ．2 B ．12C ．14D ．18-【答案】D 【分析】利用导数的定义即可求出结果. 【解析】()()()()000011222222111lim lim lim lim 2428x x x x f x f x f x x x x x ∆→∆→∆→∆→-∆+∆-+∆⨯⎛⎫===-⋅=- ⎪∆∆∆+∆⎝⎭，所以函数()f x 在2x =处的导数为18-.故选：D.二、多选题9．某堆雪在融化过程中，其体积V （单位：3m ）与融化时间t （单位：h ）近似满足函数关系：()311010V t H t ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-（H 为常数），其图象如图所示，记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为v （单位：3m /h ），1t ，2t ，3t ，4t 时刻的瞬时融化速度分别为1v ，2v ，3v ，4v （单位：3m /h ），那么下列各式正确的是（ ）A ．1v v <B ．2v v >C ．30v v +>D ．40v v +<【答案】AD 【分析】平均融化速度表示()V t 的图象与坐标轴交点连线的斜率，再由瞬时变化率的概念判断即可. 【解析】平均融化速度为()()10001000V V v -=-，反映的是()V t 的图象与坐标轴交点连线的斜率，如图，观察可知1t ，2t 处瞬时速度（即切线的斜率）小于平均速度，3t ，4t 处瞬时速度及v 都小于0.故选：AD10．已知函数()y f x =，下列说法正确的是（ ） A ．()()00y f x x f x ∆=+∆-叫作函数值的增量 B ．()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆∆叫作函数在[]00,x x x +∆上的平均变化率 C ．()f x 在0x x =处的导数记为y ' D ．()f x 在0x x =处的导数记为()0f x ' 【答案】ABD 【分析】由函数值的增量的意义判断A ；由平均变化率和瞬时变化率的意义判断BCD. 【解析】A 中，()()00y f x x f x ∆=+∆-叫作函数值的改变量，即函数值的增量，A 正确；B 中，()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆∆称为函数()f x 在0x 到0x x +∆之间的平均变化率，B 正确； 由导数的定义知函数()f x 在0x x =处的导数记为()0f x '，故C 错误，D 正确. 故选：ABD11．某物体的运动路程s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系可用函数()21s t t t =++表示，则（ ）A ．物体在1s t =时的瞬时速度为0m/sB ．物体在0s t =时的瞬时速度为1m/sC ．瞬时速度为9m/s 的时刻是在4s t =时D ．物体从0到1的平均速度为2m/s【答案】BC 【分析】由平均速度与瞬时速度的定义求解即可 【解析】对于A ：()()()()()()2200011111111lim lim lim 33t t t t t s t s t t t∆→∆→∆→+∆++∆+-+++∆-==+∆=∆∆，即物体在1s t =时的瞬时速度为3m/s ，A 错误．对于B ：()()()()()2000000011lim lim lim 11t t t s t s t t t t t ∆→∆→∆→+∆-+∆++∆+-==+∆=∆∆， 即物体在0s t =时的瞬时速度为1m/s ，B 正确． 对于C ：设物体在0t 时刻的瞬时速度为9m/s ，又()()()000000limlim 21219t t s t t s t t t t t∆→∆→+∆-=++∆=+=∆，所以04t =，物体在4s t =时的瞬时速度为9m/s ，C 正确． 对于D ：()()()103m /s 10s s v -==-，D 错误．故选：BC第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．某厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时时原油温度（单位：℃）为()()3218243f x x x x =-+≤≤，那么原油温度的瞬时变化率的最小值为______.【答案】0 【分析】根据题意求出温度的瞬时变化率，进而求出它的最小值. 【解析】由题意可知温度的瞬间变化率为()()()()()323220111limlim88233x x f x x f x f x x x x x x x x x xx ∆→∆→+∆-⎡⎤==+∆-+∆+-+-=-⎢⎥∆⎣⎦'∆()()21124x x =--≤≤，因此当2x =时，原油温度的瞬时变化率取到最小值为()20f '=.故答案为：0.13．下面说法正确的是______（填序号）.①若()0f x '不存在，则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处没有切线； ②若曲线()y f x =在点()()00,x f x 处有切线，则()0f x '必存在；③若()0f x '不存在，则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线斜率不存在； ④若曲线()y f x =在点()()00,x f x 处没有切线，则()0f x '有可能存在. 【答案】③ 【分析】根据导数的几何意义，结合题意，对每个选项逐项判定，适当举出反例，即可求解.对于①中，由()0f x '不存在时，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处不一定没有切线，例如：函数()13f x x =，可得()2313f x x -'=，在0x =处的导数不存在，但曲线在该点处的切线方程为0y =，所以①不正确；对于②中，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处有切线，则()0f x '不一定存在，例如：函数()13f x x =在0x =处的切线方程为0y =，但()0f '不存在，所以②不正确；对于③中，若()0f x '不存在，根据曲线在某点处的导数的几何意义，可得曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线斜率不存在，所以③正确；对于④中，由()0f x '存在，则曲线()y f x =在点()()00,x f x 有切线为真命题，可得其逆否命题“曲线()y f x =在点()()00,x f x 处没有切线，则()0f x '不存在”为真命题，所以④错误. 故选：③14．物体做匀速运动，其运动方程是s vt =，则该物体在运动过程中的平均速度与任何时刻的瞬时速度的大小关系是______．【答案】相等【分析】由匀速运动易知平均速度和瞬时速度的定义求解即可.【解析】 因为平均速度为()()()0000s t t s t v t t vt s v t t t +∆-+∆-∆===∆∆∆， 瞬时速度为()()()00000000lim lim lim lim t t t t s t t s t v t t vt s v t v t t tt ∆→∆→∆→∆→+∆-+∆-∆∆====∆∆∆∆ 所以平均速度与任何时刻的瞬时速度任何时刻的瞬时速度相等．故答案为：相等四、解答题15．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是23s t t =-（位移：m ，时间：s ）．（1）求此物体的初速度；（2）求此物体在2t =时的瞬时速度；（3）求0t =到2t =时的平均速度．（1）3m/s（2）1m/s -（3）1m/s【分析】（1）根据题意，可知初速度即0t =时的瞬时速度，结合瞬时变化率的计算，即可求解； （2）根据题意，结合瞬时变化率的计算，即可求解；（3）根据题意，结合平均变化率的计算公式，即可求解.（1）运动物体的初速度即0t =时的瞬时速度，即()()()()2000003lim lim lim 3t t t s t s t t v t t t ∆→∆→∆→∆-∆-∆===-∆∆∆ 3(m /s)=，即物体的初速度为3m/s ．（2）根据题意，可知()()()()20022322324lim lim t t s t s t t v t t ∆→∆→+∆-+∆-+∆-⨯+==∆∆ ()()200lim lim 1t t t t t t∆→∆→-∆-∆==-∆-=∆1(m/s)-，即此物体在2t =时的瞬时速度为1m/s -． （3）()()206401(m/s)202s s v ---===-，即0t =到2t =时的平均速度为1m/s ． 16．已知某物体运动的位移m x 是时间s t 的函数，而且0.3t =时，0.38x =；0.6t =时， 5.06x =. （1）求这个物体在时间段[0.3,0.6]内的平均速度；（2）估计出0.5=t 时物体的位移.【答案】（1）15.6(m/s)（2）3.5m【分析】根据平均速度的定义即可求出结果，将x 在[0.30.6]，上的图象看成直线，根据点斜式方程写出直线方程，令0.5=t 计算即可.（1） 所求的平均速度为：()5.060.3815.6m /s 0.60.3-=- （2）将x 在[0.30.6]，上的图象看成直线，又直线过点()0.30.38，，斜率为15.6，则 x 与t 的关系可近似表示为： 0.3815.6(0.3)x t -=-，令0.5=t ，得 3.5x =， 故可估计0.5=t 时物体的位移为3.5m.。

1.1 变化率与导数1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念目标定位 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.自 主 预 习1.函数的变化率瞬2.函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx 称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0limx ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.即 时 自 测1.思考题(1)物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？当Δx ＝0.000 01时，ΔyΔx 等于多少？这个平均速度能描述物体的运动状态吗？提示 不能，如高台跳水运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)存在函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，易知h ⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＝h (0)，v －＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫6549－h （0）6549－0＝0，而运动员依然是运动状态.ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3＝－3.300 049，说明当时间间隔非常小的时候平均速度约等于一个常数，这个常数就是x ＝1这一时刻的速度. (2)导数或瞬时变化率反映函数变化的什么特征？提示 导数或瞬时变化率可以反映函数在一点处变化的快慢程度. 2.在平均变化率的定义中，自变量x 在x 0处的增量Δx ( ) A.大于零 B.小于零 C.等于零 D.不等于零答案 D3.函数y ＝x 2＋1在[1，1＋Δx ]上的平均变化率是( ) A.2B.2xC.2＋ΔxD.2＋(Δx )2解析 Δy Δx ＝（1＋Δx ）2＋1－（12＋1）Δx ＝2＋Δx .答案 C4.函数f (x )＝1在x ＝2处的导数等于________. 解析 f ′(2)＝2lim x →f （x ）－f （2）x －2＝2lim x → 1－1x －2＝0. 答案 0类型一 平均变化率【例1】 已知函数h (x )＝－4.9x 2＋6.5x ＋10.(1)计算从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为①2；②1；③0.1；④0.01；(2)根据(1)中的计算，当|Δx |越来越小时，函数h (x )在区间[1，1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解 (1)∵Δy ＝h (1＋Δx )－h (1)＝－4.9 (Δx )2－3.3Δx ， ∴ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3. ①当Δx ＝2时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－13.1；②当Δx ＝1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－8.2；③当Δx ＝0.1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－3.79；④当Δx ＝0.01时，ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3＝－3.349.(2)当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1，1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.规律方法 求平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1). (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1.【训练1】 求函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值.解 函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为 f （x 0＋Δx ）－f （x 0）（x 0＋Δx ）－x 0＝[3（x 0＋Δx ）2＋2]－（3x 20＋2）Δx＝6x 0·Δx ＋3（Δx ）2Δx＝6x 0＋3Δx .当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2，2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.类型二 物体运动的瞬时速度【例2】若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝⎩⎨⎧3t 2＋2 （t ≥3），29＋3（t －3）2（0≤t ＜3）.求：(1)物体在t ∈[3，5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0； (3)物体在t ＝1时的瞬时速度.解 (1)∵物体在t ∈[3，5]内的时间变化量为 Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3，5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3，5]上的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s).(2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度. ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为Δs Δt＝s （0＋Δt ）－s （0）Δt ＝29＋3[（0＋Δt ）－3]2－29－3（0－3）2Δt＝3Δt －18， ∴当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于－18， ∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为－18， 即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率. ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为Δs Δt＝ s （1＋Δt ）－s （1）Δt ＝29＋3[（1＋Δt ）－3]2－29－3（1－3）2Δt ＝3Δt －12.∴当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于－12，∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为－12.即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.规律方法 求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近”的方法得到的，其求解步骤如下：(1)由物体运动的位移s 与时间t 的函数关系式求出位移变化量Δs s (t 0＋Δt )－s (t 0)；(2)求时间t 0到t 0＋Δt 之间的平均速度v －＝Δs Δt； (3)求0limt ∆→ΔsΔt的值，即得t ＝t 0时的瞬时速度. 【训练2】 一质点按规律s (t )＝at 2＋1作直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值. 解 ∵Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1 ＝4a Δt ＋a (Δt )2，∴ΔsΔt＝4a ＋a Δt . 在t ＝2 s 时，瞬时速度为0limt ∆→ΔsΔt＝4a ，即4a ＝8，∴a ＝2.类型三 函数在某点处的导数(互动探究)【例3】 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数. [思路探究]探究点一 求函数在x ＝1处的导数的实质是什么？ 提示 其实质为函数在x ＝1处的瞬时变化率. 探究点二 当x ＝1时，Δy 等于什么？提示 Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1)＝3(Δx )2＋4Δx . 探究点三 计算0lim x ∆→Δy Δx 的值能不能将Δx ＝0直接代入ΔyΔx的化简式子中？ 提示 求出ΔyΔx 的表达式后，Δx 无限趋近于0就是令Δx ＝0，求出结果即可.解 Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1)＝3(Δx )2＋4Δx ，∵ΔyΔx＝3（Δx ）2＋4ΔxΔx ＝3Δx ＋4，∴y ′|x ＝1＝0limx ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→(3Δx ＋4)＝4.规律方法 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx； (3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim ΔyΔx.【训练3】 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数. 解 由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数 f ′(2)＝0lim x ∆→f （2＋Δx ）－f （2）Δx，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2) ＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝0lim x ∆→－（Δx ）2－ΔxΔx ＝0lim x ∆→(－Δx －1)＝－1.[课堂小结]利用导数定义求导数三步曲：(1)作差求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)作比求平均变化率Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ；(3)取极限得导数f ′(x 0)＝0lim x ∆→ΔyΔx，简记为一差，二比，三极限.1.自变量x 从x 0变到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A.在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B.在x 0处的变化率 C.在x 1处的变化量 D.在区间[x 0，x 1]上的导数解析 当自变量由x 0变化到x 1时，自变量的“增量”为x 1－x 0，对应的函数值的“增量”为f (x 1)－f (x 0)，比值f （x 1）－f （x 0）x 1－x 0为函数在区间[x 0，x 1]上的平均变化率.故选A. 答案 A2.函数f (x )在x 0处可导，则0lim h →f （x 0＋h ）－f （x 0）h( )A.与x 0、h 都有关B.仅与x 0有关，而与h 无关C.仅与h 有关，而与x 0无关D.与x 0、h 均无关答案 B3.如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度是________.解析 v －＝（3＋2.12）－（3＋22）0.1＝4.1.答案 4.14.如果一个质点由定点A 开始运动，在时间t 的位移函数为y ＝f (t )＝t 3＋3. (1)当t 1＝4，Δt ＝0.01时，求Δy 和比值Δy Δt； (2)求t 1＝4时的导数.解 (1)Δy ＝f (t 1＋Δt )－f (t 1)＝3t 21·Δt ＋3t 1·(Δt )2＋(Δt )3，故当t 1＝4，Δt ＝0.01时，Δy ＝0.481 201， ΔyΔt ＝48.120 1. (2) 0lim t ∆→Δy Δt ＝0lim t ∆→[3t 21＋3t 1·Δt ＋(Δt )2]＝3t 21＝48， 故函数y ＝t 3＋3在t 1＝4处的导数是48， 即y ′|t 1＝4＝48.基 础 过 关1.已知物体的位移公式s ＝s (t )，从t 0到t 0＋Δt 这段时间内，下列选项错误的是( )A.s ＝s (t )叫做物体的位移B.Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)叫做位移增量C.Δs Δt ＝s （t 0＋Δt ）－s （t 0）Δt 叫做物体在这一段时间内的平均速度D.ΔsΔt 一定与Δt 无关 解析 只有Δt →0时，ΔsΔt→定值才与Δt 无关，否则在[t 0，t 0＋Δt ]这段时间内与这段时间段长度Δt 有关. 答案 D2.如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A.1B.－1C.2D.－2解析Δy Δx ＝f （3）－f （1）3－1＝1－32＝－1. 答案 B3.如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2) (s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( ) A.－4.8 m/s B.－0.88 m/s C.0.88 m/sD.4.8 m/s解析 物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得. 答案 A4.已知函数y ＝2x ＋3，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝________. 解析 Δy ＝f (1.5)－f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21.5＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋3＝43－1＝13. 答案 135.一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是________，在[1，2]内的平均速度是________. 解析 因为Δs Δt ＝s （t 0＋Δt ）－s （t 0）Δt＝12a Δt ＋at 0， 所以0lim t ∆→ΔsΔt＝at 0. 又s (2)－s (1)＝12a ×22－12a ×12＝32a ，故在[1，2]内的平均速度v －＝32a 2－1＝32a . 答案 at 0 32a6.求函数y ＝x －1x 在x ＝1处的导数. 解 因为Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx ＋Δx 1＋Δx，所以ΔyΔx＝Δx ＋Δx 1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx，当Δx →0时，ΔyΔx →2，所以f ′(1)＝2，即函数y ＝x －1x 在x ＝1处的导数为2. 7.求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数. 解 Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ， ∴Δy Δx ＝2（Δx ）2＋16Δx Δx ＝2Δx ＋16. ∴y ′|x ＝3＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→ (2Δx ＋16)＝16. 8.若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值. 解 ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c ＝a (Δx )2＋2a Δx .∴f ′(1)＝0lim x ∆→ f （1＋Δx ）－f （1）Δx ＝0lim x ∆→ a （Δx ）2＋2a ΔxΔx＝0lim x ∆→ (a Δx ＋2a )＝2a ，即2a ＝2，∴a ＝1. 能 力 提 升9.设函数f (x )可导，则0lim x ∆→ f （1＋3Δx ）－f （1）3Δx等于( ) A.f ′(1) B.3f ′(1)C.13f ′(1)D.f ′(3) 解析 0lim x ∆→ f （1＋3Δx ）－f （1）3Δx＝f ′(1). 答案 A10.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是( )A.甲B.乙C.相同D.不确定解析 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)，但是，在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1（t 0）－W 1（t 0－Δt ）Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2（t 0）－W 2（t 0－Δt ）Δt ，所以，在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小.所以乙厂治污效果较好.答案 B11.过曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上两点P (1，2)和Q (1＋Δx ，2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝________，当Δx ＝0.001时，割线的斜率k ＝________. 解析 ∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2，∴Δy Δx＝2＋Δx ，∴割线斜率为2＋Δx ， 当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.1＝2.1.当Δx ＝0.001时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.001＝2.001.答案 2.1 2.00112.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f （1）f ′（0）的最小值为________. 解析 由导数的定义，得f ′(0)＝0lim x ∆→ f （Δx ）－f （0）Δx＝0lim x ∆→ a （Δx ）2＋b （Δx ）＋c －c Δx＝0lim x ∆→[a ·(Δx )＋b ]＝b ＞0. 又⎩⎨⎧Δ＝b 2－4ac ≤0，a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0. ∴f （1）f ′（0）＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2b b ＝2. 答案 213.蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T (t )＝120t ＋5＋15，其中T (t )为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min).(1)从t ＝0到t ＝10 min ，蜥蜴的体温下降了多少？(2)从t ＝0到t ＝10 min ，蜥蜴的体温平均变化率是多少？它代表什么实际意义？(3)求T ′(5)，并说明它的实际意义.解 (1)在t ＝0和t ＝10时，蜥蜴的体温分别为T (0)＝1200＋5＋15＝39，T (10)＝12010＋5＋15＝23，从t ＝0到t ＝10 min ，蜥蜴的体温下降了16 ℃. (2)平均变化率ΔT Δt＝T （10）－T （0）10＝－1610＝－1.6(℃). 它表示从t ＝0到t ＝10 min ，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃.(3)T ′(5)＝lim t y ∆→ 120（5＋Δt ）＋5＋15－1205＋5－15Δt＝－1.2， 它表示t ＝5 min 时蜥蜴体温下降的速度为1.2 ℃/min.探 究 创 新14.若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2，2＋Δx ](Δx ＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的范围.解 因为函数f (x )在[2，2＋Δx ]上的平均变化率为：Δy Δx ＝f （2＋Δx ）－f （2）Δx＝－（2＋Δx ）2＋（2＋Δx ）－（－4＋2）Δx＝－4Δx ＋Δx －（Δx ）2Δx＝－3－Δx . 所以由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2.又因为Δx ＞0，即Δx 的取值范围是(0，＋∞).。

变化率与导数（ 1）一、选择题lim1. 设函数 y=f（x）可导，则△x→0f ( 1+ 3△x)- f (1)等于（）3△xA. B. C. 1 f ′ (1) D. 以上都不对32. y = 2x + 1在( 1,2)内的平均变化率为 ( )A. 0B. 1C. 2D. 30 ）=2，则 lim ?x→0 f ( x0)- f ( x 0＋?x)3. 若 f' =（（x ? x ）A. - 1B. - 2C. - 1D. 12 24. 质点运动规律 s=t 2+3，则在时间（ 3，3+△t ）中，相应的平均速度是（）A. 6 +△ tB. 6 +△ t + 9△tC. 3 +△ tD. 9 +△ t5.已知函数 f （x） =2x2-4 的图象上一点（ 1，-2 ）及邻近一点（ 1+△x，-2+ △y），则△y 等于（）△xA. 4B. 4 △xC. 4 + 2 △xD. 4 + 2( △x) 26.下列式子中与f′(x0)相等的是()( 1) lim f ( x0)- f ( x0- 2Δx)2Δx ；Δx→0 ( 2) lim f ( x0+Δx)- f ( x0 - Δx)Δx；Δx→0( 3) lim f ( x0+ 2Δx)- f ( x0+Δx)ΔxΔx→0 ( 4) lim f ( x0+Δx)- f ( x0 - 2Δx)Δx．Δx→0A. (1)( 2)B. ( 1)( 3)C. (2)( 3)D. ( 1)( 2)( 3)( 4)7.函数 f （x）=x，g（x）=x2，h（x）=x3在[0 ， 1] 的平均变化率分别记为 m1，m2，m3，则下面结论正确的是（）A. m = m = mB.m > m > mC.m > m > m 123 123 213D. m< m2 < m318. 设函数f(x) 在x= 1处可导，则lim f ( 1+ Δx)- f ( 1) ? 等于Δx→0- 2Δx （）A. B. C. D.9.已知曲线f(x) = x -1x上一点A( 2,32) ,则lim?x→0 f ( 2+? x)- f ( 2) （）? x5 3A. 4B. 4C. 2D. 4f ( 3+ Δxf(3))-= （10. 已知f(x) = x1，则 lin ?Δx ）Δx→0A. - 91B. 3C. 91D. - 3二、填空题11.设函数f(x) 在x= 1处可导，且f′(1) = 2，则当无限趋近于 0 时，等于 _______．12.若某物体运动规律是 S=t3-6t 2+5（t ＞0），则在 t=______时的瞬时速度为 0．三、解答题已知某物体的位移 S（米）与时间 t （秒）的关系是 S（t ）=3t-t 2．（Ⅰ）求 t=0 秒到 t=2 秒的平均速度；（Ⅱ）求此物体在 t=2 秒的瞬时速度．。

5.1.1~5.1.2 变化率问题和导数的概念重点练一、单选题1．设()f x 为可导函数,且(2)f '=12,则0(2)(2)lim h f h f h h →--+的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．12 D ．12- 2．函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是（ ）A ．k 1＜k 2B ．k 1＞k 2C ．k 1＝k 2D ．无法确定3．若0()2f x '=-，则0001()()2lim k f x k f x k→--等于（ ） A ．－2B ．－1C ．1D ．2 4．已知函数()22f x x x =+，则()f x 从1到1+x ∆的平均变化率为（ ）A ．()243x x ∆+∆+B ．()24x x ∆+∆C ．+4x ∆D ．4二、填空题5．在1x =附近,取0.3x ∆=,在四个函数①y x =；②2y x ；③3y x =；④1y x =中,平均变化率最大的是__________.6．函数()f x =1x =处的导数为_________．三、解答题7．已知以初速度()000v v >竖直上抛的物体， s t 时的高度，s （单位：m ）与t 的函数关系为2012s v t gt =-，求物体在时刻0t 处的瞬时速度．参考答案1．【答案】B【解析】因为()()()()()002lim lim 2222222h h f h f h f h f h f h h →→--+--+=-=-'-1212=-⨯=-, 故选B2．【答案】D【解析】∵k 1＝0000()()f x x f x x x x +-+-＝2x 0＋Δx ， k 2＝0000()()()f x f x x x x x ----＝2x 0－Δx ， 又Δx 可正可负且不为零，∴k 1，k 2的大小关系不确定．故选D.3．【答案】C【解析】由导数的定义可知：()()()()00000100212'lim lim 12k f x k f x f x x f x f x x k ∆→-→⎛⎫-- ⎪+∆-⎝⎭==∆-， 则()00012k f x k f x lim k →⎛⎫-- ⎪⎝⎭()()0001021112lim '11222k f x k f x f x k -→⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-⨯=-=-. 故选C .4．【答案】C【解析】函数y =x 2+2x 在区间[1，1+△x ]上的平均变化率为：()()4211212+∆=∆--∆++∆+x xx x故选C ．5．【答案】③【解析】根据平均变化率的计算公式，可得00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆， 所以在1x =附近取0.3x ∆=，则平均变化率的公式为(1.3)(1)0.3y f f x ∆-=∆， 则要比较平均变化率的大小，只需比较(1.3)(1)y f f ∆=-的大小，下面逐项判定：①中，函数y x =，则(1.3)(1)0.3y f f ∆=-=； ②中，函数2y x ，则(1.3)(1)0.69y f f ∆=-=；③中，函数3y x =，则(1.3)(1) 1.197y f f ∆=-=； ④中，函数1y x=中, 则(1.3)(1)0.23y f f ∆=-≈， 所以，平均变化率最大的是③．故填③6．【答案】12【解析】()()()0111lim x f x f f x ∆→'+∆-=∆0111lim lim x x x∆→∆→==∆1lim lim 2x x ∆→∆→===. 故填12 7．【答案】00v gt -【解析】∵()()()()22200000000111 222s v t t g t t v t gt v gt t g t ⎛⎫∆=+∆-+∆--=-∆-∆ ⎪⎝⎭， ∴0012s v gt g t t ∆=--∆∆． 当t ∆趋于0时，s t ∆∆趋于00v gt -， 故物体在时刻0t 处的瞬时速度为00v gt -．。