高中数学选修1-1《变化率问题》教案

3.1变化率与导数3.1.1变化率问题教学目标：1.感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体会数学的博大精深以及学习数学的意义；2.理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.教学重点：平均变化率的实际意义与数学意义教学难点：对生活现象作出数学解释教学过程：Ⅰ.问题情境,预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P72～P74的内容，回答下列问题．(1)气球膨胀率①当空气容量V从0增加到1L时，气球的平均膨胀率是多少？当V从0增加到1时,气球半径增加了)rr≈-)1(dm)0(62.0(当V从1增加到2时,气球半径增加了)r-r≈)2(dm(016)1((2) 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：米)与起跳后的时间t （单位：思考：(1) 运动员在这段时间里是静止的吗?(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?平均变化率的定义：数 )(x f y =从1x 到2x 的平均变化率.若设12x x x -=∆,可把x ∆看作是相对于1x 的一个“增量”，可用x x ∆+1代替2x ，类似地12y y y -=∆。

平均变化率表示为： 平均变化率的几何意义：什么?即时训练已知函数53)(2+=x x f ,求:(1)从0.1到0.2的平均变化率.(2)在区间[]x x x ∆+00,上的平均变化率.求平均变化率的方法技巧：(学生阐述，教师归纳总结)1.求函数平均变化率的三个步骤第一步,求自变量的增量12x x x -=∆.第二步,求函数值的增量12y y y -=∆.变式训练：质点运动规律32+=t s ，则在()t ∆+3,3中的平均速度为（）当堂训练达标1.求 2x y =在 0x x =附近的平均速度2.过曲线 3)(x x f =上两点P （1，1）和Q(1+x ∆,1+y ∆)作曲线的割线，求出当x ∆=0.1时割线的斜率.3.已知函数x x x f +-=2)(的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x ∆,-2+y ∆), 则y ∆/x ∆=( )A.3B. 3x ∆-(x ∆)2C.3-(x ∆)2D. 3-x ∆小结：1. 2.求函数的平均变化率的步骤(1)求函数的增量)()(12x f x f y -=∆。

《变化率问题》教学设计教材分析：导数与函数、不等式等内容有着密切的联系，是解决最值问题强有力的工具。

本节是导数的起始课，也是后续学习瞬时变化率以及导数的基础。

学情分析：学生对平均值的计算方法是不陌生的，这是这节课的知识基础。

另外，前面也已经学习过了直线斜率的有关知识，也为本节中理解平均变化率提供了知识储备。

但从实际问题抽象出数学模型，对学生来说是有些困难的。

教学目标：（1）初步了解微积分的发展，感受数学家的聪明智慧。

（2）让学生经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。

（3）理解平均变化率的概念，会求函数在定区间和某点附近的平均变化率。

（4）结合平均变化率的几何意义，让学生体会数形结合的思想。

教学重点：1．由生活中的变化率问题归纳得出平均变化率的概念；2．理解平均变化率的概念，体会平均变化率的几何意义，会计算函数的平均变化率；教学难点：数学建模思想的应用教学方法：问答法、自主探究法教学过程：1.整体介绍师：我们用函数来描述物体运动变化的现象，随着对函数的进一步研究，产生了微积分。

微积分是由两位伟大的科学家牛顿、莱布尼茨共同创立的，可以说啊，微积分的创立是数学史上对的里程碑，被誉为“人类精神的最高胜利”。

微积分的创立，与四类问题的处理直接相关：①已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度；已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程。

②求曲线的切线。

③求已知函数的最大值与最小值。

④求长度、面积、体积、重心等。

在本章中，我们将要学习的导数是微积分的核心概念之一，也是研究解决问题最一般、最有效的工具。

今天，就让我们从变化率问题开始导数的学习吧。

【简要介绍微积分创立的背景，加深学生对微积分的认识，顺利引出本节课的课题】2．引例初探教师ppt 展示姚明的身高变化曲线图，请同学们读图并思考：在哪个年龄段，他的身高变化是最快的呢？【引导学生从形的陡和缓做直观判断，学生不难看出在13-16岁身高变化最快】师：华罗庚曾经说过：数缺形时少直观，形缺数时难入微。

高中数学的变化率问题教案教学目标：1. 理解变化率的定义和概念；2. 掌握求解变化率的方法；3. 能够应用变化率解决实际问题。

教学重点和难点：1. 变化率的概念和定义；2. 求解变化率的方法；3. 将变化率应用于实际问题中。

教学准备：1. 教材：高中数学教材中有关变化率的知识点；2. 教具：黑板、彩色粉笔、教案复印件；3. 知识点整理：准备变化率的定义、求解方法和相关例题。

教学流程：一、引入教师通过一个简单的生活场景引入变化率的概念，让学生了解变化率与日常生活的联系。

二、概念和定义1. 教师讲解变化率的定义和概念，引导学生理解变化率表示的是某一情况随时间、空间或其他变化而发生的程度。

2. 教师让学生通过实例理解变化率的计算方法，如函数的导数表示函数在某一点的变化率。

三、求解变化率的方法1. 教师让学生通过实例计算函数的导数，并解释导数的物理意义；2. 教师讲解变化率计算的一般步骤，如根据已知量列方程、求导、代入数值等。

四、实际问题应用1. 教师让学生通过应用例题，实践变化率的计算方法；2. 教师引导学生分析实际问题，找出关键信息，运用变化率解决问题。

五、课堂练习教师设计一些练习题，让学生在课堂上进行练习，巩固所学知识点。

六、总结教师对本节课所学内容进行总结，强调变化率的重要性和应用。

七、作业布置教师布置相关作业，让学生巩固所学内容。

教学反思：1. 教师要注意引导学生提高数学思维，培养解决问题的能力；2. 教师要根据学生的表现及时调整教学方法，确保教学效果。

（备注：以上教案仅供参考，具体教学过程根据实际情况进行调整和改进）。

3.1 变化率与导数3.1.1 变化率问题3.1.2 导数的概念1.理解函数在某点附近的平均变化率.(重点)2.了解导数的概念并会求函数在某点处的导数.(难点)3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系.(易错点)[基础·初探]教材整理1 变化率问题阅读教材P72～P74“思考”部分，完成下列问题.函数的变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：ΔyΔx＝f x2－f x1x2－x1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比.(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)Δx表示x2－x1是相对于x1的一个增量，Δx可以为零.( )(2)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可负也可以为零.( )(3)ΔyΔx表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率.( )【答案】(1)×(2)√(3)√教材整理2 导数的概念阅读教材P74导数的概念～P75例1以上部分，完成下列问题.1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率(1)定义式：lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx .(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值.(3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢. 2.函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx .判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值与Δx 值的正、负无关.( ) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量.( ) (3)在导数的定义中，Δx ，Δy 都不可能为零.( ) (4)函数f (x )＝x 在x ＝0处的瞬时变化率为0.( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)×[小组合作型]平均变化率(1)函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为______，当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值为________.(2)已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图象上的一点A (－1，－2)及临近一点B (－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx＝________.【自主解答】 (1)函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为f x0＋Δx －f x 0x 0＋Δx －x 0＝x 0＋Δx 2＋2]－x 20＋Δx＝6x 0·Δx ＋Δx 2Δx＝6x 0＋3Δx .当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.(2)∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－[－(－1)2＋(－1)]＝－(Δx)2＋3Δx，∴ΔyΔx＝－Δx2＋3ΔxΔx＝－Δx＋3.【答案】(1)6x0＋3Δx12.3 (2)－Δx＋3求平均变化率的主要步骤1.计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1).2.计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.3.得平均变化率ΔyΔx＝f x2－f x1x2－x1.[再练一题]1.求函数f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为13，在哪一点附近平均变化率最大？【导学号：97792034】【解】在x＝1附近的平均变化率为：k 1＝f＋Δx－fΔx＝＋Δx2－1Δx＝2＋Δx；在x＝2附近的平均变化率为：k 2＝f＋Δx－fΔx＝＋Δx2－22Δx＝4＋Δx；在x＝3附近的平均变化率为：k 3＝f＋Δx－fΔx＝＋Δx2－32Δx＝6＋Δx.若Δx＝1 3，则k1＝2＋13＝73，k2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k1＜k2＜k3，故在x＝3附近的平均变化率最大.若一物体的运动方程为s ＝⎩⎨＋t －2，0≤3t 2＋2，t ≥3(路程单位：m ，时间单位：s).求：(1)物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 s 时的瞬时速度. 【精彩点拨】根据问题选择对应的函数解析式→根据平均速度和瞬时速度的概念求解 【自主解答】 (1)因为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48(m)，Δt ＝2 s ，所以物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s).(2)因为Δs ＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3×(1－3)2＝[3(Δt )2－12Δt ](m)，所以Δs Δt ＝Δt 2－12Δt Δt＝(3Δt －12)(m/s)，则物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为lim Δt →0 ΔsΔt ＝lim Δt →0(3Δt －12)＝－12(m/s).求物体瞬时速度的步骤1.设非匀速直线运动的规律s ＝s (t ).2.求时间改变量Δt 和位置改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0).3.求平均速率v ＝ΔsΔt.4.计算瞬时速率：当Δt →0时，ΔsΔt→v (常数).[再练一题]2.质点M 按规律s ＝2t 2＋3作直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s).求质点M 在t ＝2时的瞬时速度以及在[1,3]上的平均速度.【解】 v ＝lim Δt →0s ＋Δt －sΔt＝lim Δt →0＋Δt 2－2×22Δt＝lim Δt →0(2Δt ＋8)＝8(cm/s)，v ＝s 3－s 13－1＝2×32＋3－2×12＋32＝8(cm/s).[探究共研型]探究导数或瞬时变化率反映函数变化的什么特征？【提示】导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度.(1)求函数y＝x在x＝1处的导数；(2)求函数y＝x2＋ax＋b在x处(a，b为常数)的导数.【精彩点拨】本题求函数的导数，可以按照“求导数的三步曲”来求解. 【自主解答】(1)Δy＝1＋Δx－1，Δy Δx ＝1＋Δx－1Δx＝11＋Δx＋1，lim Δx→011＋Δx＋1＝12，∴y′|x＝1＝1 2 .(2)Δy＝[(x＋Δx)2＋a(x＋Δx)＋b]－(x2＋ax＋b)＝2x·Δx＋(Δx)2＋a·Δx＝(2x＋a)·Δx＋(Δx)2，Δy Δx ＝x＋aΔx＋Δx2Δx＝(2x＋a)＋Δx，lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2x＋a＋Δx)＝2x＋a，∴f′(x)＝2x＋a.1.求函数f(x)在某点处导数的步骤与求瞬时变化率的步骤相同，简称：一差、二比、三极限.2.利用定义求函数y＝f(x)在点x0处的导数的两个注意点：(1)在求平均变化率ΔyΔx时，要注意对ΔyΔx的变形与约分，变形不彻底可能导致limΔx→0ΔyΔx不存在；(2)当对ΔyΔx取极限时，一定要把ΔyΔx变形到当Δx→0时，分母是一个非零常数的形式.[再练一题]3.求函数y＝x－1x在x＝1处的导数.【导学号：97792035】【解】∵Δy＝(1＋Δx)－11＋Δx－⎝⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx＋Δx1＋Δx，∴ΔyΔx＝Δx＋Δx1＋ΔxΔx＝1＋11＋Δx.当Δx→0时，ΔyΔx→2，∴f′(1)＝2，即函数y＝x－1x在x＝1处的导数为2.1.已知函数y＝f(x)＝x2＋1，当x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )A.0.40B.0.41C.0.43D.0.44【解析】∵x＝2，Δx＝0.1，∴Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2.1)－f(2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41.【答案】 B2.设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )A.f′(x)＝aB.f′(x)＝bC.f′(x0)＝aD.f′(x0)＝b【解析】ΔyΔx＝f x＋Δx－f x0Δx＝a＋b·Δx，f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(a＋b·Δx)＝a.【答案】 C3.一质点按规律s(t)＝2t2运动，则在t＝2时的瞬时速度为__________. 【解析】s(2＋Δt)－s(2)＝2(2＋Δt)2－2×22＝2(Δt)2＋8Δt.∴limΔt→0s＋Δt－sΔt＝limΔt→0Δt2＋8ΔtΔt＝limΔt→0(2Δt＋8)＝8.【答案】84.设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.【解析】f′(1)＝limΔx→0f＋Δx－fΔx＝limΔx→0a＋Δx＋4－a＋Δx＝a，又∵f′(1)＝2，∴a＝2.【答案】 25.求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数.【解】Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝2(Δx)2＋16Δx，∴ΔyΔx＝Δx2＋16ΔxΔx＝2Δx＋16.y′|x＝3＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2Δx＋16)＝16.。

人教版选修1-1第三章导数及其应用P72—74t (d)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)C (34, 33.4)T (℃)210教材分析本节课是导数的起始课，教材从变化率问题开始，引入平均变化率的概念，并用平均变化率探求瞬时变化率，然后，从数学上给予变化率在数量上的精确描述，即导数。

这样处理符合学生的认知规律，使学生的导数学习有了生长点，因此函数平均变化率教学的成败，直接决定导数概念的学习与理解。

二、教学目标分析1、知识与技能：理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景。

2、过程与方法：感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程。

3、情感态度与价值观：体会平均变化率的思想及内涵，使学生逐渐掌握数学研究的基本思考方式和方法，培养学生互相合作的风格以及勇于探究、积极思考的学习精神。

三、重点与难点分析:根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下：重点：平均变化率的实际意义和数学意义难点：平均变化率概念的理解和运用四、学情分析1、有利因素：高二学生个性活泼、思维活跃、积极性高，已具有对数学问题进行合理探究的意志与能力。

2、不利因素：学生两极分化开始形成，学生个体差异比较明显。

五、教法学法根据对教材、重难点、目标及学生情况的分析，本着教法为学法服务的宗旨，确定以下教法、学法：探究发现式教学法、类比学习法，并利用多媒体辅助教学。

遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则。

依据本节为概念学习的特点，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。

六、教学过程设计（一）创设情景、激发热情[情境1]：法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治了赛场。

数学选修《变化率与导数》高中教案数学选修《变化率与导数》高中教案数学学科担负着培养运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力以及运用所学知识分析问题、解决问题的能力的重任。

它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。

下面是本文库整理的有关数学选修《变化率与导数》高中教案。

高中数学选修1-1《变化率与导数》教案1教学准备1. 教学目标（1）理解平均变化率的概念.（2）了解瞬时速度、瞬时变化率、的概念.（3）理解导数的概念（4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率.2. 教学重点/难点教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成和理解教学难点：会求简单函数y=f（x）在x=x0处的导数3. 教学用具多媒体、板书4. 标签教学过程一、创设情景、引入课题【师】十七世纪，在欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。

【板演/PPT】【师】人们发现在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：米）与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h（t）=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态【板演/PPT】让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。

【设计意图】自然进入课题内容。

二、新知探究[1]变化率问题【合作探究】探究1 气球膨胀率【师】很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢气球的体积V（单位:L）与半径r（单位:dm）之间的函数关系是如果将半径r表示为体积V的函数，那么【板演/PPT】【活动】【分析】当V从0增加到1时，气球半径增加了气球的平均膨胀率为（1）当V从1增加到2时，气球半径增加了气球的平均膨胀率为0.62>0.16可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了.【思考】当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少解析：探究2 高台跳水【师】在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：米）与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h（t）=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态（请计算）【板演/PPT】【生】学生举手回答【活动】学生觉得问题有价值，具有挑战性，迫切想知道解决问题的方法。

3.1.1 变化率问题内容和内容解析：变化率是建立数学重要概念——导数的基石，对理解导数概念及其几何意义有着重要作用。

新课标对此有明确阐述：通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵。

变化率是一个重要的过渡性概念，是“进军”导数的必经之路。

对变化率概念意义的建构直接影响导数概念的学习。

目标和目标解析：1、通过微积分发展史的认识，了解微积分在数学发展中的作用，感受数学家的精神与智慧；2、通过实例，理解平均变化率及其几何意义，初步感受以直代曲的思想；能计算函数的平均变化率；3、通过实例，培养学生将实际问题抽象成数学问题的能力。

教学问题诊断分析：微积分概念的产生、形成、建立、完善经历了一个漫长的过程，在这个过程中，极限思想的形成到数学化经过了无数数学家的努力。

两千年的形成的一个知识，学生需要在十几个课时就要接受，他们最大的困难也在对极限思想的理解。

平均变化率是理解瞬时变化率的基础，虽然平均变化率的定义很简单，运用也很简单，但是理解以直代曲的意识，极限的思想是这节课要给建立的基本意识。

另外如何用平均变化率解决实际问题，关键在于能不能把实际问题转化为数学问题，这也是学生遇到的难点。

例如温度突降，突增；吹气球时为什么越到后面膨胀越来越慢。

学生需要把生活常识与数学联系起来，并解决它，是难点。

本节课存在大量的计算，对于文科生，公式多了，计算量大了，都对他们是考验。

这也是这节课面临一个难点。

教学支持条件分析：学情分析：作为文科生，数学是他们的拦路虎。

部分文科生就是因为数学不好才选择文科，我现在班上学生就是这样的情况。

班级优势：我班一共只有31名学生，我会在上课期间用大量的时间巡视他们的书写过程，并在课堂及时个别辅导。

技术手段：本节课需要动态演示，我利用了几何画板；并且利用投影将学生书写当面批改。

教学过程设计：一、启中入在物理上，我们会遇到这样的问题：1、如图1，从图象我们可以得知：物体是匀速运动，物体在不同时刻的速度都是一样的。

高中数学变化率问题教案一、教学内容本节课主要介绍数学中的变化率问题，包括函数的导数和微分的概念，以及如何利用导数和微分解决实际问题中的变化率问题。

二、教学目标1. 了解导数和微分的定义和性质；2. 掌握求函数导数和微分的方法；3. 能够应用导数和微分解决实际问题中的变化率问题。

三、教学重点1. 函数导数和微分的计算方法；2. 如何应用导数和微分解决实际问题中的变化率问题。

四、教学难点1. 理解函数的导数和微分的物理意义；2. 能够灵活运用导数和微分解决实际问题中的变化率问题。

五、教学过程1. 导入：通过一个生活中的例子引入变化率的概念，让学生了解变化率的重要性；2. 讲解：介绍函数的导数和微分的定义和性质，以及其计算方法；3. 练习：给学生几个简单的函数求导数和微分的练习题，让他们掌握计算方法；4. 拓展：介绍如何应用导数和微分解决实际问题中的变化率问题，例如速度、加速度等；5. 实践：让学生做一些实际问题的应用练习，培养他们解决实际问题的能力；6. 总结：通过总结本节课的内容，让学生对函数的导数和微分有一个清晰的认识。

六、教学资源1. 课件：包括导数和微分的定义、性质和计算方法；2. 教材：提供相关的例题和练习题；3. 实例：准备一些生活中的例子，引发学生思考。

七、教学评估1. 课堂练习：通过课堂上的练习题检测学生对导数和微分的掌握情况；2. 作业：布置相关的作业，考察学生对实际问题的应用能力；3. 讨论：组织学生进行小组讨论，检查其解题思路和方法。

八、课后作业1. 完成教师布置的练习题；2. 尝试解决一些实际问题，应用导数和微分计算变化率。

注：以上内容仅为参考，具体教学过程和内容可根据实际情况进行调整。

高中数学选修1,1《变化率与导数》教案高中数学选修1-1《变化率与导数》教案【一】一、内容和内容解析本节内容选自课标实验教材人教A版，是导数的起始课，主要内容有变化率问题和导数的概念。

导数是微积分中的核心概念，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。

在本章的学习中，学生将学习导数的有关知识，体会其中蕴含的思想方法，感受其在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。

大纲教材中导数概念学习的起点是极限，这种建立概念的方式具有严密的逻辑性和系统性，但学生很难理解极限的形式化定义，因此也影响了对导数本质理解。

课标教材则不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是通过列表计算、直观地把握函数变化趋势(蕴涵着极限的描述性定义)，这种直观形象的方法中蕴含了逼近的思想，这样定义导数的优点是：1.使学生将更多精力放在导数本质的理解上;2.学生对逼近思想有了丰富的直观基础和一定的理解，有利于在大学的初级阶段学习严格的极限定义.基于上述分析，本节课的教学重点是：丰富学生的感性经验，运用逼近的思想方法引导学生探索理解导数的思想及内涵。

二、目标和目标解析1.通过分析实例，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵;2.通过动手计算培养学生观察、分析、比较和抽象概括的能力，体会逼近的思想方法;3.经历从生活中的变化率问题抽象概括出平均变化率的过程，体会数学知识来源于生活，又服务于生活。

通过概念的形成过程体会从特殊到一般的数学思想方法。

三、教学问题诊断分析1.吹气球是很多人具有的生活经验，运动速度是学生非常熟悉的物理知识，但是如何从具体实例中抽象出共同的数学问题的本质是本节课教学的关键之一。

对于吹气球问题要用函数的观点分析变化过程中的自变量和函数值，自然地引导学生建立半径r关于体积V的函数关系式;在吹气过程中要注意观察或者想象，并把实际操作转化为相应的数学语言，比如当吹入差不多大小相同的一口气时，是指气球的体积的增量相同等。

3.1.3 变化率与导数(第三课时)一、教学目标 1.核心素养:通过了解导数的几何意义，培养学生的数学建模能力. 2.学习目标（1）理解曲线切线的概念.（2）通过函数图像直观理解导数的几何意义. （3）会用导数的几何意义解题. 3.学习重点曲线切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义. 4.学习难点 导数的几何意义. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 任务1阅读教材P76—P78，思考：什么是函数图像的切线？平均变化率与割线斜率有什么关系？导数有怎样的几何意义？ 2.预习自测1.若曲线()y h x =在点P (a ，()h a )处切线方程为2++10x y =，则（ ） A.'()0h a < B.'()0h a > C.'()0h a = D.'()h a )的符号不定 解：A2.设0'()0f x =，则曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线（ ）A.不存在B.与x 轴垂直C.与x 轴平行D.与x 轴平行或重合 解：D3.已知函数()y f x =在区间[0,3]上图像如图所示，记1k ='(1)f ，2k ='(2)f ，3k ='(3)f ，则123,,k k k 之间的大小关系为（ ）A.321k k k >>B.123k k k >>C.213k k k >>D.132k k k >> 解：B（二）课堂设计 1.知识回顾（1）函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率为2121y y y x x x -∆=∆-. （2）函数()y f x =在0x x =处的导数是:0000()()lim limx x f x x f x yxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆. （3）两点11(,)x y ,22(,)x y 连线的斜率2121y y k x x -=-. 2.问题探究问题探究一 曲线的切线是指什么 ●活动一 分析实例如下图，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？我们发现，当点n P 沿着曲线无限接近点P 即0x ∆→时，割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.问题探究二 导数有怎样的几何意义？重点、难点知识★▲ 想一想：（1）割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ （2）切线PT 的斜率k 为多少？ 易知割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ，即0000()()lim()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆说明：（1）当0x ∆→时，割线PQ 的斜率，称为曲线在点P 处的切线的斜率.所以切线斜率的本质：函数在0x x =处的导数. （2）曲线在某点处的切线: ①与该点的位置有关；②要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限，则在此点有切线，且切线是唯一的；如不存在，则在此点处无切线；③曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多个. 函数()y f x =在0x x =处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率， 即0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆.问题探究三 如何求切线在某点处的切线方程？ ●活动一 初步运用导数几何意义 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出切点P 的坐标；②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.例1.设曲线2y ax =在点(1，a )处的切线与直线260x y --=平行，则a ＝（ ） A.1 B.12 C.12- D.－1 【知识点：导数的几何意义】详解：222(1)1()2y a x a a x a x ∆=+∆-=∆+∆22ya x a a x∆=∆+=∆,所以1|2x y a ==,所以22a =,即1a =. ●活动二 结合实例，深化运用 例2.在曲线2y x =上切线倾斜角为4π的点是（ ） A.(0，0) B.(2，4) C.11(,)416 D.11(,)24【知识点：导数的几何意义】详解：依题，函数在某点处的导数为1，设切点坐标为200(,)x x .2220(1)1()2y a x a x x x ∆=+∆-=∆+∆,02yx x x∆=∆+∆ 所以00|2x x y x ==,依题02=1x ，所以01=2x ，切点坐标为11(,)24，选D.3.课堂总结 【知识梳理】（1）切线斜率的本质：函数在0x x =处的导数. （2）求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出切点P 的坐标；②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程. 【重难点突破】直线与曲线相切与直线与曲线只有一个交点不等价. 4.随堂检测 1.曲线9y x=在点(3,3)处的切线倾斜角α等于（ ） A.45° B.60° C.135° D.120° 【知识点：导数的几何意义】 解：C2.求曲线2()1y f x x ==+在点(1,2)P 处的切线方程. 【知识点：导数的几何意义】 解：2y x = 详解：0(1)(1)'(1)lim2x f x f k f x∆→+∆-===∆，∴切线方程为2y x =.3.下图是函数()y f x =的图象，请回答下面的问题：请指出函数的单调区间，并用导数的几何意义说明. 【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】 解：增区间：[-21][35]，，， 切线斜率为正，导数大于0减区间：[-5-2][13]，，， 切线斜率为负，导数小于0.4.已知曲线22y x =上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程. 【知识点：导数的几何意义】解：'(1)4k f ==，∴所求直线方程为：4-2y x =. （三）课后作业 基础型 自主突破1.函数()y f x =在0x x =处的导数()0f x '的几何意义是（ ） A.在点0x 处的斜率B.在点()()00,x f x 处的切线与x 轴所成夹角的正切值C.曲线()y f x =在点()()00,x f x 处切线的斜率D.点()()00,x f x 与点()0,0连线的斜率 【知识点：导数的几何意义】 解：C2.若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程是（ ） A.430x y --= B.450x y +-= C.430x y -+= D.430x y ++= 【知识点：导数的几何意义】 解：A3.曲线2122y x =-在点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处切线的倾斜角是（ ）A.1B.4πC.54π D.4π- 【知识点：导数的几何意义】 解：B能力型 师生共研4.如图，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是8y x =-+，则(5)'(5)f f +＝ .【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】 解：25.曲线3231y x x =-+在点()1,1-处的切线方程是（ ）A.34y x =-B.32y x =-+C.43y x =-+D.45y x =- 【知识点：导数的几何意义】 解：B6.曲线221y x =+在()1,3P -处的切线方程是（ ）A.41y x =--B.47y x =--C.41y x =-D.47y x =- 【知识点：导数的几何意义】 解：A探究型 多维突破7.已知曲线C ：3y x =在点(1,1)P 处的切线为直线l ，问：l 和曲线C 有几个交点？ 求出交点坐标.【知识点：导数的几何意义】解：2'3,y x =切线斜率3k =,∴切线方程l 为32y x =-.联立曲线求解，有2个交点，分别为11-2-8（，），（，）. （四）自助餐1.若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则（ ） A.1,1a b == B.1,1a b =-= C.1,1a b ==- D.1,1a b =-=- 【知识点：导数的几何意义】解：A2.过点（－1，0）作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为( ) A.220x y ++= B.330x y -+= C.10x y ++= D.10x y -+= 【知识点：导数的几何意义】 解：D3.曲线313y x x =+在点4(1,)3处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） A.19 B.29 C.13 D.23【知识点：导数的几何意义】 解：A4.已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）A.1B.2C.3D.4 【知识点：导数的几何意义】 解：A5.曲线32242y x x x =--+在点(1，一3)处的切线方程是___________. 【知识点：导数的几何意义】 解：5+2y x =-6.设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A.2 B.12 C.12- D.2-【知识点：导数的几何意义】 解：B7.设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（ ）A.112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B.[]10-，C.[]01，D.112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【知识点：导数的几何意义】解：A ∵0,tan [0,1]4k παα≤≤∴=∈ ，'22[0,1]y x ∴=+∈, ∴1[1,]2x ∈--8.若曲线12y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a =（ ）A.64B.32C.16D.8 【知识点：导数的几何意义】 解：A9.若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 等于（ ）A.1-或25-64B.1-或214C.74-或25-64D.74-或7【知识点：导数的几何意义】解：A 设切线方程为(1)y k x =-,由直线与曲线3y x =相切可得32(1)3x k x x k⎧=-⎨=⎩，解得2704k k ==或.当0k =时，直线与215+94y ax x =-相切，则250,64a ∆=∴=-; 同理，当0k =时，1a =-.。

3.1.1变化率问题教学目标知道平均变化率的定义。

会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。

教学重点：平均变化率的含义教学难点：会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。

教学过程：情景导入：展示目标: 知道平均变化率的定义。

会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。

检查预习:见学案合作探究：探究任务一：问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?问题2;:在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v粗略地描述其运动状态?交流展示：学生交流探究结果,并完成学案。

精讲精练：例1过曲线3==上两点(1,1)y f x x()+∆+∆作曲线的割线，求出当0.1P和(1,1)Q x y∆=时割x线的斜率.例2已知函数2=，分别计算()()f x xf x在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3]；（2）[1，2]；（3）[1，1.1]；（4）[1，1.001]有效训练练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.练2. 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及()g x 的平均变化率.反思总结1.函数()f x 的平均变化率是2.求函数()f x 的平均变化率的步骤：（1）求函数值的增量（2）计算平均变化率当堂检测1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆为（ ）A ．0()f x x +∆B ．0()f x x +∆C ．0()f x x ∆D ．00()()f x x f x +∆-3. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ ）A ．6t +∆B ．96t t+∆+∆ C ．3t +∆ D ．9t +∆4.已知212s gt =，从3s 到3.1s 的平均速度是_______5. 223y x x =-+在2x =附近的平均变化率是____6、已知函数12)(2-==x x f y 的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+x ∆，+1(f x ∆）），求xy ∆∆ T(月)6 3 9 12【板书设计】：略【作业布置】：略。

3.1.1 变化率与导数第一课时一、教学目标 1.核心素养:通过了解平均变化率，培养学生的数学抽象和运算能力. 2.学习目标（1）理解平均变化率的概念. （2）了解平均变化率的几何意义. （3）会求函数在某点处附近的平均变化率. 3.学习重点平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率. 4.学习难点 平均变化率的概念. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 任务1阅读教材P72—P74，思考：什么是平均变化率？计算平均变化率的步骤有哪些？平均变化率有怎样的几何意义？ 2.预习自测1.在平均变化率的定义中，自变量的增量x ∆满足（ ） A.0x ∆> B.0x ∆< C.0x ∆= D.0x ∆≠ 解：D2.下列各式中，不能表示平均变化率的是（ ） A.yx ∆∆ B.1212()()f x f x x x -- C.11()()f x x f x x +∆-∆ D.1221()()f x f x x x --解：D（二）课堂设计 1.知识回顾（1）sv t=,即速度等于路程变化量除以时间变化量.（2）1212y y k x x -=-,即直线的斜率等于直线上两点纵坐标之差除以横坐标之差.2.问题探究问题探究一 ●活动一 分析实例 想一想：（1）气球在吹起过程中，随着吹入气体的增加，它的膨胀速度有何变化？ （2）你认为膨胀速度与哪些量有关系？ （3）球的体积公式是什么？有哪些基本量？（4）结合球的体积公式，试用两个变量之间的关系来表述气球的膨胀率问题？总结：可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢?气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=，如果将半径r 表示为体积V 的函数，那么343)(πV V r =. 分析:对于343)(πV V r =， （1）当V 从0增加到1时，气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈-，气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--（2）当V 从1增加到2时，气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈-，气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了. 想一想：当空气容量从1V 增加到2V 时，气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系2() 4.9 6.510h t t t =-++.想一想：如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态? 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度. 在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=.●活动二 探索新知上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示，称为函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率，若设12x x x -=∆，)()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于1x 的一个“增量”可用1x +x ∆代替2x ，同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)，则平均变化率为=∆∆=∆∆x fx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212. 问题探究二 平均变化率有怎样的几何意义？ ●活动一 观察结构，得出结论 平均变化率=∆∆x f 1212)()(x x x f x f --表示函数()y f x =图像上两点11(,())x f x ,22(,())x f x 连线的斜率.问题探究三 如何计算函数在某点附近的平均变化率？●活动一 初步运用，计算平均变化率例1 物体的运动方程是23s t =+，则在一小段时间[2，2.1]内相应的平均速度为（ ） A.0.41 B.3 C.4 D.4.1 【知识点：平均变化率】详解：平均速度为22(3 2.1)(32)4.12.12s t ∆+-+==∆-,答案选D.●活动二 结合图形，深化运用例2 现有重庆市某年3月和4月某天日最高气温记载.观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为：思考1：“气温陡增”是一句生活用语，若从数学角度描述，那该如何描述？ 2：如何从数学角度说明曲线上升的陡峭程度？温度T (℃时间t （d ）【知识点：平均变化率；数学思想：数形结合】详解：（1）“气温陡降”从数学角度是指在相应时间内，气温的平均变化率很大. （2）从A 到B ，平均变化率为18.6 3.50.49321-≈-；从B 到C ，平均变化率为33.418.67.43432-=-点拨：关于平均变化率计算的问题，关键是准确算出各自的变化量. 3.课堂总结 【知识梳理】 平均变化率=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212. 【重难点突破】x ∆表示横坐标的变化量，可以为正数，也可以是负数，但不能为0. 4.随堂检测1.物体的运动方程是22s t =，则从2s 到3s 这段时间内路程的增量为（ ） A.18 B.8 C.10 D.12 【知识点：平均变化率】 解：B2.某质点A 沿直线运动的方程为221y x =-+，则该质点从t ＝1到t ＝2时的平均速度为（ ） A.－4 B.－8 C.－6 D.6 【知识点：平均变化率】 解：C3.已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]；（2）[-2，-1]；（3）[-1，2]；（4）[5，10] 【知识点：平均变化率】解：（1）(3)(1)431y f f x ∆-==∆-;（2）(2)(1)31y f f x ∆---==-∆-；（3）(2)(1)13y f f x ∆--==∆（4）(10)(5)155y f f x ∆-==∆. 4.某婴儿从出生到第12个月的体重变化如右图所示，试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率. 【知识点：平均变化率；数学思想：数形结合】 解：11(3)(0)13y f f x ∆-==∆；22(12)(6)0.46y f f x ∆-==∆. （三）课后作业 基础型 自主突破1.在平均变化率的定义中，自变量的增量满足（ ）A.0x ∆>B.0x ∆<C.0x ∆=D.0x ∆≠ 【知识点：平均变化率】 解：D2.物体的运动规律是()s s t =，物体在t 至t t +∆这段时间内的平均速度是（ ）A._st v t = B._s t v t ∆=∆ C._s v t ∆=∆ D.0t ∆→时，_s t v t ∆=∆解：C【知识点：平均变化率】 能力型 师生共研3.水经过水管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积0.1()52t V t -=⨯（单位：3cm ），计算第一个10s 内的平均变化率. 【知识点：平均变化率】 解：(10)(0)1104y v v x ∆-==-∆. 4.已知函数()21f x x =+，g()2x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及g()x 的平均变化率.【知识点：平均变化率】解：在[-3-1]，上，(-1)(-3)22f f f x ∆-==∆;(-1)(-3)22g g g x ∆-==-∆; 在[05]，上，(5)(0)25f f f x ∆-==∆；(5)(0)25g g g x ∆-==-∆. 探究型 多维突破5.已知函数2()f x x x =-+的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-，则=∆∆xy. 【知识点：平均变化率】 解：-3x ∆+∵222(1)(1)32y x x x x -+∆=--+∆+-+∆=-∆+∆-,∴=∆∆xy-3x ∆+. 6.过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +∆+∆作曲线的割线，则当0.1x ∆=时割线的斜率为 .【知识点：平均变化率】 解：3.311.3311(1.1,1.331), 3.310.1y Q k x ∆-===∆. （四）自助餐1.在平均变化率的定义中，自变量的增量x ∆是（ ） A.0x ∆> B.0x ∆< C.0x ∆≠ D.0x ∆= 【知识点：平均变化率】 解：C2.设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆是（ ） A.()0f x x +∆ B.()0f x x +∆ C.()0f x x ⋅∆ D.()()00f x x f x +∆- 【知识点：平均变化率】 解：D3.已知函数()224f x x =-的图象上一点()1,2-及附近一点()1,2x y +∆-+∆，则yx∆∆等于（ ） A.4 B.4x C.42x +∆ D.()242x +∆ 【知识点：平均变化率】 解：C4.自变量0x 变到1x 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ ） A.在区间[]01,x x 上的平均变化率 B.在0x 处的变化率 C.在1x 处的变化量 D.在区间[]01,x x 上的导数 【知识点：平均变化率】 解：A5.如果质点M 按规律23s t =+运动，则在一小段时间[]2,2.1中相应的平均速度是（ ） A.4 B.4.1 C.0.41 D.3 【知识点：平均变化率】 解：B6.一质点运动方程为253s t =-，则在一段时间[]1,1t +∆内的平均速度是（ ） A.36t ∆+ B.36t -∆+ C.36t ∆- D.36t -∆- 【知识点：平均变化率】 解：D7.已知212s gt =(其中g 为重力加速度)，t 从3秒到3.1秒的平均速度是 . 【知识点：平均变化率】 解：3.05g8.已知函数32y x =-，当2x =时，yx∆=∆ . 【知识点：平均变化率】 解：2612yx x x∆=∆+∆+∆。

变化率问题课前预习学案一、预习目标了解平均变化率的定义。

二、预习内容[问题1] 在吹气球问题中，当空气容量V 从0增加到1L 时，气球的平均膨胀率为__________当空气容量V 从1L 增加到2L 时，气球的平均膨胀率为__________________ 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率为_______________ [问题2]在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态? 在5.00≤≤t 这段时间里，v =_________________ 在21≤≤t 这段时间里，v =_________________ 在21t t t ≤≤这段时间里，v =_________________[问题3]对于公式，应注意：（1）平均变化率公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的_______的差。

（2）平均变化率公式中,分子、分母中同为被减数的是右端点，减数是左端点，一定要同步。

[问题4] 平均变化率=∆∆x f 12)()(x x x f x f --表示什么?三、提出疑惑疑惑点疑惑内容课内探究学案h tof (x 1)△y =f (x 2)-f (x 1)△x = x 2-x 1f (x 2x 1x 2AB一、学习目标知道平均变化率的定义。

会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。

二、学习过程学习探究 探究任务一：问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?问题2：高台跳水，求平均速度新知：平均变化率：2121()()f x f x fx x x-∆=-∆试试：设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ∆，即x ∆= 或者2x = ，x ∆就表示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为y ∆，即y ∆= ；如果它们的比值yx∆∆，则上式就表示为 ，此比值就称为平均变化率.反思：所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值.典型例题例 1 过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +∆+∆作曲线的割线，求出当0.1x ∆=时割线的斜率.例2 已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]有效训练练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6.练2. 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及()g x 的平均变化率.反思总结1.函数()f x 的平均变化率是2.求函数()f x 的平均变化率的步骤：（1）求函数值的增量 （2）计算平均变化率当堂检测1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．02. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆为（ ） A ．0()f x x +∆ B ．0()f x x +∆C ．0()f x x ∆D ．00()()f x x f x +∆-3. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ ）T(月)W(kg) 63912 11A ．6t +∆B ．96t t+∆+∆ C ．3t +∆ D ．9t +∆4.已知212s gt =，从3s 到3.1s 的平均速度是_______5. 223y x x =-+在2x =附近的平均变化率是____6、已知函数12)(2-==x x f y 的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+x ∆，+1(f x ∆）），求xy∆∆课后练习与提高1、 已知一次函数)(x f y =在区间[-2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点（0，2），试求此一次函数的表达式。

数学：3.1《变化率》教案（苏教版选修1-1）变化率一．内容与内容解析微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用，开创了近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段，导数概念是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）等问题最一般、最有效的工具，也是解决运动、速度、等实际问题的最有力的工具。

以气球平均膨胀率问题和高台跳水平均速度问题为背景，引出平均变化率的概念。

设函数在上有定义，设，，则称为函数从到的平均变化率。

记（自变量的增量），（函数的增量），则平均变化率可表示为。

本质是对应函数的增量与自变量的增量的比值；表示函数在某一范围内平均的变化趋势（增减）和快慢程度。

在高台跳水问题中，通过从平均速度到瞬时速度的过程抽象出瞬时速度的概念，再抽象出瞬时变化率的概念。

设函数在及其附近有定义，在附近给自变量以增量，则函数有相应的增量，若趋近于0时，趋近于一个确定的值，则称这个确定的值为当趋近于0时的极限，记作。

设函数在及其附近有定义，若存在，则称它为函数在的瞬时变化率，也称它为函数在的导数，记作或，即。

本质是函数在某一点的导数，就是函数在该点的瞬时变化率，而瞬时变化率就是函数在这一点附近平均变化率的极限（当自变量增量趋近于0）。

二．目标和目标解析本节课要求学生能借助对气球平均膨胀率问题和高台跳水平均速度问题的研究，提炼出平均变化率的概念，并能正确理解平均变化率的定义。

通过实例、直观感知、讨论、探究，理解瞬时速度的含义、感受逼近的思想。

通过探究归纳出瞬时变化率的概念，并能理解瞬时变化率就是导数。

三．教学问题诊断分析学生已有的知识结构是，进入高中后对函数的认识有了一定的积累，在两年多的时间里从生活和与其他学科的交汇中逐步提高了这方面的能力，在物理学中已经学习过加速度的定义（是速度的变化量与发生这一变化所用时间的比值），抽象概括思想也逐步深入学生心中，转化成了学生自己的知识技能，这些为学好平均变化率奠定扎实的基础．但是由于新教材是以模块的形式进行展开教学的，文科学生选修这一系列。

3.1.4 变化率与导数(第四课时)一、教学目标1.核心素养:通过了解导函数的定义，培养学生的数学建模能力.2.学习目标（1）理解导函数的概念.（2）掌握使用定义求函数导函数的方法.（3）应用导数的相关知识解题.3.学习重点导函数的概念、使用定义求函数导函数.4.学习难点应用导数的相关知识解题.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1阅读教材P78，思考：什么是函数的导函数？导函数与函数在某点处的导数有什么区别及联系？2.预习自测1.下列有关导数的说法正确的是（ ）A.00(())''()f x f x =B.函数在某点处的导数与其导函数是等价的C.导函数是函数在所有点的导数对应所形成的函数D.导函数与函数在某点处的导数毫无联系解：C2.设2()f x x =，则函数()y f x =的导函数'()f x =（ ）A.'()f x x =B. 2'()f x x =C.'()2f x x =D.2'()2f x x =解：C（二）课堂设计1.知识回顾（1）函数)(x f 从1x 到2x 的平均变化率为2121y y y x x x -∆=∆-.（2）函数)(x f y =在0x x =处的导数是:0000()()lim lim x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆=∆∆，（3）函数()y f x =在0x x =处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，即 0000()()()limx f x x f x f x k x ∆→+∆-'==∆. 2.问题探究问题探究一 什么是函数的导函数？由函数()y f x =在0x x =处求导数的过程可以看到，当时，0()f x ' 是一个确定的数，那么，当x 变化时，便是关于x 的一个函数，我们叫它为()f x 的导函数.记作：()f x '或y '，即: 0()()()lim x f x x f x f x y x ∆→+∆-''==∆. 注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数.4.函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数之间的区别与联系.（1）函数在一点处的导数0()f x '，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数.（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x 而言的， 就是函数()f x 的导函数.（3）函数()f x 在点0x x =处的导数'0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值，这也是 求函数在点0x 处的导数的方法之一.问题探究二 例1.设2()+2f x x x =，则函数()y f x =的导函数'()f x =【知识点：导数】 详解：220()+2()2'()lim x x x x x x x f x x∆→+∆+∆--=∆ 2002()2lim lim (22)22x x x x x x x x x x∆→∆→∆+∆+∆==+∆+=+∆. 3.课堂总结【知识梳理】0()()()lim x f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆. 【重难点突破】函数()f x 在点0x x =处的导数'0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值.4.随堂检测1.一质点运动的方程为235t s -=，则在一段时间]1,1[t ∆+内相应的平均速度为（ ）A.63+∆tB.63+∆-tC.63-∆tD.63-∆-t【知识点：平均变化率】解：D 散∵()()()t 6t 3135t 135s 222△△△△-=⨯--+-=， ∴()6t 3t t6t 3t sv 2--=--==△△△△△△.2.将半径为R 的球加热，若球的半径增加R ∆，则球的体积增加y ∆约等于（ ）A.R R 343△πB.R R 42△πC.2R 4πD.R R 4△π【知识点：平均变化率】解：B ∵()3R 34R V π=，∴()()R V R R V y -+=△△()33R 34R R 34π-+π=△()()[]33223R 34R R R 3R R 3R 34π-+++π=△△△ ()()322R 34R R 4R R 4△△△π+π+π=，∵R ∆是一个很小的量，∴()2R △和3)(R ∆非常小，∴R R 4y 2△△π≈.（三）课后作业基础型 自主突破1.已知函数12+=x y 的图象上一点（1，2）及邻近一点)2,1(y x ∆+∆+，则x y∆∆等于（）A. 2B.x 2C.x ∆+2D.22x ∆+【知识点：平均变化率】解：C2.自变量0x 变到1x 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数A.在区间],[10x x 上的平均变化率B.在0x 处的变化率C.在1x 处的变化量D.在区间],[10x x 上的导数【知识点：平均变化率】解：A能力型 师生共研3.若函数)(x f 在a x =处的导数为A ，求x x a f x a f x ∆∆--∆+→∆2)()(lim 0.【知识点：导数的定义】 解：∵A x a f x a f x =∆-∆+→∆-)()(lim 0，∴A xa f x a f x =∆--∆-→∆)()(lim 0（令x ∆-替换x ∆）， ∴xx a f x a f x ∆∆--∆+→∆-2)()(lim 0 001()()1()()lim lim 22x x f a x f a f a f a x x x∆→∆→+∆---∆=+∆∆ ])()(lim [210x a f x a f A x ∆--∆-+=→∆-（当0→∆x 时，0→∆-x ）A A A =+=)(21. 4.若一物体运动方程如下：()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<≤+=3t 3t 3293t 02t 3s 22，求物体在1=t 或3=t 时的速度. 【知识点：导数的定义】解：当1=t 时，2t 3s 2+=，()()()()232t 13t s t t s s 2+-++=-+=△△△ ()2t 3t 6△△+=， ∴()()6t 36lim t t 3t 6lim t s lim v 0t 20t 0t =+=+==→→→△△△△△△△△△. 当3=t 时，()23t 329s -+=，()()()()()222t 3333293t 3329t s t t s s △△△△=----++=-+=，∴()()0t 3lim t t 3lim t s lim v 0t 20t 0t ====→→→△△△△△△△△. ∴物体在1=t 和3=t 时的瞬时速度分别是6和0 .探究型 多维突破5.质点M 按规律t 43v +=做直线运动，则质点的加速度a =___________.【知识点：导数的定义】解：4 提示： ()()4t t 43t t 43lim t v lim a 0t 0t =+-++==→→△△△△△△，∴4=a .6.下面说法正确的是（ ）A.若)(0x f '不存在，则曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处没有切线B.若曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处有切线，则)(0x f '必存在C.若)(0x f '不存在，则曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线斜率不存在D.若曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处没有切线，则)(0x f '可能存在【知识点：导数的几何意义】解：C（四）自助餐1.过点)0,1(-作抛物线12++=x x y 的切线，则其中一条切线为（ ）A.022=++y xB.033=+-y xC.01=++y xD.01=+-y x【知识点：导数的几何意义】解：C2.若曲线4x y =的一条切线l 与直线084=-+y x 垂直，则l 的方程为（ ）A.034=--y xB.054=-+y xC.034=+-y xD.034=++y x【知识点：导数的几何意义】解：A 提示：本题回答了一个问题：直线与曲线相切是否一定只有一个公共点。