初中数学竞赛专题培训(15)：相似三角线(1)

中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)相似模型相似模型一：A字型特征：DE∥BC模型结论：根据A字型相似模型，可以得出以下结论：C∠B=∠XXXAC²=AD×AB相似模型二：X型特征：AC∥BD模型结论：根据X型相似模型，可以得出以下结论：AO×OB=OC×ODBOC∽△DOACAOC∽△DOB相似模型三：旋转相似特征：成比例线，段共端点模型结论：根据旋转相似模型，可以得出以下结论：BEF∽△BCDDEF∽△DABAEB∽△DEC相似模型四：三平行模型特征：AB∥EF∥CD模型结论：根据三平行模型，可以得出以下结论：ABE∽△CDF相似模型五：半角模型特征：90度，45度；120度，60度模型结论：根据半角模型，可以得出以下结论：ABN∽△MAN∽△MCAABD∽△CAE∽△CBA相似模型六：三角形内接矩形模型特征：矩形EFGH或正方形EFGH内接与三角形模型结论：根据三角形内接矩形模型，可以得出以下结论：ABC∽△EFH相似模型七：十字模型特征：正方形HDGB模型结论：根据十字模型，可以得出以下结论：若AF=BE，则AF⊥BE，且为长方形若AF⊥BE，则AF=BEBDBC平行四边形，且△GME∽△HNF，△MED≌△BFA。

下面给出几个几何问题。

1.在△ABC中，AB＝AC，且有以下七个结论：①D为AC中点；②AE⊥BD；③BE：EC＝2：1；④∠ADB＝∠CDE；⑤∠AEB＝∠CED；⑥∠BMC＝135°；⑦BM：MC＝2：1.求AC和CD的比值。

2.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，线段BC，AD相交于点F，点E是线段AF上一点且满足∠BEF=∠C，其中AF=6，DF=3，CF=2，求AE的长度。

3.在Rt△ABD中，过点D作CD⊥BD，垂足为D，连接XXX于点E，过点E作EF⊥BD于点F，若AB=15，CD=10，求4.在□ABCD中，E为BC的中点，连接AE，AC，分别交BD于M，N，求5.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过E作EF∥AB交BD于点F。

几何：2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）· GAO DB EC Q P NM · O Q PBDEC N M · A OD BFAECP P ADCB4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．1.∠ABC 的顶点B 在⊙O 外，BA 、BC 均与⊙O 相交，过BA 与圆的交点K 引∠ABC 平分线的垂线，交⊙O 于P ，交BC 于M 。

求证：线段PM 为圆心到∠ABC 平分线距离的2倍。

EDCBA2.在△ABC中，AP为∠A的平分线，AM为BC边上的中线，过B作BH⊥AP于H，AM的延长线交BH于Q，求证：PQ∥AB。

3.菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E、F、G、H，在EF与GH上分别作⊙O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q。

求证：MQ∥NP。

4.ABCD是圆内接四边形，其对角线交于P，M、N分别是AD、BC的中点，过M、N分别作BD、AC的垂线交于K。

求证：KP⊥AB。

5.以△ABC的边BC为直径作半圆，与AB、AC分别交于点D、E。

专题16相似三角形的性质阅读与思考相似三角形的性质有：1.对应角相等；2.对应边成比例；3.对应线段（中线、高、角平分线）之比等于相似比；4.周长之比等于相似比；5.面积之比等于相似比的平方.性质3主要应用于三角形内接特殊平行四边形的问题，性质5进一步丰富了面积的有关知识，拓展了我们研究面积问题的视角.如图，正方形EFGH内接于△ ABC, AD±BC,设BC=a , AD = h,试用如力的代数式表示正方形的边长.例题与求解【例1】如图，已知中，过点B的直线顺次与AC, AD及CD的延长线相交于E, F, G, 若BE = 5, EF = 2,则FG的长是.（“弘晟杯”上海市竞赛试题）解题思路：由相似三角形建立含FG的关系式，注意中间比的代换.EC【例 2】如图，已知ZXABC 中，DE//GF//BC,且 AD:DF:FB = 1:2:3, A.l:9:36 B.l:4:9 C.l:8:27 D. 1:8:36解题思路:AADE, AAFG 都与/XABC 相似，用/XABC 面积的代数式分别表示△#>£、四边形DFGE 、 四边形FBCG 的面积.【例3】如图，在/XABC 的内部选取一点P,过F 点作三条分别与AABC 的三边平行的直线，这样所得 的三个三角形A ，S 打的面积分别为4, 9和49,求△A3C 的面积.（第二届美国数学邀请赛试题）解题思路：由于问题条件中没有具体的线段长，所以不能用面积公式求出有关图形的面积，可考虑 应用相似三角形的性质.如图所示，经过三角形内一点向各边作平行线（也称剖分三角形），我们可以得到:① AFDP S 」IPES /X PHG S /XABC ；HG IE DF 1-------- 1 ------- BCAC ABDE FG HI 1-------- 1 ------- BC AC ABS 4ABC上述性质，叙述简捷，形式优美，巧妙运用它们解某些平面几何竞赛题，简明而迅速，奇特而匠心 独运，请读者给出证明.【例4】如图，/XABC 中，。

初中数学相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础．二、相似三角形(1)三角形相似的条件：①；②；③.三、两个三角形相似的六种图形：四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单；2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法例1、已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。

分析方法：1）先将积式______________2）______________（“横定”还是“竖定”？）六、过渡法（或叫代换法）有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明．1、等量过渡法（等线段代换法）当三点设置法不能解决待证问题时，即线段比例公式中的四条线段在图中均在同一条直线上，不能形成三角形，或四条线段形成两个三角形，但两个三角形不相似时，就需要根据已知条件，找到与比例公式中的一条线段相等的线段来代替这条线段。

如果没有，可以考虑加一条简单的辅助线。

然后用三点成形法确定相似三角形。

只要代入得当，问题往往可以解决。

当然，也要注意最后把被替换的线段替换回来。

例1：如图3，△ABC中，AD平分∠BAC， AD的垂直平分线FE 交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE．分析：1、等比过渡法（等比代换法）当用三点设置法无法确定三角形，又没有等比线段代换时，可以考虑等比代换法，即可以考虑使用第三组线段的比比例桥，即通过对已知条件或图形的深入分析，在验证的结论中找到等于某一比值的比值并进行代换，再用三点设置法确定三角形。

相似三角形（模型-辅助线）一、本章概述相似作为几何学习的一个重要内容，大量的出现在中考试卷中，它与勾股定理和锐角三角形函数并列为初中几何计算三大工具。

本章重点讲解相似的几个模型，如A字形，8字形，一线三等角等模型。

二、知识回顾1、图形的相似（1）相似图形：形状相同的图形叫做相似图形（2）相似多边形：对应角相等，对应边的比相等。

相似多边形对应边的比为相似比。

2.相似三角形（3）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。

（4）相似三角形的判定①预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等。

②判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

③传递性定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

（5）相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等，对应边成比例②相似三角形的周长的比等于相似比；对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。

3.位似（6）多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。

（7）在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k。

1.相似基本模型一、本节概述本节重点讲解“A”字形和“8”字形的应用和构造方法，这两个模型是相似三角形中最为基础的两个模型，但应用十分广泛。

1.“A”字形相似2. ”8”字形相似二、典例精析能力目标：1.熟练掌握正A型相似和正8型相似模型：2.借助平行线构造正A型相似和正8型相似模型解决相关问题。

【例1】已知：图下图，AD（1）若E为AD的中点，射线CE交AB于F，则（2）若E为AD上一点，且,射线CE交AB于F，则思维探究：方法一：通过平行线构造相似解析：过A点作A P//BC交CF于点P,“8”字模型A P CD方法二：过A作A H//CF交BC延长线于H，则方法三：作DK//CF交AB于K,则方法四：作DM//AB交CF于M，则AF=DM,( 2 ) 构造平行线，通过线段比解决问题作B P//AD交CF于点P,大家可尝试过其他点作平行线，解答中用了A点和D点，其它的同学们自己尝试。

相似三角形相似三角形一、知识要点1．相似三角形的概念：2．相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.小结：判定三角形相似的方法：（1）相似三角形的定义；（2）由平行线得相似.思考：对比三角形全等判定的简单方法（SSS，SAS，ASA，AAS），看是否也有简便的方法？相似三角形的判定定理：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似.相似三角形的判定定理：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.3．三角形相似的判定的应用4．相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，都等于相似比.（2）相似三角形对应高的比，对应角的平分线的比，对应中线的比都等于相似比.（3）相似三角形周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比.二、总结归纳：1、相似三角形的判定：（1）相似三角形的定义；（2）平行得相似；（3）三边的比相等；（4）两边的比相等，夹角相等；（5）两角对应相等.三角形相似判定的方法较多，要根据已知条件适当选择.2、全等与相似的类比：三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等（ASA）两角一对边对应相等（AAS）两边及夹角对应相等（SAS）三边对应相等（SSS）直角三角形中一直角边与斜边对应相等（HL）两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例直角三角形中斜边与一直角边对应成比例3、相似三角形的常见图形及其变换：4、证明四条线段成比例的常用方法：（1）线段成比例的定义（2）三角形相似的预备定理（3）利用相似三角形的性质（4）利用中间比等量代换（5）利用面积关系证明题常用方法归纳：（1）通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.（2）若没有三角形（即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上），则需要进行“转移”（或“替换”），常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.（3）若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线（通常是添加平行线）构成比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.三、典型例题例1：根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由：（1）∠A=120°，AB=7cm，AC=14cm； ∠A′=120°，A′B′=3cm，A′C′=6cm.（2）AB=4cm，AC=6cm，AC=8cm； A′B′=12cm，B′C=18cm′，A′C′=21cm.例2：要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为4、5、6，另一个三角形的一边长为2，怎样选料可使这两个三角形相似？例3：已知：如图，在Rt △ABC 中，C D ⊥AB 于点D . （1）求证：△ABC ∽△CBD ∽△ACD ；（2）求证：CD 2=A D·BD ；AC 2=A D·A B ；BC 2=A B·BD （此结论称之为射影定理） （3）若A D =8，BD =2，求 AC ，BC ，CD . （4）若CB =6,AD =9，求BD ，CD ，AC .例4：如图，已知△ABC 中，AB =5，BC =3，AC =4，P Q‖AB ，点P 在AC 上，（与点A 、C 不重合），Q 点在BC 上.（1）当△PQC 的面积与四边形PABQ 的面积相等时，求CP 的长. （2）当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长. （3）在AB 上是否存在点M ，使得△PQM 为等腰直角三角形？若存在请画出图形，若不存在说明理由。