初中数学竞赛专题培训 -生活中的数学(2)

第1篇一、背景与意义随着我国教育事业的不断发展，初中数学教学越来越受到重视。

为了提高学生的数学素养，培养具有创新精神和实践能力的高素质人才，我们需要加强初中数学教研培优工作。

本计划旨在通过开展一系列教研活动，提高教师的教学水平，促进学生的全面发展。

二、目标与任务1. 提高教师的专业素养和教学能力，使其掌握先进的教学理念和方法。

2. 提高学生的数学成绩和综合素质，培养其创新精神和实践能力。

3. 建立健全教研培优机制，形成一套科学、有效的教研培优模式。

4. 提升学校在初中数学教学领域的知名度和影响力。

三、实施步骤1. 教师培训（1）开展新教师入职培训，使其了解学校教学理念和教学方法。

（2）组织教师参加各类数学教学研讨会、学术讲座等活动，拓宽教师视野。

（3）定期对教师进行教学技能培训，提高教师的教学水平。

2. 教研活动（1）成立教研组，开展定期的教研活动，共同探讨教学中的问题。

（2）组织教师进行教学观摩、教学研讨，分享教学经验。

（3）开展课题研究，提高教师的教育教学研究能力。

3. 学生培优（1）设立培优班，选拔优秀学生进行针对性辅导。

（2）开展课外辅导，针对学生的薄弱环节进行强化训练。

（3）举办各类数学竞赛，激发学生的学习兴趣和创新能力。

4. 考试评价（1）建立科学的考试评价体系，全面评估学生的数学素养。

（2）分析考试数据，找出教学中的不足，及时调整教学策略。

（3）对优秀学生进行表彰，激发学生的学习积极性。

四、保障措施1. 加强组织领导，成立初中数学教研培优工作领导小组，统筹规划、协调推进各项工作。

2. 加大经费投入，确保教研培优工作的顺利开展。

3. 建立激励机制，对在教研培优工作中取得突出成绩的教师和学生给予表彰和奖励。

4. 加强与其他学校的交流与合作，借鉴先进经验，不断提高我校初中数学教研培优水平。

五、预期效果1. 提高教师的教学水平，形成一支高素质、专业化的教师队伍。

2. 学生数学成绩显著提高，综合素质得到全面发展。

第1篇初中数学专题教研分享一、引言数学作为一门基础学科，在初中教育中占据着重要地位。

为了提高数学教学质量，提升学生的数学素养，我们学校开展了初中数学专题教研活动。

本次教研活动旨在通过分享交流，探讨初中数学教学中的热点问题，提高教师的专业素养和教学水平。

以下是我对本次教研活动的总结和分享。

二、教研活动内容1. 教学案例分析在本次教研活动中，我们选取了几个具有代表性的教学案例进行分享。

这些案例涵盖了初中数学教学中的不同阶段和不同知识点。

通过分析这些案例，我们发现以下问题：（1）教学目标不明确：部分教师在设计教学活动时，对教学目标把握不准确，导致教学活动偏离了教学目标。

（2）教学方法单一：部分教师在教学中过于依赖讲授法，忽视了学生的主体地位，导致学生参与度不高。

（3）评价方式单一：部分教师评价方式单一，只注重学生的考试成绩，忽视了学生的学习过程和个性发展。

针对这些问题，我们提出了以下改进措施：（1）明确教学目标：教师应根据课程标准和学情，制定明确、具体的教学目标。

（2）丰富教学方法：教师应灵活运用多种教学方法，如小组合作、探究学习、实践活动等，提高学生的参与度。

（3）多元化评价：教师应采用多元化评价方式，关注学生的学习过程、学习态度和个性发展。

2. 教学策略研究在本次教研活动中，我们针对初中数学教学中的重点和难点，开展了教学策略研究。

以下是我们研究的一些成果：（1）针对几何图形的教学策略：通过引导学生观察、操作、比较等活动，培养学生的空间想象能力和几何思维能力。

（2）针对代数式的教学策略：通过创设情境、问题引导等方式，激发学生的学习兴趣，培养学生的抽象思维能力。

（3）针对函数的教学策略：通过实例分析、图像观察等方法，帮助学生理解函数概念，掌握函数性质。

3. 教学反思与改进在本次教研活动中，教师们针对自己的教学实践进行了反思，总结了自己的优点和不足。

以下是我们的一些反思：（1）注重教学实践：教师在教学中应注重实践，通过实际操作、实验等活动，让学生在实践中掌握知识。

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数学培训感悟与收获心得篇1这次，我很荣幸参加了20__年小学数学教师国培计划学习。

为期两个月的国培计划学习在匆匆忙忙中即将结束，回想忙忙碌碌的学习期间，多位教育专家、名家为我们做了生动精彩的教育专题讲座，使我在新思潮、新理念中激荡，他们以鲜活的案例和丰富的知识内涵以及精湛的理论阐述，给了我强烈的感染和熏陶，使我在思想上、业务理论上和教学实践上获益匪浅;每听一次讲座，都能感受到思想火花的冲击，心灵的震撼。

通过这次国培计划学习，使我不断的完善自己，对新课程、新理念有了一个全面全新的认识;同时也使我认清了自己在教学中的不足，需要学习的东西很多，需要改进的地方也颇多。

为了提高自己的教育专业素养，提升自己的教育教学能力，通过这次国培学习，我觉得今后应做到以下三点：一、坚持不懈地学习教育思想和教育理论，从思想上给自己充电。

教育思想和教育理论是教育工作者在长期的教育教学实践过程中对教育现象和教育规律进行不断探索和总结出来的，是经过科学论证的。

理论指导行动，有什么样的理论就会有什么样的行动;教育思想和教育理论指导着教育教学活动，教师有什么样的教育思想和教育理论就会有什么样的教育教学结果。

如果某位教师缺乏正确的教育思想和教育理论，那么他的教学就会迷失方向，就会走入教育盲区，阻碍素质教育的实施，误人子弟;如果某位教师掌握好正确的教育思想和教育理论，那么他在教学中就会得心应手，事半功倍。

因此，学习教育思想和教育理论是每位教师专业成长的需要。

社会在发展，科技在进步，知识在更新，也就要求教育思想和教育理论需要持续性的发展，不断的完善，这就要求教师不断地学习，不断地进步，不断的完善自我，正如周恩来所说的“人活到老，学到老”。

2024年初中数学培训计划在教育领域，数学作为一门基础学科，对于学生的逻辑思维、问题解决能力和未来的学习发展都有着至关重要的作用。

为了帮助初中生在数学学习上取得进步，我们特制定以下培训计划，旨在提升学生的数学素养和应试能力。

一、培训目标1.夯实基础知识：确保学生掌握初中数学的核心概念、基本原理和运算技能。

2.提高解题能力：通过系统训练，使学生能够灵活运用数学知识解决实际问题。

3.培养思维品质：激发学生学习数学的兴趣，培养他们的创新思维、逻辑推理能力和空间想象能力。

4.增强应试技巧：教授学生考试策略，提高他们在数学考试中的答题速度和准确率。

二、培训对象本计划针对所有希望提高数学水平、学习成绩处于中等及以上水平的初中生。

三、培训内容1.基础知识复习：包括但不限于数的运算、代数、几何、概率与统计等。

2.专题训练：针对中考重点和难点，如函数、方程、不等式、几何证明等。

3.解题技巧：教授学生如何快速找到解题突破口，如何使用图表、模型等工具辅助解题。

4.思维拓展：通过趣味数学问题、数学竞赛试题等，锻炼学生的创新思维和逻辑推理能力。

5.应试策略：讲解考试时间管理、答题顺序、如何避免常见错误等应试技巧。

四、培训方式1.课堂授课：采用互动式教学，确保学生积极参与课堂讨论。

2.习题演练：通过大量习题训练，巩固学生对知识点的理解。

3.小组讨论：鼓励学生组成学习小组，相互交流学习心得和解题经验。

4.个性化辅导：针对学生的薄弱环节，提供一对一的个性化辅导。

5.线上学习平台：利用现代信息技术，搭建线上学习平台，提供丰富的学习资源和练习题。

五、培训时间安排培训分为春季班、暑期班和秋季班，每个班次持续8周，每周2次课，每次课2小时。

六、培训评估与反馈1.阶段性测试：定期组织测试，评估学生的学习效果。

2.学习报告：向家长和学生提供详细的学习报告，包括学生的进步情况、存在的问题和改进建议。

3.家长会：定期召开家长会，通报学生的学习情况，听取家长的意见和建议。

初中数学教师培训心得体会(3篇)初中数学教师培训心得体会（精选3篇）初中数学教师培训心得体会1提高自己的学识，不断更新自己的知识，这不仅仅是学生们的义务，研究的道路没有尽头，我们老师也不过只是走的早了点的学生罢了。

但是做为老师，我们顶着教书育人的这个名号，自然不能让自己配不上这个称号。

为了能更好的教导我的学生，我必须不断的的提高自己，必须比学生更快的提升自己！现在，参加了一段时间的教师培训，我对教学的想法又有了新的思路，特地再此记录下现在所收获的心得体会。

我的培训心得体会如下：一、路途遥远，但我不能走弯作为教师，我们最重要的，不是在学识上有什么伟大的成就，而是要教会学生，教好学生。

所谓“师父领进门，修行靠个人”。

我们无论知道的再多，能在这段时间教给他们的，也不过仅仅是入门的知识罢了，我们真正该教给他们的，是如何去走笔直的路，和一颗爱上研究的心。

作为教师，要教的工具怎么能自己不会？要给的工具怎么能自己没有？在经历了培训之后，我重新对自己进行了审阅。

并让自己重新的去将自己的路走正，去将心态重新整好。

这是最基本，也是最重要的。

二、肄业路难走，但老马识途在教学中最难的，不是去将一个题目讲的透彻，讲的细微，而是为了能在教学的时候带动学生们一起来研究。

但是枯燥的研究路上难以前进，这就需要我们教师去根据自己的学生类型去改变自己的教学方式，提升教学效率。

当然，最好的方式并不是由我们这些“老马”去将学生们驼过去，我们永远也只能“识途”而已，真正该做的，是教会学生们去认识，去研究着条路该怎么走，该怎么去走。

只有让学生都在这条路上成为了新的“老马”，我们的工作才算成功。

三、带路，不肯定要走在前面作为老师，我们曩昔总是惯在同学的们前面去开路，让他们在我们的率领下前进。

但是我们却常常忽视了，学生们自己如果团结起来，会远比我们走的更快。

在教学中，我们因该只是起到指路的作用，永远都不因该抢走了学生们自我施展阐发的机遇。

我们在后面给予指导和鼓励即是最好的努力。

数学竞赛学习之路——一路向前篇质心教育黄靖旻引言：本文写给那些想要深入学习竞赛的同学。

无论是你出于对数学的浓厚兴趣，还是有着这方面的天赋想要挑战自己，或者是想要寻找到保送大学的机会给自己一个出路，都可以借助本文提供的指导，结合自己的个人情况去进行学习。

如果你发现你能够按照这样的进度一路向前，那么恭喜你真的在竞赛上有一些天赋也愿意努力，坚持到高三拿个省一，进个省队，甚至可以冲击冬令营、集训队等等。

如果你发现这些要学习的内容对你太难，也没有关系，放平形态，简化这些步骤，去挑选相对容易的内容学习，不用学那么深，你可以参考下一篇文章（自招收获篇）提供的道路，最终的成果也是丰厚的。

阶段1 准备阶段（初中毕业至高一上学期放假前）阶段解读：初中毕业后一些同学可能就解放自我了，而另一些同学则会抓住这个机会去努力。

这个阶段的付出其实是十分重要的，因为一旦进入高中，时间就变得没有那么充裕了，你将会有更多的功课要学习题要做，所以在这个阶段，你需要想清楚自己想要达到一个什么样的高度，如果想要走数学竞赛这条路，那么这几个月将是你最宝贵的准备时间。

目标1:快速完成高中数学内容，短时间达到高考要求目标解读：找到当地所用数学教材或通用人教版教材（可以在官网上找到电子课本），结合高中上课的一般顺序（也可以在网上查到）进行自学，当然这里需要参考一些教辅书籍（一般用高三复习的那种，要选讲的比较精细的）和有一些辅导课程最好（自己学习还是会有些重点不知道在哪儿）。

通过这个过程我们将掌握高中数学所需要的数学知识，这个过程要细，虽然高中还会更系统地学习一遍，但如果自己学的这一次不够细，那么将来自己的数学学习中将会有很多现在落下的毛病。

之后再找到近年各地的高考题自己给自己做模拟测试。

坚持下去你会发现，大家还在学高一数学，而你已经在一旁拿出一套高考真题做测试了，但不要骄傲，这只是竞赛之路的开始，要想比别人有更高的成就就要学会走在别人的前面。

当然，你会遇到一些比你走的更早的，他们初中就开始接触高中数学和高中竞赛了，如果你是这样的学生，那么你之后的学习都会快人一步，如果不是，从初中毕业就开始学习，也是完全充裕的了。

初中数学竞赛专题培训恒等式的证明代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．本讲主要介绍恒等式的证明．首先复习一下基本知识，然后进行例题分析．两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等．证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧．1．由繁到简和相向趋进恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)．例1 已知x+y+z=xyz，证明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz．分析将左边展开，利用条件x+y+z=xyz，将等式左边化简成右边．说明本例的证明思路就是“由繁到简”．例2 已知1989x2=1991y2=1993z2，x＞0，y＞0，z＞0，且说明本例的证明思路是“相向趋进”，在证明方法上，通过设参数k，使左右两边同时变形为同一形式，从而使等式成立．2．比较法a=b(比商法)．这也是证明恒等式的重要思路之一．例3 求证：分析用比差法证明左-右=0．本例中，这个式子具有如下特征：如果取出它的第一项，把其中的字母轮换，即以b代a，c代b，a代c，则可得出第二项；若对第二项的字母实行上述轮换，则可得出第三项；对第三项的字母实行上述轮换，可得出第一项．具有这种特性的式子叫作轮换式．利用这种特性，可使轮换式的运算简化．说明本例若采用通分化简的方法将很繁．像这种把一个分式分解成几个部分分式和的形式，是分式恒等变形中的常用技巧．全不为零．证明：(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．说明本例采用的是比商法．3．分析法与综合法根据推理过程的方向不同，恒等式的证明方法又可分为分析法与综合法．分析法是从要求证的结论出发，寻求在什么情况下结论是正确的，这样一步一步逆向推导，寻求结论成立的条件，一旦条件成立就可断言结论正确，即所谓“执果索因”．而综合法正好相反，它是“由因导果”，即从已知条件出发顺向推理，得到所求结论．说明本题采用的方法是典型的分析法．例6 已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正数，求证：a=b=c=d．说明本题采用的方法是综合法．4．其他证明方法与技巧求证：8a+9b+5c=0．说明本题证明中用到了“遇连比设为k”的设参数法，前面的例2用的也是类似方法．这种设参数法也是恒等式证明中的常用技巧．例8 已知a+b+c=0，求证2(a4+b4+c4)＝(a2+b2+c2)2．分析与证明用比差法，注意利用a+b+c=0的条件．说明本题证明过程中主要是进行因式分解．分析本题的两个已知条件中，包含字母a，x，y和z，而在求证的结论中，却只包含a，x和z，因此可以从消去y着手，得到如下证法．说明本题利用的是“消元”法，它是证明条件等式的常用方法．例10 证明：(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．分析与证明此题看起来很复杂，但仔细观察，可以使用换元法．说明由本例可以看出，换元法也可以在恒等式证明中发挥效力．例11 设x，y，z为互不相等的非零实数，且求证：x2y2z2=1．分析本题x，y，z具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的所以x2y2=1．三元与二元的结构类似．说明这种欲进先退的解题策略经常用于探索解决问题的思路中．总之，从上面的例题中可以看出，恒等式证明的关键是代数式的变形技能．同学们要在明确变形目的的基础上，深刻体会例题中的常用变形技能与方法，这对以后的数学学习非常重要．练习五1．已知(c-a)2-4(a-b)(b-c)=0，求证：2b=a+c．2．证明：(x+y+z)3xyz-(yz+zx+xy)3=xyz(x3+y3+z3)-(y3z3+z3x3+x3y3)．3．求证：5．证明：6．已知x2-yz=y2-xz=z2-xy，求证：x=y=z或x+y+z=0．7．已知an-bm≠0，a≠0，ax2+bx+c=0，mx2+nx+p=0，求证：(cm-ap)2=(bp-cn)(an-bm)．1.解:原式=((a-b)-(b-c))^2=02.证明：即证xyz[(x+y+z)3-(x3+y3+z3)]=(yz+zx+xy)3-（y3z3+z3x3+x3y3）展开得：xyz[(x3+y3+z3+3x2y+3xy2+3xz2+3y2z+3yz2+6xyz)-（x3+y3+z3）]=（y3z3+z3x3+x3y3+3y2z3x+3z3x2y+3y2zx2+3z2x3y+3zx3y2+6y2z2x2）-（y3z3+z3x3+x3y3），即（3x3y2z+3x2y3z+3x2z3y+3y3z2x+3y2z3x+6x2y2z2=3y2z3x+3z3x2y+3y 2zx2+3z2x3y+3zx3y2+6y2z2x23.证明：裂项即可。

第1篇一、引言初中数学是学生数学学习的关键阶段，对于培养学生的数学思维、逻辑推理能力和解决问题的能力具有重要意义。

为了提高初中数学教学质量，促进教师专业成长，本次教研活动围绕“初中数学教研”这一话题展开讨论。

二、讨论内容1. 初中数学教学现状分析（1）学生方面：随着社会的发展，学生生活丰富多彩，但部分学生对数学学习缺乏兴趣，导致学习成绩不尽如人意。

（2）教师方面：部分教师教学观念陈旧，教学方法单一，缺乏创新意识，难以激发学生的学习兴趣。

（3）教材方面：教材内容较为抽象，与学生生活实际联系不够紧密，难以满足不同学生的学习需求。

2. 提高初中数学教学质量的策略（1）加强教师队伍建设①加强教师培训，提高教师专业素养。

②鼓励教师参加教研活动，分享教学经验，共同提高。

（2）创新教学方法①运用多媒体技术，丰富教学手段，提高教学效果。

②开展小组合作学习，培养学生的团队协作能力。

③注重生活化教学，让学生在实践中感受数学的魅力。

（3）优化教学评价①建立多元化的评价体系，关注学生的全面发展。

②注重过程性评价，关注学生的学习过程。

（4）加强家校合作①加强家校沟通，共同关注学生的数学学习。

②开展家长培训，提高家长对数学教育的认识。

3. 如何培养学生的数学思维能力（1）注重培养学生的数学思维能力①从生活中寻找数学问题，让学生在实践中体会数学的应用。

②引导学生进行思维训练，提高学生的逻辑推理能力。

（2）加强数学概念教学①帮助学生建立完整的数学知识体系。

②注重概念的形成过程，让学生理解数学概念的本质。

（3）培养学生的问题意识①鼓励学生提出问题，培养学生的质疑精神。

②引导学生分析问题、解决问题，提高学生的数学思维能力。

4. 如何提高学生的数学学习兴趣（1）创设有趣的教学情境①结合学生生活实际，设计富有创意的教学活动。

②运用游戏、竞赛等形式，激发学生的学习兴趣。

（2）关注学生的个体差异①针对不同学生的学习需求，制定个性化的教学方案。

初中数学竞赛方案一、引言初中数学竞赛是提升学生数学能力，激发数学学习兴趣，培养创新思维的有效途径。

通过竞赛，不仅可以帮助学生深化对数学知识的理解，提高解决问题的能力，还可以培养学生的团队合作和竞争意识。

以下是一份针对初中数学竞赛的方案。

二、竞赛目标1、激发学生对数学的兴趣和热爱。

2、通过竞赛提高学生的数学知识和技能。

3、培养学生的创新思维，提高解决问题的能力。

4、培养学生的团队合作和竞争意识。

三、竞赛内容1、知识竞赛：包括数学知识、数学技能、数学问题解决等方面的内容。

2、创新竞赛：要求学生运用所学数学知识，解决实际问题，或者进行数学研究。

3、团队竞赛：以团队形式进行，要求团队成员协作解决问题，或者进行数学研究。

四、竞赛形式1、初赛：以学校为单位进行，选拔出优秀的选手进入决赛。

2、决赛：以区或市为单位进行，选拔出优秀的选手进行省级比赛。

3、省级比赛：选拔出优秀的选手进行国家级比赛。

五、竞赛时间1、初赛：一般在每年的3月和9月进行。

2、决赛：一般在每年的5月和11月进行。

3、省级比赛：一般在每年的7月和12月进行。

4、国家级比赛：一般在每年的8月和次年的1月进行。

六、奖励机制1、对进入决赛的选手给予奖励，包括证书、奖品等。

2、对获得优异成绩的选手给予特别奖励，包括奖金、荣誉证书等。

3、对组织工作出色的学校或单位给予奖励。

七、总结与展望初中数学竞赛是一项有益的学生活动，它不仅提高了学生的数学知识和技能，还激发了他们的学习兴趣和创新精神。

通过竞赛，学生可以更好地理解和应用数学知识，提高解决问题的能力，同时也可以培养他们的团队合作精神和竞争意识。

为了使竞赛更加完善和有效，我们需要在以下几个方面进行改进：一是加强竞赛的宣传和推广，提高师生对竞赛的认识和参与度；二是加强竞赛的培训和辅导，提高学生的竞赛能力和素质；三是加强竞赛的组织和管理，保证竞赛的公平公正和顺利进行。

展望未来，我们希望初中数学竞赛能够更加普及和深入，成为学生数学学习的重要平台。

初中数学竞赛辅导：《双十字相乘法》分解因式总结初中数学竞赛专题培训因式分解1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax+bxy+cy+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x-7xy-22y-5x+35y-3．我们将上2222(2y-3)(-11y+1)=-22y+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax+bxy+cy+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax+bxy+cy，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求22222式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，能够看做是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图归并在一同，可得到下列图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；第1页第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解(1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数算作来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．申明(4)中有三个字母，解法仍与前面的相似．2．求根法我们把形如anx+an-1x+…+a1x+a(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x-3x+2，g(x)=x+x+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)透露表现．如对上面的多项式f(x)f(1)=1-3×1+2=0；f(-2)=(-2)-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理)若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x) 的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常常使用下面的定理来判定它是不是有有理根．定理222252nn-1=x(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x-2x+2)．解法2用多项式除法，将原式除以(x-2)，22所以原式=(x-2)(x-2x+2)．申明在上述解法中，出格要留意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3分解因式：9x-3x+7x-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±4322为：的根，则必有p是a的约数，q是an的约数．特别地，当a=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式举行因式分化．例2分化因式：x-4x+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=2-4×2+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x-2x)-(2x-4x)+(2x-4)32223232所以，原式有因式9x-3x-2．解9x-3x+7x-3x-2=9x-3x-2x+9x-3x-2=x(9x-3x-2)+9x-3x-2=(9x-3x-2)(x+1)=(3x+1)(3x-2)(x+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式22223243224322可以化为9x-3x-2，这样可以简化分解过程．第2页总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，如许，我们就可以继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种紧张的解题方法，使用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分化成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未肯定，这时候能够用一些字母来透露表现待定的系数．因为该多项式等于这几个因式的乘积，按照多项式恒等的性子，双方对应项系数应该相等，或取多项式华夏有字母的几个非凡值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分化的方法叫作待定系数法．例4分解因式：x+3xy+2y+4x+5y+3．分析由于(x+3xy+2y)=(x+2y)(x+y)，若原式能够分化因式，那末它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使题目获得解决．解设x+3xy+2y+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x+3xy+2y+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有22222222在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x+ax+b)(x+cx+d)的形式．解设原式=(x+ax+b)(x+cx+d)=x+(a+c)x+(b+d+ac)x+(ad+bc)x+bd，所以有4322222由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x-7x+1)(x+5x+7)．22说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等能够不加以斟酌．此题如果b=1，d=7代入方程组后，无法肯定a，c的值，就必需将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分化中也有效武之地．操演1．用双十字相乘法分化因式：解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．申明此题也可用双十字相乘法，请同学们本人解一下．例5分化因式：x-2x-27x-44x+7．阐发此题所给的是一元整系数多项式，按照前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检修，它们都不是原式的根，所以，432(1)x-8xy+15y+2x-4y-3；(2)x-xy+2x+y-3；(3)3x-11xy+6y-xz-4yz-2z．222222第3页2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6；(2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：。