3.2均值定理(2)

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3。

2 均值不等式预习课本P69~71,思考并完成以下问题(1)均值不等式的形式是什么？需具备哪些条件?（2)在利用均值不等式求最值时,应注意哪些方面？（3)一般按照怎样的思路来求解实际问题中的最值问题?错误!1.均值定理如果a，b∈R＋,那么错误!≥错误!.当且仅当a＝b时，等号成立,以上结论通常称为均值不等式.对任意两个正实数a,b,数＼f(a＋b,２)称为a，b的算术平均值（平均数）,数＼ｒ(aｂ)称为ａ，b的几何平均值（平均数)．均值定理可叙述为:两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.［点睛］(１)“a＝b”是＼f(a＋b,2)≥ab的等号成立的条件.若a≠b，则＼f(a＋b,２）≠错误!，即错误!＞错误!。

(2）均值不等式错误!≥错误!与a2＋b2≥2ab成立的条件不同,前者a>0,b>０,后者ａ∈R,b ∈Ｒ。

２.利用均值不等式求最值(１)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值;（２）两个正数的和为常数时,它们的积有最大值.错误!１．判断下列命题是否正确.(正确的打“√"，错误的打“×”）(1)对任意a,ｂ∈R,a2+b2≥2ab,ａ＋b≥2错误!均成立( )（2)若ａ≠0，则a ＋错误!≥２错误!＝４（ ）(3)若a 〉０,b 〉０,则ａb ≤错误!２( )解析：（1)错误．任意a ，ｂ∈R,有a 2+ｂ2≥2ａb 成立,当a ,b 都为正数时,不等式a ＋b ≥2错误!成立．(2)错误.只有当a >０时，根据均值不等式,才有不等式ａ+错误!≥2错误!=4成立. （３）正确.因为＼r(ab ）≤a +b2，所以ab ≤错误!2。

3．2 均值不等式（一）一、学习目标：1．掌握均值定理的推导2．培养学生应用均值定理分析问题、解决问题的能力.二、重点难点：重点：均值定理的推导极其应用难点：均值定理在实际问题中的应用三、学习过程：（一）自学教材，填空1.正数a 、b 的算术平均数为 ；几何平均数为 ．2.均值不等式是 。

其中前者是 ，后者是 ．如何给出几何解释？3.在均值不等式中a 、b 既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证 ；另外等号成立的条件是 ．4.试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件（1）a 2+b 2 （ ）（2）2b a （ ） （3）a b ＋ba （ ）（4）ab≤ （ ） （5）x ＋x 1 (x>0)（6）x ＋x1 (x<0) 5.在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b 或ab 是否为 值，并且还需要注意等号是否成立．（二）典型例题例1.已知a 、b 、c ∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证a 1 +b 1+c1≥9．例2.（1）一个矩形的面积为100m 2。

问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长为36m 。

问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？（三）课堂训练1.已知a 、b ∈（0，1）且a≠b ，下列各式中最大的是（ ）A ．a 2+b 2B ．2abC ．2a bD ．a +b2.判断下列不等式的证明过程中的正误，并指出错因。

（1）若a 、b ∈R ，则a b ＋ba ≥2b a a b ∙＝2（ ） （2）若x 、y ∈R ＋，则lgx ＋lgy≥2y x lg lg ∙（ ）（3）x ∈R －，则x ＋x4≥－2x x 4∙＝－4（ ） （4）若x ∈R ，则x 2＋x -2≥2x x -∙22＝2（ ）3.x ∈R ，下列不等式恒成立的是（ ）A ．x 2+1≥xB ．112+x <1 C ．lg(x 2+1)≥lg(2x) D ．x 2+4>4x 4.设x>0，则函数y=2－x 4－x 的最大值为 ；此时x 的值是 。

3.2均值不等式(一)一、教材导学：（本小节的重点是均值不等式的推导及应用）1、均值定理：(1)均值定理成立的条件；(2)注意“=”成立的条件； (3)掌握定理的证明；(4)定理的文字表述。

（A P 711）2、思考与讨论：注意辨析与均值定理的关系。

（A P 2372-1）（均值不等式的几何解释，下节课研究。

）3、例1---体会用均值定理在不等式证明中的作用及解题的规范过程。

练习：3.1已知，R n m ∈,10022=+n m ，则mn 的最大值是 . 3.2已知正数a 、b 满足ab=10，则a+b 的最小值是 .3.3设0,0>>b a ，且2=+b a ，则2,,122b a ab +的大小关系是______.A. 2122b a ab +<<B. 2122b a ab +≤≤C. 1222<+≤b a abD. 2122b a ab +≤≤ 3.4若R b a ∈,，且0>ab ，则下列不等式中，恒成立的是_____. A. ab b a 222>+ B. ab b a 2≥+ C.ab b a 211>+ D. 2≥+baa b 4、例2--利用均值定理求某些函数的最值：“一正，二定，三相等”（A P 71 2、3、4）. 练习：4.1下列结论正确的是_____.（分析每个选择项的错因） A. 当0>x 且1≠x 时，2lg 1lg ≥+x x B. 当0>x 时，21≥+xx C. 当2≥x 时，x x 1+的最小值为2 D. 当20≤<x 时，xx 1-无最大值5、例3--均值不等式的配凑与变形. （B P 723） 练习：5.1若，2>a 则23-+a a 的最小值___. A. 6 B. 232-a aC. 322+D. 323+ 5.2求函数142-+-=x x x y （1>x ）的最小值及相应的x 的值.(可灵活运用换元法)6、小结：(1)均值定理成立的条件及“=”成立的条件；(2)运用均值定理求最值的注意事项； (3)学习均值不等式的配凑与变形方法。

§3.2 均值不等式（二）【学习目标】1. 通过学习，进一步加深对均值不等式的理解，能灵活地用均值不等式解决有关问题.预习案Ⅰ.复习前知认真研读教材P69-73，进行基础知识梳理.1．均值定理：__________________________________________________________三步口决：_______________________2.均值不等式的变形：（1）a+b ≥ （ ）；（2）ab ≤ （）；（3）a 2+b 2 ( ).3.两个正数的积为定值时，它们的和有最_____值；和为定值时，它们的积有最_____值.Ⅱ.预习自测1. 下列结论正确的是（ ）A.当01x x >≠且时，1lg 2lg x x +≥ B.当0x >2≥C.当2x ≥时，1x x +的最小值是2 D.当02x <≤时，1x x -无最大值2.已知x>0，求()123f x x x =+的最小值，并求取最小值时x 满足的条件.3. 已知0<x<1，求y= x(1-x)的最大值.探究案 【问题1】如果有n 个正数n a a a a ,,,,321⋯，是否也可应用均值定理？n a a a n+⋯++21 n n a a a ⋯21【问题2】求两个正数和的最小值时，如果积不是定值，还能应用均值定理吗？同样，求两个正数积的最大值时，如果和不是定值，还能应用均值定理吗？【问题3】解决实际应用问题时，如何应用均值定理？【探究题】1.求函数32y x x =+-（x>2）的最小值及相应的x 的值.2. 已知102x <<，求y=x(1-2x)的最大值，及相应x 的值.3.(1)一个矩形的面积为100m 2.问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？(2)已知矩形的周长为36m.问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？Ⅲ.当堂检测1.求x x y +-=34（x>3）的值域.2.设a 、b ∈R ，且a+b ＝5，求22a b +的最小值.训练案1.已知x 、y ∈R+，且194=+y x ，则xy 有（ ）.A 、最小值12B 、最大值12C 、最小值144D 、最大值1442.求函数)12)(23(+-=x x y )2321(<<-x 的最大值及相应的x 的值.3.求函数x x y --=42 （x>0）的最大值以及相应的x 的值.4.已知,,a b c 是正数，且1a b c ++=，求证：()()()1118a b c abc ---≥。

3.2 均值不等式学习目标：1.推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理.2.利用均值定理求极值.3.了解均值不等式在证明不等式中的简单应用学习过程：知识梳理：1．一个常用的均值不等式链设a >0，b >0，则有：min{a ，b }≤21a ＋1b ≤ ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22≤max{a ，b }， 当且仅当a ＝b 时，所有等号成立．若a >b >0，则有：b <21a ＋1b <ab <a ＋b 2< a 2＋b 22<a . 2．均值不等式的拓展(1)a ，b ∈R ，都有ab ≤(a ＋b )24≤a 2＋b 22成立． (2)a 2＋b 2≥2ab 可以加强为a 2＋b 2≥2|a |·|b |，当且仅当|a |＝|b |时取等号．(3)a ，b ，c ∈R ，都有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca 成立．(4)若ab >0，则a b ＋b a≥2. 3．利用均值不等式求最值的法则均值不等式ab ≤a ＋b 2(a ，b 为正实数)常用于证明不等式或求代数式的最值． (1)当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．注意：利用均值不等式求代数式最值，要注意满足三个条件：①两个正数；②两个正数的积或和为定值；③取最值时，等号能成立．概括为“一正、二定(值)、三相等”．4．函数f (x )＝x ＋k x(k >0)的单调性在求最值中的应用 有些最值问题由于条件的限制使等号取不到，其最值又确实存在，我们可以利用函数f (x )＝x ＋k x(k >0)的单调性加以解决． 利用函数单调性的定义可以证明函数f (x )＝x ＋k x(k >0)在(0，k ]上单调递减，在[k ，＋∞)上单调递增．因为函数f (x )＝x ＋k x (k >0)是奇函数，所以f (x )＝x ＋k x(k >0)在(－∞，－k ]上为增函数，在 [－k ，0)上为减函数．函数f (x )＝x ＋k x(k >0)在定义域上的单调性如图所示．方法突破：一、利用均值不等式求最值方法链接：均值不等式是求函数最值的有利工具，在使用均值不等式求函数最值时，要注意应用条件“一正、二定、三相等”．不要仅仅关注结构上的定值，而忽略对相等条件的考察． 例1：函数y ＝x ＋22x ＋5的最大值．二、利用均值不等式解恒成立问题方法链接：含参数的不等式恒成立问题，通过分离参数，把参数的范围化归为函数的最值问题．a >f (x )恒成立⇔a >[f (x )]max ，a <f (x )恒成立⇔a <[f (x )]min .例2：已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，22－1)C ．(－1,22－1)D ．(－22－1,22－1) 三、利用均值不等式证明不等式方法链接：证明不等式时应根据求证式两端的结构，合理选择重要不等式及其变形不等式；本题的证明方法在论证对称不等式时具有一定的普遍性．例3：已知a >2，求证：log a (a －1)·log a (a ＋1)<1.四、均值不等式的实际应用方法链接：应用均值不等式解决实际问题时，要注意把要求最值的变量设为函数，列函数解析式时，要注意所设变量的范围．例4：某公司计划用一块土地建造一幢总面积为A m 2的办公大楼，已知征地的费用是2 388元/m 2，每层的建筑面积相同，土地的征用面积是每层面积的2.5倍，经工程技术人员核算，第一、二层的建设费用相同，费用为445元/m 2，以后每增高一层，建筑费用就增加30元/m 2，试设计这幢办公楼的楼层数，使总费用最少，并求其最少总费用．(总费用＝建筑费用＋征地费用)课堂检测：1．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( ) A ．72 B ．4 C ．92 D ．52．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．1 D ．143．求f (x )＝2＋log 2x ＋5log 2x(0<x <1)的最值．4．已知m 2＋n 2＝a ，x 2＋y 2＝b (a 、b 为大于0的常数且a ≠b )，求mx ＋ny 的最大值．5．已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝1，求1x ＋1y的最小值．6．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，求ab 的取值范围.参考答案方法突破：例1：解：设t ＝x ＋2，从而x ＝t 2－2(t ≥0)，则y ＝t 2t 2＋1. 当t ＝0时，y ＝0；当t >0时，y ＝12t ＋1t ≤12 2t ·1t＝24. 当且仅当2t ＝1t ，即t ＝22时等号成立． 即当x ＝－32时，y max ＝24. 例2：【解析】由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22， ∴k ＋1<22，k <22－1.【答案】B例3：已知a >2，求证：log a (a －1)·log a (a ＋1)<1.证明 因为a >2，所以log a (a －1)>0，log a (a ＋1)>0.又log a (a －1)≠log a (a ＋1)，所以log a (a －1)·log a (a ＋1)<log a (a －1)＋log a (a ＋1)2＝12log a (a 2－1)<12log a a 2＝1.所以log a (a －1)log a (a ＋1)<1. 例4：解：设建造这幢办公楼的楼层数为n ，总费用为y 元，当n ＝1时，y ＝2.5·A ·2 388＋445A ＝6 415A (元)，当n ＝2时，y ＝2.5·A 2·2 388＋445A ＝3 430A (元)， 当n ≥3时，y ＝2.5·A n ·2 388＋445·2A n ＋(445＋30)·A n ＋(445＋60)·A n ＋…＋[445＋30(n －2)]·A n＝6 000·A n＋15nA ＋400A ≥2A 6 000×15＋400A ＝1 000A (元)(当且仅当n ＝20时取等号)．即n ＝20时，有最小值1 000A 元，所以，当建造这幢办公楼的楼层数为20时，总费用最少，为1 000A 元．课堂检测：1．【解析】∵a ＋b ＝2，∴a ＋b 2＝1.∴1a ＋4b ＝(1a ＋4b )(a ＋b 2)＝52＋(2a b ＋b 2a )≥52＋22a b ·b 2a ＝92(当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，“＝”成立)，故y ＝1a ＋4b 的最小值为92. 【答案】C2．【解析】由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋b ＝3，所以a ＋b ＝1.因为a >0，b >0，所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b 时，等号成立．【答案】B3．解：∵0<x <1，∴(－log 2x )>0，⎝⎛⎭⎫－5log 2x >0.∴(－log 2x )＋⎝⎛⎭⎫－5log 2x ≥2 (－log 2x )⎝⎛⎭⎫－5log 2x ＝2 5. ∴log 2x ＋5log 2x≤－2 5. ∴f (x )＝2＋log 2x ＋5log 2x≤2－2 5. 当且仅当log 2x ＝5log 2x时，即x ＝2－5时取等号． ∴f (x )max ＝2－2 5.4．解：利用三角代换可避免上述问题．∵m 2＋n 2＝a ，∴设⎩⎨⎧ m ＝a cos αn ＝a sin α(α∈[0,2π))， ∵x 2＋y 2＝b ，∴设⎩⎨⎧x ＝b cos βy ＝b sin β(β∈[0,2π)) ∴mx ＋ny ＝ab cos αcos β＋ab sin αsin β ＝ab (cos αcos β＋sin αsin β)＝ab cos(α－β)≤ab∴(mx ＋ny )max ＝ab ，当且仅当cos(α－β)＝1，α＝β时取“＝”．5．解：因为x >0，y >0，且x ＋2y ＝1，所以1x ＋1y ＝x ＋2y x ＋x ＋2y y ＝1＋2＋2y x ＋x y≥3＋22y x ·x y＝3＋2 2. 当且仅当2y x ＝x y且x ＋2y ＝1， 即x ＝2－1，y ＝1－22时，取得等号． 所以1x ＋1y的最小值为3＋2 2.6．解：方法一 把代数式ab 转化为a (或b )的函数．∵ab ＝a ＋b ＋3，∴b ＝a ＋3a －1∵b >0，∴a >1. ∴ab ＝a 2＋3a a －1＝(a －1)2＋5a －1a －1＝(a －1)2＋5(a －1)＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋5 ∵a >1，∴a －1>0，∴(a －1)＋4a －1≥2(a －1)·4a －1＝4. ∴ab ≥9，当且仅当a －1＝4a －1，即a ＝3，b ＝3时，取“＝”． 方法二 利用均值不等式a ＋b ≥2ab ，把a ＋b 转化为ab ，再求ab 的范围．∵a ＋b ≥2ab ，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3.∴ab －2ab －3≥0，∴(ab －3)(ab ＋1)≥0.∴ab ≥3，∴ab ≥9，从以上过程可以看出：当且仅当a ＝b ＝3时，取“＝”．方法三 把a ，b 视为一元二次方程x 2＋(3－ab )x ＋ab ＝0的两个根，那么该方程应有两个正根．所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1·x 2＝ab >0x 1＋x 2＝ab －3>0Δ＝(3－ab )2－4ab ≥0其中由Δ＝(3－ab )2－4ab ＝a 2b 2－10ab ＋9＝(ab －9)(ab －1)≥0，解得ab ≥9或ab ≤1.∵x 1＋x 2＝ab －3>0，∴ab ≥9.又ab ＝a ＋b ＋3，∴a ＋b ＝6，∴当且仅当a ＝b ＝3时取“＝”．。

3.2 均值不等式情境引入导学甲、乙两人在每个月里总是相约到一家小铺里去购买两次白糖，假设白糖的价格是变化的，而他们的购买方式又不一样，甲每一次总是购买1千克白糖，乙每一次只拿一元钱来购买白糖，而不管购买多少，则这两种购糖方式哪一种更合算？1．均值定理的内容： __________________________________________________________________.2．均值定理成立的条件：________、________、________.知能自主梳理如果a 、b ∈R ＋，那么a ＋b 2≥ab .当且仅当a ＝b 时，式中等号成立 一正二定三相等例1：已知正数x 、y 满足x ＋2y ＝1，求1x ＋1y的最小值．课堂典例讲练命题方向1：“1”的代换解：∵x，y为正数，且x＋2y＝1.∴1x＋1y＝(x＋2y)(1x＋1y)＝3＋2yx＋xy≥3＋22，当且仅当2yx＝xy，即当x＝2－1，y＝1－22时等号成立．∴1x＋1y的最小值为3＋2 2.变式训练1：设a、b∈R＋，若a＋b＝2，则1a＋1b的最小值等于()A．1B．3 C．2D．4【解析】1a ＋1b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b ) ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥2， 等号在a ＝b ＝1时成立.【答案】C例2：求y ＝x 2＋4x ＋1(x >－1)的值域． 命题方向2：拆项与配凑解：y＝x2＋4x＋1＝(x＋1)2－2(x＋1)＋5x＋1＝x＋1＋5x＋1－2≥25－2(x＋1>0)，等号在x＋1＝5x＋1，即x＝5－1时成立，∴函数的值域为[25－2，＋∞)．变式训练2：若x >－1，求y ＝x 2－2x －2x ＋1的最小值． 解：∵x >－1，∴x ＋1>0， ∴y ＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－4≥2－4＝－2. 当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时，函数y 取最小值－2.命题方向3：基本不等式在实际问题中的应用例3：(1)在面积为定值的扇形中，半径是多少时，扇形的周长最小？(2)在周长为定值的扇形中，半径是多少时，扇形的面积最大？解：设扇形中心角为θ，半径r，面积s，弧长l，则s＝12lr＝12θr2，l＝rθ.(1)s为定值，则θ＝2s r2，∴扇形周长p＝2r＋l＝2r＋rθ＝2r＋2sr≥4s.等号在r＝sr即r＝s时成立，∴半径是s时扇形周长最小．(2)周长p ＝2r ＋rθ一定，∴θ＝p r－2， 面积s ＝12θr 2＝12r (p －2r )＝r (p 2－r )≤⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤r ＋(p 2－r )22＝p 216， 等号在r ＝p 2－r 即r ＝p 4时成立， ∴半径r ＝p 4时，面积最大．变式训练3：随着经济建设步伐的加快，汽车已步入家庭，公路上交通日益繁忙．为确保交通安全，交通部门规定：某事故易发地段内的车距d(m)正比于车速v(km/h)的平方与车身长s(m)的积，且比例系数为12 500，那么在交通繁忙时，该如何规定车速，才能保证此地段通过的车流量Q最大？解：根据车流量＝单位时间每辆车经过所需时间， 有Q ＝1d ＋s 1 000v ＝ 1 000v 12 500v 2s ＋s ＝ 1 000s (12 500v ＋1v )≤25 000s . 当且仅当12 500v ＝1v，即v ＝50(km/h)时，等号成立． ∴在交通繁忙时，应规定车速为50km/h ，才能保证此地段的车流量最大．1．下列函数中，最小值为2的是( ) A ．y ＝x 2＋2＋1x 2＋2 B ．y ＝sin 2x ＋2sin 2x C ．y ＝12e x ＋2e －x D ．y ＝12log 3x ＋2log x 3(0<x <1) 课堂检测【解析】x2＋2＋1x2＋2≥2，当且仅当x2＋2＝1x2＋2，即x2＋2＝1显然无解，所以A不正确；sin2x＋2sin2x≥22，当且仅当sin2x＝2sin2x，即sin2x＝2(无解)，所以B不正确；当0<x<1时，log3x<0，log x3<0，故D不正确，∴选C.【答案】C2．若x>4，则函数y＝x＋1x－4()A．有最大值－6B．有最小值6 C．有最大值－2 D．有最小值2【解析】∵x>4，∴x－4>0.∴y＝x＋1x－4＝x－4＋1x－4＋4≥2＋4＝6.当且仅当x－4＝1x－4，即x＝5时，取等号．【答案】B3．已知x、y都是正数，(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________；(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________．【解析】(1)因为x 、y 都是正数，且xy ＝15，由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝215，当且仅当x ＝y ＝15时，取等号．(2)因为x 、y 都是正数，且x ＋y ＝15，由基本不等式得xy ≤(x ＋y 2)2＝(152)2＝2254，当且仅当x ＝y ＝152时，取等号． 【答案】(1)215 (2)22544．已知0≤x <1，则f (x )＝2x＋12x 的最大值是________，此时x ＝________.【答案】2 0【解析】f (x )＝2x ＋12x ≥22x·12x ＝2，当且仅当2x ＝12x ，∴2x ＝1， 即x ＝0时，等号成立．5．已知0<x<1，求函数f(x)＝3＋lg x＋4lg x的最值．解：∵0<x<1，∴lg x<0，4lg x<0，∴－lg x>0，－4lg x>0，∴(－lg x)＋(－4 lg x)≥2(－lg x)·(－4lg x)＝4，当且仅当－lg x＝4－lg x，即lg x＝－2，x＝1100时，取等号．∴lg x＋4lg x≤－4.∴f(x)＝3＋lg x＋4lg x≤3＋(－4)＝－1.∴f(x)有最大值－1.。